关于某矩阵秩地证明

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线性代数课件第三章矩阵的秩课件

VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。

《矩阵的秩的等式及不等式的证明》

摘要矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.目录第一章绪论 (1)第二章预备知识 (2)第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 (3)第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 (6)第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 (10)第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 (15)第七章小结 (23)参考文献 (24)致谢 (25)第一章绪论矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学.目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握.本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.第二章预备知识定义1矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩；矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.定义2如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.定义3 数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：（1）以数域P 中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；（2）把矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）；（3）互换矩阵中两行（列）的位置.定义4在一个s n ⨯矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行列交叉点上的2k 个元素按原来的次序组成的k 级行列式称为A 的一个k 级子式.定义5设A 为m n ⨯矩阵,称线性方程组0Ax =的解空间为A 的零空间(即核空间)，记作()N A ,即(){}0N A x Ax ==.引理1[1] 矩阵的行秩等于列秩.引理2[1] 任意两个等价的向量组必有相同的秩.引理3 n 阶方阵A 可逆0A ⇔≠.证明:充分性:当,0≠=A d 由**11()()A A A A E d d ==知A 可逆，且1*1.A A d-= 必要性:如果A 可逆，那么有1-A 使.1E AA =- 两边取列式，得11==-E A A ，因而0≠A .引理4[1] 矩阵的秩是r 的充要条件为矩阵中有一个r 级子式不为0，同时所有的1r +级子式全为0.引理5[1] 如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩. 证明：根据已知可知向量组()I 极大线性无关组可由()II 的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质(见参考文献[1])可得，向量组()I 极大线性无关组的向量个数不超过()II 的极大线性无关组的向量个数，即()I 的秩不超过()II 的秩.引理6[1] 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数为n r -，这里r 表示系数矩阵的秩，n r -也是自由未知量的个数.第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩，秩为r 的充要条件，常见的秩的不等式等等.要掌握并且灵活运用这些知识才能证明下面的命题.这些命题都是一些基本的命题.命题 ()()T r A r A =．证明：由矩阵转置的定义,A 的行向量组就是T A 的列向量组，因此A 的行秩就是T A 的列秩，又由引理1知()()T r A r A =，命题证毕.命题 ()()r kA r A =（其中0k ≠）.证明：kA 的行向量组可由A 的行向量组线性表出，A 的行向量组也可由kA 的行向量组线性表出，因此kA 的行向量组与A 的行向量组等价.由引理2它们的秩相等，再由秩的定义知kA 与A 的秩相等,命题证毕.命题 A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么()()()r A r PA r AQ ==.证明：令B PA =,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知()()r B r A ≤,但是由1A P A -=，又有()()r A r B ≤．所以()()()r A r B r PA ==.另一个等式可以同样地证明,命题证毕.命题[2] 设A 是一个n 阶方阵，则()()()()*,1,10,2n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪≤-⎩如如如.证明：若()r A n =，由引理3，0A ≠，知A 可逆，*1A A A -=可逆，故()r A n *=．若()1r A n =-，由引理4，A 存在1n -阶子式不为0，因此*0A ≠,()1r A *≥，又因为*0AA A E ==，有()()*r A r A n +≤，即()()*1r A n r A ≤-=，从而()*1r A =．若()2r A n ≤-，则由引理4，A 存在1n -阶子式全为0，于是*=0A ，即()*0r A =．命题证毕.从这个命题可以得出()()*r A r A ≤的结论.命题［３］设A 是一个m n ⨯矩阵，任取A 的s 行t 列,交叉处的s t ⨯个元素按原来的相对位置构成s t ⨯子矩阵C ，则()()r C m n r A s t ++≥++．证明:设D 为A 的s 行所构成的s t ⨯子矩阵，它由C 所在的s 行确定.设()r D d =.则A 的任意一个大于d m s +-阶的子式M 必须至少有1d +行出现在D 中.根据行列式的性质，对这个子式M 按出现在D 中的那些行进行拉普拉斯展开，则可以看出，这个M 可以表示成D 的一些阶子式的线性组合，其中k 为某个大于d 的数.由引理3这些子式全为零.因此任意一个大于d m s +-阶子式M 必须等于零.由秩的定义,()()r A r D m s ≤+-.由行与列的对称性类似地可推出()()r D r C n t ≤+-,两式相加即可得到()()r C m n r A s t ++≥++，命题证毕.命题［４］设,A B 都是n 阶矩阵,证明:()()()r AB A B r A r B ++≤+.证明:()()()r AB A B r A B E B ++=++()()r A B E B ≤++()()r A r B ≤+，命题证毕. 例设A 为n 阶方阵，求证必存在正整数m 使得()()1m m r A r A +=.证明:由于A 为n 阶方阵，则()()()20i n r A r A r A ≥≥≥≥≥,其中i 为正整数,而n 是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，因而必存在正整数m 使得()()1m m r A r A +=.例设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，证明()()()r AB E r A E r B E -≤-+-.证明:因为()()AB E A E A B E -≤-+-,所以()()()()()()()()()r AB E r A E A B E r A E r A B E r A E r B E -=-+-≤-+-≤-+-. 命题设A 为n 阶矩阵，证明:如果2A E =,那么()()r A E r A E n -+-=.证明：因为()()20A E A E A A A E E E -+=+--=-=,由命题知()()r A E r A E n -+-≤. ①又 ()()()()()2r A E r A E r A E A E r A r A -++≥++-==而2A E =，所以21A =,即0A ≠，()r A n =. 因此()()r A E r A E n -+-≥. ②由①，② 可得()()r A E r A E n -+-=.例[5] 设A ,B 为n 阶方阵,且1=,ABA B -则()()n AB E r AB E r =-++.证明:因为,1-=B ABA 所以()E AB =2.由命题知()()n E AB r E AB r =-++ (1)由 ()()E AB r AB E r +=+,()()E AB r AB E r -=- (2)由(1),(2)知有()()n AB E r AB E r =-++成立.例设A 为n 阶矩阵,且2A A =,证明()()r A r A E n +-=.证明：由2A A =，可得 ()0A A E -=.()()r A r A E n +-≤ ①又因为E A -和A E - 有相同的秩,所以()()()()n r E r A E A r A r E A ==+-≤+- ②由①，② 可得()()r A r A E n +-=.第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用线性空间的维数公式，同构，直和分解，核与值域的一些性质和定理来证明矩阵的一些秩的等式和不等式命题.线性空间和线性变换的知识本来就比较抽象，还要和矩阵的联系起来，是有一定的难度的.这其中要构造一些映射．命题 A 设为n 阶方阵，如果A 的列向量所生成的n R 的子空间()R A 与A 的零空间（即核空间）()N A 的直和为n R ，则()()2r A r A =.证明:根据引理6，要证()()2r A r A =，只要证0AX =与20A X =同解．0AX =的解显然为方程组20A X =的解.下面我们用反证法证明20A X =的任一解Y 同时也是20A X =的解.若0AY ≠，因()0A AY =,故()AY N A ∈.另一方面，()1ni i i AY y R A α==∈∑，其中()12,,,n A ααα=，()12,,,Tn Y y y y =, 从而 ()()0AY R A N A ≠∈⋂,这与()()n R R A N A =⊕矛盾,所以20A X =的任一解同时也是0AX =的解,于是它们同解,故()()2r A r A =.命题设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵，证明Sylrester 公式：()()()+-r A r B n r AB ≤.证明:设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵,考虑1n x X x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1n y Y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 方程组0(1)0(2)0(3)ABX BX AY =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ,设（1）（2）（3）的解空间分别为AB V ，B V ，A V ，则()dim A V n r A =-，将三者联系起来，作{}AB BX x V ∈，则它为A V 的子空间，从而{}()dim dim AB A BX x V V n r A ∈≤=-，又B V 为AB V 的子空间，作：AB B V V W =⊕一方面()()()()()dim dim dim 11AB B W V V r AB r B r B r AB =-=---=- 下证{}AB W BX X V ≅∈定义 {}:AB f W BX X V →∈()f B ξξ=易知这个映射是单满的，并且满足线性运算条件，所以它是同构映射.{}()()dim dim AB W BX X V r B r AB =∈=-但上面：{}()dim dim AB A BX X V V n r A ∈≤=-.因此 ()()()n r A r B r AB -≥-，即 ()()()r A r B n r AB +-≤．命题设A 为m n ⨯，B 为n m ⨯矩阵，AB BA =．证()()()()AB r B r A r B A r -+≤+．证明:设4321,,,w w w w 分别为A ,B ,A B +,AB 行空间,那么()1dim w r A =, ()2dim w r B =()3dim w r A B =+, ()4dim w r AB =由于213w w w +⊆,并由维数公式得:()31212dim dim dim dim w w w w w ≤+=+()21dim w w ⋂-即得:()()()()12dim r A B r A r B w w +≤+-⋂ (1)由于AB 的行向量是B 的行向量的线性组合,所以有24w w ⊆,又AB BA =,所以有14w w ⊆,因此有214w w w ⋂⊆,所以有()()21dim w w AB r ⋂≤ (2).将(2)代入(1)即得: ()()()()AB r B r A r B A r -+≤+. 命题若()()r AB r B =，证明()()r ABC r BC =.证明：设方程组0ABX =与0BX =的解空间分别为AB V ，B V . 