立体几何总复习课件
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高考总复习一轮数学精品课件 第8章 立体几何与空间向量 第6节 第2课时 面面夹角与空间距离
设平面 ABD 的法向量 m=(x,y,z),
- = 0,
· = 0,
则
即
- + = 0,
· = 0,
令 z=1,则 x=1,y=1,即平面 ABD 的一个法向量 m=(1,1,1). ........................ 平面 PA2C2 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),
2 ·2 2 = 22 + 2y2 -22 = 0,
则
取 z2=2,可得 x2=a-1,y2=3-a,
2 ·2 = 2y2 + (-3)2 = 0,
故 n2=(a-1,3-a,2). .............................................................................................. 8 分
到直线AD的距离为( A )
A.
2
2
1
B.
2
C.
3
3
1
D.
3
解析 空间四面体OABC满足∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,
即OA,OB,OC两两垂直,以O为原点,OA,OB,OC所在直线为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为OA=1,OB=2,OC=3,OC=3OD,
则 A(1,0,0),D(0,0,1),G
空间距离(多考向探究预测)
考向1 点到直线的距离
例2(1)已知空间内三点A(1,1,2),B(-1,2,0),C(0,3,1),则点A到直线BC的距离是
( A )
A. 6
4 6
C. 3
B.1
2 3
D. 3
解析 由题可得, =(1,1,1),=(2,-1,2),
- = 0,
· = 0,
则
即
- + = 0,
· = 0,
令 z=1,则 x=1,y=1,即平面 ABD 的一个法向量 m=(1,1,1). ........................ 平面 PA2C2 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),
2 ·2 2 = 22 + 2y2 -22 = 0,
则
取 z2=2,可得 x2=a-1,y2=3-a,
2 ·2 = 2y2 + (-3)2 = 0,
故 n2=(a-1,3-a,2). .............................................................................................. 8 分
到直线AD的距离为( A )
A.
2
2
1
B.
2
C.
3
3
1
D.
3
解析 空间四面体OABC满足∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,
即OA,OB,OC两两垂直,以O为原点,OA,OB,OC所在直线为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为OA=1,OB=2,OC=3,OC=3OD,
则 A(1,0,0),D(0,0,1),G
空间距离(多考向探究预测)
考向1 点到直线的距离
例2(1)已知空间内三点A(1,1,2),B(-1,2,0),C(0,3,1),则点A到直线BC的距离是
( A )
A. 6
4 6
C. 3
B.1
2 3
D. 3
解析 由题可得, =(1,1,1),=(2,-1,2),
高考立体几何专题复习公开课获奖课件
（7）假如一种平面与另一种平面垂线平行， 则这两个平面互相垂直
第20页
面面垂直鉴定
假如一种平面通过另一种平面一条 垂线，则这两个平面互相垂直
推论:假如一种平面与另一种平面垂线 平行，则这两个平面互相垂直
第21页
面面垂直性质
假如两个平面垂直，则在一种平面内垂直 于它们交线直线垂直于另一种平面
推论:假如两个相交平面都与另一种平面 垂直，则这两个平面交线 l 垂直于另一种 平面
（3）推论：
假如一种平面内两条相交直线与另一种平面两条 相交直线分别平行，那么这两个平面平行。
第10页
（4）运用线面垂直：
假如两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两 个平面平行。
（5）运用面面平行：
假如两个平面都平行于第三个平面，那么这两个 平面平行。
（6）运用距离：
假如一种平面上所有点到另一种平面距离相等， 那么这两个平面平行。
α
a
直线与平 面所成角
βA Pm
αB
二面角
00<θ≤900
00≤ θ≤900
00≤θ ≤1800
空间角计算环节：一作、二证、三算
第34页
空间中角解法小结
1、异面直线所成角措施 （1）平移法（2）补形法
2、直线与平面所成角措施
关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内射影。
3、二面角
找二面角棱,进而找棱两条垂线
第6页
（4）运用垂直
假如一条直线和一种平面分别与另一种平面垂 直，且直线不在这个平面内，则这条直线和这 个平面平行。
（5）运用平行 假如一条直线与两个平行平面中一种平 行且不在另一种平面内，则这条直线与 另一种平面平行。
（6）运用距离
第20页
面面垂直鉴定
假如一种平面通过另一种平面一条 垂线，则这两个平面互相垂直
推论:假如一种平面与另一种平面垂线 平行，则这两个平面互相垂直
第21页
面面垂直性质
假如两个平面垂直，则在一种平面内垂直 于它们交线直线垂直于另一种平面
推论:假如两个相交平面都与另一种平面 垂直，则这两个平面交线 l 垂直于另一种 平面
（3）推论：
假如一种平面内两条相交直线与另一种平面两条 相交直线分别平行，那么这两个平面平行。
第10页
（4）运用线面垂直：
假如两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两 个平面平行。
（5）运用面面平行：
假如两个平面都平行于第三个平面，那么这两个 平面平行。
（6）运用距离：
假如一种平面上所有点到另一种平面距离相等， 那么这两个平面平行。
α
a
直线与平 面所成角
βA Pm
αB
二面角
00<θ≤900
00≤ θ≤900
00≤θ ≤1800
空间角计算环节：一作、二证、三算
第34页
空间中角解法小结
1、异面直线所成角措施 （1）平移法（2）补形法
2、直线与平面所成角措施
关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内射影。
3、二面角
找二面角棱,进而找棱两条垂线
