2019-2020年高三数学一轮复习专题突破训练平面向量理
高考理科数学一轮复习专题训练：平面向量(含详细答案解析)
第6单元 平面向量（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，若∥a b ，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】C【解析】由题意，向量(2,)m =a ，(3,1)=b ， 因为∥a b ，则231m =，即32m =，解得23m =．故选C ． 2．已知向量(2,1)=a ，(,1)m =-b ，且()⊥-a a b ，则m 的值为（ ） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B【解析】因为(2,1)=a ，(,1)m =-b ，所以(2,2)m -=-a b ，因为()⊥-a a b ，则()2(2)20m ⋅-=-+=a a b ，解得3m =，所以答案选B ．3．已知向量a ，b 满足||1=a ，=b ，a 与b 的夹角为2π3，则2-a b 为（ ）A ．21BCD 【答案】B【解析】||2Q b =，2π1||||cos 12132a b a b 骣琪?=创-=-琪桫，|2|a b \-=，故选B ．4．已知向量a ，b 满足||1=a ，⊥a b ，则向量2-a b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．1-【答案】B【解析】根据向量的投影公式可知，向量2-a b 在向量a 方向上的投影为2(2)()1||||-⋅==a b a a a a ，故选B ． 5．设a ，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数λ，使得λ=a b ，说明向量a ，b 共线， 当a ，b 同向时，+=+a b a b 成立，当a ，b 反向时，+=+a b a b 不成立，所以充分性不成立．当+=+a b a b 成立时，有a ，b 同向，存在实数λ，使得λ=a b 成立，必要性成立， 即“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的必要而不充分条件． 故选B ．6．已知非零向量a ，b ，若(3)0⋅+=a a b ，2=a b ，则向量a 和b 夹角的余弦值为（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】B【解析】设向量a 与向量b 的夹角为θ，||2||=Q a b ，∴由(3)0⋅+=a a b ，可得2222()33cos 46cos 0θθ+⋅=+⋅=+=a a b a a b b b ，化简即可得到2cos 3θ=-，故答案选B ． 7．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（ ）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r【答案】D【解析】根据题意得1()2AF AC AE =+u u u r u u u r u u u r，又AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，12AE AB =u u ur u u u r ，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，故选D ．8．设D 为所在平面内一点，1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，若，则（ ）A ．2B ．3C ．D ．【答案】D 【解析】因为D 为所在平面内一点，由1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，可得34AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r ，即44AD AC AD AB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r， 则4CD BD =u u u r u u u r ，即4BD DC =-u u u r u u u r ，可得3BD DC DC +=-u u u r u u u r u u u r ，故3BC DC =-u u u r u u u r，则，故选D ．9．在四边形中，2AB =+u u u r a b ，43BC =--u u u r a b ，55CD =--u u u ra b ，那么四边形的形状是（ ）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对【答案】C【解析】86AD AB BC CD =++=--u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，2AD BC ∴=u u u r u u u r，AD BC ∴∥，AB CD ∥，四边形是梯形，答案选C ．10．在中，为的重心，为上一点，且满足3MC AM =u u u u r u u u u r ，则（ ）A ．11312GM AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．11312GM AB AC =--u u u u r u u ur u u u r C ．17312GM AB AC =-+u u u u r u u ur u u u r D ．17312GM AB AC =-u u u u r u u u r u u u r【答案】B【解析】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得GM GA AM=+u u u u r u u u r u u u u r，因为G为△ABC的重心，M满足3MC AM=u u u u r u u u u r，所以()()211323AG AB AC AB AC=⨯+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，14AM AC=u u u u r u u u r，所以11111334312GM AB AC AC AB AC⎛⎫=-++=--⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以选B．11．如图所示，设为所在平面内的一点，并且1142AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r，则与的面积之比等于（）A．25B．35C．34D．14【答案】D【解析】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，所以()1CP mCA nCD m n=++=u u u r u u u r u u u r，设CD kCB=u u u r u u u r，代入可得CP mCA nkCB=+u u u r u u u r u u u r，即()()1AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB-=-+-⇒=--+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u v，又因为1142AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r，即14nk=，112m nk--=，且，解得1344m n==，，所以1344CP CA CD=+u u u r u u u r u u u r，可得4AD PD=u u u r u u u r，因为与有相同的底边，所以面积之比就等于DPu u u r与ADu u u r之比，所以与的面积之比为14．故选D ． 12．已知向量a ，b 满足4=a ，b 在a 上投影为，则3-a b 的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】b 在a 上投影为，即cos ,2=-b a b ，0>Q b ，cos ,0∴<a b ，又[)cos ,1,0∈-a b ，min 2∴=b ，2222223696cos ,9964-=-⋅+=-+=+a b a a b b a a b a b b b ，min 3946410∴-=⨯+=a b ，本题正确选项B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量(1,2)x =+a 和向量(1,2)=-b 垂直，则-=a b _______． 【答案】5【解析】Q 向量()1,2x =+a 和向量()1,2=-b 垂直，140x ∴⋅=+-=a b ，解得3x =，()3,4∴-=a b ，9165∴-=+=a b ，本题正确结果5．14．已知向量()2,3=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =________． 【答案】9【解析】因为⊥a b ，所以(2,3)(,6)2180m m ⋅=⋅-=-=a b ，解得m =9，故填9．15．已知向量3)=a ，向量b 为单位向量，且1⋅=a b ，则2-b a 与2b 夹角为__________． 【答案】60︒【解析】很明显132=+=a ，设向量,a b 的夹角为θ，则21cos 1θ⋅=⨯⨯=a b ，1cos 2θ∴=，π3θ=， 据此有()()22224242-⋅=-⋅=-=b a b b a b ， 且22==-=b a ，22=b ，向量2-b a 与2b 的夹角为β，则21cos 222β==⨯，60β=︒， 综上可得：2-b a 与2b 夹角为60︒．16．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r，则OP u u u r＝_____．【答案】12x x【解析】因为PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r，所以P 为ABC △的重心，故P 的坐标为123123,33++++⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,2，故OP =u u u r ．填12x x ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ． （1）求3-a b 的值；（2）若()λ⊥+a a b ，求λ的值．【答案】（1）3-=a b ；（2）1λ=-．【解析】（1）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则3(6,2)-=a b ，则3-==a b ．（2）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则(13,24)λλλ+=-+a b ， 若()λ⊥+a a b ，则()1(13)2(24)550λλλλ⋅+=⨯-+⨯+=+=a a b ， 解得1λ=-．18．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =u u u r u u u r ，设AB =u u u r a ，AD =u u u rb ．（1）用向量,a b 表示向量AM u u u u r ，AN u u u r ，MN u u u u r；（2）若2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为π3，求AM MN ⋅u u u u r u u u u r 的值．【答案】（1）见解析；（2）92-． 【解析】（1）因为在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =u u u r u u u r，又AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，故1122AM AD DM AD AB ===+++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r a b ，1133AN AB BN AB AD ===+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，11123223MN AN AM ⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭=⎝=⎭u u u u r u u u r u u u u r a b a a b b ．（2）2211212192234362AM MN ⎛⎫⎛⎫+⋅-=-⋅=- ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝=⎭+u u u u r u u u u r a b a a b a b b ，故答案为92-． 19．（12分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）若，求的值；（2）设点为单位圆上的一个动点，点满足OQ OA OP =+u u u r u u u r u u u r．若，π6π2θ≤≤， 表示OQ u u u r ，并求OQ u u u r的最大值．【答案】（1）15；（2）． 【解析】（1）点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．可得4sin 5α=，3cos 5α=-，∴341cos sin 555αα+=-+=． （2）因为，，所以()1cos2,sin 2OQ OA OP θθ=+=+u u u r u u u r u u u r，所以()221cos 2sin 222cos 22cos OQ θθθθ=++=+=u u u r ，因为π6π2θ≤≤，所以2cos 0,3OQ θ⎡⎤=∈⎣⎦u u u r ，OQ u u u r的最大值．20．（12分）设向量()()()11,cos22,14sin 1sin,12θθ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，，，，a b c d ，其中4π0,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求⋅-⋅a b c d 的取值范围； （2）若函数，比较()f ⋅a b 与()f ⋅c d 的大小． 【答案】（1）；（2）()()f f ⋅>⋅a b c d ．【解析】（1）∵2cos2θ⋅=+a b ，22sin 12cos2θθ⋅=+=-c d ，∴2cos2θ⋅-⋅=a b c d ， ∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()0,2⋅-⋅的取值范围是a b c d ．（2）∵()22cos211cos22cos f θθθ⋅=+-=+=a b ，()22cos211cos22sin f θθθ⋅=--=-=c d ， ∴()()()222cos sin 2cos2f f θθθ⋅-⋅=-=a b c d ， ∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()()f f ⋅>⋅a b c d ． 21．（12分）在中，三内角的对边分别为，已知向量()2sin ,cos2x x =m ，()3cos ,1x =n ，函数()f x =⋅m n 且．（1）求角的值；（2）若23BA BC +=u ur u uu u r 且成等差数列，求．【答案】（1）π3B =；（2）2． 【解析】（1）()23sin cos cos23sin2cos2f x x x x x x =⋅=+=+m n ， 整理得()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∵，∴12sin 21si 62ππn 26B B ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵，∴π3B =． （2）由成等差数列，得，由余弦定理得，由23BA BC +=u ur u uu u r ，得，三个等式联立解得．22．（12分）如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记AB =u u u ra ，AD =u u u rb ，试以,a b 为平面向量的一组基底．利用向量的有关知识解决下列问题．（1）用,a b 来表示向量DE u u u r ，BF uuu r；（2）若，且3BF =u u u r，求．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵在中，2DF FC =u u u r u u u r，∴111222DE DC CE AB CB AB AD =+=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v a b ，111333BF BC CF AD CD AD AB =+=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b a ．（2）由（1）可知：13BF AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，12DE AB AD =-u u u r u u u r u u u r，∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∵且，∴(222213223cos 339BAD ∠=-⨯⨯⨯+⨯，∴1cos 2BAD ∠=，∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=，∴7DE =u u u r第6单元 平面向量第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量(1,2)=-a ，(2,1)x =-b ，若∥a b ，则x =（ ） A ．12B ．14C ．4D ．2【答案】B【解析】因为向量(1,2)=-a ，(2,1)x =-b ， 若∥a b ，则1(1)220x -⨯--⨯=，解得14x =，故选B ． 2．已知向量(5,)m =a ，(2,2)=-b ，若()-⊥a b b ，则m =（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．2-【答案】B【解析】因为(5,)m =a ，(2,2)=-b ，所以(3,2)m -=+a b ，又()-⊥a b b ，所以()0-⋅=a b b ，即322(2)0m ⨯-+=，解得1m =． 故选B ．3．平面向量a 与b 的夹角为60︒，||2||1==a b ，则|2|+=a b （ ）A B ．12C ．4D ．【答案】D【解析】由题意可得|2|+==a b===D ． 4．设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则（ ） A ．⊥a b B ．=a bC ．∥a bD ．>a b【答案】A【解析】由题意知：22+=-a b a b ，即222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ， 整理得0⋅=a b ，∴⊥a b ，本题正确选项A ．5．已知6=a ，3=b ，12⋅=-a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A ．4 B ．4-C ．2-D ．2【答案】B【解析】由题意得：122cos ,633⋅-<>===-⋅⨯a b a b a b ， 向量a 在b 方向上的投影为2cos ,643⎛⎫<>=⨯-=- ⎪⎝⎭a ab ，本题正确选项B ．6．向量(2,)t =a ，(1,3)=-b ，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A ．23t <B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-【答案】C【解析】若a ，b 的夹角为钝角，则0⋅<a b 且不反向共线，230t ⋅=-+<a b ，得23t <． 向量(2,)t =a ，(1,3)=-b 共线时，23t ⨯=-，得6t =-．此时2=-a b ． 所以23t <且6t ≠-．故选C ． 7．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是线段BD 上靠近D 的三等分点，F 是线段BD 的中点，则AF CE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．4-B ．3-C ．6-D ．2-【答案】D【解析】因为1122AF AD AB =+u u u r u u u r u u u r，11213333CE CD DE AB AD AB AB AD =+=--+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以221121111()()422233632AF CE AD AB AB AD AD AB ⋅=+⋅--=--=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选D ． 8．已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足PA PC +=0u u u r u u u r ，2QA BQ =u u u r u u u r，则的面积为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【解析】由题意PA PC +=0u u u r u u u r 可知，P 为AC 的中点，2QA BQ =u u u r u u u r，可知Q 为AB 的一个三等分点，如图：因为1sin 22ABC S AB AC A =⋅=△， 所以11122sin sin 22233APQ S AP AQ A AB AC A =⋅=⨯⋅=△．