山东省青岛市2011年高考模拟练习题(1)(理数)

高三数学 (理科)习题（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．参考公式：如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)·P(B).如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2).k kn k n n P •k C p p k n -=-= 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{||1||2|}M x x x =->+,2{|0}N x x x =+<,则M N = A ．1{|0}2x x -<< B ．1{|1}2x x -<<- C ．}01|{<<-x x D ．1{|}2x x <- 2. 已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的A ．充要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 命题:R p x ∀∈，函数2()2cos 23f x x x =≤，则A ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =≤B ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =>C ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =≤D ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =>4. 一个样本容量为9的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}n a ，若38a =，且137,,a a a 成等比数列，则此样本的中位数是A ．12B ．13C ．14D ．155. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为 A ．15 B ．14 C ．13 D ．126. 三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱⊥1AA 底面ABC ，其正视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为 A ．3 B ．32 C ．22 D ．47. 设二次函数2()2f x ax ax c =-+在区间[0,1]上单调递减，且()(0)f m f ≤，则实数m 的取值范围是A. (,0]-∞B. [2,)+∞C. (,0]-∞ [2,)+∞D. [0,2] 8. 已知函数()sin()(R,0,0,)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是A ．()2sin() (R)6f x x x ππ=+∈B ．()2sin(2) (R)6f x x x ππ=+∈C ．()2sin() (R)3f x x x ππ=+∈D ．()2sin(2) (R)3f x x x ππ=+∈9. 以抛物线x y 202=的焦点为圆心，且与双曲线191622=-y x 的两条渐近线都相切的圆的方程为A ． 0642022=+-+x y x B ．0362022=+-+x y xC ．0161022=+-+x y xD ．091022=+-+x y x10. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面,则下列四个命题中错误．．的为： A. 若a b ⊥，,a b αα⊥⊄，则//b α B. 若//a α，a β⊥，则αβ⊥ C. 若a β⊥，αβ⊥，则//a αD. 若a b ⊥，,a b αβ⊥⊥，则αβ⊥11. ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1,若2AB AC AO += ，且O A A C =，则向量BA在向量BC方向上的投影为A ．32 BC ．3 D．12. (1)n x +的展开式中，kx 的系数可以表示从n 个不同物体中选出k 个的方法总数.下列各式的展开式中8x 的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,410 克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是 A ．2310(1)(1)(1)(1)x x x x ++++ B ．(1)(12)(13)(110)x x x x ++++ C ．2310(1)(12)(13)(110)x x x x ++++D ．223210(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ++++++++++ 网第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 曲线2-=x xy 在点(1,1)-处的切线方程为___________; 14. 阅读右侧的程序框图，输出的结果S 的值为___;15. 若22x y +=，则93xy+的最小值为________;16.将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20, 为“梯形数”．根据图形的构成，则数列的第10项10=a ________;三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(1,1)m =-，(cos cos ,sin sin )2n B C B C =- ，且m n ⊥ .(Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)现在给出下列三个条件：①1a =；②21)0c b -=；③45B =，试从中再选择两个条件以确定ABC ∆，求出所确定的ABC ∆的面积.(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分). 18．