振动理论 第二章 习题解答
机械振动学_第二章单自由度振动系统
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
(完整版)机械振动课后习题和答案第二章习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩&&&00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=V所以：7(/)n rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=&& 其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x=-⎧⎨=⎩& （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=- 弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-V因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+& 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=&& 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩&2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+&） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩&200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
振动理论习题答案
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a＝h 2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
振动理论课后答案
解：
模态函数的一般形式为：
题设边界条件为：
，
边界条件可化作：
，
导出C2= 0及频率方程：
，其中
解：
，
不计质量的梁上有三个集中质量，如图所示。用邓克利法计算横向振动的基频。
图
解：
当系统中三个集中质量分别单独存在时：
， ，
在图所示系统中，已知m和k。用瑞利法计算系统的基频。
图
解：
近似选取假设模态为：
系统的质量阵和刚度阵分别为：
，
由瑞利商公式：
在图所示系统中，已知k和J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。
解：
设该简谐振动的方程为 ； 二式平方和为
将数据代入上式：
；
联立求解得
A=10.69cm； 1/s；T= s
当 时， 取最大，即：
得：
答：振动周期为；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。
1-3一个机器内某零件的振动规律为 ，x的单位是cm， 1/s。这个振动是否为简谐振动试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。
求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是 及 ，悬臂梁的质量忽略不计。
图T 2-7答案图T 2-7
解：
和 为串联，等效刚度为： 。（因为总变形为求和）
和 为并联（因为 的变形等于 的变形），则：
和 为串联（因为总变形为求和），故：
故：
由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图所示。当齿轮转动角速度为 时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为 。已知偏心重W=N，偏心距e=15.0cm，支承弹簧总刚度系数k=N/cm，测得垂直方向共振振幅 ，远离共振时垂直振幅趋近常值 。求支承阻尼器的阻尼比及在 运行时机器的垂直振幅。
第二章 两自由度系统振动
d
2
d1
2
2
2 1 1
2
2
A
(2) 1
1 1 2
d
2
d1
1
2
2 1 2
1
2
两自由度系统振动规律总结
1）两自由度系统有两个固有频率，与之对应有两 个主振型，其形状是确定的，都只与系统物理 参数有关，与初始条件无关 2）两个质点的振动均为两个不同频率的谐振动的 叠加，只有当两个固有频率比之为有理数时， 才是周期振动，振幅和相位与初始条件有关。 3）主振动实现： 1 1 实现第一主振动 d2 d1 , 2 1 实现第二主振动
2.3 动力减振器 一个重要应用，动力减振器的设计。其中， m2 ，
k2 ， c2 以一个动力减振器的形式存在，如何设计它
们使得主质量 m1 在外力 F 作用下产生的振动变小。
F0 st k1 外力幅引起主质量静变形
0
k1 m1
单独主质量固有频率 单独减振器局部固有频率
a
k2 m2
k2 b m1
k2 c m2
由微分方程理论，可设通解为
x1 A1 sin t
x2 A2 sin t
代入运动方程，令两个方程两边 sin t 前系数 相等，得特征方程
( a 2 ) A1 bA2 0 cA1 (c 2 ) A2 0
A1 2 1 2 2 A1 2 A2
2 a 12 1 a c a c 1 bc 0 b b 2 2 2 2 ac a 2 1 a c 2 bc 0 b b 2 2 对应于 1 的解(微分方程第一特征值解)为：
