第2讲.有理数基本运算.教师版
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x0 1 2 3 4 5 6 99 100 19.94 ， x0 30.06 ．
【补充】在整数 1，3，5，7，… ， 2k 1 ，… ，2005 之间填入符号“ ＋” 和“ －” 号，依此运算，所有可能 的代数和中最小的非负数是多少？ 【解析】 这道题也是一个老题，由于整数的符号不影响其奇偶性，因此也不影响代数和的奇偶性，我们首先 可以利用：1 3 5 2005 10032 ， 得知所有可能的代数和均为奇数， 再考虑到非负数这一条件， 我们期望这一最小值为 1． 接下来我们的目标无非是填入符号“ ＋” 和“ －” 凑出 1 来， 考虑到共有 1003 个数，我们需要利用周期性. 注意到， 7 9 11 13 0 ， 15 17 19 21 0 ， ， (2k 3) (2k 1) (2k 1) 2k 3 0 ， 1999 2001 2003 2005 0 ，因此容易凑出所要的结果来 1 1 3 5 7 9 11 13 1999 2001 2003 2005 ．
【例5】 （无锡市中考题、人大附中练习题改编）数轴的原点 O 上有一个蜗牛，第 1 次向正方向爬 1 个单位长 度，紧接着第 2 次反向爬 2 个单位长度，第 3 次向正方向爬 3 个单位长度，第 4 次反向爬 4 个单位长 度… … ，依次规律爬下去，当它爬完第 100 次处在 B 点． ① 求 O 、 B 两点之间的距离（用单位长度表示） ． ② 若点 C 与原点相距 50 个单位长度， 蜗牛的速度为每分钟 2 个单位长度， 需要多少时间才能到达？ ③ 若蜗牛的速度为每分钟 2 个单位长度，经过 1 小时蜗牛离 O 点多远？ 【解析】 ① 1 (2) 3 (4) 99 (100) 50 ， 故 O 、 B 两点之间的距离为 50 个单位长度． ②分两种情况，第一种情况：点 C 在数轴的正半轴，观察规律可知：除去第一次，依次每两次 结合相当于向正方向前进 1 米，所以再经过 (50 1) 2 98 （次）运动即可前进 50 米，到达 B 地； 用时为： (1 2 3 98 99) 2 2475 （分钟） ． 第二种情况：点 C 在数轴的负半轴，观察规律可知，每两次结合相当于向负半轴前进 1 米，故经过 100 次运动即可前进 50 米，到达 B 地，用时为： (1 2 100) 2 2525 （分钟） ． 1 2 3 4 5 6 n ③设第 n 次运动时，正好 60 分钟，那么有 60 ，所以 n 15 ，此时它离 2 2 2 2 2 2 2 A 点： 1 2 3 4 5 6 13 14 15 8 （米） ． 【巩固】（第 5 届希望杯 2 试）电子跳蚤在数轴上的某一点 K 0 ，第一步 K 0 向左跳 1 个单位到点 K1 ，第二步 由点 K1 向右跳 2 个单位到点 K 2 ， 第三步有点 K 2 向左跳 3 个单位到点 K 3 ， 第四步由点 K 3 向右跳 4 个 单位到点 K 4 ， ． ． ． ． ． ． ，按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 K100 所表示的数恰好 是 19.94 ． 求电子跳蚤的初始位置点 K 0 所表示的数． 【解析】 假设电子跳蚤的起点 K 0 为 x0 ，规定向左为负，向右为正，根据题意可得：
但是题目中要求在数与数之间填入符号“ ＋” 和“ －” 号，所以可以对算式的前 7 项做处理，修改为： 1 1 3 5 7 9 11 13 1999 2001 2003 2005
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例题精讲
板块一 有理数加、减混合运算
有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③一个数同 0 相加，仍得这个数.
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第二讲
有理数基本运
中考要求
内容 有理数运算 有理数的运算律 基本要求
理解乘方的意义 理解有理数的运算律
略高要求
掌握有理数的加、减、乘、除、乘方 及简单的混合运算（以三步为主） 能用有理数的运算律简化运算
较高要求
能运用有理数的运 算解决简单问题
重、难点
重点：按有理数的运算顺序、正确而合理地进行有理数混合运算； 难点：熟练掌握有理数的运算顺序和运算符号的确定和性质符号的处理。
【巩固】 (07 年希望杯培训试题)在 1，3，5，… ，101 这 51 个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一 个负号，则其代数式的绝对值最小为多少？ 【解析】 由于 1 3 5 7 101 512 为奇数，对于连续的 4 个奇数我们添加符号如下，使其结果为 0，即： (2n 1) (2n 3) (2n 5) (2n 7) 0 ，这样我们可以使后 48 个奇数和为 0，对于 1、3、5 我们可 以如下添加符号使其绝对值最小： 1 3 5 1 ，于是可得和的绝对值最小为 1．
【例4】 (07 年济南中考题)出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规 定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下: 15 ， 2 ， 5 ， 1 ， 10 ， 3 ， 2 ， 12 ， 4 ， 5 ， 6 ， ⑴将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远? ⑵如果汽车耗油量为 0.5 升/千米，这天下午小李共耗油多少升?
