kejian4.5积分表的使用

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《积分表的使用》课件

表格部分
表格部分是按照一定规律排列的积分表，可以通过表格查找对应的积分值。
积分表的使用方法
1. 确定被积函数在区间内的积分公式 2. 找到对应的积分符号和区间 3. 根据公式计算得到积分值
积分表的注意事项
确认被积函数在区间内无间断点，有间断点可通过分段积分来处理。
结束语
积分表是一个方便实用的工具，但需注意条件和限制，正确使用才能得到准确的结果。
《积分表的使用》PPT课件
在这个PPT课件中，我们将介绍积分表的使用。积分表是一种数学工具，用于求一定函数在给定区间内函数的面积。
积分表的结构
积分表由公式部分和表格部分组成。
公式部分
公式部分包括一些定义和计算公式，例如定积分的定义和计算公式。

第五节积分表的使用

a
dx 2 abac r oa tbta x n C bcosx abab ab 2
将 a5 , b 代入得4
541cosxdx3 2arco3tta2 xnC.
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5
【例3】求
x
dx . 4x2 9
1
第五节积分表的使用
一、关于积分表的说明二、例题
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2
一、关于积分表的说明
（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接
或经过简单变形后，查得所需结果. （4）积分表见《高等数学》（五版）上册
现在 a3, b4于是
3 x x 4 2 d x 1 9 ln |3 x 4 | 3 x 4 4 C .
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4
【例2】求
1 dx. 被积函数中含有三角函数
54cosx
在积分表（十一）中查得此类公式有两个
a 5 , b 4a 2 b 2选公式（105）
对积分sin2 x使d用x公式（93）
sin2
xdxx1sin2xC 24
sin4xdxsin3x4coxs432x14sin2xC.
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9
【说明】初等函数在其定义区间上原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.
［例］
ex2 dx,
sinnxdxsin n 1n xco x snn 1sin n 2xdx
利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这个公式叫递推公式.

积分表的使用

将 u 2 x 回代得 2 dx 1 4x 9 3 x 4 x 2 9 3 ln 2 | x | C.
1 例 2 查表求积分 dx. 5 4 cos x
解：在积分表（十一）中查得此类公式有两个
a 5, b 4 a b
2
2
∴ 选公式（105）
才此能例查必积须分变表形之后

x 1 2 tan t , 则 dx 2 sec 2 t dt 2 tan t 3 2 2 sec t dt (4 tan 2 t 3) 2 sec t
2 sin t 3 cos t dt 2 2 4 sin t 3 cos t sin t dt cos t dt 2 3 2 2 2 2 4 sin t 3 cos t 4 sin t 3 cos t
d cos t d sin t 2 3 2 2 4 cos t sin t 3
(P348 公式21) (P348 公式19)
x 1 2 tan t
x2 2x 5
1 2 cos t sin t ln 3 arctan C 2 2 cos t 3
dx 2 ab x ab tan C a b cos x a b a b arctan 2 ab
将 a 5, b 4 代入即得
1 2 x 3 tan C . 5 4 cos xdx 3 arctan 2
例3. 求解:
dx du x 4 x 2 9 u u2 32
被积函数中含有
u2 32 ,
在积分表（六）中查得公式（37） dx 1 x2 a2 a x x 2 a 2 a ln | x | C

第五节积分表的使用

4
4
再用公式93
sin3 x cos x 3 x 1 sin 2x C .
4
42 4
第五节积分表的使用
一般来说，查积分表可以节省计算积分的时间，但是只有掌握了基本积分方法才能灵活地使用积分表．对于正在学习高等数学的学习者来讲，我们不提倡用查表的方法来计算积分．本教材设置积分表的目的是为在校生在学习其他课程时，快速计算碰到的积分，也为职场工作者快速计算工作中碰到的积分．
查得于例公是3式求105 (Pd38x1) .（需先做变换，再查表得结果）
a 解bdxco积s x(分3xx表ax 24中4)bx2查2dxaa不9到bb91 相arlnc关t|a3n的x 公4aa式|，bb3tx需a4n做42x 变形CC .．(a2 b2 ).
于是
dx
dx 2
2 1 5 4 dx
第五节积分表的使用
最后需要指出的是：尽管连续函数一定存在原函数，但有些初等函数的原函数不一定是初等函数．例如
ex2 dx ,
sin x
x
dx
,
dx ln x
,
, 1 x4
它们的原函数都不是初等函数．
2
.5 4
x
第五节积分表的使用
例4 求 ssiinn44xxddxx..（递推公式的应用）
解在积分表（十一）中查得公式95 (P380)
sinn xdx sinn1 x cos x n 1 sinn2 xdx .
n
n
于是
sinn xdx sin3 x cos x 3 sin2 xdx
x 4)22
dx . （直接查表可得结果）
解被积函数中含第五有节a积x 分+表b，的使在用积分表（一）中查得