第6页
（4）运用垂直
假如一条直线和一种平面分别与另一种平面垂 直，且直线不在这个平面内，则这条直线和这 个平面平行。
（5）运用平行 假如一条直线与两个平行平面中一种平 行且不在另一种平面内，则这条直线与 另一种平面平行。
（6）运用距离
高考数学复习第八章立体几何与空间向量8.5垂直关系市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
42/85
(2)求证：AC1⊥平面A1BM；BB1 上是否存在点 N，使得平面 AC1N⊥平面 AA1C1C？如果存在， 求此时BBBN1的值；如果不存在，请说明理由. 解答
46/85
思想与方法系列17 立体几何证实问题中转化思想 典例 (12分)如图所表示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1棱 AB，CD，C1D1中点. 求证：(1)AN∥平面A1MK； (2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
√D.A1C1∥平面AB1E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 57/85
4. 如 图 ， 以 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 斜 边 BC 上 高 AD 为 折 痕 ， 把 △ABD 和
△ACD折成相互垂直两个平面后，某学生得出以下四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
l
β
⇒α⊥β
l⊥α
6/85
• 性质 定理
假如两个平面相互 垂直，那么在一个 平面内垂直于它们 直线交垂线直于另一个 平面
α⊥β
α∩β＝a
lβ
⇒_l_⊥__α_
l⊥a
7/85
知识拓展
主要结论： (1)若两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内任何一条直线 (证实线线垂直一个主要方法). (3)垂直于同一条直线两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中一个，则这一条直线与另一个平面也 垂直.
9/85
考点自测
1.(教材改编)以下命题中不正确是 答案 解析 A.假如平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B.假如平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C.假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D.假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
(2)求证：AC1⊥平面A1BM；BB1 上是否存在点 N，使得平面 AC1N⊥平面 AA1C1C？如果存在， 求此时BBBN1的值；如果不存在，请说明理由. 解答
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思想与方法系列17 立体几何证实问题中转化思想 典例 (12分)如图所表示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1棱 AB，CD，C1D1中点. 求证：(1)AN∥平面A1MK； (2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
√D.A1C1∥平面AB1E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 57/85
4. 如 图 ， 以 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 斜 边 BC 上 高 AD 为 折 痕 ， 把 △ABD 和
△ACD折成相互垂直两个平面后，某学生得出以下四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
l
β
⇒α⊥β
l⊥α
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• 性质 定理
假如两个平面相互 垂直，那么在一个 平面内垂直于它们 直线交垂线直于另一个 平面
α⊥β
α∩β＝a
lβ
⇒_l_⊥__α_
l⊥a
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知识拓展
主要结论： (1)若两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内任何一条直线 (证实线线垂直一个主要方法). (3)垂直于同一条直线两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中一个，则这一条直线与另一个平面也 垂直.
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考点自测
1.(教材改编)以下命题中不正确是 答案 解析 A.假如平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B.假如平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C.假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D.假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
高中数学总复习考点知识讲解课件13立体几何
【解析】 (1)证明：过点B1作平面AOB的垂线，垂足为C，如图，则C是OB 的中点，所以BC＝1.
π 又∠OBB1＝ 3 ，所以BB1＝2. 连接OB1，因为BB1＝OB＝2， 所以△OBB1为等边三角形． 因为点M为BB1的中点，所以BB1⊥OM. 因为平面AA1O1O⊥平面BB1O1O，平面AA1O1O∩平面BB1O1O＝OO1，且 AO⊥OO1，AO⊂平面AA1O1O，
命题规律： (1)直线和平面平行、垂直的判定与性质． (2)空间角及空间向量的应用． (3)立体几何题通常分两问，第一问，线、面关系的证明，第二问，跟角有 关，考查线面角或二面角．在第二问中，一定要注意是求角的大小，还是求角 的某个三角函数值！
押题一 线面角
(2021·长沙市一中模拟(一))如图，七面体ABCDEF的底 面是凸四边形ABCD，其中AB＝AD＝2，∠BAD＝120°，AC，BD 垂直相交于点O，OC＝2OA，棱AE，CF均垂直于底面ABCD.
