2021版新高考数学一轮课件第5讲古典概型
高考数学大一轮复习 第九章 第五节 古典概型课件
所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是14045.
ppt精选
11
[类题通法] 计算古典概型事件的概率三步骤 步骤一： 算出基本事件的总个数 n； 步骤二：求出事件 A 所包含的基本事件个数 m； 步骤三： 代入公式求出概率 P.
ppt精选
12
考点二 古典概型的交汇命题 (常考常新型考点——多角探明) [多角探明]
3 4
是省外游客，其
余是省内游客．在省外游客中有
1 3
持金卡，在省内游客中有
2 3
持银卡．
(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；
(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相
等的概率．
ppt精选
10
解：(1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有
9人，其中6人持银卡．
ppt精选
4
4．(2015·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，
且各个面上依次标有点数 1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点 1
数之积等于 12 的概率为_9__．
解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有 36 种等可能的结果： (1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于 12 的结果有：(2,6)，
(1)设“a∥b”为事件 A，则 xy＝－3.
事件 A 包含的基本事件有(－1,3)，共 1 个．
故 a∥b 的概率为 P(A)＝19.
ppt精选
14
(2)设“a⊥b”为事件 B，则 y＝3x. 事件 B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共 2 个． 故 a⊥b 的概率为 P(B)＝29.
第五节古典概型
第5讲 古典概型
事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有： {A1，B2}，{A1，B3}，共 2 个． 2 因此，A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P＝ . 15
第8页
返回目录
结束放映
考点突破 考点二
古典概型的概率问题
规律方法
求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件 A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事 件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据 需要灵活选择．
考点突破 考点一
基本事件及事件的构成
规律方法
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有 古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时 具备这两个特点的概型才是古典概型．
第5页
返回目录
结束放映
考点突破 考点一
基本事件及事件的构成
【训练 1】下列试验中，是古典概型的个数为( ) ①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；② 向正方形 ABCD 内，任意抛掷一点 P，点 P 恰与点 C 重合；③从 1，2，3，4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是 2 的概率； ④在线段[0，5]上任取一点，求此点小于 2 的概率． 简答 A．0 B．1 C．2 D．3
解析 关键看每个事件 (1)由于共有 11 个球，且每个球有不同的编号， 发生是否等可能 故共有 11 种不同的摸法． 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等， 故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
因此共有 3 个基本事件， (2)由于 11 个球共有 3 种颜色， 分别记为 A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”， C：“摸到红球”，
解析 (1)当甲、乙两个小组的数学平均成绩相等时，
11.5古典概型-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共30张PPT)
题型二 古典概型与代数、几何知识的结合[师生共研] [例 1] (1)已知 a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数 f(x)＝(a2－2)ex ＋b 为减函数的概率是( )
3 321 A.10 B.5 C.5 D.5
答案：C 解析：由题意知 a2－2<0，解得－ 2<a< 2，且与 b 无关．∵a∈{－ 2,0,1,2,3}，∴a∈{0,1}，故所求的概率为 P＝25.
A.16 B.13 C.23 D.56
答案：D 解析：设小王、小张、小刘、小李分别为 A，B，C，D，则从中 随机选择两位的所有情况为 AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 6 种， 小王(A)和小李(D)至多一人被选中的情况有 AB，AC，BC，BD，CD，
共 5 种，所以所求概率为56，故选 D.
ACE，BCD，BCE，共 6 种，所以所求事件的概率 P＝160＝35.
6．[2019·全国Ⅰ卷]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变 化，每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——” 和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则 该重卦恰有 3 个阳爻的概率是( )通法 古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法；(2)树状图法：适 合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序” 与“无序”区别的题目，常采用树状图法；(3)列表法：适用于多元素 基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具 体化；(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
(2)若 m 是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，则椭圆xm2＋y22 ＝1 的焦距为整数的概率为________．
答案：12 解析：满足椭圆xm2＋y22＝1 的焦距为整数的 m 的取值有 1,3,11，共 3 个．故所求的概率为 P＝36＝12.
新高考数学一轮复习教师用书：第10章 5 第5讲 古典概型
第5讲 古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 2．古典概型 (1)特点①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等,即等可能性． (2)概率公式P(A)＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．[教材衍化]1．(必修3P127例3改编)一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片,随机地抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．解析：抽取两张卡片的基本事件有：(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种,和为奇数的事件有：(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4种．所以所求概率为46＝23.答案：232．(必修3P145A 组T5改编)袋中装有6个白球, 5个黄球,4个红球．从中任取一球,则取到白球的概率为________．解析：从袋中任取一球,有15种取法,其中取到白球的取法有6种,则所求概率为P ＝615＝25.答案：253．(必修3P134A 组T6改编)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品．现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为________．解析：从5件产品中任取2件共有C 25＝10(种)取法,恰有一件次品的取法有C 12C 13＝6(种),所以恰有一件次品的概率为610＝0.6.答案：0.6求古典概型的概率(高频考点)求古典概型的概率问题是高考考查的热点．主要命题角度有： (1)直接列举法；(2)图表、树型法； (3)逆向思维法；(4)对称性法． 角度一 直接列举法袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两个,求下列事件的概率． (1)取出的两球都是白球；(2)取出的两球一个是白球,另一个是红球．【解】 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6,从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果如下：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个．(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的方法数,即是从4个白球中任取两个的方法数,共有6个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)．