九年级(下)第2讲——相似三角形
人教版数学九年级下册27.2.2《相似三角形的性质》教案
人教版数学九年级下册27.2.2《相似三角形的性质》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.2《相似三角形的性质》是学生在学习了相似三角形的概念和性质之后的一个深化和拓展。
本节内容主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生理解和掌握相似三角形的性质，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了相似三角形的概念和性质，对相似三角形的知识有一定的了解。
但学生在运用相似三角形的性质解决实际问题时，往往会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生更好地理解和运用相似三角形的性质。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。
2.培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.提高学生的数学兴趣，使学生能够自主学习，提高学习效果。
四. 教学重难点1.掌握相似三角形的性质。
2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索，从而激发学生的学习兴趣。
通过案例教学，让学生直观地理解和掌握相似三角形的性质。
通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾相似三角形的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过多媒体展示相似三角形的性质，让学生直观地理解和掌握。
同时，教师结合性质给出相应的例题，让学生进一步理解和运用。
3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
教师在过程中给予个别学生指导，确保学生能够正确地运用相似三角形的性质解决问题。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生分享自己的解题心得，互相学习和交流。
九年级相似三角形的性质及判定讲
龙文教育学科教师辅导讲义全等三角形的判定 SAS SSS AAS （ASA ） HL 相似三角形 的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 29、三角形三条中线的交点叫做重心；三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点距离的的两倍。
三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ 8 ”型。
在利用定理证明时要注意A 型图的比例AD AB DE BC AEAC==，每个比的前项是同一个三 角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成AD DB DE BC AEEC==的错误。
2、 相似三角形的基本图形Ⅰ.平行线型：即A 型和8型。
Ⅰ.相交线型 A.具有一个公共角，在△ABC 与△ADE 中∠A 是它们的公共 角，且∠A DE =∠C具有一条公共边和一个公共角在△ABC 与△BDC 中CB 是它们的公共边， 且∠C BD =∠A ，∠C 是它们的公共角。
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结相似三角形作为九年级数学中的重要内容，涉及到比例、角度、边长等概念。
在本文中，我们将对九年级相似三角形的相关知识点进行总结。
以下是该知识点的详细内容：一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。
在两个相似三角形中，对应角度相等，对应边长成比例。
1. 对应角相等性质：若两个三角形的内角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. 对应边成比例性质：若两个三角形的三条边之间成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. 相似三角形的比例关系：设两个相似三角形A和B，它们的对应边长分别为a、b和c、d。
则有以下比例关系成立：a/b = c/d = k （k为比例系数）二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，常用以下方法：1. AA相似判定法：若两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。
2. AAA相似判定法：若两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。
3. SSS相似判定法：若两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形一定相似。
三、相似三角形的性质应用相似三角形的性质在解决实际问题中有广泛的应用。
以下是相似三角形的性质在实际问题中的应用：1. 测量不可达长度：在实际测量中，有时由于某些原因，无法直接测量出几何图形中的某些边长。
利用相似三角形的比例关系，可以间接计算出这些不可达长度。
2. 高度与距离计算：利用相似三角形的性质，可以求解建筑物高度、山上塔楼高度等实际问题中需要计算的高度和距离。
3. 相似三角形的构造：利用相似三角形的特点，可以进行各种构造问题的求解，如分割线段、求解垂足等问题。
四、相似三角形与比例运算相似三角形的性质与比例运算密切相关。
以下是相似三角形与比例运算的相关内容：1. 比例关系的运用：相似三角形的性质中涉及到边长的比例关系，通过运用比例关系，可以计算出未知边长的具体值。
2. 比例运算的应用：在解决相似三角形实际问题中，我们可以借助比例运算的方法，确定未知量的数值。
数学：27.2.2相似三角形的应用举例课件(人教新课标九年级下)
步行街 D E
建筑物
光明巷
A
胜利街
P
N
Q
练习
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比 例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿 的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高 楼的高度是多少米?