若()()r AB r B =，则根据引理6知()()dim dim AB B V V = ① 又因为满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇ ② 由① ②可推出AB B V V =.要证()()r ABC r BC =，只要证0ABCX =与0BCX =同解. 设方程组0ABCX =与0BCX =的解空间分别为ABC V ，BC V . 显然ABC BC V V ⊇,只要证ABC BC V V ⊆.由0ABCX =知AB B CX V V ∈=,即0BCX =，因此ABC BC V V ⊆，命题得证. 此例是一个有价值的结论.例 n 阶矩阵A 满足2A A =当且仅当()()r A r A E n +-=.证明：先证明必要性.由2A A =知A 相似于形如0110A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的对角阵，其中1的个数为()r A ,又E A -与0E A -相似，从而有相同的秩，而0110E A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中0的个数为A 的秩，1的个数()n r A -.所以()()()()()()00r A r E A r A r E A r A n r A +-=+-=+-=.充分性.只要证明对任意X 均有2A X AX =即可.由()()r A r E A n +-=说明,10AX =的解空间1V 与()20E A X -=的解空间2V 满足12n V V R ⊕=,从而对任意X 存在唯一分解12X X X =+其中1122X V X V ∈∈,所以()()()()22121222121200A X A X X A AX A AX A AX X AX AX A X X =+=+=+=+=+=+AX =综上即证2A A =.命题设,A B 分别是,m m m n ⨯⨯矩阵，A 其中为可逆矩阵,证明()().r AB r B = 证明：设121212,(,,...,),(,,...,),(,,...,)m n n AB Q A B Q αααβββγγγ====，则 1211122212(,,...,),(,,...,),...,(,,...,)m m m n n αααβγαααβγαααβγ=== 因为A 为可逆矩阵，秩为m ，故可将12(,,...,)m ααα看做m 维线性空间的一组基，则12,,...,n γγγ向量在这组基下的坐标向量分别为12,,...,n βββ.作1212(,,...,),(,,...,)n n l l βββγγγ，在这两个线性空间中构造映射，将12(,,...,)n l γγγ中的每个向量映射到在基12(,,...,)m ααα下的坐标向量，这个映射是一个同构映射，因此1212(,,...,),(,,...,)n n l l βββγγγ这两个线性空间同构，所以1212dim((,,...,))dim((,,...,))n n l l βββγγγ=，而1212dim((,,...,))(),dim((,,...,))()n n l r B l r AB βββγγγ==.所以()().r AB r B = 同理可证明B 当为可逆矩阵时,()().r AB r A =这章主要是利用线性空间和线性变换的一些知识来证明矩阵的秩的等式和不等式命题，难点在于要好好理解线性空间和线性变换的一些知识，重要定理和性质，再把握它们同矩阵的联系.第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要利用向量组的秩和极大线性无关组的一些知识，以及线性方程组的解空间的维数和系数矩阵的秩的关系来证明秩的等式和不等式.命题设A 是m n ⨯矩阵，B 是m p ⨯矩阵,则()r A 或()()()()r B r A B r A r B ≤≤+. 证明：()A B 列向量组向量的个数比A 和B 多，所以()r A 或()()r B r A B ≤．下面证明()()()r A B r A r B ≤+.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B的列向量组的极大线性无关组,则()A B 的每个列向量均可用向量组121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B线性表出,根据引理5可知()()()()12121212,,,,,i i ir j j jr r A B r A A A B B B r r r A r B ≤≤+=+.命题证毕.命题设A ,B 是m n ⨯矩阵，()()()()()r A r B r A B r A r B -≤±≤+. 证明：先证明()()()r A B r A r B +≤+. 设()12,,n A A A A =,()12,,n B B B B =,则()1122,,n n A B A B A B A B +=+++.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，则有111122s i i r ir A k A k A k A =+++()1,2,,s n =221122s i i r ir B l B l B l B =+++112211221122s s i i r ir i i r ir A B k A k A k A l B l B l B +==+++++++即A B +的列向量可以由121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B 线性表出，由引理5知()()()()12121212,,,,,i i ir j j jr r A B r A A A B B B r r r A r B +≤≤+=+.再证明()()()r A r B r A B -≤+.由刚证明的结论()()()r A B r A r B +≤+可知()()()()()()()()r A r A B B r A B r B r A B r B =++-≤++-=++,移项得到()()()r A r B r A B -≤+,同理可得()()()r B r A r A B -≤+,因此()()()r A r B r A B -≤+. 综上所述我们证明了()()()()()r A r B r A B r A r B -≤+≤+，对于()()()()()r A r B r A B r A r B -≤-≤+，只要把以上证明过程的B 改成B -即可得证，命题证毕.由命题()()T r A r A =,命题()()r kA r A =（其中0k ≠）和本命题可推知()()()r kA lB r A r B +≤+（其中0kl ≠）.例设A ,B 是m n ⨯矩阵,证明:()()r A B r A B ±≤. 证明:先证明()()r A B r A B +≤. 设()12,,n A A A A = ()12,,n B B B B =,则()1122,,n n A B A B A B A B +=+++ ()()1212,,,,,n n A B A A A B B B =.不妨设112,,i i ir A A A 与212,,j j jr B B B 分别是A 与B 的列向量组的极大线性无关组，则有111122s i i r ir A k A k A k A =+++()1,2,,s n =221122s i i r ir B l B l B l B =+++112211221122s s i i r ir i i r ir A B k A k A k A l B l B l B +==+++++++即A B +的列向量可以由121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B 线性表出,由于 121212,,,,,i i ir j j jr A A A B B B也是来自于()A B 的列向量组的向量,所以A B +的列向量也可以由()A B 的列向量组线性表出,根据引理5可知()()r A B r A B +≤.对于()()r A B r A B -≤, 只要把以上证明过程的B 改成B -即可得证，命题证毕.命题设A 是m n ⨯矩阵，B 是n p ⨯矩阵，如果0AB =，则()()r A r B n +≤. 证明：设 ()12,,,p B B B B =，则()12,,,0p AB AB AB AB ==.故有120p AB AB AB ====,即齐次方程组0AX =有p 个解12,,,p B B B .若()r A r =，则根据引理6,12,,,p B B B 可由n r -个解向量组成的基础解系线性表出.根据引理5有()r B n r =-,()()()r A r B r n r n +≤+-=,命题证毕. 例 A 是m n ⨯矩阵，则()()()()T T T r A A r AA r A r A ===. 证明：由命题知()()T r A r A =.下面我们先证明()()T r A A r A =. 只要证明0T A AX =与0AX =同解便可得到()()T r A A r A =. 一方面，满足0AX =解向量也满足0T A AX =；另一方面，由0T A AX =两边同时左乘T X 得到0T T X A AX =，即()()0TAX AX =，设1n k AX k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,那么()()2210T n AX AX k k =+=,所以0i k =()1,2,,i n =，0AX =，满足0T A AX =的解也满足0AX =．综上所述0T A AX =与0AX =同解,解空间的维数相等，由系数矩阵的秩与线性方程解空间的维数之间的关系可知()()T n r A A n r A -=-，()()T r A A r A =.对()()T T r AA r A =证明过程与此类似，所以()()()()T T T r A A r AA r A r A ===，命题证毕.例证明：若线性方程组0AX =的解均为0BX =的解，则()()r A r B ≥.证明：设方程组0AX =与0BX =的解空间分别为A V ,B V ，若线性方程组0AX =的解均为0BX =的解，则A B V V ⊆,()()dim dim A B V V ≤根据引理6有()()n r A n r B -≤-,即()()r A r B ≥，命题得证.例设A 为m n ⨯矩阵，B 为1n ⨯矩阵，证明0ABX =与0BX =同解的充分必要条件为()()r AB r B =.证明：设方程组0ABX =,0BX =解空间分别为AB V ,B V . 必要性：若AB B V V =，()()dim dim AB B V V =,根据引理6可知()()n r AB n r B -=-,可以推出()()r AB r B =.充分性：若()()r AB r B =，则根据引理6知()()dim dim AB B V V = ①又因为满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇ ②由① ②可推出AB B V V =.命题证毕.命题设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P 上m s ⨯矩阵，证明()()(){}min ,r AB r A r B ≤即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.证明: 构造齐次线性方程组0ABX =与0BX =,设方程组0ABX =与0BX =的解空间分别为AB V ,B V .显然，满足0BX =解向量也满足0ABX =,所以AB B V V ⊇,()()dim dim AB B V V ≥, 根据引理6知()()r AB r B ≤.再构造齐次线性方程组0T T B A X =与0T A X =，同理可得()()T T T r B A r A ≤,即()()r AB r A ≤.综上所述()()(){}min ,r AB r A r B ≤.此命题用归纳法可以推广为：如果12m A A A A =那么1()()min j j mA A ≤≤≤秩秩.例如果m n ⨯方程组0AX =的解为方程11220n n b x b x b x +++=的解，其中()'12,,,n X x x x =，求证()12,,,n A r r A b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.证明：由已知可知0AX =与120,,,n A X b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭同解，根据引理6它们的系数矩阵的秩相等,所以 ()12,,,n A r r A b b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵分块的方法来证明矩阵的秩的等式和不等式，也包括矩阵分解的方法证明秩的等式和不等式，涉及到了矩阵的广义初等变换和广义初等矩阵.例[4] 设A 是数域P 上n m ⨯矩阵，B 是数域P 上m s ⨯矩阵，求证()()(){}min ,r AB r A r B ≤,即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩．证明：设111212122212m m n n nm a a a a aa A aa a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，111212122212s s m m ms b b b b bb B b b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭令12,,,m B B B 表示B 的行向量，12,,,n C C C 表示C AB =的行向量。

