福建省三明一中2014届高三上学期第一次月考 数学文试题

福建省三明一中2013-2014学年高三上学期第一次月考 文科数学（总分150分，时间：120分钟）参考公式：柱体体积公式：Sh V =；锥体体积公式：Sh V 31=； 球表面积公式：24R S π=；球的体积公式：334R V π=一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}21|{},2,1,0{<<-==x x B A ，则A B =（ ）A.}0{B. }1{C. }1,0{D. }2,1,0{2．已知向量),2(),1,1(x b a =-=，若b a //，则实数x 的值是（ ） A.-2B.0C.1D.23．设}{n a 是等差数列，若13,372==a a ，则数列}{n a 前3项的和是（ ） A.6B.9C.12D. 154．函数xx f x12)(-=的零点所在的区间是（ ） A. )21,0( B. )1,21( C. )23,1(D. )2,23(5．函数)2(,21)(>-+=x x x x f ，则)(x f 有（ ） A. 最小值4B. 最大值4C.最小值-4D. 最大值-46．等差数列}{n a 中，若1062a a a ++为一确定常数，则下列前n 项和也是常数的是（ ）A. 6SB. 11SC. 12SD. 13S7．已知正ABC ∆的边长是a ，那么ABC ∆的直观图'''C B A ∆的面积是（ ） A.243a B.283a C.286a D.2166a 8．设b a <，函数)()(2b x a x y --=的图象可能是（ ）9．已知一实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔化成一实心正方体，则该正方体的表面积为（ ）A.32216π B. 3216π C. 3210π D. 32210π10.如下图，S R Q P ,,,点分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是（ ）11．已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线斜率为3，数列})(1{n f 的前n 项和为n S ，则2014S 的值为（ ）A.20132012B.20142013C.20152014D.2016201512．存在正数x ，使不等式1)(2<-a x x 成立，则a 的取值范围是（ ）A ．),(+∞-∞B ．),2(+∞-C ．),0(+∞D ．),1(+∞-二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．计算：=+-ii21____________. 14．等比数列}{n a 的前n项和为n S ，若4,184==S S ，则=+++16151413a a a a ____________．15．平面向量与的夹角为︒60，1||),0,2(==，则=+|2|____________． 16．已知集合M 是满足下列条件的函数)(x f 的全体：（1）)(x f 既不是奇函数也不是偶函数；（2）函数)(x f 有零点．那么在下列函数中：①1||)(+=x x f ； ②12)(-=x x f ；③⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=0,20,00,2)(x x x x x x f ； ④x x x x f ln 1)(2+--=；属于集合M 的有 ．（写出所有符合条件的函数序号）三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知R m ∈，复数i m m m m z )32(122-++--=，当m 为何值时．（1）R z ∈； （2）z 是纯虚数； （3）z 对应的点位于复平面的第二象限． 18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 中， 11=a 且321+=+n n a a ．（1）求证：数列}3{+n a 是等比数列； （2）求数列}{n a 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）右图为一长方体截去一个角后所得多面体的直观图以及它的正视图和侧视图．（1）按三视图的作图要求画出该多面体的俯视图； （2）按给出的尺寸，求该多面体的体积．20.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n 222+=，数列}{n b 的前n 项和为n n b T -=2．（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）令n n n b a c ⋅=2，证明：当且仅当3≥n 时，n n c c <+1．ks5u21.（本小题满分12分）已知数列}{n a 为递增的等比数列，且}4,3,2,1,0,1,2,3{},,{321---⊂a a a ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）是否存在等差数列}{n b ，使32)32(2211+⨯-=+++n n n n b a b a b a 对一切*N n ∈都成立？若存在，求出}{n b 的通项公式，若不存在，说明理由．22．（本小题满分14分）已知函数x x x f ln 2)(2-=． （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当],1[e ex ∈时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程a x x x f +-=2)(在区间]3,1[上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．