江苏师范大学分析化学课件第三章 误差与分析数据的处理
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03 分析化学中的误差及数据处理.ppt
系统误差的校正方法： 选择标准方法、提纯试剂和使用校正值等办法加以消
除。常采用对照试验和空白试验的方法。
17
2. 偶然误差产生的原因、性质及减免
产生的原因：由一些无法控制的不确定因素引起的。 （1）如环境温度、湿度、电压、污染情况等的变化引起样品质 量、组成、仪器性能等的微小变化； （2）操作人员实验过程中操作上的微小差别； （3）其他不确定因素等所造成。 性质：时大时小，可正可负。 减免方法：无法消除。通过增加平行测定次数, 降低；
x 37.45% 37.20% 37.50% 37.30% 37.25% 37.34% 5
n
d
di
i 1
0.11 0.14 0.16 0.04 0.09% 0.11%
n
5
n
s
di2
i 1
(0.11)2 (0.14)2 (0.16)2 (0.04)2 (0.09)2 % 0.13%
4
3. 讨论
(1) 绝对误差相等，相对误差并不一定相同; (2) 同样的绝对误差，被测定的量较大时，相对误差就比较小,
测定的准确度也就比较高;（选分子量大的基准物质） (3) 用相对误差来表示各种情况下测定结果的准确度更为确切; (4) 绝对误差和相对误差都有正值和负值。正值表示分析结果
偏高，负值表示分析结果偏低; (5) 实际工作中，真值实际上是无法获得;
P48 例4
度，用耗0.去10H00Cml 2o5l..L0-01（mLC（2）VH2）Cl，标已准知溶用液移标液定管20量.00取m溶L液（使V1得）标N准aO偏H差溶为液s的1＝浓 0度.0是2 m准L确，的每，次计读算取N滴aO定H管溶读液数的时浓的度偏。差为s2＝0.01 mL，假设HCl溶液的浓 解：计算NaOH溶液的浓度（C1）
除。常采用对照试验和空白试验的方法。
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2. 偶然误差产生的原因、性质及减免
产生的原因：由一些无法控制的不确定因素引起的。 （1）如环境温度、湿度、电压、污染情况等的变化引起样品质 量、组成、仪器性能等的微小变化； （2）操作人员实验过程中操作上的微小差别； （3）其他不确定因素等所造成。 性质：时大时小，可正可负。 减免方法：无法消除。通过增加平行测定次数, 降低；
x 37.45% 37.20% 37.50% 37.30% 37.25% 37.34% 5
n
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i 1
0.11 0.14 0.16 0.04 0.09% 0.11%
n
5
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di2
i 1
(0.11)2 (0.14)2 (0.16)2 (0.04)2 (0.09)2 % 0.13%
4
3. 讨论
(1) 绝对误差相等，相对误差并不一定相同; (2) 同样的绝对误差，被测定的量较大时，相对误差就比较小,
测定的准确度也就比较高;（选分子量大的基准物质） (3) 用相对误差来表示各种情况下测定结果的准确度更为确切; (4) 绝对误差和相对误差都有正值和负值。正值表示分析结果
偏高，负值表示分析结果偏低; (5) 实际工作中，真值实际上是无法获得;
P48 例4
度，用耗0.去10H00Cml 2o5l..L0-01（mLC（2）VH2）Cl，标已准知溶用液移标液定管20量.00取m溶L液（使V1得）标N准aO偏H差溶为液s的1＝浓 0度.0是2 m准L确，的每，次计读算取N滴aO定H管溶读液数的时浓的度偏。差为s2＝0.01 mL，假设HCl溶液的浓 解：计算NaOH溶液的浓度（C1）
第3章误差和分析数据处理-PPT精选文档
· · ·· · · x
kn
若k有限(k＜20)，则为平均值的样本标 准偏差，用 s x 表示，且： s s x = ——
n
x2
· · ·· · · k
x
显然，不管是σx 或 s x ，均小于σ、s， 即平均值的结果优于单次测量。
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2019/2/18
第三章 误差和分析数据的处理 将二者的关系(以样本标准偏差为例)变形：
1 Er = 100 % =50% 2
称200g物体为201g，Ea=201－200=1(g)
1 Er = 100 %=0.5% 200
故常用 Er 反映测定结果的准确度。
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第三章 误差和分析数据的处理
第二节 准确度和精密度
二、精密度
某测定值与测定平均值相互接近的程度。 通常用“偏差”来衡量 。
