福建省建瓯市2017-2018学年高二数学上学期期中试题
2017-2018学年浙江省温州市高二上学期期中数学试题(解析版)17
高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（）A．一个棱锥B．一个圆锥C．两个圆锥的组合体 D．无法确定2．（5分）直线的倾斜角是（）A．120°B．150°C．30°D．60°3．（5分）已知平面α∩平面β=c，直线a⊂α，a∥c，直线b⊂β，且b与c相交，则a和b的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．上述三种都有可能4．（5分）下列结论中错误的是（）A．若a⊥α，b⊂α，且a⊥b B．若a∥b，a⊥α，且b⊥αC．若a∥α，b⊂α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α5．（5分）若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），则直线l的斜率为（）A．B．﹣ C．﹣ D．6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n7．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是（）A．0 B．2 C．4 D．8．（5分）m，n是两条不垂直的异面直线，平面α，β分别过m，n则下列各关系不可能出现的是（）A．m∥β B．α∥βC．m⊥βD．α⊥β9．（5分）点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（）A．[0，5]B．[0，10] C．[5，10] D．[5，15]10．（5分）如图，在长方体ABCD一A′B′C′D′中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC=4，CD=3，CC′=2，直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，则△PQC′的面积的最小值是（）A．B．8 C．D．10二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为，则该圆台的母线长为．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是，表面积是．13．（5分）已知两直线l1：mx+y=5﹣m，l2：2x+my=8，若l1∥l2，则m=；若l1⊥l2，则m=．14．（5分）点P（1，0）关于直线l1：x+y=0对称的点的坐标为；直线l1：y=2x+3关于直线l：x﹣y=0对称的直线l2的方程为．15．（5分）半径为的球内接正方体的表面积为；体积为．16．（5分）已知直线x﹣2y+1+λ（1﹣x）=0与两坐标轴围城一个三角形，该三角形的面积记为S（λ），当λ∈（1，+∞）时，S（λ）的最小值是．17．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AP=BQ=x（0＜x＜1），截面PQEF∥A'D，截面PQGH∥AD'，则截面PQEF和截面PQGH面积之和．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（15分）△ABC的三个顶点分别为A（2，0），B（4，4），C（0，3），求：（1）AC边所在直线的方程；（2）AC边的垂直平分线DE所在直线的方程．19．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E，F分别是AB，BC的中点，（Ⅰ）求A1E与B1F所成的角；（Ⅱ）求A1E与面BCC1B1所成的角．20．（15分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（Ⅰ）求证：A1C1⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．21．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PA=PB，点M在线段PC上（不含端点），且BM⊥平面PAC．（Ⅰ）求证：AD⊥面PAB；（Ⅱ）求证：AP⊥平面BCP．22．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（）A．一个棱锥B．一个圆锥C．两个圆锥的组合体D．无法确定【分析】一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是以斜边上的高为半径的两个圆锥的组合体．【解答】解：一个直角三角形绕其最长边旋转一周，最长边是斜边，∴一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是以斜边上的高为半径的两个圆锥的组合体．故选：C．【点评】本题考查空间几何体的形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意旋转体的性质的合理运用．2．（5分）直线的倾斜角是（）A．120°B．150°C．30°D．60°【分析】根据直线和斜率和倾斜角的关系即可求出．【解答】解：直线的倾斜角为θ，则tanθ=，∴θ=60°，故选：D．【点评】本题考查了直线和斜率和倾斜角的关系，属于基础题3．（5分）已知平面α∩平面β=c，直线a⊂α，a∥c，直线b⊂β，且b与c相交，则a和b的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．上述三种都有可能【分析】由条件可排除两直线平行和相交的情况，故只能是异面．【解答】解：如图，若a∥b，结合a∥c可得b∥c，这与b与c相交矛盾；若a∩b=P，则a与β有公共点P，与a∥α矛盾；又因为空间中两直线的位置共平行、相交、异面三种，故a与b的位置关系只能是异面，故选：C【点评】本题考查空间中两直线的位置关系，涉及反证法的思路，属中档题．4．（5分）下列结论中错误的是（）A．若a⊥α，b⊂α，且a⊥b B．若a∥b，a⊥α，且b⊥αC．若a∥α，b⊂α，则a∥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α【分析】结合空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：对于A，若a⊥α，b⊂α，根据线面垂直的性质可得a⊥b，故正确；对于B，若a∥b，a⊥α，根据线线平行、线面垂直的性质可得b⊥α，故正确；对于C，若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，故错；对于D，若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，正确．故选：C．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，空间线面关系判断，难度中档．5．（5分）若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），则直线l的斜率为（）A．B．﹣ C．﹣ D．【分析】利用中点坐标公式可得P，Q，再利用斜率的计算公式即可得出，【解答】解：设P（x，1），Q（7，y）．∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），∴，解得x=﹣5，y=﹣3．∴P（﹣5，1），∴直线l的斜率==﹣．故选：B．【点评】本题考查了中点坐标公式、斜率的计算公式，属于基础题．6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，正确的命题是（）A．m∥β，m⊂α，α∩β=n⇒m∥n B．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：对于A，若m∥β，m⊂α，α∩β=n，根据线面平行的判定⇒m∥n，故正确；对于B，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，因为n不一定在平面α内，不能得到n⊥β，故错；对于C，若α⊥β，m⊥α，n∥β，m、n不一定垂直，故错；对于D，若m∥α，n⊂α，m、n位置关系时可能平行、可能异面，故错；故选：A【点评】本题考查空间线面位置关系，涉及反例法和平面与平面垂直的判定，属中档题．7．（5分）已知直线3x+4y﹣3=0与6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是（）A．0 B．2 C．4 D．【分析】在6x+my+14=0上取点，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：在6x+my+14=0上取点，则它们之间的距离==2．故选：B．【点评】本题考查了点到直线的距离公式、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）m，n是两条不垂直的异面直线，平面α，β分别过m，n则下列各关系不可能出现的是（）A．m∥βB．α∥βC．m⊥βD．α⊥β【分析】结合点线面位置关系的判定定理和性质定理，和必要的空间模型，可得答案【解答】解：若m⊥β，则m垂直于面β内的任意一条直线，则m⊥n，与已知条件矛盾故选C【点评】本题考察直线、平面的位置关系，要求熟练掌握平行和垂直的判定定理与性质定理，有较好的空间想象力9．（5分）点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（）A．[0，5]B．[0，10] C．[5，10] D．[5，15]【分析】先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到原点距离的最值即可．【解答】解析：因x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P（x，y）在所确定的区域内，且原点也在这个区域内．又点P（x，y）在直线4x+3y=0上，，解得A（﹣6，8）．，解得B（3，﹣4）．P到坐标原点的距离的最小值为0，又|AO|=10，|BO|=5，故最大值为10．∴其取值范围是[0，10]．故选B．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．10．（5分）如图，在长方体ABCD一A′B′C′D′中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC=4，CD=3，CC′=2，直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，则△PQC′的面积的最小值是（）A．B．8 C．D．10【分析】以C为原点建立空间直角坐标系，设P（0，a，0），Q（b，0，0），求出平面PQC′的法向量，则cos＜＞=，解出a，b的关系式，得出△PQC的最小值，又C到平面PQC′的距离为，利用等体积法求出△PQC′的面积最小值．【解答】解：以C为原点，以CD，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则C（0，0，0），C′（0，0，2）．设P（0，a，0），Q（b，0，0），于是0＜a ≤4，0＜b≤3．∴=（﹣b，0，2），=（0，﹣a，2），=（0，0，2），设平面PQC′的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1，得=（，，1）．∴=2，||=2，||=，∴cos＜＞==．∴，∴a2+b2=≥2ab，解得ab≥8．∴当ab=8时，S=4，棱锥C′﹣PQC的体积最小，△PQC∵直线CC′与平面PQC′所成的角为30°，∴C到平面PQC′的距离d=2×=．=V C﹣PQC′，∵V C′﹣PQC∴=，∴S=8．△PQC′故选：B．【点评】本题你考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为，则该圆台的母线长为．【分析】作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为cm，能求出该圆台的母线长．【解答】解：如图是圆台的轴截面，圆台的上、下底面半径分别为1cm，2cm，高为cm，则该圆台的母线长为：=cm．故答案为：cm．【点评】本题考查圆台的母线长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是，表面积是+1+．【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC 是边长为2的正三角形，△ABC 是边AC=2，边AC 上的高OB=1，PO=为底面上的高．据此可计算出表面积和体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC ⊥面ABC ，△PAC 是边长为2的正三角形，△ABC 是边AC=2， 边AC 上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的体积V=S △ABC •PO=×2×1×=，几何体的表面积S=S △PAC +S △ABC +2S △PAB =××2+×2×1+2×××=+1+．故答案为：，+1+． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．13．（5分）已知两直线l 1：mx +y=5﹣m ，l 2：2x +my=8，若l 1∥l 2，则m=或；若l 1⊥l 2，则m= 0 ．【分析】利用直线与直线垂直平行的条件直接求解．【解答】解：∵两直线l 1：mx +y=5﹣m ，l 2：2x +my=8，l 1∥l 2，则m 2=2，解得m=±， 当l 1⊥l 2，则2m +m=0， 解得m=0，故答案为：或﹣，0．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直平行等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．（5分）点P（1，0）关于直线l1：x+y=0对称的点的坐标为（0，﹣1）；直线l1：y=2x+3关于直线l：x﹣y=0对称的直线l2的方程为x﹣2y﹣3=0．【分析】设点P（1，0）关于直线l1：x+y=0对称的点为（a，b），由中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得a，b；求得y=x和y=2x+3的交点，再取直线y=2x+3上一点（0，3），设关于直线l：x ﹣y=0对称点为（m，n），由中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得m，n，再由点斜式方程即可得到所求直线方程．【解答】解：设点P（1，0）关于直线l1：x+y=0对称的点为（a，b），可得，解得a=0，b=﹣1，即对称点为（0，﹣1）；直线l1：y=2x+3关于直线l：x﹣y=0对称的直线l2的方由可得交点为（﹣3，﹣3），再取直线y=2x+3上一点（0，3），设关于直线l：x﹣y=0对称点为（m，n），可得，解得m=3，n=0，可得对称点为（3，0），则所求直线的方程为y=（x﹣3），即为x﹣2y﹣3=0．