高考数学专题： 平面向量的平行与垂直
高考数学一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的平行与垂直及平面向量的应用课件
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
2
2
6
2
3
x≤kπ+ ,k∈Z.
6
所以f(x)的单调递增区间为 k
3
,
k
6
,k∈Z.
(2)因为f(A)=4,所以2sin 2A
6
+3=4,
即sin 2A
6
= 1 .
2
由于0<A<π,所以2A+ = 5 ,即A= .
66
3
又因为S△ABC= 12 bcsin
A= 3 且b=1,
2
所以 3 c= 3 ,解得c=2.
42
在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=1+4-2×1×2× 1 =3,所以a=
高考数学平行垂直知识点
高考数学平行垂直知识点高考数学中的平行垂直知识点高考是每个学生都无法绕过的一道坎。
而在这道坎上，数学一直被视为是考试重点科目之一。
其中，平行和垂直是数学中非常重要的概念和知识点。
在高考中，我们经常会遇到与平行垂直相关的问题。
本文将深入探讨高考数学中的平行垂直知识点。
一、平行线及其判定平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
在高中数学中，我们通常通过两个条件来判断两条直线是否平行：同一平面内，有且只有一对内角相等；同一平面内，有且只有一对对应角相等。
这两个条件可以帮助我们判定平面内任意两条直线的平行关系。
除了判定平行关系外，我们还经常会遇到一些与平行线相关的问题。
例如，两条平行线所夹的角等于180°减去这两条平行线与另一直线的两个内角，这个公式被广泛应用于解决许多与平行线夹角有关的题目。
二、垂直线及其判定垂直线是指在同一个平面上，相交沿特定角度交相垂直的两条直线。
在高中数学中，我们通常通过两个条件来判断两条直线是否垂直：两条直线的斜率乘积为-1；同一平面上，一条直线与另一直线的两个内角相加等于二直角的度数（90°）。
在实际应用中，我们还经常会用到垂直线的性质。
例如，在求解垂直线段的问题中，我们可以利用勾股定理来计算两条垂直线段之间的关系。
此外，我们还会遇到一些根据垂直线的性质来推论的问题，需要我们根据给定条件进行推断。
三、平行线与垂直线的性质平行线和垂直线在几何中有许多重要的性质。
其中，平行线的性质主要包括：平行线之间的夹角相等；两个平行线被一条横穿线切割，所形成的对应角、内错角以及同旁内角是相等的。
这些性质在解题过程中经常会被用到，它们帮助我们更好地理解平行线的特性。
垂直线的性质则包括：垂直直线之间的夹角为直角（90°）；两条直线互相垂直，其中一条直线上的一条直线与另一条直线上的互相垂直。
这些性质在解决垂直问题时也起着重要的作用，它们可以帮助我们确定直角关系并简化问题。
高考数学平面向量的平行与垂直及平面向量的应用
角公式对函数f(x)的解析式进行化简.(1)利用三角函数的最小正周期公
式,求出f(x)的最小正周期,利用三角函数的单调性,求出f(x)的单调递增 区间;(2)由f(A)=4,可求出角A的值,再利用任意三角形的面积公式,可求 出c的值,最后利用余弦定理求a的值.
3 sin 2x+2,cos x),n=(1,2cos x),函数f(x)=m· 解析 因为m=( n,
2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2). 3.G为△ABC的重心⇔⑧
GC =0 GA + GB +
x1 x2 x3 y1 y2 y3 , ⇔G (A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)). 3 3
方法技巧
方法 平面向量与三角函数综合问题的解决方法
三、中点公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点M的坐标为
⑥
x1 x2 y1 y2 , 2 2
.
四、两点间的距离公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=⑦
(x x )
1 2 2
( y1 y2 ) 2
.
五、几个重要结论 1.若a、b为不共线向量,则a+b、a-b是以a、b为邻边的平行四边形的对 角线向量,如图.
3 sin 2x+2,cos x),n=(1,2cos x),设函数f(x)=m· 例 已知向量m=( n.
