江苏专用2019高考数学二轮复习专题一三角函数和平面向量第1讲三角函数的化简与求值基础滚动小练
江苏高考二轮复习数学(理)知识考点三角函数与平面向量专题
三角函数的图象与性质[题型分析·高考展望] 三角函数的图象与性质是高考中对三角函数部分考查的重点和热点，主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别，三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换.考查题型既有填空题，也有解答题，难度一般为低中档，在二轮复习中应强化该部分的训练，争取对该类试题会做且不失分.常考题型精析题型一 三角函数的图象例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ改编)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为________________. ①⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z ； ②⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z ； ③⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z ； ④⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . (2)(2014·湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24).①求实验室这一天上午8时的温度； ②求实验室这一天的最大温差.点评 (1)画三角函数图象用“五点法”，由图象求函数解析式逆用“五点法”是比较好的方法.(2)对三角函数图象主要确定下列信息：①周期；②最值；③对称轴；④与坐标轴交点；⑤单调性；⑥与标准曲线的对应关系.变式训练1 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝______，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________. 题型二 三角函数的简单性质 例2 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值.点评 解决此类问题首先将已知函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k )的形式，再将ωx ＋φ看成θ， 利用sin θ(或cos θ)的单调性、对称性等性质解决相关问题. 变式训练2 (2014·福建)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.题型三 三角函数图象的变换例3 已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.点评 对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x ，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx ＋φ写成ω(x ＋φω)，最后确定平移的单位和方向.伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分.变式训练3 (2014·山东)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n ), 函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2).(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间.高考题型精练1.(2015·四川改编)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是________. ①y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； ②y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； ③y ＝sin 2x ＋cos 2x;④y ＝sin x ＋cos x .2.(2015·盐城模拟)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________.3.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)＝________.4.(2015·南通模拟)已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象向________平移________个单位.5.将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为________.6.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象的解析式为______________.7.若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为________________________________________________________________________. ①奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 ②偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 ③偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 ④奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 8.(2015·湖北)函数f (x )＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________. 9.函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝____________.10.(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f (x )的解析式；(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心.11.(2014·重庆)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值.12.(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性.答案精析第17练 三角函数的图象与性质 常考题型典例剖析 例1 (1)④解析 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . (2)解 ①f (8)＝10－3cos(π12×8)－sin(π12×8)＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×(－12)－32＝10.故实验室上午8时的温度为10℃. ②因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin(π12t ＋π3)，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin(π12t ＋π3)≤1.当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1；当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1.于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. 变式训练1 (1)2 π3(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 例2 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 变式训练2 解 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 例3 解 (1)因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2＝53sin x ＋5cos x ＋5 ＝10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋5， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象.又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45. 由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45.因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0,2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π＋α0,2k π＋π－α0)，使得sin x 0＞45.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0. 变式训练3 解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6).由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6).设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2). 将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .常考题型精练 1.①解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故①正确； y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故②不正确； ③，④均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故③，④不正确. 2.π解析 由题设，有f ⎝⎛⎭⎫π4ω＝±a 2＋b 2， 即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，由此得到a ＝b . 又f ′⎝⎛⎭⎫π8＝0，所以aω⎝⎛⎭⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0， 从而tanωπ8＝1，ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，即ω＝8k ＋2，k ∈Z ，而0<ω<5，所以ω＝2，于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x ) ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 故f (x )的最小正周期是π. 3. 3解析 由图象知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.4.左5π12解析 由题意得ω＝2，所以y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位即可得到函数 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 5.3π8解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝⎛⎭⎫π4＝±4，得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )， 故φ的最小正值为3π8.6.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析 由图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，∴ω＝2，由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2⇒φ＝π6⇒f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则图象向右平移π6个单位后得到的图象的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.7.④解析 因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减. 8.2解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 9.5π6解析 函数y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位得到函数y ＝cos(2x ＋φ)，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3向左平移π2个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，即φ＝5π6. 10.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.11.解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期为T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2， 所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.所以cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158. 12.解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在⎣⎡⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减.。
2019届江苏高考数学二轮提优内部讲义作业专题一第1讲三角函数化简与求值