第二章单自由度无阻尼系统的振动
第二章 单自由度无阻尼系统的振动单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数，这种独立参量称为广义坐标，广义坐标可以是线位移、角位移等。
单自由度系统振动理论是振动理论的基础，尽管实际的机械都是弹性体，属多自由度系统，然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，许多工程实际问题在一定条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。
单自由度系统的力学模型如图2-1所示，图中，m 为质量元件（或惯性元件），k 为线性弹簧，C 为线性阻尼器。
图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统，若该系统不计阻尼，则称之为单自由度无阻尼系统，若在质量元件上作用有持续外界激扰力，则系统作强迫振动，如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用，则系统作自由振动。
下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动，再进一步研究其强迫振动。
2—1 自由振动图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。
现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。
取质量m 的静平衡位置为坐标原点，取x 轴铅直向下为正，当系统处于平衡位置时有，δk mg =，故有静位移δ=mg/k （a ）当系统处在位置x 处时，作用在质量上的力系不再平衡，有：mg x k xm ++-=)(δ (b) 式中:22/dt x d x = 是质量的加速度，将（a ）式代入（b ）式；则得 kx xm -= 即 0=+kx xm （2-1） 注意，上式中-kx 是重力与弹簧力的合力，它的大小与位移x 的大小成正比，但其方向却始终与位移的方向相反，即始终指向平衡位置，故称其为弹性恢复力。
由式（2-1）可以看到，只要取物体的静平衡位置为坐标原点，则在列运动微分方程时，可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。
将（2-1）式改写成 0=+x m k x，令2p mk= 则得 02=+x p x （2-2）这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。
振动理论作业答案y-作业
小质量m的绝对速度为： 2 & & & & & & && va = x12 + y12 = 4R2θ 2 + x2 + 4x2θ 2 + 4Rxθ cos3θ −8Rxθ 2 sin3θ
3
第5章分析力学基础
习题
第5章分析力学基础
习题
r sinα = Rcos3θ 方法2： ΔOBA中 2 2 2 有：r = R + x − 2 Rx cos(90° − 3θ ) = R 2 + x 2 − 2 Rx sin 3θ 小质量m的绝对速度
ω
2 2
2+ 2 k = J 2
ω
2 R
k = 3J
3k ω′ = 10 J
2 R
ω
2 1
2 1
k ≈ 4J
⎫ 2 θ2 )⎪ ⎪ 2 ⎬ 2 θ2 )⎪ ⎪ 2 ⎭
方法1：广义坐标、频率和主振型都与题3－3相同。待定常数由 初始角速度为零，初始转角为[0, 0.01]T，代入下式得到。（ ω 不等于 ω1和 ω2）
1 ⎤ ⎧ A1 cos (ω1t − ϕ1 ) ⎫ ⎧θ1 ⎫ ⎡ 1 ⎨ ⎬=⎢ ⎬ ⎥⎨ ⎩θ 2 ⎭ ⎣ 2 − 2 ⎦ ⎩ A2 cos (ω 2t − ϕ 2 )⎭
+
kT sin ω t ⎧ ⎫ 1 ⎬ 2 2 2 ⎨ 2 J ω − 4 Jk ω + k ⎩ ( 2 k − 2 J ω )T sin ω t ⎭
习题
⎧1 ⎪ (θ1 + θ ⎪2 1 ⎤ ⎧ y1 ⎫ −1 ⎧ 1 ⎫ 1 ⎤ 1 ⎡ 1 ⎡1 ⎨ ⎬ = [u ] ⎨ ⎬ = ⎨ [u ] = [u] = ⎢ ⎢ ⎥ ⎩θ 2 ⎭ ⎪ 1 2 J ⎣ 2 − 2 ⎦ ⎩ y2 ⎭ 2 − 2⎥ ⎣ ⎦ ⎪ 2 (θ1 − ⎩
第二章单自由度无阻尼系统的振动
第二章 单自由度无阻尼系统的振动单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数，这种独立参量称为广义坐标，广义坐标可以是线位移、角位移等。
单自由度系统振动理论是振动理论的基础，尽管实际的机械都是弹性体，属多自由度系统，然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，许多工程实际问题在一定条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。
单自由度系统的力学模型如图2-1所示，图中，m 为质量元件（或惯性元件），k 为线性弹簧，C 为线性阻尼器。
图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统，若该系统不计阻尼，则称之为单自由度无阻尼系统，若在质量元件上作用有持续外界激扰力，则系统作强迫振动，如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用，则系统作自由振动。
下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动，再进一步研究其强迫振动。
