18.1勾股定理(1)
18.1 .1勾股定理(1)
CA b a八年级（下）数学教学案系列编号班级：姓名：课题：18.1.1勾股定理（第1课时）主备：张荣审核：yz 时间：2012 年 3 月第 5 周尊敬的家长：孩子成绩的提高需要家长的配合，为了孩子的进步，请督促您的孩子在家认真预习，并完成课堂前置和反馈练习。
家长签字：【教学目标】1、了解利用拼图验证勾股定理的方法2、掌握勾股定理的简单应用3、理解勾股定理的一般探究方法【课堂前置】1、任意三角形的三边关系2、三角形中，较小两边的平方和与第三边的平方大小有什么关系？3、观察图1、图2，图中的等腰Rt△ABC的三边，数量上有什么关系？4、图4，你认为在其他Rt△中，图3中的结论还成立吗？5、归纳：如果Rt△ABC的两直角边长为a、b,斜边为c,那么_________________6、你能将上面的结论，用右下图加以证明吗？证明过程：二次备课图1 图2图3B C a b cAD 【学习探究】1、下面图形都是由三个正方形拼成的图形，试求出第三个正方形面积：S 1，S 22、依据题意，填空①在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，则c=________②在Rt △ABC 中，∠B=90°，a=3，b=4，则c=③在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，则AC ：BC ：AB=________________④在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则AC ：BC ：AB=________________⑤已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为_____________3、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 上的高 ①若a=6，b=8,求CD 的长；②a=40，c=41,求b ；③若a ：b=3 ：4， c=15，求b【课堂检测】1、如图，在等腰△ABC 中，AB=10,BC 边上的高AD=8，求BC 的长；S △ABCS 181144400625S 22、已知直角三角形的两边长为4和3，求第三边的长？3、在Rt △ABC 中，周长为12cm ，一直角边为4cm,求斜边的长？【能力提升】1、已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=25cm ，求AC 、BC 的长。
18.1勾股定理(第1课时)课件
2ab+（b² -2ab+a² ）=c² ∴a² =c² +b²
尝试应用
2、一个门框尺寸如图18.1-2所示，一块长3m，宽2.2m的 薄木板能否从门框内通过？为什么？ 在RtΔABC中，根据勾股定理： AC ＝AB +BC ＝1 +2 ＝5 所以，AC＝ 5 ≈2.236 而AC大于木板的宽，所以木板能从门 框内通过。
第十八章
勾股定理
18.1
勾股定理
第1课时
学习目标
1.掌握勾股定理的推导过程 2.会运用勾股定理解简单类型
的题
自学指导
请同学们认真看课本 64至67页内容，边看 书边理解，并思考下列问题： 1.勾股定理是怎样推出来的？ 2.看懂66页例题 8分钟后，我们看谁回答的最精彩
情境引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家 里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直 角三角形三边的某种数量关系．注意观察，你能有
什么发现？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、数学家、天 文学家。
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面
25
图1-3
4
9
13
结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
那么 a 2 b2 c 2
当堂检测
1、根据图18.1-1你能写出勾股定理的证明过程吗？
c a
b
∵ 1 ab×4+(b-a)² =c²
2 2 2 2 2
18.1 第1课时 勾股定理(沪科版八年级数学下册教案)
第1课时 勾股定理1．经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．(重点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的证明作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．求证：a 2＋b 2＝c 2.解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a ＋b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a ＋b ，∴它们的面积相等．左边的正方形面积可表示为a 2＋b 2＋12ab ×4，右边的正方形面积可表示为c 2＋12ab ×4.∵a 2＋b 2＋12ab ×4＝c 2＋12ab ×4，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．探究点二：勾股定理【类型一】 直接利用勾股定理求长度如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 交AB于点D ，求CD 的长．解析：先运用勾股定理求出AC 的长，再根据S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，求出CD 的长．解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，∴由勾股定理得AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝42，∴AC ＝4cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝A C ·B C A B ＝4×35＝125(cm)，故CD 的长是125cm.方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．【类型二】 利用勾股定理求面积如图，以Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中△ABE 的面积为________，阴影部分的面积为________．解析：因为AE ＝BE ，∠E ＝90°，所以S △ABE ＝12AE ·BE ＝12AE 2.又因为AE 2＋BE 2＝AB 2，所以2AE 2＝AB 2，所以S △ABE ＝14AB 2＝14×32＝94；同理可得S △AHC ＋S △BCF ＝14AC 2＋14BC 2.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以阴影部分的面积为14AB 2＋14AB 2＝12AB 2＝12×32＝92.故分别填94，92.方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．【类型三】 勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A.5＋1 B ．－5＋1 C.5－1 D.5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是5.那么点A 所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的符号后，点A 所表示的数是距离原点的距离．【类型四】 利用勾股定理证明等式如图，已知AD 是△ABC 的中线．求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋CD 2)．解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC交BC于点E.在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．证明：如图，过点A作AE⊥BC交BC于点E.在Rt△ABE、Rt△ACE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．【类型五】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型六】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．解析：应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60；当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．三、板书设计让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步提升学生的说理和简单推理的能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激励学生发奋学习.。
勾股定理18
解：由图可知大正方形的边长为：a+b则面
积为(a+b)2，图中把大正方形的面积分成了四部
分，分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方
形，还有两个长为b，宽为a的长方形.
