高考数学专题： 平面向量的平行与垂直

已知向量 a＝( 3，－1)，b＝12， 23. (1) 求证：a⊥b； (2) 若存在不同时为零的实数 k 和 t，使 c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且 c⊥d， 试求函数关系式 k＝f(t)．
【解答】(1) 因为 a·b＝ 3×12－1× 23＝0，所以 a⊥b. (2) 因为 c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且 c⊥d，
【解答】由已知得 a·b＝4×8×－12＝－16. (1) ①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48， 所以|a＋b|＝4 3. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， 所以|4a－2b|＝16 3.
(2) 两个非零向量垂直的充要条件：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
研题型 ·技法通关
目标1 向量的平行(共线)问题
课堂导学
平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1) 求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2) 若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值． 【解答】(1) 由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以－ 2mm＋＋n4＝n＝ 2，3， 得nm＝＝8959.，
2. (必修 4P81 练习 2 改编)已知向量 a＝(5,12)，b＝(sin α，cos α)，若 a∥b， 5
则 tan α＝____1_2___.
【解析】由平行条件可得 5cos α＝12sin α，所以 tan α＝152.
3. (必修 4P99 本章测试改编)设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(3，－2)，若 a⊥b，则 2
所以 c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb) ＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0. 又 a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0， 所以 c·d＝－4k＋t3－3t＝0， 所以 k＝f(t)＝t3－4 3t(t≠0)．
目标3 与向量平行、垂直有关的综合问题 已知向量a＝(sin α，－2)，b＝(1，cos α)，其中α∈0，π2.
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第六章 平面向量与复数
平面向量的平行与垂直
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1. (必修 4P82 习题 8 改编)已知向量 a＝(3,1)，b＝(2，λ)．若 a∥b，则实数 λ＝ 2 _____3_____. 【解析】由平行条件可得 3λ＝2，所以 λ＝23.
(2) a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，Baidu Nhomakorabeab－a＝(－5,2)， 由题意得 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 所以 k＝－1163. 【精要点评】判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用 两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若 d 满足(d－ c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d.
x＝____3____.
【解析】由 a⊥b，得 3x－2＝0，所以 x＝23.
4. (必修 4P97 复习题改编)已知向量 a＝(－3,4)，向量 b∥a，且|b|＝1，那么 b＝ ___－__35_，__45_或___35_，__－__45__.
【解析】设b＝(x，y)，由题意得4x＋3y＝0， x2＋y2＝1，
知识梳理 1. 向量的夹角
已知两个非零向量 a 与 b，记→OA＝a，→OB＝b，则 ∠AOB 叫作向量 a 与 b 的夹角，
夹角 θ 的取值范围为[0°，180°]．当 θ＝0°时，a 与 b 同向；当 θ＝180°时，a 与 b 反向； 当 θ＝90°时，则称向量 a 与 b 垂直 ．
2. (1) 两个向量平行的充要条件：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则 a∥b ⇔ x1y2－x2y1＝0 .
(2) 因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以 ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即 16k－16(2k－1)－2×64＝0，所以 k＝－7. 即 k＝－7 时，a＋2b 与 ka－b 垂直． 【精要点评】一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与 向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．
解得yx＝ ＝45－35，
或yx＝ ＝35－，45.
5. (必修 4P97 复习题 10 改编)已知向量 a＝(－3,1)，b＝(1，－2)，若(－2a＋b)⊥ 3
(ka＋b)，则实数 k＝___5_____.
【解析】由(－2a＋b)⊥(ka＋b)，得(7，－4)·(1－3k，k－2)＝0， 即 7(1－3k)－4(k－2)＝0，解得 k＝35.
(1) 问：向量a，b能平行吗？请说明理由； (2) 若a⊥b，求sin α和cos α的值； (3) 在(2)的条件下，若cos β＝ 1100，β∈0，π2，求α＋β的值．
【解答】(1) 向量 a，b 不能平行． 若平行，需 sin αcos α＋2＝0， 即 sin 2α＝－4，而－4∉[－1,1]， 所以向量 a，b 不能平行． (2) 因为 a⊥b， 所以 a·b＝sin α－2cos α＝0， 即 sin α＝2cos α. 又因为 sin2α＋cos2α＝1，
【解答】设 d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 由题意得4x－x－442＋－2y－y－112＝＝50，， 得yx＝＝－3，1 或yx＝＝35.， 所以 d＝(3，－1)或 d＝(5,3)．
目标2 向量的垂直问题
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1) 计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2) 当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?