简单线性回归模型与分析残差图(ppt 35页)
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第二章简单线性回归模型
2586
4000
2037 2210 2325 2419 2522 2665 2799 2887 2913 3038 3167 3310 3510
2754
4500
2277 2388 2526 2681 2887 3050 3189 3353 3534 3710 3834
3039
5000 5500
2469 2924 2889 3338 3090 3650 3156 3802 3300 4087 3321 4298 3654 4312 3842 4413 4074 4165
Yi 与 E(Yi Xi )不应有偏差。若偏
差u i 存在，说明还有其他影响因素。
Xi
X
u i实际代表了排除在模型以外的所有因素对 Y 的影
响。 u i
◆性质 是其期望为 0 有一定分布的随机变量
重要性：随机扰动项的性质决定着计量经济分析结19
果的性质和计量经济方法的选择
引入随机扰动项 u i 的原因
特点：
●总体相关系数只反映总体两个变量 X 和 Y 的线性相关程度 ●对于特定的总体来说，X 和 Y 的数值是既定的，总体相关系
数 是客观存在的特定数值。
●总体的两个变量 X 和 Y的全部数值通常不可能直接观测，所
以总体相关系数一般是未知的。
7
X和Y的样本线性相关系数：
如果只知道 X 和 Y 的样本观测值，则X和Y的样本线性
计量经济学
第二章 一元线性回归模型
1
未来我国旅游需求将快速增长，根据中国政府所制定的 远景目标，到2020年，中国入境旅游人数将达到2.1亿人 次；国际旅游外汇收入580亿美元，国内旅游收入2500亿 美元。到2020年，中国旅游业总收入将超过3000亿美元， 相当于国内生产总值的8%至11%。
4000
2037 2210 2325 2419 2522 2665 2799 2887 2913 3038 3167 3310 3510
2754
4500
2277 2388 2526 2681 2887 3050 3189 3353 3534 3710 3834
3039
5000 5500
2469 2924 2889 3338 3090 3650 3156 3802 3300 4087 3321 4298 3654 4312 3842 4413 4074 4165
Yi 与 E(Yi Xi )不应有偏差。若偏
差u i 存在，说明还有其他影响因素。
Xi
X
u i实际代表了排除在模型以外的所有因素对 Y 的影
响。 u i
◆性质 是其期望为 0 有一定分布的随机变量
重要性：随机扰动项的性质决定着计量经济分析结19
果的性质和计量经济方法的选择
引入随机扰动项 u i 的原因
特点：
●总体相关系数只反映总体两个变量 X 和 Y 的线性相关程度 ●对于特定的总体来说，X 和 Y 的数值是既定的，总体相关系
数 是客观存在的特定数值。
●总体的两个变量 X 和 Y的全部数值通常不可能直接观测，所
以总体相关系数一般是未知的。
7
X和Y的样本线性相关系数：
如果只知道 X 和 Y 的样本观测值，则X和Y的样本线性
计量经济学
第二章 一元线性回归模型
1
未来我国旅游需求将快速增长，根据中国政府所制定的 远景目标，到2020年，中国入境旅游人数将达到2.1亿人 次；国际旅游外汇收入580亿美元，国内旅游收入2500亿 美元。到2020年，中国旅游业总收入将超过3000亿美元， 相当于国内生产总值的8%至11%。
简单线性回归
6.98020
15
a 224 (6.98020) 14.7 21.77393
15
15
Yˆ 21.77393 6.9802 X
除了图中所示两变量呈直线关系外，一 般还假定每个 X 对应 Y 的总体为正态分布， 各个正态分布的总体方差相等且各次观测 相互独立。这样，公式（12-2）中的 Yˆ 实际 上是 X 所对应 Y 的总体均数 Y |X 的一个样本 估计值，称为回归方程 的预测值（predicted value）,而 a 、 b 分别为 和 的样本估计。
均数YY 是固定的，所以这部分变异由 Yˆi 的大小不同引起。
当 X 被引入回归以后，正是由于Xi 的不同导致了 Yˆi a bXi 不同，所以SS回 反映了在 Y 的总变异中可以用 X 与 Y 的直线关系解释的那部分变异。
b 离 0 越远，X 对 Y 的影响越大，SS回 就越大，说明 回归效果越好。
lXX
(X X )2
a Y bX
式 中 lXY 为 X 与 Y 的 离 均 差 乘 积 和 :
lXY
(X
X
)(Y
Y
)
XY
(
X
)( n
Y
)
本例：n=15 ΣX=14.7 ΣX2=14.81
ΣY=224 ΣXY=216.7 ΣY2=3368
216.7 (14.7)(224)
b
15 14.81 (14.7)2
儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X， 英寸）存在线性关
系：Yˆ 33.73 0.516 X 。
也即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来 说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子 代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton 将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归”
线性回归分析ppt课件
21
多元回归分析中的其他问题 u变量筛选问题 Ø向前筛选策略
解释变量不断进入回归方程的过程，首先选择与被解释变量具有最高 线性相关系数的变量进入方程，并进行各种检验；其次在剩余的变量中挑 选与解释变量偏相关系数最高并通过检验的变量进入回归方程。 Ø向后筛选策略
变量不断剔除出回归方程的过程，首先所有变量全部引入回归方程并 检验，然后在回归系数显著性检验不显著的一个或多个变量中，剔除t检验 值最小的变量。 Ø逐步筛选策略
合准则。
最小二乘法将偏差距离定义为离差平方和，即
n
Q( 0, 1, p) ( yi E( yi ))2
i 1
最小二乘估计就是寻找参数β0
、β1、…
βp的估计
值β̂0 、β ̂1、… β ̂p，使式（1）达到极小。通过
求极值原理（偏导为零）和解方程组，可求得估计值，
SPSS将自动完成。
每个解释变量进 入方程后引起的 判定系数的变化 量和F值的变化 量（偏F统计量）
输出个解释变量 和被解释变量的 均值、标准差、 相关系数矩阵及 单侧检验概率值
输出判定系数、 调整的判定系数、 回归方程的标准 误、回归方程显 著性检验的方差 分析表
输出方程中各解 释变量与被解释 变量之间的简单 相关、偏相关系 数和部分相关
30
n回归分析的其他操作
Ø选项
DW值
输出标准化残差 绝对值大于等于 3（默认）的样 本数据的相关信 息
多重共线性分 析： 输出各解释变 量的容忍度、 方差膨胀因子、
特征值、条件 指标、方差 比例等
31
n回归分析的其他操作
Ø选项
•标准化预测值 •标准化残差 •剔除残差 •调整的预测值 •学生化残差 •剔除学生化残差
线性回归计算方法及公式PPT课件
公式
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量，(a)是斜率，(x)是自变量，(b)是截距。