故答案为：（0，﹣1），x﹣2y﹣3=0．【点评】本题考查直线方程的求法和对称点的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）半径为的球内接正方体的表面积为96；体积为64．【分析】设半径为的球内接正方体的棱长为a，则=，解得a=4，由此能求出结果．【解答】解：设半径为的球内接正方体的棱长为a，则=，解得a=4，∴半径为的球内接正方体的表面积为：S=6a2=6×42=96，体积为V=a3=43=64．故答案为：96，64．【点评】本题考查正方体的表面积、体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．16．（5分）已知直线x﹣2y+1+λ（1﹣x）=0与两坐标轴围城一个三角形，该三角形的面积记为S（λ），当λ∈（1，+∞）时，S（λ）的最小值是2．【分析】分别可得与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由直线x﹣2y+1+λ（1﹣x）=0，分别可得与坐标轴的交点（，0），（0，），λ∈（1，+∞），S（λ）=××=[（λ﹣1）++4]≥（4+2）=（4+4）=2，当且仅当λ=3时取等号．故答案为：2【点评】本题考查了直线的交点、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AP=BQ=x（0＜x＜1），截面PQEF∥A'D，截面PQGH∥AD'，则截面PQEF和截面PQGH面积之和．【分析】推导出PF ∥A′D ，PH ∥AD′，A′D=AD′=，A′P=1﹣x ，由此求出，再由截面PQEF 和截面PQGH 面积之和S=S矩形PQEF +S 矩形PQGH ，从而能求出结果．【解答】解：∵在棱长为1的正方体ABCD ﹣A'B'C'D'中， AP=BQ=x （0＜x ＜1），截面PQEF ∥A'D ，截面PQGH ∥AD'，∴PF ∥A′D ，PH ∥AD′， ∴，∵A′D=AD′=，A′P=1﹣x ， ∴，解得，∴截面PQEF 和截面PQGH 面积之和：S=S 矩形PQEF +S 矩形PQGH=（PQ ×PF +PQ ×PH ）=PQ （PF +PH ）=1×（）=．故答案为：． 【点评】本题考查两个矩形的面积之和的求法，考查正方体的结构特征、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（15分）△ABC的三个顶点分别为A（2，0），B（4，4），C（0，3），求：（1）AC边所在直线的方程；（2）AC边的垂直平分线DE所在直线的方程．【分析】（1）求得直线AC的斜率，由点斜式方程即可得到所求直线方程；（2）运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得DE的斜率，求得AC的中点坐标，运用点斜式方程即可得到所求垂直平分线的方程．【解答】解：（1）A（2，0），C（0，3），可得AC的斜率为k AC==﹣，由点斜式易得直线方程为y=﹣（x﹣2），化为3x+2y﹣6=0；（2）AC的斜率为k AC==﹣，可得直线DE的斜率为，线段AC的中点坐标为，故由点斜式可得直线DE的方程为y﹣=（x﹣1），即为4x﹣6y+5=0．【点评】本题考查直线方程的求法，注意运用直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．19．（15分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E，F分别是AB，BC的中点，（Ⅰ）求A1E与B1F所成的角；（Ⅱ）求A1E与面BCC1B1所成的角．【分析】（Ⅰ）取AD的中点H，连接A1H，HE，则B1F∥A1H，从而A1E与B1F 所成的角等于A1E与A1H所成的角，由此能求出A1E与B1F所成的角．（Ⅱ）直线A1E与平面BCC1B1所成的角即为直线A1E与平面ADD1A1所成的角，从而∠EA1A即为A1E与面BCC1B1所成的角，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）取AD的中点H，连接A1H，HE，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E，F分别是AB，BC的中点，∴B1F∥A1H，∴A1E与B1F所成的角等于A1E与A1H所成的角，∵，∴，∴A1E与B1F所成的角为600．（Ⅱ）∵平面BCC1B1∥平面ADD1A1，∴直线A1E与平面BCC1B1所成的角即为直线A1E与平面ADD1A1所成的角，∴∠EA1A即为A1E与面BCC1B1所成的角，∵AA1=AE=1，AA1⊥AE，∴，∴直线A1E与平面BCC1B1所成的角为450．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20．（15分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（Ⅰ）求证：A1C1⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．【分析】（Ⅰ）先证AC⊥BC1，可通过证出AC⊥平面BCC1实现．由已知，易证AC⊥BC，AC⊥C1C，可得AC⊥平面BCC1成立，进而可证A1C1⊥BC1；（Ⅱ）令BC1交CB1于点E，连接ED，可知E、D是△AC1B的中位线，得出DE ∥AC1，利用线面平行的判定定理证出AC1∥平面CDB1；【解答】解：（Ⅰ）易知A1C1⊥BC，A1C1⊥CC1，且BC1∩CC1=C1，可得A1C1⊥面BCC1B1，故AC⊥BC1；又A1C1∥AC，∴A1C1⊥BC1；（Ⅱ）设CB1与C1B交于E，连接DE，由于E、D分别是BC1和AB的中点，可得DE∥AC1，而AC1⊄平面CDB1，故AC1∥平面CDB1．【点评】本题考查空间直线和直线、平面位置关系的判断，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力，属于中档题．21．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PA=PB，点M在线段PC上（不含端点），且BM⊥平面PAC．（Ⅰ）求证：AD⊥面PAB；（Ⅱ）求证：AP⊥平面BCP．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O连接OP，由等腰三角形的性质可得OP⊥AB，进而可得OP⊥AD，结合BC⊥AD，即可得证AD⊥面PAB．（Ⅱ）利用线面垂直的性质可得AP⊥BM，可证BC⊥侧面PAB，可证AP⊥BC，从而利用线面垂直的判定可证AP⊥平面BCP．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O连接OP，∵PA=PB，∴OP⊥AB，又侧面PAB⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，∴OP⊥AD，又∴BC⊥AD，AB∩OP=0，∴AD⊥面PAB．（Ⅱ）∵BM⊥平面PAC，∴AP⊥BM，∵侧面PAB⊥底面ABCD，又BC⊥AB，∴BC⊥侧面PAB，∴AP⊥BC，而BC与BM是平面BCP内两相交直线，∴AP⊥平面BCP．【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．22．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中点，（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣AB﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）取PA中点F，连接EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，从而EC∥FD，由此能证明EC∥平面ADE．（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，则∠PBH是PB与平面ABCD所成角，由此能求出BP与平面ABCD所成的角的正切值．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG 在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∠PGH是二面角P﹣AB﹣D的平面角，由此能求出二面角P﹣AB﹣D的余弦值大小．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取PA中点F，连接EF，FD，∵E是BP的中点，∴EF∥AB，且，又∵，∴，∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD，又∵EC⊄平面PAD，FD⊂平面PAD，∴EC∥平面ADE．解：（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，∵PA=PD，∴PH⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD于AD，∴PH⊥面ABCD，∴HB是PB在平面ABCD内的射影，∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角，∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是直角梯形，设AB=2a，则，在△ABD中，∠DBA=45°，∴，．又∵BD2+AD2=4a2=AB2∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，∴，∴在Rt△PHB中，，∴BP与平面ABCD所成的角的正切值为．（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，∴∠PGH是二面角P﹣AB﹣D的平面角，由，又，在Rt△PHG中，，∴二面角P﹣AB﹣D的余弦值大小为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正切值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．。
2017-2018学年高二(上)期中数学试卷带答案精讲
2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
高二数学上学期期中试题文9
2017—2018学年度高二第一学期期中考试数学（文科）试题（试卷分值：150分 考试时间：120分钟 ）注意事项：第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，第Ⅱ卷的答案必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡的相应位置上，否则不予计分。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是A. 一个圆柱B. 一个圆锥C. 两个圆锥D. 一个圆台2. 下列命题正确的是A. 棱柱的侧面都是长方形B. 棱柱的所有面都是四边形C. 棱柱的侧棱不一定相等D. 一个棱柱至少有五个面3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中1OA OB ==，则原平面图形的面积为A. 1 32D. 2 4. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π5. 下列命题正确的是A. 四边形确定一个平面B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C. 经过三点确定一个平面D. 经过一条直线和一个点确定一个平面6. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列正确的是A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC. 若//m α，//m β，则//αβD. 若m α⊥，n α⊥，则//m n7. 已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为8. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为A. B. C. D.9. 直线20x y -+=的倾斜角为A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 135︒10. 已知圆C 的圆心(2,3)-，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为A. 22460x y x y +-+=B. 224680x y x y +-++=C. 22460x y x y +--=D. 224680x y x y +-+-=11. 已知点(1,3)P 与直线l ：10x y ++=，则点P 关于直线l 的对称点坐标为A. (3,1)--B. (2,4)C. (4,2)--D. (5,3)--12. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，有以下结论：①//BD 平面11CB D ； ②1AC BD ⊥； ③1AC ⊥平面11CB D ；④直线11B D 与BC 所成的角为45︒．其中正确的结论个数是A. 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 已知圆C ：222220x y x y +++-=和直线l ：20x y -+=，则圆心C 到直线l 的距离为 .14. 在正方体1111ABCD A BC D -的各条棱中，与直线1AA 异面的棱有 条.15. 直线210x ay +-=与直线(1)10a x ay ---=平行，则a 的值是 .16. 已知正方体1111ABCD A BC D -的一个面1111A B C D A ，B ，C ，D 都在半球面上，则正方体1111ABCD A BC D -的体积为 ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题10分，第18~22题每题12分）17. （本小题满分10分）已知菱形ABCD 中，(4,7)A -，(6,5)C -，BC 边所在的直线经过点(8,1)P -.（1）求AD 边所在的直线方程；（2）求对角线BD 所在的直线方程.18. （本小题满分12分）已知动圆C 经过点(1,2)A -，(1,4)B -.（1）求周长最小的圆的一般方程；（2）求圆心在直线240x y --=上的圆的标准方程.19. （本小题满分12分）四边形ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：BD PC ⊥．20. （本小题满分12分）如图，多面体ABCDE 中，//BE CD ，BE BC ⊥，AB AC =，平面BCDE ⊥平面ABC ，M 为BC 的中点．