所以取出的两个球全是白球的概率为P ＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取两个,其中一个是红球,而另一个为白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8个．所以取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为P ＝815.角度二 图表、树型法一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球,从中摸出2个球,则摸出2个黑球的概率为____________．【解析】 如图所示,所有结果组成的集合U 含有6个元素,故共有6种不同的结果．U 的子集A 有3个元素,故摸出2个黑球有3种不同的结果． 因此,摸出2个黑球的概率是P ＝36＝12.【答案】 12角度三 逆向思维法同时抛掷两枚骰子,则至少有一个5点或6点的概率为____________．【解析】 至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点．因为没有5点或6点的结果共有16个,而抛掷两枚骰子的结果共有36个,所以没有5点或6点的概率为P ＝1636＝49.至少有一个5点或6点的概率为1－49＝59.【答案】 59角度四 对称性法有A,B,C,D,E 共5人站成一排,则A 在B 的右边(A,B 可以不相邻)的概率为____________． 【解析】 由于A,B 不相邻,A 在B 的右边和B 在A 的右边的总数是相等的,且A 在B 的右边的排法数与B 在A 的右边的排法数组成所有基本事件总数,所以A 在B 的右边的概率是12.【答案】 12(1)(2)求较复杂事件的概率问题的方法①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件,再利用互斥事件的概率加法公式求解． ②先求其对立事件的概率,再利用对立事件的概率公式求解．1．从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518B.49C.59D.79解析：选C.所求概率为P ＝C 12C 15C 14C 19C 18＝59.2．(2020·台州高三教学质量评估)袋子里装有编号分别为“1,2,2,3,4,5”的6个大小、质量相同的小球,某人从袋子中一次任取3个球,若每个球被取到的机会均等,则取出的3个球编号之和大于7的概率为( )A.1720B.710C.58D.45解析：选B.由题设取三个球的所有可能有n ＝C 36＝6×5×43×2×1＝20,其中编号之和小于或等于7的所有可能有(1,2,2),(1,2,3),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,4),(2,2,3),共6种,其概率P ＝620＝310,所以3个球编号之和大于7的概率为P′＝1－310＝710. 3．(2020·温州八校联考)依次从标号为1,2,3,4,5的五个黑球和标号为6,7,8,9的四个白球中随机地各取一个球,用数对(x,y)表示事件“抽到两个球标号分别为x,y ”．(1)问共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的标号之和小于11但不小于9或标号之和大于12的概率． 解：(1)共有20个基本事件,列举如下：(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),共20个．(2)记事件“所抽取的标号之和小于11但不小于9”为事件A,由(1)可知事件A 共含有7个基本事件,列举如下：(1,8),(1,9),(2,7),(2,8),(3,6),(3,7),(4,6),共7个．“抽取的标号之和大于12”记作事件B,则事件B 包含：(4,9),(5,8),(5,9),共3个．故P(A)＋P(B)＝720＋320＝12,故抽取的标号之和小于11但不小于9或大于12的概率为12.古典概型与其他知识的交汇(高频考点)近几年高考对交汇型古典概型问题有所侧重．主要命题角度有： (1)与平面向量的交汇； (2)与函数(方程)的交汇； (3)与解析几何的交汇． 角度一 与平面向量的交汇从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m ＝(a,b)与向量n ＝(1,－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12【解析】 由题意可知m ＝(a,b)有：(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况．因为m ⊥n ,即m·n＝0,所以a×1＋b×(－1)＝0,即a ＝b, 满足条件的有(3,3),(5,5),共2个, 故所求的概率为16.【答案】 A角度二 与函数(方程)的交汇已知|p|≤3,|q|≤3,当p,q ∈Z,则方程x 2＋2px －q 2＋1＝0有两个相异实数根的概率是________．【解析】 由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0有两个相异实数根,可得Δ＝(2p)2－4(－q 2＋1)>0,即p 2＋q 2>1.当p,q ∈Z 时,设点M(p,q),如图,直线p ＝－3,－2,－1,0,1,2,3和直线q ＝－3,－2,－1,0,1,2,3的交点,即为点M,共有49个,其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点)．当点M(p,q)落在圆p 2＋q 2＝1外时,方程x 2＋2px －q 2＋1＝0有两个相异实数根,所以方程x 2＋2px －q 2＋1＝0有两个相异实数根的概率P ＝49－549＝4449.【答案】4449角度三 与解析几何的交汇甲、乙两颗质地均匀且形状为正方体的骰子,它的六个面上的点数依次为1,2,3,4,5,6,现将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a,b 分别表示掷甲、乙两颗骰子所出现的向上的点数．(1)若“点M(a,b)落在直线x ＋y ＝6上的事件”记为A,求事件A 的概率； (2)若“点M(a,b)落在圆x 2＋y 2＝25内部的事件”记为B,求事件B 的概率．【解】 (1)先后抛掷甲、乙两颗骰子所得的点M(a,b)共有36个,其中落在直线x ＋y ＝6上的点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个点,所以P(A)＝536.(2)同(1),落在圆x2＋y2＝25的内部的点共有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),共13个点,所以P(B)＝1336.求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题,其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根的情况转化为概率模型,再按照求古典概型的步骤求解．设a∈{2,4},b ∈{1,3},函数f(x)＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f(x)在区间(－∞,－1]上是减函数的概率；(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率． 解：(1)由题意－b2×12a ≥－1,即b≤a.而(a,b)共有C 12·C 12＝4种,满足b≤a 的有3种,故概率为34.(2)由(1)可知,函数f(x)共有4种可能,从中随机抽取两个,有6种抽法． 因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a ＋b,所以这两个函数中的a 与b 之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这1组满足,故概率为16.古典概型概率的应用将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使两条不重合直线l 1：ax ＋by ＝2,l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1,相交的概率为P 2,若点(P 1,P 2)在圆(x －m)2＋y 2＝137144的内部,则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－518，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，718 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－718，518 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－518，718【解析】 对于a 与b 各有6种情形,故总数为36种．两条直线l 1：ax ＋by ＝2,l 2：x ＋2y ＝2平行的情形有a ＝2,b ＝4或a ＝3,b ＝6,故概率为P 1＝236＝118,两条直线l 1：ax ＋by ＝2,l 2：x ＋2y ＝2相交的情形除平行与重合(a ＝1,b ＝2)即可,所以P 2＝3336＝1112,因为点(P 1,P 2)在圆(x －m)2＋y 2＝137144的内部,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫118－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11122＜137144,解得－518＜m ＜718,故选D.【答案】 D概率问题主要体现必然与或然思想,在生活、生产中有着广泛的应用．在高考中常以生产、生活中的决策与判断、求参数的范围等问题呈现,多具有开放性特点．甲、乙两人各拿出200元,用作掷硬币游戏的奖金,两人商定：一局中掷出正面向上则甲胜,否则乙胜,谁先胜三局就得所有奖金．比赛开始后,甲胜了两局,乙胜了一局,这时因为意外事件中断游戏,请问怎样分配这400元才合理？