根据同一个图形面积相等，由左图可得
(a+b)2=a2+b2+4×
1 2
ab，
由右图可得(a+b)2=c2+4×
1 2
ab.
所以a2+b2=c2.
解：1 a c2 b2 252 152 20； 2 A 60,C 90,
c 2b，代入a2 b2 c2 , 得：b 2, c 2b 2 2.
5.已知直角三角形的两边长分别为 3，2， 求另一条边长.
解：当斜边的长为3时，另一条 边长 32 22 5， 当两条直角边长分别为3、2时， 斜边长 32 22 13.
6.如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使 点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求 DE的长.
解：∵∠A=∠C′=∠C=90°, ∠AEB=∠C′ED，AB=C′D, ∴△AEB≌△C′ED. ∴AE=C′E, ∴C′E=AD-ED=8-ED. 又在△EC′D中，
ED2 CE2 CD2 8 ED2 42，解得ED 5.
b
c
2
c
C1 a
化简，得a2+b2=c2.
E a B1 b F
你还有其他的方法证明吗？
c
a
b
bbc
a S=a2+b2
a
小正方形的面积b= (a-b)2 =ac2-4×1 ab
2
即c2=a2+b2.
如图是我国古代证明该命 题的“赵爽弦图”.
18.1 勾股定理第一课时
1．探究活动一
内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：
★问题：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
学生通过观察，归纳发现：
2．探究活动二
内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
（1）观察下面两幅图：
（2）填表：
A的面积
独立思考并回答问题
填写表格
观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质
独立完成
用自己的语言进行表达
小组代表展示实践结果
紧扣课题，自然引入
探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节
议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理
内容：（1）你能用直角三角形的边长 ， ， 来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用 ， ， 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 ．
课题
18.1探索勾股定理
授课
教师
孙盛
单位
合肥市第十三中学
教
学
目
标
知识与技能
用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．
过程与方法
让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．
十八章勾股定理全章教案
第十八章勾股定理18.1 勾股定理课时安排: 4课时第1课时 18.1 .1 勾股定理(1)三维目标一、知识与技能让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．二、过程与方法1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．三、情感态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识，2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．教学重点探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。
从而发现勾股定理．教学难点以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．教具准备学生准备若干张方格纸。
教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗?问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火?问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么童义?为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽?二．实际操作，探索直角三角形的三边关系活动2问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢?问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗?问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗?观察下图，并回答问题：(1)观察图1正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________个单位面积；正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________个单位面积；正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________个单位面积．(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?你是如何得到上述结果的?与同伴交流．(3)?活动3问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗?如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．)问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗?我们通过对A、B、C，A'、B'、C'几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方，一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论?我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0,5，1.2的直角三角形来进行验证．生：也有上述结论．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．勾股定理到底是谁最先发现的呢?我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．三、例题剖析活动4问题：(1)如下图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?(2)求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．