故选B ． 9．已知中，为的重心，则AG GC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．6718 B ．6718-C ．269D ．269-【答案】A 【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅， 且()13AG AC AB =+u u u r u u u r u u u r ，()13GC AC BC =+u u u r u u u r u u u r， 所以()()19AG GC AC AB AC BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2221199AC AC AB AC BC AB BC AC AC AB BC =+⋅+⋅+⋅=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ()221674432cos 918B ⎡⎤=++⨯⨯-=⎣⎦． 10．已知向量()cos 2,sin θθ=-a ，其中，则a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．D ．3【答案】A【解析】因为()cos 2,sin θθ=-a ， 所以()22cos 2sin 14cos 454cos θθθθ=-+=-+=-a ，因为，所以，故a 的最小值为．故选A ．11．已知平面向量OA u u u r ，OB uuu r 满足1OA OB ==u u u r u u u r，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，且12OD DA =u u u r u u u r ，为的外心，则ED OB ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．12-B ．16-C ．16D ．12【答案】A【解析】0OA OB OA OB ⋅=⇒⊥u u u r u u u r u u u r u u u r，又1OA OB ==u u u r u u u r，OAB ∴△为等腰直角三角形，为的外心，为中点，1222OE AB ∴==u u u r u u u r 且，12OD DA =Q u u u r u u u r ，13OD OA ∴=u u u r u u u r，()1221cos 32ED OB OD OE OB OA OB OE OB OE OB BOE ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-∠=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u u u r ．本题正确选项A ． 12．在中，，2BA BC BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，点是所在平面内的一点，则当222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 取得最小值时，AP BC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．35B ．C ．D ．25-【答案】B【解析】2|cos |BA BC BA BC B BA ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，cos BC B BA ∴⋅=u u u r u u u r，CA AB ∴⊥u u u r u u u r ，π2CAB ∠=，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则()()22222222263PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-u u u r u u u r u u u r，所以当x =2，y =1时222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 取最小值，此时()()2,16,39AP BC ⋅=⋅-=-u u u r u u u r．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为45︒，则a 在b 方向上的投影为_____． 2【解析】由向量数量积的几何意义可得，a 在b 方向上的投影为cos ,2cos452=︒=a a b 2．14．已知两个单位向量a ，b ，满足3-=a b ，则a 与b 的夹角为_______．【答案】2π3【解析】由题意知：1==a b ，3∴-=a b ，()222222cos ,3∴-=-⋅+=-<>=a b a a b b a b ，1cos ,2∴<>=-a b ，2π,3∴<>=a b ，本题正确结果2π3．15．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在直线CD 上，若2AB AF ⋅=u u u r u u u r，则AE BF =⋅u u u r u u u r______．【答案】2【解析】在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，可以以AB uuu r ，AD u u u r的方向为,x y 轴的正方向的直角坐标系，如下图所示：所以(0,0)A ，2,0)B ，2,2)C ，(0,2)D ，点E 为BC 的中点，故(2,1)E ，设(,2)F x ，2,(2,0)(,2)21AB AF x x ⋅=⇒⋅==u u u r u u u r， (1,2)F ∴，2,1)(12,2)2(12)+12AE BF ⨯⋅=⋅=u u u r u u u r16．在平行四边形ABCD 中，已知1AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r，则AE AF ⋅=u u u r u u u r__________．【答案】52【解析】由题意，如图所示，设AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，则1=a ，2=b ，又由CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点，则12AE =+u u u r b a ，221()333AF =+-=+u u u r b a b a b ，所以22121151233363AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r a b a b a a b b221515112cos6023632=⨯+⨯⨯︒+⨯=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设,t k ∈R ，已知(1,2)=a ，(2,1)=-b ，(2)t =++m a b ，k t =+n a b ． （1）若1t =，且∥m n ，求k 的值； （2）若5⋅=m n ，求证：2k ≤． 【答案】（1）13k =；（2）见证明． 【解析】（1）当12yx t =+时，3(5,5)=+=-m a b ，(2,21)k k k =+=-+n a b ， ∵∥m n ，∴5(2)5(21)k k -=-+，解得13k =． （2）[](2)()t k t ⋅=++⋅+m n a b a b 22(2)(2)k t k t t t =+⋅++⋅++a a b a b b 55(2)k t t =++，∵5⋅=m n ，∴55(2)5k t t ++=，∴2221(1)22k t t t =--+=-++≤． 18．（12分）如图，已知正三角形的边长为1，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ．（1）若是的中点，用,a b 分别表示向量CB u u u r ，CD uuu r；（2）求2+a b ；（3）求2+a b 与32-+a b 的夹角．【答案】（1）CB =-u u u ra b ，12CD =-u u u r a b ；（2）；（3）120︒．【解析】（1）CB AB AC =-=-u u u r u u u r u u u ra b ，1122CD AD AC AB AC =-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b ．（2）由题意知，1==a b ，且,60〈〉=︒a b ，则2222224444cos ,4217+=+⋅+=+〈〉+=++=a b a a b b a a b a b b ， 所以2=7+a b ．（3）与（2）解法相同，可得32=7-+a b ， 设2+a b 与32-+a b 的夹角为，则()()2272326212cos 232232277θ-+⋅-+-+⋅+====-+-++-+⨯a b a b a a b b a b a b a b a b ， 因为，所以2+a b 与32-+a b 的夹角为120︒．19．（12分）设是单位圆和轴正半轴的交点，是圆上两点，为坐标原点，π4AOP ∠=，，2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）当π6x =时，求OP OQ ⋅u u u r u u u r 的值；（2）设函数()sin2f x OP OQ x =⋅+u u u r u u u r，求的值域．【答案】（1）624+；（2）2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）由题意得：62cos ,cos cos cos sin sin 464πππ646π4ππOP OQ +⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，62cos ,4OP OQ OP OQ OP OQ +∴⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（2）()22sin2co πs sin2cos sin 2sin cos 422f x OP OQ x x x x x x x =⋅+=-+=++u u u r u u u r ，设sin cos 2sin π4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则，又2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3π,44ππ4x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1,2t ⎡⎤∴∈⎣⎦，()2212f t t t ∴=+-，，当时，()()min 212f t f ==；当时，，的值域为2,22⎤⎥⎣⎦． 20．（12分）已知向量cos,sin 22x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，33cos ,sin 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，且,ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求⋅a b 以及+a b 的取值范围；（2）记函数()2f x λ=⋅-+a b a b ，若的最小值为32-，求实数的值． 【答案】（1）见解析；（2）12λ=． 【解析】（1）易得33coscos sin sin cos22222x x x xx ⋅=-=a b ． 因为222233||cos cos sin sin 22cos 24cos 2222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ，又,ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，所以[]2cos 0,2x +=-∈a b ．（2）依题意，得()22cos24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλλ=⋅-+=+=+-a b a b ． 令，由（1）知，，则有．①当，即时，有()()min 312412g t g λ=-=--=-， 解得58λ=，此与矛盾；②当，即时，有()()2min 3212g t g λλ=-=--=-， 解得12λ=（12λ=-舍）； ③当，即，有，此与题设不符．综上所述，所求实数12λ=． 21．（12分）已知平面向量2sin 2,26πx ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()21,sin x =n ，()f x =⋅m n ，其中2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求函数的单调增区间；（2）设的内角，，的对边长分别为，，，若12B f ⎛⎫=⎪⎝⎭，，，求的值．21【答案】（1）增区间为π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）的值为或． 【解析】（1）()2π2sin 22sin 6f x x x ⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭m n ()2sin2cos cos2sin 1cos26ππ6x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭13cos2sin21cos 21223πx x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭， 由π2ππ22π,3k x k k -≤+≤∈Z ，得2πππ,36πk x k k -≤≤-∈Z ， 又∵2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴函数的增区间为π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）由12B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得cos 03πB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又因为，所以ππ4π333B <+<，从而2ππ3B +=，即π6B =． 因为，，所以由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 3sin 2c B C b ==， 故π3C =或2π3， 当π3C =时，π2A =，从而； 当2π3C =时，π6A =，又π6B =，从而，综上的值为或．22．（12分）如图，在四边形中，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，，且1BO AD ==u u u r u u u r ．22 （1）用,OA OB u u u r u u u r 表示CB u u u r ；（2）点在线段上，且，求的值．【答案】（1）32CB OA OB =--u u u r u u u r u u u r ；（2）25cos 5PCB ∠=． 【解析】（1）因为2OA AD =u u u r u u u r ，所以32DO AO =u u u r u u u r ． 因为2CD BO =u u u r u u u r ，所以33=++222CB CD DO OB BO AO OB OA OB =++=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． （2）因为2CD BO =u u u r u u u r ，所以OB CD ∥．因为2OA AD =u u u r u u u r ，所以点共线． 因为，所以．以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为1BO AD ==u u u r u u u r ，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，所以，所以()1,2AC =u u u r ，()2,1AB =-u u u r ．因为点在线段上，且，所以121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 所以55,33CP AP AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ． 因为()3,1CB =--u u u r ，所以55253cos 52103CP CB PCB CP CB ∠+⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r。
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章平面向量解三角形5.3解三角形专用题组理新人教B版
2019-2020年高考数学一轮总复习第五章平面向量解三角形 5.3解三角形专用题组理新人教B版考点一正弦、余弦定理答案 A 由正弦定理得sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=sin B,即sin Bsin(A+C)=sin B,因为sin B≠0,所以sin B=,所以∠B=或π,又因为a>b,故∠B=,选 A.19.(xx陕西,7,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 B 由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,得sin(B+C)=sin2A,∴sin A=1,即A=.故选 B.20.(xx福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案7解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsin A=10得sin A=,因为A为锐角,所以A=60°,cos A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+64-2×40×=49,故a=7,即BC=7. 评析本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos A是求解关键. 21.(xx浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC=.答案解析令∠BAM=β,∠BAC=α，故|CM|=|AM|sin(α-β),∵Ｍ为BC的中点,∴|BM|=|AM|sin(α-β).在△AMB中,由正弦定理知:=,即=,∵sin β=,∴cos β=,∴=cos α·=sin αcos α-cos2α，整理得1=2sin αcos α-cos2α，解得tan α=,故sin α=.评析本题考查解三角形,正弦定理的应用和三角函数求值问题.考查学生的图形观察能力和数据处理能力.如何利用M是BC中点是解答本题的关键.22.(xx湖北,11,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= .答案解析由已知得a2+b2-c2=-ab,∴cos C==-,∴C=.评析本题考查余弦定理,考查学生的运算求解能力.23.(xx重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A=,cos B=,b=3,则c= .答案解析∵A,B,C为三角形内角且cos A=,cos B=,∴sin A=,sin B=.sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.由正弦定理=,得c=b×=3×=.评析本题考查同角三角函数关系及正弦定理.24.(xx北京,15,13分)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.(1)求cos A的值;(2)求c的值.解析(1)因为a=3,b=2,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cos A=.(2)由(1)知cos A=,所以sin A==.又因为∠B=2∠A,所以cos B=2cos2A-1=.所以sin B==.在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.所以c==5.评析本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查学生运算技巧和运算求解能力,二倍角公式和诱导公式的熟练应用是解决本题的关键.考点二解三角形及其综合应用16.(xx重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24答案 A 设△ABC的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=π-B,A+B=π-C.于是sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+?sin 2A+sin 2B=-sin 2C+?sin 2A+sin 2B+sin 2C=?2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=?2sin C·[cos(A-B)-cos(A+B)]=?4sin Asin Bsin C=?sin Asin Bsin C=.