等差数列与等比数列专题讲解
数列的等差与等比性质知识点总结
数列的等差与等比性质知识点总结数列是由一系列数字按照一定规律排列组成的序列，而等差与等比性质是数列中常见的两种规律。
在数学中，掌握数列的等差与等比性质对于解题和推导数学公式都具有重要意义。
本文将对数列的等差与等比性质进行详细总结。
一、等差数列1. 定义：若数列中相邻两项之差保持不变，则称该数列为等差数列。
2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的差等于公差，即an - an-1 = d。
b) 等差数列的前n项和为Sn = (a1 + an) * n / 2。
c) 等差数列的任意一项可以表示为前一项与公差之和，即an = an-1 + d。
d) 若等差数列的前两项之和等于第三项，即a1 + a2 = a3，则该等差数列为等差数列。
二、等比数列1. 定义：若数列中相邻两项之比保持不变，则称该数列为等比数列。
2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n项的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的比等于公比，即an / an-1 = r。
b) 等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
c) 等比数列的任意一项可以表示为前一项与公比之积，即an = an-1 * r。
d) 若等比数列的前两项之积等于第三项，即a1 * a2 = a3，则该等比数列为等比数列。
三、等差与等比的联系与区别1. 联系：等差与等比数列都是按照一定规律排列的数列，且都有其通项公式和前n项和的公式。
2. 区别：a) 等差数列的相邻项之差相等，等比数列的相邻项之比相等。
b) 等差数列的公差为常数d，等比数列的公比为常数r。
c) 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。
4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。
5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。
等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。
3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。
4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。
5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。
以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。
在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。
等差数列可以是正差、零差或负差的数列。
2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。
（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。
（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。
3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。
4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
等比数列可以是正比、零比或负比的数列。
2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。
（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。
3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
等差数列与等比数列的区别
等差数列与等比数列的区别等差数列与等比数列是数学中两种常见的数列形式，它们在数学和实际应用中起着重要的作用。
本文将详细介绍等差数列与等比数列的定义、性质和区别。
一、等差数列的定义和性质：等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
通常用字母a表示首项，字母d表示公差，第n项用an表示，数列的通项公式为an = a + (n - 1)d。
等差数列有以下几个性质：1. 公差d的性质：等差数列中任意两项的差值都是公差d，即an -an-1 = d。
2. 通项公式：等差数列的通项公式是根据首项和公差的值计算出每一项的表达式，即an = a + (n - 1)d。
3. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (n / 2) * (2a + (n - 1)d)进行计算。
二、等比数列的定义和性质：等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列，即每一项等于前一项乘以同一个非零常数。
通常用字母a表示首项，字母r表示公比，第n项用an表示，数列的通项公式为an = a * r^(n-1)。
等比数列有以下几个性质：1. 公比r的性质：等比数列中任意两项的比值都是公比r，即an / an-1 = r。
2. 通项公式：等比数列的通项公式是根据首项和公比的值计算出每一项的表达式，即an = a * r^(n-1)。
3. 求和公式：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (a * (1 - r^n)) / (1 - r)进行计算。
三、等差数列与等比数列的区别：1. 定义：等差数列中每一项与前一项的差值相等，而等比数列中每一项与前一项的比值相等。
2. 性质：等差数列的公差是常数，等比数列的公比是常数。
3. 增长速度：等差数列的增长速度是线性的，等比数列的增长速度是指数的。
4. 前n项和：等差数列的前n项和的求和公式是关于n的一次多项式，等比数列的前n项和的求和公式是关于n的一个分式。
等比数列与等差数列知识点
＝
．
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2．等比数列前 n 项和的性质 公比不为﹣1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n 仍成等比数列，
其公比为 qn． 8．数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列 等等，常用的方法包括： （1）公式法： ①等差数列前 n 项和公式：Sn＝na1+ n（n﹣1）d 或 Sn＝ ②等比数列前 n 项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前 n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法：
，
∴＝
，
＝1， ＝
，＝
，
∵数列{ }也为等差数列，
∴
＝+，
∴
＝1+
，
解得 d＝2．
∴Sn+10＝（n+10）2，
＝（2n﹣1）2，
∴
＝
＝
，
由于
为单调递减数列，
∴
≤ ＝112＝121，
故选：D． 2．等差数列的性质 【等差数列】
第 2页（共 13页）
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差
∴an＝
，
把 n＝1 代入 2n﹣1 可得 1≠2， ∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是 等差数列，题中 an 的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下． eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1，2a+1，a+7 则这个数列的通项公式为 解：∵等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1，2a+1，a+7， ∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7， 解得 a＝2． ∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9， ∴数列 an 是以 1 为首项，4 为公差的等差数列， ∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
等差数列与等比数列的计算与应用详细解析
等差数列与等比数列的计算与应用详细解析数列是数学中一种重要的数学对象，它在数学和其他领域有着广泛的应用。
其中，等差数列和等比数列作为最常见的数列类型，在数学教学和实际问题中有着重要的地位。
本文将详细解析等差数列和等比数列的计算方法和应用场景。
一、等差数列的计算与应用等差数列是指数列中各项之间的差值相等的数列。
假设一个等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
1. 等差数列的计算在给定首项和公差的情况下，我们可以通过通项公式计算等差数列的任意一项。
例如，对于首项a1=2，公差d=3的等差数列，我们可以计算出该数列的前几项如下：a2 = a1 + d = 2 + 3 = 5a3 = a1 + 2d = 2 + 2×3 = 8a4 = a1 + 3d = 2 + 3×3 = 11同样地，我们可以计算出数列的后几项，以及任意一项的值。
2. 等差数列的求和公式等差数列求和是等差数列应用最为广泛的一个问题。
我们可以通过求和公式来计算等差数列前n项的和。
对于首项a1，公差d，和前n项的和Sn，等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)这个公式可以帮助我们高效地求解等差数列的和。
3. 等差数列的应用等差数列的应用非常广泛。
例如，在日常生活中，我们可以通过等差数列的计算来判断某种物品价格的递增或递减情况；在经济学中，等差数列可以用来描述某种商品的供需关系；在物理学中，等差数列可以用来计算物体运动的速度等等。
二、等比数列的计算与应用等比数列是指数列中各项之间的比值相等的数列。
假设一个等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，数列的通项公式为an = a1 ×r^(n-1)。
1. 等比数列的计算在给定首项和公比的情况下，我们可以通过通项公式计算等比数列的任意一项。
例如，对于首项a1=2，公比r=3的等比数列，我们可以计算出该数列的前几项如下：a2 = a1 × r = 2 × 3 = 6a3 = a1 × r^2 = 2 × 3^2 = 18a4 = a1 × r^3 = 2 × 3^3 = 54同样地，我们可以计算出数列的后几项，以及任意一项的值。
数列中的等比数列与等差数列——数列知识要点
数列中的等比数列与等差数列——数列知识要点数列是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
其中，等差数列和等比数列是数列中的两种常见类型。
本文将重点介绍数列中的等差数列和等比数列的基本概念、性质以及应用。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
设数列为{an}，其中a1为首项，d为公差，则有以下关系式：an = a1 + (n-1)d等差数列的性质如下：1. 公差d：等差数列中相邻两项之差保持恒定，这个差值称为公差。
2. 通项公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，可以通过该公式计算数列中任意一项的值。
3. 首项和末项：等差数列的首项为a1，末项为an。
