北师大八年级数学下册因式分解补充方法：十字相乘法
数学北师大版八年级下册十字相乘法
十字相乘法教学目标：1.理解十字相乘法的概念，掌握用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式的方法。
2.通过复习导入，启发学生从现有的知识探索新知。
3.通过课堂交流思考，形成从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质，让学生在学习中体验成功的喜悦。
教学重点：能较熟练地用十字相乘法把形如q px x ++2的二次三项式分解因式。
教学难点：把q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使q b a =⋅ p b a =+。
教学过程：一、 复习导入：师：前几节课我们学习了因式分解，首先请同学们先回忆一下什么叫做因式分解。
1.复习因式分解因式分解：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
实质是(和差化积)与（整式乘法）是“积化和差”的过程正好（相反）2.师：之前我们都学习了哪些分解因式的方法？答：提取公因式法，公式法，在日常生活中，如取款，上网等都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码，方便记忆，原理是如对于多项式44n m -，因式分解的结果是))()((22n m n m n m ++-，取7,7==n m 时，则各个因式的值是,98)(,14)(,0)(22=+=+=-n m n m n m 于是便可把“01498”作为一个密码，那么对于2256y xy x ++，取8,6==y x 时，用上述方法产生的密码可以是_________.师：要想知道密码是什么，关键要将上式分解因式，那2256y xy x ++能用提取公因式法和公式法来因式分解吗？不能！那类似于这样的多项式又该如何分解呢？这就是我们今天这节课要学习的一种新的分解因式的方法——十字相乘法。
（在讲新课之前我们先看几个小练习）3.填空：=++)4)(3(x x =-+)4)(3(x x=+-)4)(3(x x =--)4)(3(x x4. 问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗?答:仔细观察分析各题，我们可以得出，在整式的乘法中,有填空ab x b a x b x a x +++=++)())((2 二、探索新知：1、观察与发现等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是整式乘法运算。
北师大版数学八年级下册《因式分解》十字相乘法
14.3因式分解（2）一、因式分解的常用方法：1、提公因式法2、公式法3、十字相乘法（适应于二次三项式）多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．4、分组分解法：多项式含有4项及以上，并且无法用提公因式法分解因式，可以考虑将多项式中的项，两两分为一组，分别运用提公因式法或公式法分解因式；或三项分为一组，分别运用提公因式法或公式法分解因式。
例一、分解因式：（1）、1522--x x （2）、x 2-8x +12练习一、因式分解：（1）、x 2 + 3x + 2 （2）、x 2-5x+6 （3）、y 2 + y - 12例二、 把下列各式分解因式：（1）、3522--x x （2）、3832-+x x （3）、x 2-4xy-5y 2练习二：因式分解（1）、2x 2+11x+5 （2）、2x 2-7x+6（3）、3x 2+7x-6 （4）、2265y xy x +-例三、因式分解（1）、bn bm an am +++（2）、bx by ay ax -+-5102（3）、9x 2－y 2－4y －4（4）、a 2－1＋b 2－2ab练习三、因式分解（1）bc ac ab a -+-2（2）、1+--y x xy（3）、ay ax y x ++-22 （4）、22414y xy x +--例四、（能力提升）已知0258622=+--+b a b a ，求代数式ba ab -的值.练习四、已知：0106222=+++-y y x x ，求x ，y 的值.因式分解小结：1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 因式分解的一般步骤是：一“提”、二“公”、三“分”。
数学北师大版八年级下册因式分解的4种方法
教学设计
首取式，然后考公式，十字试一试，分解适，四种方复试，结
果乘积式。
第一环节 复习回顾：
因式分解的概念：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。
因式分解的方法：首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式。
第二环节 选一选，比一比： 1、下列用提取公因式法分解因式正确的是（ ） A 、a 3+2a 2+a =a （a 2+2a ） B 、-x 2y +4x 2y 2-7xy =-xy （x -4xy +7）
C 、6（x -2）+x （2-x ）=（x -2）（x +6）
D 、a （a -b ）2
+ab （a -b ）=（a +ab ）（a -b ）
2、（-3）2005+（-3）2004
等于_______. 此题的目的：
1小题考核因式分解的概念和提公因式的方法
2小题使用提取公因式来解题
小结：以上二个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。
3、（1）分解因式： －25a 2y 4+16b 16
解：－25a 2y 4+16b 16＝16b 16－25a 2y 4＝(4b 8)2－(5ay 2)2＝(4b 8+5ay)(4b 8－5ay 2
)
注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b 8)2－(5ay 2)2。
因式分解的点补充十字相乘法
对十字相乘法因式分解的研究结果和一些见解，与各位同行交流下.面几个问题。
第一．如何进行十字相乘法因式分解的教学，我完全赞同三位老师（浙江夏老师、沈老师，湖北罗老师）的观点,即“头尾分解，交叉相乘；求和奏中，观察试验；化多为少，化繁为简，化大为小”或采用“三保险”法：“左边之积＝二次项系数”，“右边之积＝常数项”，“交叉之和＝一次项系数”，其结果：按箭头方向横着写答案。
ax2+bx+c=(a1x+c1)( a2x+c2)（如右图）第二．对于关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）在实数范围内什么时候能因式分解?由关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式x1、2= 可知当b2-4ac≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1,x2则有x1+,x2= =x1,x 2= =则ax2+bx+c= =a[x2－(x1+x2)x+ x1x 2]=a(x－x1)(x －x2)（最后一步用了十字相乘法因式分解）由此看出：当b2-4ac≥0时，关于x的二次三项式ax2+bx+c ，在实数范围内可因式分解，b2-4ac=0时，关于x的二次三项式ax2+bx+c可分解为一个完全平方式，当b2-4ac＜0，在实数范围内不可因式分解，若a,b,c都为有理数时，b2-4ac的值为完全平方数时，用十字相乘法来因式分解较方便。
