高等数学第三次习题课解答
高数习题3的答案
高数习题3的答案高数习题3的答案高等数学是大多数理工科专业的必修课，也是许多学生头疼的一门课程。
其中，习题是学习高数的重要环节，通过解答习题可以巩固知识、提高解题能力。
本文将为大家提供高数习题3的答案，帮助大家更好地理解和掌握相关知识。
1. 求解方程组：{2x + 3y = 7{4x - 5y = 9解：通过消元法，我们可以得到：2(4x - 5y) + 3(2x + 3y) = 7(2) + 9(3)8x - 10y + 6x + 9y = 14 + 2714x - y = 41因此，方程组的解为：x = 3，y = -2。
2. 求函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1 的极值点和最值。
解：首先，我们求函数的导数 f'(x) = 4x - 3，并令其等于零，得到：4x - 3 = 0x = 3/4将 x = 3/4 代入原函数，可以得到对应的 y 值：f(3/4) = 2(3/4)^2 - 3(3/4) + 1= 9/8 - 9/4 + 1= 1/8因此，函数的极值点为 x = 3/4，对应的最小值为 y = 1/8。
3. 求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 的零点。
解：首先，我们可以尝试因式分解：f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)因此，方程的零点为 x = 1，x = 2，x = 3。
4. 求函数 f(x) = e^x + e^(-x) 的单调区间。
解：首先，我们求函数的导数 f'(x) = e^x - e^(-x)。
令 f'(x) = 0，可以得到：e^x - e^(-x) = 0e^2x - 1 = 0e^2x = 12x = ln(1)x = 0然后，我们可以绘制函数的导数的符号表：x < 0 时，f'(x) < 0x > 0 时，f'(x) > 0因此，函数在 x < 0 时递减，在 x > 0 时递增。
高数习题解答(第3章)
第三章 微分中值定理与导数的应用习题3.11. 验证罗尔定理对函数f (x ) = sin x 在区间[0, π]上的正确性.验证：由于函数f (x ) = sin x 在区间[0, π]上连续, 在(0, π)可微且f (0) = sin 0 =f (π) = sin π = 0. 所以在[0, π]上满足罗尔定理条件。
令f '(ξ) = cos ξ = 0 ,从中可求出ξ=2π∈(0, π), 即存在ξ∈(0, π)使得上式成立. 故对f (x ) = sin x 在[0, π]来说, 罗尔定理是正确的.2. 证明函数恒等式:arctan x + arc cot x =2π， +∞<<∞-x . 证明: 设f (x ) = arctan x +arccot x 则 f '(x ) =211x +- 211x += 0, +∞<<∞-x . 所以f (x )是常数, 设 f (x ) = a (a 为常数). 取x =2π,代入f (x ) = a 中可得a =2π. 故 arctan x + arccot x =2π. 3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式: (2)x x +1< ln (1+x ) < x , x >0. 证明: 令f (t ) = ln(1+t ), 任意取定x >0. 则f (t )在[0, x ]连续, 在(0, x )可微, 根据拉格朗日中值定理知, 存在ξ∈(0, x ) 使得ln(1+x )-ln 1= f ' (ξ)(x -0) =ξ+11·x , 即ln(1+x ) =ξ+1x . 由于x x +1<ξ+1x < x , 所以xx +1< ln(1+x ) < x (x >0). 4．对f (x )= sin x , g (x ) = cos x , 在区间[0，2π]上验证柯西中值定理的正确性. 验证: f (x ), g(x )在区间[0,2π]连续, 在(0,2π)可微, g (x ) ' = - sin x 在区间(0，2π)不等于零, 因此柯西定理条件满足. 令)0()2()0()2(g g f f -π-π=)(')('ξξg f , 即 -1 = -cot ξ, 求得ξ =4π∈(0,2π). 可见, 确实存在ξ ∈(0,2π)使得上式成立, 即对这对f (x ), g(x ), 在区间[0,2π]上柯西中值定理是正确的.习题3.21. 求下列待定型极限:（1）()x x x +→1ln lim 0; （3）x x x -→111lim ;（5）x x x x x sin tan lim 0--→;（7）x x x 3tan tan lim 2π→; （9）)]1([lim 1-∞→x x e x ;（11）x x x sin 0lim +→;（13）xx x 1)(ln lim +∞→. 解: (1) 0lim →x x x )1ln(+= 0lim →x 111x += 1. (3) 1lim →x x x -11= e x x x -→1ln lim 1= e 11lim 1-→x x = e -1.(5) 0lim →x x x x x sin tan --=0lim →x x cos 11sec 2--=0lim →x xx x sin sec tan 22⋅=0lim →x x 3cos 2= 2. (7) 2lim π→x x x 3tan tan =2lim π→x 31x x 3sec sec 22=2lim π→x 31)sin (cos 2)3sin (3cos 32x x x x --⋅=2lim π→x -x x cos 3cos =2lim π→x -)(sin )3(sin 3x x =3. (9)∞→x lim [x (e x 1-1)]= ∞→x lim xe x 111-=∞→x lim xe x 1-=1. (11) +→0lim x x x sin = e x x x ln sin lim 0+→. 由于+→0lim x sin x ln x =+→0lim x x x x cos csc 1⋅-=+→0lim x -x x x cos sin 2=+→0lim x (- tan x )·+→0lim x x x sin = 0, 所以+→0lim x x x sin = 1.2. 按(x - 4)的幂展开多项式 f (x ) = x 4 –5x 3 + x 2 -3x + 4.解: 取x 0 = 4 , 直接计算得f (4) = -56, f '(4) = 21, f ''(4) =74, f '''(4) = 66,f (4)(4) = 24, f (5)(4) = 0.由泰勒公式得f (x ) = f (4) +f '(4)(x - 4)+!2)4("f (x - 4)2+!3)4('"f (x -4)3+!4)4()4(f (x -4)4 = -56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4.4. 写出函数f (x ) =x-11的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.解: f (0) =1; f '(x )=2)1(1x -, f '(0) =1; f ''(x )= 2)1(1x -, f ''(0) = 2! f (n)(x ) = 1)1(!+-n x n , f (n)(0) = n !. 由麦克劳林公式f (x ) = f (0)+f '(0)x +!2)0("f x 2+…+!)0(n f n x n +)!1()0(1++n f n x n +1 =1+ x + x 2 +…+ x n +21)1(++θ-n n x x , 0<θ<1. 习题3.31.确定下列函数的单调区间: (3)x x e e y -+=2; (4)x xy ln 1+=. 解:(3)由 y = 2e x + e -x 得到y '= 2e x - e -x .那么, 当x ∈[-21ln2, +∞) 时y '>0; 当x ∈(-∞,-21ln2] 时, y '<0. 因此，函数的有两个单调区间: (- ∞, -21ln2]是单调减少的区间, [ -21ln2,+∞)是单调增加的区间。
同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
高等数学第三章习题课答案
第三章 微分中值定理习题课一、判断题（每题3分）1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（ √ ）2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（ × ）3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( × )4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . ( × )5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 .（ √ ）6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件. ( × )7.函数()arctan f x x x =的图形没有拐点. （ √ ）8.因为函数y =0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y =.（ × ）二、选择题（每题3分）1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．xe B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()211f x x=+，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）. （A ）[]2,0-；（B ）[]0,1；（C ）；[]1,2-（D ）[]2,2-3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ）(A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.4．已知函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）.（A ）13 （B （C ）12 （D 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ).A. 单调减函数B.单调增函数C. 有单调增区间也有单调减区间D. 没有单调性7. 函数2129223-+-=x x x y 的单调减少区间是 （ C ）. （A ）),(+∞-∞ （B ）)1,(-∞（C ）)2,1(（D ）),2(+∞8．设(),a b 内()0f x ''>，则曲线()y f x =在(),a b 内的曲线弧位于其上任一条切线的（ A ）. （A ）上方;（B ）下方; （C ）左方; （D ）右方.9.曲线32y ax bx =+的拐点为(1,3)，则 （ A ）. （A ）3,30a b a b +=+= （B ）0,30a b a b +=+= （C ）2,320a b a b +=+=（D ）0,340a b a b +<+=10. 设函数()y f x =在开区间(,)a b 内有()'0f x <且()"0f x <，则()y f x =在(,)a b 内（ C ）A.单调增加，图像是凹的B.单调减少，图像是凹的C.单调减少，图像是凸的D. 单调增加，图像是凸的11．函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a 和c 应满足（ C ）.（A ）0a <且0c =； （B ）0a >且c 是任意实数； （C ）0a <且0c ≠；（D ）0a <且c 是任意实数.12． 函数23++=x x y 在其定义域内（ B ） （A ）单调减少 (B) 单调增加 (C) 图形是凹的(D) 图形是凸的13．若()()00,x f x 为连续曲线()y f x =上凹弧与凸弧的分界点，则（ A ）. （A ）()()00,x f x 必为曲线的拐点; （B ）()()00,x f x 必为曲线的驻点; （C ）0x 点必为曲线的极值点;（D ）0x x =必为曲线的拐点.14.函数()2ln f x x x =-的驻点是（ B ）.（A ）1x = （B ）12x =（C ）(1,2) (D) 1(,1ln 2)2+15．函数2ln(1)y x x =-+的极值（ D ）. A ．是1ln 2-- B ．是0D．不存在 C．是1ln216.设()[0,1]()f x x f x ''=在上有＜0，则下述正确的是（ A ）( A ) (1)f '＜)0()1(f f -＜(0)f '; ( B ) (0)f '＜)0()1(f f -＜(1)f '; ( C ) (1)f '＜(0)f '＜)0()1(f f -; ( D ) (0)f '＜(1)f '＜)0()1(f f -17.设()f x 具有二阶连续的导数，且20()lim3,ln(1)x f x x →=-+则(0)f 是()f x 的（ A ）（A ）极大值； （B ）极小值; （C ）驻点; （D ）拐点.18.设函数()y f x =在0x x =处有()0f x '=0,在1x x =处导数不存在，则( C ). A. 0x x =,1x x =一定都是极值点 B.只有0x x =可以是极值点C. 0x x =, 1x x =都可能不是极值点D. 0x x =,1x x =至少有一个是极值点三、解答题（求极限每题4分其余每题 8分） 1．求极限220000011sin sin 1cos 2(1)lim lim lim lim lim 0sin sin 22→→→→→---⎛⎫-===== ⎪⎝⎭x x x x x x x x x x x x x x x x x x （2）11lim 1ln x xx x →⎛⎫⎪⎝⎭-- =()()11ln 1ln 11limlim 11ln ln x x x x x x x x x x x→→--+-=--+11ln ln 11limlim ln 1ln 22x x x x x x x x x →→+===+-+0(3)11lim 1→⎛⎫ ⎪⎝⎭--x x x e 01lim (1)→--=-xx x e x x e 0011lim lim 12xxx x x x x x x e e e xe e e xe →→-===-+++ （4）200011ln(1)ln(1)lim()lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-==++0011111limlim lim 22(1)2(1)2x x x x x x x x x →→→-+====++20sin (5)limtan →-x x xx x 2200sin 1cos lim limtan 3x x x x x x x x →→--==0sin 1lim 66x x x →==222201(6)lim(1)→---x x x e xx e 22401lim→--=x x e xx 2232002211lim lim 42x x x x xe x e x x →→--==12=2223220000tan tan sec 1tan 1(7)lim lim lim lim ln(1)333→→→→---====+x x x x x x x x x x x x x x x1ln 1(8)lim cot →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x arc x 1lim cot →+∞=x x arc x 222211lim lim 111x x x x x x x →+∞→+∞-+===+-+sin sin cos (9)limlim cos 1→→-==-x a x a x a xa x a22200021sec 77ln tan 7tan 2sec 77tan 7(10)lim lim lim 11ln tan 2tan 7sec 22sec 22tan 2+++→→→⋅⋅⋅===⋅⋅⋅x x x x x x x x x x x x x(11)lim arctan 2→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭x x x π22221arctan 12lim limlim 1111→+∞→+∞→+∞--+====+-x x x x x x x xxπ2lim ln(arctan )2(12)lim arctan →+∞→+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭x xx x x x e ππ2lim ln(arctan )→+∞x x x π222211ln arctan lnln arctan arctan 1limlimlim 111→+∞→+∞→+∞+⋅+===-x x x x x x x xxxππ2222lim 1x x x ππ→+∞=-=-+ 22lim arctan -→+∞⎛⎫∴= ⎪⎝⎭xx x e ππ .()tan 21(13)lim 2→-x x x π解：()()()11sin ln 22limlim tan ln 2cos tan 2221lim 2x x x x x x xx x x eeππππ→→--→-==1122sinlim22x xx e eπππ→---⋅==tan 0(14)1lim +→⎛⎫⎪⎝⎭xx x 0011lim tan lnlim ln++→→⋅⋅==x x x x xxee2001110ln limlim1x x x xx xe ee++→→---====2． 验证罗尔中值定理对函数32452y x x x =-+-在区间[]0,1上的正确性.解：()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，()()012f f ==-满足罗尔定理条件.