4. 数列元素之和：等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)等差数列在实际问题中的应用非常广泛，例如计算机算法中的循环结构、金融领域中的利息计算等都可以归纳为等差数列的应用。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
设数列为{an}，其中a1为首项，r为公比，则有以下关系式：an = a1 * r^(n-1)等比数列的性质如下：1. 公比r：等比数列中相邻两项之比保持恒定，这个比值称为公比。
2. 通项公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，可以通过该公式计算数列中任意一项的值。
3. 首项和末项：等比数列的首项为a1，末项为an。
4. 数列元素之和：等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算（当r≠1时）：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)等比数列也有广泛的应用，例如在科学领域中的指数增长问题、经济领域中的复利计算等都可以归纳为等比数列的应用。
三、等差数列与等比数列的联系与区别等差数列和等比数列都是数列中常见的类型，它们之间有一些联系和区别。
联系：1. 通项公式：等差数列和等比数列都有通项公式，可以通过该公式计算数列中任意一项的值。
高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理
高考数学二轮复习 专题3 数列 第一讲 等差数列与等比数列 理第一讲 等差数列与等比数列1．等差数列的定义．数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝d (其中n∈N *，d 为与n 值无关的常数)⇔{a n }是等差数列． 2．等差数列的通项公式．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． 3．等差中项．若x ，A ，y 成等差数列，则A ＝x ＋y2，其中A 为x ，y 的等差中项．4．等差数列的前n 项和公式．若等差数列首项为a 1，公差为d ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2．1．等比数列的定义． 数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (其中a n ≠0，q 是与n 值无关且不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．2．等比数列的通项公式．若等比数列的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1·q n －1＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．3．等比中项．若x ，G ，y 成等比数列，则G 2＝xy ，其中G 为x ，y 的等比中项，G 值有两个． 4．等比数列的前n 项和公式．设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×) (4)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．(×) (5)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .(×) (6)1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝1－b51－b.(×)1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则数列{a n }的前5项和S 5＝(B ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25解析：2d ＝a 4－a 2＝5－1＝4⇒d ＝2，a 1＝a 2－d ＝1－2＝－1，a 5＝a 2＋3d ＝1＋6＝7，故S 5＝（a 1＋a 5）×52＝6×52＝15.2. (2015·北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是(C ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析：设等差数列{a n}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞a1a3，故选项C正确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错．3．(2015·新课标Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(B)A．21 B．42C．63 D．84解析：∵ a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴ 3＋3q2＋3q4＝21.∴ 1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.4．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(B)A．90 B．100C．145 D．190解析：设公差为d，则(1＋d)2＝1·(1＋4d)．∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100.一、选择题1．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a3＋a9＝6，则S11＝(B)A．12 B．33 C．66 D．99解析：∵{a n}为等差数列且a3＋a9＝6，∴a 6＋a 6＝a 3＋a 9＝6. ∴a 6＝3. ∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 6＋a 62×11＝11a 6＝11×3＝33.2．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则数列{a n }的前6项和S 6＝(B ) A ．120 B ．140 C ．160 D ．180 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6为等比数列． ∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)． 即a 5＋a 6＝（a 3＋a 4）2a 1＋a 2＝40220＝80.∴S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝20＋40＋80＝140.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则a 3＋a 17＝(C ) A ．15 B ．17 C ．34 D ．398 解析：∵S n ＝n 2－2n －1， ∴a 1＝S 1＝12－2－1＝－2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－2n －1－[(n －1)2－2(n －1)－1] ＝n 2－(n －1)2＋2(n －1)－2n －1＋1 ＝n 2－n 2＋2n －1＋2n －2－2n ＝2n －3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －3，n ≥2.∴a 3＋a 17＝(2×3－3)＋(2×17－3)＝3＋31＝34. 4．(2014·陕西卷)原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(A )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 解析：由a n ＋a n ＋12＜a n ⇒a n ＋1＜a n ⇒{a n }为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若{a n }为递减数列，则a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋；若{a n }为递减数列，则a n ＋1＜a n ，即a n ＋a n ＋12＜a n ，所以逆命题为真；否命题：若a n ＋a n ＋12≥a n ，n ∈N ＋，则{a n }不为递减数列；由a n ＋a n ＋12≥a n ⇒a n ≤a n ＋1⇒{a n }不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题． 故选A.5．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为(C )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入m ＝9，因此选C.二、填空题6．(2015·安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.7．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝32． 解析：将S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2两个式子全部转化成用a 1，q 表示的式子，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q 3＋2，两式作差得：a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q (q 2－1)，即：2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．8．(2014·广东卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝5．解析：由题意知a 1a 5＝a 23＝4，且数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2， ∴a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25，∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5. 三、解答题9．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2 ＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解析：(1)b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．10．(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)． 由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n－1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.。
数列的等差与等比关系
数列的等差与等比关系数列是离散的数值序列，其中的各个数值按照某种规律排列。
在数列中，常见的两种关系分别是等差关系和等比关系。
本文将详细解释数列的等差与等比关系，并提供实例加深理解。
一、等差关系等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
等差数列的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n-1)d$$其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，$d$为公差。