则S=absin C=2R2·sin Asin Bsin C=R2∈[1,2],∴R∈[2,2],∴abc=8R3sin Asin Bsin C=R3∈[8,16 ],知C、D均不正确.bc(b+c)>bc·a=R3≥8,∴Ａ正确.事实上,注意到a、b、c 的无序性,并且16>8,若B成立,则A必然成立,排除B.故选A.17.(xx浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 18.(xx陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以△ABC的面积为absin C=.19.(xx四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan=;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)tan===.(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+++=+.连结BD.在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C,所以AB2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A.则cos A===.于是sin A===.连结AC.同理可得cos B===,于是sin B===.所以,tan+tan+tan+tan=+=+=.评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.20.(xx北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,所以sin∠ADC=.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B=×-×=.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD===3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.评析本题考查了三角恒等变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.21.(xx陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴ｂ2=ac.由余弦定理得cos B==≥=,当且仅当a=c时等号成立.∴cos B的最小值为.评析本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.22.(xx安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b·．因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A===-.由于0<A<π,所以sin A===.故sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.评析本题考查正、余弦定理,三角变换等知识,属容易题.23.(xx浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求△ABC的面积.解析(1)由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由a<c,得A<C.从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以,△ABC的面积为S=acsin B=.评析本题主要考查诱导公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.24.(xx四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cos B-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-.(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解析(1)由2cos2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sinB-cos B=-,即cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-.则cos(A-B+B)=-,即cos A=-.(2)由cos A=-,0<A<π,得sin A=,由正弦定理,有=,所以sin B==.由题意知a>b,则A>B,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×，解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cos B=.评析本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化等数学思想.25.(xx安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B===,由题设知0<B<,所以cos B===.在△ABD中,由正弦定理得AD====.26.(xx湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.解析(1)由a=btan A及正弦定理,得==,所以sin B=cos A,即sin B=sin.又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0,所以A∈．于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因为0<A<,所以0<sin A<,因此<-2+≤．由此可知sin A+sin C的取值范围是.评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变形及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.27.(xx江西,16,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sinA)cos B=0.(2)若a+c=1,求b的取值范围.解析(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0,因为sin A≠0,所以sin B-cos B=0,又cos B≠0,所以tan B=,又0<B<π,所以B=.(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.因为a+c=1,cos B=,所以b2=3+.又0<a<1,于是有≤ｂ2<1,即有≤b<1.28.(xx课标全国Ⅰ,17,12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°．(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.解析(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°．在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2××cos 30°=.故PA=.(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sin α．在△PBA中,由正弦定理得=,化简得cos α=4sin α．所以tan α=,即tan∠PBA=.评析本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解能力和分析、解决问题的能力.题目新颖且有一定的难度,通过PB把△PBC和△PAB联系起来利用正弦定理是解题关键.29.(xx江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin-csin=a.(1)求证:B-C=;(2)若a=,求△ABC的面积.解析(1)证明:由bsin-csin=a,应用正弦定理,得sin Bsin-sin Csin=sin A,sin B-sin Csin B+cos B=,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1,由于0<B,C<π,从而B-C=.(2)B+C=π-A=,因此B=,C=.由a=,A=,得b==2sin,c==2sin,所以△ABC的面积S=bcsin A=sin·sin=cos·sin=.评析本题主要考查解三角形的基本知识,运用正弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式进行求解,考查了推理运算能力及应用意识.。
2020年高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习(含解析)
5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1） 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】 －23【解析】 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=， 当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>， 于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-， 由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四 考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】 －2或6【解析】 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为． 【答案】 (3,3)【解析】 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为． 【答案】 3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心， 则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ， 则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________． 【答案】2133【解析】 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______． 【答案】102【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
平面向量-2019届高三一轮复习理科数学专题卷 Word版含解析
平面向量跟踪知识梳理考纲解读：1.向量的线性运算及几何意义（1）理解平面向量的有关概念及向量的表示方法（2）向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义（3）理解两个向量共线的含义（4）了解向量线性运算的性质及其几何意义2.平面向量基本定理及向量的坐标运算（1）了解平面向量基本定理及其意义（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示（3）会用坐标对向量进行线性运算（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件3.向量数量积的定义及长度、角度问题（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义（2）掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示（3）了解平面向量的数量积与向量投影的关系（4）掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算（5）理解数量积的性质,并能运用4.向量数量积的综合应用（1）能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题（2）会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系（3）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题考点梳理：一、向量的线性运算及几何意义1.向量的有关概念及表示法2.向量的线性运算3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件为存在唯一实数λ,使得b=λa成立.二、平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对实数λ1,λ2,使a= λ1e1+λ2e2 . 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.温馨提示(1)零向量和共线向量不能作基底;(2)基底给定,同一向量的分解形式唯一;(3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.考点三平面向量的坐标运算1.加法、减法、数乘运算2.向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔a=λb⇔ x1y2-x2y1=0 .三、向量数量积的定义及长度、角度问题1.两向量夹角的定义和范围2.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件3.平面向量的数量积4.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=⑤|a|·cos θ .(2)a⊥b⇔⑥a·b=0 .(3)当a与b同向时,⑦a·b=|a||b| ;当a与b反向时,⑧a·b=-|a||b| . 特别地,a·a=⑨|a|2 .(4)cos θ=⋅⋅a ba b. (5)|a ·b |≤|a |·|b |. 5.坐标表示(1)若a =(x ,y ),则a ·a =a 2=|a |2=x 2+y 2,|a |= . (2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则| |= ,这就是平面内 两点间的距离公式.四、利用向量解决平行、垂直问题 若两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则 (1)a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2=0 . (2)a ∥b ⇔ x 1y 2-x 2y 1=0 . 拓展延伸向量中常用的结论:在△ABC 中,设∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c . (1)在||||AB AC AI AB AC λ⎛⎫+=⎪⎝⎭的条件下,存在λ,使得I 为△ABC 的内心;a PA +b PB +c PC =0⇔P 为△ABC 的内心. (2)|PA |=|PB |= |PC |⇔P 为△ABC 的外心. (3) GA +GB +GC =0⇔G 为△ABC 的重心.(4) PA ·PB =PB ·PC =PC ·PA ⇔P 为△ABC 的垂心. 核心能力必练一、选择题1．(2018湖北孝感二模,8)设D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点,则DA +2EB +3FC = ( ) A.12AD B. 32AD C. 12AC D. 32AC 【答案】D【解析】因为D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点,所以DA +2EB +3FC =12(BA +CA )+ 2×12(AB +CB )+3×12×(AC +BC )=12BA +AB +CB +32BC +32AC +12CA =12AB +12BC +AC =12AC +AC =32AC ,故选D.2．(2018河北、河南、山西三省联考,10) 如图,在等边△ABC 中,O 为△ABC 的重心,点D 为BC 边上靠近B 点的四等分点,若OD =x AB +y AC , 则x +y =( )A.112 B.13 C. 23 D.34 【答案】B3．(2018宁夏银川4月模拟)已知|AB |=2,|CD |=1,且|AB -2CD 则向量AB 和CD 的夹角 为 ( )A.30°B.60°C.120°D.150° 【答案】C【解析】易知(AB -2CD )2=2AB -4AB ·CD +42CD =4-4AB ·CD +4=12,∴AB ·CD =-1,∴cos<AB ,CD >=AB CD AB CD⋅⋅=12-, ∴向量AB 和CD 的夹角为120°.故选C.4．已知向量a ，b 满足1a =，a b ⊥，则向量2a b -在向量a -方向上的投影为（ ） A ．0 B ．1 C. 2 D ．1- 【答案】D【解析】2a b -在a -()2222101a b a ab a aa -⋅-⋅-=-=-= D. 5．已知,a b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c a b --=，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡+⎣ C. D ．3⎡-+⎣【答案】B6．向量()cos25,sin25a =︒︒，()sin20,cos20b =︒︒，若t 是实数，且u a tb =+，则u 的最小值为（ ）A B ．1 C D ．12【答案】C【解析】 cos25sin20,sin25cos20u a tb t t +=︒+︒︒+︒＝（）， (cos25||u =t 是实数，由二次函数的性质知当2t =-时，u 取到最小值，最小值为2，故选C. 7．设向量()()2,,1,1a m b ==-，若()2b a b ⊥+，则实数m 等于（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．3- 【答案】C【解析】因为()2b a b ⊥+，所以()20b a b ⋅+=，即420m -+=，解得6m =.故选C ． 8．如图，已知AB =a ，AC =b ，4BC BD =，3CA CE =，则DE =（ ）A ．3143-b a B ．53124-a b C ．3143-a b D ．53124-b a 【答案】D【解析】()3153,43124BC AC AB DE DC CE =-=-=+=--=-b a b a b b a . 9．已知平形四边形ABCD 的对角线分别为AC BD ，，且2A E E C =，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则（ ）A ．151212FE AB AD =-- B ．151212FE AB AD =-C ．511212FE AB AD =- D ．511212FE AB AD =-- 【答案】C10．已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上，满足2OA AB AC ++=0（其中O 为坐标原点），且AB OA =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为（ ） A ．12 B ．1 C ．1- D ．12- 【答案】A【解析】由2()()OA AB AC OA AB OA AC ++=+++=0，得OC OB -=，即C B O ,,三点共线，又AB OA =，π||cosBA =故选A ． 11．O 为ABC △内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ）A ．13B ．14C ．12D ．23【答案】A【解析】由AD t AC =得()OD OA t OC OA -=-，所以(1)OD tOC t OA =+-，因为B ，O ，D 三点共线，所以可设BO OD λ=，则2(1)OA OC tOC t OA λλ+=+-，故2(1),1,t t λλ=-⎧⎨=⎩解得13t =，故选A.12．已知,A B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且120,AOB MN ∠=︒是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足()()1OC OA OB λλλ=+-∈R ，则CM CN ⋅的最小值为（ ）A ．12-B ．14-C ．34- D ．1- 【答案】C13．已知ABC △的外接圆半径为1，圆心为点O ，且3450OA OB OC ++=，则ABC △的面积为（ ） A ．85 B ．75 C ．65 D ．45【答案】C1OA OB OC ===，由3450OA OB OC ++=可得345OA OB OC +=-，两边平法可得9241625OA OB +⋅+=，所以0OA OB ⋅=，因此OA OB ⊥，同理，354OA OC OB +=-，453OB OC OA +=-，两边分别平方可得43cos ,,cos ,OB OC OA OC =-=-，根据同角三角函数基本关系可得34sin ,,sin ,55OB OC OA OC ==C. 14．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 的延长线与线段BA 交于圆外的一点D ，若OC OA OB λμ=+（λ∈R ，μ∈R ），则λμ+的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(),1-∞-D ．