高中数学能力基础之空间想象能力例题解析
专题 立体几何及空间想象能力2014新题赏析-讲义
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题四：如图，已知四棱锥 P − ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC 与 BD 相交 于点 O，且顶点 P 在底面上的射影恰为 O 点，又 BO=2，PO= 2 ，PB⊥PD. (1)求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值； (2)设点 M 在棱 PC 上， 且
立体几何及空间一：已知正三棱锥 P ABC， 点 P， A， B， C 都在半径为 3 的球面上， 若 PA， PB， PC 两两互相垂直， 则球心到截面 ABC 的距离为________.
题二： 某几何体的一条棱长为 7 ， 在该几何体的正视图中， 这条棱的投影是长为 6 的线段， 在 该几何体的侧视图与俯视图中， 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段， 则 a b 的最大值 为 .
PM ，问 为何值时， PC⊥平面 BMD. MC
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立体几何及空间想象能力 2014 新题赏析 讲义参考答案
金题精讲
题一：
3 . 3
题二：4.
题三：(1)略；(2)略；(3)点 M 为棱 BB1 的中点. 2 5 题四：(1) ；(2) λ = 2. 15
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2、立体几何解答题 题三：如图所示，在直四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中， DB BC ， DB ⊥ AC ，点 M 是棱 BB1 上一点. (1)求证： B1 D1 ∥平面 A1 BD ； (2)求证： MD ⊥ AC ； (3)试确定点 M 的位置，使得平面 DMC1 ⊥平面 CC1D1D .
空间想象测验题
空间想象测验题近年来，空间想象能力成为了衡量一个人综合素质的重要指标之一。
空间想象力的高低不仅在科学领域和艺术创作中起到重要作用，也与个人生活和学习能力有着密切关系。
在现代社会，人们对空间想象测验题的需求也越来越高。
在本文中，将为大家介绍一些典型的空间想象测验题，帮助读者提升自己的空间想象力。
第一题：请你想象一个立方体，它的三个面上有红色、蓝色和绿色的贴纸。
现在，这个立方体经过一次旋转，使得红色贴纸变成了上面，蓝色贴纸变成了前面，绿色贴纸变成了左面。
请问，立方体另外一个面的颜色是什么？这道题目主要考察了读者对立体几何形状的空间想象能力。
通过将三个面的颜色变换，需要读者能够在脑海中想象出立方体的形状，并确定其他未知面的颜色。
正确答案是右面的颜色为蓝色。
第二题：请你想象一条长长的直线，然后在该直线的某个位置上选择一个点A，再选择另外两个点B和C分别在点A的左边和右边。
接着，将线段AB折叠到线段AC上，请问，线段BC与线段AC之间的夹角是多大？这道题目主要考察了读者对折叠几何和角度关系的空间想象能力。
通过将线段AB折叠到线段AC上，读者需要能够在脑海中想象出两条线段的位置关系，并计算出它们之间的夹角。
正确答案是180度。
第三题：请你想象一个三维空间中的坐标系，其中X轴、Y轴和Z轴分别代表东西方向、南北方向和上下方向。
现在，有一个点P的坐标为(2, 3, 4)，请问，点P关于Y轴的对称点的坐标是多少？这道题目主要考察了读者对坐标系和对称性的空间想象能力。
通过求点P关于Y轴的对称点的坐标，读者需要能够在脑海中想象出坐标系的形状，并进行坐标计算。
正确答案是(-2, 3, 4)。
通过以上三个典型的空间想象测验题，我们可以看到，这些题目虽然形式各异，但都离不开对几何形状、线段折叠和坐标运算等概念的理解和运用。
在提升空间想象力的过程中，我们可以通过不断练习这些类型的题目，加深对相关概念的理解，并锻炼我们的空间想象能力。
第17讲 立体几何及空间想象能力高考真题赏析
第17讲 立体几何及空间想象能力2018高考真题赏析
金题精讲 题一：某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如下图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为_________.
题二：已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M EFGH -的体积为_______.
题三：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为__________.
题四：在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为o 30，则该长方体的体积为_________.
题五：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．
求证：(1)11AB A B C 平面∥；
(2)111ABB A A BC 平面平面．
题六：如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，
M 是CD 上异于C ，D 的点．
(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
(2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．。
高三数学复习专题一 空间想象能力
限时规范训练1．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件： ①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β； ②存在一条直线a ，a ⊥β；③存在两条垂直的直线a ，b ，a ⊥β，b ⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是( ) A ．① B ．② C ．③D ．①③解析：对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也对，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B ，C ；对于③，存在两条垂直的直线a ，b ，则直线a ，b 所成的角为90°，因为a ⊥β，b ⊥α，所以α，β所成的角为90°，即α⊥β，反之也对，即“存在两条垂直的直线a ，b ，a ⊥β，b ⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A ，选D. 答案：D2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3＋5B.43 C.5＋6D.5＋5解析：由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为1、高为1的正四棱锥，侧面三角形的高为⎝⎛⎭⎫122＋12＝52；下部是棱长为1的正方体；∴该几何体的表面积为12×1×52×4＋1×1×5＝5＋5，故选D. 答案：D3.(2016·天津模拟)如图为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．6－3π4B ．6－3π2C ．3－3π2D ．3－3π4解析：分析三视图可知，该几何体是由一个长方体挖去半个圆柱而得到的，如图所示，因而其体积为2×1×1.5－12×π×12×1.5＝3－3π4.故选D.答案：D4.已知正四棱锥的底面边长为2a ，其侧视图如图所示．当正视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为( ) A ．8 B ．8＋8 2 C ．8 2 D ．4＋8 2解析：由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示．其正视图与侧视图相同，设正四棱锥的高为h ，则a 2＋h 2＝4.故正视图的面积为S ＝12×2a ×h ＝ah ≤a 2＋h 22＝2，当且仅当a ＝h ＝2时，S 最大． 故该正四棱锥的表面积为S 表＝(2a )2＋4×12×2a ×2＝8＋8 2.故选B.答案：B5．已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为( ) A.14 B ．2 3 C ．4 6D ．3解析：因为该直三棱柱的外接球的表面积是16π，所以该球的半径为R ＝2.又直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，所以该三棱柱的底面斜边所在的侧面必过球心，故该三棱柱的侧棱长是222－⎝⎛⎭⎫222＝14，故选A. 答案：A6．(2016·昆明模拟)一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.15B.16C.17D.18解析：依题意，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱ABC -A 1B 1C 1(其底面边长是2)中截去三棱锥E -A 1B 1C 1(其中E 是侧棱BB 1的中点)，因此三棱锥E -A 1B 1C 1的体积为VE -A 1B 1C 1＝13×12×2×3×1＝33，剩余部分的体积为V ＝VABC -A 1B 1C 1－VE -A 1B 1C 1＝12×2×3×2－33＝533，因此截去部分体积与剩余部分体积的比值为15，选A. 答案：A7．四棱锥P -ABCD 的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰好是A ，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a 的等腰三角形，则在四棱锥P -ABCD 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．解析：由题意可得P A ⊥BC ，P A ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥P A ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：68.