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空间夹角 教案 2022届高三数学二轮复习备考

空间夹角 教案 2022届高三数学二轮复习备考

高三二轮立体几何求空间角问题(讲案)【教学目标】一、直线与平面所成角求解直线与平面所成的角解题的一般思路为:首先建立适当的空间直角坐标系并正确写出各点的空间坐标,并求出平面的法向量,最后运用公式即可得出结果. 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.【例题讲解】★☆☆例1:如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,AB∥EF,AB=2EF,∠EAB=90°,平面ABEF⊥平面ABCD.(1)若G点是DC的中点,求证:FG∥平面AED;(2)求证:平面DAF⊥平面BAF;(3)若AE=AD=1,AB=2,求直线AC与平面BCF成角的正弦值.★☆☆练1:已知多面体P﹣ABCD中,AB∥CD,∠BAD=∠PAB=90°,AB=PA=DA=PD1=CD,M是2PB的中点.(1)求证:PA⊥CM;(2)求直线DB与平面PBC所成角的正弦值.★★☆例2:如图所示,在多面体ABC﹣A1B1C1中,D,E,F分别是AC,AB,CC1的中点,AC=BC=4,AB=CC1=2,四边形BB1C1C为矩形,平面ABC⊥平面BB1C1C,AA1∥CC1(1)求证:平面DEF⊥平面AA1C1C;(2)求直线EF与平面ABC所成的角的正切值.★★☆练1:如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AB ∥CD ,且CD =2,AB =1,1BC PA ==, AB ⊥BC ,N 为PD 的中点. (1)求证:AN ∥平面PBC ;(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值;(3)在线段PD 上是否存在一点M ,使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为26,若存在,求出DMDP的值;若不存在,说明理由.★★☆例3:如图,四棱锥P ﹣ABCD 中,底面四边形ABCD 是直角梯形,PC ⊥底面ABCD ,AB ∥CD ,∠ BAD =90°,AD =CD =1,∠ABC =45°,E 为PB 的中点. (1)求证:BC ⊥平面PAC ;(2)若直线PB 与平面PAC P ﹣AC ﹣E 的余弦值.★★☆练1:如图,半圆弧AB 所在平面与平面ABCD 垂直,M 是AB 上异于A ,B 的动点,∠BAD =∠ADC=90°,AB=AD=2DC(1)证明:MB⊥平面MAD;(2)当直线MB与平面ABCD所成的角为45°时,求二面角D﹣MA﹣C的正弦值.【题型知识点总结】二、二面角所成角的求解【例题讲解】★★☆例1:如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,PD=4,M为PD的中点,E为AM的中点,点F在线段PB上,且PF=3FB.(Ⅰ)求证EF∥平面ABCD;(Ⅱ)若平面PDC⊥底面ABCD,且PD⊥DC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.★★☆练1:如图,四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,∠DAB =90°,AD ∥BC ,△PAB 是等边三角形,DA =AB =2,PD =12BC AD =,E 为线段AB 中点. (1)求证:平面PAB ⊥平面ABCD ; (2)求二面角A ﹣PD ﹣E 余弦值.★★☆例2:如图,已知长方形ABCD 中,AB =2,AD =1,M 为DC 的中点.将△ADM 沿AM 折起,使 得平面ADM ⊥平面ABCM . (1)求证:AD ⊥BM ;(2)若点E 是线段DB 上的一动点,问点E 在何位置时,二面角E ﹣AM ﹣D★★☆练1:已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均相等,且∠BAD =60°,M 是侧棱DD 1的中点,N 是棱C 1D 1上的点.(1)求异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值; (2)若二面角M ﹣AC ﹣N 的大小为4π,试确定点N 的位置.★★☆例3:如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,∠ADC =90°,平面PAD ⊥底面ABCD ,Q 为AD 的中点,M 是棱PC 上的点,PA =PD =2,BC 12=AD =1,CD = (1)求证:平面PQB ⊥平面PAD ;(2)若二面角M ﹣BQ ﹣C 为30°,设PM =tMC ,试确定t 的值.★★☆练1:如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,四边形ABCD 是菱形,点E 在线段PC 上. (1)证明:平面EBD ⊥平面PAC ;(2)若∠ABC =60°,二面角B ﹣PC ﹣D 的余弦值为45-,求ABPA的值.★★☆例4:直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1被平面A1ECD所截得到如图所示的五面体,CD⊥CE,CD⊥AD.