第1讲 三角函数化简与求值A 组 基础达标1. 已知角α的终边经过点(－1，2)，那么sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________．2. 若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－3cos α＝________．3. 已知tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，那么tan 2θ＝________．4. (2018·兴化一中四模)若sin α＋2cos α＝0，则tan 2α＝__________．5. 已知sin ⎝⎛⎭⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝⎛⎭⎫x －9π14sin π7＝35，x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，那么tan 2x ＝________．6. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．7. 已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，那么角β＝________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在单位圆O 上，设∠xOP ＝α，且α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2.若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1113，则x 0的值为________． 9. (2018·南通基地卷)已知sin θ＋cos θ＝3－12，θ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4. (1) 求θ的值；(2) 设函数f(x)＝sin 2x －sin 2 (x ＋θ)，x ∈R ，求函数f(x)的单调增区间．B 组 能力提升1. 已知sin 10°＋mcos 10°＝2cos 140°，那么m ＝________．2. 已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且12sin θ＋12cos θ＝35，则tan 2θ＝________．3. (2018·苏州大学指导卷)若cos α＝2cos(α＋π4)，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π8＝________．4. 设α∈(0°，90°)，若sin(75°＋2α)＝－35，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝________．5. (2018·南通密卷)已知角α，β满足tan αtan β＝713.若sin(α＋β)＝23，则sin(α－β)＝________．6. (2018·南京考前综合题)已知函数f(x)＝sin x ＋cos x ，f′(x)是f(x)的导函数．(1) 求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋3f 2(x)的最大值和最小正周期；(2) 若f(x)＝2f′(x)，求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的值．7. (2018·南师大考前模拟二)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2.将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B ，记A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． (1) 若x 1＝13，求x 2； (2) 分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，若S 1＝2S 2，求角α的值．(第7题)。
2019年江苏省高考数学二轮复习讲义：专题一 第一讲 小题考法——三角函数、解三角形
2019年4月[江苏卷5年考情分析]第一讲 小题考法——三角函数、解三角形[题组练透]1．计算：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.详细分析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎫1＋ 3 sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．详细分析：∵tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.答案：－3π43．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝________. 详细分析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，所以cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α，又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－750，故12＋sin αcos α＝925. 答案：925[方法技巧]1．解决三角函数求值或求角问题的关键与思路解决三角函数的求值或求角问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧 (1)2α＝(α＋β)＋(α－β)； (2)α＝(α＋β)－β； (3)β＝α＋β2－α－β2；(4)α＝α＋β2＋α－β2；(5)α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 3．三角函数化简的原则及结果[题组练透]1．(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．详细分析：由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z .∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π6.答案：－π62．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ＝________.详细分析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象解+析式为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，由题意知，g (0)＝0，所以φ－π3＝k π，即φ＝k π＋π3，又因为0<φ<π，所以φ＝π3.答案：π33．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 详细分析：由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2， k ∈Z ，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0， 得k ＝0， 所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54. 答案：⎣⎡⎦⎤12，544．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，π6≤x ≤5π12，则函数f (x )的值域为________． 详细分析：依题意，有f (x )＝232sin x －12cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝sin x cos x －32(cos 2x －sin 2x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，因为π6≤x ≤5π12，所以0≤2x －π3≤π2，从而0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，所以函数f (x )的值域为[0,1]． 答案：[0,1][方法技巧]1．对于f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象平移后图象关于y 轴或原点对称的两种处理方法 (1)若平移后所得函数解+析式为y ＝A sin(ωx ＋φ＋θ)，要关于原点对称，则φ＋θ＝k π；要关于y 轴对称，则φ＋θ＝k π＋π2.(2)利用平移后的图象关于y 轴或原点对称得到原函数的对称性，再利用y ＝sin x 的对称性去求解．2．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 3．求解三角函数的值域的三种方法[题组练透]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________．详细分析：法一：因为2b cos A ＝2c －3a ，所以由余弦定理得2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c －3a ，即b 2－a 2＝c 2－3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6.法二：因为2b cos A ＝2c －3a ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＝2sin C －3sin A ＝2sin(A ＋B )－3sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B －3sin A ，故2cos B sin A ＝3sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝32，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 答案：π62．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝______.详细分析：由tan A ＝7tan B 可得sin A cos A ＝7sin Bcos B ，即sin A cos B ＝7sin B cos A ，所以有sin A cos B ＋sin B cos A ＝8sin B cos A ， 即sin (A ＋B )＝sin C ＝8sin B cos A ，由正、余弦定理可得：c ＝8b ×b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝4b 2＋4c 2－4a 2，又a 2－b 2c ＝3，所以c 2＝4c ，即c ＝4. 答案：43．(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．详细分析：如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋12a ×1×sin 60°，∴ac ＝a ＋c .∴1a＋1c＝1. ∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝c a ＋4ac ＋5≥2c a ·4ac＋5＝9， 当且仅当c a ＝4ac ，即c ＝2a 时取等号．故4a ＋c 的最小值为9. 答案：94．(2018·常熟高三期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．详细分析：因为b ＝a cos C ＋c sin A ，所以由正弦定理得sin B ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝sin A ，即tanA ＝1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4，在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝b 2＋c 24－2b ·c 2cos π4，即22bc ＝4b 2＋c 2－8≥4bc －8，所以bc ≤42－2＝4＋22，当且仅当2b ＝c 时等号成立，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·22bc ≤2＋1.答案：2＋1[方法技巧]1．利用正弦、余弦定理解决有关三角形问题的方法(1)解三角形问题时，要注意两个统一原则，即将“边”统一为“角”，将“角”统一为“边”．当条件或结论是既含有边又含有角的形式时，就需要将边统一为角或将角统一为边．在应用这两个原则时要注意：①若式子中含有角的余弦、边的二次式，则考虑用余弦定理进行转化；②若式子中含有角的正弦、边的一次式，则考虑用正弦定理进行转化．(2)求解与三角形相关的平面几何中的有关量时，由于图形中的三角形可能不止一个，因此，需要合理分析，确定求解的顺序，一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系求得结果，同时注意平面几何知识的应用．2．与面积、范围有关问题的求解方法(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形面积；二是给出三角形的面积，求其他量．解题时主要应用三角形的面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解．另外，还要注意用面积法处理问题．(2)求与三角形中边角有关的量的取值范围问题时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法等求解，或者通过基本不等式来进行求解．在求解时，要注意题目中的隐含条件，如|b －c |<a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[必备知能·自主补缺] (一)主干知识要牢记1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)常见的两种图象变换：①y ＝sin x ――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． ②y ＝sin x ――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin ωx―――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移||φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． 4．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[]2k π－π，2k π(k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )． 5．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 6．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 7．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.8．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .(二)二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．3．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 4．