如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，将此正方形沿EF 折成直二面角后，异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为________．解析：如图，取BC 的中点H ，连接FH ，AH ，∴BE ∥FH ，∴∠AFH 即为异面直线AF 与BE 所成的角．过A 作AG ⊥EF 于G ，则G 为EF 的中点． 连接HG ，HE ，则△HGE 是直角三角形． 设正方形边长为2，则EF ＝2，HE ＝2，EG ＝22， ∴HG ＝2＋12＝102，∴AH ＝52＋12＝ 3. 由余弦定理知cos ∠AFH ＝AF 2＋HF 2－AH 22·AF ·HF ＝12＋22－32×1×2＝12.答案：129．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球的表面积的比值为________．解析：该几何体是棱长为1的正八面体，其表面积为8×12×1×1×sin 60°＝23，其外接球的半径为22，故外接球的表面积为4π⎝⎛⎭⎫222＝2π，所以所求比值为3π.答案：3π10.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.解析：(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD.(2)证明：因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.又BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.而MD⊂平面BB1D1D，所以MD⊥AC.(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.证明如下：取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于点O，连接OM，BN(图略)．因为N是DC的中点，BD＝BC，所以BN⊥DC，所以BN⊥平面DCC1D1.又O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即四边形BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D.又OM⊂平面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.11.(2016·武汉调研)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PB的中点，AD⊥AE，且P A＝AB＝2，AD＝AE＝1.(1)证明：P A⊥平面ABCD；(2)求二面角B-EC-D的正弦值．解析：(1)证明：∵P A＝AB，E为PB的中点，∴AE⊥PB.在Rt△P AE中，PE＝P A2－AE2＝(2)2－12＝1，∴PB ＝2PE ＝2.又P A ＝AB ＝2，∴P A 2＋AB 2＝PB 2， ∴P A ⊥AB .又AD ⊥AE ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面P AB ， ∴AD ⊥P A ， ∴P A ⊥平面ABCD .(2)以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .由题设知P (0,0，2)，B (2，0,0)，C (2，1,0)，D (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫22，0，22， 则AE →＝⎝⎛⎭⎫22，0，22，DC →＝(2，0,0)，DE →＝⎝⎛⎭⎫22，－1，22. ∵AD ⊥AE ，AD ∥BC ，∴AE ⊥BC . 由(1)知，AE ⊥PB ，∴AE ⊥平面PBC .故AE →＝⎝⎛⎭⎫22，0，22为平面BEC 的一个法向量．设平面DEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0n ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝022x －y ＋22z ＝0.可取n ＝(0,1，2)．从而cos 〈n ，AE →〉＝n ·AE →|n ||AE →|＝2×223×1＝33.故二面角B -EC -D 的正弦值为63. 12．(2016·天津模拟)如图1，已知正三角形ABC ，以AB ，AC 为边在同一平面内向外作正三角形ABE 与ACD ，F 为CD 中点，分别沿AB ，AF 将平面ABE ，平面ADF 折成直二面角，连接EC ，CD ，如图2所示．(1)求证：CD ∥平面ABE ； (2)求二面角E -AC -B 的余弦值．解析：(1)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，则EG ⊥AB ，由题意知二面角C -AB -E 为直二面角，∴EG ⊥平面ABCF .∵F 为CD 的中点，AC ＝AD ，二面角C -AF -D 为直二面角， ∴DF ⊥平面ABCF ，∴DF ∥EG .由题意知∠BAC ＝∠ACF ＝60°，∴CF ∥AB ，又DF ∩CF ＝F ，EG ∩AB ＝G ，∴平面CDF ∥平面ABE ， 又CD ⊂平面DCF ， ∴CD ∥平面ABE .(2)连接GC ，由于AC ＝BC ，所以GC ⊥AB 于点G ，以G 为坐标原点，GB ，GC ，GE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设△ABC 的边长为2，∴GE ＝GC ＝3，则G (0,0,0)，C (0，3，0)，A (－1,0,0)，E (0,0，3)，B (1,0,0)， ∴AE →＝(1,0，3)，AC →＝(1，3，0)，AB →＝(2,0,0)， 设平面AEC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0m ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0x ＋3y ＝0，即x ＝－3，y ＝1，z ＝1， ∴m ＝(－3，1,1)．同理可知平面ABC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 那么cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝15×1＝55，又二面角E -AC -B 为锐角， ∴二面角E -AC -B 的余弦值为55.。
2015届高考理科数学 立体几何及空间想象能力经典精讲 课后练习一
立体几何及空间想象能力经典精讲主讲教师：程敏 北京市重点中学教研组长 题一：已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线题二：方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线题三：在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( ) A. 圆B. 不完整的圆C. 抛物线D. 抛物线的一部分题四：在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________.题五：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是( ).A. 圆或圆的一部分B. 抛物线或其一部分C. 双曲线或其一部分D. 椭圆或其一部分题六：如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．题七：如图所示，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB ＝BC＝2，则球O的体积等于________．立体几何及空间想象能力经典精讲课后练习参考答案题一： D.详解：由已知：|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，故选D. 题二： D.详解：原方程可化为⎩⎨⎧2x +3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x +3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线． 题三： B.详解：因为AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，所以AD //BC ，且90DAP CBP ∠=∠=︒.又∠APD =∠CPB ，AD =4，BC =8， 可得tan tan AD CBAPDCPB PA PB∠===∠， 即得2PB CBPA AD== 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (－3，0)、B (3，0).设点P (x ，y )，则有||2||PB PA ==，整理得221090xy x +++=由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B. 题四： 线段B 1C .详解： 在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面.易证BD 1⊥面ACB 1，所以满足BD 1⊥AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上.而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线段B 1C .题五： A.详解： 由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分. 题六： 16. 详解：V A －DED 1＝V E －ADD 1＝13×S △ADD 1×CD ＝13×12×1＝16.题七： 6π详解：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |2R ，所以R ＝62. 故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.。