举例来说，假设一个数列的首项$a_1=2$，公差$d=3$，我们可以按照通项公式计算该数列的前几项：$a_2 = a_1 + d = 2 + 3 = 5$$a_3 = a_2 + d = 5 + 3 = 8$$a_4 = a_3 + d = 8 + 3 = 11$由此可见，在等差数列中，每一项与它前面的项相差的值都是相等的。
这种差值的恒定性使得等差数列非常容易计算和理解。
二、等比关系等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定的数列。
等比数列的通项公式为：$$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$$其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，$r$为公比。
举例来说，假设一个数列的首项$a_1=2$，公比$r=3$，我们可以按照通项公式计算该数列的前几项：$a_2 = a_1 \cdot r = 2 \cdot 3 = 6$$a_3 = a_2 \cdot r = 6 \cdot 3 = 18$$a_4 = a_3 \cdot r = 18 \cdot 3 = 54$可以观察到，在等比数列中，每一项与它前面的项的比值都是相等的。
这种比值的恒定性使得等比数列具有很多特殊性质，在数学和实际应用中都十分重要。
三、等差与等比关系的联系与区别等差关系和等比关系都是数列中常见且重要的关系。
它们之间的联系和区别如下：1. 联系：等差数列和等比数列都是在数列中形成某种规律的关系。
它们都具有一定的计算公式，可以用来推断数列中的任意项，这对于数学问题的解决非常有帮助。
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列在数学中，等差数列和等比数列是两个常见的数列类型。
它们在许多不同的应用中起着重要的作用。
本文将介绍等差数列和等比数列的定义、性质和应用。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，它的公差是2。
1. 定义设数列a1, a2, a3, ...是一个等差数列，若存在常数d使得对于任意正整数n，都有an = a1 + (n-1)d成立，则称该数列为等差数列。
2. 性质（1）通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n个项an可以由通项公式an = a1 + (n-1)d计算得出。
（2）求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，共有n项，则该数列的和Sn可以由求和公式Sn = (a1 + an)n/2计算得出。
（3）性质推导：使用数学归纳法可以证明等差数列的各性质。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和实际生活中的问题。
它们被用于建模和解决各种有序序列的计算和预测问题。
例如，等差数列可以用于计算时间序列数据、金融分析、物理过程模拟等。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。
例如，2, 6, 18, 54就是一个等比数列，它的公比是3。
1. 定义设数列a1, a2, a3, ...是一个等比数列，若存在常数r使得对于任意正整数n，都有an = a1 * r^(n-1)成立，则称该数列为等比数列。
2. 性质（1）通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n个项an可以由通项公式an = a1 * r^(n-1)计算得出。
（2）求和公式：当公比r不等于1时，设等比数列的首项为a1，末项为an，共有n项，则该数列的和Sn可以由求和公式Sn = a1 * (1- r^n)/(1-r)计算得出。
（3）性质推导：使用数学归纳法可以证明等比数列的各性质。
3. 应用等比数列在实际问题中也有着广泛的应用。
专题三 第1讲 等差数列、等比数列
核心提炼
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1. (3)等差数列的求和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn－ 2 1d.
(4)等比数列的求和公式： Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq，q≠1，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2.(2022·济宁模拟)在等比数列{an}中，a1＋a3＝1，a6＋a8＝－32，则aa105＋ ＋aa172
等于
A.－8
B.16
C.32
√D.－32
设等比数列{an}的公比为q， 则a6＋a8＝(a1＋a3)q5＝1×q5＝－32，所以q5＝－32， 故aa105＋ ＋aa172＝aa5＋5＋aa77q5＝q5＝－32.
∴S14＝14a12＋a14＝14a42＋a11>0， S15＝15a12＋a15＝15×2 2a8<0，
∴当Sn>0时，n的最大值为14，D正确.
考点三
等差数列、等比数列的判断
核心提炼
定义法 通项法 中项法
等差数列 an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)
是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的
石板数依次为a1，a2，a3，…，a9，设数列{an}为等差数列，它的前n项
1＝6
√B.{an}的公差为9
C.a6＝3a3
√D.S9＝405
设{an}的公差为d.由a4＋a6＝90， 得a5＝45，又a2＝18， 联立方程组aa11＋＋d4＝d＝184，5， 解得ad1＝＝99，， 故 A 错误，B 正确；
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地 若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解 思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注 求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析 因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析 设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和 思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析 由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析 若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注：本题中，将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。
数列的等差与等比关系
数列的等差与等比关系数列是数学中一种常见的数学对象，它是由一系列按照特定规律排列的数字组成。
在数列中，有两种常见的关系，即等差关系和等比关系。
这两种关系在数学中有着广泛的应用，不仅在数学本身，还在物理、经济等领域中起着重要的作用。
一、等差关系等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。
也就是说，如果一个数列满足每个数与它的前一个数之差等于一个常数d，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式可以表示为An = A1 + (n-1)d，其中An表示第n项，A1表示第一项，d表示公差。
等差数列的性质非常有趣。
首先，等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = (A1 + An) * n / 2来计算。
其次，等差数列的平均值等于它的中项，即平均值等于首项与末项的和除以2。
此外，等差数列还有一个重要的性质，即任意三项成等差数列的充要条件是它们的中项等于它们的平均值。
等差数列在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，等差数列可以用来描述物体匀速运动的位置随时间的变化。
在经济学中，等差数列可以用来描述人口增长、物价上涨等现象。
二、等比关系等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变。
也就是说，如果一个数列满足每个数与它的前一个数之比等于一个常数r，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式可以表示为An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示第一项，r 表示公比。
等比数列也有一些有趣的性质。
首先，等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = A1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。
其次，等比数列的平均值等于它的首项与末项的几何平均数。
此外，等比数列还有一个重要的性质，即任意三项成等比数列的充要条件是它们的中项等于它们的平均值的平方根。
等比数列在实际生活中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，等比数列可以用来描述细胞的分裂过程。
在金融学中，等比数列可以用来描述复利的计算过程。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
下面将从定义、性质、求和公式和应用等几个方面对等差数列和等比数列进行全面总结。
**一、等差数列的基本概念**等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
一般来说，等差数列的通项公式为：a_n=a_1+(n-1)d，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，d表示公差。
**二、等差数列的性质**1. 等差数列的通项公式：a_n=a_1+(n-1)d2. 等差数列的前n项和公式：S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)3. 等差数列的性质：任意三项成等差数列，等差中项相等。
4. 等差数列的性质：首项与末项的关系。
**三、等差数列的应用**等差数列在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融领域中的等额还款、在物理学中的匀速运动等等。
**四、等比数列的基本概念**等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。
一般来说，等比数列的通项公式为：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，q表示公比。
**五、等比数列的性质**1. 等比数列的通项公式：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}2. 等比数列的前n项和公式：S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}，当|q|<1时成立3. 等比数列的性质：首项、末项、项数的关系。
4. 等比数列的性质：任意三项成等比数列，等比中项与等比积。