我们来观察下面几例十字相乘法因式分解①x2－2x－3 ② 3x2－10x－8 ③ 4x2－4x＋1解：①原式=（x+1）（x－3）[b2－4ac=（-2）2－4×1×（-3）=42]②原式=（3x+2）（x－4）[b2－4ac=（-10）2－4×3×（-8）=142]③原式=（2x－1）2 [b2－4ac=（-4）2－4×4×1=02]第三．十字相乘法因式分解与另外三种方法的内在统一性⑴十字相乘法与提取公因式法可用提取公因式法分解的多项式有时也可用十字相乘法来分，例如① 3x2－10x解法一：提取公因式法原式=x（3x－10）解法二：十字相乘法原式=3x2－10x+0=（x+0）（3x－10）=x（3x－10）② Xy+y解法一：提取公因式法原式= y（X+1）解法二：十字相乘法③原式= Xy+y+0=(y+0)( X+1)= y（X+1）这里将Xy看成二次项，常数项看做是0，y看成一次项。
北师大版八年级数学下册专题复习思维特训(十二) 因式分解——十字相乘法
思维特训(十二)因式分解——十字相乘法方法点津·十字相乘法(1)对于二次三项式ax2＋bx＋c，将a和c分别分解成两个因数的乘积，a＝a1·a2 , c＝c1·c2,且满足b＝a1c2＋a2c1ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．(2)二次三项式x2＋px＋q的分解：p＝a＋b，q＝ab x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)．(3)理解：把x2＋px＋q分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号的因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同；如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同，对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p.典题精练·1．分解因式：x2＋3x＋2.分析：(＋1)×(＋2)＝＋2常数项(＋1)＋(＋2)＝＋3一次项系数解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．按以上方法分解因式：x2＋14x＋48.2．在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”．如分解二次三项式：2x2＋5x－7，具体步骤：①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2＝2×1，把常数项－7也分解为两个因数的积，即－7＝－1×7；②按图12－TX－1所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即2×(－1)＋1×7＝5.图12－TX－1③这样，就可以按图12－TX－1中虚线所指，对2x2＋5x－7进行因式分解了，即2x2＋5x－7＝(2x＋7)(x－1)．请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：(1)x2＋4x＋3；(2)2x2＋3x－20.3．阅读下面的材料并完成填空：因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2＋px ＋q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b 两数满足ab＝q，a＋b＝p，则有x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)．如分解因式：x2＋5x＋6.解：因为2×3＝6，2＋3＝5，所以x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．再如分解因式：x2－5x－6.解：因为－6×1＝－6，－6＋1＝－5，所以x2－5x－6＝(x－6)(x＋1)．阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看！因式分解：(1)x2＋7x＋12；(2)x2－7x＋12；(3)x2＋4x－12；(4)x2－x－12.4．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2＋bxy＋cy2的关于x，y的二次三项式，关键是把x2项的系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1·a2，把y2项的系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c＝c1·c2，并使a1·c2＋a2·c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写出结果：ax2＋bxy＋cy2＝(a1x＋c1y)(a2x＋c2y)．例：分解因式：x2－2xy－8y2.解：如图12－TX－2①，其中1＝1×1，－8＝(－4)×2，而－2＝1×2＋1×(－4)，∴x2－2xy－8y2＝(x－4y)(x＋2y)．而对于形如ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f的关于x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图12－TX－2②，将a分解成m，n的乘积作为一列，c分解成p，q的乘积作为第二列，f分解成j，k的乘积作为第三列．若mq＋np＝b，p k＋q j＝e，m k＋n j＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝(mx＋py＋j)(nx＋qy＋k)．图12－TX－2例：分解因式：x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2.解：如图12－TX－2③，其中1＝1×1，－3＝(－1)×3，2＝1×2，而2＝1×3＋1×(－1)，1＝(－1)×2＋3×1，3＝1×2＋1×1，∴x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝(x－y＋1)(x＋3y＋2)．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：①6x2－17xy＋12y2＝__________；②2x2－xy－6y2＋2x＋17y－12＝__________；③x2－xy－6y2＋2x－6y＝__________．(2)若关于x，y的二元二次式x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．5．分解因式：(1)5x2－17x＋6；(2)20x2－43xy＋14y2；(3)(m2－2m－3)x2－(m＋5)x－2；(4)(x2－5x＋4)(x2－x－2)－72.详解详析1．解：x2＋14x＋48＝(x＋6)(x＋8)．2．解：(1)x2＋4x＋3＝(x＋3)(x＋1)．(2)2x2＋3x－20＝(x＋4)(2x－5)．3．解：(1)x2＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)．(2)x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)．(3)x2＋4x－12＝(x＋6)(x－2)．(4)x2－x－12＝(x－4)(x＋3)．4．解：(1)①(3x－4y)(2x－3y)②(x－2y＋3)(2x＋3y－4)③(x－3y)(x＋2y＋2)(2)如图：m＝3×9＋(－8)×(－2)＝43，或m＝9×(－8)＋3×(－2)＝－78.5．解：(1)5x2－17x＋6＝(5x－2)(x－3)．(2)20x2－43xy＋14y2＝(4x－7y)(5x－2y)．(3)(m2－2m－3)x2－(m＋5)x－2＝(m－3)(m＋1)x2－(m＋5)x－2＝[(m－3)x－2][(m＋1)x＋1]．(4)(x2－5x＋4)(x2－x－2)－72＝(x－4)(x－1)(x－2)(x＋1)－72＝[(x－4)(x＋1)][(x－1)(x－2)]－72＝(x2－3x－4)(x2－3x＋2)－72.设x2－3x＝t，则(t－4)(t＋2)－72＝t2－2t－80＝(t－10)(t＋8)＝(x2－3x－10)(x2－3x＋8)＝(x－5)(x＋2)(x2－3x＋8)．。