2015届高考理科数学 立体几何及空间想象能力新题赏析
立体几何及空间想象能力新题赏析主讲教师：程敏 北京市重点中学教研组长题一：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( )A ．0＜θ＜π2B ．0＜θ≤π2C ．0≤θ≤π3D ．0＜θ≤π3题二：四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a .求该四面体的体积的最大值.题三：已知某球半径为R ，则该球内接长方体的表面积的最大值是( )A ．8R 2B ．6R 2C ．4R 2D ．2R 2题四：如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 为棱DD 1上的一点．(1)求三棱锥A －MCC 1的体积；(2)当A 1M ＋MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC .专题 立体几何及空间想象能力新题赏析课后练习参考答案题一： D.详解：当P 在D 1处时，CP 与BA 1所成角为0，二者平行，不是异面，不符合题意；当P 在A 处时，CP 与BA 1所成角为π3，∴0＜θ≤π3. 题二： 18a 3.详解： 如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ， 取AD 的中点为P ，BC 的中点为E ，连接BP ，EP ，CP .得到AD ⊥平面BPC ，∴V A －BCD ＝V A －BPC ＋V D －BPC＝13·S △APC ·AP ＋13S △BPC ·PD ＝13·S △BPC·AD ＝13·12·a a 2－x 24－a 24·x ＝a 12 (3a 2－x 2 )x 2≤a 12·3a 22＝18a 3 ⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝62a 时取等号. ∴该四面体的体积的最大值为18a 3. 题三： A.详解： 设球内接长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则a 2＋b 2＋c 2＝(2R )2， 所以S 表＝2(ab ＋bc ＋ac )≤2(a 2＋b 2＋c 2)＝8R 2，当且仅当a ＝b ＝c ＝233R 时，等号成立． 题四： (1) 13. (2) 见详解. 详解：(1)由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，AD ⊥平面CDD 1C 1，∴点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1.又S △MCC 1＝12CC 1×CD ＝12×2×1＝1， ∴V A －MCC 1＝13AD ·S △MCC 1＝13.(2)证明：将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，当A1，M，C′共线时，A1M＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1中点．连接A1M，B1M，在△C1MC中，MC1＝2，MC＝2，CC1＝2，∴CC21＝MC21＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1.又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM.又B1C1∩C1M＝C1，∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M.同理可证，B1M⊥AM.又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC.。
立体几何(教师版)空间想象力及最值问题
立体几何------空间想象力及最值问题1.（温州一模第4题）下列命题正确的是（）A.垂直于同一直线的两条直线互相平行B.平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形C. 锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形D. 平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形2.有如下四个命题：①平面α和平面β垂直的充要条件是平面α内至少有一条直线与平面β垂直；②平面α和平面β平行的一个必要不充分条件是α内有无数条直线与平面β平行；③直线a与平面α平行的一个充分不必要条件是平面α内有一条直线与直线a平行；④两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件．其中正确的序号是．3.下面是空间线面位置关系中传递性的部分相关命题：①与两条平行直线中一条平行的平面必与另一条直线平行；②与两条平行直线中一条垂直的平面必与另一条直线垂直；③与两条垂直直线中一条平行的平面必与另一条直线垂直；④与两条垂直直线中一条垂直的平面必与另一条直线平行；⑤与两个平行平面中一个平行的直线必与另一个平面平行；⑥与两个平行平面中一个垂直的直线必与另一个平面垂直；⑦与两个垂直平面中一个平行的直线必与另一个平面垂直；⑧与两个垂直平面中一个垂直的直线必与另一个平面平行；其中正确命题的个数有个．4．在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则①四边形一定是平行四边形；②四边形有可能是正方形；③四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面有可能垂直于平面．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）5.如图，正四面体ABCD的棱长为1，平面过棱AB，且CD∥α，则正四面体上的所有点在平面α6.已知异面直线a，b所成的角为θ，P为空间任意一点，过P作直线l，若l与a，b所成的角均为，有以下命题：①若θ= 60°，= 90°，则满足条件的直线l有且仅有l条；②若θ= 60°，=30°，则满足条件的直线l有仅有l条；③若θ= 60°，= 70°，则满足条件的直线l有且仅有4条；④若θ= 60°，= 45°，则满足条件的直线l有且仅有2条；上述4个命题中真命题有()A．l个B．2个C．3个D．4个7.定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()C B．线段BC1A．线段BC．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段9.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD 内的轨迹为()10.如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC 与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是()A．直线B．圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线11.如图，是平面的斜线段，为斜足。
高中数学能力基础之空间想象能力练习题
三、练习题(一)选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知异面直线a和b所成角为α，O为空间一定点，过点O作与a、b都成60°角的直线的条数为A.2或3B.3或4C.2或4D.2、3或42．如图,把边长为a的正方形剪去图中的阴影部分沿图中所画的虚线折成一个正三棱锥,则这个正棱锥的高为A. B. C. D.3．右图是函数y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx在上的图象,则它们所对应的图象的编号顺序是A.①②③④B.①③②④C.③①④②D.③①②④4．一棱锥被平行于底面的平面截成一个小棱锥和一个棱台,若小棱锥和棱台的体积分别为y和x,则y关于x的函数图象的大致形状是A. B.C. D.5．已知二面角α-l-β小于90° A∈l,AB α,AB⊥l,AC α,C AB,AB,AC在平面β内的射影分别为AB′,AC′,则∠B′AB与∠C′AC的大小关系是A.∠B′AB=∠C′ACB.∠B′AB<∠C′ACC.∠B′AB>∠C′ACD.不确定6．在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,该球恰与这四个面都相切。
经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确截面图形是A. B.C. D.7．有固定项的数列{a n}的前n项和S n=2n2+n,现从中抽出一项(不包括首项和末项)后,余下项的平均值是79,则这个数列的项数是A.40B.39C.38D.208．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形,其圆心角的比为3:4,再将它们卷成两个圆锥形侧面,则两圆锥体积的比为A.3:4B.9:16C.27:64D.以上都不对9．下列图形中,不是正方体的表面展开图的是A. B.C. D.10．A、B两点在地球的北纬45o圈上,且其经度差为60o, A、C两点在同一经度圈上,且其纬度差为60o,设m,n分别为A与B,A与C的球面距离.则的值为A. B. C. D.11．函数y=cos 在区间上的图象的最高点为A,最低点为B,将此图沿x轴折成120°的二面角,则AB与x轴所成的角为A.30°B.45°C.60°D.30°或60°12．由12根钢筋作成一个正四棱台框架,该框架上下底面积之比为1:4,一个底面直径等于此四棱台上、下两底边长之和的圆锥被这个框架所套牢(即上下正方形均与圆锥侧面相切)，则(圆锥体积)：被套进的圆的台体积)：(正四棱台体积)为(计算时,不计钢筋的体积)A.27π:7π:28B.27π:7π:28C.24π:7π:21D.24π:7π:24(二) 填空题13.AB、CD是半径为1的圆的直径,O是圆心,且∠AOC=45°,现沿AB将两个半圆折成直二面角,此时,CD的长等于_____________.14.直线x=0,x=2 ,y=-1及曲线y=sin(所围成的图形用阴影表示,若阴影部分绕x轴旋转体的体积为_______________________________.15.