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . 5．△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝π3.6．△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列，且a ，b ，c 成等比数列． 7．S △ABC ＝abc4R(R 为△ABC 外接圆半径)． [课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.详细分析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：122．(2018·苏北四市期末)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωπx －π6(ω>0)的最小正周期为15，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为________．详细分析：因为f (x )的最小正周期为2πωπ＝15，所以ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫10πx －π6，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫10π3－π6＝sin 19π6＝－sin π6＝－12. 答案：－123．(2018·盐城期中)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的大小为________．详细分析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，且角C 是最大内角，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22×3k ×5k ＝－12，因为0°<C <180°，所以C ＝120°.答案：120°4．(2018·苏州期中调研)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，则cos 2α的值是________． 详细分析：因为tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2，所以tan α－11＋tan α＝2，即tan α＝－3， 故cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－810＝－45.答案：－455．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.详细分析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B， 解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π36．(2018·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.详细分析：将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3，即f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋⎝⎛⎭⎫π3－2φ.因为f (x )为偶函数，所以π3－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝－π12－k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝5π12.答案：5π127．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．详细分析：∵sin B ＝45，cos B ＝9ac ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，又∵2b ＝a ＋c ，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，解得b ＝4.答案：48．(2018·盐城三模)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫－π8的值为________． 详细分析：f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎣⎡⎦⎤(ωx ＋φ)－π6，由题意知，T ＝π2×2＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数f (x )为偶函数得，f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝±2，又因为0<φ<π，所以φ＝2π3，f (x )＝2sin2x ＋π2＝2cos 2x ，故f ⎝⎛⎭⎫－π8＝2cos π4＝ 2. 答案： 29．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.详细分析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 答案：－7910．(2018·无锡期末)设函数f (x )＝sin 2x －3cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为________．详细分析：f (x )＝1－cos 2x 2＋3cos x sin x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12.令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π6≤x ≤π3，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 11．(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC ＝________.详细分析：因为b ＝4，c ＝3，由S △ABC ＝12bc sin A ＝6sin A ＝33，解得sin A ＝32，因为△ABC 是锐角三角形，所以cos A ＝1－sin 2A ＝12或求出锐角A ＝π3，再求cos A ＝12，在△ABC中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋9－2×4×3×12＝13，所以a ＝13，即BC＝13.答案：1312．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 详细分析：由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.答案：－25513．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________． 详细分析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－4514．(2018·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 详细分析：∵sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cos α，∴tan α＝32－33.又tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12 ＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4B 组——力争难度小题1.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．详细分析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝⎛⎭⎫T 4，3，B ⎝⎛⎭⎫3T4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T 216－3＝0，解得T ＝4.答案：42．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12，则tan A ＝________. 详细分析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π32sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－tan ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－A －π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12， 所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：13．已知α为锐角，cos(α＋π4)＝55.则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 详细分析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝255，因为sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2 cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2sin π6＝43＋310. 答案：43＋3104.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________. 详细分析：由图象可得A ＝1，T 2＝2π2ω＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫π3，0代入函数f (x )可得0＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ，所以2π3＋φ＝k π，所以φ＝k π－2π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.因为⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π3，0的中点坐标为⎝⎛⎭⎫π12，0，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π12×2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. 答案：325．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积S 的最大值为________．详细分析：由S ＝12ab sin C ，得S 2＝14a 2b 2(1－cos 2C )＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2， ∵a 2＋b 2＋2c 2＝8， ∴a 2＋b 2＝8－2c 2，∴S 2＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2 ＝14a 2b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3c 22ab 2 ＝14a 2b 2－(8－3c 2)216≤(a 2＋b 2)216－(8－3c 2)216＝－5c 416＋c 2，当且仅当a 2＝b 2时等号成立，由二次函数的性质可知，当c 2＝85时，S 2取得最大值，最大值为45，故S 的最大值为255.答案：2556.(2018·南通基地卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin π4x ＋φ(|φ|<π)的图象如图所示，点M 、N 分别是函数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．详细分析：将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋3π4，所以φ＝34π，M (－1，3)，|OM |＝2，N (3，－3)，ON ＝23，|MN |＝27，由余弦定理可得，cos θ＝4＋12－282×2×23＝－32，θ＝5π6，tan(φ－θ)＝tan⎝⎛⎭⎫3π4－5π6＝tan3π4－tan5π61＋tan3π4·tan5π6＝－2＋ 3.答案：－2＋ 3。
高考二轮数学复习：三角函数与平面向量
2019年高考二轮数学复习: 三角函数与平面向量2019年高考二轮数学考点突破复习: 三角函数与平面向量1.三角函数作为一种重要的基本初等函数, 是中学数学的重要内容, 也是高考命题的热点之一.近几年对三角函数的要求基本未作调整, 主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等.高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查, 一是设置一道或两道客观题, 考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容;二是设置一道解答题, 考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用, 一般出现在前两个解答题的位置.无论是客观题还是解答题, 从难度来说均属于中低档题目, 所占分值在20分左右, 约占总分值的13.3%.2.平面向量是连接代数与几何的桥梁, 是高考的重要内容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题, 对平面向量知识进行全面的考查, 其分值约为10分, 约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题, 一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.1.2019年高考试题预测(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势, 以下仍是今后高考的主要内容:①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容, 通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式, 再研究其图象与性质, 所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要, 比如升幂(降幂)公式、asin x+bcos x的常考内容.③通过实际背景考查同学们的数学建模能力和数学应用意识.。
江苏省2019高考数学二轮复习专题一三角1.4大题考法—三角函数课件
(2)若5cos(θ－φ)＝3 5cos φ，0＜φ＜π2，求φ的值．
解：由(1)知tan θ＝2，又因为θ∈0，π2，
所以sin
θ＝2 5 5，cos
θ＝
5 5.