(1)求f(x)的最小正周期与单调递增区间; (2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)=4,b=1,△ABC的面积
3 ,求a的值. 为 2
专题三 平面向量的平行与垂直(解析版)
专题三 平面向量的平行与垂直1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ．(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．2．三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．3．非零向量垂直的充要条件的两种形式(1)平面向量垂直的非坐标形式：a ⊥b ⇔ a ·b ＝0．(2)平面向量垂直的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b ．一般情况涉及坐标的用(2)．坐标形式可总结为：“相应坐标的乘积的和为0”．考点一 平面向量的平行【方法总结】两平面向量平行的充要条件既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当然也可解决三点共线的问题．高考试题中一般是考查已知两向量平行或三点共线求参数，并且以给出向量的坐标为主．解决此类问题的方法是借助两平面向量平行的充要条件列出方程(组)，求出参数的值．注意方程思想和待定系数法的运用．【例题选讲】[例1] (1)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2BF →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案 A 解析 由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．(2)已知向量m ＝(1，7)与向量n ＝(k ，k ＋18)平行，则k 的值为( )A ．－6B ．3C ．4D ．6答案 B 解析 因为m ∥n ，所以7k ＝k ＋18，解得k ＝3．故选B ．(3)(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案 12 解析 2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12． (4)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(5)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案 －54解析 AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54． (6)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．答案 (－3，－6) 解析 设B (x ，2x )，则AB →＝(x －3，2x )．∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6)．【对点训练】1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________．1．答案 6 解析 ∵a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．122．答案 A 解析 ∵a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4，2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4 ＝0，解得λ＝－2，故选A ．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________．3．答案 5 解析 因为a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，所以a －c ＝(3－k ，－6)．因为(a －c )∥b ，所 以1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．4．答案 1 解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1．5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－65．答案 D 解析 a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6．故选D ．6．已知向量a ＝(λ＋1，1)，b ＝(λ＋2，2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________．6．答案 0 解析 因为a ＋b ＝(2λ＋3，3)，a －b ＝(－1，－1)，且(a ＋b )∥(a －b )，所以2λ＋3－1＝3－1，所 以λ＝0．7．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－357．答案 B 解析 解法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65，λ＝－25.解法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，由a ＋λb 与c 共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－25． 8．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则m n＝________． 8．答案 －13 解析 由2－1≠32，所以a 与b 不共线，又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．那么 当m a ＋n b 与a －3b 共线时，有m 1＝n －3，即得m n ＝－13． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (0，1)，B (1，－2)，C (m ，0)．若OB →∥AC →，则实数m的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2 9．答案 C 解析 因为OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →，所以m 1＝－1－2，m ＝12．故选C ． 10．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________．10．答案 a ＋b ＝2 解析 由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →．∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2．11．已知点A (0，1)，B (3，2)，C (2，k )，且A ，B ，C 三点共线，则向量AC →＝( )A ．⎝⎛⎭⎫2，23B ．⎝⎛⎭⎫2，53C ．⎝⎛⎭⎫23，2D ．⎝⎛⎭⎫53，2 11．答案 A 解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(2，k －1)，因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB →＝λAC →，即(3，1)＝λ(2，k －1)，所以2λ＝3，即λ＝32，所以AC →＝1λAB →＝⎝⎛⎭⎫2，23． 12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0．若a ∥b ，则m n＝________． 12．答案 －2 解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．13．答案 12 解析 ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得 ⎩⎨⎧ λ＝12，t ＝12.14．已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．14．答案 (3，3) 解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3)． 法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y ．又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3)．15．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1，1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是__________．15．答案 ⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22 解析 a ＝(x ，y )，因为平面向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(1，1)，且 a ∥b ，所以x 2＋y 2＝1，且x －y ＝0，解得x ＝y ＝±22．所以a ＝⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22． 16．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是__________．16．答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45 17．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D17．答案 B 解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．18．已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．1318．答案 A 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23． 19．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．219．答案 B 解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ．又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1．20．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．320．答案 A 解析 由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1．2m ＋1＋2n ≥22m＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3．考点二 两个非零向量的垂直【方法总结】两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数．高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数，如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件(2)，列出相应的关系式，进而求解参数．如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件(1)，列出相应的关系式，进而求解参数．如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题．注意方程思想和等价转化思想的运用．【例题选讲】[例1](1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC答案 D 解析 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b|cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D ．(2)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1，3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7．(3)(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．答案 －1 解析 由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1．(4)(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0．因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22． (5)(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos<m ，n >＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94答案 B 解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t|m ||n |cos<m ，n >＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ． (6)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫18，14B ．⎝⎛⎭⎫14，38C ．⎝⎛⎭⎫38，12D ．⎝⎛⎭⎫12，58 答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，可得<AD →，BC →>＝60°，所以<AB →，AD →>＝60°，<AB →，BC →>＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2，又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38． 【对点训练】1．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－23B ．23C ．43D ．631．答案 B 解析 因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由 (a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B ．2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．82．答案 D 解析 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以 (a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝83．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( )A ．12B ．13C ．1D ．2 3．答案 C 解析 因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1，2)＝(2－m ， m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2．当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C ．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－14．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．5．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．1525．答案 C 解析 ∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0．∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3， －6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0．∴k ＝3．6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－16．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C ．12D ．357．答案 A 解析 b ＋λa ＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c ＝(3，4)，且(b ＋λa )⊥c ，所以(b ＋λa )·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311． 8．在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点 的直角三角形，则t ＝________．8．答案 3 解析 由已知，得BA →·BC →＝0，则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t＝3或t ＝－3，当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去．故t ＝3．9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．9．答案 1 解析 ∵a 与b 为两个不共线的单位向量，∴|a|＝|b |＝1，又a ＋b 与k a －b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0，∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角)，∴(k －1)(1＋cos θ)＝0．又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1．10．(2013·全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．10．答案 2 解析 因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12， 由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2． 11．已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．12711．答案 A 解析 因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215．。
(完整版)平面向量的平行与垂直
AC a b(, R),则A, B,C三点共线的充要条件是
是_______1__.
4. 若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2， －1)共线，则实数a的值为________．
5. 平面上三个向量a,b, c 的模均为1，它们相互
之间的夹角均为120°，求证：(a
b)
⊥c
选做题： 在△ABC中,角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且cosC= 3
x1y2 xห้องสมุดไป่ตู้ y1 0
(b 0)
ab
a b 0
x1x2 y1y2 0
(a 0, b 0)
一、基础训练
r
r
rr
1.已知平面向量 a (3,1),b (x, 3), a // b,则x
等于_____-_9______
r
r
2.已ar 知br 与平面ar 向垂量直，a=则（1是,－_3_）__，b_-_=1_（_4_,－__2_），
r
b
r
(1, 3r)
c
(k , 2)
，若
10
(a
c)
b
则k= 0
;若(
a ，
c)
∥
b
则k
=
3
． ，
2. 已知向量a (1, 2) b (2,3) 若向量 c 满足(c a) / /b
77
c (a b) ，则c ___(__9_,__3_) _______
3. 已知a,b是不共线的向量，AB a b,
平面向量的平行与垂直
涟水县第一中学
陈刚
基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义：
方向 记作
相ar∥同或br；相反
新教材北师大版高中数学必修二 4平面向量的垂直平行 知识点梳理
精品文档 精心整理
精品文档 可编辑的精品文档 4 平面向量的垂直平行【知识梳理】
一、向量共线的判定定理和性质定理
1、判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线．
2、性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa .
3、若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-.
二、拓展
（1）a b ∥⇔(0)a b b λ≠=.
（2）若，则a b ∥⇔12210x y x y =-.
当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便.
（3）两向量相等⇔它们的对应坐标相等.
三、 平面向量垂直的坐标形式
若向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．
四、平面向量垂直的非坐标形式
若向量,a b 为两个非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=．。
版高考数学一轮总复习解析几何中的平行与垂直问题解析
版高考数学一轮总复习解析几何中的平行与垂直问题解析在版高考数学一轮总复习解析几何中，平行与垂直问题是考试中常见的题型之一。
在解析几何中，平行与垂直是两种特殊的关系，对于学生来说，掌握这些关系的判定方法和性质是非常重要的。
本文将重点介绍解析几何中的平行与垂直问题的解析方法和应用。
一、平行的判定方法在解析几何中，平行是指两条直线或两个平面永不相交。
我们可以通过判定斜率和方向向量来确定两条直线是否平行。
具体而言，如果两条直线的斜率相等且方向向量不相等，则可以判定这两条直线是平行的。
以直线的方程为例，设直线L1的方程为y = k1x + b1，直线L2的方程为y = k2x + b2，其中k1和k2分别为两条直线的斜率，b1和b2分别为两条直线的截距。
如果k1 = k2且(k1 ≠ 0或k2 ≠ 0)，则可以判定直线L1与直线L2是平行的。
同样的方法也适用于判断平面是否平行。
假设平面P1的方程为Ax + By + Cz + D1 = 0，平面P2的方程为Ax + By + Cz + D2 = 0，如果A1/A2 = B1/B2 = C1/C2且(A1/A2 ≠ 0或B1/B2 ≠ 0或C1/C2 ≠ 0)，则可以判定平面P1与平面P2是平行的。
除此之外，有时候我们还可以利用向量的性质来判断平行关系。
对于直线而言，如果两条直线的方向向量共线，则可以判断这两条直线是平行的。
对于平面而言，如果两个平面的法向量平行，则可以判断这两个平面是平行的。
二、垂直的判定方法在解析几何中，垂直是指两条直线或两个平面相互成直角的关系。
垂直关系的判定方法与平行关系类似，同样可以通过斜率和方向向量来确定。
对于直线而言，如果两条直线的斜率之积为-1，则可以判断这两条直线是垂直的。
设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，如果k1 * k2 = -1，则可以判断直线L1与直线L2是垂直的。
同样的方法也适用于判断平面是否垂直。
假设平面P1的法向量为(n1, m1, p1)，平面P2的法向量为(n2, m2, p2)，如果n1*n2 + m1*m2 + p1*p2 = 0，则可以判断平面P1与平面P2是垂直的。
高中数学向量平行与垂直性质应用题详解
高中数学向量平行与垂直性质应用题详解在高中数学中，向量平行与垂直性质是一个重要的概念。
它不仅在几何中有着广泛的应用，也在解决实际问题中起到了关键的作用。
本文将通过具体的题目来详细解析向量平行与垂直性质的应用，帮助高中学生更好地理解和应用这一知识点。
题目一：已知向量a=2i+3j，向量b=4i-6j，求向量a与向量b的夹角。
解析：要求两个向量的夹角，可以利用向量的点乘公式来解决。
向量a与向量b的点乘公式为：a·b=|a||b|cosθ，其中θ为夹角。
首先计算|a|和|b|，分别为√(2^2+3^2)=√13和√(4^2+(-6)^2)=2√13。
然后计算a·b=2*4+3*(-6)=-12。
代入公式得到-12=√13*2√13*cosθ，化简得cosθ=-12/(2√13*√13)=-6/13。
因此，夹角θ的cos值为-6/13，可以通过反余弦函数求得夹角θ的大小。
即θ=arccos(-6/13)≈2.56弧度。
题目二：已知向量a=3i+4j，向量b=4i-3j，求向量a与向量b的夹角。
解析：同样利用向量的点乘公式来求解。
首先计算|a|和|b|，分别为√(3^2+4^2)=5和√(4^2+(-3)^2)=5。
然后计算a·b=3*4+4*(-3)=0。
代入公式得到0=5*5*cosθ，化简得cosθ=0/25=0。
因此，夹角θ的cos值为0，即θ=arccos(0)=π/2弧度。
从以上两个例题可以看出，当两个向量的点乘为0时，它们的夹角为90度，即两个向量垂直。
题目三：已知平面上有三个点A(1,2)、B(3,4)和C(5,6)，求向量AB和向量AC的夹角。
解析：首先计算向量AB和向量AC的坐标表示。
向量AB=(3-1)i+(4-2)j=2i+2j，向量AC=(5-1)i+(6-2)j=4i+4j。
然后利用向量的点乘公式计算夹角。
AB·AC=(2i+2j)·(4i+4j)=2*4+2*4=16。
平面向量的数量积的应用判断垂直和平行关系
平面向量的数量积的应用判断垂直和平行关系平面向量的数量积的应用：判断垂直和平行关系平面向量的数量积是向量运算中的一种重要形式，也被广泛应用于几何和物理学中的各种问题。