直线a、b与两条异两直线c、d都相交,则由a、b、c、d四条在线一共可以确定的平面个数为__________________________.16. 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,例棱AA1=BB1=CC1=3,沿三侧面从A点到A1点的最短路线是AM-MN-NA1 (M )时AM与A1N所成高为_______.(三)解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17. 已知圆台的上、下底面半径分别为cm和5cm,母线AB长为10cm,M为AB中点,有一绳子从M点出发,沿圆台侧面绕一周到达B点,问绳子最短是多少cm?若绳子的长为最短时,这绳子和上底面圆周上的点的最短距离是多少?18.如图一,现要用铁片做成一个直角烟筒弯头(两个圆柱呈垂直状),烟筒的直径为 9cm,沿最短母线EF将侧面展开后,(如图二)铁片在接口处展开图的轮廓线为正弦线的一部分(如图三)以半圆展开所得的直线为X轴,最长母线CM所在直线为y轴,在xoy系中AMB的方程为y=Asin(wx+ψ)(A>0,W>0，|ψ|≤),求A、W、ψ的值19.在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北30°东,俯角为30°的B处,到11时10分,又测得该船在岛北60°西,俯角为60°的C处,(如图所示)(1) 求船的航行速度是每小时多少千米?(2) 又经过一段时间后,船到达海岛A的正西方向D处,问此时船距岛A有多远?20.如图是抛线型拱桥,设当水面宽AB=2a米时,拱顶离水面的距离为h米,一货船在水面上的部分为矩形CDEF（1）若矩形的长CD=a米,那么矩形的高DE不能超过多少米才能使船通过拱桥?（2）求CDEF的面积S的"临界值"M：即当S<M时,适当调整矩形的宽和高度,船能过此拱桥;而当S>M时,无论怎样调整,船却不能通过此拱桥.21.如图,扇形OAB的圆心角为现在欲以这扇形剪成一圆台的侧面ABCD和下底面圆O1(上底面比下底面小),若不计算裁剪损耗,该如何裁剪能使所得圆台的容积最大?22.一专用中空模具由相同两块构成,外部呈直四棱柱状,把它平放在平台上,该中空的直四棱柱的中截面为如图的等腰梯形ABCD:AD=BC.模具内只嵌入一个半径为2dm的球,球O 与三边AD、DC、CB相切,模具最薄处厚1dm(即最低切点到平台的距离,其余处不计).(1) 若AB=12dm,AB与CD间距离为10dm,∠BAD=θ,求cosθ的值(2) 求此中空模具的体积.（即去掉中空部分）参考答案1—5 D D C B C 6—12 B B D C B C B13.答案: 说明:在空间,视CD为长方体的对角线,其三长度为再用公式计算之14.答案：π2 (面积单位)15、答案:4个或3个说明:考查空间想象力和讨论分类思想是本题主要目的.16、答案:arc cos,(沿AA1剪开展平,确定M、N位置,再计算所求角)17、分析:本题应将立体图化为平面图,使所要解决的问题"平面化"("具体化"),然后借肋"平几"知识解答之.解：（1）沿着圆台的母线AB将圆台侧面展开成扇形.依已知条件18、19、分析:计算速度,距离都与某些线段长度有关.这些线段必须放在空间环境下来观察分析;首先必须弄清方位角,俯角等概念.接着是明确线面关系和解三角形的技法.解(1)PA⊥平面DAB,船直线航行,则B、C、D在同一直线上,由题设可知∠BAC=30°+60°=90° ∵PA=1千米,P对B的俯角为30°,P对C的俯角为60°，∴AB=千米,AC=由于从B驶到C经历10分钟,故此船航速为每小时行2 千米.20、分析:本题是利用解析几何知识求解实际问题,在读题时,要进行空间想象,找准感觉,理解好题意.先建立直角坐标系，确定拱桥的抛物线方程,尤其要理解M的意义和函数及最值知识联系起来,使问题解决.解(1)取拱桥顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系.(2)矩形CDEF的面积S的"临界值"M，就是当E、F在抛物线上时S的最大值.21、分析:想象中的圆锥与现存的扇形有什么关系,明确立体图形与平面图形中的对应线段后,再计算之.解:AB的长为设下底面半径为R. 则2∴R=12,连OO1并延长交于F.则∠DOF=∴OO1=∴的长为.设上底面半径为r则r=∴圆台母线DA=OA-OD=36,∴V=22、解：(1)连结AO,设∠DAO=α ∠BAO=β ,过O作梯形高EF.∵圆Ｏ与两腰及上底相切, ∴E、F分别为DC、AB的中点,设圆O切AD于C2,则OC2⊥AD, 由已知OF=10-2 =8(dm)。
专题+立体几何及空间想象能力经典精讲--讲义
立体几何及空间想象能力经典精讲金题精讲题一：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线题二：平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( )A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 双曲线的一支题三：如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( )A. 圆B. 椭圆C. 一条直线D. 两条平行直线题四：若三棱锥A－BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是( )题五：到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线题六：设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A. 3πa2 B. 6πa2 C. 12πa2 D. 24πa2变化1：棱长都为a的正三棱柱，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_______.变化2：棱长都为a的正方体内接于半球，其顶点都在一个球面上，则该半球的表面积为_______.题七：已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S－ABC 的体积为( )A. B. C. D.变化1：已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB ASC=∠BSC=30°，则棱锥S－ABC的体积为( )A. B. C. D. 1变化2：已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2, 则此棱锥的体积为( )A. B. C. D.立体几何及空间想象能力经典精讲讲义参考答案金题精讲题一：D 题二：A 题三：B 题四：D 题五：D 题六：B、73πa2、92πa2题七：C、C、A。
专题 立体几何及空间想象能力经典精讲 课后练习二及详解
立体几何及空间想象能力经典精讲题一：如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC .那么，动点C 在平面α内的轨迹是( )A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点题二：已知平面α//平面β，直线1⊂α，点P ∈1，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线1的距离为29的点的轨迹是( ) A. 一个圆B. 两条平行直线C. 四个点D. 两个点题三：已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11A D 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 直线题四：设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能题五：已知正方体ABCD A B C D 1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上(但不在端点A ，B 上)，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为( ).A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 圆题六：在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．题七：已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26 B.36 C.23 D.22立体几何及空间想象能力经典精讲课后练习参考答案题一： B.详解：由线面垂直知BC ⊥AC ，∴C 点的轨迹是以AB 为直径的圆，但C 与A 、B 不重合，∴C 在平面α内的轨迹是一个圆，但要去掉两个点．题二： C.详解：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP =4.在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上.又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点.因此所求点的轨迹是四个点，故选C. 题三： B.详解：如图，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系.设P (x ，y )，作PE AD ⊥于E 、11PF A D ⊥于F ，连结EF ，易知2222||||||1PF PE EF x =+=+又作PN CD ⊥于N ，则|||1|PN y =-.依题意||||PF PN =，|1|y =-，化简得2220x y y -+=故动点P 的轨迹为双曲线，选B.题四： C.详解：若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|P A |+|AF 1|)－(|PB |+|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|.所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点．题五： A详解：在正方体ABCD A B C D -1111中，过P 作PF ⊥AD ，过F 作FE ⊥A 1D 1，垂足分别为F 、E ，连结PE .则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2－PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线.题六： 43π.详解：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝43π.题七： A.详解：由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝ 12－⎝⎛⎭⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.。