C
E
请同学们自已解答 并进行交流
D
例3：已知左，右并排的两棵大树的高分 别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距 离BD=5m。一个身高1.6m的人沿着正对 着两棵树的一条水平直路从左向右前进， 当他与左边较低的树的距离小于多少时， 就不能看见右边较高的树的顶端点C？
仰 ：视线在水平 线以 角 上的夹角。
A B
D
E
C
4、如图，一条河的两岸有一段是平行的， 在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边 每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电 线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两 棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．
5. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落 在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网 球是直线运动)
B
D
C
E
BD EC 120 50 解得AB 100(米) DC 60 答： 两岸间的大致距离为100米．
(方法二) 我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选点 D和 E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视线 EA相交于点C。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸 间的大致距离AB了。 A 此时如果测得DE＝120米， BC＝60米，BD＝50米，求 两岸间的大致距离AB． B
人教版九年级数学下册27.2.2相似三角形的性质说课稿
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将在教学中采取以下策略或活动：
1.创设生活情境，引入与相似三角形相关的实际问题，让学生感受到数学知识的实用性和趣味性；
2.设计具有挑战性的探究活动，引导学生通过自主探究、合作交流发现相似三角形的性质；
在总结反馈阶段，我将采取以下方式引导学生自我评价并提供有效的反馈和建议：
1.自我评价：让学生回顾本节课所学内容，总结相似三角形的定义、判定方法和性质，评估自己的学习效果；
2.互相评价：组织学生相互评价，鼓励他们提出建议和意见，促进学生之间的交流；
3.教师反馈：针对学生的表现，给予肯定和鼓励，对存在的问题进行指导，提供改进的建议。
板书在教学过程中的作用是帮助学生梳理知识结构，强化记忆。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将：
1.在课前精心设计板书内容，确保逻辑性和条理性；
2.在课堂中适时更新板书，突出重难点；
3.使用不同颜色粉笔，区分关键信息和辅助信息，提高视觉效果。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到以下可能出现的问题或挑战：
3.利用多媒体教学资源，如动画、图片等，形象生动地展示相似三角形的性质，提高学生的学习兴趣；
4.适时给予学生鼓励和肯定，增强他们的自信心，培养良好的学习氛围；
5.组织课堂讨论和小组竞赛，激发学生的学习积极性，培养团队协作能力。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用的主要教学方法包括启发式教学、探究式教学和情境教学。选择这些方法的理论依据如下：
2.多媒体资源：课件、动画、图片等，形象生动地展示相似三角形的性质，提高学生的学习兴趣；
人教版九年级数学下册 第27章 相似 相似三角形 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定(1)
是( C )
A．23
B．1 C．32
D．2
平行线分线段成比例的基本事实及推论
DE
DE
2．(8分)如图，若l3∥l4∥l5，则有
AB BC
＝___E__F______，
AB AC
＝____D_F_____，
EF
BC AC
＝____D__F___.若a＝2，b＝3，则c∶d＝___2_∶__3____．
(变式)如图，已知AB∥CD∥EF，有如下说法：其中正确的有_③___． ①ADDF ＝BBCE ；②DAFF ＝EBCC ；③ABFE ＝ABDC ；④DCEF ＝ABDC .
4．(4分)已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，若想使这两个三角形相似，则△DEF的另两边长是( C )
3．(8 分)(教材 P34 练习 T1 变式)依据下列条件，判断△ABC 和△A′B′C′是否相
似，并说明理由． (1)AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，A′B′＝12，A′C′＝8，B′C′＝16； (2)BC＝2，AC＝3，AB＝4，B′C′＝ 2 ，A′C′＝ 3 ，A′B′＝2.
解：(1)∵AA′CB′ ＝18 ，AA′CB′ ＝11.25 ＝18 ，BB′CC′ ＝126 ＝18 ，∴AA′BC′ ＝AA′BC′ ＝BB′CC′ ，
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm 5．(4分)如图，下面是四位同学用无刻度直尺在网格中画的钝角三角形，其中 会相似的两个三角形是( D ) A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④
6．(4 分)如图，在△ABC 和△ACD 中， AC＝ 6 ，AD＝2，AB＝3，BC＝ 3 ， 当 CD＝___2_时，△ABC∽△ACD.