（本小题满分12分） 某区组织群众性登山健身活动,招募了N 名师生志愿者,将所有志愿者现按年龄情况分为1520,2025,2530,3035,3540,4045 等六个层次,其频率分布直方图如图所示: 已知3035 之间的志愿者共8人. (Ⅰ)求N 和2030 之间的志愿者人数1N ;(Ⅱ)已知2025 和3035 之间各有2名英语教师， 现从这两个层次各选取2人担任接待工作,设两组的选 择互不影响,求两组选出的人选中都至少有1名英语 教师的概率是多少?(Ⅲ)组织者从3545 之间的志愿者(其中共有4名女教师，其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,数量为ξ,求ξ的概率和分布列.19．（本小题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面ABC ，2=AB ，2=AF ，3=CE ， O 为BC 的中点,//AO 面EFD ． (Ⅰ)求BD 的长；(Ⅱ)求证：面EFD ⊥面BCED ；(Ⅲ)求平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值．20．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，121,411,111-=-==+n n n n a b a a a ，其中*N n ∈． (Ⅰ)求证：数列{}n b 为等差数列；(Ⅱ)求证：11111(N ,2)23421n n b n n *-++++<∈≥- 21．（本小题满分12分）已知函数1()ln xf x x ax-=+. (Ⅰ)若函数()f x 在[)1,+∞上是增函数，求正实数a 的取值范围； (Ⅱ)若1a =，R k ∈且1k e <，设()()(1)l n F x f x k x =+-,求函数()F x 在1[,]e e上的最大值和最小值.22．（本小题满分14分）已知抛物线21:2(0)C y p x p =>的焦点F 以及椭圆AC BDEFO22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上.(Ⅰ)求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；(Ⅱ)过点F 的直线交抛物线1C 于A 、B 两不同点,交y 轴于点N ，已知1212,,:N A A F N B B F λλλλ==+求证为定值. (Ⅲ)直线l 交椭圆2C 于Q P 、两不同点，Q P 、在x 轴的射影分别为Q P ''、，10OP OQ OP OQ ''++=，若点S 满足：OQ OP OS +=，证明：点S 在椭圆2C 上.高三数学（理）练习题（一）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． BCDA CBDA CCAA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 12+-=x y ； 14.2； 15. 6； 16．77 三、解答题：本大题共6小题,共74分. 17. （本小题满分12分）解：(I)因为m n ⊥ ，所以cos cos sin sin 0B C B C -+=……………2分即：cos cos sin sin 2B C B C -=-，所以cos()2B C +=-…………4分 因为A B C π++=，所以cos()cos B C A +=-所以cos 302A A == ……………………………………6分 (Ⅱ)方案一:选择①②，可确定ABC ∆，因为30,1,21)0A a c b ==-=由余弦定理，得：2221)2b b =+-整理得：22,2b b c===……………10分所以1111sin22224ABCS bc A∆==⋅=……………………12分方案二:选择①③，可确定ABC∆，因为30,1,45,105A aB C====又sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60=+=+=由正弦定理sin1sin105sin sin30a CcA⋅===……………10分所以111sin122224ABCS ac B∆==⋅⋅=……………12分（注意;选择②③不能确定三角形）18．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）设频率分布直方图中6个层次的频率分别为123456,,,,,P P P P P P 40.0450.2P=⨯=，所以,8400.2N==……………2分由题意1234561P P P P P P+++++=而2314561()15(0.010.040.020.01)0.6P P P P P P+=-+++=-+++=所以, 2030之间的志愿者人数12340()400.624N P P=⨯+=⨯=…………4分（Ⅱ）20.3p=∴2025之间有400.312⨯=人……………5分设从2025之间取2人担任接待工作,其中至少有1名英语教师的事件为B;从3035之间取2人担任接待工作,其中至少有1名英语教师的事件为C因为两组的选择互不影响,为相互独立事件2102127()1()122CP B P BC=-=-=262813()1()128CP C P CC=-=-=……………7分B与C为相互独立事件，同时发生可记做BC所以，71313()()().222888P BC P B P C ===……………8分 (Ⅲ) 3545 之间共有5(0.010.02)406⨯+⨯=人，其中4名女教师，2名男教师 从中选取三人，则女教师的数量为ξ的取值可为1,2,3所以1242361(1)5C C P C ξ=== ；2142363(2)5C C P C ξ===；34361(3)5C P C ξ=== 所以，分布列为………10分所以，数学期望为1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=……………12分 19．（本小题满分12分）（Ⅰ）取ED 的中点P ，连接,PO PF 则PO 为梯形BCED 的中位线，322BD CE BD PO ++== 又//,//PO BD AF BD ,所以//PO AF 所以,,,A O P F 四点共面……………2分因为//AO 面EFD ，且面AOPF 面EFD PF = 所以//AO PF所以四边形AOPF 为平行四边形，2PO AF == 所以1BD =……………4分（Ⅱ）由题意可知平面ABC ⊥面BCED； 又AO BC⊥且AO ⊂平面ABC 所以AO ⊥面BCED因为//AO PF 所以PF ⊥面BCED又PF ⊂面EFD ，所以面EFD ⊥面BCED ；……………6分（Ⅲ）以O 为原点，,,OC OA OP 所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系(1,0,0),(1,0,0).