广东省肇庆市2014届高三上学期期末统一检测数学理试题 Word版含答案

肇庆市中小学教学质量评估2013—2014学年第一学期统一检测题高三数学（理科）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：1、锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{|30}M x x x =-=，集合{|21,}N x x n n Z ==-∈，则M N = ( ) A. {3} B.{0} C.{0,3} D. {3}- 2．设复数31iz i-=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z = A ．12i - B. i 21+ C. 2i - D. 2i + 3．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）A.()ln f x x =B.()2sin f x x x =+C.1()f x x x=+D.()x xe f ex -=+4．已知实数x y ，满足2201x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则23z x y =-的最大值是( )．A.6-B.1-C.4D.6 Ks5u5．执行如图1所示的程序框图,输出的z 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．某几何体的三视图如图2所示(单位：cm), 则其体积和表面积分别是（ ） A. 6π3cm 和12(1)π+2cm B. 6π3cm 和12π2cm C. 12π3cm 和12(1)π+2cm D. 12π3cm 和12π2cm Ks5u7．平面内有4个红点,6个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任三点不共线,过这十个点中的任两点所确定的直线中,至少过一红点的直线的条数是( ) A.28 B.29 C.30 D.278．已知集合{1,3,7,,(21)}()n n A n N *=-∈ ，若从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n = 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记123n n S T T T T =++++ ．例如当1n =时，1{1}A =，111,1T S ==；当2n =时，212{1,3},13,13A T T ==+=⨯，213137S =++⨯=.则n S =（ ）． A.21n- B. 2121n -- C.(1)121n n -+- D.(1)221n n +-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．函数()f x =的定义域为10．若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则3a =11．在1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是____________.（用数字作答）12．曲线32361y x x x =++-的切线中,斜率最小的切线方程为___________. Ks5u 13．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆2240x y x +-=(24)x ≤≤ 上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ∙=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．（ ） ▲14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线(0)4πθρ=≥与4cos ρθ=的交点的极坐标为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，在ABC ∆中，90oACB ∠=，CE AB ⊥于点E ,以AE为直径的圆与AC 交于点D ，若24BE AE ==，3CD =，则______AC =三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()sin 6f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,(0,R)A x >∈的最大值为2. (1) 求()f π的值； (2) 若3sin 5θ=-,,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求26f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17.（本小题满分12分）一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：（1） 根据表中数据，求英语分y 对语文分x 的线性回归方程；（2） 要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以ξ表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.E ξ（附:线性回归方程y bx a =+ 中， 121()(),,()niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ 其中,xy 为样本平均值，ˆˆ,ba 的值的结果保留二位小数.）18. （本题满分14分）Ks5u如图4，在四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，12PA AB BC AD ===，四边形ABCD 是直角梯形中，90ABC BAD ∠=∠=︒．（1）求证: CD ⊥平面PAC ；（2）求二面角A PD C --的余弦值．19.（本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足11a =,11n n n a a n a ++-=,n N *∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .(3)证明：22221232n a a a a ++++< .20. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构C 的右焦点的动直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点.(1)求椭圆C 的方程; (2)若线段AB 中点的横坐标为12,求直线l 的方程; (3) 若线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦AB 的中点为P ,试求DPAB的取值范围.21．