人教版九年级数学下册《相似三角形》
相似三角形
1
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 两角对应相等的两个三角形相似。
(2) BC是圆O的切线，切点为C.
(3) 移动点A,使AC成为⊙O的直径,你还能 得到哪些结论?
8
BF=4
结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF 2、CD²=AD×BD BC²=BD×AB AC²=AD×AB
9
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；
C
DE∥BC
C
(5)
BD ∠BAD=∠C
C
A
DB
∠ACB=90°，
AB2=BD·BC
CD⊥AB
B
C
E
(6)
D
A
C B ∠D=∠C
12
问题：
如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点 （与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：
（（12））若△EA为BEBC与的△中E点CF，是连否结相AF似,图？中并有证哪明些你相的似结论。
即：
m 5
3 13 m 4
3 13
4
解得： m
25 9
有公共角∠B, “A”型相似
(2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽ ⊿BDA
则 BP BQ
BD 即：
3
BA
m 13 m
3
13
4 5
人教版数学九年级下册《 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》PPT课件
探究新知 归纳： 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵
AB A' B'
AC A' C
'
，∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . B'
A' A
C' B
C
探究新知
【思考】对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C=∠C′， 这两个三角形一定会相似吗？
B
∴ DF EF 3 .
F
AC BC 5
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴△DEF∽△ABC. D
E
例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD =
AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE.
AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， D
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
巩固练习
已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B' =16， A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理 由.
人教版九年级数学下册：27.2.2 《相似三角形的性质》教学设计2
人教版九年级数学下册：27.2.2 《相似三角形的性质》教学设计2一. 教材分析《人教版九年级数学下册》第27.2.2节《相似三角形的性质》是学生在学习了相似三角形的概念和性质之后的内容。
本节主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
教材通过具体的例题和练习，引导学生探究相似三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了相似三角形的概念，并对相似三角形的性质有一定的了解。
但在实际运用中，对相似三角形的性质的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对相似三角形性质的理解，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、操作能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其运用。
2.学生在实际问题中，如何运用相似三角形的性质解决问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，发现相似三角形的性质。
2.使用案例分析法，让学生在具体的问题中，运用相似三角形的性质解决问题。
3.运用启发式教学法，引导学生主动探究，培养学生的创新精神和合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备练习题和课后作业。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾相似三角形的概念和性质。
例如：在平面直角坐标系中，已知两个三角形的三个顶点坐标，如何判断这两个三角形是否相似？2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题，引导学生观察、分析，发现相似三角形的性质。
通过小组讨论，让学生总结出相似三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，运用相似三角形的性质解决问题。
《相似三角形的判定》说课稿(附教学设计)
《相似三角形的判定》说课稿尊敬的各位评委老师，大家好！今天我说课的内容是人教版初中数学九年级下册《相似三角形的判定》第二课时的内容。
我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学程序四个方面来对本课进行说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用在这之前，学生学习了全等三角形的相关知识，相似三角形是全等三角形的拓广和发展，而相似三角形的判定是相似三角形的主要内容之一，相似三角形的判定是进一步对相似三角形的本质和定义进行的的全面研究，也是学习《锐角三角函数》和《投影与视图》的重要工具，可见这部分内容在教材中具有承上启下的地位。
2、教学目标知识与技能：掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定定理，并会运用它们解决相关问题数学思考：经历探索两个三角形相似条件的过程，体验画图操作、观察猜想、分析归纳的过程；在定理论证中，体会转化思想的应用解决问题：会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理情感目标：通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发他们探索知识的兴趣，体验数学探索与创造的快乐二、说教学重、难点重点：掌握判定定理并学会应用定理判定两个三角形相似难点：探究三角形相似的条件和运用判定定理解决问题三、说教学方法针对初三学生的年龄特点和心理特征，以及他们的知识水平，根据教学目标，本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多媒体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态。
四、说学法这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程。
在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想。
五、说教学过程本课我遵循“教学、学习、探究”同步协调的原则，教学过程将按如下流程展开：一、复习引入1、复习提问：我们已掌握的判定三角形相似的方法有哪些？2、回顾三角形全等的判定方法，然后教师拿出两个大小不等的，但其中一个三角形各边与另一个三角形各边的比相等的三角板，让学生来观察并提问，用前面两种方法能否判定这两个三角形相似呢？学生讨论，教师点评后指出，根据定义所涉及的条件多，根据预备定理要求图形特殊，因此，我们能否探求出条件更简单的判定方法呢？引入课题。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。
当两个图形形状相同时，我们称它们为相似图形，或者简称相似性。
需要注意的是，相似图形强调形状相同，与它们的位置、颜色、大小等因素无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。
当两个图形形状和大小都相同时，这时是相似图形的一种特例——全等形。
相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
需要注意的是，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较，若两线段的长度分别为m和n，则它们的比为a:b=m:n（或bn）。
比的前项为a，后项为b。
比例指两个比相等的式子，如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积，即acbd=adbc。
比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。
其中，反比性质指如果注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。
例如：$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。
5.等比性质：若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$，其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。
注意：(1)此性质的证明运用了“设$k$法”，这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。
`272.1相似三角形的判定第2课时(人教版九年级下)
.