2—1 自由振动图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。
现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。
取质量m 的静平衡位置为坐标原点，取x 轴铅直向下为正，当系统处于平衡位置时有，δk mg =，故有静位移δ=mg/k （a ）当系统处在位置x 处时，作用在质量上的力系不再平衡，有：mg x k xm ++-=)(δ (b) 式中:22/dt x d x = 是质量的加速度，将（a ）式代入（b ）式；则得 kx xm -= 即 0=+kx xm （2-1） 注意，上式中-kx 是重力与弹簧力的合力，它的大小与位移x 的大小成正比，但其方向却始终与位移的方向相反，即始终指向平衡位置，故称其为弹性恢复力。
由式（2-1）可以看到，只要取物体的静平衡位置为坐标原点，则在列运动微分方程时，可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。
将（2-1）式改写成 0=+x m k x，令2p mk= 则得 02=+x p x （2-2）这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。
机械振动基础课后习题解答_第2章习题
0.5
1
1
1
1 1/ 3
u1 (t ) u2 (t)
8 4
/ /
9 9
cos(
k 2m
)t
1/9 1/ 9
cos(
2k )t m
(3) 求结构的稳态响应
m1u1(t) k1(u1(t) u2 (t)) m2u2 (t) k1(u1(t) u2 (t)) k2 (u2 (t) v(t))
0 0
(K 2M)φ 0
1
1
2 2
k J
,
2
1
2k 2 J
1 1
φ1
1/
2
,
φ2
1/
2
P88,2-6: 不计刚杆质量，按图示坐标建立运动微分方程，并求出固有频率和固有振型。
系统动能：T
1 2
mu12
1 2
2mu22
系统势能：U
1 2
k (2u1
u2 )2
1 2
k (2u2
P87,2-1: 图示用于风洞试验的翼型剖面由拉伸弹簧k1和扭转弹簧k2支承着，剖面重心G到支承点 的距离为e, 剖面绕重心的转动惯量为J0,试建立系统运动微分方程。
动能：T
1 2
m(h e )2
1 2
J0 2
势能：U
1 2
k1h2
1 2
k2 2
m me
J0
me me2
h
k1
0
(e 0)
)
Re
2k k
k k
2
m
0
0 m
－1
i
f1
f2
eit
u* (t )
1
机械振动 课后习题和答案 第二章 习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-= 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
02振动二解答
0
t = 0s
． A1
简谐振动
A3
p
o
p/3
p/3 A3
x (m)
A2
振动（二）
第九章 振动
三、计算题
1．在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长 l0=1.2 cm而平衡。再经拉动后，该小球在竖直方向作振 幅为A=2cm的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在 正最大位移处开始计时，写出此振动的数值表达式。
2 x2 0.03cos(4p t p )( SI ) 3
合成振动的振幅为
0.02
m．
t = 0s
A1
o
A2
2p/3
p/3
x (m)
2p p j j 2 j1 p 3 3 A A1 A2 0.05 0.03 0.02SI
振动（二）
mm x F G 2 x
3 m 4 pr x 3 mx是以x为半径的球体质量 x m 4 4 3 F G 2 prx prGmx kx x 3 3
振动（二）
m 4 4 3 F G 2 prx prGmx kx x 3 3
第九章 振动
此力与简谐振动的受力特征一致，故质点作简谐运动。 质点从地面（最大位移处）落到地心（平衡位置）所 需的时间为
j 1.48rad
x 0.781cos(10t 1.48)SI
t = 0s
p
t
A2
3p/2
o
A1
x (m)
振动（二）
第九章 振动
二、填空题
燕山大学振动理论习题答案
k123
k1k23 k1 k23
2k 3
k1234
k123k4 k123 k4
1k 2
（1） mg
k1234 x0 ， x0
2mg k
（2）
xt
x0
cosnt
，
xm a x
2x0
4mg k
2-7 图 2-7 所示系统，质量为 m2 的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮 绕轴的转动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统 的固有频率。
2π l a
h 3g
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为 R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图 2-3 所示。 试求
其摆动的固有频率。
图 2-3
图 2-4
2-4 如图 2-4 所示，一质量 m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下 列情况