解：(1)解：由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：92＋122＝15(m)；15＋9＝24(m)，所以旗杆折断之前高为24m．(2)解：另一直角边的长为172－152＝8(cm)，所以此直角三角形的面积为12×8×15＝60(cm2)．师：你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．四、课时小结1．掌握勾股定理及其应用；2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．五.布置作业六．板书设计18．1．1勾股定理（1）第2课时勾股定理（2）三维目标一、知识与技能1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．2．运用勾股定理解决一些实际问题．二、过程与方法1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．三、情感态度与价值观1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．教学重点经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．教学难点经历用不同的拼图方法证明勾股定理．教具准备每个学生准备一张硬纸板．教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导．如下：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2；所以(a±b)2＝a2±2ab＋b2；生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．例如：图(1)中，阴影部分的面积为a2－b2，用剪刀将(1)中的长和宽分别为(a－b)和b的长方形剪下来拼接成图(2)的形式便可得图(2)中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)．而这两部分面积是相等的，因此(a＋b)(a－b)＝a2－b2成立．生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图(3)我们用两个边长分别a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为(a＋b)的正方形，因此这个正方形的面积为(a＋b)2，也可以表示为a2＋2ab＋b2，所以可得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．师：你能用类似的方法证明上一节猜想出的命题吗?二、探索研究活动2我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：(1)在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，并把它们剪下来．(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗?(3)有人利用图(4)这4个直角三角形拼出了图(5)，你能用两种方法表示大正方形的面积吗?大正方形的面积可以表示为：_______________，又可以表示为________________．对比两种衷示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗?生：我也拼出了图(5)，而且图(5)用两种方法表示大正方形的面积分别为(a＋b)2或4× ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×12 ab＋c2．化简得a2＋b2＝c2．由于图(4)的直角三角形是任意的，因此a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
沪科版八年级下册数学-18.1勾股定理1——两点之间的距离公式-课件(共19张PPT)
x
平面内有一点A（3,4），如何求O，A之间的距 离|OA|？
|OB|=3 |AB|=4 |OA|=5
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,5) C （5，,2）
-2 -1 0 1 2 3 4 5
x
B1
平面上两点A（1,2），B（5,5），如何计算这两点之间的距离|AB|？
|AC|=|xA-xC|=|1-5|=4
两点之间的距离公式
两点间距离公式及应用（复习导入）
A
B
-2 -1 0 1 2 3
|AB|=|-2-3|=|-5|=5
两点间距离公式及应用（复习导入）
C
D
x1
-2 -1 0 1 2 3
x2
|CD|=|x1-x2|
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
|AB|=|5-1|=4
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,2)
|BC|= |yB-yC|=|5-2|=3
|AB|=5
两点间距离公式及应用（授新）
平面上任意两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如何计算AB两点之间的距离|AB|
y
A(x1,y1)
|BC|=|x2-x1|
C(x1,y2)
B(x2,y2)
0
A1
x
平面直角坐标系中两点之间的距离公式:
|AC|=|y2-y1|
两点间距离公式及应用（作业）
1、P62思考 2、P63.3
两点间距离公式及应用（拓展延伸）
1、在平面内，已知A（1，-1），B（b，3），且AB=5，求b 2、已知A（1，1），B（3，-1），C（3，y），且△ABC为等腰三角形， 求y
沪科版八年级数学下册课件.1勾股定理(24张)
c
2
a
=2ab+b2-2ab+a2
c a
b
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c a
b
c a
b
新知探究
方法二 大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ; 也可以表示为c2 + 2ab.
∵ (a+b)2 = c2 + 2ab
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
论中正确的是( A )
A.c2=a2+b2
B.c2=a2+2ab+b2
C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2
解析: 由题意得到四个完全一样的直角 三角板围成的四边形为正方形, 其边长为c, 里面的小四边形也为正方形, 边长为b-a, 则 有c2=ab×2+(b-a)2, 整理得c2=a2+b2. 故选A.
解析: 如图所示, 大正方形的面积是 (a+b)2, 另一种计算方法是4× 1 ab+c2,
2
即(a+b)2=4× 1 ab+c2, 化简得 a2+b2=c2.