第四节积分表的使用方法

x
dx
2
9x 4
2

1 t2 9
1 dt dt 3 , 2 2 2 3 2 t t 2 t 4
上式右端积分的被积函数中有 t 2 22 , 在积分表当 a = 2(x 相当于 t)时， (五)类中，查到公式 39，得
dt
2
t
t 2 22
t2 4 C 4t
5 2 x 4 arctan tan C . 3 2 5 3
2.先进行变量代换，再查表
例3
9x2 4 解该积分在积分表中直接查不到，要进行变
2
查表求
x
dx
.
1 1 量代换， x t , 令 3 x = t，则 dx dt , 于是有 3 3
9x2 4 C. 12x
代入原积分中，得
x
dx
2
9x2 4
3
t2
9x2 4 C. 4x t 2 22 dt
3.用递推公式
例4
解
dx . 查表求 4 sin x
被积函数中含三角函数，在积分表(十一)
类中查到公式 97，递推公式为
1 cos x n2 dx dx sin n x n 1 sin n1 x n 1 sin n2 x ,
等，都不能用初等函数表示.
第四章不定积分பைடு நூலகம்
第四节
例1 查表求
积分表的使用方法

dx . 2 x( 3 2 x )
1.在积分表中能直接查到的
解被积函数含 a + bx 因式，在积分表(一)类中，查到公式 9 ，当 a = 3，b = 2 时，得

球赛积分表问题PPT培训课件

球赛积分表问题ppt培训课件
• 球赛积分表的基本概念 • 球赛积分表的制作与展示 • 球赛积分表的问题与解决 • 球赛积分表的优化建议 • 球赛积分表的实际应用案例
01
球赛积分表的基本概念
积分表的定义与作用
定义
球赛积分表是记录球队在比赛中得分情况的表格，用于评估球队的比赛成绩和排名。
作用
需求。
加强积分表的数据分析能力
深入挖掘数据
除了基本的积分排名，还可以通过数据分析发现隐藏的模式和趋势。
提供多维度分析
从不同角度对积分表进行分析，如球队实力、比赛结果、球员表现等。
预测未来趋势
基于历史数据和当前表现，对未来的比赛结果和排名进行预测。
05
球赛积分表的实际应用案例
案例一：世界杯积分表分析
分析各队之间的胜负关系，了解比赛的走势和
竞争情况。
进球数分析
分析各队在比赛中的进球数，了解各队的进攻
和防守能力。
连胜连败分析
分析各队在比赛中的连胜和连败情况，了解各队的比赛状态和心态变
化。
03
球赛积分表的问题与解决
积分表常见问题
01
02
03
积分计算错误
在积分计算过程中，由于计算失误或数据录入错误，导致积分结果不准确。
积分表格式不统一
不同比赛或联赛的积分表格式不统一，给数据统计和比较带来不便。
积分表更新不及时
由于比赛结果公布不及时或数据录入延误，导致积分表更新不及时。
问题原因分析
人员操作失误
在积分计算和数据录入过程中，由于操作人员疏忽或经验不足，导致出现错误。
技术水平不足
积分系统或软件功能不完善，无法满足复杂的数据处理和格式转换需求。