测定值与测定平均值之差异。其值越小，结果的精密度越高 （也可理解为偏差越小，测定数据越集中，反之则越分散）。
偏差的表示方法有多种。 1.绝对偏差：测定值与测定平均值之差，用 d 表示 。
如对某一样品进行了一组测定，次数为n，测定结果分别为：x1、x2 … xn, 则第 i 次测定： d i = x i－ x （i =1，2，…n) n x x x 1 其中 n x 1 2 x i n ni 1
第二节 准确度和精密度
一、准确度
测定值与真实值相互接近的程度。 通常用“绝对误差”或“相对误差”来反映 。
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第三章 误差和分析数据的处理
第二节 准确度和精密度
kn
若k有限(k＜20)，则为平均值的样本标 准偏差，用 s x 表示，且： s s x = ——
n
x2
· · ·· · · k
x
显然，不管是σx 或 s x ，均小于σ、s， 即平均值的结果优于单次测量。
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第三章 误差和分析数据的处理 将二者的关系(以样本标准偏差为例)变形：
1 Er = 100 % =50% 2
称200g物体为201g，Ea=201－200=1(g)
1 Er = 100 %=0.5% 200
故常用 Er 反映测定结果的准确度。
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第三章 误差和分析数据的处理
第二节 准确度和精密度
二、精密度
某测定值与测定平均值相互接近的程度。 通常用“偏差”来衡量 。
测定值与测定平均值之差异。其值越小，结果的精密度越高 （也可理解为偏差越小，测定数据越集中，反之则越分散）。
偏差的表示方法有多种。 1.绝对偏差：测定值与测定平均值之差，用 d 表示 。
如对某一样品进行了一组测定，次数为n，测定结果分别为：x1、x2 … xn, 则第 i 次测定： d i = x i－ x （i =1，2，…n) n x x x 1 其中 n x 1 2 x i n ni 1
第二节 准确度和精密度
一、准确度
测定值与真实值相互接近的程度。 通常用“绝对误差”或“相对误差”来反映 。
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第三章 误差和分析数据的处理
第二节 准确度和精密度
第三章 分析化学中的误差与数据处理解读
平均偏差
例4：有两组测定值 甲组：2.9 2.9 3.0 3.1 3.1
乙组：2.8 解：甲组：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.0
3.0
3.0
3.2
平均值=3.0 平均偏差=0.08
乙组：
平均值=3.0 平均偏差=0.08
5)标准偏差：又称均方根偏差,当测定次数趋于无限 多时，称为总体标准偏差，用σ 表示。
总体标准差：
d
i 1
n
xi x n
4)相对平均偏差：平均偏差与测量平均值的比值
d 相对平均偏差 % 100% x
x
i 1
n
i
x 100%
nx
说明：平均偏差不计正负号.
缺点：小偏差的测定总是占多数，大偏差的测定总
是占少数，按总的测定次数去求平均偏差所得的结
果偏小，大偏差得不到充分的反映。
标准参考物质：指某些具有确定含量的组分，在实际
样品定量测定中用作计算被测组分含量的直接或间接 的参照标准的一类物质。 经公认的权威机构鉴定并给予证书的 具有很好的均匀性和稳定性 含量测量的准确度至少高于实际测量3倍
例1：用分析天平称量两物体的质量各为1.6380g和0.1637g， 假定两者的真实质量分别为1.6381g和0.1638g,求两者称量的 绝对误差 和相对误差。 解：两者称量的绝对误差分别为
精密度: 平行测定结果相互靠近的程度，用偏差衡量。
偏差: 测量值与平均值的差值，用 d表示
1）绝对偏差：个别测量值与平均值之间的差值, 用 d表示。 各单次测定的偏差相 加，其和为零。
∑ di = 0
2）相对偏差：绝对偏差与平均值的比值。
dr
第3章分析化学中的误差与数据处理(7学时)PPT课件
第3章：分析化学中的误差与数据处理
7
公差
公差是生产部门对分析结果误差允许的一种限量，如果 误差超出允许的公差范围，该项分析工作就应重做。 确定公差范围的因素： 实际情况对分析结果准确度的要求。 试样组成及待测组分含量。 各种分析方法所能达到的准确度。
第3章：分析化学中的误差与数据处理
8
2、偏差与精密度 精密度(precision)：平行测量值的相互符合程度。 偏差（deviation): 表示精密度高低的量。偏差小，精密度高。 偏差的表示法：
分析化学
Analytical Chemistry
第3章：分析化学中的误差与数据处理
前言
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第3章 分析化学中的误差与数据处理