解：为了决出胜负,最多再赛两局,用“甲”表示甲胜,用“乙”表示乙胜,于是这两局有四种可能：(甲,甲),(甲,乙),(乙,甲),(乙,乙)．其中甲获胜有3种情况,而乙获胜只有1种情况,所以甲获胜的概率是34,乙获胜的概率是14.因此,合理的分法为甲得300元,乙得100元．[基础题组练]1．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110 B.15 C.310D.25解析：选D.依题意,记两次取得卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足a>b 的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率为1025＝25,选D.2．高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙相邻,则甲、丙相邻的概率为( ) A.110 B.14 C.310D.25解析：选B.五人排队,甲、乙相邻的排法有A 22A 44＝48(种),若甲、丙相邻,此时甲在乙、丙中间,排法有A 33A 22＝12(种),故甲、丙相邻的概率为1248＝14.3．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( )A ．1 B.1121 C.1021D.521解析：选C.从袋中任取2个球共有C 215＝105种,其中恰好1个白球,1个红球共有C 110C 15＝50种,所以恰好1个白球,1个红球的概率为50105＝1021.4．(2020·台州高三质检)已知集合M ＝{1,2,3,4},N ＝{(a,b )|a∈M ,b ∈M},A 是集合N 中任意一点,O 为坐标原点,则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：选C.易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x(斜率小于0的无需考虑),集合N 中共有16个元素,其中使OA 斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个,由古典概型知概率为416＝14.5．(2020·湖州模拟)已知函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1,若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数,b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23解析：选D.f ′(x)＝x 2＋2ax ＋b 2,要使函数f(x)有两个极值点,则有Δ＝(2a)2－4b 2＞0,即a 2＞b 2.由题意知所有的基本事件有9个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值．满足a 2＞b 2的有6个基本事件,即(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),所以所求事件的概率为69＝23.6．一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a ＞b,b ＜c 时称为“凹数”(如213,312等),若a,b,c ∈{1,2,3,4},且a,b,c 互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16B.524C.13D.724解析：选C.由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个； 同理由1,2,4组成的三位自然数共6个； 由1,3,4组成的三位自然数也是6个； 由2,3,4组成的三位自然数也是6个． 所以共有6＋6＋6＋6＝24个．当b ＝1时,有214,213,314,412,312,413,共6个“凹数”． 当b ＝2时,有324,423,共2个“凹数”． 所以这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13.7．(2020·杭州学军中学高三质检)甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球,现从两个箱子中随机各取一个球,则至少有一个红球的概率为________．解析：两个箱子各取一个球全是白球的概率P ＝1C 13C 13＝19,所以至少有一个红球的概率为1－P ＝1－19＝89.答案：898．在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是________．解析：记“两人都中奖”为事件A,设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0,那么甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2),(2,1),2种,所以P(A)＝26＝13. 答案：139．从20名男生、10名女生中任选3名参加体能测试,则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为________．解析：选到的学生中有男生1名、女生2名的选法有C 120C 210 种,选到的学生中有男生2名、女生1名的选法有C 220C 110种,则选到的3名学生中既有男生又有女生的概率为P ＝C 120C 210＋C 220C 110C 330＝2029. 答案：202910．有100本书,既分为文科、理科2类,又分为精装、平装2种,其中文科书40本,精装书70本,理科的平装书20本,则：(1)任取1本恰是文科精装书的概率是________；(2)先任取1本恰是文科书,放回后再取1本恰是精装书的概率是________．解析：(1)基本事件总数为100,其中文科书40本,理科书60本；精装书70本,理科的平装书20本,精装书40本；文科的精装书30本,文科的平装书10本．则任取1本恰是文科精装书的概率为30100＝0.3.(2)基本事件总数为100×100,则所求概率P ＝C 140C 170100×100＝410×710＝0.28.答案：(1)0.3 (2)0.2811．某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1,A 2,A 3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游． (1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率． 解：(1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{A 3,B 3},{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 2,B 3},共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},共3个． 则所求事件的概率为P ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其一切可能的结果组成的基本事件有： {A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 1,B 3},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 2,B 3},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{A 3,B 3},共9个． 包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：{A 1,B 2},{A 1,B 3},共2个, 则所求事件的概率为P ＝29.12．在100件产品中,有95件合格品、5件次品,从中任取2件,求： (1)2件都是合格品的概率； (2)2件都是次品的概率；(3)1件是合格品、1件是次品的概率．解：从100件产品中任取2件可能出现的结果数就是从100个元素中任取2个元素的组合数C 2100,由于任意抽取,这些结果出现的可能性相等,则C 2100＝4 950为基本事件总数．(1)100件产品中有95件合格品,取到2件合格品的结果数就是从95个元素中任取2个的组合数C 295,记“任取2件都是合格品”为事件A 1,那么P(A 1)＝C 295C 2100＝893990.(2)由于在100件产品中有5件次品,取到2件次品的结果数为C 25,记“任取2件都是次品”为事件A 2,那么事件A 2的概率P(A 2)＝C 25C 2100＝1495.(3)记“任取2件,1件是次品,1件是合格品”为事件A 3,而取到1件合格品、1件次品的结果有C 195·C 15种,则事件A 3的概率P(A 3)＝C 195·C 15C 2100＝19198.[综合题组练]1．从1到10这十个自然数中随机取三个数,则其中一个数是另两个数之和的概率是( ) A.16 B.14 C.13D.12解析：选A.不妨设取出的三个数为x,y,z(x<y<z),要满足x ＋y ＝z,共有20种结果,从十个数中取三个数共有C 310种结果,故所求概率为20C 310＝16.2．已知函数f(x)＝log a x －3log a 2,a ∈{15,14,2,4,5,8,9},则f(3a ＋2)>f(2a)>0的概率为( )A.13B.37C.12D.47解析：选B.因为a∈{15,14,2,4,5,8,9},所以3a ＋2>2a,又f(3a ＋2)>f(2a)>0,所以函数f(x)为单调递增函数． 因为f(x)＝log a x －3log a 2＝log a x8,所以a>1,又f(2a)>0,所以log a 2a8>0,所以2a 8>1,即a>4,则f(3a ＋2)>f(2a)>0的概率P ＝37.故选B.3．某同学同时掷两颗骰子,得到的点数分别为a,b,则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e>5的概率是________．解析：由e ＝1＋b2a2>5,得b>2a. 