江苏省扬州中学15—16学年下学期高一3月月考试题数学(附答案)

1
A
2
A
120 105
江苏省扬州中学2015-2016学年第二学期月考
高一数学试卷
2016．3
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．函数2cos y x =的最小正周期为 ．
2．cos36cos96sin 36sin84︒︒+︒︒的值是 ． 3．若3
sin 5
θ=
，θ为第二象限角，则tan 2θ=_______. 4.等差数列{}n a 中，若377,3a a ==，则10a = ．
5．在ABC ∆中，如果0tan tan 1A B <<，那么ABC ∆是 三角形．(填“钝角”、“锐角”、“直角”)
6．在ABC ∆中，18,22,35===a b A ，则这样的ABC ∆的个数为 个． 7．等差数列{}n a 中，已知3812a a +=，那么10S 的值是 ． 8．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2
(
35f -=，若sin α=则(4cos 2)f α的值为 ．
9．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是a
b c 、、cos cos C
B
=
，则B 的大小为
．
10．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西
120方向的2B 处，此时两船相距海里，则乙船每小时航行 海里？
11．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为a b
c 、、满足222b c a bc +-=，0AB
BC ⋅>，a =
b c +的取值范围是 ．
12．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21179
d -<<-，则当n S 取
最大值时，n 的值为 .
13.已知函数()32l o g ,031108,333x x f x x x x ⎧<<⎪
=⎨-+≥⎪⎩
，若存在实数a b c d 、、、，满足
()(
)()f a f b f c ==()f d =，其中0d c b a >>>>，则a b c d 的取值范围
是 ．
14．设函数n
a n i
x f n i x x
∑-=+=1
1
lg
)(，其中R a ∈，对于任意的正整数n （3n ≥），如果不等
式n x x f lg )1()(->在区间[)+∞,1有解，则实数a 的取值范围为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15. （本小题满分14分）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1
tan()3
αβ-=-． （1）求sin()αβ-的值； （2）求cos β的值．
16．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前三项依次为m 、4、3m ，前n 项和为n S ，且110k S =.
（1）求m 及k 的值； （2）设数列{}n b 的通项n
n S b n
=，证明数列{}n b 是等差数列，并求其前n 项和n T ．
17．（本小题满分15分）已知(3sin ,2)m x =，2(2cos ,cos )n x x =，函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的值域；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 和边,,a b c 满足()2,2,sin 2sin a f A B C ===，求边c ．
18.（本小题满分15分）如图，在边长为1的等边ABC ∆中，D E 、分别为边AB AC 、上的点，若A 关于直线DE 的对称点1A 恰好在线段BC 上， （1）设1A AB θ∠=∈[0,
]3
π
，用θ表示AD ；
（2）求AD 长度的最小值．
19.（本小题满分15分）设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为
n S .
(Ⅰ)若首项132
a =
，公差1d =，求满足22
()k k S S =的正整数k ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有22
()k k S S =成立.
A B
C
D 1
A E
20．（本小题满分16分）
对于定义域为I 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n I ⊆，同时满足：
①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n ，()f x 值域也是[],m n ，则称[],m n 是函数()y f x =的“好区间”.
（1）设()()()
log 2log 3x x
a a g x a a a a =-+-（其中0a >且1a ≠），判断()g x 是否存
在“好区间”，并说明理由； （2）已知函数()()()2
21,0t t x P x t R t t x
+-=
∈≠有“好区间”[],m n ，当t 变化时，求n m
-的最大值.
高一数学月考参考答案2016.3.25
一、填空题
1．2．3．4．0 5．钝角6． 2
7．60 8．-3 9．10．11．12．9
13．14．
二、解答题
15．
16．(1)设该等差数列为{an}，则a1＝m，a2＝4，a3＝3m，由已知有m＋3m＝8，得a1＝m ＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k．由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故m＝2，k＝10．
(2)由(1)Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝
17．解：（1）
．
，则函数的值域为；
（2），，
又，，则，
由得，已知，由余弦定理得．
18．解：(1) 在中由正弦定理可知：
，即 . ．
（2），，
∴AD≥32＋3＝3(2－3)＝23－3．
∴AD长度的最小值为23－3 当且仅当时取得最小值．
19．解：（I）当时
由，即又．
（II）设数列{an}的公差为d，则在中分别取k=1,2,得
由（1）得当
若成立,
若
所以数列不符合题意．当
若
若．
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{an} : an=0，即0，0，0，…；②{an} : an=1，即1，1，1，…；③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…，
20．（1）由．2分
①当时，，此时定义域，，，
，，，
，，
，
在内是增函数；4分
②当时，，此时定义域，同理可证在内是增函数；6分（单调性用复合函数的单调性判断也可）
存在"好区间" ，
关于的方程在定义域内有两个不等的实数根．
即在定义域内有两个不等的实数根．(*)
设，则(*) ，
即在内有两个不等的实数根，
设，则无解．
所以函数不存在"好区间"．8分
（2）由题设，函数有"好区间" ，
或，函数在上单调递增，
，所以是方程，即方程有同号的相异实数根．12分，同号，或．
, ．
当，取得最大值．16分。