（3分）令()2121010f x x x '=-+=，得()0,1x =，满足罗尔定理结论.3． 试证明对函数2y px qx r =++应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明：在区间[],a b 上，()()()f b f a f b aξ-'=- 代入：()()222pb qb r pa qa r p q b aξ++-++=+-解得：2a bξ+=. 4． 证明方程531xx -=在()1,2之间有且仅有一个实根．证明：令()531f x x x =--，()11310f =--<， ()522610f =-->所以 ()0f x =在()1,2上至少一个根，又()4'53f x x =-，当()1,2x ∈时()'0f x >，所以单增，因此在()1,2上至多有一个根.()0f x =在()1,2上有且仅有一个根.5． 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一个(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ'+=. 提示:令()()x F x e f x =证明：令()()xF x e f x =，显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()()()x F x e f x f x ''=+ （3分）由Larange 中值定理，则至少(,)a b ξ∈，使得()()()F b F a F b aξ-'=-又()()0f a f b == ∴()()0f f ξξ'+=6． 设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=.提示:令 ()()F x xf x =.证明：构造辅助函数()()F x xf x =， ()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a内可导∴()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，()()()F x f x xf x ''=+且(0)()0F F a ==由Rolle 定理，至少(0,)a ξ∃∈，有()0F ξ'= 即()()0f f ξξξ'+=7． 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根证：令()()()()323,33311f x x x b f x x x x '=-+=-=+-()1,1x ∈-时，0,,f f'<故()f x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.8． 证明：当1x >时，xe x e >⋅.证明: 令()xf x e x e =-⋅，显然()f x 在[1,]x 上满足Lagrange 中值定理的条ξ∈，使得件，由中值定理，至少存在一点(1,)x()(1)(1)()(1)()f x f x f x e e ξξ'-=-=--即()(1)0f x f >=又即x e x e >⋅9． 证明：当0x >时，112x +>证：()()111022f x x f x '=+==>()()00f x f >=,即有112x +>10． 求证：1,(0,)>+∈+∞xex x证明：令()1,,[0,)xf x e x x =--∈+∞当(0,)x ∈+∞时，()10x f x e '=->故在区间[0,)+∞上，()f x 单调递增从而当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=即1x e x >+或者：证明：()221112!2xf e e x x x x x ξξ''=++=++>+……8分11． 当1>x 时，证明：13>-x. 答案参看课本p148 例6 12． 证明：当0x >时， ln(1).1xx x x<+<+ 答案参看课本P132 例1 13． 设0,1a b n >>>， 证明:11()()n n n n nba b a b na a b ---<-<-.证明：令()nf x x =，显然()f x 在[,]b a 上满足lagrange 定理条件，故至少存在一点(,)b a ξ∈，使得()()()()f a f b f a b ξ'-=- 即1()n n n a b n a b ξ--=-又由b a ξ<<及1(1)n n n ξ->的单增性，得11()()n n n n nba b a b na a b ---<-<-14． 设0a b >>，证明：ln a b b a ba a b--<< 证明：令()ln f x x =，在区间[],b a 上连续，在区间(,)b a 内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点(),b a ξ∈，使得1ln ln ()a b a b ξ-=-，又因为1110,a b ξ<<<因此，ln a b a a ba b b--<<. 15． 证明恒等式()arcsin arccos ,112x x x π+=-≤≤.证：令()arcsin arccos f x x x =+ 则()f x 在[]1,1-上连续.在()1,1-内有:()0,f x f C '=≡≡令0,,arcsin arccos 22x C x x ππ==+=在()1,1-内成立.再根据()f x 在[]1,1-上的连续性,可知上式在[]1,1-上成立.16． 求函数2y x =的极值点和单调区间. 解：132(1)y x-'=-因此，2y x =在定义域(,)-∞+∞内有不可导点10x =和驻点21x =17． 求函数32535y x x x =-++的单调区间，拐点及凹或凸的区间. 解：23103y x x '=-+,易得函数的单调递增区间为1(,)(3,)3-∞+∞,单调减区间1(,3)3.610y x ''=-,令0y ''=，得53x =. 当53x -∞<<时，0y ''<，因此曲线在5(,]3-∞上是凸的；当53x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在5[,)3+∞上是凹的，故520(,)327是拐点18． 试确定,,a b c 的值，使曲线32y x ax bx c =-++在（1,1-）为一拐点，在0x =处有极值，并求曲线的凹凸区间.解：232y x ax b '=-+ 62y x a ''=-(1,1)-为拐点，则062a =- 3a ∴=由0y '=，则2360x x b -+= , 代入0x =，则0b =.11,1a b c c -++=-=曲线为3231y x x =-+, 66y x ''=-. 凸区间为(,1)-∞-, 凹区间为(1,)+∞.19． 求函数()7ln 124-=x x y 的单调区间，拐点及凹或凸的区间.解： 34314(12ln 7)124(12ln 4)y x x x x x x'=-+⋅⋅=-， 易得函数的单调递增区间为13(,)e +∞,单调减区间13(0,)e . ()232112(12ln 4)412144ln 0y x x x x x x x''=-+⋅⋅=>， 令0y ''=，得1x =.当01x <<时，0y ''<，因此曲线在(0,1]上是凸的；当1x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在[1,)+∞上是凹的，故(1,7)-是拐点 20． 求函数arctan xy e=的单调区间，拐点及凹或凸的区间．解：arctan 211x y e x '=⋅+>0,因此单调增区间是R , arctan arctan arctan 2222221212(1)(1)(1)xx x x x y e e e x x x ⎡⎤⎡⎤-''=+-=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 令0y ''=，得12x =. 当12x -∞<<时，0y ''>，因此曲线在1(,]2-∞上是凹的； 当12x <<+∞时，0y ''<，因此曲线在1[,)2+∞上是凸的，故1arctan 21(,)2e是拐点 21． 求函数1234+-=x x y 的拐点和凹凸区间. 解：3246y x x '=- 2121212(1)y x x x x ''=-=- 令0y ''=，得10x =，21x = 列表 （4分）22． 求函数32391=+-+y x x x 的极值.解：2'3693(1)(3)y x x x x =+-=-+ ''66y x =+ 令0'=y 得驻点：121,3x x ==-.当21x =时，''0,y >取得极小值，其值为4-. 当33x =-时，''0y <，取得极大值，其值为28.23． 求函数23(1)1=-+y x 的极值.解： 226(1)y x x '=-22226(1)24(1)y x x x ''=-+-令0y '=，得1231,0,1x x x =-==(0)60y ''=>，故20x =是极小值点.(1)0y ''±=， 无法用第二充分条件进行判定.在11x =-的附近的左右两侧取值均有0y '<，故11x =-不是极值点. 在21x =的附近的左右两侧取值均有0y '>，故21x =不是极值点. 极小值(0)0y =24． 求函数32(1)(23)=-+y x x 的极值点和单调区间.解：22323(1)(23)4(1)(23)(1)(23)(105)0y x x x x x x x '=-++-+=-++=所以，驻点11x =，232x =-，312x =- 列表∴()f x 在32x =-处取得极大值3()02f -= ()f x 在12x =-处取得极小值127()22f -=- 单调递增区间31(,],[,)22-∞--+∞，单调递增区间31[,]22-- 25． 试问a 为何值时，函数1()sin sin 23=+f x a x x 在3π处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解：2()cos cos23f x a x x '=+()f x在3π处取得极值22121()coscos 03333232f a a πππ'∴=+=⋅-⋅= 23a ∴=即 ()2()cos cos 23f x x x '=+ ()2()sin 2sin 23f x x x ''∴=--222()sin 2sin 2033333f πππ⎛⎫''∴=--=-⋅+< ⎪⎝⎭⎝⎭所以它是极大值，极大值为212()sin sin 33333f πππ∴=+=26． 求函数3223y x x =-在区间[]1,4上的最大值与最小值.解：212660,0,1y x x x x '=-===(舍去x =)()()11,480,f f =-=，故最大值为80，最小值为－1.27．、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁.问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设小屋长 x m ，宽 y m ，220,102xx y y +==-.2101022x x S x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，100,10S x x '=-==故小屋长10米，宽5米时，面积最大.28.某厂每批生产产品x 单位的总费用为()5200C x x =+（元）， 得到的收入是()2100.01R x x x =-（元）.问每批生产多少个单位产品时总利润()L x 最大？解：()()()22100.0152000.015200L x x x x x x =--+=-+-()0.0250,250L x x x '=-+==（单位）()0.020L x ''=-<，故250x =单位时总利润最大.-----精心整理，希望对您有所帮助!。
数三题型训练答案及解析
数三题型训练答案及解析高数部分题型训练1.1参考答案 1.【详解】)(I 不正确。
在题设下只能保证B A ≤不能保证B A <例如，ny n x n n 2,1==，则0lim lim ,==<+∞→+∞→n n n n n n y x y x . ————————极限（30%）P5)(II 不正确。
这时只能保证：c ∃的一个空心邻域},0|{),(0δδ<-<=c x x c U )(x f 在),(U 0δc 有界，不能保证)(x f 在),(b a 有界。
例如：)1,0(),(,1)(==b a xx f ，取)1,0(∈c ，则cx f x 1)(lim c=→，但x x f 1)(=在)1,0(无界。
———————————有界性（40%）P4)(III 正确。
因为0)(1lim)(lim =⇒∞=→→x f x f ax ax ，由存在极限的函数的局部有界性,0>∃⇒δ当δ<-<a x 0时)(1x f 有界。
———————————有界性（30%）P4 题型训练1.2参考答案1.题型1.2.1对给定的两个无穷小进行比较解：分别求出γβα.,关于x 的阶数较为方便。
由洛比达法则可得11cos lim lim 200==++→→x x x x α--------------------------------------------○1洛比达法则（15%）（p33）α⇒是x 的一阶无穷小。
------------------------------------------○2无穷小的阶（15%）（p8） 由301200tan lim 22tan lim lim -→-→→⋅=⋅=+++k x k x k x xx xk kx x x x β----------------○1洛比达法则（20%）（p33） 取k=3时原式32=β⇒是x 的3阶无穷小。
高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用
（3）
中值定理与导数的应用
第二课 中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理； 会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等 式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳 林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、 拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件， 则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。 证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x
高等数学课后习题解答 上海交通大学出版社 第三版 习题10解答
第10章 曲线积分与曲面积分1．计算下列对弧长的曲线积分：(1) sin d C x y s ⎰，其中C 为3x ty t =⎧⎨=⎩，(0≤t ≤1)；(2)22()d Cx y s +⎰Ñ，其中C 为圆周cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，(0≤t ≤2π)； (3) 2d Cy s ⎰，其中C 为摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的第一拱(0≤t ≤2π)； (4) d Cy s ⎰，其中C 为抛物线y 2=2x 上由点(0，0)到点(2，2)之间的一段弧； (5) ()d Cx y s +⎰，其中C 为以O (0，0)，A (1，0)，B (0，1)为顶点的三角形的边界；(6)s ⎰，其中C 为圆周x 2+y 2=ax (a >0)；(7) d Cz s ⎰，其中C 为圆锥螺线cos sin x t t y t t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩从t =0到t =1的一段；(8) 2d Cx s ⎰，其中C为圆周2224x y z z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩解答：(1)1111sin d 3sin sin cos cos )Cx y s t t tdt t t tdt ===-+⎰⎰⎰(s i n 1c o s 1)=-；(2) 2223()d 2Cx y s a a ππ+==⎰⎰Ñ；(3)22223500d (1cos )16sin 2Cty s a t a dt ππ=-=⎰⎰⎰353025632sin 15a d a πθθ==⎰；(4)3222211d (1)1)33Cy s yy ==+=⎰⎰； (5) C 可以分割为三条直线:0(01)OA y x =≤≤，:0(01)O B xy =≤≤，:1(01)BA y x x =-≤≤()d Cx y s +⎰=()d OAx y s +⎰+()d OBx y s +⎰+()d ABx y s +⎰111(1xdx ydy x x =+++-⎰⎰⎰1=；(6) C 为圆周x 2+y 2=ax (a >0)；化为参数方程cos 22sin 2a a x t a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(0≤t ≤2π)，2222200coscos 22222a a t ts dt dt a dt a πππ====⎰⎰⎰⎰；(7)1d Cz s =⎰⎰31212011(2)33t ==+=⎰； (8) C可以表示为参数方程[]cos sin ;0,2x y z θθθπ⎧=⎪=∈⎨⎪=⎩2220d cos Cx s πθπ==⎰⎰．所属章节：第十章第一节 难度：一级2．已知半圆形状铁丝cos sin x a ty a t =⎧⎨=⎩(0≤t ≤π)其上每一点的线密度等于该点的纵坐标，求此铁丝的质量解答：20d sin 2Cm y s a a π===⎰⎰所属章节：第十章第一节难度：一级3．