A
D
E
D
E
∵ DE∥BC， ∴ △ADE∽△ABC.
A
B C B 思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
2
结论并予以证明．再探究：当AE= 1 AD (n>2)，而其余
条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等 量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
E A C D K
n
B
【解析】∵AB∥CD，BK= 5 KC，∴ CD =
2
AB
CK BK
=
2 5
.
（2）如图所示，分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB 的延长线于F、G三点，
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
∴ ∠CEF＝∠A.（两直线平行，同位
角相等） ∴ △ADE∽△EFC. （两组对应角分
别相等的两个三角形相似）
初中数学人教版(五四制)九年级下册 33.2相似三角形_教案设计
相似三角形【教学目标】1．了解相似三角形及相似比的概念。
2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论。
3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法。
4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题。
【教学重点】掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似。
【教学难点】探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题。
【教学课时】3课时【教学流程】【第一课时】一、知识迁移类比相似多边形的相关知识回答下面的问题：1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，第2题可以用符号表示为： ∵△ABC ∽△DEF ，∴A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ；AB AC BC DE DF EF==。
如何判断两个三角形相似呢？反过来∵∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ；=k AB AC BC DE DF EF ==， ∴△ABC ∽△DEF 。
介绍：△ABC 与△DEF 的相似比为k ，△DEF 与△ABC 的相似比为1k 。
追问：当k ＝1，这两个三角形有怎样的关系？引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS ，SAS ，ASA ，AAS ）。
类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？二、探究归纳（一）平行线分线段成比例探究1：如图，任意画两条直线1l ，2l ，再画三条与1l ，2l 都相交的平行线3l ，4l ，5l 。
分别度量3l ，4l ，5l 在l 1上截得的两条线段AB ，BC 和在2l 上截得的两条线段DE ，EF 的长度，AB BC 与DE EF 相等吗？任意平移5l 。
AB BC 与DE EF 还相等吗？当3l //4l //5l 时，有AB DE BC EF =，BC EF AB DE =，AB DE AC DF =，BC EF AC DF=等。
人教版九年级下册数学 相似三角形的性质与判定
人教版九年级下册数学相似三角形的性质与判定归纳总结:1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.2.平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等；平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.3.相似三角形的判定：①如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.4. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的面积比等于 .（2）相似三角形对应边，对应角。
（3）相似三角形的对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）之比和周长之比都等于 .5. 相似三角形的概念：对应角、对应边的两个三角形叫做相似三角形，对应边之比叫做 .当相似比为1时，则两个三角形称 .6.四种相似三角形模型：A字、8字、K字、重叠型.1. 如图，点D在△ABC的边AC上，若CD=2，AC=6，且△CDB∽△CBA，则BC的值为．2. 如图，已知△ACD∽△ADB，AC=4，AD=2，则AB的长为．3. 如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则点D 到线段AB的距离等于（结果保留根号）．4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD：BD=9：4，则AC：BC的值为．5. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是．6. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为．8. 如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连接AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C 的坐标为．9. 如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于点F，则= ．10.如图，在△ABC中，已知D、E分别是AB、AC边上的点，且AD=3，AB=8，AC=10，若△ADE与△ABC相似，则AE的长为．11. 如图，正方形ABCD中，AB=2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM为．12. 如图，△ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD=∠ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为13. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？15. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，且MG⊥BC，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）用含t的式子表示MG；（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小面积；（3）若△BMN与△ABC相似，求t的值．16. 如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．。
九年级数学下册教学课件《相似三角形的判定第2课时》
△ABC∽△A'B'C'
证明：在A'B'上截取A'D= AB，作DE∥B'C'交 A'C'于点E. ∵DE∥B'C'
∴△A'DE∽△A'B'C'
A' D = A' E A' B' A' C'
D E
又∵ AB AC ∴ A' B' A' C'
A'D=AB ∴ △ABC∽△A'B'C'
A'E=AC △ABC≌△A'DE
第2课时 相似三角形的判定（2）
R·九年级下册
新课导入 三边对应相等的两个三角形全等，这 是判定三角形全等的SSS方法.