矩阵秩的相关结论证明及举例

华北水利水电大学矩阵秩的相关结论证明及举例课程名称：线性代数专业班级：能源与动力工程（热动）101班成员组成：王威威联系方式：2014年12月30日一：摘要矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是线性代数的一个重要研究对象，因此，矩阵的秩的结论作为线性代数的一个重要结论已经渗透到各章节之中，他把线性代数的内容紧紧联系在一起，矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性则贯穿矩阵理论的始终，所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵，而且也是我们学习好线性代数各章节的有力保证。

关键词：矩阵秩结论证明英文题目Abstract:Matrix rank is an extremely important and widely us ed in the mathematical concept, is an important res earch object of linear algebra, as a result, the c onclusion of the rank of matrix as an important co nclusion of linear algebra has penetrated into chapt er, associate the content of the positive linear al gebra and matrix of rank as an important essential attribute of the matrix, however, throughout the c ourse of the theory of matrix so that the study o f matrix rank can not only help us better learning matrix and chapter we learn good linear algebra Key words:matrix rank conclusion proof二：正文1：定义定义 1.11 在矩阵A=()m n ij a ⨯中任意取k 行k 列（1≤k ≤min(m,n)），位于这k 行k 列交点上的k*2个元素，按照他们在矩阵A 中的相应位置所组成k 阶行列式称为矩阵A 的一个k 阶子式。

利用分块矩阵证明有关矩阵的秩

第五章利用分块矩阵证明有关矩阵的秩定理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上的m ×s 矩阵，求证秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。