当a ＝1时,b ＝3,4,5,6四种情况；当a ＝2时,b ＝5,6两种情况,总共有6种情况． 又同时掷两颗骰子,得到的点数(a,b)共有36种结果． 所以所求事件的概率P ＝636＝16.答案：164．连续抛掷同一颗均匀的骰子,记第i 次得到的向上一面的点数为a i ,若存在正整数k,使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6,则称k 为幸运数字,则幸运数字为3的概率是________．解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次,所含基本事件总数n ＝6×6×6, 要使a 1＋a 2＋a 3＝6,则a 1,a 2,a 3可取1,2,3或1,1,4或2,2,2三种情况, 其所含的基本事件个数m ＝A 33＋C 13＋1＝10. 故幸运数字为3的概率为P ＝106×6×6＝5108.答案：51085．已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A,B 两组,每组4支,求： (1)A,B 两组中有一组恰好有2支弱队的概率； (2)A 组中至少有2支弱队的概率．解：(1)法一：3支弱队在同一组中的概率为C 15C 48×2＝17,故有一组恰好有2支弱队的概率为1－17＝67.法二：A 组恰有2支弱队的概率为C 23C 25C 48,B 组恰好有2支弱队的概率为C 23C 25C 48,所以有一组恰好有2支弱队的概率为C 23C 25C 48＋C 23C 25C 48＝67.(2)法一：A 组中至少有2支弱队的概率为C 23C 25C 48＋C 33C 15C 48＝12.法二：A,B 两组有一组中至少有2支弱队的概率为1(因为此事件为必然事件)．由于对A 组和B 组而言,至少有2支弱队的概率是相同的,所以A 组中至少有2支弱队的概率为12.6．在某大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率．解：(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ,那么P(E A )＝A 33C 25A 44＝140,即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E,那么P(E)＝A 44C 25A 44＝110,所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E －)＝1－P(E)＝910.(3)有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C 25A 33C 25A 44＝14,所以仅有一人参加A 岗位服务的概率P 1＝1－P 2＝34.。
新高考一轮复习人教A版第九章第五讲古典概型课件(44张)
2.(考向 1)已知 k∈Z，A→B＝(k,1)，A→C＝(2,4).若|A→B|≤4， 则△ABC 是直角三角形的概率是________.
解析：因为|A→B|＝ k2＋1≤4，所以－ 15≤k≤ 15.因 为 k∈Z，所以 k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC 为直 角三角形时，应有 AB⊥AC，AB⊥BC，或 AC⊥BC.由A→B·A→C ＝0，得 2k＋4＝0，所以 k＝－2.因为B→C＝A→C－A→B＝(2－ k,3)，由A→B·B→C＝0，得 k(2－k)＋3＝0，所以 k＝－1 或 3.
答案：ABD
题组三 真题展现 4.(2021 年全国甲)将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行， 则 2 个 0 不相邻的概率为( )
A.13
B.25
2
4
C.3
D.5
答案：C
5.(2021 年上海)已知花博会有四个不同的场馆 A，B， C，D，甲、乙两人每人选 2 个去参观，则他们的选择中， 恰有一个馆相同的概率为________.
答案：172
【题后反思】求解古典概型交汇问题的思路
【考法全练】 1.(考向 2)已知 a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数 f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是( )
5
1
A.12
B.3
1
1
C.4
D.6
解析：因为 a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，所以样本点 总数 n＝3×4＝12.
函数 f(x)＝ax2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数. ①当 a＝0 时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)， 即 a＝0，b＝－1. ②当 a≠0 时，需要满足ab≤1，符合条件的有(1，－1)， (1,1)，(2，－1)，(2,1)，共 4 种. 所以函数 f(x)＝ax2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数 的概率是152.
2021新高考数学新课程一轮复习课件：第十章 第5讲 古典概型
2．小题热身 (1)同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之和是 7 的概率是( ) A.16 B.13 C.12 D.23
答案 A
解析 记抛掷两枚骰子向上的点数分别为 a，b，则可得到数组(a，b ) 共有 36 组，其中满足 a＋b＝7 的共有 6 组，分别为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)， (5,2)，(6,1)，因此所求的概率为 P＝366＝16.
(4)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数
学书相邻的概率为( )
A.12 B.13 C.23 D.56
答案 C
解析 所有可能的排列方法有 A33＝6 种，2 本数学书相邻的排列方法有
A
2 2
·A
2 2
＝
4
种(先排列数学书，再把两本数学书作为整体和语文书进行排
列)．所以根据概率的计算公式，所求概率为46＝23.故选 C.
1111 A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B 解析 A，B，C，D 4 名同学排成一排有 A44＝24 种排法．当 A，C 之间 是 B 时，有 2×2＝4 种排法，当 A，C 之间是 D 时，有 2 种排法，所以所求 概率为4＋ 242＝14.
3．(2019·全国卷Ⅰ) 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5讲 古典概型
[考纲解读] 1.理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件 所含的基本事件数及事件发生的概率．(重点、难点)
2.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点之一．预 测 2021 年将会考查：①古典概型的基本计算； ②古典概型与其他知识相结合．题型以解答题为主，也可能出选择题、 填空题，与实际背景相结合，试题难度中等.
高考数学大一轮复习 第十章 第5节 古典概型课件
【尝试解答】 ①设两球标号之积为偶数为事件 A，则 其对立事件为两球标号之积为奇数，
P(A)＝1－P( A )＝1－CC4121CC1412＝43. ②对任意 x∈R，不等式 x2＋3x＋43ξ≥0 恒成立，则 x2＋ 3x＋43ξ＝0 的判别式，Δ≤9，9－136ξ≤0. 又 ξ∈N，ξ＝2,3,4. 当 ξ＝2 时，甲取 1 乙取 3，甲取 2 乙取 4，甲取 3 乙取 5， 甲取 4 乙取 2；
古典概型中基本事件数的计算方法 (1)列举法：此法适合于较简单的试验． (2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合 较复杂问题中基本事件数的探求． (3)列表法：对于表达形式有明显二维特征的事件采用此 法较为方便． (4)排列、组合数公式法．
二、古典概型 1．定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称 古典概型． 有限性 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
10
0.100
合计
100
1.00
(1)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高 的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试， 求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
(2)在(1)的前提下，学校决定在这 6 名学生中，随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试，求第 4 组至少有一名学生被 考官 A 面试的概率？
第五节 古典概型
[考情展望] 1.考查古典概型概率公式的应用，尤其是古 典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点.2.在解 答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分 析和解决问题的能力，难度以中档题为主．
高三数学一轮复习 第11章第5课时课件
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回 后，再从袋中随机取一个球，记下编号为 n，其 一切可能的结果(m，n)有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， 共 16 个． 又满足条件 n≥m＋2 的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)， 共 3 个，所以满足条件 n≥m＋2 的事件的概率为 P1＝136.