（本小题满分14分）已知函数2()ln 21)f x x ax x a -+=+（(其中常数0a ≠). (1) 当1a =时，求()f x 的单调区间；(2) 若()f x 在 1x =处取得极值，且在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题高三数学（理科）参考答案9．(,3][1,)-∞-+∞ 10. 8 11. 45 12. 320x y --= 13. [5,5]-14.(0,0),,4π⎛ ⎝ 15.831【解析】{0,3}M =，{,1,1,3,}N =- ,M N = {3}2【解析】 223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i iz i i i i i --++-+=====+--+-, 2z i =-.3【解析】()()2sin 2cos 0f x x x x ''=+=+>,()2sin()()f x x x f x -=-+-=-4【解析】画图可知，四个角点分别是(0,2),(1,1),(1,1),(0,2)A B C D --，可知max 6A z z == 5【解析】1:1,1;2:2;2;3:8,3S s a S s a S s a ======，4:64,4S s a ==62log 26z ==，结束。

6【解析】几何体是个“半”圆锥，其体积为21134623Vππ=⨯⨯⨯⨯=表面积为223111336412(1)222S S S S πππ=++=⨯⨯++⨯⨯=+17【解析】(1)红点连蓝点有11614-C C =23条;(2)红点连红点有24C =6条,所以共有29条. 8【解析】当3n =时，3{1,3,7}A =，1213711,13173731T T =++==⨯+⨯+⨯=，313721T =⨯⨯=，所以311312163S =++=。

由于131221,21S S =-=-，636421S ==- ，所以猜想(1)12322121n n nn S +++++=-=- .9【解析】由2230x x +-≥得3x ≤- 或1x ≥，故填(,3][1,)-∞-+∞10【解析】由3111324112028240a q a q a a q a q a q ⎧+==⎧⎪⇒⇒=⎨⎨=+=⎪⎩⎩ 11【解析】 1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为T r+1=rr rr r xC xx C 54010)10(410)1(--=，令40-5r=0,解得r=8，代入得常数项为210810C C ==45. Ks5u12【解析】223663(1)33y x x x '=++=++≥.当1x =-时,min3y '= ,当1x =-时,5y =-. ∴切线方程为53(1)y x +=+,即320x y --=.13【解析】如图，半圆2240x y x +-=(24)x ≤≤即22(2)4x y -+=(24)x ≤≤，设点(,)C a b ，由于 OA 与OC 的方向相同，故OC =λOA，且 λ＞0， 当点A 在点M （2，2）时，OA OC ∙=2a +2b=20，且a=b ，解得b=5．当点A 在点N （2，﹣2）时，OA OC ∙=2a +（﹣2b ）=20，且a =﹣b ，解得b=﹣5．综上可得，则点C 的纵坐标的取值范围是[5,5]-.14【解析】将4πθ=代入4cos ρθ=得ρ=(0,0)在两曲线上，所以交点的极坐标为(0,0),,4π⎛⎝ 15【解析】在ABC ∆中，有2CE BE AE =⋅，由切割线定理有2CE CD AC =⋅，所以BE AE CD AC ⋅=⋅，可得83AC =三、解答题:16【解析】∵函数()sin 6f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最大值为2,∴2A = ()2s i n 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (2分) (1) 1()2sin 2sin 21662f ππππ⎛⎫=+=-=-⨯=- ⎪⎝⎭ (4分)（2）∵3sin 5θ=-,,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴4cos 5θ=== (6分)3424s i n 22s i n c o s 25525θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭ (7分)2247cos 22cos 121525θθ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭ (8分)∴26f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2sin 22sin 2cos 2cos 2sin 333πππθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ (10分)241733242225225225⎛⎫=⨯-⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭(12分) 17【解析】(1) 879091929591,5x ++++== （1分）868989929490,5y ++++== （2分）2522221()(4)(1)01434,ii x x =-=-+-+++=∑51()()(4)(4)(1)(1)0(1)124435,iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑35 1.03,34b=≈ ˆ90 1.0391 3.73a y b x =-≈-⨯= 故回归直线方程为1.03 3.73y x =- (6分) (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.22241(0);6C P C ξ=== （7分） 1122242(1);3C C P C ξ===（8分） 22241(2).6C P C ξ=== （9分） Ks5u故X 的分布列为012 1.636E ξ∴=⨯+⨯+⨯= （12分）18（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ， ∴CD PA ⊥．（1分） 又∵,90oABBC ABC =∠=，∴AC =（2分）过C 作//CE AB ，交AD 于E ，则,90oCE AB BC DE CED ===∠=（3分） ∴CD =，（4分）在ACD ∆中，22224AC CD AB AD +==，∴CD AC ⊥．（5分） 又∵PA AC A = ，∴CD ⊥平面PAC ．（6分）（2）（方法一）∵,CE AD CE PA ⊥⊥，∴CE ⊥平面PAD ．