北师大八年级下《因式分解——十字相乘法》精品学案
=++))((b x a x 年级：八年级 科目：数学 课题：4.+
十字相乘法*（因式分解）
课型：新授课 主编人： 上课时间：2016.4
班级： 姓名: 评价： 一、学习目标：
1、理解“十字相乘法”的含义，能够掌握“十字相乘法”的特点；
2、会用“十字相乘法”进行因式分解；
3、进一步体会因式分解与整式乘法的互逆关系及因式分解方法的多样性。
二、教学过程：
1、计算：
（1）（x-2）（x+3）=
（2）（x+5）（x+4）=
（3）（x-7）（x-6）=
观察讨论以上三个等式，你能发现什么规律？用代数式表示你所发现的规律。
思考：将上式等号两边互换位置得 ，
此式子能用于干什么？（答： ）
2、探索新知：
十字相乘法：运用乘法公式 将二次三项式进行因式分解的方法。
特点：
试一试：将 进行因式分解
小结：
1582+-x x
随堂练习1：把下列各式分解因式
1. x2+9x+14
2. x2-9x+14
3. x2-4x-12
4. x2+4x-12
5. y2-11y+24
6. y2-10y+24
小结： 1、当常数项是正数时，分解的两个数必为；
2、当常数项是负数时，分解的两个数必为；
3、具体如何分解看。
例2、将下列式子因式分解
（1） x4-7x2-18 （2）x2-9xy+14y2
随堂练习2：用十字相乘法分解下列式子
1、x4-13x2+36
2、x2+3xy-4y2
拓展提升：
1、x2y2+16xy+48
2、(2+a)2+5(2+a)-36
3、x4-2x3-48x2。
北师大版八年级(下)数学第16讲：分解因式-十字相乘法(教师版)——王琪
分解因式-十字相乘法一. 十字相乘法1.对于二次三项式 ,将a和c分别分解成两个因数的乘积。
2. 规律内涵:(1)把二次三项式分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.3. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.二．分组分解法1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化.1．若2x3﹣ax2﹣5x+2=（2x2+ax﹣1）（x﹣b），则a+b=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4解：∵（2x2+ax﹣1）（x﹣b）=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b，∴2x3﹣ax2﹣5x+2=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b，∴﹣a=a﹣2b，﹣5=﹣（ab+1），b=2，解得：a=2，b=2，∴a+b=4，故选D2．计算结果为x2+7x﹣18的是（）A．（x+2）（x﹣9）B．（x﹣2）（x+9）C．（x+3）（x+9） D．（x﹣3）（x+6）解：x2+7x﹣18=（x﹣2）（x+9）．故选：B．3．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．22解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．∴a=﹣5，b=11，c=6，则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．故选C．4．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．故选：B．5．如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是（）A．m=﹣2，n=5 B．m=2，n=5 C．m=5，n=﹣2 D．m=﹣5，n=2解：x2﹣mx+6=（x﹣3）（x+n）=x2+（n﹣3）x﹣3n，可得﹣m=n﹣3，﹣3n=6，解得：m=5，n=﹣2．故选C6．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2﹣2x﹣15=（x+3）（x﹣5）C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+4）解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2）；故本选项错误；B、x2﹣2x﹣15=（x+3）（x﹣5）；故本选项正确；C、3mx﹣6my=3m（x﹣2y）；故本选项错误；D、2x+4=2（x+2）；故本选项错误．故选B．7．把多项式x2+y2﹣2xy﹣1因式分解的结果是（）A．（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）C．（x+y﹣1）（x﹣y+1） D．（x﹣y+1）（y﹣x+1）解：原式=（x﹣y）2﹣1=（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）故选A8．多项式ab﹣bc+a2﹣c2分解因式的结果是（）A．（a﹣c）（a+b+c）B．（a﹣c）（a+b﹣c）C．（a+c）（a+b﹣c）D．（a+c）（a﹣b+c）解：原式=（ab﹣bc）+a2﹣c2=b（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）=（a﹣c）（a+b+c）故选A9．下列因式分解正确的是（）A．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x﹣y﹣1）B．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）C．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x+y+1）D．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x+y）2﹣1=（2x+y+1）（2x+y﹣1）解：4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x﹣y﹣1）．故选；A．10．下列分解因式正确的是（）A．（x+y）（﹣y）=x﹣y2 B．x2﹣3=（x+1）（x﹣1）﹣2C．a2+b2﹣2ab+1=（a﹣b）2+1 D．x2﹣4xy+4y2=（x﹣2y）2解：（A）等式右边还是多项式，故A错误；（B）等式右边不是整式乘积的形式，故B错误；（C）等式右边不是整式乘积的形式，故C错误；（D）等式左边是一个多项式，右边是乘积形式，故选D11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3解：∵x2+ax+b=（x+1）（x﹣3），∴a=1﹣3=﹣2，b=﹣3×1=﹣3，故选：B．12．下列多项式变形不正确．．．的是（）A．a2﹣4a+3=（a﹣2）2﹣1 B．a2﹣4a+3=（a﹣1）（a﹣3）C．a2﹣4a+3=（a2﹣a）﹣（3a﹣3） D．a2﹣4a+3=（a﹣）2﹣a解：A、a2﹣4a+3=a2﹣4a+4﹣1=（a﹣2）2﹣1，故本选项不符合题意；B、a2﹣4a+3=（a﹣1）（a﹣3），故本选项不符合题意；C、a2﹣4a+3=（a2﹣a）﹣（3a﹣3），故本选项不符合题意；D、a2﹣4a+3=a2﹣4a+（）2+2a﹣2a=（a﹣）2﹣（4+2）a，故本选项符合题意；故选：D．