实例二：多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关 系。通过引入多个自变量，可以更全面地描述因变量的变 化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是：(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中，(w_i)是加权因 子，用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况，通过给不同观测值赋予不同的 权重，能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是：(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中， (z_i)是主成分得分，通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的，并且具有相 同的分布（通常是正态分布）。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差，即它们不随 着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性，即它 们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量， 以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估 计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量，(X)是自变量 矩阵，(lambda)是正则化参数
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量，(a)是斜率，(x)是自变量，(b)是截距。
实例二：多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关 系。通过引入多个自变量，可以更全面地描述因变量的变 化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是：(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中，(w_i)是加权因 子，用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况，通过给不同观测值赋予不同的 权重，能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是：(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中， (z_i)是主成分得分，通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的，并且具有相 同的分布（通常是正态分布）。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差，即它们不随 着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性，即它 们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量， 以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估 计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量，(X)是自变量 矩阵，(lambda)是正则化参数
残差分析(课堂PPT)
5
多元线性回归方程的一般形式是：
^
yi b0 b1x1i b2 x2i bn xni
其中的符号含义同前。
6
三、理论假设
• 自变量x与应变量y之间存在线性关系； • 正态性：随机误差（即残差）e服从均值为 0，
方差为２的正态分布； • 等方差：对于所有的自变量x，残差e的条件方
差为２ ，且为常数； • 独立性：在给定自变量x的条件下，残差e的条
性回归解释的部分
^_
(y y)2
11
剩余平方和(residual sum of squares)：即残差平方 和，不能用线性回归解释的部分
^
( y y)2
以上三部分的自由度分别为n-1，m和n-m-1。其 中，n为样本数，m为自变量数。 方差分析的假设为
一元线性回归：H0: =0 多元线性回归：
13
３、常数项（截距）的检验
检验常数项（截距）是否为零。
用t检验方法。 一元线性回归：
H0: =0
H1: 0
a t
sa v n2
14
多元线性回归： H0: 0=0
H1: 00
t b0 sb0
v n m 1
15
４、模型的预测效果检验
亦称回归模型的拟合优度检验。检验回归模型 对样本数据的拟合程度。
如果所有参加分析的变量都是标准化的变量这时b就变成了标准化偏回归系数用符号bbisxi没有量纲因此可以相互比较大小反映自变量的相对作用大小
线性回归分析
公共卫生学院
1
一. 前言
回归分析的目的:
设法找出变量间的依存(数量)关系, 用函数关系 式表达出来
2
二、基本概念
1、应变量（dependent variable) 2、自变量（independent variable）
多元线性回归方程的一般形式是：
^
yi b0 b1x1i b2 x2i bn xni
其中的符号含义同前。
6
三、理论假设
• 自变量x与应变量y之间存在线性关系； • 正态性：随机误差（即残差）e服从均值为 0，
方差为２的正态分布； • 等方差：对于所有的自变量x，残差e的条件方
差为２ ，且为常数； • 独立性：在给定自变量x的条件下，残差e的条
性回归解释的部分
^_
(y y)2
11
剩余平方和(residual sum of squares)：即残差平方 和，不能用线性回归解释的部分
^
( y y)2
以上三部分的自由度分别为n-1，m和n-m-1。其 中，n为样本数，m为自变量数。 方差分析的假设为
一元线性回归：H0: =0 多元线性回归：
13
３、常数项（截距）的检验
检验常数项（截距）是否为零。
用t检验方法。 一元线性回归：
H0: =0
H1: 0
a t
sa v n2
14
多元线性回归： H0: 0=0
H1: 00
t b0 sb0
v n m 1
15
４、模型的预测效果检验
亦称回归模型的拟合优度检验。检验回归模型 对样本数据的拟合程度。
如果所有参加分析的变量都是标准化的变量这时b就变成了标准化偏回归系数用符号bbisxi没有量纲因此可以相互比较大小反映自变量的相对作用大小
线性回归分析
公共卫生学院
1
一. 前言
回归分析的目的:
设法找出变量间的依存(数量)关系, 用函数关系 式表达出来
2
二、基本概念
1、应变量（dependent variable) 2、自变量（independent variable）
简单线性直线回归讲解学习
简单线性回归
概述
多个变量之间关系研关系；
在此，介绍两个变量间线性的数量依存关 系，即线性回归。
“回归”的由来
Regression 释义
大多数高个子父代的子一代在成年之 后的身高平均来说不是更高，而是稍 矮于其父代水平；
大多数矮个子父代的子一代的平均身 高不是更矮，而是稍高于其父代水平。
直线回归方程的应用
利用回归方程进行预测(forecast) 把预报因子(自变量X)代入回归方程 对预报量(应变量Y)进行估计。
直线回归方程的应用