已知螺旋线cos sin x a t y a t z bt =⎧⎪=⎨⎪=⎩(b >0)上各点的线密度等于该点到原点的距离的平方，试求t 从0到2π一段弧的质量解答：222222223208()d (ππ)3C m x y z s a b t a b π=++=+=+⎰⎰所属章节：第十章第一节 难度：二级4．求摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的第一拱(0≤t ≤2π)关于Ox 轴的转动惯量(设其上各点的密度与该点到x 轴的距离成正比，比例系数为k )解答：722332d (1cos )(1cos )CI ky s k t t dt ππ==-=-⎰⎰⎰23740102464sin 235t kadt ka π==⎰ 所属章节：第十章第一节 难度：二级5．计算下列对坐标的曲线积分：(1) d d C y x x y +⎰，其中C 为圆弧cos π,(0)sin 4x a t t y a t =⎧≤≤⎨=⎩，依参数t 增加方向绕行；(2) (2)d ()d Ca y x a y y ---⎰，其中C 为摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩自原点起的第一拱； (3) d Cx y ⎰，其中C 为x +y =5上由点A (0，5)到点B (5，0)的一直线段；(4)Cxydx ⎰Ñ，其中C 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行) 解答：(1)()22440d d sin (cos )cos sin cos 22Ca y x x y a td a t a td a t atdt ππ+=+==⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰(2)(2)d ()d Ca y x a y y ---⎰220[(2cos )(sin )(cos )((1cos ))a a a t d at a t a a a t d a t a ππ=-+---+-=⎰(3)525d (5)2Cx y xd x =-=-⎰⎰ (4) C 分成两部分在2122()(0):x a y a a C -+=>在x 轴的上部逆时针方向，2C 是从原点指向(2,0)a ，则1202320π02aCC C a xydx xydx xydx x dx a =+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰蜒? 所属章节：第十章第二节 难度：一级6．计算22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，1)：(1) OA 为直线段y =x ； (2) OA 为抛物线段y =x 2； (3) OA 为y =0，x =1的折线段解答：(1)122201()d d 3OA x y x xy y x dx -+==⎰⎰；(2)()122243208()d d ()15OA x y x xy y x x dx x d x ⎡⎤-+=--=⎣⎦⎰⎰； (3) 设点B 的坐标为(1，0)，则OA 分为两段1122205()d d 6OAOBBAx y x xy y x dx ydy -+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第十章第二节 难度：一级7．计算22d d ABxy x x y +⎰，其中点A 、B 的坐标分别为A (0，0)，B (1，1)：(1) AB 为直线段y =x ； (2) AB 为抛物线段y =x 2； (3) AB 为y =0，x =1的折线段 解答：(1) 122202d d (2)1ABxy x x y x dx x dx +=+=⎰⎰；(2)1232202d d [2()]1ABxy x x y x dx x d x +=+=⎰⎰；(3) 设点C 的坐标为(1，0)，则AB 分为两段1122d d 011ABACCBxy x x y dx dy +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第十章第二节 难度：一级8．计算下列曲线积分：(1) 222()d 2d d Ly z x yz y x y -+-⎰，其中L 依参数增加方向绕行的曲线段23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩(0≤t ≤1)；(2)d d (1)d Lx x y y x y z +++-⎰，L 为从点A (1，1，1)到点B (2，3，4)的一直线段；解答：(1)1222466401()d 2d d (43)35Ly z x yz y x z t t t t dt -+-=-+-=⎰⎰； (2)此时L 写作参数方程12 1 (01)31x t y t t z t =+⎧⎪=+≤≤⎨⎪=+⎩1d d (1)d (14293)13Lx x y y x y z t t t dt +++-=+++++=⎰⎰．所属章节：第十章第二节 难度：一级9．一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成。
高等数学（黄立宏）（第三版）习题三课后答案
习题三1. 验证：函数()ln sin f x x =在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，并求出相应的x ，使()0f x ¢=. 证：()l n s i f x x =在区间π5π[,]66上连续，在π5π(,)66上可导，且π5π()()ln 266f f ==-，即在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点π5π(,),66x Î使()0f x ¢=.事实上，由c o s ()c o t 0s i n x f x x x¢===得ππ5π(,),266x =Î故取π2x =，可使()0f x ¢=. 2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的x ？⑴ 2, 01,() [0,1] 0, 1, x x f x x ì£<=í=î；⑵ ()1, [0,2] f x x =-； ⑶ sin , 0π,() [0,π] . 1, 0, x x f x x <£ì=í=î 解：⑴()f x 在[0,1]上不连续，不满足罗尔定理的条件.而()2(01)f x x x ¢=<<，即在（0，1）内不存在x ，使()0f x¢=罗尔定理的结论不成立.⑵ 1, 12,()1, 0 1.x x f x x x -£<ì=í-<<î(1)f ¢不存在，即()f x 在区间(0,2) 内不可导，不满足罗尔定理的条件. 而1, 12,()1, 0 1.x f x x <<ì¢=í-<<î即在（0，2）内不存在x ，使()0f x ¢=.罗尔定理的结论不成立. ⑶ 因(0)1(π)=0f f =¹,且()f x 在区间[0,[0,ππ] 上不连续，不满足罗尔定理的条件. 而()cos (0π)f x x x ¢=<<,取π2x =，使()0f x ¢=.有满足罗尔定理结论的π2x =. 故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件. 3. 函数()(2)(1)(1)(2)f x x x x x x =--++的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？内？解：因为(2)(1)(0)(1)(2)0f f f f f ===-=-=，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有1234(2,1),(1,0),(0,1),1(1,2),,2),x x x x Î--Î-ÎÎ使得12()()()f f f f x x x x ¢¢¢¢====.因此，()x 至少有4个零点，且分别位于(2,1),(1,0),(0,1),(1,2)---内. 4. 验证：拉格朗日定理对函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上的正确性. 验证：因为()f x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件. 由(1)(0)()(10)f f f x ¢-=-得2322x =+解得13x =，即存在13x =使得拉格朗日定理的结论成立. 5. 如果()f x ¢在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导且()0,()0,f a f x ¢¢¢³>证明：()()f b f a >. 证明：因为()f x ¢在[a , b]上连续，在（a ，b ）内可导，故在[a ，x ]上应用拉格朗日定理，则(,),()a x a x b x $Î<<，使得()()()0f x f a f x a x ¢¢-¢¢=>-, 于是()()0f x f a ¢¢>³,故有()()f b f a >6. 设()()()f a f c f b ==，且a c b <<,()f x ¢¢在[a ，b ]内存在，证明：在（a ，b ）内至少有一点x ，使()0f x ¢¢=. 证明：()f x ¢¢在[a ，b ]内存在，故()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()()f a f c f b ==，故由罗尔定理知，1(,)a c x $Î，使得1()0f x ¢=，2(,)c b x $Î，使得2()0f x ¢=，又()f x ¢在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由罗尔定理知，12(,)x x x $Î，使()0f x ¢¢=，即在（a ，b ）内至少有一点x ，使()0f x ¢¢=. 7. 已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，b ）内至少有一点x ，使得，使得()()0, (,)f f a b x x x ¢+=Î. 证明：令()()e ,xF x f x =×()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b x $Î，使得()0F x ¢=，即()e ()e f f x x x x ¢+=,即()()0, (,).f f a b x x x ¢+=Î 8. 证明恒等式：证明恒等式：222arctan arcsinπ (1).1xx x x+=³+证明：令22()2arctan arcsin 1x f x x x =++, 22222222212(1)22()1(1)21()122 011x x x f x x x x x x x +-×¢=+×++-+=-=++ 故()f x C º，又因(1)πf =,所以()πf x =,即222arctan arcsinπ.1x x x +=+9. 对函数()sin f x x =及()cos g x x x =+在[0,]2p 上验证柯西定理的正确性. 验证：()f x ，()g x 在[0,]2p 上连续，在(0,)2p 内可导，且()1sin 0g x x ¢=-¹，满足柯西定理的条件. 由 π()(0)()2π()()(0)2f f f g g g x x-¢=¢-,得2c o s πc o t ()π21s i n 42x x x ==---, 故ππ2π2arctan (0,)222x -=-Î满足柯西定理的结论. 10. 设()f x 在[,]a b 上有(1)n -阶连续导数，在(,)a b 内有n 阶导数，且(1)()()()()0.n f b f a f a f a -¢=====试证：在(,)a b 内至少存在一点x ，使()()0n fx =. 证明：首先，对()f x 在[,]a b 上应用罗尔定理，有1(,)a a b Î，即1a a b <<，使得1()0f a ¢=；其次，对()f x ¢在[,]a b 上应用罗尔定理，有21(,)a a b Î，即12a a a b <<<， 使得2()0; ,f a ¢¢=一般地，设在(,)a b 内已找到1n -个点121,,,,n a a a -其中121,n a a a a b-<<<<<使得(1)1()0n n f a --=，则对(1)()0nfx -=在1[,]n a b -上应用罗尔定理有1(,)(,),n a b a b x -ÎÌ使得()()0nf x =. 11. 利用洛必达法则求下列极限：利用洛必达法则求下列极限：⑴ πsin 3lim tan 5x x x ®; ⑵ 3π2lnsin lim (2)x xx p ®-; ⑶ 0e 1lim (e 1)x x x x x ®---; ⑷⑷ sin sin lim x a x a x a ®--; ⑸ lim m m n n x a x a x a ®--; ⑹ 1ln(1)lim cot x x arc x®+¥+; ⑺ 0ln lim cot x xx+®; ⑻⑻ 0lim sin ln x x x +®; ⑼ 0e 1lim()e 1x x x x ®--; ⑽ 01lim (ln )x x x +®;⑾ 2lim (arctan )πxx x ®+¥×; ⑿ 10lim(1sin )xx x ®+; ⒀ 0lim[ln ln(1)]x x x +®×+; ⒁ 332lim (1)x x x x x ®+¥+++-; ⒂ sin 0e e limsin x x x x x®--; ⒃ 21sin lim()x x x x®; ⒄ 1101lim[(1)]ex x x x ®+. 解：⑴解：⑴ 原式原式==2π3cos33lim5sec 55x x x ®=-. ⑵ 原式原式==2ππ221cot 1csc 1limlim 4π-2428x x xx x ®®--=-=--. ⑶ 原式原式==000e 1e 11limlim lim e 1e 2e e 22x x x x x x x x x x x x ®®®-===-+++. ⑷ 原式原式==cos lim cos 1x a x a ®=. ⑸ 原式原式==11lim m m n n x a mx m a nx n ---®=. ⑹ 原式原式==22221()11lim lim 111x x x x x x x x x ®+¥®+¥×-++==+-+. ⑺ 原式原式==22001sin lim lim 0csc x x x x xx ++®®=-=-. ⑻ 原式原式==001ln limlim 0csc csc cot x x xx x x x++®®==-×. ⑼ 原式22200e e e e lim =lim (e 1)x x x xx x x x x x x®®----=-202e e 1=lim 2x x x x ®-- 204e e3=l i m 22x xx ®-=. ⑽ 原式原式==0lim(1ln )xx x +®- 令(1ln )xy x =-00020011()ln(1ln )1ln lim ln lim lim 111 lim lim 011ln x x x x x x x x y x xx x x+++++®®®®®×---==-===-- ∴原式∴原式==0lim e 1x y +®==. ⑾ 令2(arctan )πxy x =×，则，则2222211l n l n a r c t a n πa rc t a n 1l i m l n l i m l i m 1112 limarctan 1πx x x x x x x y xxx x x ®+¥®+¥®+¥®+¥+×+==-=-×=-+ ∴原式∴原式==2πe-. ⑿ 令1(1sin )xy x =+，则，则000cos ln(1sin )1sinlimln lim lim 11x x x x x x y x ®®®++=== ∴原式∴原式==e =e ¢. ⒀ 原式00ln lim(ln )lim 1x x x x x x++®®=×=0021=lim=lim()01x x x x x ++®®-=-⒁ 原式32311111lim1x x x x x ®+¥+++-=2234232311111=lim(1)(23)=33x x x x x x xx ----®+¥+++×++× ⒂ 原式sin sin 0e (e 1)lim sin x x x x x x -®-=-sin 00e (sin )=lim =e =1sin x x x x x x®×--⒃ 令12sin()x x y x=，则，则200023002220011cos ln sin ln sin limln lim lim 2cos sin cos sin lim lim 2sin 2cos sin cos 1 lim lim .666x x x x x x x x x x x x y x xx x x x x xx x x x x x x x x x ®®®®®®®--==--==---===- ∴原式∴原式==16e -. ⒄ 令111[(1)]ex xy x =+，则11ln [ln(1)1]xy x x=+-2000011ln(1)1limln lim lim 2111 lim .212x x x x x x x y x x x ®®®®-+-+===-=-+ 12. 求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）. ⑴ 201sinlimsin x x x x ®； ⑵ lim (1)x x k x®+¥+； ⑶ sin lim sin x x x x x ®¥-+； ⑷ e e lim .e ex xx x x --®+¥-+ 解：⑴解：⑴ ∵200111sin 2sin cos limlim sin cos x x x x x x x x x®®-=不存在,（因1sin x ，1cos x 为有界函数）函数）又2001sin 1limlim sin 0sin x x x x x x x®®==, 故不能使用洛必达法则 ⑶ ∵sin 1cos lim lim sin 1cos x x x x x x x x®¥®¥--=++不存在, 而sin 1sinlim lim 1.sin sin 1x x x x x x x x x x®¥®¥--==++故不能使用洛必达法则故不能使用洛必达法则..⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xx x x x x x x x x ------®+¥®+¥®+¥-+-==+-+利用洛必达法则无法求得其极限利用洛必达法则无法求得其极限..而22e e 1e lim lim 1e e 1ex x xx x x x x ----®+¥®+¥--==++. 故答案选（2）. 13. 设21lim 51x x mx n x ®++=-,求常数m , n 的值.解：要使21lim 51x x mx n x ®++=-成立，则21lim()0x x mx n ®++=,即10m n ++=又2112limlim2511x x x mx nx m m x ®®+++==+=-得3,4m n ==- 14. 设()f x 二阶可导，求2()2()()limh f x h f x f x h h®+-+-. 解：解：2000()2()()()()lim lim21()()()() lim []21 [li 2h h h f x h f x f x h f x h f x h h h f x h f x f x h f x h h®®®¢¢+-+-+--=¢¢¢¢+---=+-=00()()()()m lim ]1 [()()]2 ().h h f x h f x f x h f x h h f x f x f x ®®¢¢¢¢+---+-¢¢¢¢=+¢¢= 15. 确定下列函数的单调区间：确定下列函数的单调区间：(1) 3226187y x x x =---；解：所给函数在定义域(,)-¥+¥内连续、可导，且内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x ¢=--=+-可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-¥--+¥内，y ¢分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-¥-+¥内单调增加，在[1,3]-内单调减少. (2) 82 (0)y x x x =+>； 解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x¢=-，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y ¢<；在[2,)+¥内y ¢>0，故知函数在[2,)+¥内单调增加，而在(0,2]内单调减少. (3) 2ln(1)y x x =++； 解: 函数定义域为(,)-¥+¥，2101y x¢=>+,故函数在(,)-¥+¥上单调增加. (4) 3(1)(1)y x x =-+；解: 函数定义域为(,)-¥+¥,22(1)(21)y x x ¢=+-，则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-¥内，内， 0y ¢<，函数单调减少；在1[,)2+¥内，内， 0y ¢>，函数单调增加. (5) e (0,0)n xy x n x -=>³；解: 函数定义域为[0,)+¥，11e e e ()n xn xx n y nx x x n x -----¢=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y ¢>，函数单调增加；在[,]n +¥上0y ¢<，函数单调减少. (6) sin 2y x x =+； 解: 函数定义域为(,)-¥+¥, πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ì+Î+Îï=íï-Î-ÎïîZ Z 1) 当π[π,π]2x n n Î+时，时， 12cos 2y x ¢=+，则，则1π0cos 2[π,π]23y x x n n ¢³Û³-ÛÎ+；πππ0cos 2[π,π]232y x x n n ¢£Û£-ÛÎ++. 2) 当π[π,π]2x n n Î-时，时， 12cos 2y x ¢=-，则，则1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n ¢³Û£ÛÎ--1π0cos 2[π,π]26y x x n n ¢£Û³ÛÎ-. 综上所述，函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +Î， 函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++Î. (7) 54(2)(21)y x x =-+. 解: 函数定义域为(,)-¥+¥. 4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x ¢=-++-+×=+--函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+¥-内，内， 0y ¢>,函数单调增加，函数单调增加，在111[,]218-上，上， 0y ¢<,函数单调减少，函数单调减少，在11[,2]18上，上， 0y ¢>,函数单调增加，函数单调增加， 在[2,)+¥内，内， 0y ¢>,函数单调增加. 故函数的单调区间为: 1(,]2-¥-，111[,]218-，11[,)18+¥. 16. 证明下列不等式: (1) 当π02x <<时，时， sin tan 2;x x x +>证明: 令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x -++¢=, 当π02x <<时，时， ()0,()f x f x ¢>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=, 即sin 2tan 2.x x x ->(2) 当01x <<时，时， 2e sin 1.2x x x -+<+ 证明: 令2()=e sin 12xx f x x -+--,则()=e cos xf x x x -¢-+-, ()=e sin 1e (sin 1)0x xf x x x --¢¢--=-+<,则()f x ¢为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ¢¢<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2x x x -+<+17. ⑴ 证明：不等式ln(1) (0)1x x x x x<+<>+证明：令()ln(1)f x x =+在[0，x]上应用拉格朗日定理，则(0,),x x $Î使得使得 ()(0)()(f x f f x x ¢-=- 即ln(1)1x x x +=+,因为0x x <<，则11x x x x x<<++即ln(1) (0)1x x x x x <+<>+ ⑵ 设0, 1.a b n >>>证明：证明：11()().n nnn nb a b a b naa b ---<-<-证明：令()nf x x =,在[b ，a]上应用拉格朗日定理，则(,).b a x $Î使得使得1(), (,)nnna b n a b b a x x --=-Î 因为b a x <<,则111()()()n n n nb a b n a b na a b x----<-<-, 即11()().n nnn nb a b a b na a b ---<-<-⑶ 设0a b >>证明：证明：l n .a b a a ba b b--<<证明：令()ln f x x =在[b ，a]上应用拉格朗日定理，则(,).b a x $Î使得使得 1l n l n ()a b a b x-=- 因为b a x <<，所以1111, ()a b a ba b a b a b x x--<<<-<, 即ln a b a a b a b b --<<. ⑷ 设0x >证明：证明：111.2x x +>+ 证明：令()1f x x =+，[0,]x x Î,应用拉格朗日定理，有应用拉格朗日定理，有()(0)()(0), (0,(0,)f x f f x x x x ¢-=-Î ()()(0)f x f x f x ¢=×+11221x x x=+<++即111.2x x +>+18. 试证:方程sin x x =只有一个实根. 证明:设()sin f x x x =-，则()c o s 10,f x x =-£()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根. 19. 求下列函数的极值: (1) 223y x x =-+；解: 22y x ¢=-,令0y ¢=，得驻点1x =. 又因20y ¢¢=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =. (2) 3223y x x =-；解: 266y x x ¢=-,令0y ¢=，得驻点120,1x x ==, 126y x ¢¢=-,010,0x x y y ==¢¢¢¢<>, 故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-. (3) 3226187y x x x =--+；解: 2612186(3)(1)y x x x x ¢=--=-+, 令0y ¢=，得驻点121,3x x =-=. 1212y x ¢¢=-,130,0x x y y =-=¢¢¢¢<>, 故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-. (4) ln(1)y x x =-+；解: 1101yx ¢=-=+，令0y ¢=，得驻点0x =. 21,0(1)x y y x =¢¢¢¢=>+,故(0)0y =为极大值. (5) 422y x x =-+；解: 32444(1)y x x x x ¢=-+=-， 令0y ¢=，得驻点1231,0,1x x x =-==. 210124, 0,0,x x y x y y =±=¢¢¢¢¢¢=-+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值. (6) 1y x x =+-；解: 1121y x¢=--,令0y ¢=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]-¥内有一不可导点21x =，当34x >时，时， 0y ¢<;当34x <时，时， 0y ¢>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x £，故1x =不是极值点. (7) 21345xy x +=+； 解: 23125(45)x y x -¢=+,令0y ¢=，得驻点125x =. 当125x >时，时， 0y ¢<；当125x <，0y ¢>,故极大值为121()205510y =. (8) 223441x x y x x ++=++； 解: 2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+¢=++, 令0y ¢=，得驻点122,0x x =-=. 2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++¢¢=++200,0x x y y =-=¢¢¢¢><, 故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y -=. (9) e cos xy x =； 解: e (cos sin )x y x x ¢=-, 令0y ¢=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±±. 2e sin xy x ¢¢=-，ππ2π(21)1)ππ440,0x k x k y y =+=++¢¢¢¢<>， 故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π422()e 2k ky x +=; 21π(21)1)ππ 4k xk +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)1)ππ4212()e2k k y x +++=-. (10) 1xy x =；解: 11211ln(ln )xxxy x x x x x-¢¢==, 令0y ¢=，得驻点e x =. 当e x >时，时， 0y ¢<，当e x <时，时， 0y ¢>, 故极大值为1e(e)e y =. (11) 2e e xx y -=+；解: 2e e xx y -¢=-,令0y ¢=，得驻点ln 22x =-. ln 222e e ,0x x x y y -=-¢¢¢¢=+>, 故极小值为ln 2()222y -=. (12) 232(1)y x =--； 解: 32131y x ¢=--，无驻点. y 的定义域为(,)-¥+¥，且y 在x =1处不可导，当x >1时0y ¢<，当x <1时，时， 0y ¢>，故有极大值为(1)2y =. (13) 1332(1)y x =-+； 解: 23213(1)y x ¢=-+.无驻点.y 在1x =-处不可导，但y ¢恒小于0，故y 无极值. (14) tan y x x =+. 解: 21sec 0y x ¢=+>, y 为严格单调增加函数，无极值点. 20. 试证明：如果函数32y ax bx cx d =+++满足条件230b ac -<，那么这函数没有极值. 证明：232y ax bx c ¢=++，令0y ¢=，得方程2320ax bx c ++=，由于由于 22(2)4(3)4(3)0b a c b ac D =-=-<，那么0y ¢=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值. 21. 试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有处取得极值，必有π3π0()(cos cos3)3x f a x x =¢==+，得a =2. 又π3π30()(2sin 3sin 3)3x f x x =¢¢=-<=--， 所以π3x =是极大值点，极大值为π()33f =. 22. 求下列函数的最大值、最小值：求下列函数的最大值、最小值：254(1) (1) ((), (,0)f x x x x=-Î-¥； 解：y 的定义域为(,0)-¥，322(27)0x y x +¢==，得唯一驻点x =－3 且当(,3]x Î-¥-时，0y ¢<，y 单调递减；当[3,0)x Î-时，0y ¢>，y 单调递增, 因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27. 又lim ()x f x ®-¥=+¥，故f (x )无最大值. (2) (2) (()1, [5,1]f x x x x =+-Î-； 解：11021y x ¢=-=-，在(5,1)-上得唯一驻点34x =，又 53,(1)1,(5)6544y y y æö==-=-ç÷èø , 故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为54，最小值为65-. 42(3) 82, 13y x x x =-+-££. 解：函数在解：函数在((－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2， 而 y (－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在故在[[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14. 23. 求数列1000n n ìüíý+îþ的最大的项. 解：令1000xy x =+, 2221(1000)1000210002(1000)2(1000)2(1000)x xx x x xy x x x x x +-+--¢===+++ 令0y ¢=得x =1000.因为在(0，1000)上0y ¢>，在(1000,)+¥上0y ¢<, 所以x =1000为函数y 的极大值点，也是最大值点，max 1000(1000)2000y y ==. 故数列1000n n ìüíý+îþ的最大项为100010002000a =. 24. 设a 为非零常数，b 为正常数，求y =ax 2+bx 在以0和ba为端点的闭区间上的最大值和最小值. 解：20y ax b ¢=+=得2bx a=-不可能属于以0和b a为端点的闭区间上, 而 22(0)0,bb y ya a æö==ç÷èø, 故当a >0时，函数的最大值为22b b y a a æö=ç÷èø，最小值为(0)0y =; 当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22b b y a a æö=ç÷èø. 25. 已知a >0，试证：11()11f x x x a=+++-的最大值为21a a ++. 证明：证明：11,01111(),01111,11x x x a f x x a x x ax a x x a ì+<ï--+ï=+££í+-+ïï+>++-î 当x <0时，()()2211()011f x x x a ¢=+>--+; 当0<x <a 时，()()2211()11f x x x a ¢=-++-+; 此时令()0f x ¢=，得驻点2ax =，且422a f aæö=ç÷+èø，当x >a 时，()()2211()011f x x x a¢=--<++-, 又lim ()0x f x ®¥=，且2(0)()1af f a a+==+. 而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得 故 {}m a x 242(),,0121a a f x a a a++==+++. 26. 在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高. 