【理论力学2】第五章刚体运动的合成·陀螺仪近似理论

因为
0 1 e r1 ， 2 e r 2 e r
可得 r1 e ， r 2 r 代入前式 可得
于是
r1 r e r2
r1 2 (1 )e r2
例 5－3 行星齿轮II与固定锥齿轮I相啮合 可绕动轴 OO2转动 而动轴以角速度 e绕定轴 OO1 转动 如图所示 设在点C处轮I的半径为 r1 轮II的半径为 r2 求锥齿轮II相对于动轴的角速度 r
等于绕动轴 O z 转动的角速度
（2）平移速度矢与转动角速度矢平行的情形 刚体绕轴 O z 转动 同时又沿轴向运动 如图所示 这种称为螺旋运动
O p 称为螺旋率 平移速度与转动角速度的比值 若以s表示刚体沿轴 O z 的轴向位移
为刚体绕轴 O z 的转角 则 O ds ， d dt dt ds p （5－14） 螺旋率可写成 d
（5－12） 于是得结论 当刚体同时绕两相交轴转动时 合成运动为绕瞬轴的转动 绕瞬轴转动的角速度等于绕两轴转动的角速度的矢量和 如果刚体绕相交于一点的3个轴或更多的轴转动时
a 1 2



1 2 n i （5－13）
i 1




n

于是得结论 当刚体同时绕相交于一点的多轴转动时 合成运动为绕瞬轴的转动 绕瞬轴转动的角速度等于绕各轴转动的角速度的矢量和 而瞬轴则沿此合矢量方向
瞬轴与两轴间的距离分别为 O1C 和 O2 C 在点C e r 即 或
e O1C r O2C
O1C r O2 C e （5－9） e与 r 同向的情形如图
O e O1O2 a O2C
2
因此 齿轮绕瞬轴转动的角速度为 O2 O1O2 a e O2 C O2 C
（5－8）
§ 5－3 刚体运动的合成
刚体的任何复杂运动都可以由几个简单运动的合成而得到
1.平移与平移的合成
小车上任一点的速度和加速度分别为 e r 2 1 a ae ar a2 a1 在同一瞬时 小车上各点的速度和加速度一样 因此小车的合成运动也是平移 于是得出结论 当刚体同时作两个平移时 刚体的合成运动仍为平移
A 1 AD 另一方面刚体绕瞬轴转动 有 A a AE
于是
AD a 1 AE 由图中几何关系可知 1 AD AOACB ， OC AE AOACB 于是 AD OC 1
AE
因此得
a OC

显然图中所示箭头方向
角速度a的指向可由点A的速度方向确定 如图所示
M
t t ME 2r cos 2l sin 2l1 sin sin
它的方向垂直于平面OMC 指向如图 行星齿轮的角速度为
因为 只改变方向不改变大小
而且它和z轴间夹角β的大小保持不变 所以它的矢端曲线是水平的圆周
d a dt

d 1 有a dt
当 e 和 r 反向时如图 O1O2 O1C O2C 于是
a e r （5－11）
绝对角速度的转向 与 e r 中较大的一个相同 于是得结论 当刚体同时绕两平行轴反向转动时 刚体的合成运动为绕瞬轴的转动 绝对角速度等于牵连角速度与相对加速度之差 它的转向与较大的角速度的转向相同 瞬轴的位置外分两轴间的距离 在较大角速度的轴的外侧 外分与两个角速度成反比
2.绕两个平行轴转动的合成
齿轮II上任一点M的速度 M M e r 牵连速度的大小为 e O1M e 方向垂直于 O1 M 相对运动是圆周运动 所以相对速度的大小为 r O2 M r 方向垂直于 O2 M 这时点M的速度等于 e与 r 的矢量和
dt dt dt
a1 r
式（5－5）右端第二项
a2
称为向轴加速度 其大小为 2 h1 方向垂直于 和 指向瞬轴 于是得结论 刚体绕定点运动时 刚体内任一点的速度 等于绕瞬轴转动的角速度与矢径的矢量积 该点的加速度 等于绕瞬轴的向轴加速度 与 绕角加速度矢的转动加速度的矢量和
上式称为刚体绕定点运动的运动方程
（5－1）
2.欧拉定理
欧拉定理 绕定点运动的刚体 从某一位置到另一位置的任何位移 可以绕通过定点的某一轴转动一次而实现 证明
且有 即
AC B AC B
AC B AC B AC B AC B
BC B AC A
例 5－1
行星锥齿轮的轴OA以匀角速度 1 绕铅直轴OB转动 如图所示
设OA=l AC=r 求齿轮上点M的速度和加速度
解： 齿轮中心点A的速度为 A OAsin 另一方面 点A绕定点O在水平面内作圆周运动 有 A OA 1
于是 绕瞬轴OC转动的角速度的大小为 1 =常量 sin 它沿着OC 指向如图所示 点M的速度为
解：
或
r
OO2