利用回归方程进行统计控制 (statistical control) 利用回归方程进行逆估计，如要求 应变量Y在一定范围内波动，可以 通过自变量X的取值来实现。
Galton将这种趋向于人群平均水平的 现象称之为“回归”。
Galton数据散点图（英寸）
height of son
75
70
65
60
60
65
70
75
height of father
直线回归的概念
一. “回归”(regression)一词的由 来
回归 —— F.Galton和Karl Pearson
基本思想——需要对应变量Y的 P(X,Y)实测点
离均差平方和作分解。
Y
应Y
Y ˆ 变
量
总情况(YY)
的 平
Y
(Y Yˆ)剩余部分
(Yˆ Y)回归部分
方
和
划
分
示
意 图 ：
X
Y Y Y Y ˆ Y ˆ Y
Y的离均差平方和的分解
(Y Y ) (Y Yˆ ) (Yˆ Y ) 等式两边平方后再求和 ,因为 2S(Y Yˆ )(Yˆ Y ) 0, 所以有 :
概述
多个变量之间关系研关系；
在此，介绍两个变量间线性的数量依存关 系，即线性回归。
“回归”的由来
Regression 释义
大多数高个子父代的子一代在成年之 后的身高平均来说不是更高，而是稍 矮于其父代水平；
大多数矮个子父代的子一代的平均身 高不是更矮，而是稍高于其父代水平。
直线回归方程的应用
利用回归方程进行预测(forecast) 把预报因子(自变量X)代入回归方程 对预报量(应变量Y)进行估计。
直线回归方程的应用
利用回归方程进行统计控制 (statistical control) 利用回归方程进行逆估计，如要求 应变量Y在一定范围内波动，可以 通过自变量X的取值来实现。
Galton将这种趋向于人群平均水平的 现象称之为“回归”。
Galton数据散点图（英寸）
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60
60
65
70
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height of father
直线回归的概念
一. “回归”(regression)一词的由 来
回归 —— F.Galton和Karl Pearson
基本思想——需要对应变量Y的 P(X,Y)实测点
离均差平方和作分解。
Y
应Y
Y ˆ 变
量
总情况(YY)
的 平
Y
(Y Yˆ)剩余部分
(Yˆ Y)回归部分
方
和
划
分
示
意 图 ：
X
Y Y Y Y ˆ Y ˆ Y
Y的离均差平方和的分解
(Y Y ) (Y Yˆ ) (Yˆ Y ) 等式两边平方后再求和 ,因为 2S(Y Yˆ )(Yˆ Y ) 0, 所以有 :
医学统计学课件：回归分析
利用逐步回归等方法，选择重要 的自变量，优化模型，提高预测 精度。
生存分析模型
生存分析模型概述
生存分析模型是用于研究生存时间与相关因素 之间关系的一种统计分析方法。
模型的建立与拟合
通过Cox比例风险模型等统计技术，拟合生存分 析模型，并评估模型的拟合效果。
生存曲线与影响因素
利用生存曲线描述生存时间与影响因素之间的关系，并评估不同因素对生存时 间的影响。
正态性
误差项应服从正态分布，即近似于钟形曲线。如 果误差项存在偏离正态分布的情况，需要采取措 施进行调整。
多重共线性诊断
定义：多重共线性是指自变量之间存在 较强的线性相关关系，导致模型估计失 真或不稳定。
特征值：如果特征值接近于0，则表明存 在严重的多重共线性问题。
条件指数：条件指数大于10表明模型受 到多重共线性的影响。
模型构建流程
数据清洗
对数据进行预处理，包括缺失值填充、异常值处理等，以确保数 据的质量和可靠性。
模型构建
根据已知的变量和因变量之间的关系，构建线性回归模型。
模型优化
通过逐步回归等方法对模型进行优化，以提高模型的预测精度和 稳定性。
模型评估指标
拟合优度
通过计算模型的R²值等指标，评估模型对数 据的拟合程度。
回归分析的分类
线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归模型
线性回归模型的定义
线性回归模型是一种最常用的回归分析模型，其形式为Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn。
线性回归模型的基本要素
因变量Y，自变量X1, X2, ..., Xn，以及模型中的系数β0, β1, ..., βn。
生存分析模型
生存分析模型概述
生存分析模型是用于研究生存时间与相关因素 之间关系的一种统计分析方法。
模型的建立与拟合
通过Cox比例风险模型等统计技术，拟合生存分 析模型，并评估模型的拟合效果。
生存曲线与影响因素
利用生存曲线描述生存时间与影响因素之间的关系，并评估不同因素对生存时 间的影响。
正态性
误差项应服从正态分布，即近似于钟形曲线。如 果误差项存在偏离正态分布的情况，需要采取措 施进行调整。
多重共线性诊断
定义：多重共线性是指自变量之间存在 较强的线性相关关系，导致模型估计失 真或不稳定。
特征值：如果特征值接近于0，则表明存 在严重的多重共线性问题。
条件指数：条件指数大于10表明模型受 到多重共线性的影响。
模型构建流程
数据清洗
对数据进行预处理，包括缺失值填充、异常值处理等，以确保数 据的质量和可靠性。
模型构建
根据已知的变量和因变量之间的关系，构建线性回归模型。
模型优化
通过逐步回归等方法对模型进行优化，以提高模型的预测精度和 稳定性。
模型评估指标
拟合优度
通过计算模型的R²值等指标，评估模型对数 据的拟合程度。
回归分析的分类
线性回归分析和非线性回归分析。
线性回归模型
线性回归模型的定义
线性回归模型是一种最常用的回归分析模型，其形式为Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn。
线性回归模型的基本要素
因变量Y，自变量X1, X2, ..., Xn，以及模型中的系数β0, β1, ..., βn。
简单线性回归模型与分析残差图
这些假定意味着什么？
9
f
y 服从在回归直线附近的正态分布
对每个 x 值， y分布的方差相同.
Y
X2
X1 X
回归直线
10
估计的回归方程
如何估计参数和？
最小二乘准则
n
求解 min ( yi 0 1 xi )2 0 ,1 i1
得出达到最小值点(b0 , b1)为0和1的点估计
b1
Relationship NOT Linear
Negative Linear Relationship
No Relationship
5
模型的引入
对于给定的学生人数，销售收入是唯一确定的 一个数，还是一个随机变量？
学生人数的变化如何影响到销售收入？ 使用的模型
6
简单线性回归模型
Y 的截距
Y 0 1X
3
描述学生人数和销售收入之间的关系
协方差(315.56)和相关系数(0.95)，散点图；
250
季度销售收入/千美圆
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
30
学生人数/千人
根据这些你可以得到什么结论？
4
Types of Regression Models
Positive Linear Relationship
变量x的确对y有解释作用吗？(H0: =0) 检验统计量
F=MSR/MSE 其中MSR=SSR/自变量的个数 拒绝域
F>F(1, n-2)
17
回归方程的方差分析表
方差来源 回归 误差 总计
平方和 SSR SSE SST
9
f
y 服从在回归直线附近的正态分布
对每个 x 值， y分布的方差相同.