其中，判断向量之间的垂直和平行关系是数量积的一个重要应用之一。
本文将详细介绍平面向量的数量积以及如何应用数量积来判断向量之间的垂直和平行关系。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也被称为点积或内积，是向量运算中的一种运算方式。
对于两个向量A和B，其数量积的定义如下：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示向量A和B之间的夹角。
二、垂直和平行关系的判断通过平面向量的数量积，我们可以判断两个向量之间的垂直和平行关系。
具体判断方法如下：1. 垂直关系的判断当两个向量A和B的数量积等于0时，即A·B=0，我们可以判断它们是垂直的。
这是因为当两个向量垂直时，它们的夹角θ为90度，而cos90度等于0。
2. 平行关系的判断当两个向量A和B的夹角θ等于0度或180度时，即cosθ=1或cosθ=-1，我们可以判断它们是平行的。
这是因为当两个向量平行时，它们的夹角θ为0度或180度，而cos0度等于1，cos180度等于-1。
通过上述判断方法，我们可以判断平面上任意两个向量之间的垂直和平行关系。
三、应用举例下面通过几个具体的应用案例，来进一步说明平面向量的数量积在判断垂直和平行关系中的应用。
1. 判断垂直关系假设有向量A(3,2)和向量B(-2,3)，我们可以计算它们的数量积：A·B = 3*(-2) + 2*3 = 0由于数量积等于0，我们可以得出结论：向量A和向量B是垂直的。
2. 判断平行关系假设有向量C(4,6)和向量D(8,12)，我们可以计算它们的夹角θ：cosθ = (4*8 + 6*12) / (√(4²+6²) * √(8²+12²)) ≈ 1由于夹角θ等于0度，即cosθ等于1，我们可以得出结论：向量C和向量D是平行的。
向量的平行与垂直
向量的平行与垂直向量是代表大小和方向的量，常用于描述物体的位移、速度和力。
在向量运算中，判断向量之间的关系尤为重要，其中包括判断向量是否平行或垂直。
本文将介绍如何通过向量的特点来判断其平行和垂直关系。
一、向量概述在二维空间中，向量通常由两个坐标表示，可以表示为(A, B)，其中A和B分别代表横向和纵向的位移。
在三维空间中，向量则由三个坐标表示，可以表示为(A, B, C)。
向量与标量的不同之处在于，向量除了具有大小，还具有方向。
二、向量平行判断向量是否平行，可以通过以下两种方法进行：1. 向量方向相同当两个向量的方向相同（即平行）时，它们可以表示为k倍关系，其中k为非零实数。
即，对于向量A和向量B，若存在实数k，使得A = kB，则向量A与向量B平行。
2. 向量比例相等另一种判断两个向量是否平行的方法是比较它们各个坐标的比例。
如果两个向量的坐标比例相等，则它们平行。
例如，向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，若x1/x2 = y1/y2，则向量A与向量B平行。
三、向量垂直判断向量是否垂直，可以通过以下两种方法进行：1. 向量的数量积（点积）为零向量的数量积（点积）定义为A·B = Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz，其中A和B分别表示两个向量。
若A·B = 0，则向量A与向量B垂直。
2. 两个向量的斜率乘积为-1在二维平面中，若两个非零向量的斜率乘积为-1，则它们垂直。
例如，向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)，若斜率k1 = -1/k2，则向量A 与向量B垂直。
四、应用示例以下是一些应用示例，展示如何根据所给的向量判断它们之间的平行和垂直关系。
示例1：向量A = (2, 3)和向量B = (4, 6)。
由于A和B的坐标比例相等（2/4 = 3/6），所以向量A与向量B平行。
示例2：向量A = (3, -5)和向量B = (5, 3)。
高考数学一轮复习课件：第56课平面向量的平行与垂直
基础知识回顾与梳理
1、已知向量a=（4,3），b =（6，y），且
a//b，求实数y的值。
9
2
2、将上题中的a//b，改成a b，求实数y的值。
-8
3、已知A(6,1),B（0，－7），Ｃ(－2,－3),
试确定 ABC的形状。
直角三角形
诊断练习
题1：已知平面向量a 2m 1,3,b 2, m，
【变式】：平面内有四边形ABCD和点O， 若 OA OC OB OD ，则四边形ABCD的形 状是_平__行__四_边__形__.
题4：平面内给定三个系列a 2,3,b 1, 2, c 4,1，
设d x, y满足 d c a b ，且 d c 1，
则d
4
5 5
,1
交流：可以尝试用坐标法。建立适当的坐标系，会有a 1, 0,b 0,1，
设c cos ,sin ，则(a b 2c) c a b c 2 1,1 cos ,sin 2
2 cos sin 2
2
sin
4
2
2.
解题反思
1、处理向量平行和垂直问题时通常使用向量平 行与垂直的充要条件，通过条件得到方程，3条 例题都有体现;
若a与b反向，则b = 2 2 .
题2：已知向量 a (3, 4), b (2, 1), 若向量
a b 与b 垂直，则=
2 5
.