证明：令B 1，B 2，…，B m 为B 的行向量，则有由上可知，AB 的行向量是B 的行向量的线性组合，因此秩AB ≤秩B ；同理，令A 1，A 2，…，A m 为A 的列向量，同样可得AB 的列向量是A 的列向量的线性组合，因此秩AB ≤秩A 。

综上所述，秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。

命题1：证明秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。

证明：令A 1，A 2，…，A n 为A 的列向量，令B 1，B 2，…，B n 为B 的列向量，从而A+B=（A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ），即其每个列向量均可由｛A 1，A 2，…，A n ，B 1，B 2，…，B n ｝线性表出，不妨设｛A 1，A 2，…，A ｒ｝｛B 1，B 2，…B ｔ｝分别为｛A 1，A 2，…，A n ｝｛B 1，B 2，…，B n ｝的极大线性无关组。

则A+B 的列向量均可由向量组｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝线性表出。

因此秩（A ＋B ）＝秩｛A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ｝≤秩｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝≤r+t ，即秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。

命题2：设A 为数域P 上的n 阶方阵，若A 2=E ，证明秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。

证明：矩阵进行初等变换后秩不变，最后的矩阵秩为n 。

由此可得秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。

11111221m m 22112222m m m n11n22nm m B a B a B a B B a B a B a B B AB B a B a B a B +++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭L L M M L ，21A+E A E 2A E0A E A E A E 2E 0A E 0A E 0A E 0-2E 02E 10A E (A E)(A E)A E 2=++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫ ⎪−−−−−−→−−−→ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭将二列的（）倍加到一列。

矩阵的秩课件

总结词
理解矩阵秩的定义
详细描述
矩阵的秩定义为线性无关的行向量或列向量的最大数量。
总结词
掌握特殊矩阵的秩
详细描述
对于方阵，其秩等于其所有非零子式的最高阶数；对于增广矩阵，其秩等于其对应的系数矩阵的秩。
习题二：判断矩阵是否可逆
总结词
掌握判断矩阵可逆的方法
01
总结词
理解矩阵可逆的定义
03
总结词
掌握可逆矩阵的性质
秩也可以定义为矩阵中非零子式的最高阶数。
秩的性质
秩具有传递性，即如果矩阵A的秩为r ，矩阵B的秩也为r，那么矩阵A+B的秩也为r。
如果矩阵P和Q可逆，那么(P*Q)的秩等于(Q*P)的秩，即 rank(P*Q)=rank(Q*P)。
秩的计算方法
利用初等行变换或初等列变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的数量即可得到矩阵的秩。
THANKS
感谢观看
详细描述
构造法是一种直接证明方法，适用于能够具体构造出满足条件的例子或反例的情况。在证明矩阵秩的性质时，构造法可以通过构造一个具体的矩阵例子或反例，来证明命题的正确性或错误性。
06
矩阵秩的习题与解答
习题一：求矩阵的秩
总结词
掌握求矩阵秩的方法
详细描述
通过初等行变换，将矩阵转化为行阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩阵的秩。
归纳法
总结词
通过数学归纳法，证明对于所有自然数n，命题都成立。
详细描述
归纳法是一种通过有限步骤证明无限命题的方法。在证明矩阵秩的性质时，归纳法可以通过从n=1开始，逐步推导归纳步骤，最终证明对于所有自然数n，命题都成立。
构造法
要点一

关于矩阵的秩的证明方法

关于矩阵的秩的证明方法矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以用于描述矩阵的行或列的线性独立性。

在解决线性方程组、计算矩阵的逆、求解特征值等问题中，矩阵的秩起到了至关重要的作用。

本文将介绍几种常用的证明矩阵秩的方法。

方法一：初等行变换法我们可以使用初等行变换法来证明矩阵的秩。

初等行变换包括三种操作：交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的若干倍。

通过这些操作，我们可以将矩阵化简为行阶梯形矩阵，然后计算矩阵中非零行的个数即可得到矩阵的秩。

举个例子来说明这个方法。

假设有一个3×3的矩阵A，经过初等行变换后，得到行阶梯形矩阵B。

如果B中有3行都不为零，那么矩阵A的秩为3；如果B中只有2行不为零，那么矩阵A的秩为2；如果B中只有1行不为零，那么矩阵A的秩为1；如果B中没有非零行，那么矩阵A的秩为0。

方法二：线性无关向量法另一种常用的证明矩阵秩的方法是使用线性无关向量。

假设有一个矩阵A，我们可以将其列向量表示为A1、A2、...、An。

如果这些列向量线性无关，即不存在非零的标量c1、c2、...、cn，使得c1A1+c2A2+...+cnAn=0，那么矩阵A的秩为n。

否则，矩阵A的秩小于n。

举个例子来说明这个方法。

假设有一个3×3的矩阵A，其列向量表示为A1、A2、A3。

如果这三个向量线性无关，那么矩阵A的秩为3；如果其中两个向量线性无关，那么矩阵A的秩为2；如果其中只有一个向量线性无关，那么矩阵A的秩为1；如果这三个向量线性相关，那么矩阵A的秩为0。

方法三：行列式法还有一种证明矩阵秩的方法是使用行列式。

对于一个n×n的矩阵A，如果其行列式不为零，即|A|≠0，那么矩阵A的秩为n。

否则，矩阵A的秩小于n。

举个例子来说明这个方法。

假设有一个3×3的矩阵A，如果|A|≠0，那么矩阵A的秩为3；如果|A|=0，那么矩阵A的秩小于3。

方法四：零空间法我们可以使用零空间来证明矩阵的秩。

矩阵秩的相关结论证明及举例结课论文

华北水利水电学院矩阵秩的相关结论证明及举例课程名称：线性代数专业班级：测控2011088成员组成：联系方式：2012年11月3日摘要：矩阵的秩是线性代数中一个非常重要的概念，它是研究线性方程组、向量空间、欧式空间及二次型的一个有力工具，为了更好地掌握和运用它，有必要将一些重要结论及证明进行归纳。

关键词：矩阵秩结论证明Proof and Example Of Some Conclusions Of Matrix Rank Abstract:The matrix rank is an important algebraic conception. It is a vigorous tool of studying linear equations,vector space ,Euclidean space,linear transformation and quadratic form.It is necessary for us to master operation formula of matrix rank.Key words:matrix rank conclusion proof正文：1 引言:矩阵的秩是代数学中一个非常重要的概念,它是研究线形方程组、向量空间、欧式空间、线性变换及二次型的一个有力工具。

为了更好的掌握和运用它，很有必要将一些重要的结论进行归纳、证明。

2 矩阵秩的相关结论证明及举例 2.1矩阵几个重要结论的证明：定义：矩阵A=()mn ij a ⨯的秩等于A 中一切不等于零的子式的最高结束，记作：()A r 。