高考数学讲义空间想象能力
【例1】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线【例2】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE AC ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【例3】 定点A 和B 都在平面α内，定点P α∉，PB α⊥，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC AC ⊥．那么，动点C 在平面α内的轨迹是A. 一条线段，但要去掉两个点B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点D. 半圆，但要去掉两个点【例4】 正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为22，12AA =，点M 是BC 的中点，P 是平面11A BCD 内的一个动点，且满足2PM ≤，P 到11A D 和AD 的距离相等，则点P 的轨迹的长度为 A ．πB ．23πC ．22D ．2PD 1C 1B 1A 1D C BAD 1C 1B 1A 1PEDCBA空间想象能力例题精讲【例5】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11B C 的中点，动点P 在底面ABCD 内，且11PA A E =，则点P 运动形成的图形是 A ．线段 B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【例6】 如图AB 是长度为定值的平面α的斜线段，点A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP ∆的面积为定值，则动点P 的轨迹是A.圆B.椭圆 C 一条直线 D 两条平行线【例7】 四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内（含边界）运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是A ．B ．C ．D ．【例8】 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）C 1A CAPBAαCAB C DAB C DDC BACAD ．A ．N M P D 1C 1B 1A 1D CB A【例9】 抛物线2(22)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是 A ．1B ．8C ．82D ．162【例10】 在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=u u u u r u u u u r的实数λ的值有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【例11】 过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ,AD ,1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作A.1条B.2条C.3条D.4条【例12】 如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面11ABC D 均成030角，则这样的直线l 的条数为 ( ) A. 1 B .2 C. 3 D .4【例13】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线 A ．有无数条 B ．有2条C ．有1条D ．不存在A 1D 1A 1C 1B DC BOPNM QD 11B 1A 1DC B图2C 1B 1A P D BCA【例14】 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为A ．4B ．6C ．8D ．12【例15】 如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在线段1D E 上,点P 到直线1CC 的距离的最小值为__________.【例16】 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是A ．6B ．3-C ．3-D 【例17】如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是_____________．D 1C 1B 1A 1FEDCBA1A 1C BAKFDABCA'B'C'D'ABCD【例18】 如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E F 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 A. 点P 到平面QEF 的距离B. 直线PQ 与平面PEF 所成的角C. 三棱锥P QEF -的体积D.二面角P EF Q --的大小【例19】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断：①1A C ⊥平面1B EF ；②1B EF ∆在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关. 其中正确判断的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例20】已知矩形ABCD ,1AB =,BC .将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中,（ ）A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直D 1C 1B 1A 1FEDCBAC 1A 1C【例21】如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且//AB CD ,正方体的六个面所在的平面与直线,CE EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=A ．8B ．9C ．10D ．11【例22】已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0或1【例23】 如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm 和半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为20cm ，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为（ ） A ．29cm B ．30cm C ．32cm D ．48cm【例24】已知二面角l αβ--为60o ，动点P ,Q 分别在面,αβ内，P 到βQ 到α的距离为P ,Q 两点之间距离的最小值为（）A ．1B ．2C ．23 D ．4 【例25】如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上．点Q 是CD 的中点，动点P 在棱AD 上，若1EF =，DP x =，1A E y =（,x y 大于零），则三棱锥P EFQ -的体积：A ．与,x y 都有关；B ．与,x y 都无关；C ．与x 有关，与y 无关；D ．与x 有关，与y 无关；FEDCBAα图3图2图11A C【例26】如图所示，在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 是棱1DD 的中点， F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，则1B F 与平面11CDD C 所成角的正切值构成的集合是（ ） A ．{2}B ．25{}C ．{|222}t t ≤≤D ．25{|2}t t ≤≤ 【例27】如图，四面体OABC 的三条棱,,OA OB OC 两两垂直，2OA OB ==,3OC =，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是A ．①②B ．②③C ．③D ．③④【例28】已知三棱锥A BCO -，,,OA OB OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在BCO ∆内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为A ．6π B ．6π或366π+ C ．366π- D ．6π或366π-【例29】如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP ∆的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线DCBAOαPBA【例30】 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D.双曲线的一支【例31】 在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45︒的点P 的个数为 A ．0 B ．3 C ．4 D ．6【例32】与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无数个【例33】 设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面αA. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个【例34】如图，已知平面l αβ=I ，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD -体积的最大值是（ ）A．B ．16C ．48D ．144【例35】如图6-1，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，90ACB ∠=o ,6AC =,1BC CC ==．P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值为_____________．DCBA P βαA'B'C'D'ABCDAC PB1A1C1B图６－１AC PB1A1C1B图６－２ C【例36】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF =列结论中错误的是 （ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值【例37】 如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时, S 为四边形; ②当12CQ =时, S 为等腰梯形; ③当34CQ =时, S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时, S 为六边形;⑤当1CQ =时, S .F ED 1C 1B 1A 1DC BA1A 1QA【例38】 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是 A． B．(1, C． D．(0,【例39】设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4,5,6的直线. 给出下列三个结论：①(1,2,3)i i A l i ∃∈=，使得123A A A ∆是直角三角形； ②(1,2,3)i i A l i ∃∈=，使得123A A A ∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③【例40】 如图，''''ABCD A B C D -为正方体，任作平面α与对角线'AC 垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则 （ ） A ．S 是定值，l 不是定值 B ．S 不是定值，l 是定值 C ．S 、l 均是定值 D ．S 、l 均不是定值【例41】 正四棱锥S ABCD -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是（ ）A ．αβγθ<<<B ．αβθγ<<<C ．θαγβ<<<D ．αγβθ<<<【例42】 如图，四面体DABC 的体积为16，45o ACB ∠=，3AD BC ++=，则CD =_________．【例43】 设四面体四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，他们的最大值是S ，记1234S S S S Sλ+++=，则λ一定满足（ ）A ．24λ<≤B ．34λ<<C ．2.5 4.5λ<≤D ．3.5 5.5λ<<A 1A 1A 2A 3A 4A 4A 3A 2C 1B 1A 1E DCBACBAD【例44】 设O 是正三棱锥P ABC -的中心，过O 的动平面与P ABC -的三条侧棱或其延长线的交点分别即为,,Q R S ，则和式111PQ PR PS++（ ） A ．有最大值，而无最小值 B ．有最小值，而无最大值 C ．既有最大值，又有最小值D ．是一个与平面QRS 位置无关的常量【例45】 有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是A. 1B.C.D. 【例46】 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是BC 的中点，点P 是平面ABCD 内的一个动点，且满足2PM =，P 到直线11A D，则点P 的轨迹是 A ．两个点B. 直线C. 圆D. 椭圆【例47】 如图，平面α⊥平面β，l αβ=I ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是 A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 D ．当,AB CD 是异面直线时，直线MN 可能与AC 平行【例48】 四面体ABCD 中，CD BC ⊥，AB BC ⊥,CD AC =，1AB BC ==平面BDC 与平面ABC 成45o 的二面角，则点B 到平面ACD 的距离为_________.【例49】 直线,a b 和平面α，若a 与α成角60o ，b α⊂，则a 与b 所成角θ的范围是（ ）A ．[60,90]o oB ．(0,90]o oC ．(0,60]o oD ．[60,180)o o【例50】 若Ω是长方体1111ABCD A B C D -被平面FEGH 截去几何体11FEGHB C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且11//EH A D ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．//EH FGB ．四边形EFCH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台【例51】 正四面体ABCD 的外接球球心为O ，E 为BC 中点，则二面角A BO E --的大小为_______．【例52】 已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示. （1）若该四棱锥的左视图为直角三角形，则它的体积为__________； （2）关于该四棱锥的下列结论中：①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直； ②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形； ③四棱锥中不．可能存在四组互相垂直的侧面. 所有正确结论的序号是___________.【例53】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A ）[26,66] （B ）[26,18] （C ）[36,18] （D ）[36,66]【例54】 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为θ（00090θ<<）的平面所截，截面是一个椭圆.当θ为30o 时，这个椭圆的离心率为 （A ）12 （B ）32 （C ）33 （D ）23βθαA BA 1B 1D C D 1 C 1P 211【例55】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BD AC O =I ，M 是线段1D O 上的动点，过点M做平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为 ABCD ．1【例56】 在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面四边形ABCD 是矩形，且AD=3AB ，点E 是底面的边BC 上的动点，设(01)BEBCλλ=<<，则满足PE ⊥DE 的λ值有 (A) 0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个【例57】 如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是________．【例58】 如图，梯形ABCD 中，AD P BC ,1AD AB ==,AD AB ⊥,45BCD ∠=o ,将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD .给出下面四个命题：①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为2； ③CD ⊥平面A BD '； ④平面A BC '⊥平面A DC '. 其中正确命题的序号是（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）②④BCD E SA CBA【例59】 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A ．4个B ．6个C ．10个D ．14个【例60】 如图，在三棱锥A BCD -中，BC DC AB AD ====，2BD =，平面内ABD ⊥平面BCD ，O为BD 中点，点,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为_____________。
例说高考试题对空间想象能力的考查
例 ３ 抛物线Ｙ＝Ｘ （ ２≤Ｘ≤２ 绕ｙ 一 ） 轴旋
转， 形成一个如 图４ 所示 的旋转体， 在此旋转体 内水平放入一个正方体， 使正方体的一个面恰好 与旋转体 的开 口面平齐， 求此正方体的体积．
、 Ｉ
Ｉ ，
用， 但设计时， 以让这些相互交织的能力要求， 可 围绕并突出空间想象能力．
例３ 中抛物线 Ｙ＝Ｘ （ ２≤ Ｘ≤２ 可 以改为一 一 ） 段 圆弧、椭 圆、双 曲线或某简单 的初等函数图 像的一段， 所放置 的几何体可 以是长方体、 四面 体、球等， 放置的方式要求也可多种多样． 这样 可以编制 出具有 良好 的甄别能力而又不怪异 的 好题 ． 三、 多种能力组合突出空间想象能力考查 有些问题 的解决， 需要转换、化归、分类讨 论、形 数结合、零整互化等多种能力 的综合作
Ｂ ＞
ｏ ａ
乎不变． 造成这种局面的原 因， 不是立体几何本 身要求 降低到无需理解， 只要简单模仿 的程度， 也不是 没有学习价值和考查必要， 实在是 因新老
教材在知识体系和处理解决 问题方法上差异太 大， 要兼顾新老教材 “ 公平” 命题， 实属不易． ０ ９ ２ ０ 年教材统一 了， 这种无奈 的局面应该结束 了， 立
例２ 如图３ 底面直径为２ ， 的圆柱被与底面
ห้องสมุดไป่ตู้
成 ６ 。 面角的平 面所截， ０二 截面是一个椭 圆， 求 此椭 圆的焦距．