13．将多项式x2﹣3x﹣4分解因式后正确的是（）A．（x+2）（x﹣2）﹣3x B．x（x﹣3）﹣4 C．（x﹣1）（x+4）D．（x+1）（x﹣4）解：x2﹣3x﹣4=（x+1）（x﹣4）．故选D．14．下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（）A．x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）C．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4） D．x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）解：下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4），故选C15．若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则mn的值为（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10解：由x2+mx﹣15=（x+3）（x+n）=x2+（3+n）x+3n，比较系数，得m=3+n，﹣15=3n，解得m=﹣2，n=﹣5，则mn=（﹣2）×（﹣5）=10．故选：C．16．下列因式分解中正确的是（）A．m2﹣n2=（m﹣n）2 B．3m2﹣6m﹣9=3（m﹣3）（m+1）C．x4﹣2x2y2+y4=（x2﹣y2）2 D．x2﹣3x﹣4=（x+4）（x﹣1）解：A、原式=（m+n）（m﹣n），不符合题意；B、原式=3（m2﹣2m﹣3）=3（m﹣3）（m+1），符合题意；C、原式=（x2﹣y2）2=（x+y）2（x﹣y）2，不符合题意；D、原式=（x﹣4）（x+1），不符合题意，故选B17．下列因式分解错误的是（）A．3x2﹣6xy=3x（x﹣2y） B．x2﹣9y2=（x﹣3y）（x+3y）C．4x2+4x+1=（2x+1）2 D．x2﹣y2+2y﹣1=（x+y+1）（x﹣y﹣1）解：A、3x2﹣6xy=3x（x﹣2y），正确，不合题意；B、x2﹣9y2=（x﹣3y）（x+3y），正确，不合题意；C、4x2+4x+1=（2x+1）2，正确，不合题意；D、x2﹣y2+2y﹣1=x2﹣（y﹣1）2=（x+y﹣1）（x﹣y+1），故此选项错误，符合题意；故选：D．18．因式分解与整数乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+（2x+2y）分解因式的结果为（）A．（x+y）（x﹣y+2） B．（x+y）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y）（x﹣y+2） D．（x﹣y）（x﹣y﹣2）解：x2﹣y2+（2x+2y）=（x+y）（x﹣y）+2（x+y）=（x+y）（x﹣y+2），故选：A．19．能分解成（x+2）（y﹣3）的多项式是（）A．xy﹣2x+3y﹣6 B．xy﹣3y+2x﹣y C．﹣6+2y﹣3x+xy D．﹣6+2x﹣3y+xy解：（x+2）（y﹣3）=xy﹣3x+2y﹣6．故选：C．20．下列各式按如下方法分组后，不能分解的是（）A．（2ax﹣10ay）+（5by﹣bx） B．（2ax﹣bx）+（5by﹣10ay）C．（x2﹣y2）+（ax+ay）D．（x2+ax）﹣（y2﹣ay）解：A．（2ax﹣10ay）+（5by﹣bx）=2a（x﹣5y）+b（5y﹣x）=（x﹣5y）（2a﹣b），故此选项不合题意；B．（2ax﹣bx）+（5by﹣10ay）=x（2a﹣b）+5y（b﹣2a）=（x﹣5y）（2a﹣b），故此选项不合题意；C．（x2﹣y2）+（ax+ay）=（x+y）（x﹣y）+a（x+y）=（x+y）（x﹣y+a），故此选项不合题意；D．（x2+ax）﹣（y2﹣ay）=x（x+a）﹣y（y﹣a），无法分解因式，符合题意．故选：D．基础演练1．若多项式x2+mx+12因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣6），则m的值是（）A．8 B．﹣4 C．﹣8 D．4解：由题意可知：x2+mx+12=（x﹣2）（x﹣6），∴x2+mx+12=x2﹣8x+12∴m=﹣8故选C2．下列因式分解结果正确的是（）A．15a3+10a2=5a（3a2+2a） B．9﹣4x2=（3+4x）（3﹣4x）C．a2﹣10a﹣25=（a﹣5）2 D．a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5）解：A、15a3+10a2=5a2（3a+2），故此选项错误；B、9﹣4x2=（3+2x）（3﹣2x），故此选项错误；C、a2﹣10a﹣25无法因式分解，故此选项错误；D、a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5），正确．故选：D．3．若把多项式x2+mx﹣6分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．3解：设x2+mx﹣6=（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a，可得m=a﹣2，2a=6，解得：a=3，m=1，故选B．4．下列各等式中正确的是（）A．=±2 B．2+=2C．a2﹣a﹣2=（a+1）（a﹣2） D．（a m）n=a m+n解：A、=2，故此选项错误；B、2+无法计算，故此选项错误；C、a2﹣a﹣2=（a+1）（a﹣2），故此选项正确；D、（a m）n=a mn，故此选项错误；故选：C．5．下列因式分解结果正确的是（）A．10a3+5a2=5a（2a2+a）B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）解：A、10a3+5a2=5a2（2a+1），故此选项错误；B、4x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3），故此选项错误；C、a2﹣2a﹣1，无法因式分解，故此选项错误；D、x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1），此选项正确．故选：D．6．多项式x2﹣11x+30分解因式的结果为（）A．（x+5）（x﹣6）B．（x﹣5）（x+6）C．（x﹣5）（x﹣6）D．（x+5）（x+6）解：x2﹣11x+30=（x﹣5）（x﹣6）．故选：C．7．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（）A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2） B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2） D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a2﹣2ab+b2）﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．故选B．8．若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（）A．正数 B．负数 C．非负数D．非正数解：多项式m3﹣m2﹣m+1，=（m3﹣m2）﹣（m﹣1），=m2（m﹣1）﹣（m﹣1），=（m﹣1）（m2﹣1）=（m﹣1）2（m+1），∵m＞﹣1，∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0，∴m3﹣m2﹣m+1=（m﹣1）2（m+1）≥0，故选C．