系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
n
ke m
2-5 试求图 2-5 所示系统中均质刚性杆 AB 在 A 点的等效质量。已知杆的质量为 m，A
端弹簧的刚度为 k。并问铰链支座 C 放在何处时使系统的固有频率最高？
图 2-5
图 2-6
2-6 在图 2-6 所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知 m=50kg，k1 9800 N m ， k2 k3 4900 N m ， k4 19600 N m 。试问： （1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
E P02
2
k (1 2 )2 (2)2
证明
E T c2B2 cos(t )dt cB2 0
振动理论-第2章 单自由度系统的自由振动
c
l
解：梁重物处的静变形为
st
Wc2 (l c)2 3lEI
则：
3lEI k c2 (l c)2
1g f
2 st
例3. 已知：升降机吊笼，以等速 v0 下降，钢丝绳视为弹簧，
若A端突然停止，求钢绳所受到的最大应力。
W 10000lbf l 62 ft A 2.5in2 E 15106lbf / in2
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs is made of G 80109 N / m2
(boom) to deform by an amount x2 x cos 45 and the spring k1
Eat 3 4b3
kr
AE l
d2E
4l
1 keq
1 kb
1 kr
4b3 Eat 3
4l d2
E
keq
E 4
at3d 2
d 2b3 lat3
4 等效质量和等效刚度
斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度
Fx F cos F 为弹簧的伸长量
振动理论-单自由度
幅值共振。 2 1 2 而只当频率比r>，2 ,R<1，振幅将小于静变形，这是隔振设 计的理论基础； 且只有当阻尼比 < 2 / 2 时，共振曲线才有峰值； 8. 阻尼只在共振区才能有效地降低振幅，在共2
1
9. 品质因数(quality factor)Q: Q 1/ 2 令 来表示振动系统的衰减程度,阻尼小时 共振曲线峰陡峭，阻尼大时共振曲线峰平缓；可以证明，品 质因数 Q与半功率带宽 有如下关系：
可以求得： B
B0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
tg 1
2 1 2 P /m P q B0 0 0 , 2 n k/m k n
B0，r 分别为静变形和频率比。 由上两式表示的振幅、相位和 频率的关系称之为幅-频特性和 相-频特性，见右边曲线，幅-频 特性曲线的纵坐标是放大因子： R=B/B0，表示稳态受迫振动振 幅和静变形的比值。
Q n /
这是测量系统阻尼的另一种方法。 2.4.2 周期激励 机械系统中产生的激励大多数不是简谐激励，而是周期性激 励。在这种情况下，只要将激励力用Fourier级数展开成一系 列简谐激励之和，然后分别求解再叠加（线性系统适用叠加 原理）就可以了。
2.4.3 任意激励 在许多工程实际中振动系统所受的激励可能是非周期性的，而是任 意的时间函数，无法用谐波分析的方法来展开。常用的研究方法 是将这些干扰看成是一系列脉冲作用的结果。在任意激励的情况 下，系统通常没有稳态振动而只有瞬态振动；在激励作用停止后， 系统即按固有频率继续作自由振动。
x(t ) xc (t ) x p (t ) Aent sin(d t ) B sin(t )
Xc(t) 为瞬态振动(transient vibration)，随着时间的增加很快衰减掉， Xp(t)又称为稳态振动(steady-state vibration)，在受迫振动中起 主要作用。
《振动理论》课后习题答案
1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5 Hz的简谐振动时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制?解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为，x=A sin10πt；由物体的受力分析，N = 0（极限状态）物体不跳离平台的条件为：；既有，,由题意可知Hz，得到，mm。
1-2有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为cm及cm 时的速度分别为20 cm/s及cm/s，求其振动周期、振幅和最大速度。
解：设该简谐振动的方程为；二式平方和为将数据代入上式：；联立求解得A=10.69cm；1/s；T=s当时，取最大，即：得：答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。
1-3 一个机器内某零件的振动规律为，x的单位是cm，1/s 。
这个振动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋转矢量表示这三者之间的关系。
解：振幅A=0.583最大速度最大加速度1-4某仪器的振动规律为。
此振动是否为简谐振动?试用x- t坐标画出运动图。
解：因为ω1=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因为T1=2π/ω T2=2π/3ω，所以，合成运动为周期为T=2π/3ω的非简谐运动。