解：设圆柱体的高为h , 则圆柱体底圆半径为224h r -， 22232πππ44h V h r h h r æö=×=--ç÷èø令0V ¢=, 得23.3h r =即圆柱体的高为233r 时，其体积为最大. 27. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am 2，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知解：由题设知21π22x xy a æö+×=ç÷èø得 21π18π8a x a y x xx -==-12题图题图截面的周长截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x x x al x x =++×=+-+=++¢=+- 令()0l x ¢=得唯一驻点84πax =+，即为最小值点. 即当84πax =+时，建造材料最省. 28. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？的何处时，所需电线最短？ 解：所需电线为解：所需电线为2222222()1 1.5(3)(03)2.25(3)(3)1()1 2.25(3)L x x x x x x x x L x x x =+++-<<+---+¢=++-13题图题图在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短. 29. 在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？ 解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大. 232222(2)44128V a x x x ax a x V x ax a=-×=-+¢=-+令0V ¢=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =. 即小正方形边长为6a时方盒容积最大. 30. 判定下列曲线的凹凸性：判定下列曲线的凹凸性：(1) y =4x －x 2；解：42,20y x y ¢¢¢=-=-<，故知曲线在(,)-¥+¥内的图形是凸的. (2) sin(h )y x =； 解：cosh ,sinh .y x y x ¢¢¢==由sinh x 的图形知，当(0,)x Î+¥时，0y ¢¢>，当(,0)x Î-¥时，0y ¢¢<， 故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-¥内是凸的，在[0,)+¥内是凹的. 1(3) (0)y x x x =+> ；解：23121,0y y x x¢¢¢=-=>，故曲线图形在(0,)+¥是凹的. (4) y =x arctan x . 解：2arctan 1x y x x ¢=++，2220(1)y x ¢¢=>+ 故曲线图形在(,)-¥+¥内是凹的. 31. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：32(1) 535y x x x =-++； 解：23103y x x ¢=-+610y x ¢¢=-，令0y ¢¢=可得53x =. 当53x <时，0y ¢¢<，故曲线在5(,)3-¥内是凸弧；内是凸弧； 当53x >时，0y ¢¢>，故曲线在5[,)3+¥内是凹弧. 因此520,327æöç÷èø是曲线的唯一拐点. (2) e x y x -=；解：(1)e , e (2)xxy x y x --¢¢¢=-=-令0y ¢¢=，得x =2 当x >2时，0y ¢¢>，即曲线在[2,)+¥内是凹的；内是凹的； 当x <2时，0y ¢¢<，即曲线在(,2]-¥内是凸的. 因此(2，2e －2)为唯一的拐点. 4(3) (1)e x y x =++；解：324(1)e , e 12(1)0x xy x y x ¢¢¢=++=++> 故函数的图形在(,)-¥+¥内是凹的，没有拐点. (4) y =ln (x 2+1)；解：222222(1), 1(1)x x y y x x -¢¢¢==++ 令0y ¢¢=得x =－1或x =1. 当－1<x <1时，0y ¢¢>，即曲线在，即曲线在[[－1，1]内是凹的. 当x >1或x <－1时，0y ¢¢<，即在(,1],[1,)-¥-+¥内曲线是凸的. 因此拐点为因此拐点为((－1，ln2)，(1，ln2). arctan (5) e xy =； 解：arctan arctan 222112e ,e 1(1)x x xy y x x -¢¢¢==++ 令0y ¢¢=得12x =. 当12x >时，0y ¢¢<，即曲线在1[,)2+¥内是凸的；内是凸的；当12x <时，0y ¢¢>，即曲线在1(,]2-¥内是凹的，内是凹的， 故有唯一拐点1arctan 21(,e )2. (6) y =x 4(12ln x －7). 解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导. 324(12ln 4),144ln .y x x y x x ¢¢¢=-= 令0y ¢¢=，在(0，+∞)，得x =1. 当x >1时，0y ¢¢>，即曲线在[1,)+¥内是凹的; 当0<x <1时，0y ¢¢<，即曲线在(0，1]内是凸的，内是凸的， 故有唯一拐点(1，－7). 32. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：()1(1) (0,0,,1)22nnnx y x y x y n x y +æö>>>¹>+ç÷èø ; 证明：令证明：令 ()nf x x =12(),()(1)0n n f x nx f x n n x--¢¢¢==-> ，则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +"Î，()()22f x f y x y f ++æö<ç÷èø, 即 1()22nn nx y x y +æö<+ç÷èø. 2e e (2)e()2x y x yx y ++>¹ ; 证明：令f (x )=e x ()e ,()e 0x x f x f x ¢¢¢==> . 则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y "ι则 ()()22f x f y x y f ++æö<ç÷èø 即 2eee2x yxy++<. (3) ln ln ()ln(0,0,)2x y x x y y x y x y x y ++>+>>¹证明：令证明：令 f (x )=x ln x (x >0) 1()ln 1,()0(0)f x x f x x x¢¢¢=+=>>则曲线()y f x =是凹的，,x y R +"Î，x ≠y ，有，有()()22f x f y x y f ++æö<ç÷èø即 1l n (l n l n )222x y x y xx y y ++<+， 即 l n l n ()l n 2x y x x y y x y ++>+. 33. 求下列曲线的拐点：求下列曲线的拐点：23(1) ,3;x t y t t ==+解：22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t x t x t +-==令22d 0d yx =，得t =1或t =－1 则x =1，y =4或x =1，y =－4 当t >1或t <－1时，22d 0d yx >，曲线是凹的，，曲线是凹的，当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d yx<，曲线是凸的，，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4). (2) x =2a cot θ， y =2a sin 2θ. 解：32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a x a q q q q q ××==-×- 222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a aq q q q q q =-+×=×--令22d 0d yx =，得π3q =或π3q =-，不妨设a >0，不失一般性，当3tan 3q >>-时，即ππ33q -<<时，22d 0d yx >，当tan 3q >或tan 3q <-时，即π3q <-或π3q >时，22d 0d yx<, 故当参数π3q =或π3q =-时，都是y 的拐点，且拐点为233,32a a æöç÷èø及233,32a a æö-ç÷èø. 34. 试证明：曲线211x y x -=+有三个拐点位于同一直线上. 证明：222221(1)x x y x -++¢=+， 232(1)(23)(23)(1)x x x y x +---+¢¢=+ 令0y ¢¢=，得1,23,23x x x =-=+=-当(,1)x Î-¥-时，0y ¢¢<； 当(1,23)x Î--时0y ¢¢>； 当(23,23)x Î-+时0y ¢¢<； 当(23,)x Î++¥时0y ¢¢>, 因此，曲线有三个拐点因此，曲线有三个拐点((－1，－1)，1313(23,),(23,)44---+-+. 因为因为 111131234131234------++=0 因此三个拐点在一条直线上. 35. 问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？的拐点？解：y ′=3ax 2+2bx , y ″=6ax +2b 依题意有依题意有3620a b a b +=ìí+=î 解得解得 39,22a b =-=. 36. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点为拐点，且点((－2，44)在曲线上. 解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d 联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0 可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16. 37. 试决定22(3)y k x =-中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. 解：224(3),12(1)y kx x y k x ¢¢¢=-=-令0y ¢¢=，解得x =±1，代入原曲线方程得y =4k ，只要k ≠0，可验证(1，4k )，(－1，4k )是曲线的拐点. 18x k y =±¢=±，那么拐点处的法线斜率等于18k，法线方程为18y xk=. 由于(1，4k )，(－1，4k )在此法线上，因此在此法线上，因此148k k =±, 得22321, 321k k ==-(舍去) 故 12832k =±=±. 38. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数，如果00()0,()0f x f x ¢¢¢==，而0()0f x ¢¢¢¹，试问x =x 0是否为极值点?为什么？又00(,())x f x 是否为拐点？为什么？么？答：因00()()0f x f x ¢¢¢==，且0()0f x ¢¢¢¹，则x =x 0不是极值点.又在0(,)U x d 中，000()()()()()()f x f x x x f x x f h h ¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢=+-=-，故()f x ¢¢在0x 左侧与0()f x ¢¢¢异号，在0x 右侧与0()f x ¢¢¢同号，故()f x 在x =x 0左、右两侧凹凸性不同，右两侧凹凸性不同，即即00(,())x f x 是拐点. 39. 作出下列函数的图形：作出下列函数的图形：2(1)()1xf x x=+； 解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数, 2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x xy x x x x y x +--¢==++-¢¢=+ 令0y¢=，可得1x =±， 令0y ¢¢=，得x =0，3±, 列表讨论如下：列表讨论如下：x 0 (0，1) 1 (1，3) 3(3，+∞) y′ + 0 － － －y″ 0 － － － 0 + y 0 极大极大拐点拐点当x →∞时，y →0，故y =0是一条水平渐近线. 函数有极大值1(1)2f =，极小值1(1)2f -=-，有3个拐点，分别为3,3,4æö--ç÷èø(0，0)，33,4æöç÷èø，作图如上所示. (2) f (x )=x －2arctan x 解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数, 2222114(1)y x xy x ¢=-+¢¢=+ 令y ′=0，可得x =±1， 令y ″=0，可得x =0. 列表讨论如下：列表讨论如下：X 0 (0，1) 1 (1，∞) y′ － 0 + y″ 0 + + Y 0 极小极小又()2limlim(1arctan )1x x f x x x x®¥®¥=-=且 l i m [()]l i m (2a r c t a nπx x f x x x ®+¥®+¥-=-=- 故πy x =-是斜渐近线，由对称性知πy x =+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y =-，极大值π(1)12y -=-.(0，0)为拐点.作图如上所示. 2(3) (3) (()1x f x x=+； 解：函数的定义域为,1x R x ι-. 22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x x y x x x y x +-+¢==¹-++¢¢=+令0y ¢=得x =0，x =－2 当(,2]x Î-¥-时，0,()y f x ¢>单调增加；单调增加； 当[2,1)x Î--时，0,()y f x ¢<单调减少；单调减少； 当(1,0]x Î-时，0,()y f x ¢<单调减少；单调减少； 当[0,)x Î+¥时，0,()y f x ¢>单调增加, 故函数有极大值f (－2)=－4，有极小值f (0)=0 又211lim ()lim 1x x x f x x ®-®-==¥+，故x =－1为无穷型间断点且为铅直渐近线. 又因()lim 1x f x x ®¥=， 且2lim(())lim 11x x x f x x x x ®¥®¥éù-==--êú+ëû， 故曲线另有一斜渐近线y =x －1. 综上所述，曲线图形为：综上所述，曲线图形为：－∞，+∞) . 22(1)(1)22(1)e e2(241)x x y x y x x ----¢=--¢¢=×-+22±. 22][1,22-++¥22]2时，y 112222,),,)22---+曲线族曲线族,,,,01ecxA y x ABC B -=-¥<<+¥>+建立了动物的生长模型. (1) 画出B =1时的曲线()1e cxAg x -=+的图像，参数A 的意义是什么(设x 表示时间，y 表示某种动物数量)？解：2e ()0(1e )cx cx Ac g x --¢=>+，g (x )在(－∞，+∞)内单调增加，内单调增加， 222244e e 2(1e )e e (1e )()(1e )(1e )cx cx cx cx cx cx cx cx Ac Ac Ac g x ---------+×+×--¢¢==++ 当x >0时，()0,()g x g x ¢¢<在(0，+∞)内是凸的. 当x <0时，()0,()g x g x ¢¢>在(－∞，0)内是凹的. 当x =0时，()2A g x =. 且lim ()0,lim ()x x g x g x A ®-¥®+¥==.故曲线有两条渐近线y =0，y =A .且A 为该种动物数量(在特定环境中)最大值，即承载容量.如图：如图：(2) 计算g (－x )+g (x )，并说明该和的意义；，并说明该和的意义； 解：()()1e 1e cx cx A A g x g x A--+=+=++. (3) 证明：曲线1e cxAy B -=+是对g (x )的图像所作的平移. 证明：∵()1e 1e e c x T cx cTA Ay B B -+--==++取e 1cT B -=，得ln BT c=即曲线1e cx A y B -=+是对g (x )的图像沿水平方向作了ln BT c =个单位的平移. 。
高等数学期末复习：3-习题课li
且F (0) 0, F (1) f (1) 0. 根据罗尔定理, 存在 (0,1),使得 F'() 0. 于是 : f'() f () 0.
即 : f'() f() .
例5
设f (x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导, 且f (a) f (b) 0. 证明至少存在一点c (a,b)使 f (c) f (c) 0
试证： | f '(0) | | f '(a) | Ma .
证明：设 f ( x) 在 x c , c (0, a) 处达到最大值, 于是f '(c) 0.
由 Lagrange 中值定理得到
f '(c) f '(0) f ''(1 )c, 1 (0, c),
f '(a) f '(c) f ''(2 )(a c), 从而 | f '(0) || f ''(1 ) | c Mc ,
(2)
由(1) (2)得 f '[ ( x)x] f '[1 ( x)x]
再由Rolle定理, 在 ( x),1 ( x)之间, 使 f ''( ) 0.
于已知矛盾！ 从而， ( x) 是唯一的.
2. 由Taylor 公式
f ( x) f (0) f '(0)x 1 f ''( )x 2 ,
2 (c, a).
| f '(a) || f ''(2 ) | (a c) M(a c), 故 | f '(0) | | f '(a) | Ma.