9．多项式x2y2﹣y2﹣x2+1因式分解的结果是（）A．（x2+1）（y2+1） B．（x﹣1）（x+1）（y2+1）C．（x2+1）（y+1）（y﹣1）D．（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1）解：x2y2﹣y2﹣x2+1=y2（x2﹣1）﹣（x2﹣1）=（y2﹣1）（x﹣1）（x+1）=（y﹣1）（y+1）（x﹣1）（x+1）．故选：D．10．把多项式1+a+b+ab分解因式的结果是（）A．（a﹣1）（b﹣1）B．（a+1）（b+1） C．（a+1）（b﹣1）D．（a﹣1）（b+1）解：1+a+b+ab=（1+a）+b（1+a）=（1+a）（1+b）．故选：B．巩固提高11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a=﹣2，b=﹣3 B．a=2，b=3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3解：根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，则a=﹣2，b=﹣3，故选A12．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（）A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），∴乙为x﹣2，∴甲为x+2，丙为x+17，∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19．故选：A．13．若多项式x2+px+12可以因式分解为（x+m）（x+n）的形式，且p、m、n均为整数，则满足条件的整数p共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个解：∵多项式x2+px+12可以因式分解为（x+m）（x+n）的形式，且p、m、n均为整数，∴p=±13，±8，±7，共6个，故选C14．对下列各整式因式分解正确的是（）A．2x2﹣x+1=x（2x﹣1）+1 B．x2﹣2x﹣1=（x2﹣1）2C．2x2﹣xy﹣x=2x（x﹣y﹣1）D．x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）解：A、原式不能分解，错误；B、原式=（x﹣1﹣）（x﹣1+），错误；C、原式=x（2x﹣y﹣1），错误；D、原式=（x+2）（x﹣3），正确．故选D．15．下列运算正确的是（）A．×= B．•=1C．﹣2x2﹣3x+5=（1﹣x）（2x+5）D．（﹣a）7÷a3=a4解：A、原式=2×=，错误；B、原式=|a﹣b|•=1或﹣1，错误；C、原式=（1﹣x）（2x+5），正确；D、原式=﹣a4，错误．故选C．16．已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值范围有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：根据题意得：﹣15=﹣1×15=1×（﹣15）=﹣3×5=3×（﹣5），可得﹣k=14，﹣14，2，﹣2，解得：k=﹣14，14，﹣2，2，共4个，故选D17．分解因式x2﹣m2+4mn﹣4n2等于（）A．（x+m+2n）（x﹣m+2n）B．（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）C．（x﹣m﹣2n）（x﹣m+2n）D．（x+m+2n）（x+m﹣2n）解：x2﹣m2+4mn﹣4n2=x2﹣（m2﹣4mn+4n2）=x2﹣（m﹣2n）2=（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）．故选：B．18．分解因式与整式乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+3x﹣3y分解因式的结果为（）A．（x+y+3）（x﹣y）B．（x﹣y一3）（x﹣y）C．（x+y﹣3）（x﹣y） D．（x﹣y+3）（一x﹣y）解：x2﹣y2+3x﹣3y=（x+y）（x﹣y）+3（x﹣y）=（x﹣y）（x+y+3）．故选：A．19．多项式x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8分解因式的结果是（）A．（x﹣5y+1）（x﹣5y﹣8） B．（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）C．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y﹣2）D．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y+2）解：x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8=（x﹣5y）2+2（x﹣5y）﹣8=（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）．故选：B．20．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1） B．﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x）C．ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D．﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x2解：A、15a2+5a=5a（3a+1），正确；B、﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x），正确；C、ax+x+ay+y=（ax+ay）+（x+y）=（a+1）（x+y），正确；D、﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x2结果不是积的形式，故本选项错误．故选D．1．若x2﹣x﹣n=（x﹣m）（x﹣3），则mn=（）A．6 B．4 C．12 D．﹣12解：∵x2﹣x﹣n=（x﹣m）（x﹣3）=x2﹣（m+3）x+3m，∴m+3=1，﹣n=3m，解得：m=﹣2，n=6，则mn=﹣12．故选D2．若x2﹣px+q=（x﹣2）（x+3），则p﹣q的值为（）A．5 B．7 C．﹣7 D．﹣5解：∵x2﹣px+q=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，∴﹣p=1，q=﹣6，解得：p=﹣1，q=﹣6，则p﹣q=﹣1+6=5，故选A．3．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）C．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4） D．x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）解；∵x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4），∴只有选项C正确．故选；C．4．把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（）A．（a+1）（b+1） B．（a﹣1）（b﹣1）C．（a+1）（b﹣1）D．（a﹣1）（b+1）解：ab﹣1+a﹣b=（ab﹣b）+（a﹣1）=b（a﹣1）+（a﹣1）=（a﹣1）（b+1）；ab﹣1+a﹣b=（ab+a）﹣（b+1）=a（b+1）﹣（b+1）=（a﹣1）（b+1）．故选D．5．把a2﹣b2+2b﹣1因式分解，正确的是（）A．