两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。
1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为和，试求它们的合成的复数表示式，并写出其实部与虚部。
解：两简谐振动分别为，，则：=3cos5t+3isin5t=5cos(5t+)+3isin(5t+)或；其合成振幅为：=其合成振动频率为5t，初相位为：=arctan 则他们的合成振动为：实部：cos(5t+ arctan)虚部：sin(5t+ arctan)1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。
解∶三角波一个周期内函数x (t)可表示为，由式得n=1，2，3……于是，得x(t)的傅氏级数1-7将题1-7图的锯齿波展为傅氏级数，并画出频谱图。
大学物理教程第2章习题答案
。若t=0时，物体
解：设物体的振动方程为 则
（1） 由及 得物体的振动周期：（s）
（2） 加速度最大值： （3） 由t=0时,得
解之得： 质点的振动方程为：m
2.3 一弹簧振子作简谐振动，求：当位移为振幅的一半时，其动能 与总能量的比。
解：设振子振动方程为： 若t0时刻位移为振幅的一半，即 振动速度：
率是多少？
答：该质点动能的变化频率是2n。
2.8 受迫振动的频率是否由振动系统的固有频率所决定？ 答：不是。
2.9 产生共振的条件是什么? 答：策动力的频率接近振动系统的固有频率。
2.10 同方向同频率的简谐振动合成后的振动一定比分振动强度大 吗？
答：？ 答：机械波的产生，首先要有波源，即作机械振动的物体，其次，
解：由图知A=2cm
用旋转矢量图求解，如图所示，由图知：t=0时刻质点的初相位为：
图2-19 习题2.7用图
或 从t=0时刻到t=1时刻矢量转过的角度为
所以 则振子振动方程为：
cm
2.8 如图2-20所示，有一水平轻质弹簧振子，弹簧的倔强系 数k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒 力F=10N向左作用于重物(不计与水平面的摩擦)，使之由平衡位置向左 运动了0.05m，此撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求 重物的运动方程。
2.11 用聚焦超声波的方法，可以在液体中产生强度达120 kW/cm3
的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为500kHz，液体的密度为 1g/cm3 ，声波为 1500m/s ，求这时液体质点振动的振幅。
解：因为，所以 m
2.12 频率为500kHz，声强为 1200W/m2，声速为 1500 m/s的超声 波，在水中传播时，求其声压振幅为多少大气压？又位移振幅、加速度 振幅各为多少？
第二章 振动结构模态分析
2.2 单自由度系统自由振动 ——有阻尼
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
mx cx kx 0
x Aet
m2 c k 0
2 2 2 0
1,2 2 1
2 k
m
c 2
m
2.2 单自由度系统自由振动——有阻尼
n
x(t) qi (t)i q(t) i1 T M q(t) T Cq(t) T Kq(t) T f (t)
miqi (t) ciqi (t) kiqi (t) iT f (t)
2.6 多自由度系统振动响应
频响函数：
Mx(t) Cx(t) K x(t) f (t)
x(t) Xeit
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
t
x(t) 0 f (t )h( )d
2.3 单自由度系统强迫振动——频响函数与单位脉冲函数
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
定义：
(1)简谐激励时，稳态输出相量与输入相量之比。
(2)瞬态激励时，输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。
表示体系可能存在的n个振型
对应的频率。具有最低频率的阵型称之为第一阶振型，第二低频率
对应的振型为第二阶振型。
2.5 多自由度无阻尼系统自由振动
振型分析：Mx(t) K x(t) 0
x(t) Xsin( t )
1
(K 2M)X 0 1.特征向量，或振型，
一般用i来表示；
(K i2M)Xi 0
/
2.3 单自由度系统强迫振动——简谐激励
x(t) 2 x(t) 2 x(t) F0 sin t
m
通解： xc (t) A1 cosdt A2 sin dtexp(t)
结构振动理论2-单自由度系统自由振动
由 dE 0 1、求出运动方程： mx kx 0
dt
有常力作用的机械能： E 1 mx&2 1 k( x)2 Fx
2
2
dE mx&&x& k( x)x& Fx& x&(m&x& kx) 0
dt
由 Ek max E p max E 2、求固有频率
假设 x Asin( pt ) 则 x Apcos(pt )
2
l 0
/
2
y02{3(
x l
)
4(
x l
)3}2
dx
1 2
0.486
ly02
Ek
1 2
me
y02
me 0.486 l
n
ke me
00:03
单自由度系统自由振动
例 铰接式直升机旋翼挥舞振动分析
取微元做受力分析，微元
cos
R
L