3．应用几何概型注意的问题 (1)对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算 事件的概率，关键在于能否将问题几何化；也可 根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建 立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个 结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体 结果构成一个可度量区域． (2)由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等 可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落 入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量 成正比，而与该区域的位置与形状无关．
所以满足条件的 A 点共有 5×5＝25 个．
(1)正好在第三象限的点有(－6，－6)，(－4， －6)，(－6，－4)，(－4，－4)4 个点． 故点 A 正好在第三象限的概率 P1＝245. (2)在 y 轴上的点有(0，－6)，(0，－4)，(0,0)， (0,1)，(0,3)5 个点．
故点 A 不在 y 轴上的概率 P2＝1－255＝45.
解析： (a，b)共有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)， (1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3， －1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)15 种情况． (1)Δ＝பைடு நூலகம்2－4a≥0. 有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6 种 情况，
2021古典概型优质课完美版PPT
本节课以引导发现法为主，利用多媒体辅助教学. 通
过“提出问题 思考问题 解决问题”的教学过程，
借助实物实验引导学生进行实验探究、观察类比、概括归
纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出
和解决，来激发学生的学习兴趣，让每一个学生充分地参
与到学习活动中来.
学法
教学，重要的不是教师的“教”而是学生的“学”。 基于这一认识，本节课让学生通过自主合作交流，主动获 取知识，并鼓励学生自我评价，做课堂的主人.
古典概型优质课
古 典 概 型
教材主体 知识结构
教学目标
教材的地位 和作用
教学的重难 点和关键
教 材 分 析
一、教材的地位和作用:
教 古典概型是一种特殊的数学模型，它承 接着前面学过的随机事件的概率及其性质，
材 它的引入能使概率值的存在性易于被学生理 解，有利于计算一些事件的概率，更有利于
分 解释生活中的一些问题，进而很好的激发学
返回
古 典 概 型
Part 1 教 实验材操分作析、汇总结果
教 教 类比材归分纳析、引出概念 （3）向上的点数之和是5的概P率ar是t 12多少？
试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”朝上的次数，要求每个小组 完成60次，最后由课代表汇总实验结果.
新课开始由课代表展示汇总的实验结果，学生料
试验结果
结果关系
硬币质地 “正面朝上”
“反面朝上”
两种随机事件的 可能性相等，即
是均匀的
它们的概率都是
1/2
我的设计意图“1：是“用2贴近“学3 生生“4活的“实5验，“激6 发六学种生随的机事件的 学骰习子质兴地趣，点汇”总实点验”结果点”让学点生”主动点参”与点观”察，可为能概性念相等，即
2021届新课标数学一轮复习讲义_第九章_第5讲_古典概型
第5讲 古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 2．古典概型(1)特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．[做一做]1．从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________． 解析：总的取法有：ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种， 其中含有a 的有ab ，ac ，ad ，ae 共4种，故所求概率为410＝25. 答案：252．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________． 解析：记“两人都中奖”为事件A ，设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0， 那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种． 其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，2种，所以P (A )＝26＝13.答案：131．辨明两个易误点(1)在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的．(2)概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.2．古典概型中基本事件的求法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x ，y )可以看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1，2)，(2，1)相同．(3)排列、组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识． [做一做]3．集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B.12 C.13 D.16解析：选C.从A ，B 中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2，2)，(3，1)2个基本事件，所以P ＝26＝13.4．在集合{x |x ＝n π6，n ＝1，2，3，…，10}中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________．解析：基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为2，故所求概率为P ＝210＝15.答案：15考点一__简单古典概型的求法__________________某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率. [解] (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.[规律方法] 求古典概型概率的基本步骤：(1)算出所有基本事件的个数n .(2)求出事件A 包含的所有基本事件数m . (3)代入公式P (A )＝mn，求出P (A )．1.甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个、700个、1 050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验．(1)求从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的件数；(2)从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这2个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的概率．解：(1)由抽样方法可知从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件数分别为1，2，3. (2)记抽取的6个零件为a 1，b 1，b 2，c 1，c 2，c 3.事件“这2个零件都不是甲车床加工的”的可能结果为(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共10种可能；事件“其中至少有一个是乙车床加工的”的可能结果为(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共7种可能．故所求概率为P ＝0.7.考点二__较复杂古典概型的概率(高频考点)______古典概型是考查的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计一起考查，属容易题，以考查基本概念为主．高考对本部分内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据概率求参数；(2)利用古典概型的概率公式求概率；(3)古典概型与统计的综合应用(下章讲解)．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率． [解] (1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ， 则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种． 所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.[规律方法] 求较复杂事件的概率问题的方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解． (2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．2.(1)从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.(2)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．(3)现有8名北京马拉松志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．①求A 1被选中的概率；②求B 1和C 1不全被选中的概率．解析：(1)由题意知n >4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1，4和2，3，所以P ＝2C 2n ＝114，即n 2－n－56＝0，解得n ＝－7(舍去)或n ＝8.(2)从10件产品中取4件，共有C 410种取法，取到1件次品的取法为C 13C 37种，由古典概型概率计算公式得P ＝C 13C 37C 410＝3×35210＝12. 答案：(1)8 (2)12(3)解：①从8人中选出通晓日语、俄语和韩语志愿者各1名的方法数是C 13C 13C 12＝18， A 1恰被选中的方法数是C 13C 12＝6.用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，P (M )＝618＝13.②“B 1和C 1不全被选中”包括“选B 1不选C 1”，“选C 1不选B 1”，“B 1和C 1都不选”这三个事件，分别记作事件A 、B 、C ，则A 、B 、C 彼此互斥，且有P (A )＝C 13C 13C 13C 12＝16，P (B )＝C 13C 12C 13C 13C 12＝13，P (C )＝C 13C 12C 13C 13C 12＝13，用N 表示这一事件，所以有P (N )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝56.考题溯源——求古典概型的概率掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )[解析] 掷两颗骰子，点数有以下情况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中点数和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为436＝19.[答案] B[考题溯源] 本考题“照搬”人教A 版必修3P 127的例3“同时掷两个骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？” 1.在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字的和是奇数的概率是( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6解析：选D.