2014-2015年四川省雅安市汉源二中高二(上)期中数学试卷和答案

2014-2015学年四川省雅安市汉源二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在机读卡上．）1．（5分）如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．|a|＞|b|2．（5分）已知直线l：x+y﹣3=0，该直线的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°3．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1和CD1所成角为（）A．B．C．D．4．（5分）如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A．3 B．6 C．D．5．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β6．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．147．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件则x2+y2的最大值为（）A． B．8 C．16 D．108．（5分）某几何体的三视图如图，其中俯视图是半个圆，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．9．（5分）直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A．B．C．D．10．（5分）若直线ax+by+1=0（a、b＞0）过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心，则+的最小值为（）A．8 B．12 C．16 D．20二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上．）11．（5分）经过点P（3，2），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为．12．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x+ay+1=0平行，则a等于．13．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为．14．（5分）若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是．15．（5分）已知正数x、y满足，则z=4﹣x的最小值为．三、解答题（本题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）16．（12分）已知全集U=R，A={x|﹣x2+x+1＞0}，B={x|3x2﹣4x+1＞0}，求∁U （A∩B）．17．（12分）已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（﹣2，﹣3），C（4，0）．（1）求AB边所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE．19．（12分）已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．20．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，，直线B1C 与平面ABC成45°角．（1）求证：平面A1B1C⊥平面B1BCC1；（2）求二面角A﹣B1C﹣B的余弦值．21．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形．E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求证：BD⊥AE（Ⅱ）若E为PC的中点，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若五点A，B，C，D，P在同一球面上，求该球的体积．2014-2015学年四川省雅安市汉源二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在机读卡上．）1．（5分）如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．|a|＞|b|【解答】解：A、如果a＜0，b＞0，那么，∴，故A正确；B、取a=﹣2，b=1，可得＞，故B错误；C、取a=﹣2，b=1，可得a2＞b2，故C错误；D、取a=﹣，b=1，可得|a|＜|b|，故D错误；故选：A．2．（5分）已知直线l：x+y﹣3=0，该直线的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：直线l：x+y﹣3=0，该直线的斜率为：．直线的倾斜角为θ，则tanθ=，∴θ=150°．故选：A．3．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线BC1和CD1所成角为（）A．B．C．D．【解答】解：以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则B（0，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，1），D1（1，1，1），所以=（0，1，1），=（1，0，1），并且BC1=，CD1=，所以=，所以异面直线BC1和CD1所成角；故选：B．4．（5分）如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A．3 B．6 C．D．【解答】解：由图形知，其平面图形为一个直角三角形，两个直角边的长度分别为3，4故其面积为×3×4=6故选：B．5．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选：C．6．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为（﹣，）∴﹣，为方程ax2+bx+2=0的两个根∴根据韦达定理：﹣+=﹣①﹣×=②由①②解得：∴a+b=﹣14故选：B．7．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件则x2+y2的最大值为（）A． B．8 C．16 D．10【解答】解：满足约束条件件的平面区域如下图所示：因为目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，由图得当为A点时取得目标函数的最大值，可知A点的坐标为（1，3），代入目标函数中，可得z max=32+12=10．故选：D．8．（5分）某几何体的三视图如图，其中俯视图是半个圆，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知几何体底面半径为1，高为的圆锥的一半，圆锥的母线长为：2．所以所求几何体的表面积为：S表=S侧+S底=π•1•1++=．故选：C．9．（5分）直三棱柱ABC﹣A′B′C′各侧棱和底面边长均为a，点D是CC′上任意一点，连结A′B，BD，A′D，AD，则三棱锥A﹣A′BD的体积（）A．B．C．D．【解答】解：∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴AC⊥AA′，AA′∥CD，∴△AA′D的面积=△AA′C的面积=AC×AA′=，∵ABC﹣A′B′C′是直三棱柱，∴B到平面AA′D的距离=B到AC的距离=AB=a，∴三棱锥A﹣A′BD的体积：V==．故选：C．