由共面圆确定摄像机参数的线性方法[1]

1引言作为建立摄像机图像像素和场景点位置之间关系，求解摄像机模型参数的核心技术手段，摄像机标定是计算机视觉等应用中的基本问题。

针对传统标定方法文献[1]所需的高精度立体标定模块制作困难这一缺点，张正友在文献[2]中提出了用平面模板代替传统的立体定标块的方法。

该方法需要精确定位模板上点阵的物理坐标，而且要求模板与图像之间的点进行匹配。

当图像和选取的点较多时，确定这种匹配关系的代价将变得很大，给使用者带来了诸多不便。

为了摆脱标定过程的人工干预，孟晓桥等在文献[3]中提出了一种基于圆环点的标定方法。

这种方法的优势主要在于去掉了匹配步骤的同时不需了解模板上的物理度量。

但是，该方法要求在图像中精确定位圆心的像点（也即各条直径的像直线的交点），而在有噪声的情况下，各条直径的像直线并不总是交于一点，于是只能规定一个最优点作为圆心的像点，这就大大降低了方法的鲁棒性。

由于确定一条二次曲线比确定一个点或是一条直线需要更多的参数，因此，基于二次曲线的方法应该具有更高的鲁棒性。

文献[4]利用有四个交点的二次曲线作为模板，求得图像中二次曲线的交点后直接利用点对应求解单应性矩阵。

文献[5]利用无交点二次曲线的四条公切线在射影变换下仍为二次曲线的公切线这一事实，在求得二次曲线的四条公切线后，利用线对应来求单应性矩阵。

文献[6]利用有两个交点的圆作为模板，通过求图像中二次曲线的交点来求得圆环点的像，然后计算内参数矩阵。

文献[7]能处理任意分布的两个圆，求出圆环点的像后就能求出内参数矩阵。

以上这些方法都需要求解二元二次的非线性方程组，虽然问题可以转化为一元四次方程的求解，但得出的原方程组的解析表达式是相当复杂的，在实际操作中无法使用。

另外，文献[8-9]给出了利用二次曲线进行标定的线性算法，然而他们的方法都需要知道模板中二次曲线的形状参数和相对位置参数，同时还需要对模板和图像中的二次曲线进行匹配。

最近文献[10-11]利用曲线束，提出了基于圆的线性标定方法，但是这两种方法都对圆的分布有特定的要求，其中文献[10]基于两个同心圆而文献[11]处理的是两个或两个以上无交点圆的模板。

给出了利用平面上任意分布的三个（或更多）圆进行标定由共面圆确定摄像机参数的线性方法韩晓乐，蔡宇，董天，徐明飞，张树功HAN Xiao-le，CAI Yu，DONG Tian，XU Ming-fei，ZHANG Shu-gong吉林大学数学学院，长春130012Department of Mathematics，Jilin University，Changchun130012，ChinaHAN Xiao-le，CAI Yu，DONG Tian，et al.Linear approach for determining camera parameters from coplanar circles. Computer Engineering and Applications，2010，46（1）：160-163.Abstract：In view of camera calibration’s preferable robustness based on conic，a new method for camera calibration based on coplanar circles is proposed.The technique only requires three coplanar circles（or more）which are arbitrarily distributed.There is no demand of orientation of conics，the matching between model plane and image，and solution of non-linear system of equations. In the paper algorithm is described in view of geometry，and it’s validity is proved in view of algebra.Experiment results have shown that the method proposed is not only accurate and robust，but also has the better practicality because the method proposed is not image matching and information about geometric information of conic such as size and position.Key words：conic；camera calibration；circular points；coplanar circles；projective invariant摘要：考虑到基于二次曲线这种几何基元的摄像机标定方法比基于点或直线的方法具有更好的鲁棒性，给出了一种新的基于共面圆的摄像机标定方法。

该方法的主要特点是模板形式简单、易于制作，仅需任意分布的三个或三个以上共面圆，且不需要进行圆环定位；不需要模板与图像之间的匹配；也无需求解任何非线性方程组。

从几何角度对算法进行形象描述，并从代数的角度给出了严格论证。

模拟和真实图像实验表明，该算法精确度高，鲁棒性强，表现出了十分良好的实用性。

关键词：二次曲线；摄像机标定；圆环点；共面圆；射影不变量DOI：10.3778/j.issn.1002-8331.2010.01.048文章编号：1002－8331（2010）01-0160-04文献标识码：A中图分类号：TP391基金项目：国家自然科学基金（the National Natural Science Foundation of China under Grant No.J0630104）。

作者简介：韩晓乐（1988－），男，主要研究领域为计算机视觉；蔡宇（1984－），男，博士研究生，主要研究领域为计算机图形学；董天（1976－），男，博士，副教授，主要研究领域为计算机代数，计算机图形学；徐明飞（1984－），男，硕士，主要研究领域为计算机图形学；张树功（1958－），男，博士，教授，主要研究领域为计算机代数，计算机图形学。