（1）若N 是线段AE 的中点，求证：//MN 平面ACD ；（2）若1BE =，2BC =，3CD =，求证：DE ⊥平面AME ．21. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，E ，F 分别为11AC ，BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：在棱AC 上存在一点M ，使得平面1//C FM 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积．22. （本小题满分12分）如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截圆柱所得的截面），C 是圆柱底面圆周上不与A ，B 重合的一个点.（1）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5. B6. D7. A8. C9. B 10. A 11.C 12.D二、填空题（每小题5分，共20分）12或0 16.三、解答题（第17题10分，第18~22题每题12分）17. （1）直线AD斜率为5(1)268AD BC PCk k k---====-，由点斜式方程，得72(4)y x-=+，即2150x y-+=；（2）对角线互相垂直，1157(5)646BDACkk=-=-=----，线段AC的中点为(1,1)，由点斜式方程，得51(1)6y x-=-，即5610x y-+=18. （1）以线段AB为直径的圆的周长最小，AB中点坐标(0,1)，AB=圆的标准方程为22(1)10x y+-=，一般方程为22290x y y+--=；（2）线段AB中垂线的斜率为1112431(1)ABkk=-=-=----，中垂线方程为113y x=+，联立方程113240y xx y⎧=+⎪⎨⎪--=⎩，得圆心坐标(3,2)，半径r=标准方程为22(3)(2)20x y-+-=19. （1）连接AC，OE，则AC经过正方形中心点O，由O是AC的中点，E是PC的中点，得//OE PA，又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以//PA平面BDE；（2）由PO⊥平面ABCD，得PO BD⊥，又正方形对角线互相垂直，即BD AC⊥，PO AC O=点，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，得BD PC⊥．20. （1）取AB的中点H，连接MH，NH，由N是AE的中点，得//NH BE，又//BE CD ，得//NH CD ，NH ⊄平面ACD ，所以//NH 平面ACD ，同理可证，//MH 平面ACD ，而MHNH H =点，所以平面//MNH 平面ACD ， 从而//MN 平面ACD ；（2）连接AM ，DM ，EM ，由AB AC =，M 为BC 的中点，得AM BC ⊥，又平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE 平面ABC BC =，AM ⊂平面ABC ，所以AM ⊥平面BCDE ，则AM DE ⊥，由勾股定理，在Rt EBM ∆中，1BE =，112BM BC ==，得EM ，在Rt DCM ∆中，3CD =，112CM BC ==，得DM 在直角梯形BCDE 中，由平面几何知识计算得DE ==，所以222E M D E D M +=，即EM DE ⊥，而AM EM M =点，所以DE ⊥平面AME ．21. （1）由侧棱垂直于底面，1BB ⊥平面ABC ，得1BB AB ⊥，又AB BC ⊥，1BC BB B =点，所以AB ⊥平面11B BCC ，从而平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）取AC 中点M ，连接1C M ，FM ，由F 为BC 的中点，知//FM AB ，FM ⊄平面ABE ，得//FM 平面ABE ，因为1//AM C E ，1AM C E =，所以四边形1AMC E 为平行四边形，则1//C M AE ，1C M ⊄平面ABE ，得1//C M 平面ABE ，而1CM F M M =点， 平面1//C FM 平面ABE ，即存在AC 中点M ，使得平面1//C FM 平面ABE ；（3）点E 到底面的距离即为侧棱长12AA =，在Rt ABC ∆中，2AC =，1BC =，AB BC ⊥，所以AB =11122ABC S AB BC ∆=⋅==，所以12323E ABC V -=⨯=. 22. （1）由条件，AB 为底面圆的直径，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点，所以AC BC ⊥，又圆柱母线1AA ⊥平面ABC ，则1AA BC ⊥，1A AAC A =点，所以BC ⊥平面1AAC ，从而平面1A BC ⊥平面1A AC ； （2）设圆柱的母线长为h ，底面半径为r ，则圆柱的体积为2r h π，当点C 是弧AB 的中点时，ABC ∆为等腰直角三角形，面积为2r ， 三棱锥1A ABC -的体积为221133r h r h ⨯⨯=， 三棱柱111A B C ABC -的体积为2r h ，则四棱锥111A BCC B -的体积为2221233r h r h r h -=， 四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比为23π．。
2017_2018学年高二数学上学期期中联考试题
年高二上学期期中考试数学试题2017.11本试卷分I 卷选择题（60分）II 卷非选择题（90分）,满分150分，时间120分钟第I 卷（选择题60分）一．选择题：本大题共12个小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝()A.15B.59C.53D ．1 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于()A ．8B ．10C ．12D ．144. 如图从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于()1)m －2180(．B 1)m －3240(．A 1)m＋330(．1)m D －3120(．C 5.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B＝23，则A ＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π66．已知等差数列{a n }的公差为－2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，则a 2＝()A ．－4B ．－6C ．－8D ．87．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟8．若a >b >0，c ＜d ＜0，则一定有()A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d9.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝()A ．15B ．12C ．－12D ．－1510. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11. 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则()A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞012. 若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0的周长，则2a ＋1b 的最小值是()A ．2－2B.2－1C ．3＋22D ．3－2 2第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题横线上 13. 已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.14.已知不等式(k －2)x 2－2(k －2)x －4＜0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 15. 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．16．在△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，则B 的取值范围是________． 三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解不等式f (1)>0 ,求a 的范围(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 18.（本小题满分12分）。
学年上学期高二期中考试数学试题(附答案)
2017～2018学年度第一学期期中调研测试高二数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号写在答题纸上并填涂准考证号．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据123,,,...,n x x x x 的方差为2211()n i i S x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑ 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请 将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．已知圆的方程为22220x y x y +--=，则其半径为 ▲ .2．命题“2,10x R x x ∀∈++>”的否定是 ▲ .3．现有A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为1∶2∶3，用分层抽样方法抽出一个容量为12的样本，则B 种型号的产品应抽出 ▲ 件．4．为了了解一片树林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm ). 所得数据如图，那么在这100株树木中，底部周长不小于110cm 的有 ▲ 株.5．如图所示的流程图，若输入值2t =，则输出s 的值为 ▲ ．6． 已知圆1C :22(1)(1)4x y -++=与圆2C :22(1)(1)2x y ++-=，则两圆公共弦所在的直线方程为 ▲ .7．将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则“点数之和等于6”的概率为 ▲ .8．“0x <”是 “2x x >”的 ▲ 条件. (在“充分不必要”、“必要不充分”、“充第4题图 0For From 1To 7Step 2+End For Pr int S I S S I S ←←第5题图第10题图要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空)9．数据1，2，3，4，5的方差为 ▲ .10．执行如图所示的伪代码，输出的结果为 ▲ ．11．如右图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为 ▲ ．12．取一根长度为6米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 米的概率是 ▲ .13．若直线2y x b =+与曲线x =b 的取值范围为 ▲ .14．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y -+=与x 轴y 、轴分别交于A ，B 两点，点M 在圆()225x y a +-=(0)a >上运动.若AM B ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．（本题满分14分）下图是沭阳县某集团1000名员工2017年10月份的月工资直方图．根据直方图估计：（1）该公司月工资在4000 元到4500 元之间的人数；（2）该公司员工的月平均工资．16．（本题满分14分）一只口袋装有形状、大小都相同的6只球，其中有3只白球、2只红球和1只黄球.从中一次性随机摸出2只球，试求：（1）2只球为“1红1黄”的概率；（2）“恰有1只球是白球”的概率是“2只球都是白球”的概率的多少倍？17．（本题满分14分）已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶. （建立如图所示的直角坐标系）（1）一辆宽度为3米，高为3.5米的货车能不能驶入这个隧道？（2）如果货车的最大宽度为a 米，那么货车要驶入该隧道，限高为多少米？18．（本题满分16分）设命题:p 22a x a -≤≤+ (0a >)； :q 260x x +-≤．（1）若1a =，且p q ∧为假，p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．（本题满分16分）已知圆C 过点()5,1A 、()1,3B ,且圆心C 在x 轴上．（1）求圆C 的标准方程；（2）求直线3440x y ++=被圆C 截得的弦长；（3）P 为直线:2l x =-上一点，若存在过点P 的直线交圆C 于点,M N ，且M 恰为线段NP 的中点，求点P 的纵坐标的取值范围．20．（本题满分16分）已知圆22:9,C x y += 点(4,3),A - 直线:20l x y -=．（1）求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；（2）若在直线OA (O 为坐标原点)上存在定点B （不同于点A ）满足：对于圆C 上任 意一点P ，都使PB PA为定值，试求出所有满足条件的点B 的坐标．2017～2018学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1 2、 2,10x R x x ∃∈++≤ 3、4 4、30 5、46、2210x y -+=7、536 8、充分不必要 9、2 10、1611、12 12、23 13、(1⎤-⎦ 14、 5a > 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. (本题满分14分)解：(1)根据频率分布直方图知，该公司月工资在4000 元到4500 元频率为：1-()0.2+0.25+0.25+0.15+0.05=0.1 ……………………………5分 所以满足条件的人数为：1 000×0.1＝100(人)． ……………………………7分(2)该公司员工的月平均收入为：4250×0.1＋4750×0.2＋5250×0.25＋5750×0.25＋6250×0.15＋6750×0.05=5400元.……………………………14分16. ( 本题满分14分)解：给三只白球编号为：1,2,3,；两只红球编号为：4,5;黄球编号为：6.