2(R cos)d 离心力对铰链轴o的力矩为
θ
ξ
(2 (R cos )d )( sin )
则系统的自由振动方程为: me ke 0
固有频率为:
n
ke me
需要注意的是，me不是梁的总质量，它可以通过梁上各 点位移关系和动能等效的原则求得。
00:03
单自由度系统自由振动
y( x, t )
y0
(t
)[3x l
4(
x )3 ] l
(x 1) l2
Ek
1 2
l y2dm 1 2
0
由此可见，弹性元件并联将提高总刚度，串联将降低总刚
度。这与电学中电阻的并联、串联结论是相反的。阻尼器串联
振动理论第二章习题解答
第二章习题2—1一重块100W N =，支承在平台上，如题2-1图所示。
重块下联结两个弹簧，其刚度均为20/k N cm =。
在图示位置时，每个弹簧已有初压力010F N =。
设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？题2—1图 解答：由题可知：弹簧在初始时的形变00100.520F L cm cm k === 设重块将下落h m ，则：2212.[()]W h k h L L =+- 于是： 4h cm =2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。
轴的直径为d ，剪切弹性摸量为 G ，两端固定。
圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为12l l 和。
解： 以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程 惯性力矩： J θ恢复力矩： 12p p GI GI l l +由动静法得120p p GI GI J l l θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭因此2-4 一均质等直杆AB ，重为W ，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。
()122124322p p GI l l Jl l d I f f ωπωπ+====且由以上各式得线长为l ，两线相距为2a 。
试推导AB 杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出 其固有频率。
解：AB 杆绕重心摆动，则：()2222cos 200: 212330=: 2J a Wa F T T l lJ Fa Wa J l m m J b b Wa mlb a b f θθθϕθθθθθωωπ===+=+===+=∴==惯性力矩: 恢复力矩: 2Fa 其中 : 则 : 即 : 又有则 : 固有频率2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N ·c ㎡，跨度为L=4m ，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。
弹簧刚度K=5kN/cm ，重块质量W=4kN,求两种弹簧的固有频率。
AB(a)(b) 解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度33()2348l mg mgl EI EI==3148l mgEIk ==（a ） 图可以看作弹簧和杆的并联11348e EI k k k k l=+=+弹簧质量系统的固有频率112f π=已知EI=2E10 N ·c ㎡, K=5kN/cm, W=4kN代入数据得111.14f Hz =（b ） 图可以看作弹簧和杆的串联121*e k k k k k =+ 所以2212e k f mπ=代入数据得2 4.82f Hz =2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。
振动理论课后题部分汇总
第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ =则 k =324EJ h设静平衡位置水平向右为正方向，则有"m x kx =-所以固有频率3n 24mh EJ p =2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ 2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θαα h l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθθF sin α2θαFhmgθFg h a l ga h l p T n 3π23π2π222=== 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 和3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=2-4求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
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第二章习题2—1一重块100W N=，支承在平台上，如题2-1图所示。
重块下联结两个弹簧，其刚度均为20/k N cm=。
在图示位置时，每个弹簧已有初压力010F N=。