10．（5分）若直线ax+by+1=0（a、b＞0）过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心，则+的最小值为（）A．8 B．12 C．16 D．20【解答】解：圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心（﹣4，﹣1）在直线ax+by+1=0上，所以﹣4a﹣b+1=0，即1=4a+b代入，得（a＞0，b＞0当且仅当4a=b时取等号）则+的最小值为16，故选：C．二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡上．）11．（5分）经过点P（3，2），且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为x﹣2y+1=0．【解答】解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率为﹣2，∴与直线2x+y﹣5=0垂直的直线斜率为，∴直线的点斜式方程为：y﹣2=（x﹣3）化为一般式可得x﹣2y+1=0故答案为：x﹣2y+1=012．（5分）直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x+ay+1=0平行，则a等于．【解答】解：∵直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x+ay+1=0平行，∴直线x+2ay﹣1=0与（a﹣1）x+ay+1=0的方向向量共线，即2a（a﹣1）﹣a=2a2﹣3a=0，解得a=0，或a=，当a=0时，两直线方程化为x﹣1=0和﹣x+1=0表示同一条直线，不满足条件，故a=，故答案为：13．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为1．【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心是（﹣1，2）圆心在直线3x+2y+a=0上，∴﹣3+2+a=0，∴a=1故答案为：114．（5分）若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是24π．【解答】解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，它的底面边长是：2，所以它的体对角线的长是：，球的直径是：，所以这个球的表面积是：故答案为：24π15．（5分）已知正数x、y满足，则z=4﹣x的最小值为．【解答】解：根据约束条件画出可行域∵z=4﹣x化成z=2﹣2x﹣y直线z1=﹣2x﹣y过点A（1，2）时，z1最小值是﹣4，∴z=2﹣2x﹣y的最小值是2﹣4=，故答案为．三、解答题（本题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）16．（12分）已知全集U=R，A={x|﹣x2+x+1＞0}，B={x|3x2﹣4x+1＞0}，求∁U（A∩B）．【解答】解：由A中不等式变形得：3x2﹣4x﹣4＜0，即（x﹣2）（3x+2）＜0，解得：﹣＜x＜2，即A={x|﹣＜x＜2}，由B中不等式变形得：（3x﹣1）（x﹣1）＞0，解得：x＜或x＞1，即B={x|x＜或x＞1}，∴A∩B={x|﹣＜x＜或1＜x＜2}，则∁U（A∩B）={x|x≤﹣或≤x≤1或x≥2}．17．（12分）已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（﹣2，﹣3），C（4，0）．（1）求AB边所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）K AB==2，故直线AB的方程是：y﹣3=2（x﹣1），即2x﹣y+1=0；（2）K BC==，故BC边上的高所在直线的斜率是﹣2，故BC边上的高所在直线的方程是：y﹣3=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣5=0．18．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E、F分别为C1D1、A1D1的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵BC⊥侧面CDD1C1，DE⊂侧面CDD1C1，∴DE⊥BC，（3分）在△CDE中，CD=2a，a，则有CD2=CE2+DE2，∴∠DEC=90°，∴DE⊥EC，（6分）又BC∩EC=C∴DE⊥平面BCE．（7分）（Ⅱ）证明：连EF、A1C1，连AC交BD于O，∵EF，AO，∴四边形AOEF是平行四边形，（10分）∴AF∥OE（11分）又∵OE⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE．（14分）19．（12分）已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设所求圆心坐标为（a，﹣2a）由条件得=，化简得a2﹣2a+1=0，∴a=1，∴圆心为（1，﹣2），半径r=∴所求圆方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，由题得=1，解得k=﹣，∴直线l的方程为y=﹣x．综上所述：直线l的方程为x=0或y=﹣x．20．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，，直线B1C 与平面ABC成45°角．（1）求证：平面A1B1C⊥平面B1BCC1；（2）求二面角A﹣B1C﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：∵BB1⊥面ABC∴B1C与面ABC所成的角为∠B1CB∴∠B1CB=45°，∵BB1=1，∴BC=1，又∵BA=1，AC=∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC∵BB1⊥AB，BB1∩BC=B，∴AB⊥面B1BCC1，∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥面B1BCC1，∵A1B1⊂面A1B1C，∴面A1B1C⊥面B1BCC1．（2）解：∵Rt△ABB1中，BB1=AB=1，∴AB1=，∴△AB1C为等边三角形，又∵△BB1C为等腰三角形，∴取B1C中点O，连结AO，BO，则AO⊥B1C，BO⊥B1C，∴∠AOB为二面角A﹣B1C﹣B的平面角，∵在Rt△BB1C中，BO=，B1C=，在等边△AB1C中，AO=，AC=，∴在△AOB中．∴二面角A﹣B1C﹣B的余弦值为．21．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形．E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求证：BD⊥AE（Ⅱ）若E为PC的中点，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若五点A，B，C，D，P在同一球面上，求该球的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC⇒PC⊥面ABCD∵BD⊂面ABCD⇒BD⊥PC，又因为BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，又∵AE⊂面PAC，∴BD⊥AE．（Ⅱ）解；连AC交BD于点O，连PO，由（1）知BD⊥面PAC，⇒面BED⊥面PAC，过点E作EH⊥PO于H，则EH⊥面PBD，∴∠EBH为BE与平面PBD所成的角．∵，，则．（Ⅲ）解：以正方形ABCD为底面，PC为高补成长方体，此时对角线PA的长为球的直径，∴，所以．π．。