则从中一次性随机摸出2只球有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5,6）共15种结果， ………………………2分（1）记 “1红1黄”为事件A ，则A 发生的事件有：（4，6），（5,6）共2种结果， 所以()P A =215. ……………………………6分 （2）记“恰有1只球是白球”为事件B ，则B 发生的事件有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6）共9种结果，所以()P B =93155=. ……………………………10分 记“2只球都是白球”为事件C ，则C 发生的事件有：（1，2），（1，3），（2，3）共3种结果，所以()P C =15， 故“恰有1只球是白球”的概率是“2只球都是白球”的概率的3倍. ………14分17.(本题满分14分)解：如图所示，半圆的圆心坐标为(0,0)，半径为4，故该半圆的方程为：2216(0)x y y +=≥， …………………4分将3x =代入得3 3.5y ==<=<， 即离中心线3米处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道． ……………………………8分（2）将x a =代入得y =. ………………14分18. (本题满分16分)解：（1）当1a =时，:p 13,x ≤≤因为p q ∧为假，p q ∨为真，所以,p q 一真一假.……………………2分 p 真q 假时，得13,2332x x x x ≤≤⎧∴<≤⎨<->⎩或……………………4分 p 假q 真时，得13,3132x x x x <>⎧∴-≤<⎨-≤≤⎩或……………………6分 综上，实数x 的取值范围是[)(]3,12,3-……………………8分（2）由260x x +-≤得：3 2.x -≤≤……………………10分 若q 是p 的充分不必要条件，则[][]3,22,2,a a -⊂-+即0,23a a >⎧⎨-≤-⎩……14分 所以 5.a ≥所以，实数a 的取值范围是 5.a ≥……………………16分19. (本题满分16分)解：（1）设圆心(),0C x ，则有,CA CB =即=所以2x =，即圆心C 坐标为()2,0圆C半径r = ≠则圆C 的标准方程为()22210x y -+=. ……………………………5分 （2）圆心C 到直线3440x y ++=的距离2d ==则截得的弦长为== ………………………10分（3）设()2,P y -若存在过点P 的直线交圆C 于点,M N ，且M 恰为线段NP 的中点，则必有3CP r ≤所以y ≤则点P的纵坐标的取值范围为⎡⎣. ……………………………16分20．（本题满分16分）解：（1）设所求的直线方程为20x y c ++=因为直线与圆C3,c =∴=±4分所以所求的直线方程为20x y +±=. ……………………………6分(2)直线OA 方程为34y x =- 设()()22,,4,3,PB P x y B m m PAλ-=(λ为常数) ……………………………8分 因为对于圆C 上任意一点,P 都使PB PA为定值，所以22PB PA λ=恒成立。
精选2017-2018学年高二数学上学期期中试题(含解析)
2017-2018学年第一学期期中试卷高二数学第一卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上．．．．．．．．.1. 已知直线的斜率为，则它的倾斜角为__________．【答案】【解析】斜率为，设倾斜角为，则，有.2. 已知圆的方程为，则它的圆心坐标为__________．【答案】【解析】，圆心坐标为.3. 若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为__________．【答案】平行或异面【解析】若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为平行或异面.4. 已知直线：和：垂直，则实数的值为_________．【答案】【解析】当时，，两条直线不垂直；当时，，两条直线垂直，则，.综上：.5. 已知直线和坐标轴交于、两点，为原点，则经过，，三点的圆的方程为_________．【答案】【解析】直线和坐标轴交于、两点，则，设圆的方程为：，则，解得，圆的方程为，即.6. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为_________．【答案】【解析】由题得扇形得面积为：，根据题意圆锥的侧面展开图是半径为3即为圆锥的母线，由圆锥侧面积计算公式：所以圆锥的高为7. 已知，分别为直线和上的动点，则的最小值为_________．【答案】【解析】由于两条直线平行，所以两点的最小值为两条平行线间的距离.8. 已知，是空间两条不同的直线，，是两个不同的平面，下面说法正确的有_________．①若，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则.【答案】①④【解析】①若，，符合面面垂直的判定定理，则真确；②若，，，则可能平行，也可能相交，故②不正确；③若，，，则可能平行，也可能异面；③不正确；④若，，，符合线面平行的性质定理，则.正确；填①④.9. 直线关于直线对称的直线方程为_________．【答案】【解析】由于点关于直线的对称点位，直线关于直线对称的直线方程为，即.10. 已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_________．【答案】【解析】∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为，又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径，根据球的体积公式，得此球的体积为，故答案为.点睛：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题；由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.11. 若直线：和：将圆分成长度相同的四段弧，则_________．【答案】【解析】两条直线：和：平行，把直线方程化为一般式：和，圆的直径为，半径，直线被圆所截的弦所对的圆心角为直角，只需两条平行线间的距离为4，圆心到直线的距离为2，圆心到则的距离为，若，则，同样，则，则.12. 已知正三棱锥的体积为，高为，则它的侧面积为_________．【答案】【解析】设正三棱锥底面三角形的边长为，则，底面等边三角形的高为，底面中心到一边的距离为，侧面的斜高为，.13. 已知，，若圆（）上恰有两点，，使得和的面积均为，则的范围是_________．【答案】【解析】，使得和的面积均为，只需到直线的距离为2，直线的方程为，圆心到直线的距离为1，当时，圆（）上恰有一点到AB的距离为2，不合题意；若时，圆（）上恰有三个点到AB的距离为2，不合题意；当时，圆（）上恰有两个点到AB的距离为2，符合题意，则................14. 已知线段的长为2，动点满足（为常数，），且点始终不在以为圆心为半径的圆内，则的范围是_________．【答案】第二卷二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，．．．．．．．．．．．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：证明线面可以利用线面平行的判定定理，借助证明平行四边形，寻求线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.试题解析：证：（1）四边形为平行四边形（2）【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.16. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.（1）求平行四边形的顶点的坐标；（2）在中，求边上的高所在直线方程；（3）求四边形的面积.【答案】（1）（2）（3）20【解析】试题分析：首先根据平行四边形对边平行且相等，得出向量相等的条件，根据向量的坐标运算，得出向量相等的条件要求，求出点的坐标，求高线方程采用点斜式，利用垂直关系求斜率，球平行四边形的面积可利用两条平行线间的距离也可利用两点间的距离求边长，再根据余弦定理求角，再利用三角形面积公式求面积.试题解析：。
2017-2018学年高二(上)期中数学试题及参考答案
2017-2018学年度 高二（上）期中考试数 学 试 题考试时间：100分钟 满分100分一、选择题（每题4分，共40分）1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个 ( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为 （ ）A.B.C.D.3．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对5．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的底面对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是 （ ）A ．130B ．140C ．150D ．1606．用半径为R 的半圆卷成一个无底圆锥，则这个无底圆锥的体积为 （ ）A3R B3R C3R D3R 7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为 （ ） A ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．38．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．30︒主视图 左视图 俯视图9．已知二面角α－AB －β的平面角为θ，α内一点C 到β的距离为3，到棱AB 的距离为4， 则tanθ等于 （ ）A ．34B ．35CD10．直三棱柱111ABC A B C -中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点， 连接11,,,A B BD A D AD ，则三棱锥1A A BD -的体积为 （ ）A ．361a B ．3123a C ．363a D ．3121a 二、填空题（每题4分，共20分）11．一个棱柱至少有 _____个面；面数最少的一个棱锥有 ________个顶点；顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
福建省师大附中2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．若a ＞b ＞0，下列不等式成立的是（ ）A ．a 2＜b 2B ．a 2＜abC ．＜1D ．＞2．原点和点（1，1）在直线x +y ﹣a=0两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．0≤a ≤2 B ．0＜a ＜2 C ．a=0或a=2 D ．a ＜0或a ＞23．在△ABC 中，AB=1，AC=，∠A=60°，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．或D ．或4．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18，则log 3a 1+log 3a 2+…log 3a 10=（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+log 355．在△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a=，c=，∠A=60°，则∠C 的大小为（ ）A ．或B ．或C ．D ．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2=a 2+bc ．若sin B •sin C=sin 2A ，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ）A ．尺B ．尺C ．尺D ．尺8．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 1007•a 1008＜0，a 1007+a 1008＞0则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是（ ） A ．2 012 B ．2 013 C ．2 014 D ．2 0159．若x ，y 满足且z=2x +y 的最大值为6，则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣7D ．710．若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（）A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）11．已知函数f（x）=4x2﹣1，若数列{}前n项和为S n，则S2015的值为（）A．B．C．D．12．已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，=，a n b n=1，则使b n＞101的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．在数列{a n}中，a1=﹣2，a n+1=，则a2016=．14．若|x﹣3|+|x+5|＞a对于任意x∈R均成立，则实数a的取值范围．15．设a，b∈R+，且a+b=2则ab2的最大值为．16．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2n，n∈N+则a n=．17．已知x，y满足，则的取值范围为．18．如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，则AC最短为米．三、解答题（共5小题，满分60分）19．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．20．已知△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，△ABC的外接圆半径为，（1）求角C；（2）求△ABC 面积S 的最大值． 21．已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1=3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的首项b 1=1，且a 2b 2=12，S 3+b 2=20．（1）求{a n }和{b n }的通项公式； （2）求{a n b n }的前n 项和T n ．22．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为多少元．，并求出此时生产A ，B 产品各少件． 23．