由5cos(θ－φ)＝3 5cos φ，
得5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝3 5cos φ，
即 5cos φ＋2 5sin φ＝3 5cos φ，从而tan φ＝1.
1－352＝45.
因为点 A 的横坐标为153，由三角函数定义可得 cos α＝153，
因为 α 为锐角，所以 sin α＝
1－1532＝1123.
所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝153×35－1123×45＝
－3635，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1123×35＋153×45＝5665.
第四讲
大题考法
——三角函数
题型(一)
结合三角函数定义 进行化简求值
主要考查以三角函数定义为背景 的三角函数的化简和求值问题.
[典例感悟]
[例1] 如图，在平面直角坐标系xOy中，以 x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交 于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交
于点B，AB＝2
5
5 .
[演练冲关]
1．已知向量a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，且a，b共 线，其中θ∈0，π2. (1)求tanθ＋π4的值； 解：由a ∥b ，得sin θ＝2cos θ.
因为θ∈0，π2，所以cos θ≠0，所以tan θ＝2. 所以tanθ＋π4＝t1a－n tθa＋n θ1＝－3.
因为0＜φ＜π2，所以φ＝π4.
江苏专用2019高考数学二轮复习专题一三角函数和平面向量第1讲三角函数的化简与求值基础滚动小练
第1讲三角函数的化简与求值1.(2018常州教育学会学业水平检测)若<θ<π,则点P(tanθ,sinθ)位于第象限.2.已知扇形的半径为3cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为cm2.3.(2018江苏镇江期末)点P-落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为.=5,则sin2α-sinαcosα= .4.已知αααα5.已知sinα=cos,0<α<π,则α的取值集合为.6.(2018江苏五校高三学情检测)已知α∈,且cosα=,则sinα的值是.7.(2018江苏南通调研)在平面直角坐标系Oy中,已知角α,β的始边均为轴的正半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan(α-β)的值为.8.已知角α的终边在第四象限,与单位圆的交点A的坐标为,且终边上有一点P到原点的距离为.(1)求y0的值和P点的坐标;(2)求tan(α-3π)cos(π-2α)+cosα的值.9.已知sinα=-,α∈-.(1)求cosα的值;(2)若sin(α+β)=-,β∈,求β的值.答案精解精析1.答案二解析由<θ<π得tanθ<0,sinθ>0,则点P位于第二象限.2.答案9解析该扇形的弧长为6cm,则面积为×6×3=9(cm2).3.答案解析点P-落在角θ的终边上,则tanθ=-,点P在第四象限,且θ∈[0,2π),则θ=.4.答案解析 由题意可得 α α=5,tan α=2,则sin 2α-sin αcos α=α α α α α=α α α=.5.答案解析 sin α=cos =sin -=sin =sin ,0<α<π,则α的取值集合为. 6.答案解析 α∈⇒α- ∈ ,且cos α =, 则sin α=, 则sin α=sin α=× +× =. 7.答案解析 由三角函数的定义可得tan α=2,tan β=,则tan(α-β)=α βα β==.8.解析 (1)由题意可得+=1,y 0<0,则y 0=-,则sin α=-=,y P =-2,cos α==,P =1,则P(1,-2).(2)原式=-tan αcos2α+sin2α= α α α α α=αα=-2.9.解析 (1)因为sin α=- ,α∈ -,所以cos α= α==.从而cosα =coscos α-sinsin α=× -× - =. (2)因为α∈ -,β∈,所以α+β∈ -.因为sin(α+β)=-,所以cos(α+β)=α β =-=. 从而sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=-× -× -=.因为β∈ ,所以β=.。
江苏省2019高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质学案
第1讲 三角函数的图象与性质［考情考向分析] 1。
以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性。
2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1 (1)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,若它的终边经过点P (2，1)，则tan 错误!＝________。
答案 －7解析 由角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,若它的终边经过点P （2，1），可得x ＝2,y ＝1,tan α＝错误!＝错误!，∴tan 2α＝错误!＝错误!＝错误!， ∴tan 错误!＝错误!＝错误!＝－7。
（2）已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1））处的切线的倾斜角为α，则cos 2错误!－2cos 2α－3sin(2π－α）·cos(π＋α)的值为________． 答案 错误!解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2错误!－2cos 2α－3sin 错误!cos 错误! ＝(－sin α）2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α ＝错误!＝错误! ＝错误!＝错误!.思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题（如钟表、摩天轮、水车等）,常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2）应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系进行化简的过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 （1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P 错误!，则sin(π＋α）＝________。