（a+b）（a﹣b）+2b﹣1 B．（a+b+1）（a﹣b﹣1）C．（a+b﹣1）（a+b+1） D．（a+b﹣1）（a﹣b+1）解：a2﹣b2+2b﹣1=a2﹣（b2﹣2b+1）=a2﹣（b﹣1）2=（a﹣b+1）（a+b﹣1）．故选：D．6．下列因式分解结果正确的是（）A．x2+3x+2=x（x+3）+2 B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D．a2﹣2a+1=（a+1）2解：A、原式=（x+1）（x+2），故本选项错误；B、原式=（2x+3）（2x﹣3），故本选项错误；C、原式=（x﹣2）（x﹣3），故本选项正确；D、原式=（a﹣1）2，故本选项错误；故选：C．7．如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=3解：∵多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2﹣nx﹣2，∴p=﹣2，3p+2=﹣n，解得：n=1．故选：B．8．已知多项式x2+bx+c分解因式为（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（）A．b=2，c=3 B．b=﹣4，c=3 C．b=﹣2，c=﹣3 D．b=﹣4，c=﹣3解：∵x2+bx+c=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3，∴b=﹣2，c=﹣3．故选：C．9．把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+1）C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）解：原式=x2﹣（y2﹣2y+1）=x2﹣（y﹣1）2=（x+y﹣1）（x﹣y+1），故选B．10．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1） D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3=（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）=（x﹣1）2﹣（y+2）2=[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]=（x+y+1）（x﹣y﹣3）．故选D．1．分解因式x2﹣4x﹣5正确的是（）A．（x﹣5）（x+1）B．（x+5）（x﹣1）C．（x﹣5）（x﹣1）D．（x+5）（x+1）解：x2﹣4x﹣5=（x﹣5）（x+1）．故选：A．2．下列分解因式正确的是（）A．x3﹣x=x（x2﹣1） B．m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2）C．（a+4）（a﹣4）=a2﹣16 D．x2+y2=（x+y）（x﹣y）解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），分解不彻底，故本选项错误；B、运用十字相乘法分解m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2），正确；C、是整式的乘法，不是分解因式，故本选项错误；D、没有平方和的公式，x2+y2不能分解因式，故本选项错误．故选B．3．多项式2x（x﹣2）﹣2+x中，一定含下列哪个因式（）A．2x+1 B．x（x+1）2C．x（x2﹣2x）D．x（x﹣1）解：2x（x﹣2）﹣2+x=2x2﹣3x﹣2=（x﹣2）（2x+1）．所以多项式2x（x﹣2）﹣2+x中，一定含因式（x﹣2）或（2x+1）．故选：A．4．已知（2x﹣9）（3x﹣2）﹣（3x﹣2）（x﹣6）可分解因式为（3x+a）（x﹣b），其中a、b均为整数，则3a+b的值为（）A．﹣6 B．3 C．9 D．﹣3解：∵（2x﹣9）（3x﹣2）﹣（3x﹣2）（x﹣6）=（3x﹣2）（2x﹣9﹣x+6）=（3x﹣2）（x﹣3），∴a=﹣2，b=3，∴3a+b=3×（﹣2）+3=﹣3．故选D．5．若多项式ax2+bx+c因式分解的结果为（x﹣2）（x+4），则abc的值为（）A．﹣16 B．16 C．8 D．﹣8解：根据题意得：ax2+bx+c=（x﹣2）（x+4）=x2+2x﹣8，∴a=1，b=2，c=﹣8，则abc=﹣16．故选A6．分解因式a2﹣2a+1﹣b2正确的是（）A．（a﹣1）2﹣b2 B．a（a﹣2）﹣（b+1）（b﹣1）C．（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）D．（a+b）（a﹣b）﹣2a+1解：原式=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．故选C．7．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1） B．﹣x2﹣y2=﹣（x2﹣y2）=﹣（x+y）（x﹣y）C．k（x+y）+x+y=（k+1）（x+y）D．1﹣a2﹣b2+2ab=（1+a﹣b）（1﹣a+b）解：A.15a2+5a=5a（3a+1），故此选项错误；B．﹣x2﹣y2两项符号相同无法运用平方差公式进行分解，故此选项正确；C．k（x+y）+x+y=（k+1）（x+y），故此选项错误；D.1﹣a2﹣b2+2ab=（1+a﹣b）（1﹣a+b），故此选项错误．故选：B．8．下列式子中，因式分解错误的是（）A．a2﹣bc+ac﹣ab=（a﹣b）（a+c） B．ab﹣5a+3b﹣15=（b﹣5）（a+3）C．x2﹣6xy﹣1+9y2=（x+3y+1）（x+3y﹣1） D．x2+3xy﹣2x﹣6y=（x+3y）（x﹣2）解：A、a2﹣bc+ac﹣ab=（a2﹣ab）+（ac﹣bc）=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c），故本选项正确；B、ab﹣5a+3b﹣15=（ab﹣5a）+（3b﹣15）=a（b﹣5）+3（b﹣5）=（b﹣5）（a+3），故本选项正确；C、x2﹣6xy﹣1+9y2=（x2﹣6xy+9y2）﹣1=（x﹣3y）2﹣1=（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1），故本选项错误；D、x2+3xy﹣2x﹣6y=（x2+3xy）﹣（2x+6y）=x（x+3y）﹣2（x+3y）=（x+3y）（x﹣2），故本选项正确．故选C．9．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1）B．﹣x2﹣y2=﹣（x+y）（x﹣y）C．ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D．a2﹣bc﹣ab+ac=（a﹣b）（a+c）解：A、15a2+5a=5a（3a+1），正确；B、﹣x2﹣y2=﹣（x2+y2），故本选项错误；C、ax+x+ay+y=（a+1）（x+y），正确；D、a2﹣bc﹣ab+ac=（a﹣b）（a+c），正确．故选B．10．分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分解结果为（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为（）A．（x﹣2）（x+3）B．（x+2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）解：因为（x+6）（x﹣1）=x2+5x﹣6，（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b=6，乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a=﹣1，所以多项式x2+ax+b为x2﹣x+6=（x﹣3）（x+2）故选B．