已知数列{a n }的前n 项和为s n ，且a n =S n ﹣1+2（n ≥2），a 1=2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，T n =b n +1+b n +2+…+b 2n ，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的正整数n ，有T n ＞恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若a＞b＞0，下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a2＜ab C．＜1 D．＞【考点】不等式的基本性质．【分析】由题意，取a=2，b=1，代入验证，即可得出结论．【解答】解：由题意，取a=2，b=1，则a2＞b2，a2＞ab，＜1，＜，故选C．2．原点和点（1，1）在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是（）A．0≤a≤2 B．0＜a＜2 C．a=0或a=2 D．a＜0或a＞2【考点】简单线性规划．【分析】根据二元一次不等式表示平面区域，以及处在区域两侧的点的符号相反求解a的取值范围．【解答】解：∵原点和点（1，1）在直线x+y﹣a=0两侧，∴（0+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，即a（a﹣2）＜0，解得0＜a＜2，故选：B．3．在△ABC中，AB=1，AC=，∠A=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．或 D．或【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵AB=1，AC=，∠A=60°，=AB•AC•sinA==．∴S△ABC故选：B．4．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．【解答】解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B5．在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，c=，∠A=60°，则∠C的大小为（）A．或B．或C．D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，化为：sinC=，∵c＜a，∴C为锐角，∴C=．故选：D．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可得cosA=，可得．由sin B•sin C=sin2A，利正弦定理可得：bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，可得b=c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C=sin2A，∴bc=a2，代入b2+c2=a2+bc，∴（b﹣c）2=0，解得b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ）A ．尺B ．尺C ．尺D ．尺【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n }， a 1=5（尺），S 30=9×40+30=390（尺），设公差为d （尺），则30×5+=390，解得d=．故选：C ．8．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 1007•a 1008＜0，a 1007+a 1008＞0则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是（ ） A ．2 012 B ．2 013 C ．2 014 D ．2 015 【考点】数列的函数特性．【分析】首项a 1＞0，a 1007•a 1008＜0，a 1007+a 1008＞0，可得a 1007＞0，a 1008＜0，再利用求和公式即可得出．【解答】解：∵首项a 1＞0，a 1007•a 1008＜0，a 1007+a 1008＞0， ∴a 1007＞0，a 1008＜0，∴S 2014==1007（a 1007+a 1008）＞0，S 2015==2015×a 1008＜0．则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是2014． 故选：C ．9．若x ，y 满足且z=2x +y 的最大值为6，则k 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣7D ．7【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，由z=2x +y 得：y=﹣2x +z ，显然直线y=﹣2x +z 过A 时z 最大，得到关于k 的不等式，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（k，k+3），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过A（k，k+3）时，z最大，故2k+k+3=6，解得：k=1，故选：B．10．若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（）A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．【分析】将不等式有解，转化为求∴（x+）min＜m2﹣3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵不等式有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+=（x+）（）=+2=4，当且仅当，即x=2，y=8时取“=”，∴（x+）min=4，故m2﹣3m＞4，即（m+1）（m﹣4）＞0，解得m＜﹣1或m＞4，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）． 故选：B ．11．已知函数f （x ）=4x 2﹣1，若数列{}前n 项和为S n ，则S 2015的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的求和．【分析】由f （x ）=4x 2﹣1得到，然后利用裂项相消法求得S 2015的值．【解答】解：由f （x ）=4x 2﹣1，得=，∴S 2015==．故选：D ．12．已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1， =，a n b n =1，则使b n ＞101的最小的n 为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【考点】数列递推式．【分析】先化简已知的等式，利用待定系数法和构造法得到数列{+3}是等比数列，由条件和等比数列的通项公式求出，代入a n b n =1求出b n ，化简使b n ＞101即可求出最小的n ．【解答】解：由=，得3a n +1a n +2a n +1=a n ，两边同除a n +1a n 得， =+3，设+k=2（+k ），则=+k ，即k=3，∴=2，由a 1=1得=4，∴数列{+3}是以2为公比、4为首项的等比数列，则+3=4•2n ﹣1=2n +1，∴=2n+1﹣3，由a n b n=1得b n==2n+1﹣3，∴b n＞101为2n+1﹣3＞101，即2n+1＞104，∵26=64，27=128，∴使b n＞101的最小的n为6．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）=，则a2016=3．13．在数列{a n}中，a1=﹣2，a n+1【考点】数列递推式．【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，a2===﹣，a3===，a4===3，a5===﹣2，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2016=504×4，∴a2016=a4=3，故答案为：3．14．若|x﹣3|+|x+5|＞a对于任意x∈R均成立，则实数a的取值范围（﹣∞，8）．【考点】绝对值不等式．【分析】利用绝对值不等式的性质可得|x﹣3|+|x+5|的最小值为8，由此求得a的范围．【解答】解：∵|x﹣3|+|x+5|=|3﹣x|+|x+5|≥|3﹣x+x+5|=8，故|x﹣3|+|x+5|的最小值为8，再由题意可得，当a＜8时，不等式对x∈R均成立，故答案为：（﹣∞，8）．15．设a，b∈R+，且a+b=2则ab2的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】化简得a=2﹣b，0＜b＜2；从而可得f（b）=ab2=（2﹣b）b2=﹣b3+2b，f′（b）=﹣3b2+2=﹣3（b+）（b﹣），从而求得．【解答】解：∵a，b∈R+且a+b=2，∴a=2﹣b，0＜b＜2；f（b）=ab2=（2﹣b）b2=﹣b3+2b，f′（b）=﹣3b2+2=﹣3（b+）（b﹣），故f（b）在（0，）上是增函数，在（，2）上是减函数；故ab2的最大值是f（）=故答案为：．16．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2n，n∈N+则a n=2n﹣1．【考点】数列递推式．【分析】利用递推关系一步步地把通项用首项和关于n的表达式表示出来，即可求得结论．【解答】解：a1=1，a n+1﹣a n=2n，得，a n=a n﹣1+2n﹣1=a n﹣2+2n﹣2+2n﹣1=a n﹣3+2n﹣3+2n﹣2+2n﹣1=…=a1+21+22+…+2n﹣1=1+=2n﹣1．所以a n=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．17．已知x，y满足，则的取值范围为[2，6] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，求出的范围，转化所求的表达式为二次函数的最值求解即可．【解答】解：x，y满足，的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由可行域可知1≤≤k OA，由，可得A（1，3），k OA=3．∈[1，3]．=+3=（）2+2.∈[0，2]，∈[2，6]．故答案为：[2，6]．18．如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，则AC最短为2+米．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x 的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，∵x＞1，∴2﹣1＞0因此y=，y=（x﹣1）++2≥+2当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．故答案为：2+．三、解答题（共5小题，满分60分）19．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．20．已知△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，△ABC的外接圆半径为，（1）求角C；（2）求△ABC面积S的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式的右边，整理后再利用余弦定理变形，求出cosC 的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，利用三角形的面积公式列出关系式，利用正弦定理化简后，将sinC的值及表示出的B代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出面积的最大值．【解答】解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2（a2﹣c2）=2b（a﹣b），整理得：a2﹣c2=ab﹣b2，即a2+b2﹣c2=ab，∵c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣c2=2abcosC，∴2abcosC=ab，即cosC=，则C=；（2）∵C=，∴A+B=，即B=﹣A，∵==2，即a=2sinA，b=2sinB，=absinC=absin=×2sinA×2sinB×∴S△ABC=2sinAsinB=2sinAsin（﹣A）=2sinA（cosA+sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A+（1﹣cos2A）=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣）+，=．则当2A﹣=，即A=时，S△ABCmax21．已知{a n}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求{a n b n}的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12①，S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②联立①②结合d＞0可求d，q，利用等差数列，等比数列的通项公式可求a n，b n（2）直接利用（1）的结论对数列{a n•b n}用错位相减法求和即可求T n．【解答】解：（1）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12①S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②联立①②可得，（3d+7）（d﹣3）=0∵{a n}是单调递增的等差数列，d＞0．则d=3，q=2，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n，b n=2n﹣1…（2）T n=3•1+6•2+9•4+…+3n•2n﹣1，①2T n=3•2+6•4+9•8+…+3n•2n，②②﹣①得：T n=﹣3（1+2+4+…+2n﹣1）+3n•2n﹣1=﹣3（1+）+3n•2n﹣1=3（n﹣1）•2n﹣1∴T n=3（n﹣1）•2n﹣1．22．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为多少元．，并求出此时生产A，B产品各少件．【考点】简单线性规划的应用．【分析】设生产A产品x件，B产品y件，利润总和为z，得出约束条件表示的可行域，根据可行域得出目标函数取得最大值时的最优解．【解答】解：设生产A产品x件，B产品y件，利润总和为z，则，目标函数z=2100x+900y，做出可行域如图所示：将z=2100x+900y变形，得，由图象可知，当直线经过点M 时，z 取得最大值．解方程组，得M 的坐标为（60，100）．所以当x=60，y=100时，z max =2100×60+900×100=216000．故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元．23．已知数列{a n }的前n 项和为s n ，且a n =S n ﹣1+2（n ≥2），a 1=2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，T n =b n +1+b n +2+…+b 2n ，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的正整数n ，有T n ＞恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 【考点】数列与不等式的综合． 【分析】（1）将n 换成n ﹣1，两式相减，运用n=1时，a 1=S 1，n ＞1时，a n =S n ﹣S n ﹣1，即可得到数列{a n }的通项公式；（2）求出b n ，T n ，T n +1，作差，判断{T n }的单调性，求出T n 的最小值，令小于最小值，即可求出正整数k 的最大值． 【解答】解：（1）由已知a n =S n ﹣1+2，① a n +1=S n +2，②②﹣①，得a n +1﹣a n =S n ﹣S n ﹣1 （n ≥2）， ∴a n +1=2a n （n ≥2）． 又a 1=2，∴a 2=a 1+2=4=2a 1， ∴a n +1=2a n （n=1，2，3，…）∴数列{a n }是一个以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n =2•2n ﹣1=2n ．（2）b n ===，∴T n =b n +1+b n +2+…+b 2n =++…+，T n +1=b n +2+b n +3+…+b 2（n +1）=++…+++．∴T n +1﹣T n =+﹣= =．∵n 是正整数，∴T n +1﹣T n ＞0，即T n +1＞T n ．∴数列{T n}是一个单调递增数列，又T1=b2=，∴T n≥T1=，要使T n＞恒成立，则有＞，即k＜6，又k是正整数，故存在最大正整数k=5使T n＞恒成立．2016年12月16日。