矩阵秩的几个重要结论证明如下：结论1对于任意矩阵A ，有()A r =()'A r 。

其中'A 是矩阵A 的转置矩阵.证因为A ='A ，则A 与'A 的不等于零的子式的最高阶数相等，即()A r =()'A r . 结论2对于任意矩阵A ，有()kA r =()A r ，其中k 是非零常数. 证因为KA 与A 的不等于零的子式的最高阶数相等，则()kA r =()A r . 结论3 对于任意矩阵A ，()*A r =()A r ()kA r ，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 证当()A r =n ，即A 可逆时，由于*A =1-n A，故*A 也是可逆的，即()*A r =n ，当()A r =n-1时，有A =0，于是*AA =A .I=0，从而()≤*A r 1，又因为()A r =n-1，所以至少有一个代数余子式0≠ij A ，从而又由()1≥*A r ，于是()1=*A r ，当()10-≤≤n A r 时，0=*A ，即此时()0=*A r .则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n A r n A r n A r n A r 当当当即()()A r A r ≤*.结论4()()()().min B r A r AB r ∙≤证 ()(),,A ,,s B r r A r B n l l m ==⨯⨯设因为()r A r =，所以存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=,000⎪⎪⎭⎫⎝⎛rI 于是()()().00011⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛===-B I r B PAQQ r PAB r AB r r其中(),'11ij b Q B ==-所以()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=o o o ob b r b I r AB r n ij r........................ (00)0111显然最右边一个矩阵的秩不超过它的非零行数r ，也不超过(),1s b r =所以()()()().,min B r A r AB r ≤结论5设A,B,C 分别为q p p n n m ⨯⨯⨯,,矩阵，则()()()()B r ABC r BC r AB r +≤+证因为,00⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-o B ABC BC B AB I o A I 所以 ()()()()B r ABC r o B ABC o r BC B o AB r BC o o AB r BC r AB r +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+ 2.2矩阵不等式的证明：定义1设D=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A 212222111211是分块矩阵，称下面3种变换为分块矩阵的初等变换.（1）对调两行（对调i 、j 两行，记做brj bri ←）；（2）以非零矩阵B 左乘分块阵的某一行（B 左乘第i 行,记做B*bri),分块阵的某一行右乘非零矩阵B （第i 行右乘B,记bri*B);（3）以非零矩阵B 左乘分块阵的某一行加到另一行对应元素上去（B 左乘第i 行加到第j 行，记做brj+B*bri),分块阵的某一行右乘非零矩阵B 加到另一行对应元素上去（第i 行右乘B 加到第j 行，记做brj+bri*B).把定义中的“行”换成“列”，即得到分块矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把"br"换成"bc").结论1 设D=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C O A ，则r(D)≧r(A)+r(B). r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡En O O AB =r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-En A B O ,得 r(AB)+n ≧r(A)+r(B), 即 r （AB)≧r(A)+r(B)-n.结论2 设A ，B 均为n*m 阶矩阵，则r(A+B)≦r(A)+r(B). 证明：设A=(a1,a2,…，an), B=(b1,b2,…bn)则 A+B=(a1+b1,a2+b2,…，an+bn)于是 r(a1+b1,a2+b2,…，an+bn)≦r(a1,a2,…，an)≦r(b1,b2,…bn) 故 r （AB)≦r(A)+r(B).结论3 设A 是n 阶方阵，则r(A+E)+r(A-E)=n ⇔A 2=E,证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+E A O O E A _⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++−−−→−⨯-+E A EEA E A EA EA r r r r l E b El b 2002112 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-−−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+−−−−→−⨯--⨯+-02)(21002)(21E 22222112E A E E A E A r r r r l E A b l EA b ，则()()()n A E r E A r E A r +-=-++2故()()()E A A E r n E A r E A r =⇔=-⇒=-++220证明 ()()()B r A r B A r B B A AB A A B r r r r b b b E b +≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯+故,0000A E 2112结论 4设A ，B 均为n 阶方阵，则()()()E B r E A r -+-≤E -AB r 证明故,E -B -A -AB 000E-A 2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯+⨯+E B E AB E B A AB E A E B E b b b A b r r r r ()()()Ｂ－Ｅ＋ｒＡ－Ｅｒ－Ｅ≤AB r 例设A 是n 阶可逆矩阵，且n X C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡r 试用A ，B ，C 表示X 。

矩阵秩的一些著名结论

引言矩阵的秩是高等代数中一个应用及其广泛的理论，有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程组的解等密切相关，推证有难度也有技巧。

熟练掌握关于矩阵秩的一些结论及其证明技巧，对有关理论的学习会有很大的裨益。

矩阵A 中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵A 的秩，记为r(A).一些平凡的理论及概念读者可参阅一些权威教材,这里只对一些经典的理论做一讨论.1. 证明: 设B A ,为两个同阶矩阵,则有r(A ﹢B)≤r(A)﹢r(B)证设A =(α1,α2,…,αn), B =()βββn,...,,21则 A +B =(α1+β1,α2+β2,…,αn+βn)不妨设A 列向量的极大线性无关组为α1,α2,…,αr. (1≤r ≤n)；B 列向量的极大线性无关组为β1，β2，…βs . (1≤s ≤n).则k i i1=αα1+α22k i +…+αrir k ;βi=β11l i +β22l i +…+βsisl ;则αi+βi=k i 1α1+α22k i +…+αrirk +β11l i +β22l i +…+βsisl ;即A +B 的列向量可由α1,α2,…,αr，β1，β2，…βs线性表出，故)()()(B +A =+≤B +A r r s r r . 2. 若AB =O ,则)()(B r A r +n ≤.证记 ),...,,(21βββnB =，由AB =O ，知B 的每一列都是O =AX 解,即O =Aβi,i =1,2,…,n又因O =AX 的基础解系所含向量个数为)(A r n -,换言之, O =AX 的所有解所构成的向量组的秩为)(A r n -.故≤)(B r )(A r n -, 即)()(B r A r +n ≤.3.若E A=2，证明)(E A r ++)(E A r -=n.证E A =2,EA 22=,E A22-=)(E A -)(E A +O =,由结论2知r )(E A -+r )(E A +n ≤;)()(2A E A E E ++-= 再由结论1知，r )(E A -+r )(E A +n E r =≥)2(,综上所述, )(E A r ++)(E A r -=n.4 若A A=2证明： )(A r +)(E A r -n =.证O A E A A A=-=-)(2,由结论2知 )(A r +)(E A r -n ≤.又因.)(A E A E +-= 知，).()()()()(A r E A r A r A E r E r +-=+-≤ 即 n ≤)(A r +)(E A r -. 综上所述，)(A r +)(E A r -n =. 5.矩阵=A )(a ij sn,)(b ij B nm=,证明：)(AB r ≥)(A r +)(B r -n .证设)(A r =r1,)(B r =r2,)(AB r =r则存在可逆矩阵P ss,Qnn使PAQ =⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O O E 1. 及 B Q 1-=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯B B m n m r r 1. 故)(AB r =⎪⎭⎫⎝⎛∙-B QPAQ r 1B Q PAQ 1-∙=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O O E 1()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯B B m n mr r 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯O r B m 1.则)(AB r =⎪⎭⎫⎝⎛∙-B QPAQ r 1=()B mr r ⨯1=r .因r ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯B B m n m r r 1=)(B r =r 2 则()B mn r ⨯-1中还有rr -2个线性无关行向量,故r r -2≤r n 1-则r rr ≤-+21,即)(AB r ≥)(A r +)(B r -n .6.设A*为A的伴随矩阵，则伴随矩阵A *的秩为：)(*A r =⎪⎩⎪⎨⎧-<-==1)(,01)(,1)(,n A r n A r n A r n证若)(A r =n 时,即A可逆,因EA A A =∙*，则有A AA 1*-∙=,故)(*A r =n r A =-)(1.若1)(-=n A r 时,0=A , EA A A =∙*=O ,由结论2知)(*A r +)(A r n ≤，即 )(*A r ≤-n )(A r =1.也就是)(*A r =0,或 )(*A r =1. 假设)(*A r =0,则A 的所有1-n 阶子式为0, 这与)(A r =1-n 矛盾.故)(*A r =1.若当)(A r <1-n 时，则A 的所有1-n 阶子式全为0，则O A =*,即)(*A r =0.故上述结论 )(*A r =⎪⎩⎪⎨⎧-<-==1)(,01)(,1)(,n A r n A r n A r n 成立。