答案 －12解析 由诱导公式可得，sin 错误!＝sin 错误!＝－sin 错误!＝－错误!， cos 错误!＝cos 错误!＝cos 错误!＝错误!，即P 错误!，由三角函数的定义可得， sin α＝错误!＝错误!，则sin 错误!＝－sin α＝－错误!.(2)已知sin （3π＋α)＝2sin 错误!，则错误!＝________. 答案 －错误!解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin 错误!，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α, 则错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!。
江苏省2019高考数学二轮复习 专题一 三角 1.2 小题考法—平面向量讲义(含解析)
第二讲小题考法—平面向量考点（一)平面向量的概念及线性运算主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用1．设D,E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝错误!AB，BE＝错误!BC，若错误!＝λ1错误!＋λ2错误!（λ1，λ2为实数）,则λ1＋λ2的值为________．解析：如图，错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!错误!＝错误!(错误!－错误!）＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.又错误!＝λ1错误!＋λ2错误!,且错误!与错误!不共线．所以λ1＝错误!－错误!，λ2＝错误!，所以λ1＋λ2＝错误!。
答案：错误!2。
如图,在△ABC中，BO为边AC上的中线,错误!＝2错误!，设错误!∥错误!，若错误!＝错误!错误!＋λ错误! (λ∈R)，则λ的值为 ________.解析：由题意，得错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!＋（λ－1)错误!，因为错误!∥错误!，所以λ－1＝错误!，λ＝错误!。
答案：错误!3．(2018·南京考前模拟）在直角梯形ABCD中,AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2CD，M为CD的中点，N为线段BC上一点(不包括端点），若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：以A为坐标原点，AB为x轴建立直角坐标系如图所示，设B（2,0),C(1，t），M错误!，N（x0，y0），因为N在线段BC上，所以y0＝t1－2（x0－2），即y0＝t（2－x0）,因为错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以错误!即t＝λt＋μy0＝λt＋μt（2－x0）,因为t≠0，所以1＝λ＋μ（2－x0）＝λ＋2μ－μx0＝λ＋2μ－错误!，所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数，所以4错误!＝（3λ＋4μ）错误!＝3＋12＋错误!＋错误!≥15＋2错误!＝27，所以错误!＋错误!≥错误!当且仅当错误!＝错误!，即λ＝错误!，μ＝错误!时取等号．所以错误!＋错误!的最小值为错误!。
江苏专用2019高考数学二轮复习专题一三角函数和平面向量第1讲三角函数的化简与求值基础滚动小练
第1讲三角函数的化简与求值1.(2018常州教育学会学业水平检测)若<θ<π,则点P(tanθ,sinθ)位于第象限.2.已知扇形的半径为3cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为cm2.3.(2018江苏镇江期末)点P-落在角θ的终边上,且θ∈[0 π),则θ的值为.=5,则sin2α-sinαcosα= .4.已知-5.已知sinα=cos,0<α<π,则α的取值集合为.6.(2018江苏五校高三学情检测)已知α∈,且cos-=,则sinα的值是.7.(2018江苏南通调研)在平面直角坐标系Oy中,已知角α,β的始边均为轴的正半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan(α-β)的值为.,且终边上有一点P到原点的距离为8.已知角α的终边在第四象限,与单位圆的交点A的坐标为.(1)求y0的值和P点的坐标;(2)求tan(α-3π)cos(π-2α)+cos的值.9.已知sinα=-,α∈- 0.(1)求cos的值;(2)若sin(α+β)=-,β∈0 ,求β的值.答案精解精析1.答案二解析由<θ<π得tanθ<0,sinθ>0,则点P位于第二象限.2.答案9解析该扇形的弧长为6cm,则面积为× × =9(cm2).3.答案解析 点P - 落在角θ的终边上,则tan θ=- ,点P 在第四象限,且θ∈[0 π),则θ=.4.答案解析由题意可得-=5,tan α=2,则sin 2α-sin αcos α= - = -=. 5.答案 0 9解析 sin α=cos=sin - =sin 0=sin 9 0,0<α<π,则α的取值集合为 0 90 . 6.答案解析 α∈ ⇒α-∈ 0,且cos -=, 则sin -=, 则sin α=sin -=× +× = 0. 7.答案 9解析 由三角函数的定义可得tan α=2,tan β=,则tan(α-β)= - = -=9. 8.解析 (1)由题意可得+ 0 =1,y 0<0,则y 0=-,则sin α=-=,y P =-2,cos α==,P =1,则P(1,-2).(2)原式=-tan αcos2α+sin2α= - ==-2. 9.解析 (1)因为sin α=-,α∈ - 0 ,所以cos α= - = - 9=.从而cos=coscos α-sinsin α=× -× -=. (2)因为α∈ -0 ,β∈ 0,所以α+β∈ -.因为sin(α+β)=-,所以cos(α+β)= - (= - -=. 从而sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=-× -× -=.因为β∈ 0,所以β=.。