3.1 分析化学中的误差 3.2 有效数字及其运算规则 3.3 分析化学中的数据处理 3.4 回归分析法
V 20.00 mL 2.00 mL
Ea 0.02 mL 0.02 mL
称量误差
称样质量应大于0.2g
m 0.2000 g 0.0200 g
Ea 0.2 mg 0.2 mg
第3章：分析化学中的误差与数据处理
Er 0.1% 1%
Er 0.1% 1%
11
实例2：测定含铁样品中w(Fe), 比较结果的准确度
xi T
测定结果的绝对误差（Absolute error）：表示测量值与真值（T）的差。
Ea xT
测定结果的相对误差（Relative error）：表示误差在真值中所占的百分率。
Er
Ea T
100%
测量值大于真实值，误差为正误值；测量值小于真实值，误差为负误值。误差 越小，测量值的准确度越好；误差越大，测量值的准确度越差。
第三章误差和分析数据的处理
2013-8-6
第二节
测定值的准确度 与精确度
一、准确度与误差 二、精密度与偏差 三、准确度与精密度的关系
2013-8-6
一、准确度与误差
(一)准确度—分析结果(X)与真实值(T)的接近程度 误差—衡量准确度高低的标志(取决于系统误 差和随机误差) （二）误差的表示 误差可以用绝对误差和相对误差来表示。 绝对误差 相对误差 Ea＝X－T Ea Er＝ 100% T
2
相对标准偏差(即变异系数)
2013-8-6
Sr
S
X
100%
三.准确度和精密度的关系
准确度和精密度——分析结果的衡量指标。 (1)准确度──分析结果与真实值的接近程度； 准确度的高低用误差来衡量；主要受系统误差和 随机误差的综合影响。 (2)精密度──几次平衡测定结果相互接近的程 度；精密度的高低用偏差来衡量；主要受随机误 差影响。
2013-8-6
第三节 随机误差的 正态分布
规律： (1)正误差和负误差出现 的几率相等； (2)小误差出现的频率较 高，而大误差出现的频 率较低，很大误差出现 的几率近于零。 (3)平均值出现的频率最 高。在消除了系统误差 后，平均值就是真值。
2013-8-6
第四节
有限测定数据的 统计处理
一、置信度与置信区间 二、可疑测定值的取舍
2013-8-6
［H+］= 2.1×10-13 mol/L pH = -lg (2.1×10-13)
= -lg 2.1-lg10-13
= 13-0.32
= 12.68
2013-8-6
（３）.测量或计算得到400、3800、5000等这 样的数据，则有效位数模糊。应根据测定的实际
情况，用科学计数法表示。
第二节
测定值的准确度 与精确度
一、准确度与误差 二、精密度与偏差 三、准确度与精密度的关系
2013-8-6
一、准确度与误差
(一)准确度—分析结果(X)与真实值(T)的接近程度 误差—衡量准确度高低的标志(取决于系统误 差和随机误差) （二）误差的表示 误差可以用绝对误差和相对误差来表示。 绝对误差 相对误差 Ea＝X－T Ea Er＝ 100% T
2
相对标准偏差(即变异系数)
2013-8-6
Sr
S
X
100%
三.准确度和精密度的关系
准确度和精密度——分析结果的衡量指标。 (1)准确度──分析结果与真实值的接近程度； 准确度的高低用误差来衡量；主要受系统误差和 随机误差的综合影响。 (2)精密度──几次平衡测定结果相互接近的程 度；精密度的高低用偏差来衡量；主要受随机误 差影响。
2013-8-6
第三节 随机误差的 正态分布
规律： (1)正误差和负误差出现 的几率相等； (2)小误差出现的频率较 高，而大误差出现的频 率较低，很大误差出现 的几率近于零。 (3)平均值出现的频率最 高。在消除了系统误差 后，平均值就是真值。
2013-8-6
第四节
有限测定数据的 统计处理
一、置信度与置信区间 二、可疑测定值的取舍
2013-8-6
［H+］= 2.1×10-13 mol/L pH = -lg (2.1×10-13)
= -lg 2.1-lg10-13
= 13-0.32
= 12.68
2013-8-6
（３）.测量或计算得到400、3800、5000等这 样的数据，则有效位数模糊。应根据测定的实际
情况，用科学计数法表示。
03第3章分析化学中的误差及数据处理-04.ppt
X t s
n
置信区间：一定置信度（概率）下，以平均值为中心， 能够包含真值的区间（范围） 置信度越高，置信区间越大
分析化学
例：分析铁矿石中铁的含量，在一定条件下，平行测定了 五次，其结果分别为：39.10%、39.12%、39.19%、39.17% 和39.22%。(1)求置信度为95%时平均值的置信区间。(2)如 果要使置信度为95%时平均值的置信区间为±0.05，问至少 应平行测定多少次？ 解: (1) x=39.16%, s=0.05%, f=n-1=5-1=4
分析化学