2017—2018年度高二年级第一学期期中考试数学试卷
准考证号： 姓名： 班级：2017—2018年度高二年级第一学期期中考试数学试卷（100分）一、单项选择题 （每题3分，共30分）1.已知点A （0,x ），B （3,2-），且AB =5，则=x ( ) A.2- B.6 C.61或- D.26或-2.点A （4,3-），B （4,2）的对称中心的坐标是( )A.)4,21(B.)4,21(-C.)0,21(-D.)0,25(-3.已知直线l 经过点)0,2(-A 与点)3,5(-B ，则该直线的倾斜角是( ) A. 150 B. 135 C. 75 D. 454.下列哪对直线互相平行( )A.2:1-=y l 5:2=x lB. 12:1+=x y l 52:2-=x y lC. 1:1+=x y l 5:2--=x y lD. 13:1+=x y l 53:2--=x y l 5.若原点到直线08=++y ax 的距离为6，则a 的值是( ) A.37 B. 33± C. 37± D. 336.过点)1,0(，且一法向量为)3,2(的直线方程为( ) A.0332=-+y x B. 0332=++y x C. 0323=++y x D. 0323=-+y x7.方程064222=--++y x y x 表示的图形是( )A.以)2,1(-为圆心，11为半径的圆B.以)2,1(为圆心，11为半径的圆C.以)2,1(--为圆心，11为半径的圆D.以)2,1(-为圆心，11为半径的圆 8.直线01343:=++y x l 与圆9)1()1(22=-+-y x 的位置关系是( ) A. 相交 B.相离 C.相切 D.无法确定 9.过点)2,1(P 且与圆522=+y x 相切的直线方程是( ) A.052=++y x B.052=-+y x C.02=-y x D.052=-+y x 10.两直线01=+-y x 和05=-+y x 的交点坐标为( )A.)3,2(B.)3,2(-C. )3,2(-D. )3,2(--二.填空题(每题4分，共32分) 1.已知),5,1(),1,2(--B A 则AB =2.过点)2,4(),1,1(),0,0(N M O 的圆的方程是3.直线a x =与圆03222=--+x y x 相切，则=a4.与直线04=+-y x 平行，且截距为2-的直线的方程为5.x 轴上到直线01=+-y x 的距离为2的点的坐标是6.过点)1,0(和)3,0(且半径为1的圆的方程为7.圆066222=++++y x y x 的圆心坐标为8.直线05=++C y x 与圆2522=+y x 相切，则C =三．解答题（前五小题各6分，最后一题8分，共38分） 1.求过点)3,4(-且与直线035=-+y x 垂直的直线方程。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。
高二数学上学期期中试题理(4)word版本
2017— 2018 学年上学期高二年级期中考试理科数学本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 22 题，共 150 分，共四页 .第 I 卷一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1.已知会合 A{ x | y x22x3}，会合B { 2,1,0,1,2} ，则A B（）A.{ 1,0, 2}B.{ 1,0,1,2}C.{2,1,0,1}D.{1,2}2.已知数列 { a n} 是等比数列（q 1 ），a1a620,a2a5 1 ，则a8（）A.16B.25C.25D.1654453.设函数f ()sin(3),x R，则以下结论正确的选项是() x x2A. f (x) 是最小正周期为的奇函数B. f(x) 是最小正周期为的偶函数C. f (x) 是最小正周期为2的奇函数3D. f (x) 是最小正周期为2的偶函数34. 平面向量与的夹角为2， a (2,0)， | a2b | 2 3 ，则 a b（）3A.23B. 2 3C.D.x y205. 对于设变量x, y知足拘束条件x y20 ，则目标函数 z x 2 y的最小值为（）y1A.B.C.D.6. 设p :1x 2 ， q : log 2 x 2 ，则是建立的（）A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件7.若 a b0， c d0 ，则必定有（）a b a b a bD.a bA.d B.dC.c d cc c d8.若 tan3，则 cos22sin 2（）324816 B. C. 1 D.A.2525259.对于的不等式ax2 3 的解集为x |5x 1，则（）33A.3或B.C.3D.3 55510. 数列a n的前项和知足： S n S m S n m，且 a11，则 a10（）A.B.C.D.11. 在ABC 中，若 a2b22c2，则角的最大值为（）A. B. C. D.264330 时， f ( x)sin x ；当x12. 已知函数f ( x)的定义域为 . 当x时，f ( x) f ( x) ；当 x时， f ( x) f ( x) ，则 f (20（）)22233B. C.31A. D.222第II 卷二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分 .13.平面直角坐标系 xOy 中，直线 x 2y30 被圆 x2y24x 2 y 1 0 截得的弦长为 ______.14.已知 f ( x)ln x ，0 a b，若 p f (ab ) ， q f ( a b) ， r f (a) f (b) ，22则 p, q, r 的大小关系是____________.15. 在ABC 中，点 M , N 知足AM 2 MC ， BN NC ．若 MN x AB y AC，则x y _______.10 x, x 20,a 1) 的值域是 (8,) ，则实数的取值范围是16. 函数 f ( x)log a x, x （a7 2__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2 5( , 317. （ 10 分）已知 sin( x), x)452 4（ 1）求 cos x 的值；（ 2）求 sin(2 x)的值．318.(12 分 ) 设函数 f (x) | 2x 1| | x4 |（ 1）求不等式 f ( x) 2 的解集；（ 2）若存在 x R 使得 f (x) m 建立，务实数的最小值 .19. （ 12 分）在 ABC 中， a 2 c 2 b 22ac .（ 1）求；（ 2）求2 sin A sin C 的取值范围．20. （ 12 分）设函数 f ( x) x1 x a (a 0)a（ 1）证明： f ( x) 2 ；（ 2）若 f (3)5 ，求的取值范围 .21.（12 分）已知正项数列 { a n } 的前项和知足 S n 2 ( n 2 n 1)S n ( n 2 n) 0 (nN ) ，（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；3，是数列 { b n } 的前项和，证明：对于随意n N3（ 2）设 b n都有T.a nan 1n422. （ 12 分）如图，ABC 和 BCD 所在平面相互垂直， 且 AB BCBD 2，E,F 分别为 AC , DC 的中点， ABC DBC 120 ．（ 1）求证： EFBC ；（ 2）求点到面 BEF 的距离．本试卷分第I 卷（选择题）和第理科数学II 卷（非选择题）两部分，共22 题，共 150 分，共四页 .第I卷一、选择题：此题共12 小题，每题5 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1. 已知会合 A{ x | yx 2 2 x 3} ，会合B { 2， 1,0,1,2} ，则 A B （ D ）A.1,0,2B.1,0,1,2 C.{ 2, 1,0,1}D.{1,2}2. 已知数列 { a n } 是等比数列（ q1 ）， a 1a 6 20,a2 a 5 1 ，则 a 8 （ B）16B.2525 D.16A.C.45543. 设函数 f ( x ) sin(3 ), x R，则以下结论正确的选项是( D )x2A. f (x) 是最小正周期为的奇函数B.f ( x) 是最小正周期为的偶函数C. f ( x) 是最小正周期为 2 的奇函数3D.f ( x) 是最小正周期为 2 的偶函数34. 平面向量与的夹角为2， a (2,0) ， | a 2b | 2 3 ，则 a b （ D ）3A.2 3B.2 3C.D.x y 2 05. 对于设变量x, y 知足拘束条件xy 2 0 ，则目标函数z x 2 y 的最小值为y 1（ A）A.B.C.D.6. 设 p :1x 2 ， q : log 2 x2 ，则是 建立的 （ A）A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D.既不充足也不用要条件7. 若 a b0， c d 0，则必定有（C）A.a b B.a bC.a b a bcdcddcD.cd8. 若 tan3 ，则 cos 22sin 2（ A）4A. 32 8C. 11625B.D.25259. 对于的不等式 ax23 的解集为 x |5 x 1 ，则（ B ）33A.3 或 B.C.3D.355510. 数列 a n 的前项和知足： S n S m S n m (m, n N ) ，且 a 1 1 ．则 a 10 （ D ） A.B.C.D.11. 在 ABC 中，若 a 2 b 2 2c 2 ，则角的最大值为（C ）A.B. C. D.26 43 312. 已知函数 f ( x) 的定义域为 . 当 x 0 时， f ( x) sin x ；当x时，f ( x)f ( x) ；当 x时， f ( x) f ( x ) ，则 f ( 20) （ C）22 23A.3B.C.312D.22第II 卷二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分 .13. 平面直角坐标系 xOy 中，直线 x 2y 30 被圆 x 2 y 2 4x 2 y 1 0 截得的弦长为 __2 55____.516. 已知 f ( x) ln x ， 0a b ，若 pf ( ab ) ， qf (ab) ， rf (a)f (b) ，22则 p, q, r 的大小关系是 ___ r p q .17. 在ABC 中，点 M,N 知足 AM2MC ， BNNC ．若 MNx ABy AC ，则x y___ 1____.316. 10 x, x 20,a 1) 的值域是 (8,) ，则实数的取值范围是函数 f ( x)log a x, x （a7 2___ (1,2) ____.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （ 10 分）已知 sin( x) 2 5 x( 35, , )42 4 （ 1）求 cos x 的值； （ 2）求 sin(2 x) 的值．3解： （ 1） sin( x) 2 5(, 35 ， x) ， cos(x )452 445cosxcos[( x)]10 ———————— 5 分1044（ 2）cos x10 ， x ( , 3) ，sin x3 1010 2 4 10cos 2x4 ,sin 2x3 ，5 5sin(2 x) sin 2x cos 43 3 cos2 x sin10 ———— 10 分33318. （ 12 分）设函数 f ( x) | 2x 1| | x 4 |（3）求不等式 f ( x)2 的解集；（4）若存在 xR 使得 f (x) m 建立，务实数的最小值 .x5, x 121 解： （ 1） f (x)3x 3,4 ，x2x5, x 4x1 1 x 4 x 4f ( x) 22或2 或 2x 5 23x3 2x 5即 7 x1 1 5或x或 x223原不等式的解集为： { x | 7 x5} ———————— 6 分3（ 2）由（ 1）知，函数 f (x)minf ( 1)922存在 xR 使得 f ( x) m 建立f (x)min m9 mmin9 12 分m ，———————2219. （ 12 分）在ABC 中， a 2 c 2 b 22ac .（ 3）求； （ 2）求 2 sin A sin C 的取值范围．解： （1）a 2 c 2b 22ac ，由余弦定理可得 cosB2 ，2B(0, )3———————— 6 分B4（ 4） 2 sin A sin C2 sin( BC ) sin C2 sin3 C sin C cosC4C (0, )，cosC ( 2,1) ———————— 12 分4220. （ 12 分）设函数 f ( x)1 x a (a 0)xa（ 1）证明： f ( x) 2 ； （ 2）若 f (3) 5，求的取值范围 .解： （1）由绝对值三角不等式：f ( x)x1 x a( x1) (x a)1 aaaa等号建立(x1)( x a)ax 1aa由基本不等式，a 0,1 2 ，等号建立 a 1aaf (x)1a 2 ————————6分a（ 2）f (3)5313 a5 a13 a 531a 2 31a 0, 3 2 a 2 a即a a aa 231521521a1a ，a0 ，解得22 2a153a2a15521即：2a2因此的取值范围是(1 5 ,521) ———————12分2221．（ 12 分）已知正项数列{a n }的前项和知足S 2( n2n1)S( n2n) 0(n N )，n n（ 1）求数列{ a n}的通项公式；（ 2）设b n3{ b n} 的前项和，证明：对于随意n N都有 T n3，是数列. anan 14解：（ 1）解对于的方程S n2(n2n1)S n(n2n)0可得 S n n2n 或 S n 1 （舍去）n 1时, a12， n2时, a n SnSn 12n a n2n —————— 6 分（ 2）b n331)3 ( 1 1 )a n a n 14n(n4n n 1由裂项相消法可得 T n 3(11) ，n N ，T n3————— 12 分4n1422. （ 12分）如图，ABC 和BCD 所在平面相互垂直，且AB BC BD 2，ABC DBC120 ,E, F 分别为 AC , DC 的中点．（ 1）求证：EF BC ；（ 2）求点到面BEF 的距离．（ 1）证明：过点E作EH BC于点H，连结HF易证EHC FHC,EHC FHC90FH BC, 又EH BCFH EH =H BC平面 EFHEF平面 EFH，BC EF ———————— 6 分(2) 由（ 1）EH BC，EH平面 ABC ，平面 ABC平面 DBC 且交于BCEH平面 ABC解ABC 得AC2 3 ，EC 3 ，在Rt EHC 中，3FH EH2EF6BEF 可得S215，解BEF16 2由等体积法：V C V E EH SBFC 2 15BEF BFC h SBEF———— 12 分5。