积分制管理实际操作讲解 ppt课件

汇成东方
准备节目
所需人员
01
主持人
02 投影仪或LED显示屏操作师、灯光师、音响师
03
现场机动工作人员
汇成东方
01 锣鼓一面
抽
02 大红花一朵
奖
参与
03 摇奖箱一个
人
员
04 抽奖箱一个
及
辅助
05 快乐积分转盘一个
物
资
04 顺序牌
05 鼓手一名
快乐会议积分奖扣方案
汇成东方
奖品设置：
快乐会议积分奖扣方案
汇成东方
积分制管理落地实操流程
汇成东方
第一步定人员
建立积分执行机构定专人负责（不需要专职）
精品资料
汇成东方
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
积分与员工旅游挂钩（如省内、国内、出国旅游）
积分与员工购买手机挂钩
积分与员工购摩托车、汽车挂钩
积分与员工干股分红挂钩
积分与员工理财保险挂钩
积分与员工购买住房挂钩
出台的各项福利待遇均要与积分挂钩分配
员工出现零积分和负分，成为自动离职的对象
19
汇成东方
第八步定流程
制定积分制管理实际操作流程
第五步有奖扣标准与无奖扣标准的运用
定原定中有奖扣标准的，严格参照标准执行
1
公司规定：员工得到客户书面表扬，奖100分（管理人员权限30分）。
执行结果：管理人员不需请示，直接按标准执行，

高等数学课件D45积分表

要采用其他方法进行积分计算。同时，积分表中的公式也需要结合实际
情况进行灵活运用。
02 不定积分计算方法与技巧
基本积分公式法
熟练掌握基本初等函数的积分公式，如幂函数、指数函数、三角函数等。
注意积分常数的存在，确保计算结果的完整性。
能够根据被积函数的特征，灵活运用基本积分公式进行计算。
曲面积分
对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分是两种不同类型的曲面积分，它们分别用于计算曲面上的物理量和计算流体通过曲面的流量等。
多元函数积分在实际问题中应用
面积、体积计算
二重积分和三重积分可以用于计算平面区域和空间区域的面积和体积。
工程问题
在工程问题中，多元函数积分可以用于计算各种工程量，如长度、面积、
面积和体积的计算
积分表可用于计算不规则图形的面积和体积，如水库容量、建筑物占地面积等。
力学问题的求解
在力学中，积分表可用于求解物体的运动轨迹、速度和加速度等问题。
积分表在生物学中应用
生物种群数量的变化
利用积分表可以研究生物种群数量随时间的变化规律，为生态保护和资源管理提供科学依据。
药物代谢动力学的研究
二重积分计算方法
二重积分通常化为累次积分进行计算，即先把其中一个变量（如x）看作常数，对另一个变量（如y）积分，然后再对剩下的变量（如x）积分。此外，还可以利用极坐标变换等方法简化计算。
三重积分概念及计算方法
要点一
三重积分定义
设函数$w=f(x,y,z)$在空间区域$Omega$上有定义，将 $Omega$任意分割为n个小区域$Delta v_i(i=1,2,...,n)$，并以$Delta v_i$的体积表示其大小，在每个$Delta v_i$上任取一点$(x_i,y_i,z_i)$，作乘积$f(x_i,y_i,z_i)Delta v_i$，并作和 $sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)Delta v_i$，如果当各小区域的直径中的最大值$lambda rightarrow 0$时，这个和式的极限总存在，则称此极限为函数$f(x,y,z)$在区域$Omega$上的三重积分，记作$iiint_{Omega}f(x,y,z)dv$。

表格积分法的原理及应用

表格积分法的原理及应用1. 什么是表格积分法表格积分法是一种数学求解方法，用于计算在给定函数上的定积分。

它通过将函数离散化为一些小矩形，然后计算并累加这些小矩形的面积来估计定积分的值。

2. 表格积分法的原理表格积分法的原理基于黎曼积分的思想，将函数分为若干个小矩形，并计算这些小矩形的面积的和来近似计算定积分的值。

具体步骤如下： 1. 将积分区间[a, b]等分成n个小的子区间，每个子区间的长度为Δx = (b-a)/n。

2. 在每个子区间上选择一个点xi，通常选择子区间的中点或者端点。

3. 计算函数在每个子区间上的值：yi = f(xi)。

4. 计算每个子区间上的小矩形的面积：Ai = Δx * yi。

5. 将所有的小矩形的面积累加起来：S = A1 + A2 + … + An。

3. 表格积分法的应用表格积分法在数学和工程领域有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：3.1 物理学中的应用表格积分法可以用于计算物理学中的某些物理量，比如质量、体积和电荷的分布等。