＝ 7
7 7.
所以直线GH与平面PBC所成角的正弦值为
7 7.
方法三：(1)同方法二． (2)设CD＝2，在BD上取点I，使BI＝3ID，连接HI，GI，CE，如图，则 GI∥CD，
根据题意CD⊥BD，CD⊥PD，BD∩PD＝D， 所以CD⊥平面PBD，则GI⊥平面PBD，
所以GI⊥HI，
GH＝ HI2＋GI2＝
(2)由(1)知BF⊥EF，C1F⊥EF. ∴∠C1FB即为二面角C1－EF－B的平面角．
π ∴∠C1FB＝ 3 .过点F作平面AEFB的垂线，建立空间直角坐标系
如图所示．
由BF＝EF＝2AE＝4，可得E(4，0，0)，C1(0，2，2 B(0，4，0)，A(4，2，0)．
第8章 立体几何初步(复习课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
81 C. 4 π
D．16π
(1)如图，设 PE 为正四棱锥 P-ABCD 的高，则正四棱锥 P-ABCD 的 外接球的球心 O 必在其高 PE 所在的直线上，延长 PE 交球面于一点 F，连接 AE，AF.
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
又底面边长为4, 所以AE＝2 2 ， PE＝6, 所以侧棱长PA＝
3
在Rt△CDE中,
故二面角B-AP-C的正切值为2.
tanCED CD 2 3 2， DE 3
归纳总结
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的 夹角). (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法； ③垂面法.
的表面积为 16π，则 O 到平面 ABC 的距离为
A. 3
3 B.2
√C.1
3 D. 2
解析 如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC， 则O1为等边三角形ABC的外心. 设△ABC的边长为a， 则 43a2＝943，解得 a＝3， ∴O1A＝23× 23×3＝ 3. 设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2. 在 Rt△OO1A 中，OO1＝ OA2－O1A2＝1，
五、直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行
(1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行).
(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线 线平行”).
2．平面与平面平行
则直线 PB 与 AD1 所成的角为( )
A．
2
空间向量与立体几何复习课件 PPT
错因分析:用法向量的夹角判断二面角的大小时出现错误,根据法向量 的方向可知,二面角为钝角,而不是锐角. 正解:以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1, 则D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1).
由题意知 DA1 =(1,0,1)是平面 ABD1 的一个法向量,
证明:如图所示,以点D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系.
(1)连接 AC,AC 交 BD 于点 G,连接 EG.
设 DA=a,PD=DC=b,
则 A(a,0,0),P(0,0,b),E(0, b , b ). 22
因为四边形 ABCD 是矩形,所以 G( a , b ,0). 22
( 5 ,0, 2 5 ).
5
5
因为 N(1,1,0),所以 MN =(-1,1,-1),故点 N 到平面 MA1C1 的距离 d=| MN · n0|=1.
四、易错易误辨析 1.混淆向量与实数的运算性质致误 【典例4】 已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与 7a-2b垂直,求向量a,b的夹角.
DC1 =(0,1,1)是平面 BCD1 的一个法向量.
所以 cos< DA1 , DC1 >=
DC1 DA1 DC1 DA1
=1 2
,
所以 cos< DA1 , DC1 >=60°. 所以二面角 A-BD1-C 的大小为 120°.
真题体验
1.(2017·全国Ⅰ卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP =90°. (1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
因为 PA =(a,0,-b), EG =( a ,0,- b ).