2017-2018年福建省南平市建瓯二中高二(上)期中数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年福建省南平市建瓯二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2．（5分）已知p：x2﹣2x﹣3＜0，q：x+2≥0，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题p：若ab=0，则a=0；命题q：3≥3，则（）A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真4．（5分）抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P （A+B）=（）A．B．C．D．5．（5分）取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．B．C．D．不确定6．（5分）要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A．5、10、15、20、25、30 B．3、13、23、33、43、53C．1、2、3、4、5、6 D．2、4、8、16、32、487．（5分）抽查10件产品，设事件A：“至少有两件次品”，则“事件A的对立事件”为（）A．至多有两件次品 B．至多有一件次品C．至多有两件正品 D．至少有两件正品8．（5分）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A．0.6小时 B．0.9小时 C．1.0小时 D．1.5小时9．（5分）已知A（﹣3，0）、B （3，0），若点M（x，y）满足关系式|MA|+|MB|=10，则点M的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为（﹣，0），（，0），则双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=﹣1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（）A．B．2 C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=．14．（5分）命题：“∀x∈N，x3＞x2”的否定是、15．（5分）对于回归方程y=4.75x+2.57，当x=28时，y 的估计值是．16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．三、解答题（共74分）17．（10分）已知椭圆方程为x2+4y2=16，求出其顶点坐标、焦点坐标及离心率．18．（12分）设p：x2+5x﹣6≥0，q：（x﹣3m）（x+m）＞0（其中m＞0），且￢p 是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．．19．（12分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：）20．（12分）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）若m=3，判断p、q的真假；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．21．（12分）从高二（5）班的4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，（1）求所选3人都是男生的概率；（2）求所选3人中至少有1名女生的概率．22．（12分）已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1．（1）求曲线C的方程；（2）若过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A，B两点，设=，求直线m 的方程．2017-2018学年福建省南平市建瓯二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【解答】解：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．故选：B．2．（5分）已知p：x2﹣2x﹣3＜0，q：x+2≥0，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，由x+2≥0得x≥﹣2，则p是q的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）命题p：若ab=0，则a=0；命题q：3≥3，则（）A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真【解答】解：命题p：b可能为0，a不为0，因此是假命题．命题q：3=3，因此为真命题，所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．故选：D．4．（5分）抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P （A+B）=（）A．B．C．D．【解答】解：抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，基本事件总数n=6，事件A+B包含的基本事件有：1，2，3，5，共4个，∴P（A+B）==．故选：C．5．（5分）取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．B．C．D．不确定【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率．故选：B．6．（5分）要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A．5、10、15、20、25、30 B．3、13、23、33、43、53C．1、2、3、4、5、6 D．2、4、8、16、32、48【解答】解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选：B．7．（5分）抽查10件产品，设事件A：“至少有两件次品”，则“事件A的对立事件”为（）A．至多有两件次品 B．至多有一件次品C．至多有两件正品 D．至少有两件正品【解答】解：∵至少有n个的否定是至多有n﹣1个又∵事件A：“至少有两件次品”，∴事件A的对立事件为：至多有一件次品．故选：B．8．（5分）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A．0.6小时 B．0.9小时 C．1.0小时 D．1.5小时【解答】解：==0.9，故选：B．9．（5分）已知A（﹣3，0）、B （3，0），若点M（x，y）满足关系式|MA|+|MB|=10，则点M的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：根据题意，已知A（﹣3，0）、B （3，0），则|AB|=6，若点M（x，y）满足关系式|MA|+|MB|=10，则|MA|+|MB|＞|AB|，则点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆；故选：B．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为（﹣，0），（，0），则双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴设双曲线的方程是，即．又焦点坐标为（﹣，0），（，0），故λ+2λ=6，∴λ=2，∴双曲线方程为﹣=1．故选：C．11．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．12．（5分）已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=﹣1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，焦点F坐标（1，0）因为点A（3，4）在抛物线外，根据抛物线的定义可得|PA|+d的最小值为|AF|=故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=80．【解答】解：n×∴n=80故答案是8014．（5分）命题：“∀x∈N，x3＞x2”的否定是∃x∈N，x3≤x2、【解答】解：由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论．故答案是∃x∈N，x3≤x215．（5分）对于回归方程y=4.75x+2.57，当x=28时，y 的估计值是135.57．【解答】解：∵回归方程y=4.75x+2.57，∴当x=28时，y的估计值是4.75×28+2.57=135.57．故答案为：135.57．16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为．【解答】解：如图，，作DD1⊥y轴于点D1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e==，故答案为：．三、解答题（共74分）17．（10分）已知椭圆方程为x2+4y2=16，求出其顶点坐标、焦点坐标及离心率．【解答】解：椭圆的方程为：x2+4y2=16，其标准方程为：+=1，其中a==4，b==2，则c==2，则椭圆的顶点坐标为（±4，0），（0，±2），焦点坐标为（±2，0）；其离心率e==．18．（12分）设p：x2+5x﹣6≥0，q：（x﹣3m）（x+m）＞0（其中m＞0），且￢p 是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．．【解答】解：当p为真时，x≥1或x≤﹣6﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当q为真时，x＞3m或x＜﹣m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴p⇒q﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴，则m＜；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又m＞0，∴m的取值范围是（0，）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？（参考：）【解答】解：（1），所以回归直线方程为（2），即估计用10年时维修费约为12.38万元．20．（12分）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．（1）若m=3，判断p、q的真假；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．【解答】解：（1）若m=3时，方程x2+mx+1=0为x2+3x+1=0由△=32﹣4=5＞0，得（用韦达定理判断亦可）则方程x2+mx+1=0有两不等的负根，p为真．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）若m=3，方程4x2+4（m﹣2）x+1=0为4x2+4x+1=0△=0，则方程4x2+4（m﹣2）x+1=0有两个相等的实根，q为假．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则解得m＞2即p：m＞2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根则△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0解得：1＜m＜3．即q：1＜m＜3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真．∴或．解得：m≥3或1＜m≤2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）从高二（5）班的4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，（1）求所选3人都是男生的概率；（2）求所选3人中至少有1名女生的概率．【解答】解：（1）设4名男生分别为A、B、C、D，2名女生分别为1、2，从中任选3人参加演讲比赛，则所有基本事件为：（ABC）（ABD）（AB1）（AB2）（ACD）（AC1）（AC2）（AD1）（AD2）（A12）（BCD）（BC1）（BC2）（BD1）（BD2）（B12）（CD1）（CD2）（C12）（D12），共20种，其中所选3人都是男生的事件数为4．∴所选3人都是男生的概率．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）所选3人中至少有1名女生的对立事件是所选3人都是男生，∴所选3人中至少有1名女生的概率为p=1﹣=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．（12分）已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1．（1）求曲线C的方程；（2）若过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A，B两点，设=，求直线m 的方程．【解答】解：（1）解法一：（1）设M（x，y），则由题设得|MF|=|y+2|﹣1，即=|y+2|﹣1当y≥﹣2时，=y+1，化简得x2=4y；当y＜﹣2时，=﹣y﹣3，化简得x2=8y+8与y＜﹣3不合故点M的轨迹C的方程是x2=4y解法二∵点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1．∴点M在直线l的上方．∴点M到F（0，1）的距离与它到直线l′：y=﹣1的距离相等．∴点M的轨迹C是以F为焦点l′为准线的抛物线，所以曲线C的方程为x2=4y （2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，当直线m斜率存在时，设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣2），即y=kx+（2﹣2k），代入x2=4y，得x2﹣4kx+8（k﹣1）=0，（*）△=16（k2﹣2k+2）＞0对k∈R恒成立，所以，直线m与曲线C恒有两个不同的交点，设交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=8（k﹣1），由=得，P为AB的中点，∴x1+x2=4．把②代入得，4k=4，即k=1．∴直线m的方程是x﹣y=0．。