()1,0- 【答案】D15．半圆的直径4=AB ，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则()PA PB PC +⋅的值是（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．无法确定 【答案】A【解析】因为O 为AB 的中点，且P 为半径OC 的中点，所以22PA PB PO PC +==-，所以()222PA PB PC PO PC PO +⋅=⋅=-= A. 16．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对边的长，若423aBC bCA cAB ++=0，则=B cos （ ） A ．2411-B ．2411C ．3629D ．3629- 【答案】A【解析】因为423a B C b C A c A B ++=0，所以423()a B C b C A c C B C A++-=0，所以(43)(2a c BC b -+3)c CA -=0,因为,B C C A不共线，所以430,230,a cbc -=⎧⎨-=⎩解得33,42c ca b ==，则222c o s 2a c b B ac +-==A. 17．已知点O 为ABC △内部一点，且满足2340OA OB OC ++=，则AOB △，BOC △，AOC △的面积之比依次为（ ）A ．4:2:3B ．2:3:4C ．4:3:2D ．3:4:5 【答案】 A18．已知向量a 与b 的夹角为30°，且3,2a b ==，则a b -等于（ ）A ．1B C ．13 D【答案】A【解析】cos ,3a b a b a b ⋅=⋅⋅=， 所以()2222361a b a b a a b b -=-=-⋅+=-=.19．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且3243AM AB AN AD ==，，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（ ）A ．35B ．37 C.613 D ．617【答案】D【解析】因为()++AP AC AB AD AB AD λλλλ===，32 43AM AB AN AD ==，，所以4332AP AM AN λλ=+，而,,P M N 三点共线，所以43132λλ+=，解得λ=617，故选D.20．设a ，b ，c 是非零向量.若1|||||()|2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅，则（ ） A.()0a b c ⋅+= B.()0a b c ⋅-= C.()0a b c +⋅= D.()0a b c -⋅= 【答案】D.【解析】若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=；若ac bc ⋅=-⋅，则由1|||||()|2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅可知，0a c b c ⋅=⋅=，()0a b c -⋅=也成立，故选D.二、填空题21．已知()1,2a =，()1,1b =，则与2a b +方向相同的单位向量e = ． 【答案】3455⎛⎫⎪⎝⎭，22．已知直角梯形ABCD 中，BC AD //，90ADC ∠=︒，2=AD ，1=BC ，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB+的最小值为________. 【答案】5【解析】如图所示，以直线,DA DC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，设CD a =，则(2,0),(1,)A B a ，(0,),(0,0)C a D ，设(0,)(0)P b b a ≤≤，则(2,),(1,)PA b PB a b =-=-，所以3PA PB +=(5,34)a b -，所以3255PA PB +=≥，所以3PA PB +的最小值为5.23．D 为ABC △的BC 边上一点，2DC DB =-，过D 点的直线分别交直线AB AC 、于E F 、，若,AE AB AF AC==λμ，其中0,0λμ>>，则【答案】3【解析】由题意可得21(1)33AD AB AC mAE nAF m AB n AC m n λμ=+=+=++=， 所以21,33m n λμ==⇒21333m n λμ+=+=. 24．如图，已知ABC △中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n +=.【答案】12-25．如图，正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则3λμ-=__________．【答案】0【解析】设正方形飞边长为2，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则()2,2AC =，()2,1AM =，()1,2N ，()2,0B ，()1,2BN =-，所以22,22,λμλμ=-⎧⎨=+⎩解得30λμ-=. 26．如图，点O 为ABC △的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅的值为 ．【答案】3227．在Rt AOB △中， 0=⋅，5||=，52||=，AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，若43=⋅，则向量在向量上的投影为 . 【答案】12或32【解析】由等面积法求得2OD =，设ED x =，则2OE x =-，因为OD AB ⊥，所以0OE AD ⋅=，所以3()(2),4OE EA OE ED DA OE ED x x ⋅=⋅+=⋅=-=所以12x =或32.28．在ABC △中，16AB AC ⋅=，sin sin cos A B C =，D 是线段AB 上的动点（含端点），则DA DC ⋅的取值范围是 ． 【答案】[4,0]-【解析】如图所示，∵16AB AC ⋅=，∴cos 16bc A =，∴22222216322b c a bc b c a bc+-⋅=⇒+-=， 又∵sin sin cos A B C =，∴2222322324b c a c c +-=⇒=⇒=，设||DA x =，04x ≤≤，∴2()(4)4[4,0]DA DC DA DB BC DA DB x x x x ⋅=⋅+=⋅=--=-∈-.29．如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB =，1AD DC ==，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ DC λ=，(1)CP CB λ=-，则AP AQ ⋅的取值范围是________．【答案】[0,2]30．在直角梯形,,,1,2,,ABCD AB AD DC AB AD DC AB E F ⊥===∥分别为,AB BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+，其中,λμ∈R ，则2λμ-的取值范围是__________．【答案】[]1,1-【解析】以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，依题意得()0,1D ，()1,0E ，，则()311,1,,22ED AF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设0,，因为AP ED AF λμ=+，所以()31cos ,sin ,22θθλμλμ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭。
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练专题05《平面向量》
2020 年高考理科数学一轮复习题型概括与变式操练专题05《平面向量》【题型一】平面向量的有关观点【题型二】平面向量的加减及其线性运算【题型三】平面向量的基本定理、坐标表示及综合应用【题型四】数目积的观点【题型五】数目积的综合应用【题型一】、平面向量的有关观点例 1. 以下说法中正确的选项是①非零向量 a 与非零向量 b 共线，向量 b与非零向量 c 共线，则向量 a 与向量 c 共线；②随意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个极点；③向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 所在直线的夹角为锐角；④零向量模为 0，没有方向；⑤ 始点同样的两个非零向量不平行；⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；⑦若非零向量 AB 与CD是共线向量，则 A 、B、C、D 四点共线。
【答案】①⑥【分析】① 向量共线即方向同样或相反，故非零向量间的共线关系是能够传达的；②相等向量是共线的，故四点可能在同向来线上；③ 向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角或锐角；④零向量不是没有方向 , 它的方向是随意的；⑤ 向量能否共线与始点地点没关；⑥ 两个向量相等，它们的长度相等，方向同样；⑦共线向量即平行向量，非零向量AB 与CD是共线向量，可能 A 、B、C、D 四点共线，也可能AB 、 CD 平行。
【总结升华】量可将代数问题与几何问题相互转变。
零向量是一特别向量，它仿佛很不起眼，但又到处存在。
所以，正确理解和办理零向量与非零向量之间的关系值得我们重视。
关于平行向量或共线向量，它们能够在同向来线上，也能够所在直线相互平行，方向能够同样也能够相反；相等向量则一定大小相等、方向同样。
【变式训练】：【变式 1】判断以下各命题能否正确,并说明原因 :(1)若 | a |=| b|,则a = b；(2)单位向量都相等；(3)两相等向量若起点同样 ,则终点也同样；(4)若 a = b， c = b ,则 a = c；(5)若 | a |>| b|,则a > b；(6)因为零向量方向不确立 ,故它不可以与随意愿量平行 .【答案】(1)错；模相等 ,方向未必同样；(2)错；模相等 ,方向未必同样；(3)正确；因两向量的模相等 ,方向同样 ,故当他们的起点同样时 ,则终点必重合；(4)正确；由定义知是对的；(5)错；向量不可以比较大小；(6)错；规定 :零向量与随意愿量平行 .【变式 2】在复平面中，已知点A（2，1），B（ 0，2），C（－ 2，1），O（ 0，0）.给出下边的结论：①直线OC 与直线BA平行；②AB BC CA ；③ OA OC OB ；④AC OB2OA .此中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】 C【分析】 k OC 1 1， k BA 2 11，∴ OC∥ AB ，①正确；2 2 0 2 2∵AB BC AC ，∴②错误；∵ OA OC (0, 2) OB ，∴③正确；∵ OB 2OA ( 4,0) ， AC ( 4,0) ，∴④正确.应选C.【题型二】、平面向量的加减及其线性运算例 2. 如图，已知梯形ABCD中，AB// CD，且AB 2CD，M、N分别是CD、AB 的中点，设 AD a ，AB b ，试以 a 、 b 为基底表示 DC 、 BC 、MN.【分析】连接 ND ，则DC 1AB1b ；2 2∵ DC 1AB 1 b NB 2 2∴ DC// NB ， DC NB∴ BC ND AD AN a 1b；1 1 2又 DM DC b2 4 1b a .∴ MN DN DM CB DM4【总结升华】此题本质上是平面向量基本定理的应用，因为AD，AB是两个不共线的向量，那么平面内的全部向量都能够用它们表示出来.②此题的重点是充足利用几何图形中的线段的相等、平行关系，联合平行向量、相等向量的观点，向量的线性运算，变形求解.【变式训练】：【变式 1】在△ABC中，已知 D 是 AB边上一点，若AD2DB ，CD 1CA CB ，则=________. 3【答案】23【分析】由图知 CDCA AD ①CD CB BD ，②且 AD 2BD 0。
2020年高考数学(文)一轮复习精品特训专题五：平面向量
专题五：平面向量平面向量（1）平面向量的概念及其线性运算A1、已知AM 是ABC ∆的边BC 上的中线,若AB a =uu u r r 、AC b =uuu r r ,则AM uuu r 等于( ) A. ()12a b -r r B. ()12a b --r r C. ()12a b +r r D. ()12a b -+r r 2、设向量(1,2)a =-,(),1b m =,若向量2a b +与2a b -平行,则m = ( ) A. 72-B. 12- C. 32D. 523、如图，已知3p q ==，,p q 的夹角为π4.若52AB p q =+，3AC p q =-，D 为BC 的中点，则AD 为（ ）A. 152 C.7 D. 18 4、已知向量()1,a m =,()3,2b =-,且()a b b +⊥,则m = ( )A.-8B.-6C.6D.85、在△ABC 中, AD 为BC 边上的中线, E 为AD 的中点,则EB =uur ( )A.3144AB AC - B. 1344AB AC - C. 3144AB AC +uu u r uu u r D. 1344AB AC +uu u r uu u r 6、已知4(3,4),3a b a ==,则b =( ) A. 4 B.163C. 203D. 207、给出下面四个命题:①0AB BA +=;②AB BC AC +=;③-AB AC BC =;④00AB ⋅=。
其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个8、设向量(),1a x =,(1,3b =-,且a b ⊥,则向量3a b -与b 的夹角为( ) A.6π B. 3π C. 23π D. 56π 9、已知向量a 和b 的夹角为120︒,||1,||3a b ==,则||a b -=( ).A. C.4 10、在矩形ABCD 中,||43AD =设,,AB a BC b BD c ===,则||a b c ++=( )A. C. D.11、已知向量(1,2),(3,4)OA OB =-=-,则12AB =( )A.()2,3-B.()2,3-C.()2,3--D.()2,3 12、若向量(2,0),(1,1),(2,1)AB AD DC ===u u u r u u u r u u u r ，则BC =uu u r ( )A.(1,2)--B.(1,0)C.(1,2)D.(2,1)13、下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 为非零向量，且//a b ，则a b +必与a 或b 的方向相同；②若e 为单位向量，且//e a ，则||e a a =；③3||a a a a ⋅⋅=；④若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线；⑤若平面内有四点,,,A B C D ，则必有AC BD BC AD +=+.A ．1B ．2C ．3D ．414、化简AC BD CD AB -+-得（ ）A. ABB. DAC. BCD. 015、如图所示，在四边形ABCD 中，1AB BC CD ===，且90B ∠=︒，135=∠BCD ，记向量AB a =，AC b =，则AD =（ ）2(1)2b -+ B.2(1)2b ++C.2(1)2b +-2(1)2b +- 16、如图，在矩形ABCD 中，2,,AB AD E F =分别为,BC CD 的中点，G 为EF 中点，则AG =（ ）A ．2133AB AD + B ．1233AB AD + C ．3344AB AD + D ．2233AB AD + 17、如图,在ABC △中，1,3AD DC P =是线段BD 上一点,若16AP mAB AC =+,则实数m 的值为 .18、已知向量(3,2),(0,1)a b ==-，那么向量3b a -的坐标是 ．19、在矩形ABCD 中，||2AB =，||4BC =，则||CB CA DC +-=___________20、已知 O 为三角形ABC 的外心, 22,,120AB a AC BAC a==∠=︒,若OA xAB y AC =+,则36x y +的最小值为____.21、已知2a =,3b =,,a b 的夹角为60,则2a b -=__________答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：以,AB AC uuu r uu u r 为邻边作平行四边形ABDC ,则AD AB AC a b =+=+uuu r uu u r uuu r r r ,因为M 是BC 中点,所以M 是AD 的中点, 则()1122AM AD a b ==+uuu r uuu r r r ,故选C.2答案及解析：答案：B解析：()212,4a b m +=-+,2(2,3)a b m -=--,因为向量2a b +与2a b -平行,所以(12)34(2)m m -+⨯=⨯--, 解之得12m =-,故选B.3答案及解析：答案：A解析：∵D 为BC 的中点， ∴111()(523)(6)222AD AB AC p q p q p q =+=++-=-，∴21AD AD ===152==.4答案及解析：答案：D解析：向量(4,2)a bm +=-,由()a b b +⊥得()()43220m ⨯+-⨯-=,解得8m =,故选D.考点:平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量11(,)ax y =,22(,)b x y =:5答案及解析：答案：A解析：6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：C解析：由于,,,,所以正确命题有①,②,④,选. 考点:1.平面向量的线性运算;2.平面向量的数量积.8答案及解析：答案：D解析：因为a b⊥,所以0,x x==则()()3,1,30,4a a b=-=,所以向量3a b-与b的夹角θ的余弦值为343cos3a b ba b bθ-⋅-===-⋅因为[]cos0,πθ∈,所以56πθ=.9答案及解析：答案：D解析：10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析：答案：A解析：12答案及解析：答案：C解析：13答案及解析：答案：A解析：14答案及解析：答案：D解析：15答案及解析：答案：B解析：16答案及解析：答案：B解析：17答案及解析： 答案：13解析：由13AD DC =,得4AC AD =, 1263AP mAB AC mAB AD =+=+ , 由,,B P D 三点共线,得213m +=,所以13m =.18答案及解析：答案：(3,5)--解析：19答案及解析：答案：解析：在矩形ABCD 中. 2CB CA DC CB CA CD CA +-=++=，||2||45CB CA DC CA +-==故答案为：20答案及解析：答案：6+解析：21答案及解析：解析：平面向量（2）平面向量的概念及其线性运算B1、如图,点M 是ABC ∆的重心,则MA MB MC +-= ( )A. 0B. 4MEC. 4MDD. 4MF2、如图,在ABC ∆中, 21,33AD AC BP BD ==,若AP AB AC λμ=+,则λμ的值为( )A. 3-B. 2-C. 2D. 33、已知空间四边形OAB ,其对角线为,,OB AC M 分别是,OA OB 的中点,点G 在线段上,且使3MG GN =,用向量,,OA OB OC 表示向量OG ,则( )A. 313888OG OA OB OC =++ B. 733888OG OA OB OC =++C. 2233OG OA OB OC =++D. 133888OG OA OB OC =++4、如图所示,已知43AP AB =,用,OA OB 表示OP ,则OP 等于( )A. 1433OA OB +B. 1433OA OB -+C. 1433OA OB --D. 1433OA OB -5、已知点O 为ABC ∆内一点,且230,,,OA OB OC AOB AOC BOC ++=∆∆∆则的面积之比等于A.9:4:1B.1:4:9C.3:2:1D.1:2:3 6、已知向量(1,1),(2,3)a b =-=-,则2a b -等于( ) A. ()4,5- B. (4,5)- C. ()0,1- D. ()0,17、已知向量()2,4a =,(1,1)b =-,则2a b -= ( ) A. ()5,7 B. (5,9) C. (3,7) D. (3,9)8、AB BD AC CD +--化简后为( ) A. AD B. BC C. 0 D. DA9、已知(2,1),(1,2)a b ==-,若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈,则m n -的值为( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 10、设D 、E 、F 分别为ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 的中点,则EB FC += ( ) A. AD B.12AD C. BC D.12BC 11、已知两个单位向量12,e e 的夹角为3π,若向量1122122,34b e e b e e =-=+,则12b b ⋅=__________12、在△ABC 中, D 是BC 边上的中点,则AB AD AC AD -+-=uu u r uuu r uuu r uuu r__________.13、化简()()AB CD EB BC BD EF AF +++++-=__________. 