2
课堂小测
2. 操作: 剪若干个大小形状完全相同的直角三角形, 三边长分别记为a, b, c. 如图(1)所示, 分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的 形状, 图(2)中的两个小正方形的面积S2, S3与图(3)中小正方形的面积S1有 什么关系? 你能得到a, b, c之间有什么关系?
新人教版八年级下第18章第一节 勾股定理（第一课时）
（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形P、Q、R面积？
P的面积
Q的面积
R的面积
图
（3）正方形P、Q、R面积之间的关系是什么？
（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？
教师出示图表.
学生独立观察并计算图中正方形P、Q、R的面积并完成填表.
教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.
或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.
教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方,归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.
“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知.
得到教科书66页图18.1—3图1，构造了以a、b为直角边的直角三角形，令斜边为c，沿直角三角形的斜边分割从而拼得边长为c的正方形，完成拼图. 学生容易想到：未剪之前，图形面积是a +b ，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c，面积为c .从而得到直角三角形三边的关系：a +b ＝c ，即验证了命题1.
课题
18．1勾股定理（第一课时）
学校
嘉积中学海桂学校
上课教师
刘红军
项目
内 容
理论依据或意图
教
材
分
析
教材地位与作用
《勾股定理》是人教版八年级(下册)第十八章第一节的内容。它是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将数与形密切联系起来,在数学的发展中起着重要的作用，它可以解决许多直角三角形的计算问题,在生产,生活中用途很大。
18.1勾股定理(第1课时)
弦 勾
股
王
辉
2012年3月
菲尔兹奖
18.1 勾股定理（一） 勾股定理（
勾股定理！？？？ 勾股定理！？？？
探究一： 探究一：发现规律
相传2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时， 年前，古希腊数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时， 相传 年前 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边之间的 某种数值关系.你发现了吗 你发现了吗？ 某种数值关系 你发现了吗？ A a c C b B
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
命题１： 命题１ 如果直角三角形的两直角边长分 别为a 斜边长为c 那么a 别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
论证命题
朱实 中黄实 c b a ( b- a) 2 - )
看左边的图案， 看左边的图案，这个图案是 公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注 周髀算经》时给出的， 解《周髀算经》时给出的，人们 称它为“赵爽弦图” 称它为“赵爽弦图”．赵爽根据 此图指出： 此图指出：四个全等的直角三角 红色） 形（红色）可以如图围成一个大 正方形， 正方形，中间的部分是一个小正 黄色）． 方形 （黄色）．
赵爽弦图的证法
S大正方形 = S小正方形 + 4S直角三角形 ab c = (b − a) + 4 ⋅ 2
2 2
朱实 中黄实 c b a ( b- a) 2 - )
c2 = b2 -2ab+ a2+2ab
化简得： 化简得： c2 =a2+ b2．
类似的请同学利用探究材料中的图五和四 个全等的直角三角形按照提示拼一拼图，并列 出与面积有关的等式，然后化简你有什么发现？ 比比看谁先完成！
优秀教学设计——勾股定理
教学反思：勾股定理(一)导学案一、学习目标：1、通过探究直角三角形三边数量关系掌握勾股定理。
2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算和证明。
，3、进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系。
二、学习重点：通过自主学习探究归纳勾股定理。
并进行应用。
三、学习过程：（一）、学前准备：1、查阅资料，网络搜索有关勾股定理的知识。
2、自主阅读课本本节内容。
（二）、创设问题：生活中的数学问题：大风将一根24米的木制旗杆吹裂，裂处距地面9米，随时都可能倒下，十分危急。
接警后“119”迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。
现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？自学、合作探究：（投影仪演示图形）1、（课件演示）等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的回答问题：（1）、正方形A的面积= ，与A的关系如何？(2)、正方形B的面积= ，与A的关系如何？（3）、正方形C的面积= ，与C的关系如何？（4）三正方形的面积有什么关系？（5）、确定三边的关系。
思考：在等腰直角三角形中，两直角边和斜边存在怎样的数量关系？2、（课件演示）在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？网格中任画一个直角三角形三边向外作正方形A、B、C。
然后回答问题：(1)、正方形A的面积= ，与A的关系如何？(2)、正方形B的面积= ，与B的关系如何？(3)、正方形C的面积= ，与C的关系如何？(4)、三正方形的面积有什么关系？（5）、确定三边的关系。