**六、等比数列的应用**等比数列同样在实际中有着广泛的应用，比如在利息计算中的等比增长、在生物学中的细胞分裂等等。
**结语**等差数列与等比数列是数学中基础而重要的概念，它们不仅在数学理论中有着重要的意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
专题06 等差数列与等比数列(解析版)
专题06 等差数列与等比数列【考点1】等差数列1、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。
①当0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；3、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
①前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.4、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
①当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 5、若{}n a 是等差数列 ，232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列.【考点2】等比数列1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列）1(n na q q a +=为常数），2.等比数列的通项公式：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。
二、考点再现一、核心先导3．等比数列的前n 和：①当1q =时，1n S na =；②当1q ≠时，1(1)1n n a q S q -=-11n a a qq-=-。
4、等比中项：⑴、若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项，⑵、当m n p q +=+时，则有。
5、若{}n a 是等比数列 ，232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等比数列.等差数列与等比数列作为两种基本的数列,是高考中数列考查的重中之重,值得关注 . 考查的形式主要有等差数列、等比数列的实际应用以及等差数列、等比数列与其他知识的综合 . 在复习中,要紧抓以下几个方面 :方法1. 关注两种基本方法:研究等差数列、等比数列的基本方法就是“基本量法”及活用好它们的“对称性”;方法2. 领悟等差数列、等比数列的两类本质:等差数列、等比数列是两类特殊数列,又是两类特殊的函数,这种双重身份,注定它们必然是高考中的重点、难点,故而,学习中,要从“函数”及“数列”这两个方面来认识它们;方法3. 两类数学思想:分类讨论思想以及函数与方程的思想是解决数列问题所经常使用的两类数学思想题型一:等差数列与等比数列基本量的计算例1．（1）、（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））若{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，4614a a +=，735S =，则31a a -等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】D【分析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，进而建立方程组求解得2d =，再计算31a a -即可. 【详解】解：根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，四、考点解密三、解法解密因为4614a a +=，735S =所以46171281472135a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得121d a =⎧⎨=-⎩，所以3124a a d -==. 故选：D（2）、（2022·福建福州·高二期末）（多选题）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，5316,12a a ==．则（ ） A ．2d =- B ．120a =C ．2628a a +=D ．n S 取得最大值时，11n =【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本量代换，求出通项公式，即可验证A 、B 、C ；由通项公式判断出10n ≤时，0n a >，110a =，12n ≥时，0n a <可以得到1011S S =最大，即可判断选项D. 【详解】因为5316,12a a ==，所以3151216412a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：1202a d =⎧⎨=-⎩，故选项A 、B 正确； 所以()11222n a n n d a +==--.对于C ：因为222n a n =-，所以26181028a a +=+=，故C 正确； 对于D ：因为222n a n =-，所以11222110a =-⨯=.因为10n ≤时，0n a >；12n ≥时，0n a <；所以1011S S =最大.故D 错误. 故选：ABC【变式训练1-1】、（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知等比数列{}n a 中，34a =，119a =，则7a =______．【答案】6【分析】由等比数列的性质求解即可【详解】由等比数列的性质可得：2731136a a a ==，由等比数列中奇数项的符号相同， 所以76a =， 故答案为：6【变式训练1-2】、（2021·云南·模拟预测（文））已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若137,15a S =-=-，则8a =______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意得等差数列{}n a 的公差为2d =，再根据通项公式求解即可. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为137,15a S =-=-所以13173315a S a d =-⎧⎨=+=-⎩，解得2d =，所以29n a n =-，所以82897a =⨯-=． 故答案为：7题型二:等差中项与等比中项的应用例2．（1）、（2022·山东泰安·模拟预测）若等差数列{}n a 满足8926a a -=，则它的前13项和为（ ） A ．110 B ．78 C ．55 D ．45（2）．（2022·河南焦作·一模（文））设{}n a 和{}n b 都是等差数列，前n 项和分别为n S 和n T ，若17136a a a ++=，1391112b b b b +++=，则1311S T =（ ） A ．2633B ．23C ．1322D ．1311【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质分别求得72a =，63b =，再利用等差数列前n 项和公式求解. 【详解】由等差数列的性质可得1713736a a a a ++==， 所以72a =；因为139********b b b b b b +++=+=， 所以63b =．由等差数列的前n 项和公式可得()113137131322262a a a S ⨯==+=，()111611*********b b b T +⨯===， 所以13112633S T =． 故选：A【变式训练2-1】、（2022·安徽黄山·一模（文））在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程21390x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ）AB ．3 C．D ．3±故选：B.【变式训练2-2】、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列{}n a 中，312,,a a a -成等差数列，且存在两项*,(,N )m n a a m n ∈14a ，则15m n+ 的最小值是（ ） A ．2 B ．74C．1 D ．不存在2q ，进而有0>，则q 2q，14n a a ⋅=，则，可得m n +=51(6m n m +=号不成立，1455(3,4)-∈题型三:求数列的前n 项和例3．（1）、（2022·山西运城·模拟预测（文））已知数列{}n a 中，14a =，()11333n n n a a a +=-+，数列1n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．202201S << B ．2022312S <<C ．2022322S <<D ．202223S <<20，又1a }是递增数列3-，所以122311111111333333n n n a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11133n a +=--，所以20222023113S a =--，又20234a >，所以202331a ->，所以1. （2）．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期末）已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =-+，则其通项公式n a =______．【答案】*2,143,2,n n n n N =⎧⎨-≥∈⎩【解析】 【分析】利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-，可求出此时的通项公式，验证n =1时是否适合，可得答案. 【详解】当2n ≥时，()()22121211143n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 当1n =时，12112a =-+=不适合上式，∴*2,143,2,n n a n n n N =⎧=⎨-≥∈⎩，故答案为:*2,143,2,n n n n N =⎧⎨-≥∈⎩. 【变式训练3-1】、（2022·四川绵阳·一模（理））已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，48a =，则5S =______． 【答案】31【分析】利用等比数列通项公式，结合0q >，可求得公比2q ，进而得到1a ，利用等比数列求和公式可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0n a >，51S ⨯∴=故答案为：【变式训练3-2】、（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()112,22N n n a a a n n *+=-=+∈，则数列1na 的前2022项的和为___________. 18,,n n a a --)()3124682n n a a a n --++-=+++++.∴(1)n a n n =+，则1111(1)1n a n n n n ==-++. 数列1na 的前n 项和为31111111122311n a n n n n 1++=-+-++-=-=+++20222023=. 故答案为：20222023.题型四:判断或证明等差、等比数列例4、（2022·吉林长春·模拟预测）已知数列{}n a 满足：12a =，()()()31121n n na n n a n +++=+++．(1)证明：数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是等差数列；(2)设()122n n nn n b a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【变式训练4-1】、（2022·河南·模拟预测（理））若数列{}n a 满足12a =,1123n n n a a -+-=．