类似地，我们能不能通过三边来判定两 个三角形相似呢？
推进新课
知识点1 相似三角形的判定定理
探究
任意画一个三角形， 再画一个三角形，使它的各边长都是原来三 角形各边长的k倍. 度量这两个三角形的角， 它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与 同学交流一下，看看是否有同样的结论.
两边成比例且夹角相 等的两个三角形相似.
拓展延伸 在△ABC中,∠B=30°，AB=5cm，AC=4cm， 在△A'B'C'中，∠B'=30°，A'B'=10cm， A'C'=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似， 说说是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.
解：不一定. 虽然 AB AC 1
A' B' A' C ' 2
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相似三角形
基础巩固——课前练习
1．在比例尺为1∶5000的地图上，量得甲、乙两地的距离25 cm ，则甲、乙两地的实际距离是（ ）
A ．1250 km
B ．125 km
C ．12.5 km
D ．1.25 km
2．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
4．如图，□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，则CD 的长（ ）
A ．3
16 B ．8 C ．10 D ．16
5．如图，线段AB 与CD 是以原点O 为位似中心的位似图形，若线段AB 上一点P (a ，b )，则直线OP 与线段CD 的交点坐标为（ ）A ．(2a ，b ) B ．(a ，2b ) C ．(a ，b ) D ．(2a ，2b )
6．如图，身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC ＝2米，BC ＝8米，则旗杆的高度是（ ）A ．6.4米 B ．7米 C ．8米 D ．9米
7．厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．(图中阴影部分)其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（ ）
A ．41
B ．4
C ．3
1 D ．43
8．如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC ＝30°，窗户的高在教室地面上的影长MN ＝32米，窗户的下檐到教室地面的距离BC ＝1米（点M 、N 、C 在同一直线上），则窗户的高AB 为（ ）A ．3米 B ．3米 C ．2米 D ．1.5米
9．如图，AD 是锐角△ABC 的高，矩形EFMN 的顶点E 、F 在BC 上，顶点M 、N 分别AC 、AB 上，已知：AD ＝8，BC ＝10，
MN ＝2NE ，则FM 的长为（ ）A ．4 B ．5 C ．
720 D ．13
40 10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，E 为CD 上一点，且AE ＝AB ，M 为AE 的中点，下列结论：① DM ＝DA ；② EB
平分∠AEC ；③ ；③S △ABE ＝S △ADE ；④BE 2＝2AE ·EC ，其中结论正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．如图，A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，且OA ′∶A ′A ＝4∶3，则△ABC 与________是位似图形，位似比为________，△OA ′B ′与________是位似图形，位似比为________
13．已知△ABC 周长为1，连接△ABC 三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第n 个三角形的周长为_______
15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 为斜边AB 上一点，以CD 、CB 为边的平行四边形是菱形，则AD 的长为________
16．如图，BD 是△ABC 的角平分线，AB ＝AC ，∠A ＝36°，则图中与AD 线段相等的是_________，若AB ＝2，则CD 的长为_______
17．已知：如图，△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2，求证：△ABC∽△EAD
18．如图，正方形ABCD中，P为CD的中点，点Q为BC上一点，且PC＝2CQ，求证：∠APQ＝90°
重难点突破——精讲精练