14、化简: ()()AB CD AC BD ---=__________.15、已知平面向量()()1,1,1,1a b ==-,则向量1322a b -=__________.16、化简:()()2114367334a b b a b ⎡⎤-+--=⎢⎥⎣⎦__________. 17、已知边长为单位长度的正方形ABCD ,若A 点与坐标原点重合,边AB ,AD 分别落在x 轴, y 轴的正半轴上,则向量23AB BC AC ++的坐标为__________.答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：2答案及解析： 答案：D 解析：3答案及解析： 答案：D 解析：4答案及解析： 答案：B解析：43OP OA AP OA AB =+=+=()43OA OB OA +-1433OA OB =-+,故选择B.5答案及解析： 答案：C解析：延长到，使延长到,使,连接取的中点, 则三点共线且为的重心,则,在中, 为的中点, 在中, 为边近端的三等分点, 在中,连接, 为的中点, ,在中, 为边近端的三等分点,面积之比为.6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：答案：A解析：8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：D解析：10答案及解析： 答案：A 解析：如图,()()()()11112222EB FC BA BC CB CA BA CA AB AC AD +=-+-+=-+=+=. 方法点拨:正确运用平面向量三角形法则是解题关键.11答案及解析： 答案：-6 解析：12答案及解析： 答案：0解析：原式0DB DC =+=uu u r uuu r13答案及解析： 答案：0解析：原式()()()AB BC CD DB EF EB AF =++++--0AC CB BF AF AF AF =++-=-=.14答案及解析： 答案：0解析：()()AB CD AC BD AB CD AC BD ---=--+()()0AB AC DC DB CB BC =---=+=.15答案及解析： 答案：(-1,2) 解析：()1313(1,1)1,12222a b -=--=1133,,2222⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313,2222⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()1,2-.16答案及解析： 答案：511318a b -解析：原式2137433324a b b a b ⎡⎤=-+-+=⎢⎥⎣⎦2317433234a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦511318a b -.17答案及解析： 答案：(3,4)解析： 在题设的直角坐标系下,有()0,0A ,()1,0B ,()1,1C ,()0,1D , 所以()1,0AB =,()0,1BC =,()1,1AC =,所以23AB BC AC ++()()()()2,00,31,13,4=++=.平面向量（3）平面向量的概念及其线性运算C1、如图，在矩形ABCD 中，2,,AB AD E F =分别为,BC CD 的中点，G 为EF 中点，则AG =（ ）A ．2133AB AD +B ．1233AB AD +C ．3344AB AD + D ．2233AB AD + 2、三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且满足2BD DC =,则AD 等于( )A ．1233AB AC + B ．2133AB AC + C ．1233AB AC - D ．1122AB AC + 3、已知(1,3)a =，(,4)b m =，若a 与b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围是( )A ．(,12)-∞-B ．(12,)-+∞C ．33(12,)(,)44-⋃+∞D ．44(12,)(,)33-⋃+∞4、在三角形ABC 中，G 为三角形ABC 的重心，D 在边AC 上，且3,CD DA →→=则（ ）A. 17312GD AB AC →→→=+B.11312GD AB AC →→→=--C.17312GD AB AC →→→=-+D.11312GD AB AC →→→=-+5、如图所示,向量OA a =,OB b =,OC c =,,,A B C 在一条直线上,且3AC CB =-则( )A. 1322c a b =-+ B. 3122c a b =- C. 2c a b =-+ D. 2c a b =+6、在ABC △中, 2,0CM MB AN CN =+=,则( )A. 2136MN AB AC =+ B. 2736MN AB AC =+ C. 1263MN AC AB =-D. 7263MN AC AB =-7、已知,,A B C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是( )A. 1233OA AB BC =+ B. 2133OA AB BC =-- C. 1233OA AB BC =-- D. 2133OA AB BC =+8、设D 为ABC △的边BC 的延长线上一点，3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =- B ．4133AD AB AC =+ C ．1433AD AB AC =-+D ．4133AD AB AC =-9、如图, 12,e e 是互相垂直的单位向量,则向量b a -可以表示为( )A. 213e e -B. 123e e -C. 123e e -D. 1224e e --10、已知平行四边形ABCD 的对角线分别为,AC BD ,且2AE EC =,点F 是BD 上靠近D 的四等分点,则()A. 151212FE AB AD =-- B. 151212FE AB AD =-C. 511212FE AB AD =-D. 511212FE AB AD =--11、如图所示,点G 是ABC ∆内一点,若7,5,6AGB BGC AGC S S S ∆∆∆===,且AC xAB y AC =+,则x y += ( )A. 1118B. 23C. 1318D. 112、已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足4BD DC =,则AD 可表示为( )A. 1344AD AB AC =+uuu r uu u r uuu rB. 3144AD AB AC =+uuu r uu u r uuu rC. 4155AD AB AC =+uuu r uu u r uuu rD. 1455AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r13、在ABC ∆中, D 为AB 的中点,点E 满足4EB EC =,则ED = ( )A.5463AB AC - B. 4536AB AC -C. 5463AB AC +D. 4536AB AC +14、在ABC ∆中, D 为AB 的中点,点E 满足4EB EC =,则ED = ( )A.5463AB AC - B. 4536AB AC -C. 5463AB AC +D. 4536AB AC +15、如图,在ABC △中，1,3AD DC P =是线段BD 上一点,若16AP mAB AC =+,则实数m 的值为 .16、关于平面向量,,a b c ,有下列三个命题： ①若a b a c ⋅=⋅，则b c =；②若(1,),(2,6)a k b ==-，//a b ，则3k =-；③非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60︒. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)17、已知向量(3,2),(0,1)a b ==-，那么向量3b a -的坐标是 ．答案以及解析1答案及解析： 答案：B 解析：2答案及解析：答案：A解析：3答案及解析：答案：D解析：4答案及解析：答案：B解析：5答案及解析：答案：A解析：6答案及解析：答案：C解析：由已知可得点M 是线段BC 的靠近点B 的三等分点,点N 是AC 的中点. 212()323MN MC CN BC CA AC AB =+=+=-12AC -1263AC AB =-.故选C.7答案及解析：答案：B 解析：因为点O 满足0OA OB OC ++=,所以0OA OA AB OA AB BC +++++=,所以320OA AB BC ++=,所以2133OA AB BC =--，故选B.8答案及解析：答案：C解析：()44143333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+， 故选C．9答案及解析：答案：B解析：设a 的终点是A, b 的终点是B,则123b a AB e e -==-10答案及解析：答案：C 解析：由题可得()()11115146461212FE FO OE DB AC AB AD AB AD AB AD =+=+=-++=-11答案及解析：答案：C解析：在GA 上取一点E ,使得57GE GA =, 在GB 上取一点F ,使得67GF GB =, 连接,,CE EF FC .6530530630,,7777777EGF AGB CGE AGC CGF BGC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∴=⨯⨯==⨯==⨯= G ∴为CEF ∆的重心,0GE GF GC ∴++=56077GA GB GC ∴++= 5670GA GB GC ∴++=18670GA AB AC ∴++=671818AG AB AC ∴=+ 1318x y ∴+=,选C .12答案及解析：答案：D解析：13答案及解析：答案：A解析：14答案及解析：答案：A 解析：根据向量共线的性质可得41,32EB CB BD BA ==再由平面向量运算的“三角形法则”可得结果.15答案及解析： 答案：13解析：由13AD DC =,得4AC AD =, 1263AP mAB AC mAB AD =+=+ , 由,,B P D 三点共线,得213m +=,所以13m =.16答案及解析：答案：②解析：17答案及解析：--答案：(3,5)解析：平面向量（4）平面向量的基本定理及坐标运算A1、在△ABC 中, 2,2AR RB CP PR ==,若AP mAB nAC =+,则m n +等于( ) A. 23 B. 79 C. 89D. 12、 已知平面向量()()1,3,4,2a b =-=-,若a b λ-与a 垂直,则λ= () A. 1?-B. 1C. 2-D. 23、在如图所示的平面直角坐标系中,向量AB 的坐标是( )A. ()2,2B. (2,2)--C. ()1,1D. ()1,1--4、已知(1,1)AB =-uu u r ，(0,1)C ，若2CD AB =uu u r uu u r ，则点D 的坐标为（）A.(2,3)-B.(2,3)-C.(2,1)-D.(2,1)-5、已知向量()()2,0,3,1a a b =-=,则下列结论正确的是( )A. 2a b ⋅=B. //a bC. ()b a b ⊥+D. a b =6、已知平面向量(1,2),(2,),a b m =-=且//,a b 则32a b += ( )A. ()1,2-B. ()1,2C. ()1,2-D. ()1,2--7、已知向量()()()1,2,1,0,3,4a b c ===,若λ为实数, ()//a b c λ+,则=λ () A. 13B. 12C. 2D. 3?8、已知平面向量(1,2),(2,)a b m =-=,且//a b ,则32a b += ( )A. ()1,2-B. ()1,2C. ()1,2-D. ()1,2--9、已知向量(1,),(3,2)a m b =-=r v ,且(a )b ⊥r v v +b ,则m = ( )A.-8B.-6C.6D.810、如果向量a=(1,2),b=(3,4),那么2a-b=( )A.(-1,0)B.(-1,-2)C.(1,O)D.(1,-2)11、下列各组向量中,能作为它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )A. 1(0,0)e =u r ,2(1,2)e =u rB. 1(1,2)e =-u r ,2(5,7)e =u rC. 1(3,5)e =u r ,2(6,10)e =u rD. 1(2,3)e =-u r ,213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u r 12、设m R ∈,向量(1,3),(2,)a m b m =+=,且a b ⊥,则2a b -= .13、已知()()1,3,5,7,a b a b +=-=则a =__________,b =__________.14、已知点()1,?5A -和向量()2,3,a =若3AB a =,则点B 的坐标为__________15、已知向量(1,0)a =,(1,1)b =,则1.与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________;2.向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________.16、向量()()1,1,1,0a b =-=,若()()2a b a b λ-⊥+,则λ=__________.17、已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与3a b -平行,则实数x 的值是__________.18、已知向量(2,1),(,2)a b x ==-,若//a b ,则x =__________;若a b ⊥,则x =__________.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：2答案及解析：答案：B解析：3答案及解析：解析：因为()()2,2,1,1,A B 所以()1,1AB =--,选D.4答案及解析：答案：D解析：5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：B解析：8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：D解析：10答案及解析：答案：A11答案及解析：答案：B解析：12答案及解析：答案：解析：13答案及解析：答案：(3，5); (－2，－2)解析：14答案及解析：答案：(5，14)解析：则()1,5AB x y =+-,∵3AB a =∴()(1,532,3)(),6,9x y ==+-165,5914x x y y +==⎧⎧∴∴⎨⎨-==⎩⎩15答案及解析：答案：1. ()10102. 5-解析：1.由(1,0)a =,(1,1)b =,得2(3,1)a b +=,设与2a b +同向的单位向量为(,)c x y =,则221{30x y y x +=-=且0,0x y >>,解得10{x y ==,故c =, 即与2+b a同向的单位向量的坐标表示为. 2.由(1,0)a =,(1,1)b =,得3(2,1)b a -=-,设向量3b a -与向量a 的夹角为θ,则(3)cos 35b a a b a a θ-⋅===--. 16答案及解析：答案：3解析：由于()()2,1,22,2a b a b λλ-=-+=-+,则由()()2a b a b λ-⊥+可得()()()22220a b a b λλ-⋅+=--++=,解得3λ=.17答案及解析：答案：2解析：由题意，(3,1),3(1,3),a b x a b x +=+-=-因为a b +与3a b -平行，所以3(3)1,x x -=+解得 2.x =18答案及解析：答案：-4; 1解析：平面向量（5）平面向量的基本定理及坐标运算B1、已知向量()1,1a =,(0,2)b =,则下列结论正确的是( )A. //a bB. (2)a b b -⊥C. a b =D. 3a b ⋅= 2、如图,设 O 是正六边形ABCDEF 的中心,在向量OB 、OC 、OD 、OE 、OF 、AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA 中,与OA 共线的向量有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3、已知向量()1,2a =,(),4?b x =-,若//a b ,则a b ⋅等于( )A. 10-B. 6-C. 0D. 64、设向量()()2,0,1,1a b ==,设下列结论中正确的是( ) A. a b =B. 12a b ⋅= C. ()a b b -⊥D. a b5、若()3,2?A -,()9,4?B -,(),0C x 三点共线,则 x = ( )A.1B.-1C.0D.76、斜率为2的直线经过()3,5,(),7a ,()1,b -三点,则a 、b 的值是( )A. 4a =,0b =B. 4a =-,3b =-C. 4a =,3b =-D. 4a =-,3b =7、已知 O 为ABC ∆内一点,且2,,AO OB OC AD t AC =+=若B 、 O 、D 三点共线,则t 的值为( ) A.14B. 13C. 12D. 23 8、已知向量(1,2),(3,5)a b =-=-若(2)a b c +⊥,则c 的坐标可以是( )A. ()2,3-B. ()2,3--C. ()4,4-D. ()4,49、已知(1,3a =-,下列向量中,与a 反向的单位向量是( )A. 1,22⎛- ⎝⎭B. 1,22⎛- ⎝⎭C. 1,2⎛- ⎝⎭D. 12⎛ ⎝⎭10、已知点(1,3),(4,1)A B -则与AB 向量同方向的单位向量为( ) A. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 11、已知点()()1,3,4,1A B -,则与向量AB 方向相同的单位向量为( ) A. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 12、已知向量11(0,1),,22a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭r r ,则下列结论正确的是( ) A. a bB. ()a b b +⊥C. ()a b b -⊥D. a b b -=13、已知非零向量a b ,若非零向量c a ,则c 与b 必定__________.14、已知()1,7,4a a b a b a =+=⋅-=-,则向量a 与b 的夹角为__________15、已知)a =,则与a 垂直的一个单位向量的坐标为__________ 16、若向量(,1)a x =,向量(9,)b x =.当向量a 与向量b 共线且方向相反,则x =__________17、若点(2,2)A ,(,0)B a ,(0,4)C 三点共线, a 的值等于( )18 在中,,,.设点,满足,,.若,则.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：对于A,因为210120⨯-⨯=≠，所以向量,a b 不平行,A 错误;对于B,因为2(2,0)a b -=,所以(2)20020a b b -⋅=⨯+⨯=,则(2)a b b -⊥,B 正确;对于C,||11a =+=2||022b =+=,C 错误;对于D, 10122a b ⋅=⨯+⨯=,C 错误;对于D, 10122a b ⋅=⨯+⨯=,D 错误.故选B.2答案及解析：答案：C解析：3答案及解析：答案：A解析：4答案及解析：解析：因为()()2,0,1,1,a b == 所以2,2,a b ==故,a b ≠A 错误;()()2,01,121012a b ⋅==⨯+⋅⨯=,故B 错误;因为()1,1a b -=-,所以()()()·1,1?1,10,a b b -=-=所以()a b b -⊥,故C 正确. 因为21010⨯-⨯≠,所以a 与b 不共线,故D 错误5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：C解析：由题意得752,3{52,13a b -=--=--解得4,3a b ==-.7答案及解析：答案：B解析：8答案及解析：答案：D解析：9答案及解析：答案：B解析：10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：A解析：12答案及解析：答案：B 解析：1113(,),(,)2222a b a b +=---=-r r r r ,()0,()0,a b b a b b a b b ∴+⋅=-⋅≠-≠r r r r r r r r r 选B 。
2019-2020年高三数学一轮复习3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升第5章平面向量第三
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第五章·第三讲
平面向量的数量积及向量的应用
知识全通关 10
考点四 平面向量应用举例
1.向量在平面几何中的应用 基于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质, 如全等、相似、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来. 2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理中的力、速度、位移都是向量,所以它们的分解与合成可以用向量的加 法或减法来解决. (2)物理中的功W是一个标量,它是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ.