(1)证明:{}13n n a a +-是等比数列；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ,求满足2023n S <的n 的最大值． n a ++)()10112333n n --++++++()3331222n n n-=+-,为递增数列,12202023<,835352023S =>,题型五:综合应用例5．（1）、（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1，2，3，4，5，6，7代表音阶中的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系.如图1，我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为（ ）A ．53B ．55C ．57D ．59【答案】B【分析】根据题意将题中所给的信息转化为数列递推公式关系1n n n a a b +=+，1n n b a +=，通过递推从而得出结果.【详解】设n a 为第n 行中正方形的个数，n b 为第n 行中三角形的个数，由于每个正方形产生下一行的1个三角形和1个正方形，每个三角形产生下一行的1个正方形，则有1n n n a a b +=+，1n n b a +=， 整理得()112n n n a a a n +-=+≥，且11a =，22a =，则3213a a a =+=，4325a a a =+=，5438a a a =+=，65413a a a =+=， 76521a a a =+=，87634a a a =+=，98755a a a =+=.故选：B.（2）、（2021·全国·模拟预测）在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数03R =（注：对于01R >的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的总人数为______（注：初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……） 【答案】1092【解析】由题意分析，传染模型为一个101,3a q R ===等比数列，可解. 【详解】由题意：101,3a q R ===所以1113n n n a a q --==第六轮的传染人数为7a所以前六轮被传染的人数为771131109213S a --=-=-.故答案为：1092【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；【变式训练5-1】、（2022·浙江宁波·一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n 层放n a 个物体堆成的堆垛，则1210111a a a +++=__________．【答案】2011【分析】由累加法即可求得n a ，再利用裂项相消法即可求解. 【详解】由题可知：1231,3,6a a a ===，即有()12n n a a n n --=≥， 所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++(1)12342n n n +=+++++=，当n=1成立所以1222(1)1n a n n n n ==-++， 所以121011122222222223341011a a a +++=-+-+-++- 22021111=-=. 故答案为：2011【变式训练5-2】、（2021·河南郑州·三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为1，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得13AC DB AB ==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的线段EC 、ED 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为n S ，对任意的正整数n ，都有n S a ＜，则a 的最小值为__________． 【答案】2．【分析】根据图形之间的关系可得n S 的递推关系，从而可求{}n S 的通项公式，故可求a 的最小值.【详解】设第n 个图形中新出现的等边三角形的边长为n a ，则当2n ≥时，21111333n n n a --⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设第n 个图形中新增加的等边三角形的个数为n b ，则当2n ≥时，22n n b -=，故121123n n n n S S ---⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，其中2n ≥，由累加法可得121121222123111223332313n n n S --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦- 1223n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，A 组 基础巩固1．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入33⨯的方格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作n 阶幻方．记n 阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为n S ，如345S =，那么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（ ）A ．555B ．101C ．505D ．1010【答案】C【分析】利用等差数列求和公式得到105050S =，进而求出10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和. 【详解】由题意得：()10100110012310050502S ⨯+=++++==，故10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为505010505÷=. 故选：C2．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））设数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，4614a a +=，735S =，则5S 等于（ ）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项及公差即可得解. 【详解】因数列{}n a 是等差数列，由等差数列的性质知：46572a a a +==， 而177477352a a S a +=⨯==，则45a =， 五、分层训练3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1957S =，则5143a a a --=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．64．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））在等差数列{}n a 中n S 为前n 项和，7624a a =- ，则9S =（ ） A ．28 B ．30C ．32D ．365．（2022·云南云南·模拟预测）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，383235a a +=，则9S =（ ） A ．56 B ．63 C ．67 D ．726．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19a =，642a a +=，则当n S 取最大值n 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．（2022·山东淄博·三模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123,,a S S -成等差数列．若存在两项*,(,N )m n a a m n ∈18a =，则19m n+的最小值是（ ） A ．16 B ．2 C ．103 D ．832q ，结合的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.23(a q a +=2q，n a >18n a a ⋅=，则8m n +=，911(8n m =⨯8．（2022·全国·模拟预测（文））在数列{}n a 中，()()()111,11N n n a n n a a n *+=+-=∈，则2022a =（ ）A ．40432022B ．20212022C ．40402021D ．20202021()21111111111212a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*41N n S n n n =+∈，若数列{}n b 满足34n n a b +=，则122320212022111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．5052021B ．20202021C ．20212022D ．2021808810．（2022·辽宁·模拟预测）如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n 代“勾股树”中所有正方形的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2022n S >恒成立，则n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【分析】根据第1代“勾股树”，第2代“勾股树”中，正方形的个数，以此类推，得到第n 代“勾股树”中所有正方形的个数，即n a ，从而得到n S 求解.【详解】解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为11321+=-，第2代“勾股树”中，正方形的个数为21721+=-，…，以此类推，第n 代“勾股树”中所有正方形的个数为121n +-，即121n n a +=-，所以()24122412n n n S n n +-=-=---，因为0n a >，所以数列{}n S 为递增数列， 又810122022S =<，920352022S =>， 所以n 的最小值为9． 故选：C ．11．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{an }的前n 项和Sn 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为Tn ，n ∈N *.则使得T 20的值为（ ） A ．1939B ．3839C ．2041D ．4041【答案】C113941++-12．（2022·山东济南·模拟预测）设{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是其前n 项和，若34520a a a -=，则5S =______．2q，所以故答案为：31.13．（2022·四川省南充高级中学模拟预测（文））记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若314S =，12a =，则2514a a a a ++的值为__________． 【答案】22q （q =-，所以21a a ++14．