等为基本题材， 要求理解掌握椭 圆的性质 （ 长短 轴、焦点） 利用抛物线方程确定几何图形中一 ，
些量 的关系． 主要考查空间想象能力， 至于椭 圆 中长 短轴 长和焦距 的关 系、抛物 线上 点的横纵 坐标 的关 系则是 最基础的要求．解决 以上 问题 的关键体 现了将 空间图形通过 “ 投影” 化到平 转 面上解决 的思想方法． 无需严格的公理化系统下 的逻 辑 推 演，又 不 降低 对 空 间 想象 能 力 的要 求，
高考数学知识点精讲立体几何的空间想象
高考数学知识点精讲立体几何的空间想象在高考数学中，立体几何一直是让许多同学感到头疼的部分。
而其中，空间想象能力的培养和运用更是解决立体几何问题的关键。
今天，咱们就来好好聊聊这个重要的知识点。
首先，咱们得搞清楚啥是空间想象能力。
简单来说，就是在脑海中构想和操作三维物体的能力。
想象一下，给你一个立体图形，你能迅速在脑子里勾勒出它的形状、结构，能判断不同面之间的关系，能算出各种角度、长度啥的，这就是空间想象能力。
那为啥空间想象能力在立体几何中这么重要呢？因为立体几何的题目可不会乖乖地把所有信息都摆在你面前，很多时候需要你自己通过想象去补全、去推导。
比如说，让你求一个三棱锥的体积，可它的顶点位置啥的都没给清楚，这时候就得靠你在脑子里把这个三棱锥构建出来，找准对应的底面积和高，才能算出体积。
那怎么培养这空间想象能力呢？一个好办法就是多观察实物。
比如说，看看教室里的墙角（那就是一个典型的直角三棱锥），瞅瞅家里的盒子（长方体），观察观察篮球（球体）。
通过对这些实物的观察，你能更直观地感受立体图形的特点。
还有就是多动手画图。
别小看画图这事儿，亲手把一个立体图形画出来，能让你对它的结构理解得更透彻。
一开始画得不好没关系，多练练就有感觉了。
而且，画图的时候要注意比例和角度，尽量画得准确。
接下来，咱们说说立体几何中常见的几种图形。
先说棱柱。
棱柱有两个平行且全等的底面，侧面都是平行四边形。
像三棱柱、四棱柱，在题目中经常出现。
解题的时候，要搞清楚底面的形状和边长，还有棱柱的高。
再看棱锥。
棱锥有一个多边形的底面，顶点到底面的垂线就是高。
特别要注意正棱锥，它的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
然后是圆柱和圆锥。
圆柱有两个平行且相等的圆面作为底面，侧面展开是一个矩形。
圆锥呢，底面是一个圆，顶点到底面圆心的距离就是高，侧面展开是一个扇形。
球也是常见的立体图形。
要记住球的表面积和体积公式，还要能通过题目给出的条件求出球的半径。
空间想像能力逻辑思维能力解题能力
计划 知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数
据彼此更接近？
你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条
件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？
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实现计划
第三，实行
你的计划
实现你的求解计划，检验每一步 骤. 你能否清楚地看出这一步骤是正 确的？你能否证明这一步骤是正
0一水平：直观
1一水平：分析
2一水平：抽象
3一水平：演绎
4一水平：严谨
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三、中学生空间想象力发展的特点
2．中学生空间想象力发展的特点
学生的空间想象力也由低水平到高水平顺次发 展。
中学生空间想象力的发展具有年龄特征，表现 在：每一级水平的空间想象力都随着年级的 升高而呈上升发展的趋势。
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空间想象能力的培养
➢数学中的空间想象能力是空间想象力是人们
对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽 象的能力，它的特点在于善于在头脑中构成 研究对象的空间形状和简明的结构，并能在 离开实物的条件下，在头脑中对空间元素进 行一系列操作和变换，对它们的位置关系进 行相应的分析、归纳和概括等。
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一、对数学思维能力的理解
一是从数学思维过程、方法考察。数学思维能 力主要是指：会观察、比较、分析、综合、 抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推 理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想 和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨 明数学关系，形成良好的思维品质。
二是从数学所特有的思维对象出发，数学思维 能力可以包括：空间想象、符号表示、运算 求解、体系建构等诸多方面。
其次，数学的计算具有无可争辩的准确性，数 学定理只有当它从逻辑的推理上得到准确的 证明才能被认可。
试题高中数学试题之几何形体与空间思维
试题高中数学试题之几何形体与空间思维高中数学试题之几何形体与空间思维几何形体与空间思维是高中数学中的重要内容，考察学生对于几何形体的认识与理解能力，以及对于空间思维的运用能力。
本文将通过解答几个高中数学试题，来阐述几何形体与空间思维的相关概念和应用。
1. 已知三棱锥P-ABC的棱长都相等，如图1所示。
点M是边PA 的中点，连接线段MB。
证明：四边形APBC是平行四边形。
解析：首先，观察图形可以发现线段MB与线段PC共面。
根据几何定理知，若两直线相交，则它们确定的平面上，任意一点到一条直线上的距离与该点到另一条直线上的距离之和等于这两条直线间的距离。
因此，我们需要证明AP=BC，即AM+MB=BC。
由于三棱锥P-ABC的棱长都相等，根据题意可知AP=PB=PC，又因为M是边PA的中点，所以AM=MP。
故AM=MP=PB=PC=CB，即AM+MB=BC，因此四边形APBC是平行四边形。
2. 设立体的棱长分别为a、b、c，且满足条件a+b+c=4。
求立体的最大体积。
解析：设立体的棱长为a、b、c，则根据题意得知a+b+c=4。
我们的目标是求解最大体积，即求解体积V的最大值。
根据数学常识，当某个量的取值范围固定时，若要求解最大值，通常可以使用求导的方法。
由于体积V与边长a、b、c之间存在关联，我们将V表示为a、b、c的函数，即V=V(a,b,c)。
根据几何知识，立方体的体积可表示为V=a^3。
因此，我们可以将V表示为一个与a相关的函数，即V(a)=a^3。
同理，b、c的函数表示分别为V(b)=b^3和V(c)=c^3。
根据题意可知a+b+c=4，进一步可以得到b=4-a-c。
将b的表达式代入V(b)=b^3中，得到V关于a、c的函数表示为V(a,c)=(4-a-c)^3。
求解函数V(a,c)的最大值即可得到立体的最大体积。
我们可以使用求偏导数的方法来求解V(a,c)的最大值。
偏导数的计算步骤略，最终求解得到当a=b=c=4/3时，体积V的最大值为64/27。
高考理科数学 立体几何及空间想象能力新题赏析 课后练习二
立体几何及空间想象能力新题赏析主讲教师：程敏北京市重点中学教研组长题一：如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°题二：四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a. 当四面体的体积最大时，求其表面积．题三：两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为()A．(6－33)πB．(8－43)πC．(6＋33)π D．(8＋43)π题四：如图，在三棱锥P－ABC中，△P AC，△ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.(1)现给出三个条件：①PB＝3；②PB⊥BC；③平面P AB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：P A⊥平面ABC；(2)在(1)的条件下，求三棱锥P－ABC的体积．专题 立体几何及空间想象能力新题赏析课后练习参考答案题一： B.详解：连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C ，B 1C 与BC 1交于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ，在三角形GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22a ，故所求的两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.题二： 23＋154a 2. 详解：如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为62a ，∴S 表＝2×34a 2＋2×12×62a × a 2－(64a )2 ＝32a 2＋62a ×10a 4＝32a 2＋15a 24＝23＋154a 2. 题三： A.详解：设球O 1、球O 2的半径分别为r 1、r 2， 则3r 1＋r 1＋3r 2＋r 2＝3，r 1＋r 2＝3－32，从而4π(r 21＋r 22)≥4π·(r 1＋r 2)22＝(6－33)π.题四： (1)见详解. (2) 26.详解：(1)选取条件①在等腰直角三角形ABC 中，∵AB ＝1，∴BC ＝1，AC ＝ 2.又∵P A ＝AC ，∴P A ＝ 2.∴在△P AB 中，AB ＝1，P A ＝ 2. 又∵PB ＝3，∴AB 2＋P A 2＝PB 2.∴∠P AB ＝90°，即P A ⊥AB .又∵P A ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，∴P A ⊥平面ABC .(2)依题意得，由(1)可知P A ⊥平面ABC ， V 三棱锥P －ABC ＝13PA ·S △ABC ＝13×2×12×12＝26.。
【北京特级教师 二轮复习精讲辅导】2015届高考数学 立体几何及空间想象能力新题赏析讲义 理
立体几何及空间想象能力新题赏析
金题精讲
题一：设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a ，且长为a 面，则a 的取值范围是( )