11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣1）（x+3），则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=﹣2，b=﹣3解：x2+ax+b=（x﹣1）（x+3）=x2+2x﹣3，故a=2，b=﹣3，故选：B．12．若多项式x2+ax+b分解因式的结果（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（）A．a=1，b=﹣6 B．a=5，b=6 C．a=1，b=6 D．a=5，b=﹣6解：∵多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x﹣2）（x+3），∴x2+ax+b=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，故a=1，b=﹣6，故选：A．13．如果多项式x2+ax+b可因式分解为（x﹣1）（x+2），则a、b的值为（）A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=2解：根据题意得：x2+ax+b=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，则a=1，b=﹣2，故选B14．多项式（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．5解：∵（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）=（x+2）（2x﹣1﹣2）=（x+2）（2x﹣3），∴m=2，n=﹣3．∴m﹣n=2﹣（﹣3）=5．故选D．15．下列四个等式中错误的是（）A．1﹣a﹣b+ab=（1﹣a）（1﹣b）B．1+a+b+ab=（1+a）（1+b）C．1﹣a+b+ab=（1﹣a）（1+b） D．1+a﹣b﹣ab=（1+a）（1﹣b）解：A、1﹣a﹣b+ab=（1﹣a）+（﹣b+ab）=（1﹣a）﹣b（1﹣a）=（1﹣a）（1﹣b），故本选项不符合题意；B、1+a+b+ab=（1+a）+（b+ab）=（1+a）+b（1+a）=（1+a）（1+b），故本选项不符合题意；C、∵（1﹣a）（1+b）=1﹣a+b﹣ab≠1﹣a+b+ab，∴错误，故本选项符合题意；D、1+a﹣b﹣ab=（1+a）+（﹣b﹣ab）=（1+a）﹣b（1+a）=（1+a）（1﹣b），故本选项不符合题意．故选C．16．把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）C．（x+y﹣1）（x+y+1）D．（x﹣y+1）（x+y+1）解：原式=x2﹣（y2+2y+1），=x2﹣（y+1）2，=（x+y+1）（x﹣y﹣1）．故选A．17．分解因式a2﹣b2+4bc﹣4c2的结果是（）A．（a﹣2b+c）（a﹣2b﹣c） B．（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）C．（a+b﹣2c）（a﹣b+2c） D．（a+b+2c）（a﹣b+2c）解：a2﹣b2+4bc﹣4c2，=a2﹣b2+4bc﹣4c2，=a2﹣（b2﹣4bc+4c2），=a2﹣（b﹣2c）2，=（a﹣b+2c）（a+b﹣2c）．故选C．18．下列多项式中，不能进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1解：A、两个平方项异号，可用平方差公式进行因式分解，故A正确；B、两个平方项同号，不能运用平方差公式进行因式分解，故B错误；C、可先运用提公因式法，再运用十字相乘法，原式=a（a2﹣3a+2）=a（a﹣1）（a﹣2），故C正确；D、可先分组，再运用公式法，原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D正确．故选：B．。
北师大版初二数学下册十字相乘法分解因式
谢谢大家
将下列各数表示成两个整数 的积的形式
（1）6= 2×3 或 (-2)×(-3)或1×6或(-1) ×(-6)
（2）-6= 1× (-6)或-1×6或2× (-3)或3× (-2)
（3）12= 1× 12或(-1)×(-12)或2× 6或(-2)× (-6) 或3×4 或(-3)× (-4)
（4）-12= 1× (-12)或(-1)×12或2×(- 6)或(-2)× 6或 3×(-4) 或(-3)× 4
赫章县可乐中学 陈文开
1、计算结果
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(1)(x+3)(x+4)
(2)(x+3)(x-4)
(3) (x-3)(x+4)
(4) (x-3)(x-4)
2、提问：你有什么快速计算类似 以上多项式的方法吗？
整式的乘法
两个一(x次二+项a式相)(乘x的+积b)=x2+(一a个+二b次)三x项+式ab 反过来，得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数 q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项 系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以进 行如上的因式分解。
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
常数项
(+1)＋(+2)＝+3
因式分解---《十字相乘法》教学PPT课件 初中数学八年级下册公开课
6.挑战自我
(x y)2 10(x y) 9
解( x原 式y)
(x y)
(x
y
1)(x--19y
9)
x4 10x2 9
解 原式 (x2 1)( x2 9)
(x 1)(x 1)(x 3)(x 3)
四、课堂练习
n -14
1. 因式分解
n2 4n 140
义务教育教科书北师大版八年级数学下册
第四章 因式分解
4.十字相乘法
一、前情回顾
因式分解: 把一个多项式化 为几个整式的乘积的形式。 这种变形也叫分解因式。
分解因式的常见方字相乘法是指什么？ 2.今天所学能用十字相乘法 的多项式有什么特征？ 3.你能否快速的运用十字相 乘法进行因式分解？
(n+9)(n+8)=n²+17n+72 . 4y²-3y-70= (y-10)(y+7)
x²-5x+(-84)=(x+7)(x-12)
x²y²+(-4xy)-60 = (xy-10)(xy+ 6 )
3.观察与探究
(x a)(x b) x2 bx ax ab
即：十字 x2 (a b)x ab 交叉线左边 相乘等于二 次项, 右边 相乘等于常数项,交叉相乘再 相加等于一次项。
三、合作交流，探究新知
(a 3)(a 5) a2 8a 15 (x 3)(x 2) x2 x 6
(m 7)(m 8) m2 15m 56
通过计算,请思考：
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
2.快速写出答案
4.试一试
最新北师大八年级数学下册因式分解 十字相乘法共22页文档
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
数学北师大版八年级下册十字相乘法
如何对多项式 x 2 5 x 6 x 2 5 x 6 2 2 x x 6 x x 6 进行因式分解呢？
对比
( x 2)( x 3) x 2 5 x 6 (整式乘法)
x 2 5 x 6 ( x 2)( x 3) (因式分解)
x 5 x 6 ( x 2)( x 3)
把下列各式分解因式： 作业： （1）x +4x+3 （3）y -7y+12 （5）m +7m-18