【巩固】 ⑴ a 0 ， b 0 则 a b 0； ⑵a 0 ，b 0 则a b 0； ⑶ a 0 ， b 0 ，则 a (b) 0；⑷ a 0 ， b 0 ，且 | a || b | ，则 a b 【解析】 ⑴＞；⑵＜；⑶＜；⑷＞.
0.
【例2】 (第 8 届希望杯) 1997 个不全相等的有理数之和为 0 ，则这 1997 个有理数中( ) A．至少有一个是零 B．至少有 998 个正数 C．至少有一个是负数 D．至多有 995 个是负数 【解析】 答案为 C 【巩固】（第 17 届希望杯 2 试）若 a b 0 c d ，则以下四个结论中，正确的是( ) A． a b c d 一定是正数． B． d c a b 可能是负数． C． d c b a 一定是正数． D． c d b a 一定是正数． 【解析】 分析： 答案为 C．a b c d 不能确定正负；d c a b 一定为正；d c b a 一定是正数；c d 为负， b a 为正， c d b a 不能确定正负．
【例3】 （北京）北京市 2007 年 5 月份某一周的日最高气温（单位：º C）分别为：25，28，30，29，31，32， 28，这周的日最高气温的平均值为（ ） A. 28º C B. 29º C C. 30º C D. 31º C
【解析】 B. 当一组大小比较集中的数字求和时，我们可以先找一个“ 基准数” ， （基准数尽量选用这组数的中 间数，同时兼顾它是整十、整百的数，方便计算）.本题中我们可以选用 30 为“ 基准数” ，那么平均 值=30+（-5-2+0-1+1+2-2）÷ 7=29（º C） ；其总和=30× 7+（-5-2+0-1+1+2-2）=203（º C）.
5 1 1 6 【例1】 计算：⑴ (2.39) (1.57) (3 ) ( 5 ) ( 2 ) (7.61) ( 32 ) ( 1.57) 6 7 6 7 1 1 ⑵ (0.75) 0.375 ( 2 ) 8 4 2 1 1 3 3 1 1 1 【解析】 ⑴原式 (10) 0 1 +(-38) 46 ；⑵原式 ( ) (2 ) (3) 2 3 3 8 8 4 4 2 2
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【解析】 ⑴ (15) (2) (5) (1) (10) (3) ( 2) (12) (+4)+( 5)+(+6)=39 ， 距离出发点为 39 千米； ⑵共走了 +15 + 2 + +5 + 1 + +10 + 3 + 2 + +12 + +4 + 5 + +6 =65 (千米)的里程， 所以耗油为 65 0.5 32.5 (升).
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2 1 2 1 【巩固】 ⑴ (4 ) ( 3 ) ⑵ (6 ) ( 9 ) | 3 | 7.4 9.2 (4) 3 3 5 5 1 7 1 1 1 ⑶ (14 ) ( 5 ) (1.25) ⑷ (8.5) 3 (6 ) 11 8 8 3 3 2 5 3 1 7 ⑸ (9 ) 15 (3 ) (22.5) ( 15 ) 12 4 4 12 2 1 2 1 【解析】 ⑴ (4 ) (3 ) 8 ⑵ (6 ) (9 ) | 3 | 7.4 9.2 ( 4) 0 3 3 5 5 1 7 1 1 1 ⑶ (14 ) ( 5 ) (1.25) 9.5 ⑷ (8.5) 3 ( 6 ) 11 0 8 8 3 3 2 5 3 1 7 ⑸ (9 ) 15 (3 ) (22.5) ( 15 ) 35 12 4 4 12
有理数加法的运算步骤： 法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号； ②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律： ①两个加数相加，交换加数的位置，和不变. a b b a (加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. (a b) c a (b c) (加法结合律) 有理数加法的运算技巧： ①分数与小数均有时，应先化为统一形式. ②带分数可分为整数与分数两部分参与运算. ③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零. ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加. ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. ⑥符号相同的数可以先结合在一起. 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数. a b a (b) 有理数减法的运算步骤： ①把减号变为加号（改变运算符号） ②把减数变为它的相反数（改变性质符号） ③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算. 有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号； ③利用运算律及技巧简便计算，求出结果. 注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为 只有加法的运算，即为求几个正数，负数和 0 的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每 个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式. 例如： 3 0.15 9 5 11 3 0.15 9 5 11 ， 它的含义是正 3，负 0.15，负 9，正 5，负 11 的和.