e
OO1
r
OO2 r e 1 e OO1 r2
本题还可以用另一种方法解 研究齿轮I和II相对于动轴 OO2 的运动 如图所示 两齿轮相对于动轴 OO2 的角速度分别为 r1 和 r 2 r2 r1 传动比 r1 r2 将 r1 r2 代入上式 得
由于牵连运动为平移 自由刚体内任一点的加速度合成式为
a a ae a r
其中 ae aO ar ar r r r
ar 为刚体绕基点 O 转动的瞬时角加速度
于是 自由刚体内任一点的加速度公式为
aM aO a1 a2 ， a1 ar r ， a2 r r
例 5－2
如图所示 系杆O1O2 以角速度e 绕轴 O1转动 半径为 r2 的行星齿轮 活动地套在与系杆一端固结的轴 O2 上 并与半径为 r1 的固定齿轮相啮合 求行星齿轮的绝对角速度 2 以及它相对于系杆的角速度 r
r1 r 解： r2 e 于是行星齿轮相对于系杆的角速度为 r1 r e r2
行星齿轮的绝对角速度为 r1 2 r e (1 )e r2 本题也可以用另一种方法解 在系杆上观察两轮的运动 两轮分别以 r1 和 r 2 绕通过 O1和 O2的两定轴转动 如图所示 此时宜将角速度视为代数量 以逆时针为正
它们的传动比为
r 2 r1 r1 r2
由式（5－11）可见 当 e 和 r 等值而反向时 a 0 这表明 当刚体以同样大小的角速度 同时绕两平行轴而反向转动时 刚体的合成运动为平移 这种运动称为转动偶
3.绕相交轴转动的合成 C e r 1h1 2 h2 2 AOCB 2 AOAC
因为OACB为平行四边形 所以 AOCB AOAC 于是点C的绝对速度等于零 因为点O的速度等于零 所以刚体的直线OC上 所有点的绝对速度都等于零 因此直线OC是刚体的瞬轴
向轴加速度 a2 的大小为
2l a 2 ME 2l sin 12 sin 它的方向自M指向点E（在铅直平面OAC内）
2 2
根据
a a1 a2
由图中几何关系得
2 2 a 2 a1 a2 2a1a2 cos2
将 a1、a2 值代入上式 并注意到
l r cot 和 sin r r2 l2
得
a
12 l
l 2 9( ) r
§ 5－2 自由刚体的运动
xO f1 (t ) ， yO f 2 (t ) ， zO f 3 (t ) f 4 (t ) ， f 5 (t ) ， f 6 (t ) 上式称为自由刚体运动方程 自由刚体内任一点M的速度
刚体内任一点M的矢径为r 它到 和 的垂直距离分别为 h1和 h2 则点M的速度为 r （5－4） 点M的加速度为 d d dr a r 即 a r （5－5） 上式右端第一项 称为转动加速度 其大小为h2 方向垂直于 和 r 指向如上图
动坐标平面 Ox y 与定坐标平面Oxy的交线 用ON表示 称为节线 节线与定轴Ox间的夹角 称为进动角 节线与动轴 Ox 间的夹角 称为自转角 动轴O z 和定轴Oz间的夹角θ称为章动角 它们合称为欧拉角
当刚体绕定点运动时 欧拉角是时间的单值连续函数 即
f1 (t ) ， f 2 (t ) ， f 3 (t )
4.平移与转动的合成
（1）平移速度矢与转动角速度矢垂直的情形 如图所示 刚体以角速度 绕轴 O z 转动 同时该轴以速度 O 在垂直于 的方向平移 显然刚体作平面运动 瞬轴与轴 z 平行 线段O C 与速度 O垂直 且
O O C 绕瞬轴转动的角速度
O1O2 O1C O2 C 代入上式中 并注意到式（5－9）得
a r e
（5－10）
a 的方向根据 O2 的方向确定
由此可得结论 当刚体同时绕两平行轴同向转动时 刚体的合成运动为绕瞬轴的转动 绝对角速度等于牵连角速度与相源自角速度的和 瞬轴的位置内分两轴间的距离
内分比与两个角速度成反比
（5－6）
α e r



其中 e O 设动点M在动坐标系 Oξηζ 中的矢径为 r
如图所示


刚体绕基点 O 转动的瞬时角速度为 r 则 r r r 于是 自由刚体内任一点的速度公式为



M

O r r


（5－7）
3.瞬时转动轴· 角速度· 角加速度 lim （5－2）