题3：P是 ABC 所在平面上一点， 若 PA PB PB PC PC PA ，则P是ABC的 __垂__心__.(在“外心”、“内心”、“重心”、 “垂心”中选一个填空)
交流：决定(a b 2c) c是c与垂直向量a b的关系。我们可以将
高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题06 平面与平面的平行、垂直的判定与性质(解析版)
立体几何与空间向量06 平面与平面的平行、垂直的判定与性质【考点讲解】一、具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.面面平行的判定与性质a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，α∥β，α∩γ＝a，(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.3．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.3.平面与平面垂直的判定与性质(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质：如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．4.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．5.定理：⎭⎪⎬⎪⎫AB βAB ⊥α⇒β⊥α⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MNAB βAB ⊥MN⇒AB ⊥α1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【解析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件.由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则（ ） A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.如图，G 为AC 中点，连接VG ，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面的投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直于AC 于E ，连接PE ，BD ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥交VG 于F ，连接BF ，过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，结合△PFB ，△BDH ，△PDB 均为直角三角形，可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>； 【真题分析】在Rt △PED 中，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即γβ>，综上所述，答案为B.【变式1】【2018年高考浙江卷】已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则（ ）A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ1【解析】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO ，SN ，SE ，SM ，OM ，OE ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ， 因此123,,,SEN SEO SMO ∠=∠=∠=θθθ从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OM====θθθ 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,≥≥θθθ即132≥≥θθθ，故选D. 【答案】D【变式2】【2017年高考浙江卷】如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CR QC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为αβγ,,，则（ ）A ． γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而三棱锥的高相等，因此αγβ<<，所以选B ． 【答案】B3.【2018优选题】空间中，设,m n 表示不同的直线， ,,αβγ表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若,αγβγ⊥⊥，则//αβB. 若,m m αβ⊥⊥，则//αβC. 若,m βαβ⊥⊥，则//m αD. 若,n m n α⊥⊥，则//m α 【解析】本题考点是面面平行，线面平行的判定.A 项，若,αγβγ⊥⊥，过正方体同一顶点的三个平面分别为,,αβγ，则αβ⊥，故A 项不合题意；B 项，若,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则//αβ，故B 项符合题意；C 项，若,m βαβ⊥⊥，由同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m 在平面α内或平行，故C 项不合题意；D 项，若,n m n α⊥⊥,由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m 在平面α内或平行，故D 项不合题意. 故选B. 【答案】B4.【2019优选题】在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论中不成立的是( ) A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面P AE C ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面P AE ⊥平面ABC【解析】画出图形，如图所示，则BC ∥DF ，又DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，∴BC ∥平面PDF ，故A 成立；由题意可得AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，BC ∥DF ，则DF ⊥AE ，DF ⊥PE ，∴DF ⊥平面P AE ，故B 成立； 又DF ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面P AE ，故D 成立．本题的考点是平面与平面垂直的判定.【答案】C5.【2016全国新课标2】α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）【解析】对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面α相交于直线c ，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥⊥⊥所以所以，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的命题有②③④.本题考点是空间中的线面关系. 【答案】②③④6.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A−MA 1−N 的正弦值．【解析】（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ．由题设知A 1B 1=P DC ，可得B 1C =P A 1D ，故ME =P ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ．又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ．（2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA uuu r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-u u u r ，1(12)A M =--u u u u r ，1(1,0,2)A N =--u u u u r，(0,MN =u u u u r ．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rm m ，所以2040x z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u ur ，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n．于是cos ,||⋅〈〉===‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --的正弦值为5． 7.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【解析】（1）由已知得AD P BE ，CG P BE ，所以AD P CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ． 由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EHH 为坐标原点，HC u u u r的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0），CG uuu r =（1，0），AC uuu r=（2，–1，0）．设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n即0,20.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 所以可取n =（3，6，．又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以cos ,||||2⋅〈〉==n m n m n m ． 因此二面角B –CG –A 的大小为30°．8.【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（3）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定.（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥．又因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥． 所以BD ⊥平面PAC ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE ．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点，所以AE ⊥CD ．所以AB ⊥AE ．所以AE ⊥平面PAB ．所以平面PAB⊥平面PAE．（3）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．则FG∥AB，且FG=12 AB．因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=12AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG．因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，所以CF∥平面PAE．9.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.【解析】本题从多面体折叠开始，考查考生在折叠过程中掌握哪些量的大小与位置关系是不变与变化的，折叠后的多面体的性质解决题中的要求.（1）由已知得AD P BE，CG P BE，所以AD P CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE．又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．（2）取CG的中点M，连结EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM．因此DM⊥CG．在Rt△DEM中，DE=1，EM DM=2．所以四边形ACGD的面积为4．10.【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （1）求证：CD ⊥平面PAD ； （2）求二面角F –AE –P 的余弦值； （3）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ．又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ． （2）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0）， P （0，0，2）．因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）．所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=u u u ru u u r u u u r．所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令z =1，则1,1y x =-=-．于是=(1,1,1)--n ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），所以3cos ,||3⋅〈〉==-‖n p n p n p . 由题知，二面角F −AE −P ．（3）直线AG 在平面AEF 内．因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--u u ur ，所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由（2）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n .所以4220333AG ⋅=-++=u u u r n .所以直线AG 在平面AEF 内.11.【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【解析】（1）连接BD ，易知AC BD H =I ，BH DH =.又由BG=PG ，故GH PD ∥. 又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以GH ∥平面P AD . （2）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC ，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC I 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面P AC ， 又PA ⊂平面P AC ，故DN PA ⊥.又已知PA CD ⊥，CD DN D =I ，所以PA ⊥平面PCD . （3）连接AN ，由（2）中DN ⊥平面P AC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角， 因为PCD △为等边三角形，CD =2且N 为PC的中点，所以DN =又DN AN ⊥， 在Rt AND △中，3sinDN DAN AD ∠==.所以，直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为3.12.【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,AD AB ⊥1,2AB AD AE BC ====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE u u u r u u u r u u u r，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>>，则()1,2,F h ．（1）依题意，(1,0,0)AB =u u u r 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =u u u r ，可得0BF AB ⋅=u u u r u u u r ，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ． （2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--u u u ru u u r u u u r．设(,,)x y z =n 为平面BDE 的法向量，则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =，可得(2,2,1)=n ．因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-u u u ru u u r u u u r n n n ．所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．（3）设(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭m．由题意，有||1cos ,||||3⋅〈〉===m n m n m n ，解得87h =．经检验，符合题意． 所以，线段CF的长为87．【模拟考场】1.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考点是线面平行与面面平行与充要条件的综合应用.因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件，故选B. 【答案】B2.设,a b 是空间中不同的直线， ,αβ是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. //,a b b α⊂，则//a αB. ,,//a b αβαβ⊂⊂，则//a bC. ,,//,//a b b αααββ⊂⊂，则//αβD. //,a αβα⊂，则//a β【解析】本题考点是线面平行，面面平行的判定。
平面向量坐标平行和垂直的公式
平面向量坐标平行和垂直的公式1. 向量的基础知识好啦，今天咱们来聊聊平面向量，特别是它们之间的关系，像是平行和垂直这两个小伙伴。
说实话，向量就像是生活中的小旅行，它们有起点，有方向，还有长度，简直就是小小的“冒险家”。
你想想，一条向量从原点出发，像极了你从家出发去探险，带着满满的目标和激情。
你知道吗？在平面上，向量其实是有坐标的，通常我们会用（x, y）来表示。
比如说，向量A可能是（2, 3），这就意味着它向右走了2步，向上走了3步，想想都觉得帅气！那么，平行和垂直又是什么呢？简单来说，如果两个向量在同一条路上并肩而行，那它们就是平行的。
而如果它们就像两条交叉的铁路，毫不相干地相遇，那它们就是垂直的。
明白了这两者的意思，我们就能更轻松地在向量的世界里遨游啦。
2. 向量平行的公式2.1 平行的定义说到平行，其实在数学上有个很简单的条件。
两个向量A和B要平行，就得满足A和B成比例。
你可以把它想象成两个兄弟，虽然走的方向一样，但步伐可能不一样。
例如，向量A是（2, 4），而向量B是（1, 2）。
这两个向量的关系就像兄弟俩，一人走两步，另一人就跟着走一步，绝对是心有灵犀。
2.2 公式所以我们可以用一个简单的公式来表达这个关系：如果存在一个不为零的数k，使得A = kB，那么A和B就是平行的。
这个k就像是你的好朋友，他让你在不同的速度下，一起走向同一个目标。
这么说吧，假设k=2，A=(2, 4)，B=(1, 2)。
通过这个公式，你会发现这两位兄弟真的是一路向前，互不干扰，哈哈。
3. 向量垂直的公式3.1 垂直的定义那么垂直呢？垂直就像是两条路在一个十字路口交叉，简直就是各走各的。
如果两个向量A和B垂直，它们的点积（也就是内积）必须等于0。
听上去有点复杂，其实就是说，它们的方向完全不一样，完全不打架。
3.2 公式我们用公式来表示这个关系：如果A·B = 0，那A和B就垂直。
你看，点积A·B = Ax * Bx + Ay * By。
向量的平行公式和垂直公式
向量的平行公式和垂直公式1. 向量基础知识向量，这玩意儿听上去有点高大上，其实就是我们生活中随处可见的方向和大小的结合。
想象一下，你站在一个十字路口，向东走三步，向北走四步，这就是一个向量的简单例子。
其实，向量就像一把钥匙，能打开数学的大门，带你走进几何的世界。
它不仅能表示物体的运动，还能用来描述力、速度等各种物理现象，简直是个万能小助手！所以，今天咱们就来聊聊向量的平行和垂直，看看它们有什么有趣的地方。
2. 向量的平行公式2.1 什么是平行首先，咱们得弄清楚“平行”这个词的意思。
简单来说，两条向量平行，就是它们在同一条线上，或者说它们的方向一致。
打个比方，就像两条路平行而行，永远不会相交。
不过，想要判断向量是不是平行，咱们得用个公式来帮助咯。
2.2 平行公式那么，平行公式是什么呢？在数学里，如果有两个向量 (mathbf{a = (x_1, y_1)) 和(mathbf{b = (x_2, y_2))，那么它们平行的条件就是存在一个非零的常数 (k)，使得：mathbf{b = k cdot mathbf{a。
听上去有点复杂，但其实就是把一个向量拉伸或缩短，方向不变。
换句话说，如果你把一根铅笔放在桌子上，然后再用一根长短不一的铅笔跟它平行放着，只要这两根铅笔的方向一致，那它们就是平行的！所以，记住，只要能找到那个(k)，平行就搞定了。
3. 向量的垂直公式3.1 什么是垂直再说说“垂直”，这可就有趣了！垂直的意思就是两条向量交叉，形成一个直角。
就像在一个十字路口，车可以向北走，也可以向东走，彼此之间恰好形成90度。