【补充】在整数 1，3，5，7，… ， 2k 1 ，… ，2005 之间填入符号“ ＋” 和“ －” 号，依此运算，所有可能 的代数和中最小的非负数是多少？ 【解析】 这道题也是一个老题，由于整数的符号不影响其奇偶性，因此也不影响代数和的奇偶性，我们首先 可以利用：1 3 5 2005 10032 ， 得知所有可能的代数和均为奇数， 再考虑到非负数这一条件， 我们期望这一最小值为 1． 接下来我们的目标无非是填入符号“ ＋” 和“ －” 凑出 1 来， 考虑到共有 1003 个数，我们需要利用周期性. 注意到， 7 9 11 13 0 ， 15 17 19 21 0 ， ， (2k 3) (2k 1) (2k 1) 2k 3 0 ， 1999 2001 2003 2005 0 ，因此容易凑出所要的结果来 1 1 3 5 7 9 11 13 1999 2001 2003 2005 ．
【例5】 （无锡市中考题、人大附中练习题改编）数轴的原点 O 上有一个蜗牛，第 1 次向正方向爬 1 个单位长 度，紧接着第 2 次反向爬 2 个单位长度，第 3 次向正方向爬 3 个单位长度，第 4 次反向爬 4 个单位长 度… … ，依次规律爬下去，当它爬完第 100 次处在 B 点． ① 求 O 、 B 两点之间的距离（用单位长度表示） ． ② 若点 C 与原点相距 50 个单位长度， 蜗牛的速度为每分钟 2 个单位长度， 需要多少时间才能到达？ ③ 若蜗牛的速度为每分钟 2 个单位长度，经过 1 小时蜗牛离 O 点多远？ 【解析】 ① 1 (2) 3 (4) 99 (100) 50 ， 故 O 、 B 两点之间的距离为 50 个单位长度． ②分两种情况，第一种情况：点 C 在数轴的正半轴，观察规律可知：除去第一次，依次每两次 结合相当于向正方向前进 1 米，所以再经过 (50 1) 2 98 （次）运动即可前进 50 米，到达 B 地； 用时为： (1 2 3 98 99) 2 2475 （分钟） ． 第二种情况：点 C 在数轴的负半轴，观察规律可知，每两次结合相当于向负半轴前进 1 米，故经过 100 次运动即可前进 50 米，到达 B 地，用时为： (1 2 100) 2 2525 （分钟） ． 1 2 3 4 5 6 n ③设第 n 次运动时，正好 60 分钟，那么有 60 ，所以 n 15 ，此时它离 2 2 2 2 2 2 2 A 点： 1 2 3 4 5 6 13 14 15 8 （米） ． 【巩固】（第 5 届希望杯 2 试）电子跳蚤在数轴上的某一点 K 0 ，第一步 K 0 向左跳 1 个单位到点 K1 ，第二步 由点 K1 向右跳 2 个单位到点 K 2 ， 第三步有点 K 2 向左跳 3 个单位到点 K 3 ， 第四步由点 K 3 向右跳 4 个 单位到点 K 4 ， ． ． ． ． ． ． ，按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 K100 所表示的数恰好 是 19.94 ． 求电子跳蚤的初始位置点 K 0 所表示的数． 【解析】 假设电子跳蚤的起点 K 0 为 x0 ，规定向左为负，向右为正，根据题意可得：
但是题目中要求在数与数之间填入符号“ ＋” 和“ －” 号，所以可以对算式的前 7 项做处理，修改为： 1 1 3 5 7 9 11 13 1999 2001 2003 2005
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板块一 有理数加、减混合运算
有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③一个数同 0 相加，仍得这个数.
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有理数基本运
中考要求
内容 有理数运算 有理数的运算律 基本要求
理解乘方的意义 理解有理数的运算律
略高要求
掌握有理数的加、减、乘、除、乘方 及简单的混合运算（以三步为主） 能用有理数的运算律简化运算
较高要求
能运用有理数的运 算解决简单问题
重、难点
重点：按有理数的运算顺序、正确而合理地进行有理数混合运算； 难点：熟练掌握有理数的运算顺序和运算符号的确定和性质符号的处理。
【巩固】 (07 年希望杯培训试题)在 1，3，5，… ，101 这 51 个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一 个负号，则其代数式的绝对值最小为多少？ 【解析】 由于 1 3 5 7 101 512 为奇数，对于连续的 4 个奇数我们添加符号如下，使其结果为 0，即： (2n 1) (2n 3) (2n 5) (2n 7) 0 ，这样我们可以使后 48 个奇数和为 0，对于 1、3、5 我们可 以如下添加符号使其绝对值最小： 1 3 5 1 ，于是可得和的绝对值最小为 1．
【例4】 (07 年济南中考题)出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规 定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下: 15 ， 2 ， 5 ， 1 ， 10 ， 3 ， 2 ， 12 ， 4 ， 5 ， 6 ， ⑴将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远? ⑵如果汽车耗油量为 0.5 升/千米，这天下午小李共耗油多少升?