例题1、（14四调）在△ABC中，点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，过点D作DE∥BC交AC于点E．运动时间为t秒．（1）若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，四边形DFCE为平行四边形；（2）连接AF、CD．若BD＝DE，求证：∠BAF＝∠BCD；（3）AF交DE于点M，在DC上取点N，使MN∥AC，连接FN．①求证：
BF
CF
＝
DN
CN
；②若AB＝5，BC＝6，AC＝4，当MN＝FN时，请直接写出t的值．E
A
D
E
A
B C
D
N
M E
A
D
练习1、(1)如图1，AB∥CD,AD与BC交于点P,过P点的直线与AB、CD分别交于E,F.求证：
CF
DF
BE
AE
(2)如图2，在图1中，连接CA、DB并延长相交于O,连接OP并延长交CD于M，求证：点M为CD的中点；
（3）如图3，在图2中，若点G从D点向左移动（不与C点重合）,AG与BC交于点P，连OP并延长交CD于M，直接写出MC、MG、MD之间的关系式。
A
B
C D
E
P
F
A B
C D
O
P
M
图2
A B
C D
O
P
M
图3
G
例题2、（13中考）已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．
（1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证CD
AD CF DE =； （2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得
CD AD CF DE =成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA =BC =6，DA =DC =8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出CF
DE 的值．
练习2、如图，E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为G ,BG 交AE 于点H .(1)求证：ABE ECF ∆~∆ ；（2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；
（3）若E 是BC 中点，BC ＝2AB ，AB ＝2，求EM 的长.
练习3、（13四调）在面积为24的△ABC 中，矩形DEFG 的边DE 在AB 上运动，点F 、G 分别在BC 、AC 上．
（1）若AB=8，DE=2EF ，求GF 的长；
（2）若∠ACB=90°，如图2，线段DM 、EN 分别为△ADG 和△BEF 的角平分线，求证：MG=NF ；
（3）请直接写出矩形DEFG 的面积的最大值．
E F G A B C D 第24题图①
第24题图②A B C D F G E 第24题图③A B C D F G E
能力提升——课后练习
1、(13五调)如图1，AB ⊥MN 于A ，AB=4，点P 是射线AN 上一个动点(点P 与点A 不重合)，∠BPC=∠BPA ，BC ⊥BP ，过C 作CD ⊥MN 于D 。
(1)若AP=2，求CP 的值； (2)点P 在运动的过程中线段CD 的长是否是一个定值？若是，求CD 的长；若不是，请说明理由；(3)当AP= 时，BD 所在的直线与CP 所在的直线相交于点E ，且.6
5=ED BE
2、（14中考）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5 cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4 cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接P Q ；(1) 若△BP Q 与△ABC 相似，求t 的值；(2) 连接
A Q 、CP ，若A Q ⊥CP ，求t 的值
(3) 试证明：P Q 的中点在△ABC 的一条中位线上
3、（14五调）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠C = 90︒，P 点从C 出发，在CB 边上以每秒一个单位的速度向B 运动, 运动时间为t 秒（0≤t ≤4）．BD ⊥AP 于点D ，AC=BC=4，AP:BD=n ．（1）如图,当t =2时，求n 的值； （2）若n =2时，求t 的值； （3）当n 的值为3
4时，直接写出满足条件的t 的值 .
4、（2011.武汉.四月调考）在等腰△ABC 中，AB=AC,分别过点B 、C 作两腰的平行线，经过点A 的直线与两平行线分别交于点D 、E ，连接DC 、BE,DC 与AB 边相交于点M ，BE 与AC 边相交于点N 。
（1）如图1，若DE ∥CB,写出图中所有与AM 相等的线段，并选取一条给出证明；
（2）如图2，若DE 与CB 不平行，在（1）中 与AM 相等的线段中找出一条仍然与AM 相等的线段，并给出证明。
P D C B A
D
D。