专题四立体几何极品课件
专题四
立体几何综合问题的解答
本节目录
专 题 探 究 突 破 热 点
知 能 演 练 轻 松 闯 关
•
•
专题探究•突破热点
方法综述
高考立体几何试题在选择、填空题中侧重立体几何中的概念 型、空间想象型、简单计算型问题，而解答题侧重立体几何 中的逻辑推理型问题，主要考查线线关系、线面关系和面面 关系．近几年高考中凡是解答题一般为 2～3 问，首先证明 线、 面平行与垂直， 最后一问为面积和体积计算， 难度中等．
B，C 都在半径为 3的球面上，若 PA，PB，PC 两两相互 垂直，则球心到截面 ABC 的距离为________．
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【解析】
如图，设 PA＝a， 3 则 AB＝ 2a，PM＝ a. 3 设球的半径为 R， 3 6 所以 a－R2＋ a 2＝R2， 3 3 将 R＝ 3代入上式， 2 3 解得 a＝2，所以 d＝ 3－ 3＝ . 3 3 3 【答案】 3
A1B1C1D1 中，底面 A1B1C1D1 是正方形，O 是 BD 的中点， E 是棱 AA1 上任意一点． (1)证明：BD⊥EC1； (2)如果 AB＝2，AE＝ 2，OE⊥EC1，求 AA1 的长．
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【解】 证明：(1)如图，连接 AC，A1C1，相交于点 O. 由底面是正方形知，BD⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 AA1⊥BD. 又 AA1∩AC＝A， 所以 BD⊥平面 AA1C1C. 因为 EC1 平面 AA1C1C，
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【解】 (1)证明：因为 DE⊥EF，CF⊥EF， 所以四边形 CDEF 为矩形， 由 GD＝5，DE＝4，得 GE＝ CD2－DE2＝3， 由 GC＝BC＝4 2，CF＝DE＝4，得 FG＝ GC2－CF2 ＝4， 所以 EF＝5. 在△EFG 中，有 EF2＝GE2＋FG2，所以 EG⊥GF， 又因为 CF⊥EF，CF⊥FG，得 CF⊥平面 EFG， 所以 CF⊥EG，所以 EG⊥平面 CFG，又 EG 所以平面 DEG⊥平面 CFG. DEG，
立体几何综合问题的解答
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专 题 探 究 突 破 热 点
知 能 演 练 轻 松 闯 关
•
•
专题探究•突破热点
方法综述
高考立体几何试题在选择、填空题中侧重立体几何中的概念 型、空间想象型、简单计算型问题，而解答题侧重立体几何 中的逻辑推理型问题，主要考查线线关系、线面关系和面面 关系．近几年高考中凡是解答题一般为 2～3 问，首先证明 线、 面平行与垂直， 最后一问为面积和体积计算， 难度中等．
B，C 都在半径为 3的球面上，若 PA，PB，PC 两两相互 垂直，则球心到截面 ABC 的距离为________．
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【解析】
如图，设 PA＝a， 3 则 AB＝ 2a，PM＝ a. 3 设球的半径为 R， 3 6 所以 a－R2＋ a 2＝R2， 3 3 将 R＝ 3代入上式， 2 3 解得 a＝2，所以 d＝ 3－ 3＝ . 3 3 3 【答案】 3
A1B1C1D1 中，底面 A1B1C1D1 是正方形，O 是 BD 的中点， E 是棱 AA1 上任意一点． (1)证明：BD⊥EC1； (2)如果 AB＝2，AE＝ 2，OE⊥EC1，求 AA1 的长．
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【解】 证明：(1)如图，连接 AC，A1C1，相交于点 O. 由底面是正方形知，BD⊥AC. 因为 AA1⊥平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 AA1⊥BD. 又 AA1∩AC＝A， 所以 BD⊥平面 AA1C1C. 因为 EC1 平面 AA1C1C，
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【解】 (1)证明：因为 DE⊥EF，CF⊥EF， 所以四边形 CDEF 为矩形， 由 GD＝5，DE＝4，得 GE＝ CD2－DE2＝3， 由 GC＝BC＝4 2，CF＝DE＝4，得 FG＝ GC2－CF2 ＝4， 所以 EF＝5. 在△EFG 中，有 EF2＝GE2＋FG2，所以 EG⊥GF， 又因为 CF⊥EF，CF⊥FG，得 CF⊥平面 EFG， 所以 CF⊥EG，所以 EG⊥平面 CFG，又 EG 所以平面 DEG⊥平面 CFG. DEG，
高中数学立体几何PPT课件
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旋转 体
(1)圆柱可以由____矩__形____绕其任一边所在直线旋 转得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕其____直__角__边____所在 直线旋转得到． (3)圆台可以由直角梯形绕___直__角__腰___所在直线或 等腰梯形绕_上__、__下__底__中__点__连__线___旋转得到，也可 由___平__行__于__底__面____的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕__地，它的水平放置的平面图形的斜二测直 观图是直角梯形(如图)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥ BC，则这块菜地的面积为________．
答案：2＋
2 2
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5．(2011·高考北京卷改编)某四面体的三视图如图所示，该四 面体四个面的面积中最大的是________．
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3．(教材习题改编)有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
目录
解析：选A.命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不 垂直于底面的平行六面体不是长方体； 命题②不是真命题， 因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱 柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂 直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题， 由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得 侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．
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解析：
将三视图还原成几何体的直观图如图所示． 它的四个面的面积分别为 8,6,10,6 2，故面积最大的应为 10.