福建省建瓯市芝华中学高二数学上学期第一次阶段考试试题理(2021年整理)
福建省建瓯市芝华中学2017-2018学年高二数学上学期第一次阶段考试试题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（福建省建瓯市芝华中学2017-2018学年高二数学上学期第一次阶段考试试题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2017-2018学年上期高二第一次阶段考(理科）数学试卷时间：120分钟，满分：150分一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分，)1．设a，b是实数，则“a〉b>0”是“a2>b2"的( ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n个学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7人，那么从高三学生中抽取的人数应为( )A．10 B．9 C。
8 D．73．已知椭圆错误!＋错误!＝1(a〉5）的两个焦点为F1、F2，且｜F1F2|＝8,弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为（)A．10 B．20 C．241 D．4错误!4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )A．2 B．3C．4 D．55．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天,则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是（)A。
错误! B．错误! C.错误! D．错误!6。
在区间［－2，1］上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为( )A。
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福建省建瓯市第二中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题考试时间：120分钟；总分：150分班级 姓名 座号一、选择题（每小题5分，共60分）1．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.若一个数是负数,则它的平方不是正数 B.若一个数的平方是正数,则它是负数 C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数 D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数2．已知02:,032:2≥+<--x q x x p ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．命题:p 若0=ab ，则0=a ；命题:q 3≥3。
则（ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．﹁p 为假D ．“p 或q ”为真 4．抛掷一均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则 P （A+B ）=（ ） （A ）21 （B ）61（C ）32 （D ）655．取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是（ ） A.21 B.31 C.41D.不确定 6．从编号（1—60）的60枚最新研制的导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ） A 、3,13,23,33,43,53 B 、5,10,15,20,25,30 C 、1,2,3,4,5,6 D 、2,4,8,16,32,48 7．抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为（ ）A.至多两件次品B. 至少两件正品C.至多两件正品D. 至多一件次品 8．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用 时间的数据，结果用右侧条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时 间为( )(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时9.已知A （-3，0）、B (3,0)，若点M （x ，y ）满足关系式10=+MB MA ，则点M 的 轨迹是（ ）A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线10．已知双曲线的渐近线方程为x y 2±=，焦点坐标为）（0,6),0,6(-，则双曲线方程为（ ）A ．18222=-y xB ．12822=-y xC ．14222=-y xD ．12422=-y x 11．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．3412．已知定点A （3，4），点P 为抛物线y 2=4x 上一动点，点P 到直线x=－1距离为d ，则|PA|+d的最小值为（ ）A ．．2 C ．．二、填空题（每小题5分，共20分）13．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5。
现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品共有16件，那么此样本的容量n = 件。
14、命题“23x x N,x >∈∀”的否定是______ ________15．对于回归方程25775.4ˆ+=x y，当x=28时，y 的估计值是 。
16．已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且BF =2FD ,则C 的离心率为 .答案卷一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、 ；14、 ；15、 ；16、 。
三、解答题（共74分）17．（10分）已知椭圆方程为22416x y +=，求出其顶点坐标、焦点坐标及离心率.18．（12分）设065:2≥-+x x p ，()()03:>+-m x m x q （其中m >0），且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.。
19．（12分）假设关于某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：若由资料知，y 对x 呈线性相关关系，试求： （1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？20．（12分）已知p :方程x 2＋mx ＋1=0有两个不等的负根；q :方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．（1）若3=m ，判断p 、q 的真假；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．21．（12分）从高二（5）班的4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛, （1）求所选3人都是男生的概率;（2）求所选3人中至少有1名女生的概率22．（12分）已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线y l ：＝2-的距离小1. （1）求曲线C 的方程；（2）若过点P （2,2）的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，设PB AP =，求直线m 的方程。
参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、80；14、20300,x x N x ≤∈∃；15、390；16三、解答题（共70分）17．（10分）解：椭圆的标准方程为221164x y +=4,2,a b c ∴===-------------------2分顶点坐标为(4,0),(0,2)±±，焦点坐标为(±，离心率为c e a ==------------10分18．（12分）解：当p 为真时，x ≥1或x ≤-6 -------------------2分当q 为真时，x ＞3m 或x ＜-m -------------------4分 ∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件∴q p ⇒-----------6分∴⎩⎨⎧-><6-13m m 则31<m ； -------------------10分又m >0∴m 的取值范围是310<<m ------------12分 19．（12分）18、解：（1）列表如下：51522215112.354512.31.239054105i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯====-⨯-∑∑ -------------------5分5 1.2340.08a y bx =-=-⨯= -------------------7分∴回归直线方程为 1.230.08y x =+ -------------------8分 （2）当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=（万元）即估计用10年时，维修费用约为12.38万元。
-------------------12分 20．（12分）(1)解：若3=m ，方程x 2＋mx ＋1=0为x 2＋3x ＋1=0 由△=05114-32>=⨯⨯，得253±-=x （用韦达定理判断亦可） 则方程x 2＋mx ＋1=0有两不等的负根，p 为真。
-------------2分 若3=m ，方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0为4x 2＋4x ＋1＝0△=0，则方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0有两个相等的实根，q 为假。
-----4分（2）若方程x 2＋mx ＋1=0有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆042m m 解得m ＞2即p ：m ＞2 -------------------6分 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0解得：1＜m ＜3.即q ：1＜m ＜3. -------------------8分 因“p 或q ”为真，所以p 、q 至少有一为真，又“p 且q ”为假，所以p 、q 至少有一为假， 因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假或p 为假，q 为真.∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或解得：m ≥3或1＜m ≤2. -------------------12分 21．（12分）（1）解：设4名男生分别为A 、B 、C 、D ，2名女生分别为1、2，则所有基本事件为（ABC ）（ABD ）（AB1）（AB2）（ACD ）（AC1）（AC2）（AD1）（AD2）（A12）（BCD ）（BC1）（BC2）（BD1）（BD2）（B12）（CD1）（CD2）（C12）（D12)，共20种，其中所选3人都是男生的事件数为4.51204P ==-------------------6分 （2）所选3人恰有2女生的事件数为1242414,205C C P ⨯=== ----------9分 所选3人中至少有1名女生的概率为314555+= -------------------12分22．（12分）（1）解法一设.12)1(,12y MF ),,(22-+=-+-+y y x y x M 即 ＝则由题意得............2分 当y ≥-2时；y x y y x 4,1)1(222=+=-+两边平方得； ............4分当y ＜-2时，3)1(22--=-+y y x两边平方得882+=y x ，因y ＜-2，不合题意，舍去.故点M 的轨迹C 的方程是：y x 42=. ............6分 解法二 ∵点M 到点F （0，1）的距离比它到直线y l ：＝-2的距离小1.∴点M 在直线l 的上方. ∴点M 到F （0，1）的距离与它到直线y l ：'＝-1的距离相等. ∴点M 的轨迹C 是以F 为焦点'l 为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为y x 42=. （2）当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意，当直线m 与x 轴不垂直时，设直线m 的方程为)22()2(2k kx y x k y -+=-=-，即. 代入 y x 42=得，.0)1(842=-+-k kx x ① )22(162+-=∆k x ＞0对k ∈R 恒成立.∴直线m 与曲线C 恒有两个不同的交点。
............9分设交点A ，B 的坐标分别为A （11,y x ）B （22,y x ），则k x x 421=+.)1(821-=k x x .由=得，P 为AB 的中点，∴421=+x x .把②代入得，1,44==k k .∴直线m 的方程是0=-y x . ............12分。