例8 设f ( x)在 [a, b] 上可导，证明：
高等数学课后习题答案第三章
习题三1(1)解：所给函数在定义域(,)−∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x ′=−−=+−可得函数的两个驻点：121,3x x =−=,在(,1),(1,3),(3,)−∞−−+∞内，y ′分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)−∞−+∞内单调增加，在[1,3]−内单调减少.(2)解:函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x ′=−，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y ′<；在[2,)+∞内y ′>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3)解:函数定义域为(,)−∞+∞，0y ′=>,故函数在(,)−∞+∞上单调增加.(4)解:函数定义域为(,)−∞+∞,22(1)(21)y x x ′=+−，则函数有驻点:11,2x x =−=,在1(,]2−∞内，0y ′<，函数单调减少；在1[,)2+∞内，0y ′>，函数单调增加.(5)解:函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n x n x x n y nx x x n x −−−−−′=−=−函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y ′>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y ′<，函数单调减少.(6)解:函数定义域为(,)−∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪−∈−∈⎪⎩Z Z 1)当π[π,π]2x n n ∈+时，12cos 2y x ′=+，则1π0cos 2[π,π23y x x n n ′≥⇔≥−⇔∈+；πππ0cos 2[π,π]232y x x n n ′≤⇔≤−⇔∈++.2)当π[π,π]2x n n ∈−时，12cos 2y x ′=−，则1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n ′≥⇔≤⇔∈−−1π0cos 2[π,π]26y x x n n ′≤⇔≥⇔∈−.综上所述，函数单调增加区间为πππ[,)223k k k z +∈，函数单调减少区间为ππππ[,)2322k k k z ++∈.(7)解:函数定义域为(,)−∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x ′=−++−+⋅=+−−函数驻点为123111,,2218x x x =−==,在1(,]2+∞−内，0y ′>,函数单调增加，在111[,]218−上，0y ′<,函数单调减少，在11[,2]18上，0y ′>,函数单调增加，在[2,)+∞内，0y ′>,函数单调增加.故函数的单调区间为:1(,]2−∞−，111[,218−，11[,)18+∞.2.(1)证明:令()sin tan 2,f x x x x =−−则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x −++′=,当π02x <<时，()0,()f x f x ′>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=,即sin 2tan 2.x x x −>(2)证明:令2()=e sin 12xx f x x −+−−,则()=e cos xf x x x −′−+−,()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x −−′′−−=−+<,则()f x ′为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ′′<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2xx x −+<+3.证明:设()sin f x x x =−，则()cos 10,f x x =−≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.4.(1)解:22y x ′=−,令0y ′=，得驻点1x =.又因20y ′′=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =.(2)解:266y x x ′=−,令0y ′=，得驻点120,1x x ==,126y x ′′=−,010,0x x y y ==′′′′<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =−.(3)解:2612186(3)(1)y x x x x ′=−−=−+,令0y ′=，得驻点121,3x x =−=.1212y x ′′=−,130,0x x y y =−=′′′′<>,故极大值为(1)17y −=，极小值为(3)47y =−.(4)解:1101y x ′=−=+，令0y ′=，得驻点0x =.201,0(1)x y y x =′′′′=>+,故(0)0y =为极大值.(5)解:32444(1)y x x x x ′=−+=−，令0y ′=，得驻点1231,0,1x x x =−==.210124, 0,0,x x y x y y =±=′′′′′′=−+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值.(6)解:1y ′=,令0y ′=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]−∞内有一不可导点21x =，当34x >时，0y ′<;当34x <时，0y ′>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =.因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点.(7)解:y ′=,令0y ′=，得驻点125x =.当125x >时，0y ′<；当125x <，0y ′>,故极大值为12()5y =.(8)解:2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x −+′=++,令0y ′=，得驻点122,0x x =−=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x −−+++++′′=++200,0x x y y =−=′′′′><,故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y −=.(9)解:e (cos sin )x y x x ′=−,令0y ′=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±±⋯.2e sin x y x ′′=−，ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++′′′′<>，故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π42()k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)π421()k k y x +++=.(10)解:11211ln (ln )xxxy x x x x x −′′==,令0y ′=，得驻点e x =.当e x >时，0y ′<，当e x <时，0y ′>,故极大值为1e(e)e y =.(11)解:2e e x xy −′=−,令0y ′=，得驻点ln 22x =−.ln 222e e ,0x x x y y −=−′′′′=+>,故极小值为ln 2()2y −=.(12)解:y ′=，无驻点.y 的定义域为(,)−∞+∞，且y 在x =1处不可导，当x >1时0y ′<，当x <1时，0y ′>，故有极大值为(1)2y =.(13)解:y ′=无驻点.y 在1x =−处不可导，但y ′恒小于0，故y 无极值.(14)解:21sec 0y x ′=+>,y 为严格单调增加函数，无极值点.5.证明：232y ax bx c ′=++，令0y ′=，得方程2320ax bx c ++=，由于22(2)4(3)4(3)0b a c b ac ∆=−=−<，那么0y ′=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值.6.解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有π3π0()(cos cos3)3x f a x x =′==+，得a =2.又π3π0((2sin 3sin 3)3x f x x =′′=<=−−，所以π3x =是极大值点，极大值为π()3f =7.（1）解：y 的定义域为(,0)−∞，322(27)0x y x +′==，得唯一驻点x =－3且当(,3]x ∈−∞−时，0y ′<，y 单调递减；当[3,0)x ∈−时，0y ′>，y 单调递增,因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27.又lim ()x f x →−∞=+∞，故f (x )无最大值.(2)解：10y ′==，在(5,1)−上得唯一驻点34x =，又53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎞==−=−⎜⎟⎝⎠ ,故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为545−.(3).解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而y (－1)=－5，y (0)=2，y (2)=－14，y (3)=11,故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14.8.解：20y ax b ′=+=得2b x a =−不可能属于以0和ba 为端点的闭区间上,而22(0)0,b b y y a a ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠,故当a >0时，函数的最大值为22b b y a a ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，最小值为(0)0y =;当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22b b y a a ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠.9.解：令y =,y ′===令0y ′=得x =1000.因为在(0，1000)上0y ′>，在(1000,)+∞上0y ′<,所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)y y ==.故数列的最大项为1000a =.10.证明：11,01111(),01111,11x x x a f x x ax x a x a x x a ⎧+<⎪−−+⎪⎪=+≤≤⎨+−+⎪⎪+>⎪++−⎩当x <0时，()()2211()011f x x x a ′=+>−−+;当0<x <a 时，()()2211()11f x x x a ′=−++−+;此时令()0f x ′=，得驻点2a x =，且422a f a ⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠，当x >a 时，()()2211()011f x x x a ′=−−<++−,又lim ()0x f x →∞=，且2(0)()1a f f a a +==+.而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得故{}max 242(),,0121a af x a a a++==+++.11.解：设圆柱体的高为h ,，223πππ4V h r h h =⋅=−令0V ′=,得.h =即圆柱体的高为3r 时，其体积为最大.12.解：由题设知21π22x xy a⎛⎞+⋅=⎜⎟⎝⎠得21π18π8a x a y x x x −==−截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x x x al x x=++⋅=+−+=++′=+−令()0l x ′=得唯一驻点x =，即为最小值点.即当x =.13.解：所需电线为()(03)()L x x L x =<<′=在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短.14.解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a xV x ax a =−⋅=−+′=−+令0V ′=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =.即小正方形边长为6a时方盒容积最大.15.(1)解：42,20y x y ′′′=−=−<，故知曲线在(,)−∞+∞内的图形是凸的.(2)解：cosh ,sinh .y x y x ′′′==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ′′>，当(,0)x ∈−∞时，0y ′′<，故y =sinh x 的曲线图形在(,0]−∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.(3)解：23121,0y y x x ′′′=−=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的.(4)解：2arctan 1x y x x ′=++，2220(1)y x ′′=>+故曲线图形在(,)−∞+∞内是凹的.16.(1)；解：23103y x x ′=−+610y x ′′=−，令0y ′′=可得53x =.当53x <时，0y ′′<，故曲线在5(,)3−∞内是凸弧；当53x >时，0y ′′>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧.因此520,327⎛⎞⎜⎟⎝⎠是曲线的唯一拐点.(2)解：(1)e , e (2)x xy x y x −−′′′=−=−令0y ′′=，得x =2当x >2时，0y ′′>，即曲线在[2,)+∞内是凹的；当x <2时，0y ′′<，即曲线在(,2]−∞内是凸的.因此(2，2e －2)为唯一的拐点.(3)；解：324(1)e , e 12(1)0x x y x y x ′′′=++=++>故函数的图形在(,)−∞+∞内是凹的，没有拐点.(4)解：222222(1), 1(1)x x y y x x −′′′==++令0y ′′=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ′′>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ′′<，即在(,1],[1,)−∞−+∞内曲线是凸的.因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).(5)；解：arctan arctan 222112e ,e1(1)x xx y y x x −′′′==++ 令0y ′′=得12x =.当12x >时，0y ′′<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的；当12x <时，0y ′′>，即曲线在1(,]2−∞内是凹的，故有唯一拐点1arctan 21(,e )2.(6)解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x ′′′=−= 令0y ′′=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ′′>，即曲线在[1,)+∞内是凹的;当0<x <1时，0y ′′<，即曲线在(0，1]内是凸的，故有唯一拐点(1，－7).17.(1);证明：令()nf x x =12(),()(1)0n n f x nx f x n n x −−′′′==−> ，则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +∀∈，()()22f x f y x y f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠,即1()22nn n x y x y +⎛⎞<+⎜⎟⎝⎠.(2);证明：令f (x )=e x()e ,()e 0x x f x f x ′′′==> .则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y∀∈≠ 则()()22f x f y x y f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠即2e e e2x yx y ++<.(3)证明：令f (x )=x ln x (x >0)1()ln 1,()0(0)f x x f x x x′′′=+=>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +∀∈，x ≠y ，有()()22f x f y x y f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠即1ln (ln ln )222x y x y x x y y ++<+，即ln ln ()ln2x y x x y y x y ++>+.18.(1)解：22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t xt x t +−==令22d 0d yx =，得t =1或t =－1则x =1，y =4或x =1，y =－4当t >1或t <－1时，22d 0d yx >，曲线是凹的，当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d yx <，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).(2)解：32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a xa θθθθθ⋅⋅==−⋅−222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a a θθθθθθ=−+⋅=⋅−−令22d 0d y x =，得π3θ=或π3θ=−，不妨设a >0tan θ>>时，即ππ33θ−<<时，22d 0d y x >，当tan θ>或tan θ<π3θ<−或π3θ>时，22d 0d y x <,故当参数π3θ=或π3θ=−时，都是y的拐点，且拐点为3,2a ⎞⎟⎠及3,2a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠.19.