旋转 体
(1)圆柱可以由____矩__形____绕其任一边所在直线旋 转得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕其____直__角__边____所在 直线旋转得到． (3)圆台可以由直角梯形绕___直__角__腰___所在直线或 等腰梯形绕_上__、__下__底__中__点__连__线___旋转得到，也可 由___平__行__于__底__面____的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕__地，它的水平放置的平面图形的斜二测直 观图是直角梯形(如图)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥ BC，则这块菜地的面积为________．
答案：2＋
2 2
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5．(2011·高考北京卷改编)某四面体的三视图如图所示，该四 面体四个面的面积中最大的是________．
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3．(教材习题改编)有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
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解析：选A.命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不 垂直于底面的平行六面体不是长方体； 命题②不是真命题， 因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱 柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂 直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题， 由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得 侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．
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解析：
将三视图还原成几何体的直观图如图所示． 它的四个面的面积分别为 8,6,10,6 2，故面积最大的应为 10.
人教版高中数学必修立体几何复习课件(共102张PPT)
1 1
1
11.已知某个几何体的三视图如图2，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是_____8_0__0.0 cm 3
3
2 0 20
主视图
10
10
2 俯0视图
2 侧0视图
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
• 四个公理
直线与直线位置关系 • 三类关系 直线与平面位置关系
平面与平面位置关系
（3）
a a
// b
b
（较常用）；
（4）
a
//
a
；
（5）
a a
b
a
（面面垂直 线面垂直）
a b
4.面面垂直
向的侧视图（或称左视图）为（
A
A
H
G
Q
B
C
侧视 B
）A
C
I
P
E
图1
F
B
D
E
D
图2
F
B
B
B
E A．
E B．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E C．
E D．
练习10：(1)如图是一个空间几何体的三
视图，如果直角三角形的直角边长均为
正视图 侧视图
1，那么几何体的体积为( ) C
A．1 B．1 C． 1 D．1
俯视图
2
3
6
V1 3S底 h1 31111 3
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于 另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述： a,b , a b O, a //,b // //
//
③面面平行的性质定理：
a
a
//
高考数学大一轮复习-第七章 立体几何 第6课时 空间直角坐标系课件 北师大版
(2)已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤：①在x轴、y 轴、z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q、R；②过P、Q、R分别作 垂直于x轴、y轴和z轴的平面；③三个平面的唯一交点就是M.
考点三 空间中两点间的距离 [例 3] 如图所示，以棱长为 a 的正方体的三条棱所在的直线 为坐标轴建立空间直角坐标系，点 P 在正方体的体对角线 AB 上， 点 Q 在棱 CD 上．当点 P 为对角线 AB 的中点，点 Q 在棱 CD 上 运动时，探究|PQ|的最小值为______．
审题视点 确定点 P、Q 的坐标，利用两点间的距离公式得到 |PQ|，然后利用函数知识解决．
C.
3 2
D.
6 3
解析：构造正方体，则从正方体一个顶点出发的相邻三个面
上的对角线长都是1，则此正方体的对角线长为
6 2.
答案：A
3．以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
()
C．直角三角形
D．无法判断
解析：依题意有|AB|＝ 4－102＋1＋12＋9－62 ＝ 49 ＝ 7，同理可得
(3)点 P 关于原点 O(0,0,0)对称的点 P3(3，－2，－1)． (4)点 P(－3,2,1)关于点 Q(1,1,1)对称的点 P4(5,0,1)．
(1)关于原点对称，三个坐标变为原坐标的相反数； (2)关于哪条轴对称，对应坐标不变，另两个坐标变为原来的相 反数．如 M(1,3，－2)关于 x 轴的对称点坐标为 M′(1，－3,2)； (3)关于坐标平面的对称点，由 x，y，z，O 中的三个字母表示的 坐标平面，缺少哪个字母的对应坐标变为原来的相反数，其它不变， 如 N(1,3，－2)关于坐标平面 xOz 的对称点 N′(1，－3，－2)．
高中数学课件-立体几何复习——平行、垂直证明
(1) 证明 如图所示，取线段 BC 的中点 F， 连接 EF、FD.
在△PBC 中，E、F 分别为 PC、CB 的中点， ∴EF∥PB. 在直角梯形 ABCD 中，F 为 CB 的中点， ∴BF＝12BC＝1. 又∵AD∥BC，且 AD＝1， ∴AD // BF. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴FD∥AB. 又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B， ∴平面 EFD∥平面 PAB. 又∵DE⊂平面 EFD，∴DE∥平面 PAB.