随机取出三个数字后，剩下两个数有(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)，共10种情况，和为奇数共有(1，2)、(1，4)、(2，3)、(2，5)、(3，4)、(4，5)，共6种情况，故和是奇数的概率为610＝0.6.2．投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1，2，3，4，5，6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)．点数积等于12的结果有：(2，6)，(3，4)，(4，3)，(6，2)，共4种，故所求事件的概率为436＝19.答案：191．若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是( )解析：选B.依题意，所求概率为P ＝A 22A 22A 44＝16.2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45解析：选B.取两个点的所有情况有10种，两个点距离小于正方形边长的情况有4种， 所以所求概率为410＝25.故选B.3．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )A.25B.35C.45D.15解析：选B.∵以1为首项，－3为公比的等比数列中的10个数为1，－3，9，－27，81，－243，729，－2 187，6 561，－19 683，其中有5个负数，1个正数1，共6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是610＝35.4．已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：选C.易知过点(0，0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14.5．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a ＞b ，b ＜c 时称为“凹数”(如213，312等)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16B.524C.13D.724解析：选C.由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个； 同理由1，2，4组成的三位自然数共6个；由1，3，4组成的三位自然数也是6个； 由2，3，4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个． 当b ＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”． 当b ＝2时，有324，423，共2个“凹数”． ∴三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13.6．某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是________．解析：男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是1－C 34C 36＝45.答案：457．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，记骰子落地后朝上的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为________． 解析：根据题意，可得x 的情况有6种，y 的情况也有6种，则骰子朝上的点数分别为x ，y 的情况有36种，若log 2x y ＝1，则y ＝2x ，其情况有1、2，2、4，3、6共3种，则满足log 2x y ＝1的概率是336＝112，故答案为112.答案：1128. 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA ，OB ，OC ，OD 的中点．在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG →＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________．解析：基本事件的总数是16，在OG →＝OE →＋OF →中，当OG →＝OP →＋OQ →，OG →＝OP →＋ON →，OG →＝ON →＋OM →，OG →＝OM →＋OQ →时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.答案：349．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)． (1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率；(2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．解：(1)由题意知，m ∈{1，2，3，4，5，6}，n ∈{1，2，3，4，5，6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种． 使得a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3，1)、(6，2)，所以事件a ⊥b 的概率为236＝118.(2)|a |≤|b |，即m 2＋n 2≤10.共有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)6种使得|a |≤|b |，其概率为636＝16.10．海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C 数量50150100(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有： {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.1．从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.712解析：选A.设两名女生为a 1，a 2，两名男生为b 1，b 2，则所有可能如下：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，共12种，其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况，所以其概率为P ＝412＝13，故选A.2．连掷两次骰子得到的点数依次为m 和n ，若记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－2)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________．解析：依题意，θ为锐角，则a·b ＞0，则m －2n ＞0，m ＞2n 连续掷两次骰子的所有可能结果为36种， 其中满足m ＞2n 的有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共6种，所以所求概率为636＝16.答案：163．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5)和一个正四面体(四个面上分别标有数字1，2，3，4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋b i.(1)若集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率． 解：(1)A ＝{6i ，7i ，8i ，9i}． (2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的事件为B . 当a ＝0时，b ＝6，7，8，9满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝1时，b ＝6，7，8满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝2时，b ＝6，7，8满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝3时，b ＝6满足a 2＋(b －6)2≤9.即B 为(0，6)，(0，7)，(0，8)，(0，9)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，6)共计11个． 所以所求概率P ＝1124.4．在APEC 会议期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且x＜y”．(1)共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．解：(1)共有36个基本事件，列举如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)，(8，9)．(2)记事件“所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A，即事件A为“x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且11≤x＋y＜17，其中x＜y”，由(1)可知事件A共含有15个基本事件，列举如下：(2，9)，(3，8)，(3，9)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，8)，(7，9)．“所抽取的两名记者都是男记者”记作事件B，则事件B为“x，y∈{1，2，3，4，5}，且x＜y”，包含(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．故P(A)＋P(B)＝1536＋1036＝2536.5．已知集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}，Q＝{y|y＝2n－1，1≤n≤2，n∈N*}，M＝P∪Q.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，试计算：(1)点A正好在第三象限的概率；(2)点A不在y轴上的概率；(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的概率．解：由集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}可得P＝{－6，－4，0}，由Q＝{y|y＝2n－1，1≤n≤2，n∈N*}可得Q ＝{1，3}，则M＝P∪Q＝{－6，－4，0，1，3}，因为点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，所以满足条件的点A的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6，0)，(－6，1)，(－6，3)，…，(3，3)，共25种．(1)点A正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A正好在第三象限的概率P1＝4 25.(2)点A在y轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0，0)，(0，1)，(0，3)，共5种，故点A不在y轴上的概率P2＝1－525＝4 5.(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的可能情况为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(3，1)，(1，3)，(3，0)，(0，3)，(1，1)．共8种，故点A落在区域x2＋y2≤10上的概率P3＝825.。
2021版高考数学(文)(全国通用版)课件：古典概型
下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马
获胜的概率为( A )
A．13
B．49
C．59
D．23
解析 设齐王的三匹马按上等、中等、下等分别记为 a1，a2，a3，田忌的三匹马 按上等、中等、下等分别记为 b1，b2，b3.齐王与田忌赛马，其情况有(a1，b1)，(a1， b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，共 9 种； 其中田忌的马获胜的有(a2，b1)，(a3，b1)，(a3，b2)，共 3 种，则田忌获胜的概率为39＝ 13.故选 A．
(2)设“a⊥b”为事件 B，则 y＝3x.事件 B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共 2 个．故 a⊥b 的概率为 P(B)＝29.