思考：在直角三角形中，两直角边和斜边存在怎样的数量关系？（三）．归纳定理：①用语言表达勾股定理②用式子表达勾股定理③运用勾股定理时该注意些什么?（四）．定理应用：1、小试牛刀在Rt△ABC中, 如图,（1）已知: ∠C=90，°a=12, c=13 , 求b; （此题老师板演作为示范例题）（2已知: ∠B=90°,c=1, a=2 , 求b ; (3) 已知:∠C=90°a=2.4, c=2.5 , 求b;2、应用知识回归生活：大风将一根24米的木制旗杆吹裂，裂处距地面9米，随时都可能倒下，十分危急。
18.1勾股定理(1)
时间： 课 年 题 月 日
案
第（ ）份学案
18. 1
勾股定理（第一课时）
学习目标
1.经历勾股定理的探索过程，掌握勾股定理的简单应用； 2.经历观察、猜想、归纳和验证的数学发现过程，体会形数结合、化归的思想单应用． 勾股定理的证明
一展示勾股树、介绍赵爽弦图
.如图 1，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径” ，在花圃内走出了 一条“路”.他们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1m） ，却踩伤了花草.
. 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C= 90 ，AC=
. ）. D．不能确定
3.若直角三角形的两边长分别为 3cm、4cm，则第三边长为（
4
反思升华
收获和疑问：
二 1.【探究一】 ：观察图 1， （1）你能找出图中正方形 A、B、C 面积之间的关系吗？
（2）图中正方形 A、B、C 所围成的等腰直角三角形三边之 间有什么特殊关系？
2.【探究二】 ：如图 2，每个小方格的边长均为 1， （1）计算图中正方形 A、B、C 面积．
图1
学习过程 设计
【讨论】如何求正方形 C 的面积？
（2）图中正方形 A、B、C 面积之间有何关系？
（3）图中正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三边 之间有 什么特殊关系？
【猜想】 ： 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a、 b， 斜边长为 c， 那么 3． 【探究三】 ：如图 3，如何证明上述猜想？ 【温馨提示】 ：用两种方法表示出大正方形的面积．
．
图3
4． 【探究四】 ：如图 4，如何证明上述猜想？
图4 5. 勾 股 定 理 ： 如 果 直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边 长 分 别 为 a 、 b ， 斜 边 长 为 c ， 那 么 文 述： ． 字 ． 叙
18.1 勾股定理(一)
c c a b b
c
b
a
a
b
化简可得。 方法三：
1 ab 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 2 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, C ∴ ∠ADE = ∠BEC. D ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, c b c a ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. a b A B E ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 1 2 c 它的面积等于 2 . 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC. 1 (a + b )2 ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 2 . 1 (a + b )2 = 2 × 1 ab + 1 c 2 2 2 . ∴ 2
2 2 2
D
。 C=90°，（用几何语言表示） 系： ； 线 ； 边： ；
B
a
c
=90°； 若满足 b2＞c2＋a2，则∠B 是 D 角。 理。 b
E a
c
b
C
1 AC= AB；⑷AC2+BC2=AB2。 2 1 （a+b）2， 2
4．提示：因为 S 梯形 ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA，又因为 S 梯形 ACDG= S△BCE= S△EDA=
A
D 在 CB 的延长线上。 试证明你的结论。
D B C
⑶b=a2 − 1 a2 + 1 2． ；则 b= ，c= ；当 a=19 时，b=180，c=181。 2 2 c = b +1
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1 =7 -4 3 4 2
2
S正方形c
A B
图3-1
C
C
A
B
图3-2
即：两条直角边上的正方形 面积之和等于斜边上的正方 形的面积
把C“补”成边长为7的正方 形,面积等于大正方形的面积 减去4个直角三角形的面积。
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ A a B b
4米
3米
勾股定理的最大作用就是用在计算上， 请同学们用勾股定理来解答下列各题： 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别 是∠A、∠B、∠C所对的边． (1)已知a=6，b=8，求c； (2)已知a=8，c=17，求b； (3)已知c=15，b=9，求a； (4)已知∠A=45°，c=4，求a2．
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
C
B
图1-1
看 一 看
你同 面 去 能学 反 朋 发们 映 友 相 现， 直 家 传 什我 角 作 两 么们 三 客 千 ？也 角 ， 五 来形发百 观三现年 察边朋前 下的友， 面某家一 的种用次 图数砖毕 案量铺达 ，关成哥 看系的拉 看，地斯
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC 直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
C A
图1
A的面 积(单位 长度)
B的面 积(单位 长度)
C的面 积(单位 长度)
B
图2-1 A
9 C B 图2-2
图2
9 4
18 8
4
（图中每个小方格代表一个单位 面积） 分“割”成若干个直角边为整 数的三角形
1 4 3 3 18 2
（单位面积）
1 ab=c2. 2
H
b
D1 a G
A
b c
A1
a
c
c
c c
b
b
C1
b
a
F
C a B E a B1
图中的面积关系是：
S正方形EFGH-4S△ABC=S正方形A1B1C1D1
由此，你能得出勾股定理 的证明方法吗？
化简，得a2+b2=c2.