(1)求证:BC∥平面A1AD;(2)若BC=CD=BE1=AD=1,求二面角B﹣A1E﹣C的余弦值.3★★☆练1:已知四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD为正三角形,M是PC的中点,过M的平面α平行于平面PAB,且平面α与平面PAD的交线为ON,与平面ABCD的交线为OE.(1)在图中作出四边形MNOE(不必说出作法和理由);(2)若PC=,求平面α与平面PBC形成的锐二面角的余弦值.★★☆例5:如图,在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,BC=2,BB1=4,AB=∠BCC1 =60°.(Ⅰ)求证:平面A1C1B⊥平面ABC;(Ⅱ)若E为CC1中点,求二面角A﹣EB1﹣C1的正切值.★★☆练1:如图,已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DBCE为平行四边形,F是CD的中点(1)证明:OF∥平面ADE;(2)若四边形DBCE为矩形,且四边形DBCE所在的平面与圆O所在的平面互相垂直,AB=2AC=2,AE与圆O所在的平面的线面角为60°.求二面角D﹣AE﹣B的平面角的余弦值.【题型知识点总结】1. 在求二面角时,需要求出两个面的法向量,往往只需要求一个面的法向量即可,另一个面的垂直向量一般在题目中已经得到,可直接设法向量为此向量,可节约时间.2. 在求解二面角的时候,结果有可能是锐角,也有可能是钝角,因此要学会判定,我们知道二面角和两个面法向量的夹角之间的关系为互补或相等,最简单的方法是观察立体图像,直接看出成的是锐二面角还是钝二面角,如果不易看出的,可以观察法向量的方向去判定【课后练习】【巩固练习】★★☆1:在平面多边形ABCDEF 中,四边形ABFE 是边长为2的正方形,四边形DCFE 为等腰梯形,G 为CD 的中点,DC =2FE ,DE =CF =EF ,现将梯形DCFE 沿EF 折叠,使面DCFE ⊥面ABFE . (1)求证:EG ⊥面BDF ;(2)求CB 与平面GEB 成角的正弦值.★★☆2:如图,长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为正方形,AB =1,AA 1=3,BE =21EB ,1A M =2MA , N 是棱C 1D 1的中点,平面AEC 1与直线DD 1相交于点F . (1)证明:直线MN ∥平面AEC 1F . (2)求二面角E ﹣AC ﹣F 的正弦值.★★☆3:如图所示,PA ⊥平面ABC ,点C 在以AB为直径的O Θ上,30CBA ∠=︒,2PA AB ==,点E 为线段PB 的中点,点M在弧AB 上,且//OM AC .(1)求证:平面平面; (2)求证:平面平面;(3)设二面角的大小为,求的值.★★☆4:如图,在五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为矩形,ADE ∆ 为等边三角形,且平面ADE ⊥平面CDEF,AB .(1)证明:平面ADE ⊥平面ABCD ; (2)若BF DF ⊥,求二面角--F BC D 的余弦值.★★☆5:在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形, //AB CD ,60DAB FC ∠=︒⊥,平面ABCD ,//ED FC ,CB CD CF ==.//MOE PAC PAC ⊥PCB M BP C --θcosθ(1)求证: ;(2)求二面角的余弦值.【拔高练习】★★☆1: 已知四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,底面ABCD 为菱形,∠DAB =120°,AA 1 =AB =3AF =3,1A E =λ1A D (0<λ<1).(1)若CE ∥面BDF ,求λ的值.(2)求直线CF 与平面BDF 所成角的正弦值.★★☆2:如图所示,在三棱锥S ﹣BCD 中,平面SBD ⊥平面BCD ,A 是线段SD 上的点,△SBD 为等边三 角形,∠BCD =30°,CD =2DB =4.(Ⅰ)若SA =AD ,求证:SD ⊥CA ;(Ⅱ)若直线BA 与平面SCD,求AD 的长.AD BE ⊥F BD C --★★★3:如图,在四棱锥E ﹣ABCD 中,底面ABCD 是圆内接四边形,CB =CD =CE =1,AB =AD =AE =EC ⊥BD .(1)求证:平面BED ⊥平面ABCD ;(2)设线段AE 的中点为M ,线段AB 的中点为N ,且P 在线段MN 上运动,求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值.★★★4:如图,在四棱锥-P ABCD 中,//AD BC ,ADC 90PAB ∠=∠=︒,12BC CD AD ==.E 为边AD 的中点,异面直线PA 与CD 所成的角为90︒.(1)在平面PAB 内找一点M ,使得直线//CM 平面PBE ,并说明理由;(2)若二面角--P CD A 的大小为45︒,求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.★★★5:如图,四面体ABCD 中,ABC ∆是正三角形,ACD ∆是直角三角形,ABD CBD ∠=∠,AB BD =.(1)证明:平面ACD 平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角--D AE C的余弦值.。