1．下列试验中，是古典概型的个数为( B ) ①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；
②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；
③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；
解析 (1)当甲、乙两个小组的数学平均成绩相等时，由14×(87＋89＋91＋93)＝14 ×[85＋90＋91＋(90＋m)]，得 m＝4，设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件 A，m 的取值有 0,1,2，…，9，共有 10 种可能．当 m＝4 时，甲、乙两个小组的数学 平均成绩相同，
∴当 m＝5,6,7,8,9 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有 5 种可能， ∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为 P(A)＝150＝12.
第九章
概率
第51讲 古典概型
考纲要求
考情分析
命题趋势
2021高考北师版(理科)数学一轮复习讲义： 第10章 第5节 古典概型
第五节古典概型[考纲] 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的根本领件数及事件发生的概率．1．古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性一样．2．古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝mn.1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽〞属于古典概型，其根本领件是“发芽与不发芽〞．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面〞“一正一反〞“两个反面〞，这三个结果是等可能事件．()(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性一样．()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1〞的概率．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)以下试验中，是古典概型的个数为()①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．A．0B．1C．2D．3B[由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]3．(2021·全国卷Ⅲ)小敏翻开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，那么小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B．18C.115D．130C[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝1 15.]4．(2021 ·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，那么称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，那么这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B．15C.110D．120C[从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.应选C.]5．甲、乙两名运发动各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，那么他们选择一样颜色运动服的概率为________．13[由乘法计数原理，两人各选一种运动服有3×3＝9种方法，其中同色的有3种情况．所以所求事件的概率P＝39＝13.]简单古典概型的概率(1)(2021·佛山质检)袋中共有15个除了颜色外完全一样的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.521B．1021C.1121D．1(2)(2021 ·江苏高考)袋中有形状、大小都一样的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，那么这2只球颜色不同的概率为______．(1)B(2)56[(1)从袋中任取2个球共有C215＝105种取法，其中恰好1个白球，1个红球共有C110C15＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球，1个红球的概率为50105＝10 21.(2)由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P＝C24－C22C24＝56.][规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算根本领件总个数n；(2)计算事件A所包含的根本领件的个数m；(3)代入公式求出概率P.2．确定根本领件个数的方法：(1)根本领件较少的古典概型，用列举法写出所有根本领件时，可借助“树状图〞列举，以便做到不重、不漏．(2)利用计数原理、排列与组合的有关知识计算根本领件．[变式训练1](1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，那么这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为()A.15B．25C.35D．45(2)(2021·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，那么出现向上的点数之和小于10的概率是________．(1)C(2)56[(1)设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．所以所求事件的概率P＝1－410＝35.(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10〞，其对立事件A＝“出现向上的点数之和大于或等于10〞，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(A)＝636＝16，所以P(A)＝1－16＝56.]复杂的古典概型的概率(2021 ·四川卷改编)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．[解](1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34 C36C36＝1100. 3分因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100. 5分(2)设参赛的4人中女生有ξ人，ξ＝1,2,3.那么P(ξ＝2)＝C23C23C46＝35，P(ξ＝3)＝C33C13C46＝15. 10分由互斥事件的概率加法公式可知，P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45. 12分[规律方法] 1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．[变式训练2](2021·山东高考)某儿童乐园在“六一〞儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图10-5-1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停顿转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规那么如下：图10-5-1①假设xy≤3，那么奖励玩具一个；②假设xy≥8，那么奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比拟小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[解]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，那么根本领件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以根本领件总数n＝16. 3分(1)记“xy≤3〞为事件A，那么事件A包含的根本领件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516. 5分(2)记“xy≥8〞为事件B，“3<xy<8〞为事件C.那么事件B包含的根本领件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝616＝38. 8分事件C包含的根本领件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1). 10分所以P(C)＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 12分古典概型与统计的综合应用(2021 ·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比拟两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；图10-5-2(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级〞．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．[解](1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：2分通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比拟集中，B地区用户满意度评分比拟分散. 5分(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意〞；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意〞；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意〞；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意〞；那么C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，且C＝C B1C A1＋C B2C A2.∴P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)＝P(C B1C A1)＋P(C B2C A2)＝P(C B1)P(C A1)＋P(C B2)P(C A2). 8分又根据茎叶图知P(C A1)＝1620，P(C A2)＝420，P(C B1)＝1020，P(C B2)＝820. 10分因此P(C)＝1020×1620＋820×420＝1225＝0.48. 12分[规律方法] 1.此题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考察数据处理能力和数学应用意识．2．有关古典概型与统计结合的题型是高考考察概率的一个重要题型，已成为高考考察的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．[变式训练3]海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进展抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进展检测.地区 A B C数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)假设在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进展进一步检测，求这2件商品来自一样地区的概率．[解](1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，2分所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2. 5分(2)从6件样品中抽取2件商品的根本领件数为C26＝6×52×1＝15，每个样品被抽到的时机均等，因此这些根本领件的出现是等可能的. 8分记事件D：“抽取的这2件商品来自一样地区〞，那么事件D包含的根本领件数为C23＋C22＝4，所以P(D)＝415. 10分故这2件商品来自一样地区的概率为415. 12分[思想与方法]1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的根本领件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的根本领件有多少个．2．确定根本领件的方法(1)当根本领件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法；(3)利用计数原理、排列与组合知识计算．3.较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．[易错与防范]古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算根本领件总数和事件包括的根本领件个数时，它们是否是等可能的．。
(新高考题型版)高三高考数学一轮复习11.5 古典概型课件(80张)
答案
1 9
解析 根据题意可得样本点共有 6×6＝36 个，点数和为 5 的样本点有
(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，共 4 个，∴向上的点数和为 5 的概率为346＝19.
解析 答案
6．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已 过保质期的概率为________(结果用最简分数表示)．
解 (1)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数， 样本空间 Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)， (2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)， (4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)， (6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共有 36 个样本点， 事件 A 包含的样本点有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共 5 个样本点， ∴事件 A 发生的概率为 P(A)＝356.
而C不具备等可能性，故不是古典概型．故选ABD.