点评 当三个力成平衡状态时,这三个力之和等于零向量,其中两个向量的和与第三个 向量是相反向量,这样就可以把三个力的向量表示纳入到一个平行四边形或者三角形中, 通过运用平行四边形或三角形的知识解决问题.
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第五章·第三讲
题型全突破 13
平面向量的数量积及向量的应用
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数学
题型全突破
第五章·第三讲
1 4
平面向量的数量积及向量的应用
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数学
第五章·第三讲
题型全突破 15
平面向量的数量积及向量的应用
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数学
第五章·第三讲
题型全突破 16
平面向量的数量积及向量的应用
【突破攻略】
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时 等号成立)
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第五章·第三讲
知识全通关 9
【易错提醒】
平面向量的数量积及向量的应用
1.当a·b>0时,cos θ>0,则θ是锐角或θ=0°(此时cos θ=1). 2.当a·b<0时,cos θ<0,则θ是钝角或θ=180°(此时 cos θ=-1).
2019-2020年高三数学一轮复习3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升第五章平面向量第二
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第五章·第二讲
题型全突破 15
【突破攻略】
平面向量的基本定理及坐标表示
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能力大提升
数学
第五章·第二讲
平面向量的基本定理及坐标表示
能力大提升 1
思想方法 解析法(坐标法)在向量中的应用
向量具有代数和几何的双重特征,比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、 平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征;而引入坐标后, 就可以通过代数运算来研究向量,凸显出了向量的代数特征,为用代数的方法研究向 量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题时,坐标化是一种常见的思路,利用 坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷.
题型全突破 6
考法 2
平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量坐标运算的应用
考法指导 向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向 量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为 数量运算. (2)巧借方程思想求坐标:向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若 已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用. (3)妙用待定系数法求系数:利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表 示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.
1
考法1
平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量基本定理的应用
考法指导 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则 进行向量的加法、减法或数乘运算,用处有两个: (1)只要两个向量不共线,就可以作为平面向量的一组基底,基底可以有无穷多组,在解决具 体问题时,合理地选择基底会给解题带来方便. (2)证明向量共线或解决几何相关问题. 第一步,选择一组基底; 第二步,运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式; 第三步,通过向量的运算来证明共线或其他几何相关问题.
高三数学(理)一轮复习专题突破训练平面向量 Word版含解析
山东省届高三数学理一轮复习专题突破训练平面向量一、选择、填空题、（年山东高考）已知非零向量，满足││││，<，>.若⊥（），则实数的值为（）（）–（）（）–、（年山东高考）已知菱形的边长为，，则()()()()、（年山东高考）在中，已知，当时，的面积为。
、（东营市、潍坊市届高三下学期第三次模拟）已知向量的夹角为，且，则（）．．．．、（临沂市届高三月期中质量检测）已知是的边的中点，则向量等于....、（齐鲁名校协作体届高三上学期第二次调研联考）.已知三点（），（，），（），则三角形的面积为、（泰安市届高三二模）设是非零向量，已知命题若则；命题若则，则下列命题中真命题是. . . .、（德州市届高三上学期期末）已知向量，，则向量的模的最小值是．．．．、（菏泽市届高三上学期期末）若向量，与的夹角为，则等于（）. . ..、（胶州市届高三上学期期末）在内随机取一点，使，则在的条件下的概率. . . .、（莱芜市届高三上学期期末）已知向量的夹角为°，且，那么的值为. .、（临沂市届高三上学期期末）已知，则向量的夹角为....、（青岛市届高三上学期期末）平面向量的夹角为..、（滨州市届高三上学期期末）在平行四边形中，已知＝，＝，，点，分别在边，上，且，则的值为、（德州市高三月模拟）已知两个单位向量的夹角为°，若，则正实数＝、（济宁市高三月模拟）在中，若为边的三等分点，则▲.、（日照市高三月模拟）在锐角中，已知，则的取值范围是.、（泰安市高三月模拟）已知平面向量满足，且的夹角为°，则的模的取值范围为▲.、（枣庄市高三月模拟）设为所在平面内一点，，若，则（）．．．．。
2019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示教案 理 新人教版
2019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查平面向量基本定理的应用． 2．考查坐标表示下向量共线条件． 【复习指导】本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算．基础梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA→＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( )． A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)解析 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝－a n ＝(－3，－4)． 答案 C2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )． A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b解析 设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴c ＝3a －b . 答案 B3．(xx·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析 设a ＝λb (λ＜0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ＜0，∴m ＝－1. 答案 A4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ＝( )．A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(4，－6)D ．(－4,6) 解析 设c ＝(x ，y )， 则4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－6－2＋x ＝0，－12＋12＋6＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－6.答案 C5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析 a ＋b ＝(1，m －1)．∵(a ＋b )∥c ，∴2－(－1)(m －1)＝0，∴m ＝－1. 答案 －1考向一 平面向量基本定理的应用【例1】►(xx·南京质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[审题视点] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →.解析 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.答案 12应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析 以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，令AB ＝2，则AB →＝(2,0)，AC →＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD →＝(2＋3， 3)．∵AD →＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )．即有⎩⎨⎧2＋3＝2x ，3＝2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝32.另解：AD →＝AF →＋FD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →，所以x ＝1＋32，y ＝32. 答案 1＋32 32考向二 平面向量的坐标运算【例2】►(xx·合肥模拟)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN →.[审题视点] 求CA →，CB →的坐标，根据已知条件列方程组求M ，N . 解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)．∴CM →＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)． 设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)．同理可得N (9,2)，∴MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．【训练2】 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析 由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案 B考向三 平面向量共线的坐标运算【例3】►已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方[审题视点] 根据共线条件求k ，然后判断方向．解 若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若这两个向量共线，则必有 (k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0. 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )．即两个向量恰好方向相反， 故题设的实数k 存在．向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值． 【训练3】 (xx·西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)．∵(c ＋a )∥b ，∴－3×(1＋m )＝2×(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )， ∴3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.答案 D阅卷报告5——平面几何知识应用不熟练致误【问题诊断】 在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解．【防范措施】 一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等．【示例】►(xx·湖南)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →误．＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝错因 搞错向量的夹角或计算错 实录 －12(填错的结论多种)．正解 由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14. 答案 －14【试一试】 (xx·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． [尝试解析]以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案 52019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第3讲 平面向量的数量积教案 理 新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模． 3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系． 【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b (如图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 4．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别的，a ·a ＝|a |2或者|a |＝a ·a ；(4)cos θ＝a ·b |a ||b |；(5)|a ·b |≤|a ||b |. 5．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a ；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 6．平面向量数量积的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2； (2)|a |＝x 21＋y 21； (3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.7．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →＝a ，则|a |＝x 1－x 22＋y 1－y 22(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 两个探究(1)若a ·b ＞0，能否说明a 和b 的夹角为锐角？ (2)若a ·b ＜0，能否说明a 和b 的夹角为钝角？ 三个防范(1)若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c 若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，AB →与BC →的夹角应为120°，而不是60°.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )． A.π3 B.π4 C.2π3 D.3π4 解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案 C2．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( )． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )答案 D3．(xx·广东)若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．0解析 由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( )． A ．9 B ．4 C ．0 D ．－4 解析 a －b ＝(1－x,4)． 由a ⊥(a －b )，得1－x ＋8＝0. ∴x ＝9. 答案 A5．(xx·江西)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． 解析 由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )(a －b )＝－2， 得a ·b ＝2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，又〈a ，b 〉∈[0，π]所以〈a ，b 〉＝π3. 答案π3考向一 求两平面向量的数量积【例1】►(xx·合肥模拟)在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)＝________.[审题视点] 由M 是BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →.解析 如图，因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，所以PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM →＝－4|PM →|2＝－49|AM →|2＝－49，故填－49.答案 －49当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识． 【训练1】 如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.解析 AB →＝AO →＋OB →，故CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝CA →·AO →＋CA →·OB →.而AO →＝－12CA →，CA →⊥OB →.所以CA →·AB →＝－12CA 2＝－8.答案 －8考向二 利用平面向量数量积求夹角与模【例2】►已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[审题视点] 由平面向量数量积的运算法则得a ·b 的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．解 (1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，解得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， ∴|a ＋b |＝13.|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a ·a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．【训练2】 已知a 与b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解 设a 与a ＋b 的夹角为θ，由|a |＝|b |得|a |2＝|b |2. 又由|b |2＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2.∴a ·b ＝12|a |2， 而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2，∴|a ＋b |＝3|a |. ∴cos θ＝a a ＋b |a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角为30°.考向三 平面向量的数量积与垂直问题【例3】►已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.[审题视点] 利用a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0及a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，求解．解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理，得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，∴|a －b |＝－2＋02＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝2 5.综上，可知|a －b |＝2或2 5.已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．【训练3】 已知平面内A ，B ，C 三点在同一条直线上，OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．解 由于A ，B ，C 三点在同一条直线上，则AC →∥AB →，AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m )，AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2,1－m )，∴7(1－m )－(－1－m )(n ＋2)＝0，即mn ＋n －5m ＋9＝0，①又∵OA →⊥OB →，∴－2n ＋m ＝0.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝32.规范解答10——如何解决平面向量与解三角形的综合问题【问题研究】 平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向量描述．它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．考查的要求并不高，解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题．【解决方案】 解决这类问题时，首先要考虑向量工具性的作用，如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题，然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最后用三角知识规范解答．【示例】► (本题满分12分)(xx·安徽)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．先求sin A ，再利用面积公式求bc ，最后利用数量积及余弦定理可解决．[解答示范] 由cos A ＝1213，得sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.(2分) 又12bc sin A ＝30， ∴bc ＝156.(4分)(1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144(8分) (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A ) ＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25，又a ＞0(10分) ∴a ＝5.(12分)三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用．【试一试】 已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，设AB →与BC →的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值．[尝试解答] (1)∵AB →·BC →＝6，∴|AB →|·|BC →|·cos θ＝6.∴|AB →|·|BC →|＝6cos θ. 又∵S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝3tan θ， ∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. 又∵θ∈(0，π)，∴π6≤θ≤π4. (2)f (θ)＝1＋2cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋2， 由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，∴2θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤712π，34π. ∴当2θ＋π4＝34π即θ＝π4时，f (θ)min ＝3.。