（2022·山东泰安·二模）已知数列{}n a 是公差大于0的等差数列，12a =，且32a +，4a ，64a -成等比数列，则10a =______． 【答案】20【分析】先利用()()243624a a a =+-解出公差d ，再通过等差数列计算10a 即可.【详解】设公差为d ，则()()243624a a a =+-，即()()()223222254d d d +=+++-，化简得24120d d +-=，解得2d =或6d =-，又0d >，故2d =，则101920a a d =+=. 故答案为：20.15．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理））等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S，若2a ，4a ，8a 构成等比数列，则n S =___________.16．（2022·广东·模拟预测）已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，其前n 项和为n S ，且962354S S -=，记()()1111n n n b a a +=++，则数列{}n b的前n 项和n T =______．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由11a =，962354S S -=， 得()()91186115235422d d ++++⨯-⨯=， 解得2d =，所以()12121n a n n =+-=-， 所以()()()111111114141n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和11111114223144n nT n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭. 故答案为：44nn +. 17．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））在等差数列{}n a 中，72615,18a a a =+=，若数列{}(1)nn a -的前n 项之和为n S ，则100S =__________． 【答案】100【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算首项、公差，再借助并项求和法求解作答. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，由426218a a a =+=得：49a =，则741592743a a d --===-， ()4421n a a n d n =+-=+，当n 为偶数时，()()111112n nn n n n a a a a d ----+-=-==，所以100214310099()()()502100a a a a a a S =-+-++-=⨯=.故答案为：10018．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras ）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为2，则最小正方形的边长为_____.【答案】116【分析】记初始正方形的边长为1a ，经过n 1-次生长后的正方形的边长为n a ，经过n 1-次生长后正方形的12n -++，由此次生长后正方形的112n -++=10n =，10121216-==19．（2022·河南·模拟预测（理））已知数列{}n a 为等比数列，公比0q >，首项11a =，前三项和为7，121024n a a a =，则n ＝______．2q，所以21222=⋅⋅⋅200-=，解得：故答案为：520．（2022·湖南益阳·模拟预测）在单调递增数列{}n a 中，已知11a =，22a =，且21n a -，2n a ，21n a +成等比数列，2n a ，21n a +，22n a + 成等差数列()*n N∈，那么100a=__________．21．（2022·上海交大附中模拟预测）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4562a a a -=，则23a 的值为___________． 22．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））设函数()12ln x f x x-=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______．23．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（文））已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2392222n n S a n n =-+-．(1)求1a ，并证明数列{}3n a n +为等比数列； (2)若(3)n n b n a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 11,S a =∴当2n ≥时，131a +⨯∴{}3n a n +（2）n a +13122n n T n =⨯+⨯①4122n n +++⨯23222n n ++-⨯11)22n n +-⋅-，24．（2022·贵州·模拟预测（理））已知数列{}n a ，满足12a =，2142n n n a a a +=++.(1)证明：数列(){}2log 2n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}2n a +的前n 项积n T . 2q ，首项.（2）解：由（1）可得222nn a +=， ∴123112312222222222222222n n n nn T --+++++=⨯⨯⨯⨯⨯=，∵123112222222n n n -++++++=-，∴1222n n T +-=，*n ∈N .B 组 能力提升25．（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ）A ．5-B ．7C ．13D ．2626．（2020·安徽·寿县第一中学模拟预测（文））右面的数表为“森德拉姆筛”，其特点是表中的每行每列上的数都成等差数列，则第n 行第n 个数字是（ ）A ．21n -B ．2(1)1n ++C ．21n +D ．2n【答案】C【分析】设第n 行第n 个数字是n n a ，由题意知第n 行是首项为1n +，公差为n 的等差数列，从而得出答案. 【详解】设第n 行第n 个数字是n n a ，由题意知第n 行是首项为1n +，公差为n 的等差数列，所以()()2111nn a n n n n =++-⨯=+故选：C【点睛】本题考查行列模型的等差数列求法，观察得出规律是关键，属于基础题. 27．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S na +=，若1n na S n nλ-≤-恒成立，则实数λ的最大值为（ ）A ．12 B ．1 C ．23D ．34，)()g n < 28．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（文））公比为q 的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足2021120212022202211,1,01a a a a a ->⋅><-．则下列结论正确的是（ ）A ．201120331a a ⋅>B ．n T 的最大值为2021TC ．n S 的最大值为2023SD ．1q >29．（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））记n S 为各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，378S =，312a =，则5a =（ ）A ．14B ．18C ．1D ．230．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足12311,238a a S a ==-，则n T 的最小值是（ ）A ．116B ．132C ．164D ．11282q 或1-（舍去），211,,84a a =111264⨯⨯=31．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）（多选题）意大利数学家列昂纳多•斐波那契提出的“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55,89,144,233,⋯，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列{}n a 满足()12211,n n n a a a a a n +++===+∈N .若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（ ）A ．910n n b b ++-=B ．1029n n S S ++=+C ．20222b =D ．20222696S =【答案】ABC【分析】根据数列{}n a 可得出数列{}n b 是以8为周期的周期数列，依次分析即可判断. 【详解】数列{}n a 为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…， 被3除后的余数构成一个新数列{}n b ，∴数列{}n b 为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，观察可得数列{}n b 是以8为周期的周期数列，故910n n b b ++-=，A 正确； 且1289b b b +++=，故10234102...9n n n n n n S S b b b S ++++++=++++=+，B 正确；82502262262=b b b ⨯+==，C 正确；则{}n b 的前2022项和为202225291120222276S ⨯++++++==，D 错误. 故选：ABC32．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）（多选题）将数列{}n a 中的所有项排成如下数阵： 234567891...a a a a a a a a a已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数1a 、2a 、5a 、成等差数列，且24a =，1010a =.从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以12为公比的等比数列，则（ ） A ．11a = B ．2021a 位于第84列C ．221n na a +<D ．2021841332a =193644=则2021a 为第21n n b a ++=a b =C 组 真题实战练33．（2021·全国·高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A【分析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.34．（2021·北京·高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n 的最大值． 【详解】若要使n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为，则，，所以11n ≤. 对于，，取数列各项为(1,2,10)n =⋯，1125a =,则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=， 所以n 的最大值为11．故选：C ．35．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b = A ．64 B ．96 C ．128 D ．