通过离散化物理量分布，并使用表格积分法进行数值计算，可以得到较准确的物理量的估计值。

3.2 统计学中的应用在统计学中，表格积分法可以用于计算概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）的面积。

这在统计推断和假设检验中非常有用，可以帮助分析数据的概率分布特征。

3.3 金融学中的应用表格积分法在金融学中也有广泛的应用，比如计算资产收益率、计算期权定价和风险价值等。

通过将金融模型离散化，并使用表格积分法进行数值计算，可以得到金融衍生品的定价和风险度量。

3.4 工程学中的应用在工程学中，表格积分法可以用于计算不同形状物体的体积、表面积和质心等。

通过将物体分成若干小区域，并使用表格积分法进行数值计算，可以得到物体的几何特征的估计值。

3.5 计算机科学中的应用在计算机科学中，表格积分法可以用于数值积分和数值优化等问题。

比如，在图像处理中，可以使用表格积分法进行图像的亮度均衡和滤波等操作。

表格积分法的原理与应用

表格积分法的原理与应用1. 简介表格积分法是一种数值积分方法，用于计算函数在某一区间上的定积分值。

该方法通过将区间划分为若干小的子区间，并在每个子区间上使用简单的数值积分方法，然后将所有子区间上的积分结果相加，从而得到整个区间上的定积分值。

由于每个子区间上的积分方法较为简单，在计算上更加高效，适用于处理复杂函数和大范围的积分计算。

2. 原理表格积分法基于插值方法，先将被积函数转化为一个合适的插值函数，然后在每个子区间上通过数值积分方法计算插值函数的积分值，最后将所有子区间的积分结果加和得到整个区间上的定积分值。

具体步骤如下： 1. 首先，将被积函数在积分区间上进行等距划分，每个子区间的宽度为 h。

2. 在各个子区间上选取一个插值节点，常用的节点选择方法有等距节点和Chebyshev节点。

3. 利用插值节点，构建插值多项式来近似表示被积函数。

常用的插值方法包括拉格朗日插值和Newton插值。

4. 对于每个子区间，使用数值积分方法（如梯形法则或 Simpson 法则）对插值多项式进行积分，得到该子区间上的积分结果。

5. 将所有子区间的积分结果相加，即可得到整个区间上的定积分值。

3. 应用表格积分法广泛应用于科学计算、工程领域和数值模拟中，主要用于计算复杂函数或大范围的积分问题。

以下是一些常见的应用场景：3.1. 物理学中的应用表格积分法在物理学研究中经常用于求解各种物理量的积分。

例如，当计算自然界中的力学、电磁学或热力学问题时，常常需要对连续分布的物理量进行积分计算。

表格积分法可以用来近似计算这些积分，从而得到物理问题的定量解析解。

3.2. 金融学中的应用在金融学中，常常需要计算各种金融工具的定价公式中的积分部分。

由于金融工具的定价问题往往包含复杂的数学模型和积分方程，传统的解析解并不容易得到。

表格积分法可以通过数值计算解决这类积分问题，为金融学研究提供数值解。

3.3. 工程学中的应用在工程学中，常常需要进行大范围的积分计算。

第五节积分表的使用 - CC 40 Support

x2 2x 5 1
3 arctan
3(
x 1 x2 2x

5)

C
作业
P221 3 ; 8 ; 19 ; 24 ; 25
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C

2 3
arctan
3 tan
x 2

C
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例2. 求
解法1 令 u 2x, 则
原式
1 2
du

du
u 2
u2 32
u u2 32
(P364 公式 37)
1 ln u2 32 3 C 1 ln 4x2 9 3 C
3
u
3
2x
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例2. 求
解法2 令 u 4x2 9 , 则 u2 4x2 9, u du 4x d x
原式
4 x dx 4 x2 4x2 9
du u 2 32
( P363 公式 21 )

1 ln 6
u u
3 3
C

1 ln 6
等数学软件的符号演算功能求得 .
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例1.
求

5

d 4
x cos
x
.
解: 这里 a 5,b 4, 应使用P368 公式105 .