江苏专用2019高考数学二轮复习专题一三角函数和平面向量第1讲三角函数的化简与求值基础滚动小练
第1讲三角函数的化简与求值1.(2018常州教育学会学业水平检测)若<θ<π,则点P(tanθ,sinθ)位于第象限.2.已知扇形的半径为3cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为cm2.3.(2018江苏镇江期末)点P,-落在角θ的终边上,且θ∈[0, π),则θ的值为.=5,则sin2-sin cos =.4.已知-5.已知sin =cos,0< <π,则的取值集合为.6.(2018江苏五校高三学情检测)已知 ∈,,且cos-=,则sin 的值是.7.(2018江苏南通调研)在平面直角坐标系Oy中,已知角 ,β的始边均为轴的正半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan( -β)的值为.,且终边上有一点P到原点的距离为8.已知角的终边在第四象限,与单位圆的交点A的坐标为.(1)求y0的值和P点的坐标;(2)求tan( - π)cos(π- )+cos的值.9.已知sin =-, ∈-,0.(1)求cos的值;(2)若sin( +β)=-,β∈0,,求β的值.答案精解精析1.答案二解析由<θ<π得tanθ<0,sinθ>0,则点P位于第二象限.2.答案9解析该扇形的弧长为6cm,则面积为× × =9(cm2).3.答案解析 点P,-落在角θ的终边上,则tanθ=-,点P 在第四象限,且θ∈[0, π),则θ=.4.答案解析 由题意可得-= ,tan = ,则sin 2-sin cos = - = -=. 5.答案0,9解析 sin =cos =sin - =sin 0=sin 9 0,0< <π,则 的取值集合为 0,90 . 6.答案解析 ∈ ,⇒ -∈ 0,,且cos -=, 则sin - =, 则sin =sin -=× +× =.7.答案 9解析 由三角函数的定义可得tan = ,tanβ=,则tan( -β)= - β β= -=9.8.解析 (1)由题意可得+ 0 =1,y 0<0,则y 0=-,则sin =-=P,y P =- ,cos ==,P =1,则P(1,-2).(2)原式=-tan cos +sin = - ==-2. 9.解析 (1)因为sin =-, ∈ -,0 ,所以cos = - = - 9=. 从而cos=coscos -sinsin =× -× -=. (2)因为 ∈ -,0 ,β∈ 0,,所以 +β∈ -,.因为sin( +β)=-,所以cos( +β)= - (β)= - -=.从而sinβ=sin[( +β)- ]=sin( +β)cos -cos( +β)sin =-× -× -=.因为β∈ 0,,所以β=.。
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第1讲三角函数的化简与求值1.(2018常州教育学会学业水平检测)若<θ<π,则点P(tanθ,sinθ)位于第象限.2.已知扇形的半径为3cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为cm2.3.(2018江苏镇江期末)点P,-落在角θ的终边上,且θ∈[0, π),则θ的值为.=5,则sin2-sin cos =.4.已知-5.已知sin =cos,0< <π,则的取值集合为.6.(2018江苏五校高三学情检测)已知 ∈,,且cos-=,则sin 的值是.7.(2018江苏南通调研)在平面直角坐标系Oy中,已知角 ,β的始边均为轴的正半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan( -β)的值为.8.已知角的终边在第四象限,与单位圆的交点A的坐标为,且终边上有一点P到原点的距离为.(1)求y0的值和P点的坐标;(2)求tan( - π)cos(π- )+cos的值.9.已知sin =-, ∈-,0.(1)求cos的值;(2)若sin( +β)=-,β∈0,,求β的值.答案精解精析1.答案二解析由<θ<π得tanθ<0,sinθ>0,则点P位于第二象限.2.答案9解析该扇形的弧长为6cm,则面积为× × =9(cm2).3.答案解析 点P ,- 落在角θ的终边上,则tanθ=- ,点P 在第四象限,且θ∈[0, π),则θ=.4.答案解析 由题意可得 -= ,tan = ,则sin 2-sin cos = -= -=.5.答案 0,9解析 sin =cos =sin - =sin 0=sin 9 0,0< <π,则 的取值集合为 0,90 . 6.答案解析 ∈ , ⇒ -∈ 0,,且cos -=, 则sin -=, 则sin =sin -=× +× =.7.答案9解析 由三角函数的定义可得tan = ,tanβ=,则tan( -β)= - ββ= -=9.8.解析 (1)由题意可得+ 0=1,y 0<0,则y 0=-,则sin =-=P,y P=- ,cos ==,P =1,则P(1,-2). (2)原式=-tan cos +sin = - ==-2. 9.解析 (1)因为sin =-, ∈ -,0 ,所以cos = - = - 9=. 从而cos=cos cos -sinsin =× -× -=. (2)因为 ∈ - ,0 ,β∈ 0, ,所以 +β∈ - ,. 因为sin( +β)=-,所以cos( +β)= - (β)= - -=. 从而sinβ=sin[( +β)- ]=sin( +β)cos -cos( +β)sin =-× -× -= .因为β∈ 0, ,所以β=.。