2020届高三文理科数学一轮复习《平面向量基本定理及坐标表示》专题汇编(学生版)
《平面向量基本定理及坐标表示》专题一、相关知识点1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝xi ＋yj ，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 5．常用结论(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.(3)已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33题型一 平面向量基本定理及其应用1．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 2．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－343．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)4．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则2x －y ＝_______.5．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b6．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A ．13a ＋13bB ．－13a ＋13bC ．13a －13bD ．－13a －13b7．如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是边BE 的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →＝( )A ．12a ＋12bB ．12a ＋13bC ．14a ＋12bD ．12a ＋14b8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b9．在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→ C ．－23AB ―→＋13AD ―→ D ．－13AB ―→＋23AD ―→10．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ等于( )A.15B.25C.35D.4511．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝_______.12．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM―→＝t CP ―→，则实数t 的值为________．13．在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA ―→＋PB ―→＋PC ―→＝AB ―→，QA ―→＋QB ―→＋QC ―→＝BC ―→，RA ―→＋RB ―→＋RC ―→＝CA ―→，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶514．已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 分别交于点M ，N ，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→(x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( )A.83B.72C.52D.43＋23315．在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ＋1μ的最小值为________．16．如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．题型二 平面向量的坐标运算1．若a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，则2a －b ＝________.2．如果向量a ＝(1,2)，b ＝(4,3)，那么a －2b ＝3．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于4．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b7．已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝8．已知A (1,4)，B (－3,2)，向量BC ―→＝(2,4)，D 为AC 的中点，则BD ―→＝________.9．已知在平行四边形ABCD 中，AD ―→＝(3,7)，AB ―→＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO ―→的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5C.⎝⎛⎭⎫－12，－5D.⎝⎛⎭⎫12，－510．已知点 A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是( )A ．⎝⎛⎭⎫35，－45B ．⎝⎛⎭⎫45，－35C ．⎝⎛⎭⎫－35，45D ．⎝⎛⎭⎫－45，3511．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC ―→|＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝12．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于13．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．14．平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C (－1，c )，(c ＞0)，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ＋μ的值为________．题型三 平面向量共线的坐标表示1．已知向量a ＝(1，－1)，则下列向量中与向量a 平行且同向的是( )A ．b ＝(2，－2)B ．b ＝(－2,2)C ．b ＝(－1,2)D ．b ＝(2，－1)2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中n ∈R ，且n ≠0)，则mn ＝________.3．已知向量a ＝(m ,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.5．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ，b 方向相反，则实数x 的值为________．6．已知A (－2，－3)，B (2,1)，C (1,4)，D (－7，t )，若AB →与CD →共线，则t ＝________.7已知向量a ＝(1,2)，a －b ＝(4,5)，c ＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝________.8．已知向量OA ―→＝(k ,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(－k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是9．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为____.10．向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos 2α＝11．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝12．已知点A (2,3)，B (4,5)，C (7,10)，若AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→(λ∈R)，且点P 在直线x －2y ＝0上，则λ＝13．已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(－3,1)且(2a ＋b )∥b ，则实数m 的值为14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．15．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)16．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．17．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋mb 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．18．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k .19．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．。
高三数学一轮复习 专题突破训练 平面向量 文
广东省2019届高三数学文一轮复习专题突破训练平面向量2019年广东省高考将采用全国卷，下面是近三年全国卷的高考试题及2019届广东省部分地区的模拟试题，供同学们在复习时参考。
一、选择题1、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ）(7,4)--（B ）(7,4)（C ）(1,4)-（D ）(1,4)2、设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. ADB.12ADB. C.12BCD.BC3、（佛山市2019届高三二模）已知向量(1,0)a =-，13(,)22b = ，则向量a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π4、（广州市2019届高三一模）已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15B ．1C ．15± D ．1±5、（华南师大附中2019届高三三模）称d （,→a )→b =→→-b a 为两个向量,→a →b 间距离，若,→a →b 满足①1b =→；②≠→a →b ；③对任意实数t ，恒有d （,→a t )→b ≥d （,→a )→b ，则(***)A ．（+→a →b ）⊥（-→a →b ）B.→b ⊥（-→a →b ）C.→a ⊥→b D.→a ⊥（-→a →b ）6、（惠州市2019届高三4月模拟）已知点(1,1)A ，(4,2)B 和向量a (2,)λ=，若a //AB，则实数λ的值为（） A ．32-B ．23C ．32D ．23-7、（茂名市2019届高三二模）已知向量(2,1)=a ，(,2)x =-b ，若a ∥b ，则+a b 等于（）A.（-2，-1）B.（2，1）C.（3，-1）D.（-3，1）8、（梅州市2019届高三一模）已知向量(1,cos ),(1,2cos )a b θθ=-= a b ⊥，则cos 2θ等于A 、0B 、－1C 、12D 、229、（深圳市2019届高三二模）平面向量(1,2)=-a ，(2,)n =-b ，若a // b ，则n 等于A ．4B ．4-C ．1-D ．210、（湛江市2019届高三二模）已知向量()1,2a =- ，()1,1b =- ，()3,1c =-，则()c a b ⋅+= （）A ．()6,3B ．()6,3-C ．3-D ．911、（东莞市2019届高三上期末）已知向量(1,1),(4,3),||AB AC BC =-== 则（）A 、5B 、29C 、2D 、212、（汕头市2019届高三上期末）已知平面向量a ，b 满足3a = ，2b = ，且()a b a -⊥ ，则a 与b的夹角为（） A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π13、（肇庆市2019届高三上期末）设D ，E ，F 分别为∆ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则=+FC EBA ．BCB ．ADC ．BC 21D ．AD 2114、（清远市2019届高三上期末）设向量(2,0),(1,1)a b ==，则下列结论中正确的是（） A 、2a b = B 、||||a b = C 、a b ⊥ D 、//a b15、（汕尾市2019届高三上期末）已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c === ,且(23)a b c -⊥ ,则实数k =（）A.92-B.3C.152D.0二、填空题1、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t ＝________．2、（广州市2019届高三一模）已知函数()11f x x =+，点O 为坐标原点,点()(),(n A n f n n ∈N *)，向量()0,1=i ，n θ是向量n OA 与i 的夹角，则201512122015cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+++的值为. 3、（韶关市2019届高三上期末）设x R ∈，向量(,1)x =a ，(1,2)=-b ，且⊥a b ，则=a +b _________4、（珠海市2019届高三上期末）已知正ABC ∆的边长为3，点F 是边AB 上一点，且13BF BA =，则CF CA ⋅ ＝5、（肇庆市2019届高三上期末）已知)2,1(=a ，),4(k b =，若b a ⊥，则=k ▲. 三、解答题1、（珠海市2019届高三二模）ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，8sin 2sin 5A A =，3b =，),(c b a c m +-=，),(c b a n -=，m n ⊥．(1)求sin A ； (2)求角B 与c ．2、（惠州市2019届高三上期末）已知向量(cos sin ,2sin ),(cos sin ,cos )a x x x b x x x =+=-r r.令()f x a b =⋅r r ，（1）求()f x 的最小正周期； （2）当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值.3、（汕头市2019届高三上期末）已知向量()1,cos2a x =，()sin 2,3b x =-，函数()f x a b =⋅．()1若3x π=，求a；()2若26235f απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求512f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()3若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域． 参考答案一、选择题 1、【答案】A2、【答案】：A【解析】：()()EB FC EC BC FB BC EC FB +=-++=+=()111222AB AC AB AC AD +=+=,选A. 3、C 4、D 5、B6、C 【解析】试题分析：根据A 、B 两点的坐标可得AB ＝（3，1），∵a ∥AB，∴2130λ⨯-=，解得23λ=7、C 8、A 9、A 10、D11、A12、A13、B14、A15、D 二、填空题1、2[解析]2(1)=+-bc tab t b ＝·[t＋(1－t)]＝t·＋(1－t)2＝12t ＋(1－t)＝1－12t ＝0，即t ＝2.2、201520163、104、65、－2 三、解答题1、解：(1) ABC ∆中，82sin cos sin 2sin 5A A A A ==…………………………………………２分∴4cos 5A =…………………………………………３分 ),0(π∈A ∴3sin 5A =…………………………………………４分(2) m n ⊥∴2220m n ac a b c ⋅=-+-=…………………………………………５分即2221cos 22a cb B ac +-==…………………………………………６分 0B π<<…………………………………………７分∴3B π=…………………………………………８分∴23A C π+=…………………………………………９分 ∴231343sin sin()cos sin 3223413251025C A A A π=⨯+=⨯+=-=+，…………………１０分sin sin c b C B=…………………………………………１１分∴3433sin 34310sin 532b Cc B+⋅+===…………………………………………１２分2、【解析】()(cos sin )(cos sin )2sin cos f x x x x x x x =+-+⋅………………………….2分22cos sin 2sin cos cos 2sin 2x x x x x x =-+=+……………………...4分2sin(2)4x π=+………………………………………………………5分（1）由最小正周期公式得：22T ππ==…………………………………………6分 （2）]43,4[ππ∈x ，则372[,]444x πππ+∈…………………………………………7分 令3242x ππ+=，则58x π=，……………………………………………….8分从而)(x f 在5[,]48ππ单调递减，在53[,]84ππ单调递增……………….10分 即当58x π=时，函数)(x f 取得最小值2-……………………………12分【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开，再利用辅助角公式进行化简，（1）由最小正周期公式得结果；（2）借助于三角函数的单调性求出单调区间，同时求出最大值。
山东2019年高考数学(理)一轮特训：平面向量(含答案)
山东省2019年高考数学一轮专题复习特训平面向量1、（2018山东理）15．已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且3AB =，2AC =，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为__________.答案：15．7122、（2011山东理数12）12．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=（λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上答案：D3．（山东省淄博第五中学2019届高三10月份第一次质检数学（理）试题）已知i 与j 为互相垂直的单位向量,2a i j =-,b i j λ=+且a 与b 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是 （ ） A ．1(,2)(2,)2-∞-- B ．1(,)2+∞ C ．22(2,)(,)33-+∞ D ．1(,)2-∞ 【答案】A4．（山东省淄博一中2019届高三上学期10月阶段检测理科数学）若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且满足5AP =3AB +2AC ,则△ABP 与△ABC 的面积比为 （ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】 B ．5．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）下列各式正确的是 （ ）A ．a b =a b ⋅B ．()222a b =a b ⋅⋅C ．若()a b-c ,⊥则a b=a c ⋅⋅D ． 若a b=a c ⋅⋅则b=c【答案】C6错误！未指定书签。
．（山东省淄博第五中学2019届高三10月份第一次质检数学（理）试题）在ABC ∆中,已知a .b .c 成等比数列,且33,cos 4a c B +==,则AB BC ⋅= （ ） A ．32 B ．32- C ．3 D ．-3【答案】B7错误！未指定书签。
2019-2020年高三数学一轮复习 专题突破训练 平面向量 理
2019-2020年高三数学一轮复习专题突破训练平面向量理一、选择、填空题1、（xx年北京高考）在中，点M，N满足若，则；．2、（xx年北京高考）已知向量、满足，，且，则_______3、（xx年北京高考）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则__________.4、（朝阳区xx届高三一模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A1，0，B1，1，且∠BOP 90。