收稿日期：2009-10-15修回日期：2009-11-16的线性方法，对两圆相交、相切、包含、分离等各种分布都能处理。

该方法无需知道圆的任何几何信息和模板与图像的匹配信息、对圆的分布也没有任何要求，因而具有较好的实用性；标定过程是线性的，因而精度和效率都较高；由于所依赖的几何基元是二次曲线，因而算法具有较高的鲁棒性。

2基础知识2.1摄像机成像原理假设从模板平面[X，Y]到图像平面[u，v]的射影变换为：λ（u，v，1）T=K[r1r2t]（X，Y，1）T其中λ为非零尺度因子，K=f u s u00f v v00000001为摄像机的内参数矩阵，[r1r2t]为外参数矩阵，r1，r2为三维旋转矩阵R=[r1r2r3]的前两列，t为三维平移向量。

令H=K[r1r2t]，则H可视为从模板平面到图像平面的二维射影变换的单应性矩阵，在射影变换情形下，有det（H）≠0。

2.2绝对二次曲线与圆环点对于二维射影空间中的点p=（x，y，t）T，若t=0，则称其为无穷远点。

所有的无穷远点构成无穷远直线l∞，其齐次坐标为（0，0，1）T。

同样的，对于三维射影空间中的点P=（X，Y，Z，t）T，若t=0，就称其为无穷远点。

所有的无穷远点构成无穷远平面π∞，其齐次坐标为（0，0，0，1）T。

在无穷远平面π∞上，满足方程P T P=0（即X2+Y2+Z2=0，t=0）的点构成的二次曲线（其矩阵表示为3阶单位阵）称为绝对二次曲线Ω∞。

容易验证，在射影变换之下，绝对二次曲线Ω∞在图像平面上的像为二次曲线K-T K-1。

由此可见，绝对二次曲线的像与摄像机的外参数无关，它包含了摄像机内参数的全部信息。

因而，如果能得到绝对二次曲线的像，则可求出摄像机的全部内参数。

关于外参数的获取，采用了文献[8]的方法，不再赘述。

因此，该文的重点解决对象为摄像机的内参数。

不失一般性，建立世界坐标系使得模板在平面z=0上（计算内参数时无需X，Y轴的具体方位，而在3.1节计算外参数时将给出它们的定位）。

这样，（X，Y，0，0）T（其中X，Y任意）为无穷远平面与模板平面的交线，也即模板平面上的无穷远直线l∞。

特别的，绝对二次曲线上的点（1，i，0，0）T和（1，-i，0，0）T（称为圆环点）在模板平面的无穷远直线l∞上。

显然，圆环点的像在二次曲线K-T K-1上。

这样，如果能够找到足够多（至少三对）圆环点的像，就可以唯一确定二次曲线K-T K-1，从而完成对摄像机内参数的求解。

假设O为模板平面上的任意圆，其上的点（x，y，0，t）T满足方程xt-Ox≠≠2+yt-Oy≠≠2=r2。

计算圆与无穷远直线的交点：将t=0代入上式，可得x2+y2=0，于是得到两个交点（1，i，0，0）T和（1，-i，0，0）T。

这表明平面上任一个圆与该平面上的无穷远直线必定交于两个圆环点[9]。

因此，如果能得到模板上一个圆和一条无穷远直线的像（称为隐消线），则它们的交点即为两个圆环点的像。

3算法原理将从几何观察和代数约束两方面介绍隐消线的求解原理。

3.1几何观察首先，命题1给出了射影几何中的极点极线对应关系的不变性。

命题1极点与极线的对应关系在二维射影变换下保持不变。

证明假设点x关于二次曲线C的极线为直线l，在二维射影变换H下，二次曲线C、直线l、点x的像分别为C′，l′，x′，往证x′关于二次曲线C′的极线为直线l′。

由射影几何理论可知[12]，x关于二次曲线C的极线为l的充要条件为l=C x，即只需证明l′=C′x′即可（本证明中的等式均是在射影意义下成立）。

由上，有x′=H x，l′=H-T l，C′=H-T CH-1，故C′x′=H-T CH-1H x= H-T C x=H-T l=l′，即极点与极线的对应关系在二维射影变换下保持不变。

定义1如果两共面圆所在平面上某点关于两圆的极线重合，则称这点为两圆的公极点。

现在讨论两圆公极点的各种可能情况。

不失一般性，假设圆O1的圆心位于坐标原点，半径为1，圆O2的圆心位于（d，0），半径为r（r≠1）。

3.1.1两圆同心，即d=0此时两圆的矩阵表示分别为：O1=10001000-00001，O2=10001000-r00002。

假设非无穷远点（x，y，1）T为两圆的公极点，则O1·（x，y，1）T=λ·O2·（x，y，1）T，其中λ为非零尺度因子。