160【答案】C【分析】设等差数列{}n a 公差为d ，求得48d =-，得到3192a =，结合党旗长与宽之比都相等和1192b =，列出方程，即可求解.【详解】由题意，五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，设公差为d ， 因为1288a =，596=a ，可得519628848513a a d --===--， 可得3288(31)(48)192a =+-⨯-=， 又由长与宽之比都相等，且1192b =，可得3113a ab b =，所以3131192192=128288a b b a ⋅⨯==. 故选：C.36．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，37．（2020·全国·高考真题（文））设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A ．12 B ．24 C ．30 D ．32【答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．38．（2020·全国·高考真题（文））记Sn 为等比数列{an }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ） A ．2n –1 B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –1【答案】B【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.39．（2020·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________． 【详解】{根据等差数列前力和计算能力，属于基础题.40．（2020·全国·高考真题（文））数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =______________. 【答案】7【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++118392928484540a a =++=+=， 17a ∴=.故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.41．（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值． 【答案】(1)26n a n =-；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.42．（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.(4)n ++-3(5)(4nn ⎛⎫++-⋅+ ⎪⎝⎭3433(44n⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43．（2021·全国·高考真题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 （1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.2111()121221+a a a a +-+=+++++++12(n n =+⨯的通项公式31n b n =-． 201924620++++()()a a a a a a a +=+++10101)b b ++-++300=． 满足12121,2n n a a a ==+，1924260)()a a a a a +++++++101012=⨯+方法一：由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列{}n a 的通项公式，然后累加求数列{}n b 的通项公式，是一种更加灵活的思路n 44．（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．113n n --+++121111333-⎫+++⎪⎭n ，230121*********323333n n n -⎫⎛⎫++++-++++=⎪ ⎪⎭⎝⎭0101233--+++113---n n 2111111212233-----+++n n ， ⑧ 311212233---+++nn ． ⑨211133-⎫++-⎪⎭n 123--⨯n n ． 03<⨯nn． 113n n --+++3213n n -+++2111133333n n n n =++++-1n b c ++=：导函数法 23+++=nx x x )()(1'1n x x ⎡⎤⎤-⎣⎦1-++=n nx1-n ，2111111233333n n b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1133f ⎛⋅ ⎝'13311)34423nnn ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+⎥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数。
等差数列与等比数列的概念与性质
等差数列与等比数列的概念与性质等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列类型。
它们在各个领域中都有广泛的应用，从金融到物理，从自然科学到社会科学。
本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质和应用，以帮助读者更好地理解这两个数列的特点与应用。
一、等差数列的概念和性质1. 概念：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。
这个差被称为等差数列的公差，常用字母d表示。
2. 性质：- 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ + (n-1)d 。
- 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。
- 等差数列的性质：（1）若首项相同，公差不同的两个等差数列相交，其交点仍为等差数列。
（2）若两个等差数列的公差之比为整数，则其和仍为等差数列。
（3）等差数列的前n项和与项数n成正比，即Sₙ与n成一次函数关系。
二、等比数列的概念和性质1. 概念：等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比相等。
这个比被称为等比数列的公比，常用字母q表示。
2. 性质：- 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ * q^(n-1)。
- 等比数列的前n项和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q)。
- 等比数列的性质：（1）若首项相同，公比不同的两个等比数列相交，其交点仍为等比数列。
（2）若两个等比数列的公比之比为整数，则其和仍为等比数列。
（3）等比数列的前n项和与项数n成正比，但比值不为常数。
三、等差数列与等比数列的应用1. 等差数列的应用：（1）在金融领域中，等差数列用于计算复利的增长情况。
（2）在物理学中，等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位置和速度变化。
等差数列与等比数列
等差数列与等比数列数学中的等差数列和等比数列是常见且重要的数列类型。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括代数、几何、物理和经济等。
本文将分别对等差数列和等比数列进行介绍，并探讨它们的性质和应用。
一、等差数列等差数列是一种以固定公差（差值）递增（或递减）的数列。
数列的每一项与前一项之差都相等。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中n为项数。
1. 性质与特点（1）等差数列的相邻两项差值相等，即an+1 - an = d。
（2）等差数列的首项与末项之和等于所有项之和的一半，即a₁ + an = (n + 1) × (a₁ + an) / 2。
（3）等差数列的前n项和是n乘以首项与末项之和的一半，即Sn = n × (a₁ + an) / 2。
2. 应用举例（1）数学中经常使用等差数列来解决问题，如求和、推导等。
例如，在几何网格中，等差数列可用于计算方格的总数。
（2）在经济学中，等差数列可用于计算投资额、利润和成本等相关问题。
（3）在物理学中，等差数列可应用于时间、距离和速度的关系等。
二、等比数列等比数列是一种以固定公比递增（或递减）的数列。
数列的每一项与前一项的比值都相等。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为an = a₁ × r^(n - 1)，其中n为项数。
1. 性质与特点（1）等比数列的相邻两项比值相等，即an+1 / an = r。
（2）等比数列的前n项和是首项与首项与公比的n次方项之差的一比率（不含首项），即Sn = a₁ × (r^n - 1) / (r - 1)，其中r ≠ 1。
2. 应用举例（1）等比数列在金融领域中有广泛的应用，如复利的计算等都会涉及等比数列。
（2）在自然科学中，等比数列可以用于模型建立和数据分析等方面。
（3）在人口统计学中，等比数列可用于人口增长和减少等问题的研究。
数学中的等差数列与等比数列
数学中的等差数列与等比数列数学中，等差数列和等比数列是两种经常出现的数列。
它们在数学和实际问题中都有重要的应用。
在本文中，我们将探讨等差数列和等比数列的定义、性质以及一些相关的应用。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻的两个数之间差值恒定的一种数列。
例如，1，4，7，10，13，16 就是一个等差数列，其中公差为 3。
数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1) * d，其中 a1 是数列的首项，d 是公差（即相邻两项的差），an 是第 n 项。
在等差数列中，我们可以通过已知的项数、首项和公差来求解其他的数值。
同时，我们也可以根据数列的特点推导出一些性质。
例如，等差数列中，任意三项 a1，an，am 满足 am = a1 + (n-m) * d。
这是因为从 a1 到 am 的步数是 n-m，每一步的差值是 d。
等差数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，当我们研究物体自由落体时，物体下落的高度与时间之间的关系可以表示为一个等差数列。
通过求解数列的和，我们可以得到物体下落的总距离。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻的两个数之间比值恒定的一种数列。
例如，2，6，18，54，162 就是一个等比数列，其中公比为 3。
数列的通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 是数列的首项，r 是公比，an 是第 n 项。
类似于等差数列，等比数列也可以通过已知的项数、首项和公比来求解其他的数值。
我们也可以根据数列的特点推导出一些性质。
例如，等比数列中，任意三项 a1，an，am 满足 an = a1 * (r^(n-m))。
这是因为从 a1 到 an 的步数是 n-m，每一步的比值是 r。
等比数列在实际问题中也有广泛的应用。
例如，当我们研究金融领域的复利计算时，复利的增长可以表示为一个等比数列。
通过求解数列的和，我们可以得到复利的总额。
综上所述，等差数列和等比数列在数学中都具有重要的地位。
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7
解：(1)由条件可得 an＋1＝2（nn＋1）an.