设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？题2—1图解答：由题可知：弹簧在初始时的形变0100.520FL c m c mk===设重块将下落h m，则：2212.[()]W h k h L L=+-于是：4h cm=2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。
轴的直径为d，剪切弹性摸量为G，两端固定。
圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为12l l和。
解：以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程惯性力矩：Jθ恢复力矩：12p pG I G Il l+由动静法得12p pG I G IJl lθθ⎛⎫++=⎪⎝⎭因此2-4 一均质等直杆AB，重为W，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。
()122124322ppG I l lJ l ldIffωπωπ+====且由以上各式得线长为l ，两线相距为2a 。
试推导AB 杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出 其固有频率。
解：AB 杆绕重心摆动，则：()2222c o s 200: 212330=: 2Ja W a F T T llJ F a W a J lm m J b b W a m lb a bf θθθϕθθθθθωωπ===+=+===+=∴==惯性力矩: 恢复力矩: 2F a其中 : 则 : 即 : 又有则 : 固有频率2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N ·c ㎡，跨度为L=4m，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。
弹簧刚度K=5kN/cm ，重块质量W=4kN,求两种弹簧的固有频率。
AB(a)(b)解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度33()2348l m g m g lE IE I==3148lm gE Ik ==（a ）图可以看作弹簧和杆的并联11348e E I k k k kl=+=+弹簧质量系统的固有频率112f π=已知EI=2E10 N ·c ㎡, K=5kN/cm, W=4kN代入数据得111.14f H z=（b ）图可以看作弹簧和杆的串联121*e k k k k k =+所以212f π=代入数据得2 4.82f H z=2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。
试求系统的相对阻尼系数ζ。
【解】 由（2-33）式得15()5162T A eeA ζωδ===两端取对数，得1ln 25()T ζω==2222ln 2ln 21011000.0221ζπζπζ=⇒=-⇒=2—10列出题2—10图所示系统的振动微分方程，并计算其振动频率。
解：系统运动时的受力如上所示由动静法原理可得：02222=⋅⋅+⋅⋅+⋅⇒=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⇒=∑x lb k xla c x mb x lb k a xla c l x m A令22lca C e =， 22l kb K e =则mwC e 2=ξ ，mk lb W mK We⋅=⇒=2振动频率：242222222421211ca b kmlmlmk lb wmla c W W d -=⋅⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-=ξ2—11如题2—1图所示轴承，轴的直径2,40d c m l c m ==剪切弹性模量628*10/G N c m=。
圆盘饶对称轴的转动惯量为10J kN =·c m ·2s ,并在5s i n 2M t ππ=(k N ·cm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。
2-11解：惯性力矩 J θ∙∙恢复力矩 2p G I l微分方程 25s i n 2p G I J t lθππ∙∙+=所以，振幅 252(2)p B G I J lππ=-已知2,40d c m l c m == ，628*10/G N c m =，10J kN =·c m ·2s , 代入数据得 0.0672B r a d =2—12 已知一弹簧系统，质量块重N W 196=，弹簧刚度cm N k /20=，作用在质量块上的力为t F 19sin 16=，而受阻力为v R 56.2=。
R F 、的单位均为N ，t 的单位为v s ，的单位为s cm /。
求（1）忽略阻力时，质量块的位移和放大因子；（2）考虑阻力时，质量块的位移和放大因子。
解： 系统运动方程为： t F kx xc x m 00sin ω=++系统的稳态响应：222002)2()1()sin()(ζλλϕω+--=t kF t x其中：9.11968.910201920=⨯⨯==ωωλ4002cm c==ωζ)12arctan(2λζλϕ-=忽略阻力时，即，,0=c 则 00==ϕζ，放大因子：383.0211222=+-=）（）（ζλλβ则系统的响应为：tt kF t x 19sin 306.0sin )(002=⋅=ωβ（2）考虑阻力时，则：cm s N c /56.2⋅= 164.0-=radζ放大因子：28.0)2()1(1222=+-=ζλλβ75.0-=ϕ则系统的响应为：)75.019sin(224.0)sin()(002-=-⋅=t t kF t x ϕωβ2—13一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为12s -，弹簧刚度为30/k N cm =，黏性阻尼系数./c N s cm =。