想象一下，如果你在做一场舞蹈表演，向左转的时候另一位舞者恰好向前走，这就是完美的垂直。
3.2 垂直公式那么，怎样才能知道两个向量是不是垂直呢？这就要用到向量的点积（也就是内积）了！如果两个向量 (mathbf{a = (x_1, y_1)) 和 (mathbf{b = (x_2, y_2)) 的点积为零，那么它们就是垂直的。
平面向量分解定理与向量的平行与垂直
平面向量基本定理与向量的平行与垂直知识精要一、平面向量基本定理如果→→21,e e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量→a ，有且只有一对实数21,λλ，使→→→+=2211e e a λλ 二、向量平行 1. 定义规定：→0与任意非零向量平行 2. 两向量平行的充要条件（1）向量→b 与非零向量→a 平行的充要条件是有且只有一个实数λ，使得→→=a b λ （2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则→→b a //的充要条件是01221=-y x y x 三、向量垂直1. 定义：非零向量→a 与→b 所在的直线互相垂直，则成两向量互相垂直，记作：→→⊥b a 2. 两向量垂直的充要条件（1）设→a 与→b 是两个非零向量，则→→⊥b a 的充要条件是0=⋅→→b a（2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则→→⊥b a 的充要条件是02121=+y y x x热身练习1. 已知正方形ABCD 的边长为1，→→→→→→===c AC b BC a AB ,,，则→→→++cb a =______222. 已知→→21,e e 是平面上一组基底，若→→→+=221e e a λ，→→→--=212e e b λ，若→→b a ,平行，则=λ___22±3. 平面内三点)1,(),3,3(),3,0(-x C B A ，若→→BC AB //，则=x _______14. 在OAB ∆中，→→→→→→===p OP b B a OA ,0,，若Rt bba a t p ∈+=→→→→→),(，则点P 在（ A ）A. AOB ∠平分线所在直线上B. 线段AB 中垂线上C. AB 边所在直线上D. AB 边的中线上5. 若对n 个向量→→→n a a a ,,,21 存在n 个不全为0的实数n k k k ,,,21 ，使得、→→→→=+++02211n n a k a k a k ，则称向量→→→n a a a ,,,21 线性相关，依此规定，能说明)0,1(1=→a ，)1,1(2-=→a ，)2,2(3=→a 线性相关的实数1k ，2k ，3k 依次可取：______-4,2,1(一组即可)6. 设→→→c b a ,,是任意的非零向量，且相互不平行，则① →→→→→→→=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅0b ac c b a ；②→→→→-<-ba b a ；③ →→→→→→⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅ba c a cb 不与→c 垂直 ； ④ 22492323→→→→→→-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+ba b a b a 中，真命题有的个数为_______两个：2,47. 若向量→c 垂直于→a 和→b ，→→→+=b a d μλ（0,≠∈λμμR ），则（ B ）A. →→d c // B. →→⊥d c C. →c 不平行于也不垂直于→d D. 以上均有可能精解名题例1、 →a 与→b 是两个非零向量，且→→⊥b a ，则下列各式中一定成立的是（ B ）A. →→→→-=+b a b a B.→→→→-=+ba b aC. 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→b a b a D.→→→→→→→→-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a b a b a例2、 设→a 是单位向量，（1）若→a 是平面内的一个向量，则→→→=0a a a ；（2）若→a 与→a 是平行向量，则→→→=0a a a ；（3）若→a 与→a 是平行向量，且1=→a ，则→→=0a a ；（4）00=⋅→a 。
高三复习-向量平行公式和垂直公式是什么
向量平行公式和垂直公式是什么平面向量平行对应坐标交叉相乘相等，即x1y2＝x2y，垂直是内积为0。
方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。
零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。
我们规定：零向量与任一向量平行。
平行于同一直线的一组向量是共线向量。
a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。
向量平行、垂直公式a,b是两个向量a=（a1,a2）b=（b1,b2）a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数a垂直b：a1b1+a2b2=0向量相关定义负向量如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB 叫做向量CD的负向量，也称为相反向量。
零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0。
零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b。
规定：所有的零向量都相等。
当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示相同向量。
自由向量始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。
在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。
数学中只研究自由向量。
滑动向量沿着直线作用的向量称为滑动向量。
固定向量作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。
位置向量对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。
方向向量直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量。
相反向量与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a，有-(-a)=a，零向量的相反向量仍是零向量。
平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b 平行（共线），记作a∥b。
向量平行和垂直公式
向量平行和垂直公式
向量是数学中一个重要的概念，它表示有大小和方向的量。
在向量的运算中，平行和垂直是两个重要的概念。
如果两个向量平行，它们的方向相同或相反；如果两个向量垂直，它们的夹角为90度。
那么，如何求解两个向量是否平行或垂直呢？以下是向量平行和垂直的公式：
1. 向量平行公式：如果向量a和向量b平行，则它们的数量积为0，即a·b=0。
2. 向量垂直公式：如果向量a和向量b垂直，则它们的数量积为0，即a·b=0。
根据上述公式，我们可以通过向量的数量积来求解两个向量是否平行或垂直。
具体而言，如果a·b=0，则a和b垂直；如果a·b≠0，并且a·b=|a|·|b|，则a和b平行；如果a·b≠0，并且a·b≠|a|·|b|，则a和b既不平行也不垂直。
总之，向量平行和垂直是向量运算中的重要概念，掌握它们的公式和求解方法可以帮助我们更好地理解向量的性质和运算。
- 1 -。
向量垂直和平行的公式
向量垂直和平行的公式
向量垂直，平行的公式为：
若a，b是两个向量：a＝（x，y）b＝（m，n）；
则a⊥b的充要条件是a·b=0，即(xm+yn)=0；
向量平行的公式为：a//b→a×b=xn-ym=0；
向量，最初被应用于物理学。
很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。
大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。
“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。
最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起。
18世纪末期，挪威测
量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi（a,b为有理数，且不同时等于0），并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。
把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。
人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中。
高中数学-4-用向量讨论垂直与平行
(1)证明：设 E(0，a，z)， 则A→1E＝(－a，a，z－a)，B→D＝(－a，－a,0)， ∴A→1E·B→D＝a2－a2＋(z－a)×0＝0，
∴A→1E⊥B→D，即 A1E⊥BD．
(2)E 为 CC1 的中点．证明如下： 由 E 为 CC1 的中点得 E(0，a，a2)， 设 BD 的中点为 O，则 O(a2，a2，0)， O→E＝(－a2，a2，a2)，O→A1＝(a2，－a2，a)， B→D＝(－a，－a,0)，则O→E·B→D＝0，O→A1·B→D＝0.∴O→E⊥B→D，O→A1⊥B→D， ∴∠A1OE 为二面角 A1－BD－E 的平面角， 由O→A1·O→E＝0，则∠A1OE＝90°，∴平面 A1BD⊥平面 EBD．
＝(-a,a,-a)，∴n2＝1aB→1D＝(-1,1,-1)为面 A1BC1
的一个法向量．
(2)M 为 CD 中点，求面 AMD1 的一个法向量． 解：设 n＝(x0，y0，z0)为面 AMD1 的法向量， ∵A→M＝(a2，a,0)，A→D1＝(0，a，a)， ∴n·A→M＝x0，y0，z0·a2，a，0＝a2x0＋ay0＝0，
n·A→D1＝x0，y0，z0·0，a，a＝ay0＋az0＝0. 令 x0＝2，则 y0＝－1，z0＝1， ∴n＝(2，－1,1)为面 AMD1 的一个法向量．
求一个平面的法向量，主要有以下两种方法： 1．找该平面的垂线，以该垂线的方向向量为该平面的法向量． 2．对于一般位置状态的平面，采用以下步骤求法向量．
图 2－4－2 【思路探究】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直 的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平 面的法向量 n1，n2，证明 n1·n2＝0.