Y
X2
X1 X
回归直线
10
估计的回归方程
如何估计参数和？
最小二乘准则
n
求解 min ( yi 0 1 xi )2 0 ,1 i1
得出达到最小值点(b0 , b1)为0和1的点估计
b1
Relationship NOT Linear
Negative Linear Relationship
No Relationship
5
模型的引入
对于给定的学生人数，销售收入是唯一确定的 一个数，还是一个随机变量？
学生人数的变化如何影响到销售收入？ 使用的模型
6
简单线性回归模型
Y 的截距
Y 0 1X
3
描述学生人数和销售收入之间的关系
协方差(315.56)和相关系数(0.95)，散点图；
250
季度销售收入/千美圆
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
30
学生人数/千人
根据这些你可以得到什么结论？
4
Types of Regression Models
Positive Linear Relationship
变量x的确对y有解释作用吗？(H0: =0) 检验统计量
F=MSR/MSE 其中MSR=SSR/自变量的个数 拒绝域
F>F(1, n-2)
17
回归方程的方差分析表
方差来源 回归 误差 总计
平方和 SSR SSE SST
数学建模——回归分析模型 ppt课件
有最小值：
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ppt课件
ˆx ˆi a ˆ b y i
6
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
ppt课件
1
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
ppt课件
2
数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释：回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题：用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型：
可决系数（判定系数） R 2 为:
可决系数越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法，以后会逐步接触
15
2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
数学建模——回归分析模型
2 i i 1
残差平 方和
13
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零，得到正规方程组，
用线性代数的方法求解，求得值为：
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式，具体如下： 其中 X , Y ,
回归分析法PPT课件
现代应用
随着大数据时代的到来，回归分析法在各个领域的应用越来越广泛，同 时也面临着新的挑战和机遇。
02
线性回归分析
线性回归模型
线性回归模型
描述因变量与自变量之间线性关 系的数学模型。
模型形式
(Y = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + cdots + beta_pX_p + epsilon)
解释
非线性回归模型可以用于解释因变量和解释变量之间的关系，通过模型参数和图 形化展示来解释关系。
04
多元回归分析
多元回归模型
01
02
03
多元线性回归模型
描述因变量与多个自变量 之间的关系，通过最小二 乘法估计参数。
非线性回归模型
描述因变量与自变量之间 的非线性关系，通过变换 或使用其他方法实现。
教育研究
在教育学研究中，回归分析法可用于研究教育成果和教育 质量，通过分析学生成绩和教学质量等因素，提高教育水 平。
其他领域的应用案例
市场调研
在市场营销中，回归分析法可用于分析消费者行为和市场趋 势，帮助企业制定更有效的营销策略。
农业研究
在农业研究中，回归分析法可用于研究作物生长和产量影响 因素，提高农业生产效率。
线性回归模型的预测与解释
预测
使用已建立的线性回归模型预测因变量的值。
解释
通过解释模型参数的大小和符号来理解自变量对因变量的影响程度和方向。
03
非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
非线性回归模型的定义
线性回归模型在解释变量与因变量之间的 关系时可能不够准确，无法描述它们之间 的非线性关系。
随着大数据时代的到来，回归分析法在各个领域的应用越来越广泛，同 时也面临着新的挑战和机遇。
02
线性回归分析
线性回归模型
线性回归模型
描述因变量与自变量之间线性关 系的数学模型。
模型形式
(Y = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + cdots + beta_pX_p + epsilon)
解释
非线性回归模型可以用于解释因变量和解释变量之间的关系，通过模型参数和图 形化展示来解释关系。
04
多元回归分析
多元回归模型
01
02
03
多元线性回归模型
描述因变量与多个自变量 之间的关系，通过最小二 乘法估计参数。
非线性回归模型
描述因变量与自变量之间 的非线性关系，通过变换 或使用其他方法实现。
教育研究
在教育学研究中，回归分析法可用于研究教育成果和教育 质量，通过分析学生成绩和教学质量等因素，提高教育水 平。
其他领域的应用案例
市场调研
在市场营销中，回归分析法可用于分析消费者行为和市场趋 势，帮助企业制定更有效的营销策略。
农业研究
在农业研究中，回归分析法可用于研究作物生长和产量影响 因素，提高农业生产效率。
线性回归模型的预测与解释
预测
使用已建立的线性回归模型预测因变量的值。
解释
通过解释模型参数的大小和符号来理解自变量对因变量的影响程度和方向。
03
非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
非线性回归模型的定义
线性回归模型在解释变量与因变量之间的 关系时可能不够准确，无法描述它们之间 的非线性关系。
线性回归案例ppt课件
2003-1 -1.151 -0.331 0.299 4.085 0.188 11.919 0.004 0.078 21.492 -0.403
2003-2 0.338 -0.611 0.3 1.402 5.369 18.418 -0.669 0.167 20.456 0.211
2003-3 0.722 0.794 0.016 -2.929 0.749 -20.886 -0.733 0.327 21.532 1.085
.
回归分析的根本目的
探寻因变量同自变量之是的数量关系，为此需假设它们之间 的数量关系满足某种函数形式，而最简单最常用的函数形式 就是线性函数。
y i0 1 x i1 2 x i2 p x ip i i1,2,...n,
➢ 其中 0为常 ,j数 (j1,项 2, ,p)为第 j 个解释性变量 xij
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
2002-498 0.3 0.5 0.255 3.167 2.5 16.795 -1.419 -0.071 19.701 -0.25
2002-499 0.484 0.127 0.287 -2.593 2.473 -4.511 0.4 0.184 20.199 0.884
2002-500 0.063 -0.416 0 -1.739 2.482 -4.809 1.793 -0.009 19.747 1.017
.
预测
.