设OP OA kOB k R，则| |＝5、（东城区xx届高三二模）已知非零向量满足，与的夹角为，则的取值范围是．6、（房山区xx届高三一模）向量，，若与的夹角等于，则的最大值为（）A．B．C．D．7、（海淀区xx届高三二模）设关于的不等式组表示的平面区域为，已知点，点是上的动点. ，则的取值范围是 .8、（石景山区xx届高三一模）如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则9、（西城区xx届高三一模）已知平面向量a , b满足a = (1, −1), (a+ b) ⊥ (a−b),那么｜b｜＝.10、（东城区xx届高三上学期期末）已知向量，不共线，若（）∥（），则实数_______11、（石景山区xx届高三上学期期末）如图，在边长为2的菱形中，为中点，则．12、（朝阳区xx届高三上学期期中）已知平面向量满足，，且，则向量的坐标是______13、（海淀区xx届高三上学期期中）如图所示，在△ABC中，为边上的一点，且.若，则.D CB A14、（海淀区xx 届高三上学期期中）已知向量，. 若，则（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）15、（朝阳区xx 届高三上学期期末）点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是A ．B ． 3C ．D ．216、（西城区xx 届高三上学期期末）设命题：平面向量和，，则为（ ）（A ）平面向量和，（B ）平面向量和，（C ）平面向量和，（D ）平面向量和，17、（北京四中xx 届高三上学期期中）设，向量，，，且，，则 ＝（A ） （B ）（C ） （D ）18、（朝阳区xx 届高三上学期期中）设是两个非零的平面向量，下列说法正确的是① 若，则有；② ；③ 若存在实数λ，使得＝λ，则；④若，则存在实数λ，使得＝λ.A. ①③B. ①④C.②③D. ②④19、（朝阳区xx 届高三第二次综合练习）已知平面上三点A ，B ，C ，满足，则= （ ）．A ．48B ．-48C ．100D ．-10020、（通州区xx 高三4月模拟考试（一））如图，在四边形中，，，，，动点在内（含边界）运动，设， 则的取值范围是______．二、解答题1、已知向量)cos 2,cos 2(),sin 3,cos 3(x x n x x m -==，函数．（Ⅰ）求的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若且，，求的值．2、中，角、、所对应的边分别为、、，若.(1)求角；（Ⅱ）设的最大值.参考答案一、选择、填空题1、解析：方法一: ()AC AB AC AC AB AM AN MN 61213221-=-+=-= 方法二:特殊法, 假设为直角三角形,角A 为直角,且AB=4,AC=3,BC=5那么所以则等价于所 2、由，有，于是由，可得，又，故3、答案：4解析：可设a ＝－i ＋j ，i ，j 为单位向量且i ⊥j ，则b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j.由c ＝λa ＋μb ＝(6μ－λ)i ＋(λ＋2μ)j ，∴解得∴.4、答案：B5、6、A7、8、9、答案：10、－11、1 12、 或 13、－214、D 15、A 16、D 17、B 18、B19、C 20、二、解答题1、解： （Ⅰ）由32sin 32cos 32sin 3)2cos 1(3cos sin 32cos 62+-=-+=-=⋅x x x x x x x n m 于是3)62cos(3232sin 32cos 3)(++=+-=πx x x x f …………………3分所以的最小正周期为， …………………4分 由，得． …………………6分（2）由，得．为锐角，∴，，∴． …………………9分∵，，∴． …………………10分在△ABC 中，由正弦定理得，即． ………13分2、解：(1)由，得，即，由余弦定理，得，∴； …………6分（II ）=2sinB+cos2B.…………………7分=2sinB+1－2 sin 2B=－2sin 2B+2sinB+1，B ∈（0，）……………9分令t =sinB ，则t ∈.…………………………10分则=－2t 2+2t+1=－2(t －)2+,t ∈.………12分∴t=时，取得最大值……………………13分.。
2019-2020年高考数学一轮精品复习 F单元 平面向量(含解析)
2019-2020年高考数学一轮精品复习 F 单元 平面向量（含解析）F1 平面向量的概念及其线性运算 5．A3、F1[xx·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．15．F1[xx·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________．15．90° [解析] 由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.7．F1[xx·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 4．F2[xx·重庆卷] 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92 B ．0C ．3 D.1524．C [解析] ∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b )⊥c ，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.8．F2[xx·福建卷] 在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)8．B [解析] 由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.16．F2，C4[xx·山东卷] 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．16．解：(1)由题意知，f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g (x )得，sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .13．F2[xx·陕西卷] 设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．13.12[解析] 因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12.18．F2，E5[xx·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．18．解：(1)方法一：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 方法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.F3 平面向量的数量积及应用 10．F3[xx·北京卷] 已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________．10.5 [解析] ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5.11．F3[xx·湖北卷] 设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．11．±3 [解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.14．F3[xx·江西卷] 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．14.2 23 [解析] cos β＝a ·b |a||b|＝（3e 1－2e 2）·（3e 1－e 2）|3e 1－2e 2||3e 1－e 2|＝9e 21－9e 1e 2＋2e 229e 21－12e 1·e 2＋4e 229e 21－6e 1·e 2＋e 22＝9－9×13＋29－12×13＋4·9－6×13＋1＝83×2 2＝2 23.4．F3[xx·全国卷] 若向量a ，b 满足：|a|＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.224．B [解析] 因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a|2＋b·a ＝0.因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a·b ＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a ＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝2|a|＝ 2. 3．F3[xx·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．53．A [解析] 由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.12．F3，C8[xx·山东卷] 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．12.16 [解析] 因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×sin π6＝16.8．F3[xx·天津卷] 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.7128．C [解析] 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE ＝λBC 得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3（λ－1），即点E (λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3（1－μ），即点F (μ，3(1－μ))．又∵AE ·AF ＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，3(1－μ))＝1，① CE →·CF →＝(λ－1, 3(λ－1))·(μ－1, 3(1－μ))＝－23.②①－②得λ＋μ＝56.F4 单元综合15．F4[xx·安徽卷] 已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成．记S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4＋x 5·y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①S 有5个不同的值②若a ⊥b ，则S min 与|a |无关 ③若a ∥b ，则S min 与|b |无关 ④若|b |＞4|a |，则S min ＞0⑤若|b |＝2|a |，S min ＝8|a |2，则a 与b 的夹角为π415．②④ [解析] S 可能的取值有3种情况：S 1＝2a 2＋3b 2，S 2＝a 2＋2b 2＋2a·b ，S 3＝b 2＋4a ·b ，所以S 最多只有3个不同的值．因为a ，b 是不相等的向量，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2(a －b )>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝b 2＋4a·b .对于①，可知明显错误；对于②，当a ⊥b 时， S min 与|a |无关，故②正确； 对于③，当a ∥b 时，S min 与|b |有关，故③错误； 对于④，设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝b 2＋4a·b ＝|b 2|＋4|a||b |cos θ>|b 2|－4|a ||b|>16|a|2－16|a|2＝0，所以S min >0，故④正确；对于⑤，|b |＝2|a |，S min ＝4|a |2＋8|a |2cos θ＝8|a |2，所以cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故⑤错误．16．F4[xx·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．16．1＋7 [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA ＋OB ＋OD ＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA ＋OB ＋OD |2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin (α＋φ)，所以(|OA →＋OB →＋OD →|2)max ＝8＋27，即|OA →＋OB →＋OD →|max ＝7 ＋1.10．E6，F4[xx·四川卷] 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.1010．B [解析] 由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)， 令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B. 8．F4[xx·浙江卷] 记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y .设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |28．D [解析] 对于A ，当a ＝0，b ≠0时，不等式不成立；对于B ，当a ＝b ≠0时，不等式不成立； 对于C ，D ，设OA →＝a ，OB →＝b ，构造平行四边形OACB ，根据平行四边形法则，∠AOB 与∠OBC 至少有一个大于或等于90°，根据余弦定理，max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2成立，故选D.6．[xx·汕头一模] 如图X191所示，在三角形ABC 中，BD ＝2CD .若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )图X191A.13a ＋23bB.23a ＋13bC.23a －13bD.23a －23b 6．A [解析] ∵BC →＝AC →－AB →＝b －a ，∴BD →＝23BC →＝23b －23a ，∴AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23b－23a ＝13a ＋23b . 12．[xx·四川自贡诊断] 设AB →＝(3，2)，OC →＝(2，4)(O 为坐标原点)，点H (m ＋2，m －1)为△ABC 的垂心，则m ＝________．12．2 [解析] 易知CH →＝OH →－OC →＝(m ＋2－2，m －1－4)＝(m ，m －5)．由题知CH →·AB →＝0，即m ×3＋(m －5)×2＝0，∴m ＝2.8．[xx·广东韶关一模] 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A.37 B ．13 C ．6 D.1278．D [解析] 由AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λ(AB →)2＋(AC →)2－AC →·AB→＝0，得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝127.2.[xx·四川自贡一诊] 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)当k ＝－115时，求(AB →－kOC →)·OC →的值．2．解：(1)由题意，得AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)， 则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)． 故所求两条对角线的长分别为4 2，2 10.(2)∵OC →＝(－2，－1)，AB →－kOC →＝(3＋2k ，5＋k )， ∴(AB →－kOC →)·OC →＝(3＋2k ，5＋k )·(－2，－1)＝－11－5k .∵k ＝－115，∴(AB →－kOC →)·OC →＝－11－5k ＝0.4．[xx·惠州调研] 已知△ABC 中，角A 为锐角，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .设向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(cos A ，－sin A )，且m 与n 的夹角为π3.(1)计算m ·n 的值并求角A 的大小；(2)若a ＝7，c ＝3，求△ABC 的面积S . 4．解：(1)∵|m |＝cos 2A ＋sin 2A ＝1， |n |＝cos 2A ＋（－sin A ）2＝1，∴m·n ＝|m|·|n |·cos π3＝12.∵m ·n ＝cos 2A －sin 2A ＝cos 2A ，∴cos 2A ＝12.∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝π3，∴A ＝π6.(2)方法一：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π6，且a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴7＝b 2＋3－3b ，解得b ＝－1(舍去)或b ＝4，故S ＝12bc sin A ＝ 3.方法二：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π6，且a sin A ＝csin C，∴sin C ＝c sin A a ＝32 7.∵a >c ，∴0<C <π6，∴cos C ＝1－sin 2C ＝52 7.∵sin B ＝sin(π－A －C )＝sin π6＋C ＝12cos C ＋32sin C ＝27，∴b ＝a sin B sin A ＝4，故S ＝12bc sin A ＝ 3.。
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x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为
A．
B
．
C
．
D
．
二、填空题
1、（ xx 年全国 I 卷）已知 A， B，C 是圆 O上的三点，若，则与的夹角为
.
2、（ xx年全国 I 卷）已知两个单位向量 a，，则 t =_____.
参考答案 一、选择题 1、【答案】 A
【解析】
试题分析：由题知 AD AC CD AC 1 BC AC 1 ( AC AB) =，故选 A.
3
3
2、 A 向量 a 在 b 上的投影为 a cos a b 0 2 3 3
63
b
1 ( 3) 2
2
3、 B 【解析】，又由余弦定理知 4、 D 5、 A 6、 解答： 解：因为在△ ABC 中， ?=?=?，且 ||=||=||=2 ， 所以△ ABC 是等边三角形； 由在△ ABC 中，若 ?=?=?，且 ||=||=||=2 ，所以∠ AOB=12°0 ， 由余弦定理得 AB2=OA2+OB2﹣2OA×OBcos120°=4+4+4=12， 所以 AB=2， 所以三角形的周长为 6； 故选 D．
3、（广州市 xx 届高三二模） 在边长为 1 的正方形中， 以为起点， 其余顶点为终点的向量分别为， ，；
以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．若为的最小值，其中，，则
．
4、（惠州市 xx 届高三上期末）已知，，，若，则实数 ______
5、（汕头市 xx 届高三上期末）下列关于向量的命题中，正确的有
2、（佛山市 xx 届高三二模）已知向量 a， b，则向量 a 在 b 上的投影为（
）
A．
B．
C．
D． 3
3、（惠州市 xx 届高三 4 月模拟）在中，，，，则 ( )
A．
B
．
C
．
D
．
4、（茂名市 xx 届高三二模）在△中 , , , 则△的面积为（
）.
A． 3
B．
C
．6
D． 4
5、（深圳市 xx 届高三二模）平面向量，，若，则等于
2019-2020 年高三数学一轮复习 专题突破训练 平面向量 理
xx 年广东省高考将采用全国卷，下面是近三年全国卷的高考试题及 拟试题，供同学们在复习时参考。 一、选择题
1、（ xx 年全国 I 卷）设 D 为 ABC所在平面内一点，则（ ）
xx 届广东省部分地区的模
（ A） (B)
（ C） (D)
A. B. C. D. 9、（洛阳市 xx 届高三上学期期中考试）已知向量
=（2，0），向量 =（ 2，2），向量 =（cos α ，sin α ），
则向量与向量的夹角范围为（
）
A． [0 ， ] B． [ ， ]
C． [ ， ]
D． [ ， ]
10、（潮州市 xx 届高三上期末）若向量，，则以下向量中与垂直的是（
7、 【答案解析】 D 解析：由 得 ，
2
2
2
2
2a b 4a 4a b b 4 4 b cos45 b 10
解得舍去，或，故选 D.
8、 【答案解析】 D 解析： a b a, a b a 0 ，
2
即 a a b 2 2 2 cos a,b 0 ，，的夹角是 .
9、 解答： 解： ||= ，∴Ａ 点在以 C 为圆心，为半径的圆上， 当 OA与圆相切时对应的位置是 OA 与 OB所成的角最大和最小的位置 OC与 x 轴所成的角为；与切线所成的为 所以两个向量所成的最小值为；最大值为 故选 D
10、 A 11、 B 12、 D 13、 C
二、填空题 1、【答案】： 【解析】：∵，∴ O为线段 BC中点，故 BC为的直径， ∴，∴与的夹角为。 2、【解析】 =====0，解得 =. 3、－ 5 4、 8 5、（ 4） 6、 18 7、－ 2 8、
）
A．
B
．
C
．
D
．
11、（佛山市 xx 届高三上期末）已知两个单位向量的夹角为 , 且满足 , 则实数的值是 ( )
A．
B．
C．
D．
12、（广州市 xx 届高三上期末）设向量， , 若方向相反 , 则实数的值是
A．
B
．
C ． D．
13、（肇庆市 xx 届高三上期末）设，为非零向量，，两组向量和均由
2 个和 2 个排列而成 . 若
A．
B
．
C
．
D
．
6、（河北保定 xx 届高三 11 月模拟） 在△ ABC中，若?=?=?， 且 ||=||=||=2 ，则△ ABC的周长为 （ ）
A．
B． 2
C． 3
D． 6
7、（冀州中学 xx 届高三上学期第一次月考）已知向量的夹角为，且，，则（
）
（ A） （ B） （ C） （ D）
8、（开封市 xx 届高三上学期定位考试模拟）若 a 2, b 2, a b a ，则的夹角是
。
（ 1） （ 2） （ 3）
(4) (5)
若 , 则中至少一个为
（ 6）若，，则 (7) 若，，则
(8) 若与共线，则存在一个实数，使得成立
（ 9）与向量平行的单位向量有两个
6、（深圳市 xx 届高三上期末）已知向量，，若，则的最小值为
7、（肇庆市 xx 届高三上期末）已知，，若，则
▲.
8、（珠海市 xx 届高三上期末）已知平面向量满足，则的最大值为