例：用Na2CO3作基准实际，对比HCl溶液的浓度进行标定， 共做了六次，其结果为：0.5050，0.5042，0.5086，0.5063， 0.5051和0.5064mol/L，试问0.5086mol/L这个数据是否应弃去？ （置信度为90%） 解： （1）0.5042，0.5050，0.5051，0.5063，0.5064，0.5086
分析化学
可疑数据的取舍 过失误差的判断 4d法 偏差大于4d的测定值可以舍弃 步骤： 求异常值(Qu)以外数据的平均值和平均偏差 如果Qu- >4d, 舍去
分析化学
x
Q 检验法 步骤：
（1） 数据排列 X1 X2 …… Xn
（2） 求极差
Xn - X1
（3） 求可疑数据与相邻数据之差
Xn - Xn-1 或 X2 -X1 （4） 计算：
分析化学
3.3 分析化学中的数据处理
总体：在统计学中，对于所考察的对象的全体，称为总体。 个体：组成总体的每个单元。 样本（子样）：自总体中随机抽取的一组测量值。 样本容量 n，自由度 f＝n-1：样品中所包含个体的数目。 例题： 分析湘江水总硬度，依照取样规则，从湘江取来供分析用 2000ml样品水，这2000ml样品水是供分析用的总体，如果 从样品水中取出12个试样进行平行分析，得到12个分析结 果，则这组分析结果就是湘江样品水的一个随机样本，样 本容量为12。
n
置信区间：一定置信度（概率）下，以平均值为中心， 能够包含真值的区间（范围） 置信度越高，置信区间越大
分析化学
例：分析铁矿石中铁的含量，在一定条件下，平行测定了 五次，其结果分别为：39.10%、39.12%、39.19%、39.17% 和39.22%。(1)求置信度为95%时平均值的置信区间。(2)如 果要使置信度为95%时平均值的置信区间为±0.05，问至少 应平行测定多少次？ 解: (1) x=39.16%, s=0.05%, f=n-1=5-1=4
分析化学
例：用Na2CO3作基准实际，对比HCl溶液的浓度进行标定， 共做了六次，其结果为：0.5050，0.5042，0.5086，0.5063， 0.5051和0.5064mol/L，试问0.5086mol/L这个数据是否应弃去？ （置信度为90%） 解： （1）0.5042，0.5050，0.5051，0.5063，0.5064，0.5086
分析化学
可疑数据的取舍 过失误差的判断 4d法 偏差大于4d的测定值可以舍弃 步骤： 求异常值(Qu)以外数据的平均值和平均偏差 如果Qu- >4d, 舍去
分析化学
x
Q 检验法 步骤：
（1） 数据排列 X1 X2 …… Xn
（2） 求极差
Xn - X1
（3） 求可疑数据与相邻数据之差
Xn - Xn-1 或 X2 -X1 （4） 计算：
分析化学
3.3 分析化学中的数据处理
总体：在统计学中，对于所考察的对象的全体，称为总体。 个体：组成总体的每个单元。 样本（子样）：自总体中随机抽取的一组测量值。 样本容量 n，自由度 f＝n-1：样品中所包含个体的数目。 例题： 分析湘江水总硬度，依照取样规则，从湘江取来供分析用 2000ml样品水，这2000ml样品水是供分析用的总体，如果 从样品水中取出12个试样进行平行分析，得到12个分析结 果，则这组分析结果就是湘江样品水的一个随机样本，样 本容量为12。
分析化学课件(3)
R=mAn d. 对数运算
sR/R=nsA/A
R=mlgA
sR=0.434msA/A
12
3）极值误差传递公式 极值误差：最大可能误差 作用：简单方便的估计最大误差
加减法：R=A+B-C ER=|EA|+|EB|+|EC| 乘除法：R＝AB/C ER/R=|EA/A|+|EB/B|+|EC/C|
1 基本概念介绍
⑴ 总体： 考察对象的全体; ⑵ 样本： 从总体中随机抽取的一组测量值; ⑶ 样本容量 n：样本中所含测量值的数目; ⑷ 自由度： f＝n-1;
…
⑸ 样本平均值：平行测定的各测量值的算数平均值
x
x1 x2
xn n
1 n
n
xi
i 1
x
23
1.基本概念介绍
⑹ 总体平均值 μ ：测定次数n无限增多时的平均值 x
量筒 (0.1mL):
4.0mL(2)
17
2 有效数字修约规则 四舍六入五成双
被修约数字≤4时舍; 被修约数字≥6时入 被修约数字＝5时,
若5前的数为奇数则进位成双，偶数舍5; 若5后面还有不是0的任何数皆入
18
例 下列值修约为四位有效数字
0.324 74 0.324 75 0.324 76 0.324 85 0.324 851 ➢ 禁止分次修约
7
3. 准确度与精密度的关系
1.精密度高是准确度高的前提; 2.精密度高不一定准确度高
精密度高，准确度பைடு நூலகம்高，可能存x1在系统误差!
消除系统误差后,可x用2 精密度表达准确度.
准确度x3及精密度都高----结果可靠
x4
8
4 系统误差与随机误差(按原因分类)
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四、随机误差的区间概率
P( u ) (u )du
1 2 1
e
u2 2
du
2019/3/31
28
S
1 2
u
0
e