(0,0,2),(1,0,3),A B C P E F -……7分设Q 为AC 的中点，则1(,22Q 易证：BQ ⊥平面ACEFy平面ACEF的法向量为3(,22BQ = ……………8分设平面DEF 的法向量为(,,1)n x y =，(1,0,1),PE PF ==由00n PF n PE ⎧=⎪⎨=⎪⎩得01y x =⎧⎨=-⎩所以(1,0,1)n =- ……………10分所以cos ,BQ n BQ n BQ n⋅<>==11分 所以平面DEF 与平面ABC……12分20．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：11211212112112111=----=---=-++n nn n n n a a a a b b ∴数列{}n b 为等差数列……………4分 （Ⅱ）因为 111121b a ==-，所以1(1)n b n n =+-= 11(2)n b n n -=-≥ 原不等式即为证明11111(N ,2)23421nn n n *++++<-∈≥- ， 即11111(N ,2)23421nn n n *+++++<∈≥- 成立…………6分 用数学归纳法证明如下：当2n =时，111223++<成立,所以2n =时，原不等式成立……………8分 假设当n k =时，1111123421kk +++++<- 成立 当1n k =+时，1111111112342122121kk k k +++++++++-+- 2111111212212212222k kk k k kk k k k k k k k <+++<++++=+=+++-个所以当1n k =+时，不等式成立……………11分 所以对N ,2n n *∈≥，总有1111123421n n b -++++<- 成立……………12分 21．（本小题满分12分） (Ⅰ)解:由题设可得21'()(0)ax f x a ax -=>因为函数()f x 在[1,)+∞上是增函数， 所以,当[1,)x ∈+∞时，不等式21'()0ax f x ax -=≥即1a x ≥恒成立因为,当[1,)x ∈+∞时，1x的最大值为1，则实数a 的取值范围是[1,)+∞-----4分 (Ⅱ) 解: 1a =，1()ln xf x x x-=+ 11()ln (1)ln ln x xF x x k x k x x x--=++-=+ 所以,'''22(1)(1)1()x x x x k kx F x x x x----=+= …………6分 （1） 若0k =,则21'()F x x-=，在1[,]e e 上, 恒有'()0F x <， 所以()F x 在1[,]e e上单调递减min 1()()e F x F e e -==，max 1()()1F x F e e==-…………7分 (2) 0k ≠时'221()1()k x kx k F x x x --== （i ）若0k <，在1[,]e e 上,恒有21()0k x k x -<所以()F x 在1[,]e e上单调递减min 111()()ln 1e e F x F e k e k k e e e--==+=+=+- max 1()()1F x F e k e==--…………9分ii)0k >时，因为1k e <，所以1e k> 1()0x k -<，所以21()0k x k x-< 所以()F x 在1[,]e e上单调递减min 111()()ln 1e e F x F e k e k k e e e--==+=+=+- max 1()()1F x F e k e==--…………11分综上所述：当0k =时，min 1()eF x e-=，max ()1F x e =-；当0k ≠ 且1k e<时，max ()1F x e k =--，min 1()1F x k e=+-.…………12分22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由21:2(0)C y px p =>焦点2pF（,0）在圆22:1O x y +=上 得:2124p p =∴= 所以抛物线1C ：24y x =………………2分同理由椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上可解得：1,b c a ==∴=得椭圆2C ：1222=+y x 总之，抛物线1C ：24y x =、椭圆2C ：1222=+y x ………………4分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为11(1,(,)y k x A x y =-），22(,)B x y ，则(0,)N k -.………5分联立方程组24,(1),y x y k x ⎧=⎨=-⎩ 消去y 得:2222(24)0k x k x k -++=，216160k ∆=+>， 故21221224,1.k x x kx x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩ …………………………7分 由1NA AF λ= ，2NB BF λ=得，111222(1),(1)x x x x λλ-=-=整理得，121212,11x xx x λλ==--，……………………………………………………9分 1212121212()211()x x x x x x x x λλ+-+==--++ ……………………10分（Ⅲ）设),(),(),,(Q P Q P Q Q P P y y x x S y x Q y x P ++∴则)0,(),0,(Q P x Q x P ''………11分 由01//=+∙+∙OQ OP 得：12-=+Q P Q P y y x x （1） ;1222=+P P y x （2）; 1222=+Q Q y x （3）. …………12分 由（1）+（2）+（3）得：12)()(22=+++Q P Q P y y x x ………………13分所以),(Q P Q P y y x x S ++满足椭圆2C 的方程，命题得证.………………14分。