F
构造平面法
(1) 证明 如图所示，取线段 PB 的中点 H， 连接 EH、ＡＨ.
在△PBC 中，E、Ｈ和分别为 PC、PB 的中点， ∴EH // BC. 在直角梯形 ABCD 中， ∵AD∥BC，且 AD＝1，BC＝２ ∴AD // 12BC. ∴AD // EH. ∴四边形 ABFD 是平行四边形， ∴ＥD∥AH.
β
a
αlHale Waihona Puke a all
a
☺ 简称：面面垂直，线面垂直.
归纳小结
1．垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若 这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂 直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转 化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线 垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．
➳性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ，那么它们的交线平行．
//
a
a // b
b
☺ 简称：面面平行，线线平行.
定理应用
空间中的平行
1.长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E, F分别是BA1，BC1的中点。 求证：EF // 平面ABCD
高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课件新人教B版选修2_1
α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0_
l，m的夹角为θ
0≤θ≤π2，cos
|a·b| θ＝_|_a_||_b_| _
l，α的夹角为θ
0≤θ≤π2， sin
|a·μ| θ＝_|_a_||_μ_| _
|μ·v| α，β的夹角为θ 0≤θ≤π2， cos θ＝__|μ__||v_|__
2.用坐标法解决立体几何问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论.
题型二 利用空间向量解决位置关系问题
例2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中 点，求证： (1)PC∥平面EBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
反思感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线 向量. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. ②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线. ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量 是共面向量.
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R l∥α⇔_a_⊥__μ_⇔_a_·_μ_＝__0_
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_，__k_∈__R_ l⊥m⇔_a_⊥__b__⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R
面面垂直 线线夹角 线面夹角 面面夹角
跟踪训练2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证： 平面AED⊥平面A1FD1.
题型三 利用空间向量求角
例3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离；
立体几何全章(多面体棱柱等67个 人教课标版2精品课件
（2）启发学生自己探寻各种解法
（3）要选择适当的时机
（4）首先选用教科书上的题目
复习中，启发学生去探询这些解题方法，讲明这些解法 是怎样想出来的，对于学生融会贯通各种解法间的联系，
发展思维的灵活性，显然是有好处的。
小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭……我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。
是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。
Ö¤Ã÷£º Éè PO£½ a £¬ Á¬ PB1
¡ß BD£½ B1D1£½ 2a£¬ ¡à OB£½ OD£½ 2 a £¬
2
A1
B1
P
2
2
OB1
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2 2
a
£«
a 2 £½
3 a2 2
D C
A
O
B
ÓÖ OP2 £½
2 2
2 吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。 老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。 当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。 在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓
（3）要选择适当的时机
（4）首先选用教科书上的题目
复习中，启发学生去探询这些解题方法，讲明这些解法 是怎样想出来的，对于学生融会贯通各种解法间的联系，
发展思维的灵活性，显然是有好处的。
小心翼翼珍藏着，和母亲在一起的美好时光。母亲身体一直不好，最后的几年光景几乎 长大后，才发现生活不像我们想象的那样的简单，我们时刻面临着不同的选择，学习、工作、家庭……我们总是小心翼翼，在每一条路上，我们总是想追求最好的，努力付出过后，结局如何，只有我们自己慢慢去体会。
是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。