【巩固】 ⑴ a 0 ， b 0 则 a b 0； ⑵a 0 ，b 0 则a b 0； ⑶ a 0 ， b 0 ，则 a (b) 0；⑷ a 0 ， b 0 ，且 | a || b | ，则 a b 【解析】 ⑴＞；⑵＜；⑶＜；⑷＞.
0.
【例2】 (第 8 届希望杯) 1997 个不全相等的有理数之和为 0 ，则这 1997 个有理数中( ) A．至少有一个是零 B．至少有 998 个正数 C．至少有一个是负数 D．至多有 995 个是负数 【解析】 答案为 C 【巩固】（第 17 届希望杯 2 试）若 a b 0 c d ，则以下四个结论中，正确的是( ) A． a b c d 一定是正数． B． d c a b 可能是负数． C． d c b a 一定是正数． D． c d b a 一定是正数． 【解析】 分析： 答案为 C．a b c d 不能确定正负；d c a b 一定为正；d c b a 一定是正数；c d 为负， b a 为正， c d b a 不能确定正负．
【例3】 （北京）北京市 2007 年 5 月份某一周的日最高气温（单位：º C）分别为：25，28，30，29，31，32， 28，这周的日最高气温的平均值为（ ） A. 28º C B. 29º C C. 30º C D. 31º C
【解析】 B. 当一组大小比较集中的数字求和时，我们可以先找一个“ 基准数” ， （基准数尽量选用这组数的中 间数，同时兼顾它是整十、整百的数，方便计算）.本题中我们可以选用 30 为“ 基准数” ，那么平均 值=30+（-5-2+0-1+1+2-2）÷ 7=29（º C） ；其总和=30× 7+（-5-2+0-1+1+2-2）=203（º C）.
5 1 1 6 【例1】 计算：⑴ (2.39) (1.57) (3 ) ( 5 ) ( 2 ) (7.61) ( 32 ) ( 1.57) 6 7 6 7 1 1 ⑵ (0.75) 0.375 ( 2 ) 8 4 2 1 1 3 3 1 1 1 【解析】 ⑴原式 (10) 0 1 +(-38) 46 ；⑵原式 ( ) (2 ) (3) 2 3 3 8 8 4 4 2 2
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【解析】 ⑴ (15) (2) (5) (1) (10) (3) ( 2) (12) (+4)+( 5)+(+6)=39 ， 距离出发点为 39 千米； ⑵共走了 +15 + 2 + +5 + 1 + +10 + 3 + 2 + +12 + +4 + 5 + +6 =65 (千米)的里程， 所以耗油为 65 0.5 32.5 (升).
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2 1 2 1 【巩固】 ⑴ (4 ) ( 3 ) ⑵ (6 ) ( 9 ) | 3 | 7.4 9.2 (4) 3 3 5 5 1 7 1 1 1 ⑶ (14 ) ( 5 ) (1.25) ⑷ (8.5) 3 (6 ) 11 8 8 3 3 2 5 3 1 7 ⑸ (9 ) 15 (3 ) (22.5) ( 15 ) 12 4 4 12 2 1 2 1 【解析】 ⑴ (4 ) (3 ) 8 ⑵ (6 ) (9 ) | 3 | 7.4 9.2 ( 4) 0 3 3 5 5 1 7 1 1 1 ⑶ (14 ) ( 5 ) (1.25) 9.5 ⑷ (8.5) 3 ( 6 ) 11 0 8 8 3 3 2 5 3 1 7 ⑸ (9 ) 15 (3 ) (22.5) ( 15 ) 35 12 4 4 12
有理数加法的运算步骤： 法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号； ②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律： ①两个加数相加，交换加数的位置，和不变. a b b a (加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. (a b) c a (b c) (加法结合律) 有理数加法的运算技巧： ①分数与小数均有时，应先化为统一形式. ②带分数可分为整数与分数两部分参与运算. ③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零. ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加. ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. ⑥符号相同的数可以先结合在一起. 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数. a b a (b) 有理数减法的运算步骤： ①把减号变为加号（改变运算符号） ②把减数变为它的相反数（改变性质符号） ③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算. 有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号； ③利用运算律及技巧简便计算，求出结果. 注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为 只有加法的运算，即为求几个正数，负数和 0 的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每 个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式. 例如： 3 0.15 9 5 11 3 0.15 9 5 11 ， 它的含义是正 3，负 0.15，负 9，正 5，负 11 的和.