令R
2 i
为辅助回归的判定系数
则方差膨胀因子为：
VIFi
1 1 Ri2
它反映了在多大程度上第i个自变量所包含的信息
被其他自变量覆盖
• 当VIF≥10时，说明存在多重共线性。
第四节__残差分析
第四节残差分析、预报和控制一、残差分析前面咱们介绍了线性回归方程的成立和查验。
在实际问题中，由于观察人员的粗心或偶然因素的干扰。
常会使咱们所取得的数据不完全靠得住, 即出现异样数据。
有时即便通过相关系数或F查验证明回归方程靠得住，也不能排除数据存在上述问题。
残差分析的目的就在于解决这一问题。
所谓残差是指实际观察值与回归估量值的差，即(2-1-26)显然，有多少对数据，就有多少个残差。
残差分析就是通过残差所提供的信息，分析出数据的靠得住性、周期性或其它干扰。
第一介绍如何检查异样数据。
异样数据是指与其它数据产生的条件有明显不同的数据，因此异样数据的残差会特别的大。
一旦发觉异样数据应及时剔除，用剩余数据从头成立回归方程，以提高回归方程的质量。
发觉异样数据主要从技术上找原因，当技术上无法找到原因时，就得借助于数理统计方式。
由数理统计方式能够证明(2-1-27) 或记为(2-1-28)这说明残差的方差D(e)是x的函数，且二者呈曲线关系。
以回归方程及方程和作图。
见方开泰《实用回归分析》P45图考虑到较小，当n较大时(2-1-29) 现在图中的两条曲线可近似于两条平行直线。
从而有(2-1-30) 或近似地(2-1-31)这表明，当n较大时y i落在图2-1-3的长条形带子中的概率约为95%，只要明白，就可以够取得残差的置信区域。
一般是未知的，通常常利用残差标准差来估量。
可用下式求得(2-1-32) 由此可得残差置信带(2-1-33)对残差在置信带之外的数据都要进行检查，以区别是不是是异样数据，若是是异样数据就要剔除掉。
此刻咱们对例1做残差检查。
由式(2-1-32)残差置信带为,。
计算5个实验点的预报值与残差值(见表2-1-4)，并作出残差检查图(见图2-1-4)表2-1-4 例1的残差值图2-1-4 例1的残差图由图2-1-4可见，例1中全数数据的残差都在置信带内，没有异样数据。
除此之外，残差图还能够为咱们提供许多有效信息。
简单线性回归分析
注意：对于服从双变量正态分布的同样一组资料，若 同时做了相关分析和回归分析，则相关系数的 t 检验 与回归系数的 t 检验等价，且 t r = t b 。
3. 总体回归系数的区间估计：
b ± tα / 2,υ S b
0.1584±2.074×0.0246=（0.1074，0.2095）
（三）线性回归分析的前提条件： LINE
1.回归模型的方差分析:
总变异的分解：
Y P
ˆ Y −Y
Y −Y
ˆ Y −Y
Y
Y
X
图10-3
Y的总变异分解示意图
ˆ − Y )2 + ∑ (Y − Y )2 ˆ ∑ (Y − Y ) = ∑ (Y
2
SS 总 = SS 回归 + SS 残差
ν总 = n −1
ν 回归 = 1
ν 残差 = n − 2
X1 )
X2)
22.5 21.5 28.5 26.0 35.0 20.0 23.0 24.8 23.3 27.0 26.0 28.0
X3)
69 79 59 73 92 83 57 67 83 65 58 68
X4)
2.00 2.40 3.00 1.00 2.80 1.45 1.50 1.50 0.90 0.65 1.83 2.00
1. 线性（linear）：反应变量与自变量的呈线
性变化趋势。
2. 独立性（independence）：任意两个观察值
相互独立，一个个体的取值不受其他个体的 影响。
前提条件（续）：
3. 正态性（normal distribution）：在给定
值X时，Y的取值服从正态分布
4. 等方差性（equal variance）: 对应于不
简单线性回归模型与分析残差图(ppt 35页)
销 售 额 / 千 元 5 81 0 58 81 1 8 1 1 7 1 3 7 1 5 7 1 6 9 1 4 9 2 0 2
根据以上数据，你能否判断学生人数(x)如何影 响到销售收入(y)？根据一家连锁店附近大学的人数， 你能够预测该家连锁店的季度销售收入吗？
3
描述学生人数和销售收入之间的关系
第i个标准化残差
其中
Std_ˆi ˆi / sˆi
sˆi s
1 hi ,
1
h i n
(xi x)2 (xi x)2
26
如何分析残差图
如果模型是符合的，那么残差图上的散 点应该落在一条水平带中间，除此之外， 残差图上的点不应呈现出什么规律性。
使用EXCEL对阿姆德连锁店的数据产生残 差图。你能得到什么结论？
协方差(315.56)和相关系数(0.95)，散点图；
250
季 度 销 售 收 入 /千 美 圆
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
30
学生人数/千人
根据这些你可以得到什么结论？
4
Types of Regression Models
Positive Linear Relationship
散点图； 利用学生化标准残差基本服从标 准正态分布来检测(落在2个标准差之外 时)。
32
带有异常值的散点图示例
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
33
检测有影响的观测值
什么是有影响的观测？ 观测的杠杆率：
根据以上数据，你能否判断学生人数(x)如何影 响到销售收入(y)？根据一家连锁店附近大学的人数， 你能够预测该家连锁店的季度销售收入吗？
3
描述学生人数和销售收入之间的关系
第i个标准化残差
其中
Std_ˆi ˆi / sˆi
sˆi s
1 hi ,
1
h i n
(xi x)2 (xi x)2
26
如何分析残差图
如果模型是符合的，那么残差图上的散 点应该落在一条水平带中间，除此之外， 残差图上的点不应呈现出什么规律性。
使用EXCEL对阿姆德连锁店的数据产生残 差图。你能得到什么结论？
协方差(315.56)和相关系数(0.95)，散点图；
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学生人数/千人
根据这些你可以得到什么结论？
4
Types of Regression Models
Positive Linear Relationship
散点图； 利用学生化标准残差基本服从标 准正态分布来检测(落在2个标准差之外 时)。
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带有异常值的散点图示例
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33
检测有影响的观测值
什么是有影响的观测？ 观测的杠杆率：
回归线方程ppt课件
果关系。
变量筛选
在多元回归分析中，利用回归线 方程筛选对因变量有显著影响的
自变量，简化模型。
控制质量
过程控制
在生产过程中，通过建立回归线方程，监控关键工艺参数对产品 质量的影响，确保产品质量稳定。
质量控制
利用回归线方程分析产品质量检测数据，找出影响产品质量的因素 ，制定相应的质量控制措施。
质量改进
求解回归系数
01
02
03
计算回归系数
根据回归方程，计算每个 自变量的回归系数。
分析回归系数
分析回归系数的符号、大 小和显著性，了解自变量 对因变量的影响程度。
检验回归系数
通过假设检验等方法，检 验回差分布情况，检查 是否存在异常值或离群点 。
拟合优度检验
通过计算判定系数、调整 判定系数等方法，评估回 归方程的拟合优度。
显著性检验
通过F检验、t检验等方法 ，检验回归方程的显著性 和可信度。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
回归线方程的应用
预测未来趋势
股票价格预测
通过分析历史股票数据，利用回 归线方程建立模型，预测未来股
最小二乘法通过最小化误差的 平方和来找到最佳拟合直线， 使得所有数据点到直线的垂直 距离最小。
最小二乘法的计算过程
计算误差
计算每个数据点到拟合线的垂 直距离，即误差。
最小化误差平方和
通过最小化所有数据点到直线 的垂直距离的平方和来找到最 佳拟合直线。
收集数据
收集自变量（X）和因变量（Y ）的数据点。
数据来源的可靠性
02
数据来源必须可靠，避免使用不可靠的数据源可能导致错误的
变量筛选