5

d 4
x cos
x

2 5 （ 4）
5 5
（（
44））
arctan
5 5
（（

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dx x 4x + 9
2
.
表中不能直接查出, 需先进行变量代换变量代换. 表中不能直接查出需先进行变量代换令2x = u
⇒ 4 x 2 + 9 = u2 + 32 1 du dx du 2 ∫ x 4 x 2 + 9 = ∫ u 2 2 = ∫ u u2 + 32 u +3 2 被积函数中含有 u 2 + 3 2 ,
2
说明初等函数在其定义域内原函数一定存在，初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数. 但原函数不一定都是初等函数例 ∫e
− x2
dx ,
sin x ∫ x dx ,
1 ∫ ln x dx .
练ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习题
利用积分表计算下列不定积分 : dx 1. ∫ . 2. ∫ 2 x 2 + 9dx . 4x2 − 9 x 3. ∫ x arcsin dx . 4. ∫ e − 2 x sin 3 xdx . 2 1 1 5. ∫ 2 6. ∫ dx . dx . 2 x (1 − x ) x x −1 7.
第五节
积分表的使用
一、关于积分表的说明二、例题
一、关于积分表的说明
积分表. （1）常用积分公式汇集成的表称为积分表）常用积分公式汇集成的表称为积分表（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接）求积分时，或经过简单变形后，查得所需结果或经过简单变形后，查得所需结果. （4）积分表见《高等数学》（六版）上册）积分表见《高等数学》六版）（同济大学数学教研室主编）第362页．同济大学数学教研室主编）页
在积分表（在积分表（六）中查得公式（37）中查得公式（）
dx 1 | x| ∫ x x 2 + a 2 = a ln a + x 2 + a 2 + C du 1 |u| ∴∫ = ln +C 2 2 2 2 3 3+ u + 3 u u +3
将 u = 2 x 代入得
dx 1 2| x| ∫ x 4 x 2 + 9 = 3 ln 3 + 4 x 2 + 9 + C .
二、例题
x dx . 被积函数中含有 ax + b 例1 求 ∫ 2 ( 3 x + 4)
在积分表（在积分表（一）中查得公式（7）中查得公式（）
x 1 b ∫ (ax + b )2 dx = a 2 ln | ax + b | + ax + b + C
现在 a = 3, b = 4 于是
sin 3 x cos x 3 sin 4 xdx = − + ∫ sin 2 xdx ∫ 4 4 sin 2 xdx 使用公式（93）使用公式（）对积分∫
x 1 ∫ sin xdx = 2 − 4 sin 2 x + C 3 sin x cos x 3 x 1 4 ∴ ∫ sin xdx = − + − sin 2 x + C . 4 4 2 4
例4 求 ∫ sin xdx . 在积分表（十一）中查得公式（）在积分表（十一）中查得公式（95）
4
sin n−1 x cos x n − 1 sin n xdx = − sin n− 2 xdx + ∫ ∫ n n
利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使利用此公式可使正弦的幂次减少两次用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 用可使正弦的幂次继续减少直到求出结果这个公式叫递推公式递推公式. 个公式叫递推公式现在 n = 4 于是
x 1 4 ∫ (3 x + 4)2 dx = 9 ln | 3 x + 4 | + 3 x + 4 + C .
1 dx . 被积函数中含有三角函数例2 求 ∫ 5 − 4 cos x
在积分表（十一）在积分表（十一）中查得此类公式有两个选公式（） Q a = 5, b = −4 a 2 > b 2 选公式（105）
dx 2 a+b x a−b ∫ a + b cos x = a + b a − b arcot a + b tan 2 + C
将 a = 5, b = −4 代入得
1 x 2 ∫ 5 − 4 cos xdx = 3 ar cot 3 tan 2 + C .
例3 求 ∫
∫x
2
x − 2dx .
2
8.
∫
1− x dx . 1+ x
练习题答案
1. 2. 3. 4. 1 ln 2 x + 4 x 2 − 9 + C . 2 1 9 2 2 2x + 9 + ln( 2 x + 2 x 2 + 9 + C . 2 4 x2 x x ( − 1) arcsin + 4 − x2 + C. 2 2 4 e −2 x 1 1− x ( 2 sin 3 x + 3 cos 3 x ). 5. − − ln − + C. 13 x x x( x 2 − 1) x 2 − 2 1 − ln( x + x 2 − 2 ) + C . 4 2
1 6. arccos + C . 7. x 8.
x +1 (1 − x )(1 + x ) + 2 arcsin + C. 2

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