矩阵的秩8个公式及证明

矩阵的秩8个公式及证明
矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它描述了矩阵中线性无关的列（或行）的最大数量。

下面我将列举并证明矩阵的秩的八个公式。

1. 零矩阵的秩为0，证明很简单，因为零矩阵中没有非零的行或列。

2. 对角矩阵的秩等于非零对角元素的个数，证明也比较简单，因为对角矩阵中只有对角线上的元素可能非零，所以秩等于非零对角元素的个数。

3. 初等变换不改变矩阵的秩，初等变换包括交换矩阵的两行（列），用非零常数乘以矩阵的某一行（列），以及用一个非零常数乘以矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上。

这些操作不改变矩阵的秩。

4. 行（列）等价的矩阵具有相同的秩，行等价指的是通过一系列的初等行变换可以相互转化的矩阵，列等价类似。

由于初等变换不改变矩阵的秩，所以行（列）等价的矩阵具有相同的秩。

5. 矩阵的秩不超过它的行数和列数中的较小值，这是因为矩阵
的秩描述的是矩阵中线性无关的列（或行）的最大数量，而这个数
量不可能超过矩阵的行数或列数。

6. 对于任意的矩阵A和B，秩(A + B) ≤ 秩(A) + 秩(B)，证
明过程比较复杂，可以使用矩阵的行列式性质和秩的定义进行证明。

7. 对于任意的矩阵A和B，秩(AB) ≤ min(秩(A), 秩(B))，
证明过程比较复杂，可以使用矩阵的行列式性质和秩的定义进行证明。

8. 对于任意的矩阵A，秩(A) = 秩(A^T)，这个公式的证明比
较简单，可以通过矩阵的转置操作和秩的定义进行证明。

综上所述，这是矩阵的秩的八个公式及其证明。

这些公式在线
性代数中具有重要的应用和意义。

矩阵秩的一个恒等式及其证明

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相似矩阵的秩相等证明

相似矩阵的秩相等证明要证明相似矩阵的秩相等，可以分两步进行证明。

首先，假设A和B是相似矩阵，即存在非奇异矩阵P，使得B = P^(-1)AP。

我们需要证明rank(A) = rank(B)。

由于矩阵相似意味着它们具有相同的特征值，因此A和B的特征值相同。

设特征值λ是A的特征值。

设v是A对应于特征值λ的特征向量，即Av = λv。

我们有B(Pv) = P^(-1)AP(Pv) = P^(-1)A(Pv) = P^(-1)Av = P^(-1)(λv) = λ(P^(-1)v)。

因此，P^(-1)v是B对应于特征值λ的特征向量。

换句话说，A和B具有相同的特征向量。

当λ≠0时，由于特征向量对应于非零特征值，我们可以得到rank(A) = rank(B)。

接下来，我们需要证明当特征值为0时，rank(A) = rank(B)。

设特征值0在A和B中的重数分别为r1和r2。

由于A和B有相同的特征向量，我们可以选择r1个矩阵A的特征向量v1，使得Av1 = 0。

同样地，由于B具有相同的特征向量，我们有B(Pv1) = 0。

更进一步，我们可以选择一个合适的行空间基，使得其中r1个向量构成A的秩。

假设这个基为{u1, u2, ..., ur1}，其中A(ui) = 0，0 ≤i ≤r1。

由于B(Pu1) = 0，向量Pu1与B的零空间正交。

因此，我们可以找到一个非零的向量w，使得w(Pu1) ≠0。

我们将向量w添加到由r2个矩阵B的特征向量张成的向量空间中。

这样，我们可以选择一个合适的基，使得其中r1 + r2个向量构成B的秩。

因此，我们得到rank(A) = rank(B)，不论特征值是否为0。

综上所述，对于相似矩阵A和B，有rank(A) = rank(B)。

矩阵行秩列秩相等证明

矩阵行秩列秩相等证明说到矩阵，大家可能会觉得有点高深莫测，像是从天而降的外星科技。

但矩阵就像我们的生活，有时候复杂得让人捉摸不透，有时候又简单得让人想笑。

今天咱们聊聊矩阵的行秩和列秩这对好基友，咱们用轻松幽默的方式，把这个看似枯燥的概念说得通俗易懂。

先从“行秩”和“列秩”这两个小家伙说起。

行秩呢，就是看一个矩阵里面有多少行是独特的，换句话说，就是有多少行是相互独立的，不能通过其他行来表示。

而列秩嘛，就是看列的情况，跟行秩一样，列秩也在看有多少列是独一无二的，不能通过其他列来组合。

哎呀，听起来是不是有点儿复杂？这俩东西说白了，就是看矩阵里有多少“主角”，那些不会被其他“配角”替代的。

我们可以想象一下，如果把一个矩阵比作一个乐队，行秩就是看乐队里有多少个乐器是独特的，比如说吉他和小提琴。

如果小提琴的声音能完全被吉他的和声覆盖，那小提琴在这支乐队里就显得多余了。

列秩呢，就像是乐队里的乐手，看看有多少乐手是不能用其他乐手来代替的。

如果所有的乐手都能被一个人替代，那这个乐队就有点儿失去灵魂了。

现在，有一个有趣的定理，告诉我们行秩和列秩其实是相等的。

这就像是乐队里的主唱和和声，总是得和谐共处，缺一不可。

想象一下，如果这两者不相等，岂不是要打架了？这就是矩阵的一个神奇之处。

无论你怎么看行和列，它们总是默契配合，齐心协力，让整个矩阵的结构更加丰富多彩。

证明这个定理其实不难，稍微有点数学基础的朋友应该能理解。

可以通过变换矩阵的方式来展示行秩和列秩的关系。

想象一下，咱们把矩阵变成行阶梯形，那样就能轻松看出有多少独立的行，而列的独立性也就顺理成章了。

你看，这就像是把一堆乱七八糟的乐器整理成一排，独特的音色立马清晰可见。

行秩和列秩的相等，反映了数学的对称性，像极了生活中的许多事物，都是有规律可循的。

我们会觉得，哎呀，数学真是个神秘的世界，行秩和列秩更是让人挠头的概念。

但实际上，理解了这两个小伙伴，生活中遇到的问题也会变得简单许多。

矩阵初等变换后秩不变的证明

矩阵初等变换后秩不变的证明1. 引言嘿，大家好！今天咱们聊聊一个听起来有点高深的数学话题——矩阵的秩。

在这儿，咱们不打算搞得太复杂，轻轻松松地讲讲，毕竟数学也是要用“人话”来说的嘛。