三明一中2013-2014学年上学期第一次月考试卷高三数学(文)试题答案一、选择题：（5×12=60）二、填空题：（4×4=16）13．i 5351- 14．27 15．32 16．②、④ 三、解答题：（17~21每题12分，第22题14分，共74分） 17．解： （1）∵R z ∈∴010322≠-=-+m m m 且 ……2分 ∴3-=m∴当3-=m 时，R z ∈． ……4分 （2）∵z 是纯虚数∴⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=--0320122m m m m ……6分 解得：2=m∴当2=m 时，z 是纯虚数． ……8分 （3）∵z 对应的点位于复平面的第二象限∴⎪⎩⎪⎨⎧>-+<--0320122m m m m ……10分 解得：21<<m∴当21<<m 时，z 对应的点位于复平面的第二象限． ……12分 18．解：（1）∵321+=+n n a a ks5u∴)3(231+=++n n a a ……2分 又11=a∴0431≠=+a ……3分∴数列}3{+n a 是以4为首项，2为公比的等比数列． ……4分 （2）由（1）知数列}3{+n a 的通项公式为1243-⋅=+n n a∴321-=+n n a ……6分432321)21(232222213221--=---⋅=-+++=+++=∴++n n n a a a T n n n nn ……11分∴数列}{n a 的前n 项和4322--=+n T n n ……12分 19．解：（1）按要求作出俯视图得分 ……5分（2）由图可知，所求多面体的体积为长方体体积减去一三棱锥的体积∴32842222131446=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V ……11分 ∴该多面体的体积为3284． ……12分 20．解：（1）∵n n S n 222+=∴当2≥n 时，n n n n n S S a n n n 4)1(2)1(222221=----+=-=- ……2分 又当1=n 时，411==S a ，适合上式 ……3分 ∴数列}{n a 的通项公式为)(,4*N n n a n ∈= ……4分 又∵n n b T -=2∴当2≥n 时，11122---+-=+--=-=n n n n n n n b b b b T T b ∴121-=n n b b ……6分 又当1=n 时，1112b T b -==，解得011≠=b ……7分 ∴数列}{n b 是以1为首项，21为公比的等比数列 ∴数列}{n b 的通项公式为)(,)21(*1N n b n n ∈=- ……8分（2）∵122)21(16-⋅=⋅=n n n n n b a c∴]2)1[()21(16)21(16)21()1(1621221--⋅⋅-=⋅-⋅+=--+n n n c c n n nn n (10)分∴当3≥n 时，0]2)1[()21(162<--⋅⋅-n n∴当且仅当3≥n 时，n n c c <+1． ……12分21．解：（1）由已知条件可得：4,2,1321===a a a ……3分 设数列}{n a 的公比为q ，则212==a a q ……4分 ∴数列}{n a 的通项公式为：)(,2*1N n a n n ∈=-； ……5分（2）假设存在等差数列}{n b ，使32)32(2211+⨯-=+++n n n n b a b a b a 对一切*N n ∈都成立，则)2(,32)52(32]3)1(2[11112211≥+⨯-=+⨯--=+++----n n n b a b a b a n n n n 将以上两式相减得：12)12(-⨯-=n n n n b a ……7分 ∴112)12(2--⨯-=⋅n n n n b 解得)2(,12≥-=n n b n ……9分 又132)32(11=+⨯-=b a 且11=a∴11=b 满足12-=n b n∴*)(,12N n n b n ∈-= ……11分∴存在等差数列}{n b 满足题意且数列}{n b 的通项公式为*)(,12N n n b n ∈-=． ……12分22．解：（1） 由函数x x x f ln 2)(2-=知其定义域为}0|{>x x ……1分 ∵xx x x x x f )1)(1(222)('-+=-= 令0)('>x f ，解得：1>x ；令0)('<x f ，解得：10<<x∴函数)(x f 单调增区间是),1(+∞；减区间是)1,0( ……4分 （2） 由题意知不等式m x f <)(对],1[e ex ∈∀恒成立 ∴],[,)(max e ex x f m 1∈> ……5分 ∴令0)('=x f 得)(1-1舍或=x当x 变化时，),(x f )('x f 的变化情况如下表：∴)}(),(max{)(max e f ef x f = ……7分 又2)(21)1(22-=<+=e ef ee f ∴2)()(2max -==e e f x f∴22->e m∴实数m 的取值范围是),2(2+∞-e ……9分（3）依题意：关于x 的方程a x x x f +-=2)(在区间]3,1[上恰好有两个相异的实根即方程a x x x x +-=-22ln 2在区间]3,1[上恰好有两个相异的实根∴化简得方程0ln 2=--a x x 在区间]3,1[上恰好有两个相异的实根 ……10分 令)0(,ln 2)(>--=x a x x x g ∴xx x x g 221)('-=-= 令0)('=x g ，得2=x∴当)2,0(∈x 时，0)('<x g ；当),2(+∞∈x 时，0)('>x g ks5u ∴函数)(x g 在区间)2,0(上为减函数，在区间),2(+∞上为增函数 ∴要使方程0ln 2=--a x x 在区间]3,1[上恰好有两个相异的实根，则⎪⎩⎪⎨⎧><>0)3(0)2(0)1(g g g 即⎪⎩⎪⎨⎧>--<-->-03ln 2302ln 2201a a a ……13分解得3ln 232ln 22-<<-a∴实数a 的取值范围是)3ln 23,2ln 22(--． ……14分。