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第1讲三角函数的化简与求值1.(2018常州教育学会学业水平检测)若<θ<π,则点P(tanθ,sinθ)位于第象限.2.已知扇形的半径为3cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为cm2.3.(2018江苏镇江期末)点P,-落在角θ的终边上,且θ∈[0, π),则θ的值为.=5,则sin2-sin cos =.4.已知-5.已知sin =cos,0< <π,则的取值集合为.6.(2018江苏五校高三学情检测)已知 ∈,,且cos-=,则sin 的值是.7.(2018江苏南通调研)在平面直角坐标系Oy中,已知角 ,β的始边均为轴的正半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan( -β)的值为.,且终边上有一点P到原点的距离为8.已知角的终边在第四象限,与单位圆的交点A的坐标为.(1)求y0的值和P点的坐标;(2)求tan( - π)cos(π- )+cos的值.9.已知sin =-, ∈-,0.(1)求cos的值;(2)若sin( +β)=-,β∈0,,求β的值.答案精解精析1.答案二解析由<θ<π得tanθ<0,sinθ>0,则点P位于第二象限.2.答案9解析该扇形的弧长为6cm,则面积为× × =9(cm2).3.答案解析 点P ,- 落在角θ的终边上,则tanθ=- ,点P 在第四象限,且θ∈[0, π),则θ=.4.答案解析 由题意可得-= ,tan = ,则sin 2-sin cos = -= -=.5.答案0,9解析 sin =cos =sin - =sin 0=sin 9 0,0< <π,则 的取值集合为 0,90 . 6.答案解析 ∈ ,⇒ -∈ 0,,且cos -=, 则sin - =, 则sin =sin -=× +× =.7.答案 9解析 由三角函数的定义可得tan = ,tanβ=,则tan( -β)= - β β= -=9.8.解析 (1)由题意可得+ 0 =1,y 0<0,则y 0=-,则sin =-=P,y P =- ,cos ==,P =1,则P(1,-2).(2)原式=-tan cos +sin = - ==-2. 9.解析 (1)因为sin =-, ∈ -,0 ,所以cos = - = - 9=.从而cos=coscos -sinsin =× -× -=. (2)因为 ∈ - ,0 ,β∈ 0, ,所以 +β∈ - ,.因为sin( +β)=-,所以cos( +β)= - (β)= - -=. 从而sinβ=sin[( +β)- ]=sin( +β)cos -cos( +β)sin =-× -× -=.因为β∈ 0,,所以β=.。
2019高考数学(江苏专用)二轮复习专题一三角函数和平面向量第1讲三角函数的化简与求值冲刺提分作业
第1讲三角函数的化简与求值1.若sin=-,则sin2x的值为.2.已知tan-=-,则tan-的值为.3.(2018江苏苏州期中)已知tan-=2,则cos2α的值是.4.(2018江苏高三检测)已知f(x)=cos-,若f(α)=,则sinα= .5.已知0<y<x<π,且tanxtany=2,sinxsiny=,则x-y= .6.(2018江苏南通海安高级中学阶段检测)设0<β<α<,且cosα=,cos(α-β)=,则tanβ的值为.7.(2018江苏南通冲刺小练)在平面直角坐标系xOy中,已知A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)是直线y=x+ 上的两点,则tan(α+β)的值为.8.已知<α<,<β<,且sin2αsin2β=sin(α+β)cosα·cosβ,则tan(α+β)的最大值为.9.已知sin-=,且α为第四象限角,求下列各式的值.(1)tan-;.(2) s scos10.(2018江苏南京模拟)在平面直角坐标系xOy中,锐角α,β的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴,终边与单位圆O的交点分别为P,Q.已知点P的横坐标为,点Q的纵坐标为.(1)求cos2α的值;(2)求2α-β的值.答案精解精析1.答案解析 ∵s=-,∴cos =1-2sin 2=1- × =- ,即cos =-.∴-sin2x=-.∴s x=.2.答案 -解析 tan -= -=-,则tanx=,则tan2x= - x =,∴ -= -=-. 3.答案 -解析 tan - = -=2,则tan α=-3, 则cos2α=cos -s cos s = -=-. 4.答案 -解析 由f(α)=得cos - = .令 - =t,则cost= ,α=2t+,则sin α=sin=cos2t=2cos 2t- = × -1=-. 5.答案解析 由tanxtany=2,sinxsiny=得cosxcosy=,则cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny= + =,又0<y<x<π,则0<x-y<π,故x-y=. 6.答案解析 由0<β<α<,得0<α-β<,又cos α=,cos(α-β)=,所以sin α= -cos = ,sin(α-β)= -cos - = ,则tan α=s cos=4 ,tan(α-β)=s - cos -=,所以tan β=tan[α-(α-β)]= - --=-= .7.答案 -解析 由题意可得sin α= cos α+ ,sin β= cos β+ ,与sin 2α+cos 2α=1和sin 2β+cos 2β=1联立解得sin α=,cos α=-,sin β=-,cos β=- -,则tan α=s cos =-2- ,tan β=scos=2- ,所以tan(α+β)=-=- .8.答案 -4解析 因为 <α< , <β<,所以cos α,cos β,sin α,sin β均不为0. 由sin 2αsin 2β=sin(α+β)cos αcos β,得sin αsin βtan αtan β=sin αcos β+cos α·s β, 于是tan αtan β= +,即tan αtan β=, 也就是tan α+tan β=tan 2αtan 2β,其中tan α,tan β均大于1. 因为tan 2αtan 2β=tan α+tan β ≥ ,所以tan αtan β≥3.令t=1-tan αtan β∈ -∞, -3), 则tan(α+β)=-=-=t+- ≤-4,当且仅当t=-1时取等号.9.解析 ∵s- =cos α=,α为第四象限角,∴s α=- -cos =-,∴ α=s cos =-. ∴ - = -=---=7.(2) s s cos=s s c os cos -s =scos -s=- =-- -=-.10.