在多元回归分析中，利用回归线 方程筛选对因变量有显著影响的
自变量，简化模型。
控制质量
过程控制
在生产过程中，通过建立回归线方程，监控关键工艺参数对产品 质量的影响，确保产品质量稳定。
质量控制
利用回归线方程分析产品质量检测数据，找出影响产品质量的因素 ，制定相应的质量控制措施。
质量改进
求解回归系数
01
02
03
计算回归系数
根据回归方程，计算每个 自变量的回归系数。
分析回归系数
分析回归系数的符号、大 小和显著性，了解自变量 对因变量的影响程度。
检验回归系数
通过假设检验等方法，检 验回差分布情况，检查 是否存在异常值或离群点 。
拟合优度检验
通过计算判定系数、调整 判定系数等方法，评估回 归方程的拟合优度。
显著性检验
通过F检验、t检验等方法 ，检验回归方程的显著性 和可信度。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
回归线方程的应用
预测未来趋势
股票价格预测
通过分析历史股票数据，利用回 归线方程建立模型，预测未来股
最小二乘法通过最小化误差的 平方和来找到最佳拟合直线， 使得所有数据点到直线的垂直 距离最小。
最小二乘法的计算过程
计算误差
计算每个数据点到拟合线的垂 直距离，即误差。
最小化误差平方和
通过最小化所有数据点到直线 的垂直距离的平方和来找到最 佳拟合直线。
收集数据
收集自变量（X）和因变量（Y ）的数据点。
数据来源的可靠性
02
数据来源必须可靠，避免使用不可靠的数据源可能导致错误的
线性模型之二：线性回归模型性能的评估（残差图、MSE与R2）
线性模型之⼆：线性回归模型性能的评估（残差图、MSE与R2）为了获得对模型性能的⽆偏估计，在训练过程中使⽤未知数据对测试进⾏评估是⾄关重要的。
所以，需要将数据集划分为训练数据集和测试数据集，前者⽤于模型的训练，后者⽤户模型在未知数据上泛化性能的评估。
对于线性模型⼀、残差图当m>1时，模型使⽤了多个解释变量，⽆法在⼆维坐标上绘制线性回归曲线。
那么如何对回归模型的性能有⼀个直观的评估呢？可以通过绘制预测值的残差图，即真实值和预测值之间的差异或者垂直距离。
残差图作为常⽤的图形分析⽅法，可对回归模型进⾏评估，获取模型的异常值，同时还可以检查模型是否是线性的，以及误差是否随机分布。
通过将预测结果减去对应的⽬标变量的真实值，便可获得残差值。
如下残差图像，其中X轴表⽰预测结果，Y轴表⽰残差。
其中⼀条直线Y=0，表⽰残差为0的位置。
如果拟合结果准确，残差应该为0。
但实际应⽤中，这种情况通常是不会发⽣的。
但是，对于⼀个好的回归模型，期望误差是随机分布的，同时残差也随机分布于中⼼线附近。
如果我们从残差图中找出规律，就意味着模型遗漏了某些能够影响残差的解释信息，就如同看到的残差图那样，其中有这些许规律。
此外，还可以通过残差图来发现异常值，这些异常值看上去距离中⼼线有较⼤的偏差。
⼆、均⽅误差（Mean Squared Error, MSE）另外⼀种对模型性能进⾏定量估计的⽅法称为均⽅误差（Mean Squared Error, MSE）, 它是线性回归模型拟合过程中，最⼩化误差平⽅和（SSE）代价函数的平均值。
三、决定系数（R2）但是MSE不甚全⾯，某些情况下决定系数（coefficient of determination）（R2）显得尤为有⽤，它可以看作是MSE的标准化版本，⽤于更好地解释模型的性能。
R2值的定义如下：其中，SSE为误差平⽅和，⽽SST反映了真实的y的⽅差。
决定系数R2反映了y的波动有多少百分⽐能被X的波动所描述，R2的取值范围0~1。
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19
使用你建立的模型（一）
问题一：对于那些附近学校人数是1万的 连锁店，他们的季度销售收入一定是一 样吗？这种连锁店平均的季度销售收入 是多少？你能够给出一个估计吗？
问题二：某家连锁店附近学生总数约1万 人，你能够给出它的季度销售收入的一 个估计值吗？
点估计：110
20
使用你建立的模型（二）
35
定义判定系数R2=SSR/SST. 判定系数的含义是什么？ 阿姆德比萨饼连锁店的例子：R2=0.9027. 判定系数和相关系数的关系。
13
Coefficients of Determination (r2) and Correlation (r)
Y r2 = 1,r = +1
Y r2 = 1, r = -1
………
阿姆德比萨饼连锁店的问题
阿姆得(Armand)比萨饼连锁店坐落在美国的5 个州内，它们通常的位置是在大学旁边，而且管理人 员相信附近大学的人数与这些连锁店的季度销售额是 有关系的。下面是10家连锁店附近大学的学生人数和 季度销售收入的数据：
连 锁 店 1 234 567891 0 学 生 人 数 / 千 人 2 6881 21 62 02 02 22 6
其中
s2 ind
s21
1 n
(xpx)2
xi2( xi )2
/n
( 76.13, 143.87)
22
两种区间的关系
均值的置信区间 预测区间边界
xp
23
对模型作进一步的探讨
回忆我们使用的模型； 对模型作了什么假定？ 逻辑问题：如何判断我们的问题符合这
些假定？ 分析的方案：残差分析
第i个标准化残差
其中
Std_ˆi ˆi / sˆi
sˆi s
1 hi ,
1
h i n
(xi x)2 (xi x)2
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如何分析残差图
如果模型是符合的，那么残差图上的散 点应该落在一条水平带中间，除此之外， 残差图上的点不应呈现出什么规律性。
使用EXCEL对阿姆德连锁店的数据产生残 差图。你能得到什么结论？
27
非线性
ˆ
线性
ˆ
X
X
28
方差不等
ˆ
方差相等
ˆ
X
X
29
不独立
ˆ
独立
ˆ
X
X
30
一个残差不独立的例子
0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
31
异常值的检测
异常值是与其它点显示的趋势不合的点。 检查它是否可能是被错误输入的数据。 检测异常值的方法：
协方差(315.56)和相关系数(0.95)，散点图；
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学生人数/千人
根据这些你可以得到什么结论？
4
Types of Regression Models
Positive Linear Relationship
Relationship NOT Linear
Negative Linear Relationship
No Relationship
5
模型的引入
对于给定的学生人数，销售收入是唯一确定的 一个数，还是一个随机变量？
学生人数的变化如何影响到销售收入？ 使用的模型
6
简单线性回归模型
Y 的截距
X
Yr2 = .8, r = +0.9
X
Y r2 = 0, r = 0
X
X
14
的估计
理解误差平方和 S S ( y i E y ˆ i ) 2 ( y i b 0 b 1 x i ) 2
的一个无偏估计 s2=MSE=SSE/(n-2)
15
关于回归系数的假设检验
对于问题一，如何得到这种连锁店平均 销售收入的一个95%的置信区间？
对于给定的xp, yˆ p b0 b1xp是E(yp )的无偏估计。
yˆ
的分
p
布是N(E(
yp
),
2 yˆ p
),其中
2 的估计是
yˆ p
s2 yˆ p
s2
1 n
(xp x)2
xi2 ( xi )2
第 i个残 ˆ i y i y 差 ˆ ii 1 ,2 , ： n
24
通过残差你能够了解什么？
对误差项作的假定适合吗？ 1）等方差； 2）相互独立； 3）正态分布；
哪些数据属于异常值？ 哪些观测属于对回归模型有很大影响的？
25
残差图
关于自变量的残差图； 关于因变量的预测值的残差图； 学生化的标准残差图：
随机误
差
Y0 1X
因变量（响 应变量，被 预测变量）
斜率
自变量（解释 变量，预测变 量）
7
Y
观测值
Yi 0 1Xi i 观测值
i
=Hale Waihona Puke 随机误差Y 0 1X
X
8
模型的假定
1) E()=0; (E(y)=x) 2) 对于所有的x，Var()=. 3) 是服从正态分布N(0, ) 的. 4) 对于不同的x, 是相互独立的.