2 2 2
（2）a -7a+10 （4）q -6q+8 （6）p 2-5p-36
2
2
（比一比看谁想的答案多些）
先填空，再分解因式 说明：在等式的左边的___上填“+”或“-”,在
（）内填数字，等式右边填上因式分解后的结果。
结论：(1)当常数项为正数时， 把它分解为两个( )号因数的积， 因数的符号与一次项系数的符号( )；
第二关：展示大舞台
用十字相乘法分解因式 例2（1） x 2 2 x 3 ( x 1)( x 3) （2） x 2
2 x 3 ( x 1)( x 3)
结论：(2)当常数项为负数时，把它分解为 两个（ ）号因数的积，其中绝对值较大的因数 的符号与一次项系数的符号（ ）．
式分解应该从哪里入手解决？其中关键是 什么？
（1）用十字相乘法来进行因式分解应 该从分解常数项入手解决。
（2）关键是：对常数项的处理。即：把 常数项分解为两个恰当的因数之积，使得 这两个因数的和等于一次项系数。
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题： 2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项。 3.关键步骤是：对常数项的处理，即把常数项分解为两个恰当的常 数之积，并使得这两个常数的和等于一次项系数。 4.符号规律：(1)当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相 同；(2)当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同. 5.大小规律：（1）当常数项q＞0时，分解常数项所得的两个因数 的绝对值之和等于一次项系数的绝对值。 （2）当常数项q＜0时，分解常数项所得的两个因数的绝对值之差 等于一次项系数的绝对值。
初中数学北师大八年级下册(2023年修订) 因式分解十字相乘法(知识讲解)
十字相乘法【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则p q 、同号(若，则p q、异号)，然后依据一次项系数的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：要点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法..。
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因式分解补充方法：十字相乘法
一、 知识归纳和例子讲解：
（1） 对于某些首项系数是1的二次三项式2x Px q ++【2()x a b x ab +++】的因式分解：
一般地，∵2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，∴2()()()x a b x ab x a x b +++=++．
这就是说，对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使,
,
a b p a b q +=⎧⎨⋅=⎩
则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．
（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
项系数，．．．．
通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。
） 如对于二次三项式232x x ++，其中3p =，2q =，能找到两个数1、2，使12,12,p q +=⎧⎨⨯=⎩
故有
232(1)(2)x x x x ++=++． 例1：因式分解
(1) x 2 + 10x + 9 ； 解：1 1 （x + 1） 1 9 （x + 9） 1×9=9；1×9+1×1=10 ∴x 2 + 10x + 9=（x + 1）（x + 9）
说明：用十字相乖法分解二次三项式2x Px q ++，式中的p 、q 通常是整数，要找的a 、b 两数也通常是在整数中去找．由于把p 拆成两个整数之和可以有无数种情形，而把q 分解成两个整数之积只有有限几种可能，故应先把q 分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数之和得p ． 练习题（因式分解）：
（1）=+-652
x x ___ __ __ ____. （2）=++652
x x ___ __ __ _____
（3）=--652
x x ___ __ __ ____ （4）=-+652
x x ___ __ __ ____
提问：请观察以上练习中的各题，你能发现把q 分解成两个整数a 、b 之积时的符号规律吗？ ⑴若q ＞0，则a 、b 同号．当p ＞0时a 、b 同为正，当p ＜0时a 、b 同为负．
⑵若q ＜0，则a 、b 异号．当p ＞0时a 、b 中的正数绝对值较大，当p ＜0时a 、b 中的负数绝对值较大．
（2） 对于二次三项ax bx c 2++【()a a x a c a c x c c 122122112+++】（a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）的因式分解：
一般地，∵()()a x c a x c 1122++=()a a x a c a c x c c 122
122112+++，
∴()a a x a c a c x c c 122
122112+++=()()a x c a x c 1122++．
这就是说，对于二次三项式ax bx c 2++，若能找到四个整数a c a c 1122，，，，使121212
21a a a c c c a c a c b ==⎧⎨+=⎩，
则就有ax bx c 2++=()a a x a c a c x c c 122
122112+++=()()a x c a x c 1122++，通常要借助画多个十字交叉
线的办法来确定。
例2 分解因式：（1）2273x x -+； （2）2675x x --
（1）解：
∴2273x x -+= (3)(21)x x -- （2）解：所有可能的十字形式：
∴2675(21)(35)x x x x --=+-
说明：⑴二次项系数为正时，只考虑分解成两个正因数之积；
⑵在二次项系数为正时，常数项的分解，符号规律同上节a 、b 的符号规律；
⑶分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整；
⑷用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解． 练习题（因式分解）：
（1）2x 2
＋7x ＋3=___ __ __ ____ （2）3x 2
－5x ＋2=___ __ __ ____
（3）2x 2
＋5x －7=___ __ __ ____ （4）5x 2
－3x －2=___ __ __ ____
二、练一练、做一做： 1、把下列各式分解因式：
（1）8722--ab b a （2）2
243n mn m --
（3）4
2
627x x -- （4）(a ＋b)2
＋5(a ＋b)－36
2、将下列各式因式分解
（1）x x x 21423-- （2）y xy y x 25102
++
（3）11102
4-+x x （4）4
2243613y y x x +-
3、将下列各式因式分解
（1）20322
--x x ； （2）2x 2
＋5x ＋2；
（3）)3x 2 ＋7x －6 ； （4）2x 2－5xy ＋2y 2
4、用因式分解法列下列方程:
（1）x 2 + 2x －3 = 0 （2）2x 2－7x + 6 = 0
（3）x(x －2) = 3 （4） (2x －3)2 + 3(2x －3) + 2 = 0.。