解析 (1)因为点P 的横坐标为,P 在单位圆上,α为锐角,所以cos α=,所以cos2α=2cos 2α-1=.(2)因为点Q 的纵坐标为 ,所以sin β=. 又因为β为锐角,所以cos β=.因为cosα=,且α为锐角,所以sinα=,因此sin2α=2sinαcosα=,所以sin(2α-β)=×-×=.因为α为锐角,cos2α>0,所以0<2α<,又β为锐角,所以-<2α-β<,所以2α-β=.1.答案解析∵s =-,∴cos=1-2sin2=1- ×=-,即cos=-.∴-sin2x=-.∴s x=.2.答案-=,解析tan-=-=-,则tanx=,则tan2x=-x∴ -=-=-.3.答案-解析tan-=-=2,则tanα=-3,=-=-.则cos2α=cos-scos s4.答案-解析由f(α)=得cos-=.令-=t,则cost=,α=2t+,则sinα=sin=cos2t=2cos2t- = ×-1=-.5.答案解析由tanxtany=2,sinxsiny=得cosxcosy=,则cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny=+=,又0<y<x<π,则0<x-y<π,故x-y=.6.答案解析 由0<β<α<,得0<α-β<,又cos α=,cos(α-β)=,所以sin α= -cos =,sin(α-β)= -cos - =,则tan α=s cos=4 ,tan(α-β)=s - cos -=,所以tan β=tan[α-(α-β)]= - --=-= .7.答案 -解析 由题意可得sin α= cos α+ ,sin β= cos β+ ,与sin 2α+cos 2α=1和sin 2β+cos 2β=1联立解得sin α=,cos α=-,sin β=-,cos β=- -,则tan α=s cos =-2- ,tan β=scos=2- ,所以tan(α+β)=-=- .8.答案 -4解析 因为<α<,<β<,所以cos α,cos β,sin α,sin β均不为0.由sin 2αsin 2β=sin(α+β)cos αcos β,得sin αsin βtan αtan β=sin αcos β+cos α·s β, 于是tan αtan β=+,即tan αtan β=,也就是tan α+tan β=tan 2αtan 2β,其中tan α,tan β均大于1. 因为tan 2αtan 2β=tan α+tan β ≥ ,所以tan αtan β≥3.令t=1-tan αtan β∈ -∞, -3), 则tan(α+β)=-=-=t+- ≤-4,当且仅当t=-1时取等号.9.解析 ∵s- =cos α=,α为第四象限角,∴s α=- -cos =-,∴ α=s cos =-. ∴ - = -=---=7.(2) s s cos=s s c os cos -s =scos -s=-=-- -=-.10.解析(1)因为点P的横坐标为,P在单位圆上,α为锐角,所以cosα=, 所以cos2α=2cos2α-1=.(2)因为点Q的纵坐标为,所以sinβ=.又因为β为锐角,所以cosβ=.因为cosα=,且α为锐角,所以sinα=,因此sin2α=2sinαcosα=,所以sin(2α-β)=×-×=.因为α为锐角,cos2α>0,所以0<2α<,又β为锐角,所以-<2α-β<,所以2α-β=.。
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第1讲三角函数的化简与求值
1.(2018常州教育学会学业水平检测)若<θ<π,则点P(tanθ,sinθ)位于第象限.
2.已知扇形的半径为3cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为cm2.
3.(2018江苏镇江期末)点P-落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为.
=5,则sin2α-sinαcosα= .
4.已知αα
αα
5.已知sinα=cos,0<α<π,则α的取值集合为.
6.(2018江苏五校高三学情检测)已知α∈,且cosα=,则sinα的值是.
7.(2018江苏南通调研)在平面直角坐标系Oy中,已知角α,β的始边均为轴的正半轴,终边分别经过点
A(1,2),B(5,1),则tan(α-β)的值为.
8.已知角α的终边在第四象限,与单位圆的交点A的坐标为,且终边上有一点P到原点的距离为.
(1)求y0的值和P点的坐标;
(2)求tan(α-3π)cos(π-2α)+cosα的值.
9.已知sinα=-,α∈-.
(1)求cosα的值;
(2)若sin(α+β)=-,β∈,求β的值.
答案精解精析
1.答案二
解析由<θ<π得tanθ<0,sinθ>0,则点P位于第二象限.
2.答案9
解析该扇形的弧长为6cm,则面积为×6×3=9(cm2).
3.答案
解析点P-落在角θ的终边上,则tanθ=-,点P在第四象限,且θ∈[0,2π),则θ=.
4.答案
解析 由题意可得 α α
=5,tan α=2,则sin 2
α-sin αcos α=
α α α α α
=
α α α
=
.
5.答案
解析 sin α=cos =sin -
=sin =sin ,0<α<π,则α的取值集合为
. 6.答案
解析 α∈
⇒α- ∈ ,且cos α =
, 则sin α
=
, 则sin α=sin α
=
× +
× =
. 7.答案
解析 由三角函数的定义可得tan α=2,tan β=
,则tan(α-β)=
α β
α β
=
=
.
8.解析 (1)由题意可得
+
=1,y 0<0,则y 0=-
,则sin α=-
=
,y P =-2,cos α=
=,P =1,则P(1,-2).
(2)原式=-tan αcos2α+sin2α= α α α α α
=
α
α
=-2.
9.解析 (1)因为sin α=- ,α∈ -
,所以cos α= α=
=
.
从而cos
α =cos
cos α-sin
sin α=
× -
× - =
. (2)因为α∈ -
,β∈
,所以α+β∈ -
.
因为sin(α+β)=- ,所以cos(α+β)=
α β =
-
= .
从而sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=-
× - × - =
.因为β∈ ,所以β=
.。