100
50
yˆ605x
0
0
5
10
15
20
25
30
你对系数的含义怎么
ѧúÉ ÈË Êý /ǧËÈ
理解？
12
回归方程的判定系数
y的总变差的分解
SST (yi y)2 (yi yˆi yˆi y)2
(yi yˆi)2 (yˆi y)2SSESSR
/n
E( yp )的1置信区间是
yˆ p t /2(n 2) syˆp ( 98.58, 121.42)
21
使用你建立的模型（三）
对于问题二，如何给出一个预测区间， 使得这家连锁店的季度销售收入落在该 区间里面的概率是1-？
yp的概率1为 的预测区间是
yˆp t/2(n2)sind
散点图； 利用学生化标准残差基本服从标 准正态分布来检测(落在2个标准差之外 时)。
32
带有异常值的散点图示例
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
33
检测有影响的观测值
什么是有影响的观测？ 观测的杠杆率：
第i个观测的杠杆率
1
h i n
(xix)2 (xix)2
这些假定意味着什么？
9
f
y 服从在回归直线附近的正态分布
对每个 x 值， y分布的方差相同.
Y
X1 X
X2 回归直线
10
估计的回归方程
如何估计参数和？
最小二乘准则
n
求解 min(yi 0 1 xi )2 0 ,1 i1
得出达到最小值点(b0, b1)为0和1的点估计
第十讲
简单线性回归模型
建立两个变量X和Y间的关系模型，推断变量Y 如何依赖于变量X, 从而可以用X预测Y.
例：
广告费用和销售量 公司的市值与CEO的年薪 原始股的销售数量和期望价格 证券市场收益率与某只股票的收益率 商品价格和销售量 装配线的速度和次品数量 年收入与信用卡消费金额 年龄与手机话费 连锁店附近的人流与店的利润 气温与滑雪场门票销量
F=MSR/MSE 其中MSR=SSR/自变量的个数 拒绝域
F>F(1, n-2)
17
回归方程的方差分析表
方 差 来 源平 方 和自 由 度均 方 F值 回 归 SSR 1 M SRM SR/M SE 误 差 SSE n-2 M SE 总 计 SST n-1
18
阿姆德连锁店的情形
使用EXCEL对阿姆德连锁店的数据 建立模型，并进行分析，基于EXCEL的输 出结果，你对该模型有些什么认识？
H 0:10H 1:10
检验统计量
tb1 sb1
其s中 b1
s xi21 n(
xi)2是 b1的标准误差
给定显著水平时，选择拒绝域
t t/2 (n 2 )或 t t 者 /2 (n 2 )
16
关于回归方程整体的检验
变量x的确对y有解释作用吗？(H0: =0) 检验统计量
i 1,2,n
高杠杆率的点意味着它的自变量距离别的自变
量的值距离较大的点。
识别影响的观测: 杠杆率>6/n的观测.
34
对于建立简单线性回归模型， 你知道了些什么？
什么情况下需要建立简单线性回归模型？ 对模型的假定有哪些？ 如何估计模型的参数？ 如何检验模型及其参数的显著性？ 如何使用你建立的模型进行预测？ 如何分析你的问题符合对模型做的假定？
销 售 额 / 千 元 5 81 0 58 81 1 8 1 1 7 1 3 7 1 5 7 1 6 9 1 4 9 2 0 2
根据以上数据，你能否判断学生人数(x)如何影 响到销售收入(y)？根据一家连锁店附近大学的人数， 你能够预测该家连锁店的季度销售收入吗？
3
描述学生人数和销售收入之间的关系
b1
xi yi ( xi2 (
xi xi
使用你建立的模型（一）
问题一：对于那些附近学校人数是1万的 连锁店，他们的季度销售收入一定是一 样吗？这种连锁店平均的季度销售收入 是多少？你能够给出一个估计吗？
问题二：某家连锁店附近学生总数约1万 人，你能够给出它的季度销售收入的一 个估计值吗？
点估计：110
20
使用你建立的模型（二）
35
定义判定系数R2=SSR/SST. 判定系数的含义是什么？ 阿姆德比萨饼连锁店的例子：R2=0.9027. 判定系数和相关系数的关系。
13
Coefficients of Determination (r2) and Correlation (r)
Y r2 = 1,r = +1
Y r2 = 1, r = -1
………
阿姆德比萨饼连锁店的问题
阿姆得(Armand)比萨饼连锁店坐落在美国的5 个州内，它们通常的位置是在大学旁边，而且管理人 员相信附近大学的人数与这些连锁店的季度销售额是 有关系的。下面是10家连锁店附近大学的学生人数和 季度销售收入的数据：
连 锁 店 1 234 567891 0 学 生 人 数 / 千 人 2 6881 21 62 02 02 22 6
其中
s2 ind
s21
1 n
(xpx)2
xi2( xi )2
/n
( 76.13, 143.87)
22
两种区间的关系
均值的置信区间 预测区间边界
xp
23
对模型作进一步的探讨
回忆我们使用的模型； 对模型作了什么假定？ 逻辑问题：如何判断我们的问题符合这
些假定？ 分析的方案：残差分析
第i个标准化残差
其中
Std_ˆi ˆi / sˆi
sˆi s
1 hi ,
1
h i n
(xi x)2 (xi x)2
26
如何分析残差图
如果模型是符合的，那么残差图上的散 点应该落在一条水平带中间，除此之外， 残差图上的点不应呈现出什么规律性。
使用EXCEL对阿姆德连锁店的数据产生残 差图。你能得到什么结论？
27
非线性
ˆ
线性
ˆ
X
X
28
方差不等
ˆ
方差相等
ˆ
X
X
29
不独立
ˆ
独立
ˆ
X
X
30
一个残差不独立的例子
0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
31
异常值的检测
异常值是与其它点显示的趋势不合的点。 检查它是否可能是被错误输入的数据。 检测异常值的方法：