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2 吴走后每一天孩子起床都是老李叫他们起床，洗脸，吃饭上学，都是老李管的。孩子们放学就在老李家里学习，写作业，吃饭。每到星期天老石钓来鱼做熟以后，就端到老李家让老吴的孩子打牙祭。老赵的孩子学习好，只要有时间就去老吴家帮助他的孩子辅导功课。就这样两个多月很快过去了，老吴两口子回来了，他们看到家里面收拾的整整齐齐的。孩子们也长胖了，也爱学习了。他当面给老李鞠了一躬表示十分的感激，还给老石的孩子带了一些当地的土特产，给老赵的孩子买了几件衣服。 老干部老李当时家里有一部电话机，这个电话机就成了几家人共同使用的了。那个时候打个电话一般不太容易，当时电话机是个除了单位有一部以外，根本很少有个人电话的。老石在休息的时候喜欢出去钓鱼，他这个人喜欢钓鱼，就是不太喜欢吃鱼。钓的鱼一部分留下给自家孩子吃一些，大部分的鱼都分给邻居吃了。老李特别喜欢吃鱼，老石就经常把钓的鱼给他吃。老赵是个食堂的采购员，经常可以买到别人还没有吃到的反季节蔬菜，大家经常让他给代买一点便宜的蔬菜，或者便宜的鸡蛋，或者便宜的肉和其他调味品。 当时一般的人家里都没有电视机，最多有个半导体收音机就是很好的了。大多数人下班吃完饭没有事就是喜欢串串门，一起都聊的是过去的事情，以及现在的工作和家常事。串门是特别普遍的现象。现在这个年代在一起住了好久也不知道邻居是干啥的，或者姓啥叫啥，哪里的人都不知道。就是住在隔壁的也就是看见了打个招呼点个头，各自开门关门就走开了，与那个时候的邻里关系没法相比。老吴是个老师，也是一个戏迷，爱听京剧，也是一个爱下象棋的。老吴一有空就和老李下棋玩，于是他们有了深厚的情谊。他们几家人的孩子相处得也是特别的好，一般放了学就在一起学习玩耍。 在那个时候，人们心里都是充满着英雄主义和共产主义的理想，就是跟着毛主席共产党好好的为人民服务。小孩玩的游戏，多是是刀枪、打仗的游戏，还有电影里看见的剧情。他们拿着玩具枪，还有木头做的宝剑，或者花五角钱可以买一根长杆木头大刀。他们拿着这些玩具就分出两个队伍。你这个队伍藏起来，他们埋伏起来之前还要伪装好，他们一般都是藏在山坡底下或者是草多的地方。有的头上还要带上细树枝编的帽子或者是柳树条编的头箍，他们就趴在草丛里一般很难被另外一群小伙伴发现的。那个队伍就到处找他们，这个游戏叫做抓特务，或者叫做打伏击抓俘虏。他们一有时间，或者一放寒暑假，一群孩子就喜欢玩这个游戏，特别好玩。那一两个月就是孩子们的天下了，非常热闹。除此之外就是滚铁环、碰膝盖游戏。女孩子喜欢跳皮筋、跳格子、跳绳、打沙包、唱歌，也喜欢玩抓
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分析 要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征入手，以柱、 锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体. 解 (1)如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩 形,可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱. (2)如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯 形,每个直角梯形旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台. (3)如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AO⊥CD于O点,将直角梯形分为 一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组 合体由一个圆锥和一个圆柱组成.
E1E O1O2 OE O1 E1 5 13
2
∴棱台的侧棱长为19 cm,斜高为5 13 cm.
学后反思 （1）把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何 问题的常用方法. （2）找出相关的直角梯形，构造直角三角形是解题的关键，正棱 台中许多元素都可以在直角梯形中求出.
举一反三
题型二
柱、锥、台中的计算问题
【例2】正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是4 cm和16 cm,求棱台的 侧棱长和斜高. 分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构 造直角三角形,解决问题. 解 如图所示,设棱台的两底面的中心分别是 O1 、O, B1C1 和BC的中点分别 是E1 和E,连接O1O、 E1E 、O1B1 、OB、O1E1 、OE,则四边形 OBB1O1和 OEE1O1 都是直角梯形. ∵ A1B1 =4 cm,AB=16 cm, ∴ O1E1 =2 cm,OE=8 cm, O1B1 =2 2 cm,OB=8 2 cm, 2 ∴ B1B O1O2 OB O1B1 =19 cm,
2. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它 的表面积就是展开图的面积.
3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积
S圆柱侧 =2 rl , S柱 =2 r r l ; S圆锥侧 = rl , S锥 = r r l ; S圆台侧 r ' r l , S台 r '2 r 2 r ' l rl .
图1
图2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图3
学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作 适当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.
举一反三
1. 观察如图几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成的,并说出主 要结构特征.
解析 (1)是一个四棱柱和一个四棱锥组成的,它有9个面,9个顶 点,16条棱.(2)是由一个四棱台、一个四棱柱和一个球组成的,其 主要结构特征就是相应四棱台、四棱柱和球的结构特征.
2 BE= 2 ,∠CBE=45°，利用余弦定理可得 2 10 10 14 2 B C 1 CE= 2 ，故在Rt△ 中易得 B1EC 1 2 2 14 答案 2
11. 圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm,高为8 cm,有一个过圆 台两母线的截面,且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分 别为3 cm和6 cm,求截面面积. 解析 如图所示截面ABCD,取AB中点F,CD中点E,连接OF, O1E，
∴OC=6 cm,BC=AB=6 cm，∴原图形为菱形. 答案 C
易错警示
【例】画出如图1所示零件的三视图. 错解 图1的零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合, 其三视图如图2.
图1 图2 错解分析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的 交线，画图时应画出其交线. 正解
考点演练
【例3】螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图.