将 n＝1 代入得，a2＝4a1，而 a1＝1，所以，a2＝4.
将 n＝2 代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而 b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
由条件可得 an＋1 ＝2an，即 n＋1 n
(1)若要判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前 n 项和公式法，但不 能用来证明一个数列是等差(等比)数列． (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比) 数列即可．
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第二部分 专题二 数列
22
[课堂练习 2]
1．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，Sn＝13an＋1，则 a7＝(
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25
考点 3 等差、等比数列的性质(综合型)
[知识整合]
等差数列
等比数列
性质
(1)若 m，n，p，q∈N*，
(1)若 m，n，p，q∈N*，
且 m＋n＝p＋q， 特别，若 m n 2k,
则
则 am＋an＝ap＋aq.
am an 2ak
且
m
＋n
[课堂练习 1]
1 1．(2019·福州市质量检测)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列 an 为等差数列，
则 a9＝( )
A.12
B.54
C.45
D．－45
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13
解析：选 C.因为数列a1n为等差数列，a3＝2，a7＝1， 所以数列a1n的公差 d＝a177－ －a313＝17－ －123＝18，所以a19＝a17＋(9－7)×18＝54，所以 a9＝45， 故选 C.
)
A．47
B．3×45
C．3×46
D．46＋1
解析：选 B.依题意得 3Sn＝an＋1 即 3Sn＝Sn＋1－Sn，所以 Sn＋1＝4Sn.又 S1＝a1＝1，所 以数列{Sn}是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，所以 Sn＝1×4n－1＝4n－1，a7＝S7 －S6＝46－45＝3×45，选 B.
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19
[典型例题] (2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足 a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn ＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式．
＝p＋q，
特别，若m n 则 am an ak2
2k,
则 am·an＝ap·aq.
(2)an ＝am＋(n －m )d.
(2)an＝amqn－m.
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等 (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…
差数列
仍成等比数列(q≠－1)
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(2)由(1)知，an＋bn＝2n1－1，an－bn＝2n－1.
所以 an＝12[(an＋bn)＋(an－bn)]＝21n＋n－12，
bn＝12[(an ＋bn)－(an－bn)]＝21n－n ＋12.
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21
■ 规律方法 证明数列{an}是等差数列或等比数列的方法
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9
[典型例题] (2019·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S9＝－a5. (1)若 a3＝4，求{an}的通项公式； (2)若 a1＞0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围．
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第二部分 专题二 数列
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2
[做高考真题·明命题趋向] [做真题—高考怎么考]
1．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝13，a24＝ a6，则 S5＝________．
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3
解析：通解：设等比数列{an}的公比为 q，因为 a24＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以 a1q ＝1，又 a1＝13，所以 q＝3，所以 S5＝a1（11－－qq5）＝13×（1－1－335）＝1231. 优解：设等比数列{an}的公比为 q，因为 a24＝a6，所以 a2a6＝a6，所以 a2＝1，又 a1 ＝13，所以 q＝3，所以 S5＝a1（11－－qq5）＝13×（1－1－335）＝1231.
10
【解】 (1)设{an}的公差为 d. 由 S9＝－a5 得 a1＋4d＝0. 由 a3＝4 得 a1＋2d＝4. 于是 a1＝8，d＝－2. 因此{an}的通项公式为 an＝10－2n. (2)由条件 S9＝－a5 得 a1＋4d＝0 即 a1＝－4d，故 an＝(n－5)d，Sn＝n（n－2 9）d. 由 a1>0 知 d<0，故 Sn≥an 等价于 n2－11n＋10≤0，解得 1≤n≤10. 所以 n 的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
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20
【解】 (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．
所以
an 1 an
bn 1 bn
1 2
,又因为
a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为
1，公比为12的等比数列．
由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即(an＋1－bn＋1)－(an－bn)=2. 又因为 a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
答案：1231
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4
2．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a3＝5，a7 ＝13，则 S10＝____________． 解析：通解：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意，得aa11＋ ＋26dd＝ ＝51，3，解得ad1＝＝21，， 所以 S10＝10×1＋10× 2 9×2＝100. 优解：由题意，得公差 d＝14(a7－a3)＝2，所以 a4＝a3＋d＝7，所以 S10＝10（a12＋a10） ＝5(a4＋a7)＝100. 答案：100
bn＋1＝2bn，又
b1＝1，所以{bn}是首项为
1，公比为
2
的
等比数列．
(3)由(2)可得
bn＝2n
－1，即an＝2n－1，所以 n
an＝n·2n－1.
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8
[研考点考向·破重点难点] 考点 1 等差、等比数列中基本量的计算(综合型) [知识整合]
1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式 an＝a1＋(n－1)d；Sn＝n（a1＋ 2 an）＝na1＋n（n2－1）d(n∈N*)． 2.等比数列的通项公式及前 n 项和公式 an＝a1qn－1(q≠0)；Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqnq(q≠1)(n∈N*)；q＝1 时，Sn＝na1.
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第二部分 专题二 数列
5
3．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16. (1)求{an}的通项公式； (2)设 bn＝log2an，求数列{bn}的前 n 项和． 解：(1)设{an}的公比为 q，由题设得 2q2＝4q＋16，即 q2－2q－8＝0. 解得 q＝－2(舍去)或 q＝4. 因此{an}的通项公式为 an＝2×4n－1＝22n－1. (2)由(1)得 bn＝(2n－1)log2 2＝2n－1，因此数列{bn}的前 n 项和为 1＋3＋…＋2n－1 ＝n2.
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16
3．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记 Sn 为{an}的前 n 项和．若 Sm＝63，求 m.
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第二部分 专题二 数列
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解：(1)设{an}的公比为 q，由题设得 an＝qn－1. 由已知得 q4＝4q2，解得 q＝0(舍去)，q＝－2 或 q＝2. 故 an＝(－2)n－1 或 an＝2n－1. (2)若 an＝(－2)n－1，则 Sn＝1－（3－2）n. 由 Sm＝63 得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若 an＝2n－1，则 Sn＝2n－1.由 Sm＝63 得 2m＝64，解得 m＝6. 综上，m＝6.
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考点 2 等差、等比数列的判定与证明(综合型) [知识整合]
1.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明 an＋1－an(n∈N*)为一常数． (2)利用等差中项，即证明 2an＝an－1＋an＋1(n≥2 且 an≠0)．
2.证明数列{an}是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明aan＋n 1(n∈N*)为一非零常数． (2)利用等比中项，即证明 a2n＝an－1an＋1(n≥2 且 an≠0)．
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