协方差(315.56)和相关系数(0.95)，散点图；
250
季 度 销 售 收 入 /千 美 圆
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
30
学生人数/千人
根据这些你可以得到什么结论？
4
Types of Regression Models
Positive Linear Relationship
Relationship NOT Linear
Negative Linear Relationship
No Relationship
5
模型的引入
对于给定的学生人数，销售收入是唯一确定的 一个数，还是一个随机变量？
学生人数的变化如何影响到销售收入？ 使用的模型
6
简单线性回归模型
Y 的截距
X
Yr2 = .8, r = +0.9
X
Y r2 = 0, r = 0
X
X
14
的估计
理解误差平方和 S S ( y i E y ˆ i ) 2 ( y i b 0 b 1 x i ) 2
的一个无偏估计 s2=MSE=SSE/(n-2)
15
关于回归系数的假设检验
对于问题一，如何得到这种连锁店平均 销售收入的一个95%的置信区间？
对于给定的xp, yˆ p b0 b1xp是E(yp )的无偏估计。
yˆ
的分
p
布是N(E(
yp
),
2 yˆ p
),其中
2 的估计是
yˆ p
s2 yˆ p
s2
1 n
(xp x)2
xi2 ( xi )2
第 i个残 ˆ i y i y 差 ˆ ii 1 ,2 , ： n
24
通过残差你能够了解什么？
对误差项作的假定适合吗？ 1）等方差； 2）相互独立； 3）正态分布；
哪些数据属于异常值？ 哪些观测属于对回归模型有很大影响的？
25
残差图
关于自变量的残差图； 关于因变量的预测值的残差图； 学生化的标准残差图：
随机误
差
Y0 1X
因变量（响 应变量，被 预测变量）
斜率
自变量（解释 变量，预测变 量）
7
Y
观测值
Yi 0 1Xi i 观测值
i
=Hale Waihona Puke 随机误差Y 0 1X
X
8
模型的假定
1) E()=0; (E(y)=x) 2) 对于所有的x，Var()=. 3) 是服从正态分布N(0, ) 的. 4) 对于不同的x, 是相互独立的.
100
50
yˆ605x
0
0
5
10
15
20
25
30
你对系数的含义怎么
ѧúÉ ÈË Êý /ǧËÈ
理解？
12
回归方程的判定系数
y的总变差的分解
SST (yi y)2 (yi yˆi yˆi y)2
(yi yˆi)2 (yˆi y)2SSESSR
/n
E( yp )的1置信区间是
yˆ p t /2(n 2) syˆp ( 98.58, 121.42)
21
使用你建立的模型（三）
对于问题二，如何给出一个预测区间， 使得这家连锁店的季度销售收入落在该 区间里面的概率是1-？
yp的概率1为 的预测区间是
yˆp t/2(n2)sind
散点图； 利用学生化标准残差基本服从标 准正态分布来检测(落在2个标准差之外 时)。
32
带有异常值的散点图示例
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
33
检测有影响的观测值
什么是有影响的观测？ 观测的杠杆率：
第i个观测的杠杆率
1
h i n
(xix)2 (xix)2
这些假定意味着什么？
9
f
y 服从在回归直线附近的正态分布
对每个 x 值， y分布的方差相同.
Y
X1 X
X2 回归直线
10
估计的回归方程
如何估计参数和？
最小二乘准则
n
求解 min(yi 0 1 xi )2 0 ,1 i1
得出达到最小值点(b0, b1)为0和1的点估计
第十讲
简单线性回归模型
建立两个变量X和Y间的关系模型，推断变量Y 如何依赖于变量X, 从而可以用X预测Y.
例：
广告费用和销售量 公司的市值与CEO的年薪 原始股的销售数量和期望价格 证券市场收益率与某只股票的收益率 商品价格和销售量 装配线的速度和次品数量 年收入与信用卡消费金额 年龄与手机话费 连锁店附近的人流与店的利润 气温与滑雪场门票销量
F=MSR/MSE 其中MSR=SSR/自变量的个数 拒绝域
F>F(1, n-2)
17
回归方程的方差分析表
方 差 来 源平 方 和自 由 度均 方 F值 回 归 SSR 1 M SRM SR/M SE 误 差 SSE n-2 M SE 总 计 SST n-1
18
阿姆德连锁店的情形
使用EXCEL对阿姆德连锁店的数据 建立模型，并进行分析，基于EXCEL的输 出结果，你对该模型有些什么认识？
H 0:10H 1:10
检验统计量
tb1 sb1
其s中 b1
s xi21 n(
xi)2是 b1的标准误差
给定显著水平时，选择拒绝域
t t/2 (n 2 )或 t t 者 /2 (n 2 )
16
关于回归方程整体的检验
变量x的确对y有解释作用吗？(H0: =0) 检验统计量
i 1,2,n
高杠杆率的点意味着它的自变量距离别的自变
量的值距离较大的点。
识别影响的观测: 杠杆率>6/n的观测.
34
对于建立简单线性回归模型， 你知道了些什么？
什么情况下需要建立简单线性回归模型？ 对模型的假定有哪些？ 如何估计模型的参数？ 如何检验模型及其参数的显著性？ 如何使用你建立的模型进行预测？ 如何分析你的问题符合对模型做的假定？
销 售 额 / 千 元 5 81 0 58 81 1 8 1 1 7 1 3 7 1 5 7 1 6 9 1 4 9 2 0 2
根据以上数据，你能否判断学生人数(x)如何影 响到销售收入(y)？根据一家连锁店附近大学的人数， 你能够预测该家连锁店的季度销售收入吗？
3
描述学生人数和销售收入之间的关系
b1
xi yi ( xi2 (
xi xi