A. B. C. D.
题面：有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是( )
题二：如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC =2，若AD =2c ，且AB +BD =AC +CD =2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .
题三：如图,在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, E 为BC 的中点, 点P 在线段D 1E 上, 点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.
题四：如图，四棱锥P －ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点， 3,12
DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====
，，连接CE 并延长交AD 于F . (1)求证：AD ⊥平面CFG ；
(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.
立体几何及空间想象能力新题赏析
讲义参考答案
金题精讲
题一： A 、A 题二：
23 题三：5 题四：(1) 略 (2) 4。
高考数学二轮复习第三部分能力篇专题一空间想象能力课件理
－1,1)，设直线 AD 与平面 MBC 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈n，
A→D〉|＝
→ |n·AD|
→
＝
36，故直线
AD
与平面
MBC
所成角的正弦值为
6 3.
|n||AD|
第二十三页，共28页。
能力 (nénglì)3
能力(nénglì)1 能力(nénglì)2
能力3
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，将求 线面角转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法 向量所夹的锐角，其余角就是斜线和平面所成的角.
(1,1,0)，B→M＝0，12，12
，A→D＝(0,1，－1)．
第二十二页，共28页。
能力 (nénglì)3
能力1 能力2
能力3
试题(shìt解í析) (jiě
n·B→C＝0， 设 平 面 MBC 的 法 向 量 n＝ (x0 ， y0 ， z0)， 则 n·B→M＝0， 即
x0＋y0＝0， 12y0＋12z0＝0， 取 z0＝1，得到平面 MBC 的一个法向量 n＝(1，
设平面 EBC 的法向量 m＝(x，y，z)，由m·B→C＝－ax＋ay＝0
，
可得到 m 的一个解为 m＝(1,1， 2)，注意到平面 EAD 的一个法向量 n＝(0,1,0)，
而 cos〈m，n〉＝|mm|··n|n|＝12，所以平面 EAD 与平面 EBC 所成锐二面
角的大小为 60°.
第二十七页，共28页。
＝C1D＝ 2＝ AD 1
2，所以异面直线 AC1 与 EF 所成角的正切值为
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数学能力基础之空间想象
一、空间想象能力
关于空间想象能力.它是一种特殊的思维形式,也是发展创造的必备条件.空间想象就是用题设中的数学语言搭起"空中楼阁",让它的结构完整适用.根据已建的立体(或平面)图形,找出概念的东西寻求规律和数量关系,从而解答出所求的问题.空间想象还含有动的因素:包括割补、展平、折迭、平移、旋转等.空间想象能力的检测是高考的主要内容之一，不容轻视.
二、例题分析
[例1]什么叫直线的倾斜角？并指出直线倾斜角α的范围。
参考答案：一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角；特别地，当直线和x轴平行或重合时，规定其倾斜角为0。
直线倾斜角α的范围是：0≤α＜π。
说明：倾斜角的概念应理解的十分准确，这里要特别注意：倾斜角的定义是分类给出的，任意一条直线与x轴的位置关系有三种：相交、平行和重合。
其中"相交"是一般情形，常见的错误是把一般情形当作倾斜角定义的全部，忽视了"平行"和"重合"这两种特殊情形，而这两种特殊情形的倾斜角定义是规定为0，而不是π。
因此，有人说倾斜角α的范围是0≤α≤π，这就是错误的。
[例2]设两条直线：则
参考答案：
说明：问3的结论概括了任何两条直线垂直的条件，即不管斜率是否存在，结论
”都是正确的，这个结论的证明，应按斜率是否存在划分为“问2”
“
的两种情况来证明，请同学们自己去完成。
[例3]求直线l的方程：
⑴过点P（-1,3）且与直线2x+3y+3=0平行；
⑵过点P（-1,3）且与直线2x+3y+3=0垂直。
[提示]利用平行，垂直的条件求斜率K，然后用点斜式求直线l的方程。
这是思路一。
这个思路一，同学们都会；我们给出比思路一更好的思路二——待定系数法：根据平行，垂直的条件设出直线系方程，然后用过点P（-1,3）求出待定系数。
[参考答案]
⑴设l的方程为2x+3y+c=0, ①
由过点P（-1,3），得解得c=-7.
②把c=-7代入①，得所求l：2x+3y-7=0, ②
设l的方程为3x-2y+d=0
由l过点P（-1,3），得解得d=9.
把d=9代入②，得所求l：3x-2y+9=0
[说明]上面解法中直线方程①和②叫做直线系方程，分别含有一个待定系数c,d。
方程①表示与直线2x+3y+3=0平行的直线系（c≠3）；
方程②表示与直线2x+3y+3=0垂直的直线系。