矩阵的秩就像是一个矩阵的“身份卡”，告诉我们它有多少个独立的行或列。

这就好比是一个乐队，秩就是乐队里有多少个独立的乐器，没错吧？如果乐器都能独当一面，那乐队就热闹非凡。

那么，今天的重点是初等变换和秩的关系。

你可能在想，初等变换是什么？简单来说，初等变换就是对矩阵做一些简单的操作，比如交换行、倍乘某一行、或者将一行加到另一行。

这些操作好比是给乐队调音，虽然调来调去，乐器的独特音色不会变。

接下来，咱们就一起看看，为什么矩阵的秩在这些变换下始终保持不变。

2. 矩阵初等变换的类型2.1 行交换首先，我们来聊聊“行交换”。

就像在乐队中换个乐手的位置，音乐的节奏和旋律不会因此改变。

假设我们有一个矩阵，行交换后，虽然行的顺序变了，但矩阵的秩仍然保持不变。

直观上说，行的独立性没有受到影响，就像乐器换个地方演奏，依然能和谐共处。

2.2 行倍乘接下来是“行倍乘”。

想象一下，乐队里有个鼓手，今天他决定把鼓声放大一倍！结果会怎样？乐队依然能保持原来的风格，只是声音更响亮。

对矩阵来说，行倍乘也同样如此。

你可以把某一行的每个元素都乘以一个非零的数，这样做不会改变矩阵中独立行的数量。

因此，秩依然不变。

2.3 行加法最后，咱们再来看看“行加法”。

如果有一位乐手在演奏时，突然加上另一位乐手的旋律，大家觉得会怎样？乐队的整体风格可能会变得更加丰富，但乐器的独立性没有被削弱。

在矩阵中，当你将一行加到另一行时，虽然行的内容发生了变化，但独立行的数量却不受影响。

这就是矩阵的“调音术”！3. 证明秩不变的原理3.1 从定义看秩说了这么多，咱们得用个例子来证实一下。

假设一个矩阵的秩是k，也就是说它有k个独立的行。

无论你用行交换、倍乘还是加法操作，矩阵的独立性都不会变。

可逆矩阵不改变矩阵的秩证明

可逆矩阵不改变矩阵的秩证明好嘞，今天咱们聊聊可逆矩阵和秩的那些事。

可逆矩阵听起来有点儿高深，其实就像一位能干的翻译，能把复杂的东西变得简单易懂。

说白了，矩阵就像一个菜谱，里面的各种材料和配方组成了一道道美味的菜。

而可逆矩阵，就是那种能够让你反复翻转菜谱的魔法厨师，随时把成品变回原材料。

先说说什么是秩。

秩简单来说就是一个矩阵里能独立“工作的”行或者列的数量。

想象一下，一个乐队里，有多少乐器能够独立演奏，那就是这个乐队的秩。

如果乐队里只有一个人弹吉他，那就很单薄，没什么气氛；但如果有鼓手、小号、贝斯一起配合，那就热闹了。

秩就是衡量这热闹程度的一个标准。

那么可逆矩阵不改变矩阵的秩这件事，为什么说它像个老友呢？可逆矩阵的存在让我们可以随意地转换行和列，就像在厨房里随意调换材料，煮出来的味道依然鲜美。

咱们常说，翻来覆去的菜，滋味还是那个滋味。

可逆矩阵的存在，可以让我们在改变矩阵的样子时，秩却稳稳地扎根不动。

这就像是你的乐队成员，换了位置，演奏的旋律依然动听。

想象一下，有一个矩阵像个圆桌宴会，大家围坐一圈，欢声笑语不断。

这个宴会就是秩，而可逆矩阵则像是一个灵活的服务员，想怎么调动就怎么调动。

服务员虽然把座位换了，但大家的身份没变，依然是那么亲密无间，依旧能愉快地聊起来。

这就是可逆矩阵的魅力所在。

再说到可逆矩阵的性质，反正就是个小聪明。

它的行列式不为零，意味着它的“味道”没变，依旧香喷喷。

就像一个好厨师，永远知道怎么把食材搭配得当，做到味道与秩的完美结合。

想想看，如果行列式为零，那就意味着这道菜失去了灵魂，换再多的材料也无济于事。

可逆矩阵可不是浪得虚名，是真正的“厨房之王”。

大家也许会问，那可逆矩阵和秩之间到底有什么直接关系呢？其实这就像我们平时打牌一样，有的人拿着好牌，想赢的概率就高。

可逆矩阵的存在，使得我们可以不受局限地选择各种变换，而这些变换并不影响秩。

想一想，你在扑克游戏中如何灵活地打出你的牌，毫不费力地赢得游戏。

利用分块矩阵证明有关矩阵的秩

第五章利用分块矩阵证明有关矩阵的秩定理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上的m ×s 矩阵，求证秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。

综上所述，秩（AB ）≤min ｛秩A ，秩B ｝。

命题1：证明秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。

则A+B 的列向量均可由向量组｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝线性表出。

因此秩（A ＋B ）＝秩｛A 1+B 1，A 2+B 2，…，A n +B n ｝≤秩｛A 1，A 2，…，A ｒ，B 1，B 2，…B ｔ｝≤r+t ，即秩（A+B ）≤秩（A ）+秩（B ）。

命题2：设A 为数域P 上的n 阶方阵，若A 2=E ，证明秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。

证明：矩阵进行初等变换后秩不变，最后的矩阵秩为n 。

由此可得秩（A+E ）+秩（A －E ）＝n 。

矩阵秩的相关结论证明及举例

矩阵秩的相关结论证明及举例华北水利水电大学矩阵秩的相关结论证明及举例课程名称：线性代数专业班级：能源与动力工程（热动）101班成员组成：王威威联系方式：2014年12月30日一：摘要矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是线性代数的一个重要研究对象，因此，矩阵的秩的结论作为线性代数的一个重要结论已经渗透到各章节之中，他把线性代数的内容紧紧联系在一起，矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性则贯穿矩阵理论的始终，所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵，而且也是我们学习好线性代数各章节的有力保证。