u2 du 2
当u 1时,
S 0.341
曲线下面积
Y
正态分布概率积分表
|u| 0.674 1.000 1.645 S 0.2500 0.3413 0.4500 0.4750 0.4773 0.4987 0.4987 0.500 0.990 0.997 1.000
2019/3/31
推测有关总体的情况
33
一、置信度与µ 的置信区间
置信度 ( Confidence Level) ：
在某一定范围内测定值或误差出现的概率 。
置信区间 (Confidence Interval) ：
在一定的置信度下(把握性), 估计总体均值可 能存在的区间, 称置信区间.
2019/3/31
21
§3.3 随机误差的分布规律
一、频率分布
事例：
w(BaCl2· 2H2O)： n=173， 98.9 ~100.2%， 0.1%组距,
分14组。
2019/3/31 22
频数分布表
组号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2019/3/31
分
98.85 ～ 98.95 ～ 99.05 ～ 99.15 ～ 99.25 99.35 99.45 99.55 99.75 99.85 ～ ～ ～ ～ ～ ～
误差及分析数据的统计处理
§3.1 误差及产生的原因
§3.2 分析结果的数据处理
§3.3 随机误差的正态分布
§3.4 有限测定数据的统计处理
§3.5 有效数字及其运算规则
§3.6 提高分析结果准确度的方法
2019/3/31 1
§3.1 误差及其产生的原因
误差：分析结果与真实值之间的差值。
• 系统误差(Systematic Error)
29
2S 0.683 0.950
0.2
1.960 2.000 2.576 3.000 ∞
-3 2019/3/31
0
–2 –1
0
1
2
3 u
x
对称性、单峰性、有界性
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4
-3 -2 - -3 -2 -
-3
-2
-1
0
68.3% 95.5%
0
2 3 + +2 +3
2019/3/31
90% 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.725 1.645
置 信 度 95% 12.706 4.303 3,182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.086 1.960
Ea = xi－μ
相对误差 (Relative Error)：
2019/3/31
Er
xi
100%
10
2、准确度
(1) 测定值与真值接近的程度;
(2) 准确度高低常用误差大小表示,误差小，准
确度高。
2019/3/31
11
例题：分析天平称量两物体的质量各为1.6380 g 和0.1637g，假定两者的真实质量分别为1.6381 g 和0.1638 g，计算其误差？ 解： E1=(1.6380－1.6381) = －0.0001 g E2=(0.1637－0.1638) = －0.0001 g
解：
0.103 0.099 u1 2 0.002
0.095 0.099 u2 2 0.002
查表P54，得|u|＝0.4773 P＝2×0.4773＝0.955
2019/3/31 32
§3.4 有限测定数据的统计处理
总体 抽样 样本 观测 数据
统计处理
目的：通过对随机样本的有限次数的测定，
（4）人为误差（Personal Errors）：如观察颜色偏深或偏浅，
第二次读数总是想与第一次重复等造成。
2019/3/31 5
系统误差的校正方法：
标准方法、提纯试剂、校正仪器。 对照试验、空白试验、使用校正值。
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二、随机误差
产生的原因：
由一些无法控制的不确定因素引起的。 （ 1 ）如环境温度、湿度、电压、污染情况等变化 引起样品质量、组成、仪器性能等的微小变化； （2）操作人员实验过程中操作上的微小差别； （3）其他不确定因素等所造成。
s sx n
0.4 0.2 0.0
1
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5
10
15
20
n
20
增加测量次数可以减小随机误差的影响，提高测定的精密度
三、 准确度与精密度的关系
精密度 好 好 差 很差 准确度 好 稍差 差 偶然性
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精密度是保证准确度的先决条件； 精密度高不一定准确度高； 两者的差别主要是由于系统误差的存在。
含量的置信区间（P＝0.95）
0.002 解： 0.087 1.96 4 0.087 0.002(%)
置信区间：0.085～0.089