（7分） 过E 作EF PD ⊥于F ，连结CF ，可知CF PD ⊥． （8分） ∴GHC ∠是二面角A PD C --的平面角． （9分） 设2AD =，则1PA AB CE DE ====，DP =PAD ∆ ∽DEF ∆，EF DEPA DP ∴=，EF ∴=． （11分）∴6CF ===， （12分）∴cos 6EF CFE CF ∠==．即二面角A PD C --的余弦值为6． （14分） （方法二）如图建立空间直角坐标系，设2AD =，则1AB PA ==∴(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,0)A B P D C ， （7分）(1,1,1),(1,1,0)CP CD =--=-， （8分）设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则00n CP n CD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即00x y z x y --+=⎧⎨-+=⎩化简得x y z x y =⎧⎨=+⎩ 令1x =，得1,2,y z ==，所以(1,1,2)=n 是平面PCD 的一个法向量. （10分） 又平面ACD 的一个法向量为(1,0,0)=m （11分） 设向量n 和m 所成角为θ，则cos 6θ∙===n m n m （13分） ∴即二面角A PD C --（14分）19【解析】（1）由11n n n a a n a ++-=得1(1)n n n a na ++=,即11+=+n na a n n ，(2分) ∴312412321123212341n n n n a a a a a n n a a a a a n n -----⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯- (4分) 即11n a a n =，∵11a =, 所以na n 1= (5分)（2）∵22nn n nb n a ==⋅ （6分） ∴231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ①23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅② （7分）①－②得23122222nn n T n +-=++++-⋅ （8分）∴1(1)22n n T n +=-⋅+ （10分）(3)证明：∵k k k k k111)1(112--=-<,k=2,3,4…,n. （11分） ∴2222123n a a a a ++++=22221111123n++++ 111111223(1)n n<++++∙∙-∙ . （12分） 1111111()()()112231n n =+-+-++--（13分） 122n=-< （14分）20【解析】(1)依题意，有12c e a ==，122b c ⨯⨯= (1分)即2a c =，b =，又222a b c += 解得224,3,1a b c === (3分)则椭圆方程为22143x y += (4分) (2)由（1）知1c =，所以设过椭圆C 的右焦点的动直线l 的方程为(1)y k x =- 将其代入22143x y +=中得，2222(34)84120k x k x k +-+-=， (5分) 2144(1)k ∆=+ ，设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则21,2282(34)k x k ±=+ ，∴2122834k x x k +=+， 212241234k x x k-⋅=+ (6分) 因为AB 中点的横坐标为12，所以2241342k k =+，解得2k =± (7分) 所以，直线l的方程1)2y x =±+ Ks5u (8分) （3）由（2）知2122834k x x k +=+,212241234k x x k-=+ 所以AB 的中点为22243(,)3434k k P k k -++所以AB=2212(1)43k k +=+ (10分) 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++, 由0y =,得2243k x k =+, 则22(,0)43k D k +,所以DP = 分)所以224312(1)43DP k k ABk +==++= 又因为211k +>,所以21011k <<+.所以104<<.所以DP AB的取值范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ (14分) 21【解析】解：（1）当1a =时，因为2()ln 3,f x x x x =+-所以0x > （1分）1()23f x x x '=+- 2231x x x-+= 令()0f x '=，解得121,12x x == （2分） 当102x <<时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当112x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增；所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,1+∞（，），单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（5分） (2)因为22()1(21)(1)2()1ax x a ax x f x x x-+--=+'= 令()0f x '=,1211,2x x a== （6分） 因为()f x 在1x =处取得极值，所以21112x x a =≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减, 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =- （8分） 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a =或e x =处取得而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =- （10分） 当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得而(1)ln1(21)0f a a =+-+<所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a <=<矛盾 当21e 2x a =≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减，所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾.（13分） 综上所述，12a e =-或2a =-. （14分）。