分析 螺栓是棱柱、圆柱组合而成的，按照画三视图的三大原则 “长对正，高平齐，宽相等”画出. 解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,正视图反映正 六棱柱的三个侧面和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆 柱侧面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重 合).它的三视图如下图:
典例分析
题型一 空间几何体的结构特征
【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面 都是矩形; (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封 闭曲面所围成的图形; (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成 的几何体.
(3)连接B′C′、D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放臵的 等腰梯形ABCD的直观图,如图2……………………………..12′
1
图1
图2
学后反思 在原图形中要建立适当的直角坐标系，一般取图形中的某 一横线为x轴，对称轴为y轴，或取两垂直的直线为坐标轴，原点可建 在图形的某一顶点或对称中心、 中点等.坐标系建得不同，但画法规 则不变，关键是画出平面图形中相对应的顶点.
2 4
10 3
,
由S侧 =S上 +S下 ,得1 20+30 3 DD1 = 3 202 +302
∴ DD1 =
13 3 3
2
2 在直角梯形 O ODD 中,O1O= DD1 - OD O1D1 4 3
2. （2009· 上海）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所 在的直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是_____. 解析 如图，等腰直角三角形旋转而成的旋转体为圆锥.
1 1 1 8 2 V= 3 S· h= πR · h= π× 22×2= . 3 3 3
答案
8 3
题型三
三视图与直观图
(2)三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视 图放在正视图的右方. (3)三视图的三大原则:长对正、高平齐、宽相等.
(4)水平放臵的平面图形的直观图的斜二测画法： ①在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时, 把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴相交于O′,且使 ∠x′O′y′=45°(或135°),用它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x′ 轴或y′轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.
解析 由正三棱柱的性质得,侧面AED⊥底面EFD,则侧视图必为直 角梯形,且线段BE在梯形内部.
答案 A 题型四几何体的直观图 【例4】(12分)用斜二测法画出水平放臵的等腰梯形的直观图. 分析 画水平放臵的直观图应遵循以下原则: (1)坐标系中∠x′O′y′=45°; (2)横线相等,即A′B′=AB,C′D′=CD; (3)竖线是原来的 ,即O′E′= OE.
举一反三
4. 如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放臵的一个平面图形的直观 图，其中O′A′=6 cm，O′C′=2 cm，则原图形是 （） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 一般的平行四边形 解析 ∵在直观图中，平行于x轴的边的长度不变，平行于y轴的边
1 的长度变为原来的 ，∴原图中，OA=6 cm,OD=4 2 cm， 2
1 6 x 2 x 2 x 392 ,∴x=7. 2
故圆台的高 OO1 =14 cm,母线长 l = 2O1O =14 2 cm, 两底面半径分别为7 cm,21 cm.
第二节
基础梳理
空间几何体的表面积与体积
1. 柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面 的面积之和,即侧面积与底面积之和.
10. （2010· 潍坊模拟）如图，已知正四棱台ABCD- A1B1C1D1 的上底 面边长为1，下底面边长为2，高为1，则线段 B1C的长是_____.
解析 连接上底面对角线 B1D1 的中点O1 和下底面 BD的中点O，得棱台的高 OO1，过点 B1作OO1 的平 行线交BD于点E，连接CE.在△BCE中，由BC=2，
4 3
典例分析
题型一 几何体的表面积问题 【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧 面积等于两底面面积之和,求棱台的高. 分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某 一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件列出方程， 求解所需的几何元素. D1 分 O1 分别为两底面中心,D、 解 如图所示,正三棱台ABC- A1B1C1 中,O、 别为BC和B1C1 中点,则 DD1 为棱台的斜高. 设 A1B1 =20,AB=30,则OD=5 3 ,O1D1 = 3
4. 柱、锥、台体的体积
1 V长方体 =abc, V正方体 =a , V柱 =Sh, V锥 = Sh 3 1 V台 = S ' S SS ' h 3
3
这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特别地，圆柱、圆锥、圆台 还可以分别写成: 1 1 V圆柱 = r 2 h, V圆锥 = r 2 h, V圆台 h r '2 r ' r r 2 3 3 5. 球的体积及球的表面积 设球的半径为R,V球 = R 3，S球 =4 R 2
学后反思 在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线 是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出.例 如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB、 侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆.
举一反三
3. (2008· 广东)将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A、B、C分别是 △GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧 视图为 ( )
EF, O1D ,OA,则 O1EFO 为直角梯形,ABCD为等腰梯形,EF为梯形ABCD的高,
在直角梯形 O1EFO中,
EF OO12 OF O1E 73 （cm），