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2、已知样本标准偏差s时
有限次测定无法计算总体标准差σ和总体平均值
μ，且偶然误差并不完全服从正态分布。
t 分布：
令：
tP, f
xi x dr 100% x
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(有正负号之分)
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平均偏差：
各偏差值的绝对值的平均值，称为单次测定的平
均偏差，又称算术平均偏差（Average Deviation）。
1 n 1 n d d i xi x n i 1 n i 1
相对平均偏差：
d d r 100% x
组
98.95 99.05 99.15 99.25 99.35 99.45 99.55 99.65 99.75 99.85 99.95
频数ni
1 2 2 5 9 21 30 50 26 15 8 2 1 1 173
频率 ni/n
0.006 0.012 0.012 0.029 0.052 0.121 0.173 0.289 0.150 0.087 0.046 0.012 0.006 0.006 1.001
二、正态分布曲线
特点: 1. 极大值在x=μ处. 2. 拐点在x=μ±σ处. 3. 于x=μ对称.
4.
x轴为渐近线.
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正态分布曲线 N(μ,σ2)
y f ( x)
y: 概率密度 x: 测量值 μ: 总体平均值 x-μ: 随机误差 σ : 总体标准偏差 (0.607h处半峰宽)
99% 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3,500 3.355 3.250 3.169 2.846 2.576
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一般选P＝0.95
置信区间：
x tP, f s
tP, f
x s
x s
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t 分布曲线
t 分布曲线随自由度 f ( f = n - 1)而变，当 f ＞20时，与 正态分布曲线很近似，当 f →∞时，二者一致。
t 值与置信度和测定值 的次数有关，可由表 2-2 中查得。
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t 值表
测定次数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 ∞
频率密度 (ni/n÷△s)
0.06 0.12 0.12 0.29 0.52 0.12 0.17 2.89 1.50 0.87 0.46 0.12 0.06 0.06
23
99.65 ～
99.95 ～ 100.05 100.05 ～ 100.15 100.15 ～ 100.25
14
合计
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3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
频率密度直方图和频率密度多边形
测量值（%）
87%(99.6%±0.3)
24
99.60%（平均）
98 .85 5 98 .95 5 99 .05 5 99 .15 5 99 .25 5 99 .35 5 99 .45 5 99 .55 5 99 .65 5 99 .75 5 99 .85 5 99 .95 10 5 0 .0 05 10 5 0 .1 15 5
(n-1) 表示 n 个测定值中具有独立偏差的数目，又称为自由度。
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相对标准偏差( sr ) :
s s r 100% x
又称为变异系数 CV (Coefficient of Variation)
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4、平均值的标准偏差
x
n
1.0 0.8
0.6
0.0001 RE1 100% 0.006% 1.6381
0.0001 RE 2 100% 0.06% 0.1638
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3、讨论
(1) 误差的大小是衡量准确度高低的标志。 (2) 误差是有正负号之分。 (3) 实际工作中真值实际上是难以获得。
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1
( x )2
2
e
2 2
三、标准正态分布曲线
令： u