证明：22221(1)x x y x −++′=+，y ′′=令0y ′′=，得1,22x x x =−=+=−当(,1)x ∈−∞−时，0y ′′<；当(1,2x ∈−时0y ′′>；当(22x ∈−+时0y ′′<；当(2)x ∈++∞时0y ′′>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2−+.因为111212−−+因此三个拐点在一条直线上.20.解：y′=3ax 2+2bx ,y″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩解得39,22a b =−=.21.解：令f (x )=ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.22.解：224(3),12(1)y kx x y k x ′′′=−=− 令0y ′′=，解得x =±1，代入原曲线方程得y =4k ，只要k ≠0，可验证(1，4k )，(－1，4k )是曲线的拐点.18x k y =±′=±，那么拐点处的法线斜率等于18k ∓，法线方程为18y x k =∓.由于(1，4k )，(－1，4k )在此法线上，因此148k k =±,得22321, 321k k ==−(舍去)故8k ==±.23.答：因00()()0f x f x ′′′==，且0()0f x ′′′≠，则x =x 0不是极值点.又在0(,)U x δ�中，000()()()()()()f x f x x x f x x f ηη′′′′′′′′′′=+−=−，故()f x ′′在0x 左侧与0()f x ′′′异号，在0x 右侧与0()f x ′′′同号，故()f x 在x =x 0左、右两侧凹凸性不同，即00(,())x f x 是拐点.24.(1)；解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +−−′==++−′′=+令0y ′=，可得1x =±，令0y ′′=，得x =0，,当x→∞时，y→0，故y=0是一条水平渐近线.函数有极大值1(1)2f=，极小值1(1)2f−=−，有3个拐点，分别为,⎛⎜⎝(0，0)，，作图如上所示.(2)解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)yxxyx′=−+′′=+令y′=0，可得x=±1，令y″=0，可得x=0.列表讨论如下：x0(0，1)1(1，∞)y′－0+y″0++y0极小又()2lim lim(1arctan)1x xf xxx x→∞→∞=−=且lim[()]lim(2arctan)πx xf x x x→+∞→+∞−=−=−故πy x=−是斜渐近线，由对称性知πy x=+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y=−，极大值π(1)12y−=−.(0，0)为拐点.作图如上所示.(3)；解：函数的定义域为,1x R x∈≠−.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x xy xx xyx+−+′==≠−++′′=+令y′=得x=0，x=－2当(,2]x∈−∞−时，0,()y f x′>单调增加；当[2,1)x∈−−时，0,()y f x′<单调减少；当(1,0]x∈−时，0,()y f x′<单调减少；当[0,)x∈+∞时，0,()y f x′>单调增加,故函数有极大值f(－2)=－4，有极小值f(0)=0又211lim()lim1x xxf xx→−→−==∞+，故x=－1为无穷型间断点且为铅直渐近线.又因()lim1xf xx→∞=，且2lim(())lim11x xxf x x xx→∞→∞⎡⎤−==−−⎢⎥+⎣⎦，故曲线另有一斜渐近线y=x－1.综上所述，曲线图形为：(4)解：函数定义域为(－∞，+∞).22(1)(1)22(1)e e 2(241)x x y x y x x −−−−′=−−′′=⋅−+令0y ′=，得x =1.令0y ′′=，得1x =±.当(,1]x ∈−∞时，0,y ′>函数单调增加；当[1,)x ∈+∞时，0,y ′<函数单调减少；当(,1[1)x ∈−∞−++∞∪时，0y ′′>，曲线是凹的；当[1,122x ∈−+时，0y ′′<，曲线是凸的,故函数有极大值f (1)=1，两个拐点：1122(1,e ),(1,e )22A B −−−+，又lim ()0x f x →∞=，故曲线有水平渐近线y =0.图形如下：25.(1)解：2e ()0(1e )cxcx Ac g x −−′=>+，g (x )在(－∞，+∞)内单调增加，222244e e 2(1e )e e (1e )()(1e )(1e )cx cx cx cx cx cx cx cx Ac Ac Ac g x −−−−−−−−−+⋅+⋅−−′′==++当x >0时，()0,()g x g x ′′<在(0，+∞)内是凸的.当x <0时，()0,()g x g x ′′>在(－∞，0)内是凹的.当x =0时，()2A g x =.且lim ()0,lim ()x x g x g x A→−∞→+∞==.故曲线有两条渐近线y =0，y =A .且A 为该种动物数量(在特定环境中)最大值，即承载容量.如图：(2)解：()()1e 1e cx cxA Ag x g x A −−+=+=++.(3)证明：∵()1e 1e e c x T cx cT A Ay B B −+−−==++取e1cTB −=，得ln B T c =即曲线1e cx A y B −=+是对g (x )的图像沿水平方向作了ln B T c =个单位的平移.26.解：324d π,π,.3d r V r A r v t === 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V rr v t r t A A r r v t r t=⋅=⋅=⋅=⋅27.解：d d de e .d d d a a r r a a t t ϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=28.解：22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t t ϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅−⋅=−=⋅=⋅=29.解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得d d 32180d d x yx y t t⋅+⋅=由d d d d x y tt −=.得161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠.30.解：当水深为h时，横截面为212s h ==体积为22212V sh h ′====d d 2d d V hh t t=⋅当h =0.5m 时，31d 3m min d Vt −=⋅.故有d 320.5d ht =⋅，得d d h t =(m 3·min －1).31.解：设t 小时后，人与船相距s公里，则d d s s t ===且120d 8.16d t st ==≈(km ·h－1)32.解：d d d 236.d d d y y xx x t x t=⋅=⋅=当x =2时，d 6212d yt =×=(cm ·s －1).33.证明：如图，设在t 时刻，人影的长度为y m.则53456y y t=+化简得d 7280,40,40d yy t y t t ===(m ·min －1).即人影的长度的增长率为常值.34.解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)当x =2时，0,2y y ′′′==− ，故23/22.(1)y k y ′′==′+35.解：sinh ,cosh .y x y x ′′′== 当x =0时，0,1y y ′′′== ，故23/21.(1)y k y ′′==′+36.解：cos ,sin y x y x ′′′==−.当π2x =时，0,1y y ′′′==− ，故23/21.(1)y k y ′′==′+37.解：2tan ,sec y x y x ′′′== 故223/223/2sec cos (1)(1tan )y x k x y x ′′===′++1sec R x k ==.38.解：22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d y y a t t t t x x a t tt ===−−，22224d d d(tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x x x ta t t a t t t −−=−=⋅==−，故423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t t k t a t==+−且当t =t 0时，23sin 2k a t =.39.解：cos ,sin y x y x ′′′==− .23/223/2(1cos )1sin ,sin (1cos )x x R k x R x +===+ 显然R 最小就是k 最大，225/22cos (1sin )(1cos )x x k x +′=+令0k ′=，得π2x =为唯一驻点.在π0,2⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0k ′>，在π,π2⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0k ′<.所以π2x =为k 的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为23/2π2(1cos )1sin x x R x=+==.40.解：由ln 0y x y =⎧⎨=⎩解得交点为(1，0).1112111,11.x x x x y x y x ====′==′′=−=−故曲率中心212(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧′′⎡⎤+==−⎪⎢′′⎣⎦⎪⎨′⎡⎤+⎪==−+⎢⎥⎪′′⎣⎦⎩曲率半径为R =.故曲率圆方程为：22(3)(2)8x y −++=.41.解：0010,5000x x y y ==′′′==，23/2(1)5000y R y ′+==′′飞行员在飞机俯冲时受到的向心力22702005605000mv F R ⋅===(牛顿)故座椅对飞行员的反力560709.81246F =+×=(牛顿).42.解：(1)边际成本为：()(300 1.1) 1.1.C q q ′′=+=(2)利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=−=−−′=−令()0L q ′=,得650q =即为获得最大利润时的产量.(3)盈亏平衡时：R (q )=C (q )即 3.9q －0.003q 2－300=0q 2－1300q +100000=0解得q =1218(舍去)，q =82.43.解：(1)利润函数为32322()70.010.6130.010.66()0.03 1.26L q q q q q q q qL q q q =−+−=−+−′=−+−令()0L q ′=，得231206000q q −+=即2402000q q −+=得20q =−(舍去)2034.q =+≈此时，32(34)0.01340.63463496.56L =−×+×−×=(元)(2)设价格提高x 元，此时利润函数为2()(7)(342)(34)220379.44L x x x C x x =+−−=−++令()0L x′=,得5x=(5)121.5696.56L=>故应该提高价格，且应提高5元.44.(1)解：y′=a即为边际函数.弹性为：1Ey axa xEx ax b ax b =⋅⋅=++,增长率为：yaax b γ=+.(2)解：边际函数为：y′=ab e bx弹性为：1eebxbxEyab x bx Ex a=⋅⋅=,增长率为：eebxy bxabbaγ==.(3)解：边际函数为：y′=ax a－1.弹性为：11aaEyax x a Ex x−=⋅⋅=,增长率为：1.ay aax ax x γ−==45.解：因弹性的经济意义为：当自变量x变动1%，则其函数值将变动% EyEx⎛⎞⎜⎟⎝⎠.故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.8×10%=8%，0.8×20%=16%.46.解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.。
高等数学(三)课后题答案
第一章 行列式1.()()[][][]23154110103631254=520010=8(1)3(1)321(1)(2)(3)2441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-⋯=-+-+-+⋯+2+1+0===+τ-⋯=+=+τ-⋯=⋯（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（） 当或时，为偶数，排列为偶排列当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1)13521)246(2)0123(1)244113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ⋯-⋯=++++⋯+-===+τ⋯-⋯=+=+τ⋯-⋯=⋯⋯-+-+（ 当或时，（为偶数，排列为偶排列当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1)3)2(1)2x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+⋯+2+1+0=----τ⋯=-τ⋯个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。
∴偶排列与奇排列各占一半。
4 （1）13243341a a a a 不是行列式的项 14233142a a a a 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列τ=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，∴应带负号（2）5142332451a a a a a 不是行列式的项 1352413524a a a a a =1324354152a a a a a 因为它的列排排列逆序列τ(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数∴应带正号。
高等数学课后题答案(西工大版)第3章
2 1− x ex + sin x
=
1 2
.
(2)
lim
ln(1 + x2 )
⎜⎛ 0 ⎟⎞
⎝0⎠
====
lim
2x 1+ x2
x→0 sec x − cos x
x→0 tan x sec x + sin x
=
lim
x→0
sin
x
⋅
1
2 +x
2
x(sec2 x
+
1)
2
= lim 1 + x 2 = 1
⎝π
⎠
⎝π
⎠
ln⎜⎛ 2 arctan x ⎟⎞
lim ln y = lim x ln⎜⎛ 2 arctan x ⎟⎞ = lim
x →+∞
x→+∞ ⎝ π
⎠ x→+∞
⎝π x −1
⎠
1 21
⎜⎛ 0 ⎟⎞
=⎝=0=⎠ = lim x →+∞
2 arctan x π 1 + x2 π
− x−2
=
−
lim
令
f
(x)
=
ex x
,
g(x)
=
1 x
,易验证
f
(x)
和
g(x)
在 [x1,
x2 ] 上满足柯西中值定理的条件,于
是存在 ξ ∈ (x1, x2 ) ,使得
f (x2 ) − f (x1 ) = f '(ξ ) , g(x2 ) − g(x1 ) g'(ξ )
e x2 − e x1
xex− ex
x2 x1 = x2
高数习题3答案
高数习题3答案高数习题3答案在学习高等数学的过程中，习题是非常重要的一环。
通过解答习题，我们可以巩固所学的知识，提高自己的思维能力和解题能力。
在这篇文章中，我将为大家提供高数习题3的答案，并对其中的一些难点进行解析。
1. 题目：计算极限lim(x->0) (sinx/x)解析：这是一个非常经典的极限题目，也是高数中最基础的极限之一。
我们可以通过泰勒展开公式来解答这个问题。
根据泰勒展开公式，我们可以将sinx展开为x-x^3/3!+x^5/5!-...，然后将其代入lim(x->0) (sinx/x)中，得到lim(x->0) (1-x^2/3!+x^4/5!-...)。
显然，当x趋近于0时，x^n(n为正整数)的幂次越高，其值越接近于0。
因此，我们可以得到lim(x->0) (1-0+0-...)，即极限的值为1。
2. 题目：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的极值点。
解析：要求函数的极值点，我们需要先求出函数的导数，然后令导数等于0，解得的x值即为函数的极值点。
对于给定的函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，我们可以求出其导数f'(x)=3x^2-6x+2。
将f'(x)=0代入解方程，我们可以得到x=1和x=2两个解。
将这两个解代入原函数f(x)中，我们可以得到f(1)=-1和f(2)=-3。
因此，函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的极值点为(1,-1)和(2,-3)。
3. 题目：计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
解析：计算定积分需要先求出被积函数的不定积分，然后将上下限代入求差即可。
对于给定的被积函数f(x)=x^2，我们可以求出其不定积分F(x)=(1/3)x^3。
将上下限0和1代入不定积分F(x)中，我们可以得到∫(0,1) x^2 dx = F(1) - F(0) = (1/3) - (0/3) = 1/3。
4. 题目：求函数f(x)=e^x的反函数。
高等数学三教材习题答案
高等数学三教材习题答案本文为高等数学三教材习题的解答，并未提供教材的具体内容。
为了方便阅读，将答案按照章节进行了分节归纳。