关键词：矩阵秩结论证明英文题目Abstract:Matrix rank is an extremely important and widely u sed in the mathematical concept, is an important r esearch object of linear algebra, as a result, the conclusion of the rank of matrix as an important conclusion of linear algebra has penetrated into chapter, associate the content of the positive line ar algebra and matrix of rank as an important ess ential attribute of the matrix, however, throughout the course of the theory of matrix so that the study of matrix rank can not only help us bette r learning matrix and chapter we learn good linearalgebraKey words: matrix rank conclusion proof二：正文1：定义定义 1.11 在矩阵A=()m n ij a ⨯中任意取k 行k 列（1≤k ≤min(m,n)），位于这k 行k 列交点上的k*2个元素，按照他们在矩阵A 中的相应位置所组成k 阶行列式称为矩阵A 的一个k 阶子式。

a与a的伴随矩阵秩的关系证明

a与a的伴随矩阵秩的关系证明以a与a的伴随矩阵秩的关系为题，我们将探讨伴随矩阵的特性，并证明其与原矩阵的秩之间的关系。

我们需要了解什么是伴随矩阵。

给定一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，是一个与A的行列式有关的矩阵。

具体来说，adj(A)的元素是A的代数余子式，而且这些代数余子式按一定的规律排列在adj(A)的相应位置上。

接下来，我们来证明伴随矩阵adj(A)和原矩阵A的秩之间的关系。

假设A是一个n阶方阵。

首先，我们知道A的伴随矩阵adj(A)的行列式等于A的行列式的n-1次方，即det(adj(A)) = det(A)^(n-1)。

根据线性代数的知识，我们知道一个矩阵的行列式为0，当且仅当该矩阵的秩小于其阶数。

所以，我们可以得出结论：如果A的行列式det(A)不为0，那么adj(A)的行列式det(adj(A))也不为0。

根据矩阵的性质，行列式不为0意味着矩阵是满秩的，也就是说它的行秩和列秩都等于阶数。

那么我们可以推断出，如果A是满秩的，那么adj(A)也是满秩的。

接下来，我们来证明反过来的命题，即如果adj(A)是满秩的，那么A也是满秩的。

假设adj(A)是满秩的，即其行秩和列秩都等于n。

我们知道adj(A)的行列式det(adj(A))不为0，根据前面的推论，我们可以得出结论：det(A)也不为0。

根据行列式的定义，行列式不为0意味着矩阵是可逆的，也就是说它的秩等于阶数。

所以，我们可以推断出，如果adj(A)是满秩的，那么A也是满秩的。

我们可以得出结论：矩阵A和其伴随矩阵adj(A)的秩是相等的。

这个结论的意义在于，我们可以通过求解矩阵A的伴随矩阵adj(A)的秩来确定矩阵A的秩。

这对于矩阵的秩的计算和性质分析非常有用。

我们来总结一下本文的主要内容。

我们首先介绍了伴随矩阵的定义和性质，然后证明了伴随矩阵adj(A)和原矩阵A的秩之间的关系。

具体来说，我们证明了如果A的行列式不为0，那么adj(A)的行列式也不为0，如果adj(A)是满秩的，那么A也是满秩的。

a与a的伴随矩阵秩的关系证明

a与a的伴随矩阵秩的关系证明标题：a与a的伴随矩阵秩的关系文章正文：矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域有着广泛的应用。

矩阵的伴随矩阵是矩阵理论中的一个重要内容，它与原矩阵之间存在一定的关系。

本文将从理论和实际应用两个方面，探讨矩阵a与其伴随矩阵的秩之间的关系。

我们来了解一下矩阵的伴随矩阵。

给定一个n阶方阵A，其伴随矩阵记为adj(A)，它是由A的代数余子式所构成的矩阵的转置。

伴随矩阵的每一个元素都是A的代数余子式，代数余子式是指在矩阵A 中划去某一行和某一列后所得到的n-1阶子矩阵的行列式乘以(-1)的幂。

现在，我们来证明一下a与其伴随矩阵的秩之间的关系。

设矩阵a 的维度为n×m，其中n表示矩阵的行数，m表示矩阵的列数。

根据矩阵的性质，我们知道矩阵a与其伴随矩阵adj(a)的秩之和等于矩阵的行数n。

我们来证明矩阵a的秩小于等于n。

根据矩阵的定义，矩阵的秩是指矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。

假设矩阵a的秩为r，那么存在r个行向量或列向量线性无关。

根据线性代数的知识，任意r个n维向量线性无关的充要条件是它们的行列式不为0。

因此，矩阵a的秩小于等于n。

接下来，我们来证明矩阵adj(a)的秩等于n-r。

假设矩阵adj(a)的秩为s，那么存在s个行向量或列向量线性无关。

根据伴随矩阵的定义，adj(a)的每一个元素都是a的代数余子式。

因此，adj(a)的每一个元素都可以表示为a的某个n-1阶子矩阵的行列式。

假设这s个行向量或列向量对应的子矩阵为A，那么A的秩为s。

根据矩阵的性质，矩阵的行数等于其秩加上零空间的维数。

而矩阵A的行数为n-1，秩为s，因此零空间的维数为n-1-s。

而adj(a)的行数为n，秩为s，因此零空间的维数为n-s。

由于矩阵的行数等于其秩加上零空间的维数，所以矩阵adj(a)的秩为n-s。

矩阵a与其伴随矩阵adj(a)的秩之和等于矩阵的行数n。

即r+s=n，其中r为矩阵a的秩，s为矩阵adj(a)的秩。

a的秩等于a乘a的转置的秩证明

秩是指矩阵中非零行（或列）的数目。

如果一个矩阵a的秩为r，则a乘a的转置的秩也一定等于r。

下面是证明过程：
设a是m行n列的矩阵，a的转置为aT，则a乘aT是m行m列的矩阵。

由于a的秩为r，则a中有r个非零行。

根据行列式的定义，a的行列式|a|=0，所以a的r个非零行中至少有一行全部为0。

设a的第k行全部为0，则a乘aT的第k行全部为0。

由于a乘aT是m行m 列的矩阵，且a的第k行全部为0，所以a乘aT的秩至少为r-1。

再设a的剩余的r-1个非零行中的第p行和第q行相同。

则a乘aT的第p行和第q行也相同，所以a乘aT的秩至少为r-2。

以此类推，可以得出：a乘aT的秩至少为r-r=0。

所以，a的秩等于a乘a的转置的秩。

综上所述，a的秩等于a乘a的转置的秩是成立的。

关于某矩阵秩地证明

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