【自主解答】由题意得 AB,BC,B1B 两两垂直, AB＝BC＝2，BB1＝1， E 为 BB1 的中点．以 B 为原点，BA，BC，BB1 分别为 x，y，z 轴，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2) a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 所以 k＝－1163. 【精要点评】判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用 两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若 d 满足(d－ c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d.
x＝____3____.
【解析】由 a⊥b，得 3x－2＝0，所以 x＝23.
4. (必修 4P97 复习题改编)已知向量 a＝(－3,4)，向量 b∥a，且|b|＝1，那么 b＝ ___－__35_，__45_或___35_，__－__45__.
【解析】设b＝(x，y)，由题意得4x＋3y＝0， x2＋y2＝1，
【解答】由已知得 a·b＝4×8×－12＝－16. (1) ①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48， 所以|a＋b|＝4 3. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， 所以|4a－2b|＝16 3.
(1) 问：向量a，b能平行吗？请说明理由； (2) 若a⊥b，求sin α和cos α的值； (3) 在(2)的条件下，若cos β＝ 1100，β∈0，π2，求α＋β的值．
【解答】(1) 向量 a，b 不能平行． 若平行，需 sin αcos α＋2＝0， 即 sin 2α＝－4，而－4∉[－1,1]， 所以向量 a，b 不能平行． (2) 因为 a⊥b， 所以 a·b＝sin α－2cos α＝0， 即 sin α＝2cos α. 又因为 sin2α＋cos2α＝1，
(2) 两个非零向量垂直的充要条件：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
研题型 ·技法通关
目标1 向量的平行(共线)问题
课堂导学
平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1) 求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2) 若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值． 【解答】(1) 由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以－ 2mm＋＋n4＝n＝ 2，3， 得nm＝＝8959.，
(2) 因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以 ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即 16k－16(2k－1)－2×64＝0，所以 k＝－7. 即 k＝－7 时，a＋2b 与 ka－b 垂直． 【精要点评】一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与 向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．
全国名校高考数学复习优质专题、学案汇编（附详解）
第六章 平面向量与复数
平面向量的平行与垂直
栏目导航
链教材 ·夯基固本 研题型 ·技法通关
链教材 ·夯基固本
激活思维
1. (必修 4P82 习题 8 改编)已知向量 a＝(3,1)，b＝(2，λ)．若 a∥b，则实数 λ＝ 2 _____3_____. 【解析】由平行条件可得 3λ＝2，所以 λ＝23.
已知向量 a＝( 3，－1)，b＝12， 23. (1) 求证：a⊥b； (2) 若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且 c⊥d， 试求函数关系式 k＝f(t)．
【解答】(1) 因为 a·b＝ 3×12－1× 23＝0，所以 a⊥b. (2) 因为 c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且 c⊥d，
2. (必修 4P81 练习 2 改编)已知向量 a＝(5,12)，b＝(sin α，cos α)，若 a∥b， 5
则 tan α＝____1_2__.
【解析】由平行条件可得 5cos α＝12sin α，所以 tan α＝152.
3. (必修 4P99 本章测试改编)设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(3，－2)，若 a⊥b，则 2
解得yx＝ ＝45－35，
或yx＝ ＝35－，45.
5. (必修 4P97 复习题 10 改编)已知向量 a＝(－3,1)，b＝(1，－2)，若(－2a＋b)⊥ 3
(ka＋b)，则实数 k＝___5_____.
【解析】由(－2a＋b)⊥(ka＋b)，得(7，－4)·(1－3k，k－2)＝0， 即 7(1－3k)－4(k－2)＝0，解得 k＝35.
所以 c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb) ＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0. 又 a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0， 所以 c·d＝－4k＋t3－3t＝0， 所以 k＝f(t)＝t3－4 3t(t≠0)．
目标3 与向量平行、垂直有关的综合问题 已知向量a＝(sin α，－2)，b＝(1，cos α)，其中α∈0，π2.
知识梳理 1. 向量的夹角
已知两个非零向量 a 与 b，记→OA＝a，→OB＝b，则 ∠AOB 叫作向量 a 与 b 的夹角，
夹角 θ 的取值范围为[0°，180°]．当 θ＝0°时，a 与 b 同向；当 θ＝180°时，a 与 b 反向； 当 θ＝90°时，则称向量 a 与 b 垂直 ．
2. (1) 两个向量平行的充要条件：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则 a∥b ⇔ x1y2－x2y1＝0 .
【解答】设 d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 由题意得4x－x－442＋－2y－y－112＝＝50，， 得yx＝＝－3，1 或yx＝＝35.， 所以 d＝(3，－1)或 d＝(5,3)．
目标2 向量的垂直问题
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1) 计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2) 当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?