解析 答案
3．(2021·全国甲卷)将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻
的概率为( )
1 A.3
B．25
C．23
D．45
解析 将 4 个 1 和 2 个 0 安排在 6 个位置，选择 2 个位置安排 0，共有
C26种排法；将 4 个 1 排成一行，把 2 个 0 插空，即在 5 个位置中选 2 个位 置安排 0，共有 C25种排法．所以 2 个 0 不相邻的概率 P＝CC2625＝23.故选 C.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
网中随机地选择一条最短路径，由小区 A 前往小区 H，则他不经过市中心 O 的概率
是
(A )
A．13
B．23
C．14
D．34
(2)(2020·广东百校联考)十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十 二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌 狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取 一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢
第二次出现的点数为 n，向量 p＝(m，n)，＝(2,1)，则向量 p∥q 的概率为 ( B )
A．118
B．112
C．19
D．16
[解析] ∵向量 p∥q，∴m－2n＝0，∴m＝2n，满足条件的(m，n)有 3 个：(2,1)，
(4,2)，(6,3)，又基本事件的总数为 36，∴P＝336＝112，故选 B．
4．(2019·课标全国Ⅲ，3)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学
相邻的概率是( D )
A．16
B．14
C．13
D．12
[解析] 记“两位女同学相邻”为“事件 A”，则 P(A)＝AA23A44 22＝12，故选 D．
5．(2019·课标全国Ⅱ)生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标．若
1．任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和． 2．求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和 树状图法．
题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论中正确的是( CD ) A．掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结 果是等可能事件 B．从市场上出售的标准为 500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古 典概型 C．有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各 个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13 D．从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是 0.2
知识点二 古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件__只__有__有__限__个____． (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性__相__等____． 知识点三 古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)＝________基__本__事__件__的__总__数__________．
D．1116
(4)(2019·湖北省调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过
人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、
书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知
识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”
C．12
D．58
[解析] 直线 l：y＝x 与双曲线 C 的左、右支各有一个交点，则ba>1，基本事件总 数为 4×4＝16，满足条件的(a，b)的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)， 共 6 个，故概率为38．
角度 3 古典概型与函数的交汇
例 4 (2019·吉林省实验中学月考)已知函数 f(x)＝13x3＋ax2＋b2x＋1，若 a 是从
B．114
C．115
D．118
(3)(2019·全国Ⅰ，6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重
卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就
是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是( A )
A．156
B．3112
C．2312
题组二 走进教材
2．(P133T3 改编)袋中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个黑球，从中任取两球，则取
1
11
出的两球有黑球的概率为___3___，两球不同色的概率为__1_5___．
[解析] 记“取出两球有黑球”为事件 A，则 P(A)＝CC1526＝155＝13，两球不同色的 取法有 11 种，记“取出两球不同色”为事件 B，则 P(B)＝C13C12＋CC13C25 11＋C12C11＝1115.
必须分开安排的概率为( C )
A．670
B．16
C．1630
D．14
[解析] (1)解法一：画出树状图如图：
可知所有的基本事件共有 25 个，满足题意的基本事件有 10 个，故所求概率 P＝ 1205＝25.故选 D．
解法二：P＝C14＋CC13＋15·CC1512＋C11＝25.故选 D． (2)由题意，知不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个，而和为 30 的有 7 和 23,11 和 19,13 和 17，共 3 对，所以 P＝C3210＝115.
角度 2 古典概型与解析几何的交汇
例 3 (2019·甘肃兰州模拟)双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)，其中 a∈{1,2,3,4}，
b∈{1,2,3,4}，且 a，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线 l：y＝x 与双曲线 C 的
左、右支各有一个交点的概率为
(B )
A．14
B．38
由间接法得到满足条件的情况有 A55－C13A22A33
共有：A55－C13A22A33＋A55－C14A22A33种情况，不考虑限制因素，总数有 A66种， 故满足条件的事件的概率为： A55－C13A22A33A＋66A55－C14A22A33＝1630，故答案为 C． 解法二：当“数”位于第一位时，有 A33A24种；当“数”位于第二位时，有 C12A44 ＋C13A22A22种，总排法有 A66种，∴所求概率 P＝A33A42＋C12AA4466＋C13A22A22＝1630.
求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件 的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树 状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．
〔变式训练 1〕
(1)(2019·四川省内江市模拟)某城市有连接 8 个小区 A、B、C、D、E、F、G、H
和市中心 O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路
解法二：记“恰有 2 只测量过该指标”为事件 A，则 P(A)＝CC23C35 12＝35，故选 B．
考点突破 • 互动探究
考点一 简单的古典概型问题——自主练透
例 1 (1)(2017·课标全国Ⅱ)从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，
放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为
(B )
A．23
B．35
C．25
D．15
[解析] 解法一：记 5 只兔子分别为 A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的 3 只兔子为 A，B，C，则从这 5 只兔子中，随机取出 3 只的基本事件有 ABC，ABD， ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共 10 种，其中恰有 2 只测量过 该指标的基本事件有 ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共 6 种，所以所求事件 的概率 P＝160＝35.故选 B．
3 外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是___8_8__．
[解析] (1)此人从小区 A 前往 H 的所有最短路径为： A→B→C→E→H，A→B→O→E→H， A→B→O→G→H，A→D→O→E→H， A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共 6 条． (或 C24＝6) 记“此人不经过市中心 O”为事件 M，则 M 包含的基本事件数为 2，∴P(M)＝26 ＝13，故选 A．
3 ABC 是直角三角形的概率是___7___．
(2)(角度 2)连掷骰子两次得到的点数分别记为 a 和 b，则使直线 3x－4y＝0 与圆(x
－a)2＋(y－b)2＝4 相切的概率为
(B )
A．16
B．118
C．19
D．13
(3)(角度 3)(2020·四川威远中学月考)若 a，b∈{－1,0,1,2}，则函数 f(x)＝ax2＋2x
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第五讲 古典概型
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是__互__斥____的． (2)任何事件都可以表示成__基__本__事__件____的和(除不可能事件)．
(D )
A．110
B．15
C．130
D．25
(2)(2018·课标Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先
的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30＝7
＋23.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是( C )
A．112
题组三 考题再现
3．(2020·河南百校联盟联考)2019 年 7 月 1 日，《上海市生活垃圾管理条例》正式
实施，生活垃圾要按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准
进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚，若某上海
居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可
(3)重卦是由从下到上排列的 6 个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故 所有的重卦共有 26＝64 种，重卦中恰有 3 个“阳爻”的共有 C36×C33＝20 种．故所求 概率 P＝2604＝156，故选 A．