第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.2 无穷小量与无穷大量1.3 极限存在准则及计算方法1.4 极限的运算法则1.5 函数的连续性与间断点1.6 闭区间上连续函数的性质第二章：一元函数微分学2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 复合函数的导数2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 高阶导数与莱布尼茨公式2.6 微分的概念与性质第三章：一元函数积分学3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本不定积分3.3 定积分的概念与性质3.4 牛顿—莱布尼茨公式3.5 定积分的计算方法3.6 定积分的应用第四章：级数4.1 数项级数的概念与性质4.2 收敛级数的判别法4.3 正项级数的审敛法4.4 幂级数与泰勒级数第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的极限与连续性5.2 多元函数的偏导数5.3 隐函数与参数方程的偏导数5.4 全微分与全导数5.5 多元复合函数的偏导数5.6 高阶导数及其计算第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算方法6.6 三重积分的应用第七章：向量代数与空间解析几何7.1 向量的概念与运算7.2 空间直线与平面的方程7.3 空间曲线与曲面的方程7.4 空间曲线与曲面的切线与法线7.5 空间曲线的弧长7.6 空间曲线与曲面的曲率以上仅为各章节的小节标题，为了方便浏览，未在正文中再次提及。
敬请阅读教材以获取具体的习题解答。
注：本文仅提供高等数学三教材习题的答案，不包含教材内容，如有需要请自行准备教材。
高数（第三版）课后习题九详细答案
194习题九1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π4t =; (2)x 2+y 2+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π4t =的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭当π4t =时， ,,222a b c x y z ===切线方程为2220a b c x y z a c---==-. 法平面方程为0()0.222a b c a c x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 22022a c ax cz --+=. （2）联立方程组22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得d d 2220d d d d 10d d y z x y z x xy z x x⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 解得d d ,,d d y z x z x yx y z x y z--==--195在点M 0（1，-2，1）处，00d d 0,1d d M M y zx x ==- 所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为121101x y z -+-==- 法平面方程为1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0即x -z =0.(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得d d 22,21d d y z ym z x x==- 于是d d 1,d d 2y m z x y x z==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011,,2my z ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,故切线方程为 00000,112x x y y z z m y z ---==-法平面方程为000001()()()02m x x y y z z y z -+---=. 2. t (0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin2t在相应点的切线垂直于平面0x y +=，并求相应的切线和法平面方程。
第三次理科数学答案
第三次月考理科数学答案解析及命题意图参考二、填空题：20分。
函数知识和方法学习和理解程度把握情况综合检测，不拘泥常规问题训练。
13.【答案】[]5,2-- 14. 【答案】7 15.【答案】34k ≤或54k ≥ 16. 【答案】①③④ 三、解答题：70分。
17.(12分)本题设计内容是集合子集概念，集合间简单运算，分类辨析等思想，查数学运算推理抽象素养。
【解答】（1）3m =得{}|56B x x =<≤{}{}{}{}222|log (x 3)3|log(x 3)log 8|3x 5|36A x x x A B x x =+≤=+≤=-<≤⇒=-<≤ ............................5分（2）A B B B A =⇒⊆,若2134m m m -≥+⇒≥,B =Φ,符合题意； 若2134m m m -<+⇒<，且2131235m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩综上所述：实数m 取值范围为[][)1,24,-+∞..................10分18. (12分)主要针对函数双变量的“任意性问题”与“存在性问题”辨析思考及初等函数最值，考查抽象推理逻辑素养。
【解答】（1）因为[]12121,1,2,3,()g()2x x f x x ⎡⎤∀∈∃∈≤⎢⎥⎣⎦等价于()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦最大值小于g()x 在[]2,3上的最大值.g()x 在[]2,3递增，所以max g()8x a =+，()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，max 11()()822f x f ==+所以有1882a +≥+，即12a ≥.........6分 （2）由1202x y =->得104y ≤<，则212log (841)s xy y =++ 221122log (841)log (1241)xy y y y =++=-++21214log [12(y ))63=--+，故当1y 6=时，其最小值为124log 3............12分 19. (12分)幂函数定义和性质简单应用，以及不等式恒成立下最值求解，具体函数问题解决处理情况，函数是一种重要反映变量间的模型，应用广泛，考查学生运算及数学建模素养情况。
国开电大《高等数学基础》形考任务三国家开放大学试题答案
高等数学基础第三次作业第4章 导数的应用（一）单项选择题⒈若函数)(x f 满足条件（ ），则存在),(b a ∈ξ，使得ab a f b f f --=)()()(ξ．A. 在),(b a 内连续B. 在),(b a 内可导C. 在),(b a 内连续且可导D. 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导⒉函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（ ）． A. )2,(-∞ B. )1,1(- C. ),2(∞+ D. ),2(∞+- ⒊函数542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（ ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的（ ）．A. 间断点B. 极值点C. 驻点D. 拐点⒌设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（ ），则)(x f 在0x 取到极小值．A. 0)(,0)(00=''>'x f x fB. 0)(,0)(00=''<'x f x fC. 0)(,0)(00>''='x f x fD. 0)(,0)(00<''='x f x f⒍设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间内是（ ）．A. 单调减少且是凸的B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的D. 单调增加且是凹的（二）填空题⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的 点．⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f ． ⒊函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是 ．⒋函数2e )(x xf =的单调增加区间是 ．⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是 ． ⒍函数3352)(x x x f -+=的拐点是 ．（三）计算题⒈求函数2)5)(1(-+=x x y 的单调区间和极值．⒉求函数322+-=x x y 在区间]3,0[内的极值点，并求最大值和最小值． ⒊求曲线x y 22=上的点，使其到点)0,2(A 的距离最短．⒋圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？⒌一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？⒍欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（四）证明题⒈当0>x 时，证明不等式)1ln(x x +>．⒉当0>x 时，证明不等式1e +>x x．上面题目答案在最后一页，购买后才能查看参考答案单项选择题 题1答案：D 题2答案：D 题3答案：A 题4答案：C 题5答案：C 题6答案：A填空题题1答案：极小值 题2答案：0题3答案：)0,(-∞ 题4答案：),0(+∞ 题5答案：)(a f 题6答案：x=0计算题题1答案：令)2)(5(2)5(2)1(2--=++='x x x x y5,2==⇒x x 驻点列表：极大值：27)2(=f 极小值：0)5(=f题2答案：令：）x x y 驻点(1022=⇒=-='6)3(=⇒f 最大值 2)1(=⇒f 最小值题3答案：解：上的点是设x y y x p 2),(2=，d 为p 到A 点的距离，则：x x y x d 2)2()2(222+-=+-=102)2(12)2(22)2(222=⇒=+--=+-+-='x xx x xx x d 令。
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1
( x) ，g ( x) x a ( x) ，
x 0
lim
f (a x) f (a) x (a x) lim (a) ，即 f ( x) 在 x a 处可导的，且 f (a ) (a ) x 0 x x
而 g ( a x ) g ( a ) x ( a x )
( x) f ( x) sin x 在 x 0 点 可 导 . 而
(0) lim
x0
f (x) sin x 0 f (x) sin x 0 f (x)sin x f (x)sin x (0) lim lim f (0) ， lim f (0) x0 x 0 x 0 x 0 x x 0 x
，
题型 2 连续性、可导性和导函数连续性判断
例 4. 设 f ( x)
a ln(1 x) bx 2
x0 ，试确定常数 a 和 b ，使函数 f ( x) 在 x 0 点可导. x0
x 0 x 0 x 0 x 0
f ( x) lim a ln(1 x) a ， lim f ( x) lim bx 2 2 解： 因为 f ( x) 在 x 0 点应连续，由 lim
1 ③要 f ( x) 的导函数在 x 0 点连续，由 f (0) 0 及 f ( x) x sin
1 1 x 2 x sin cos x x
只要 lim x
提 示 ： 方 法 1 ： 利 用 导 数 的 定 义 ； 方 法 2 ： 设 g ( x) ( x 1)( x 2) ( x n) ， f ( x) xg ( x) ， 则
f ( x) g ( x) xg ( x) ，从而 f (0) g (0) n ! .
即 F ( x) 在 x 0 处可导 f (0) f (0) f (0) 0 . 练习：设 f ( x) 在 x a 处可导，证明 f ( x ) 在 x a 处不可导的充要条件是 f ( a ) 0 且 f (a ) 0 。 等 价 于 ： 设 f ( x) 在 x a 处 可 导 ， 证 明 f ( x) 在 x a 处 可 导 的 充 要 条 件 是 f (a ) 0 或 者
x 0
1 f ( x hx) h x 练习 3： 已知函数 f ( x) 在 (0, ) 内可导， f ( x) 0, lim f ( x) 1 ，且满足 lim e ，求 x h 0 f ( x )
f ( x) . 提示： f ( x) e x .
f (a) f (a) 0 。
证明：设 f (a ) 0 ，不妨设 f (a ) 0 ，因为 f ( x) 在 x a 处可导，所以 f ( x) 在 x a 处连续，于是由极 限的保号性知， 0, x U (0, ), f ( x) 0 ，于是 f ( x ) f ( x) ，这样 f ( x ) 在 x a 处可导。 设 f (a ) 0 ，于是 f ( x ) x a lim
n
1 x （4） lim ； )] ； x 0 f ( x ) f ( x x ) 2n 0 0
（5） lim
n
f ( x0 xn ) f ( x0 yn ) ( xn ~ yn , n ) . xn f ( x0 xn ) f ( x0 yn ) ( yn x0 xn , lim xn lim yn x0 ) 。 n n xn yn
x 0
x 0 x 0
例 5 设 f ( x) 在 x a 的某个邻域内有定义，则 f ( x) 在 x a 处可导的一个充分条件是（ （A） lim h[ f ( a ) f ( a )] 存在； （B） lim
）
1 f ( a 2h ) f ( a h) 存在； h h 0 h h f ( a h) f ( a h) f ( a ) f ( a h) （C） lim 存在； （D） lim 存在； h 0 h 0 h 2h
1, x 0 ，故选（B）. 0, x 0
）
例 6 设 f ( x) 可导， F ( x ) f ( x )(1 sin x ) ，则 f (0) 0 是 F ( x) 在 x 0 处可导的（ （A）充分必要条件（B）充分但不必要（C）必要非充分（D）既非充分又非必要 提 示 ： f ( x) 可 导 ， F ( x) 在 x 0 处 可 导 充 要 条 件 是
f (0) 2 a 2
f (0) lim
再看 f ( x) 在 x 0 点左右导数 ，
1 x) 2 ln( 1 x) f ( x) f (0) a ln( lim lim 1 x0 x0 x0 x 0 x x f ( x) f (0) bx 2 2 lim b f (0) lim x0 x 0 x0 x
第三次习题课
题型 1 用导数定义计算极限
例 1 已知 f ( x) 在 x0 处可导，则 （1） lim
h 0
f ( x0 3h) f ( x0 ) ； h 1 n
（2） lim
h 0
f ( x0 h) f ( x0 h) ； 2h
（3） lim n[ f ( x0 ) f ( x0
例 3. 设函数 ( x) 在点 x a 处连续， 且 ( x) 不恒为 0 ， 又设 f ( x) ( x a ) 试讨论 f ( x) 与 g ( x) 在 x a 处可导性. 解： 题中只假定 ( x) 在连续，故只能从定义出发讨论 f ( x) 与 g ( x) 可导性
x x0 0
x x0 0
lim f ( x) f ( x0 ) .
1 x0 x sin 例8 设 f ( x) ， 其中 为常数， 且当 x 0 时， 使 x 有意义， 讨论 取何值时， 在x 0 x x0 0
点① f ( x) 连续；② f ( x) 可导；③ f ( x) 的导函数连续. 解： ①要 f ( x) 在 x 0 连续，即 lim x sin
（B） （C）可用反例 f ( x) 提示：这四个选项都是必要条件， （A） f ( a ) 存在，
1, x a ，则 f ( x) 在 0, x a
x a 处间断，而极限都存在且为 0，故选（D）.
练习：设 f (0) 0 ，则 f ( x) 在 x 0 可导的充要条件是（ ）
1 f (1 cosh) 存在； h 0 h 2 1 （C） lim 2 f (h sinh) 存在； h 0 h
（A） lim
（B） lim
1 f (1 e h ) 存在； h 0 h 1 （D） lim [ f (2h) f ( h)] 存在；. h 0 h
提示： （A） （C）可用反例 f ( x ) x ， （D）可用反例 f ( x)
x (a x) g (a x) g (a) (a) lim x 0 x 0 x x x (a x) g (a x) g (a ) lim (a) lim x 0 x 0 x x lim
故当 (a ) 0 时， g ( x) 在 x a 处可导，且 g (a ) 0 ，当 (a ) 0 时， g ( x) 在 x a 处不可导.
x a
'
f ( x) f (a) f ( x) f ( x) f (a) lim lim x a x a x a xa xa
= lim
x a
f ( x) f (a ) f (a ) ， xa
。 若 f (a ) 0 ，则 f ( x) x a 不存在；若 f (a ) 0 ，则 f ( x) x a 0 0 （存在） 综上所述： 若 f ( a ) 0, f ( x) 在 x a 处可导； 若 f ( a ) f ( a ) 0, f ( x) 在 x a 处可导； 若 f ( a ) 0, f ( a ) 0, f ( x) 在 x a 处不可导；证毕！
思考： lim
n
提示：变形成函数值的差与对应的自变量差的比的形式. （2） f ( x0 ) ； （3） （1） 3 f ( x0 ) ；
3 1 （4） ； （5） 2 f ( x0 ) . f ( x0 ) ； 2 f ( x0 )
.
例 2 设 f ( x) x( x 1)( x 2) ( x n) ，则 f (0) =
练习 1：设 f ( x)
( x 1)( x 2) ( x n) ，求 f (1) . ( x 1)( x 2) ( x n)
答案为 ( 1)
n 1
1 . n(n 1) f ( x) f (0) 。答案为 g ( x) g (0)
1
练习 2:已知 f (0) 0, g (0) 0 ，且 f (0), g (0) 存在； g (0) 0 ，求 lim
x 0
1 0 ，只要 0 ； x
②要 f ( x) 在 x 0 可导，按导数定义应有
x sin lim
x 0
1 0 1 x lim x 1 sin 0 存在，只要 1 0 ，即 1 0 x x0 x 1 1 x 2 cos x x
即 f (0) 24 f (0) 12 ，故选（C）. 练习：函数 f ( x) ( x x 2) x x 不可导点的个数是(B).
2 3
(A)3,
(B)2,