赵爽弦图
思考：大正方形面积怎么求？
c
a c
a
b
b
1 (b a) 4 ab c 2 2
把C“补” 成边长为6的正方 形，用大正方形面积减去4 个直角三角形的面积。
探究二： 一般的直角三角形 三边为边关系 A B
图3-1
C
S正方形c
1 4 4 3 1 2
C
A
B
图3-2
25 （面积单位）
分割成若干个直角边为 整数的三角形
25 （面积单位）
你能发现图3-1中三个 正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？图3-2中 呢？ SA+SB=SC
运用勾股定理时应注意：
⑴在直角三角形中，认准直角边和斜边； ⑵两直角边的平方和等于斜边的平方。
2
b ห้องสมุดไป่ตู้ 2ab a 2ab c
2 2
2
结论：
a b c
2 2
2
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
a b c
2 2
2
a
c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
应用知识回归生活 y=0
1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂， 树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
Sa+Sb=Sc
c
C
2 2 2 a +b =c
命题：
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
c
弦
B
A
b
勾a ┏
C
股
a2+b2=c2
已知：如图，在Rt△ABC中∠C=90°， AB=c，BC=a，AC=b. 求证：a2+b2=c2.
操作： 请大家用你手中的四个全等的直角三角
形拼成一个大正方形。 已知：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. 求证：a2+b2=c2. 证明 取4个与Rt△ABC全等的直 角三角形，把它们拼成如图所示 的边长为a+b的正方形EFGH。 可以证明四边形A1B1C1D1是边长 为c的正方形（为什么？）。 且 S正方形EFGH-4S△ABC=S正方形A1B1C1D1 即 (a+b)2-4×
S正方形c
S正方形c=6 -4 1 3 3
2
C A B 图2-1 A B
18 （单位面积）
A的面 B的面 C的面 积(单 积(单位 积(单 长度) 位长度) 位长 度)
2
C
图1 图1 A、B、 C面积 关系
9 4
9 4
18 8
图2-2
SA+SB=SC
两直角边的平方和 （图中每个小方格代表一个单位面积）直角三 角形三 边关系 等于斜边的平方
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派， 1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
18.1 勾股定理(1)
一、学习目标
①能说出勾股定理，会初步运用勾股定理进行 简单的计算和实际运用。 ②了解利用拼图验证勾股定理的方法。 ③经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的 能力，体会数形结合和特殊到一般的数学思 想方法，学习古今中外数学家的探索精神。
二、自学提纲
自学课本第50～52页，解决以下问题： 1、如图1-1是一个行距、列距都是1的方格网， A 如何计算图中斜放的正方形C的面积呢？ 2、正方形A、B、C三个面积之间是否存在什么 样的未知关系，如果存在，那么它们的关系 是什么？ 3、勾股定理的内容是什么？ 4、拼一拼：你能用4个全等的直角三角形拼成 含有一个小正方形的正方形，并能用图形的 面积证明勾股定理吗？ 5、完成课本53-53页的练习第1题。