求在外力20c o s 3()F t N =作用下的振幅和相位角。
解答：由题可知： 032ωλω==；015*30.5222*30*1.5c c m k ωζωλ====由于 020F N =则010.342F B c m k =='22a rc ta n ()129481ζλϕλ==-2---14 试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件0t =，0x ='0x =0和质量块上受有F =0s in F t ω时的响应。
解：阻尼较小时，即1ξ<，系统响应为0(c o s s in )s in ()td d x eC tD t B t ξωωωωϕ-=++- '00(c o s s in )(s in c o s )c o s ()ttd d d d x eC tD t eC tD t B t ξωξωξωωωωωωωϕ--=-++-++-其中，2/2a rc ta n1F k B ξλϕλ==-代入初始条件0x ='0x =0，解得 00s in ,(s in c o s )BC BD ϕξωϕωϕω==-因此，系统响应为00/1[sin c o s (sin c o s )sin ]sin ()}td d dF k x et t t ξωϕωξωϕωϕωωϕω-=+-+-2—15 一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上，电动机与平台总质量为100kg ， 弹簧的总刚度k=700N/cm 。
电动机轴上有一偏心质量为1kg ，偏心距离e=10cm ，电机转 速n=2000r/min ，求平台的振幅。
解：由公式02n ωπ=得02n ωπ==22000200//603ra d s ra d s ππ⨯=该系统的振动为偏心振动，故运动微分方程可写为：200s in M x c x k x m e t ωω++=式中，100,1,10,0M kg m kg e cm c ====圆频率/a d s ω=== （）频率比020079.161ωπλω===>>设稳态响应0s in ()x B t ωϕ=-则，由公式2B =（0ζ=）0.102B cm =2-17 写出题2-17图所示系统的振动微分方程，并求出稳态振动的解。
ta x s 0sin ω=题2-17图解：系统运动微分方程为：tka kx x c x m 0...sin ω=++方程的解可表示为：)()()(21t x t x t x +=其中)(2t x 为方程的特解，亦即稳态振动的解，令其形式为：)sin()(02ϕω-=t B t x将)(2t x 及其一阶、二阶导数代入运动微分方程，整理得：20220)()(ωωc m k kaB +-=令λωω=/0 ，则22λω=km ，λζω20=kc ，从而得222)2()1(ζλλ+-=aB于是得系统的稳态响应为：22202)2()1()sin()(ζλλϕω+--=t a t x相应地求得相位角：⎪⎭⎫⎝⎛-=212arctan λζλϕ2-20 试写过如题2-20图所示结构系统的振动微分方程，并求出系统的固有频率，相对阻尼系数和稳态振动的振幅。
解：)sin()(t w a x x x k x c x m o s s =---=得t w ka kx x c x m o sin =++∑=;0OMl m l m 2'⋅=；θk x ='；则 方程转化为 t w ka kx x c x m 0sin 24=++mk w c =，c m w w 21=222)2()1(2'2λξλ+-==aB B2-21 一弹簧质量系统在如题2-21图所示的激振力作用下作强迫振动。
试求其稳定振动的响应。
1解：先将()F t 由图可知，激励的均值002a =()0034430000442c o s 222c o s c o s c o s 23s in s in 22Tj TTTT T a F t j td tTj td t j td t j td t TTTj j j ωωωωπππ==-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰()0034430000442c o s 222s in s in s in 23c o s c o s 220Tj TT TT T b F t j td tTj td t j td t j td tTTTj j j ωωωωπππ==-+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰()01000000c o s 444c o s c o s 3c o s 51.27c o s 1.27c o s 3 1.27c o s 5j j F t a j t t t t t t t ωωωωπππωωω∞=∴==-++=-++∑21T πωωωω==∴=∴系统的响应为()021000222100c o s 1c o s c o s 3c o s 51.27 1.27 1.27lim113150.160.05c o s 3c o s 5j j ja j t x k t t t kkkt t kkλωλωωωλωω∞=→=-=-++---=-∞+-+∑2—22 一弹簧质量系统如题2—22图所示的激振里作用下作强迫振动。