高三数学第二轮复习教案

高三数学第二轮复习教案

高三数学第二轮复习教案第1讲函数问题的题型与方法(3课时)五、函数综合应用函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用:1.在应用中深化基础知识。

在复习中基础知识经历一个由分散到系统,由单一到综合的发展过程。

这个过程不是一次完成的,而是螺旋式上升的。

因此要在应用深化基础知识的同时,使基础知识向深度和广度发展。

2.以数学知识为载体突出数学思想方法。

数学思想方法是观念性的东西,是解决数学问题的灵魂,同时它又离不开具体的数学知识。

函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思想。

此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法。

解较综合的数学问题要进行一系列等价转化或非等价转化。

因此本课题也十分重视转化的数学思想。

3.重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养。

函数是数学复习的开始,还不可能在大范围内综合运用知识。

但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意识是十分重要的。

推理论证能力是学生的薄弱环节,近几年高考命题中加强对这方面的考查,尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的。

本课题在例题安排上作了这方面的考虑。

具体要求是:1.在全面复习函数有关知识的基础上,进一步深刻理解函数的有关概念,全面把握各类函数的特征,提高运用基础知识解决问题的能力。

2.掌握初等数学研究函数的方法,提高研究函数的能力,重视数形结合数学思想方法的运用和推理论证能力的培养。

3.初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系,提高综合运用知识解决问题的能力。

4.树立函数思想,使学生善于用运动变化的观点分析问题。

本部分内容的重点是:通过对问题的讲解与分析,使学生能较好的调动函数的基础知识解决问题,并在解决问题中深化对基础知识的理解,深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用。

难点是:函数思想的理解与运用,推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高。

函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题。

高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案

高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案

高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案一、重点知识结构本章以直线和圆为载体,揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一,而点斜式又是其它形式的基础;两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容;用不等式(组)表示平面区域和线性规划作为新增内容,需要引起一定的注意;曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想,是解决解析几何两个基本问题的依据;圆的方程、直线(圆)与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等,因其易与平面几何知识结合,题目解法灵活,因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件,掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系;3、会用二元一次不等式表示平面区域;4、了解简单的线性规划问题,了解线性规划的意义,并会简单的应用;5、了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题的方法;6、掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中,两点间的距离公式,中点坐标公式,直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透,综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门,应当引起特别注意,本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容,在高考中极有可能涉及,但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础,对基本知识、基本题型要掌握好;求直线的方程主要用待定系数法,复习时应注意直线方程各种形式的适用条件;研究两条直线的位置关系时,应特别注意斜率存在和不存在的两种情形;曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想,随着高考对知识形成过程的考查逐步加强,对坐标法的要求也进一步加强,因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤,又能根据方程讨论曲线的性质;圆的方程、直线与圆的位置关系,圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题;求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法,应熟练掌握,还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

高三数学第二轮复习教案 第10讲 参数取值

高三数学第二轮复习教案 第10讲 参数取值

高三数学第二轮复习教案第10讲 参数取值问题的题型与方法(一)求参数的取值范围的问题,在中学数学里比比皆是,这一讲,我们分四个方面来探讨。

一、若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例1:已知当x ∈R 时,不等式a +cos2x <5-4si nx +45-a 恒成立,求实数a 的取值范围。

分析:在不等式中含有两个变量a 及x ,其中x 的范围已知(x ∈R ),另一变量a 的范围即为所求,故可考虑将a 及x 分离。

解:原不等式即:4si nx +cos2x <45-a -a +5要使上式恒成立,只需45-a -a +5大于4si nx +cos2x 的最大值,故上述问题转化成求f (x )=4si nx +cos2x 的最值问题。

f (x )= 4si nx +cos2x =-2si n 2x +4si nx +1=-2(si nx -1)2+3≤3, ∴45-a -a +5>3即45-a >a +2上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ,解得≤54a <8说明:注意到题目中出现了si nx 及cos2x ,而cos2x =1-2si n 2x ,故若把si nx 换元成t ,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。

另解:a +cos2x <5-4si nx +45-a 即a +1-2si n 2x <5-4si nx +45-a ,令si nx =t ,则t ∈[-1,1], 整理得2t 2-4t +4-a +45-a >0,(t ∈[-1,1])恒成立。

设f (t )= 2t 2-4t +4-a +45-a 则二次函数的对称轴为t =1,∴f (x )在[-1,1]内单调递减。

高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求:1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式;3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项;4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆:回忆近几年高考,对数列概念以及通项一般很少单独考察,往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识,因此,假设这一部分掌握不好,对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关: 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的,数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项,……第n 项……,数列的一般形式可以写成12,n a a a …………,其中是数列的第n 项,我们把上面数列简记为. 数列的分类:1.根据数列的项数,数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况,数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式:1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕,且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以,那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系:1.从函数的观点看,数列可以看成以为定义域的函数()na f n =,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值,反过来,对于函数y=f(x),假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案: 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳:题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法,其本质就是通过观察数列的特征,找出各项一一共同的构成规律,横向看各项之间的关系构造,纵向看各项与项数之间的关系,从而确定出数列的通项.例1.数列12,14,58-,1316,2932-,6164,….写出数列的一个通项公式.分析:通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征:符号、分子、分母,所以应逐个考察其规律.解析:先看符号,第一项有点违犯规律,需改写为12--,由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-;再看分母,都是偶数,且呈现的数列规律是{2}n;最后看分子,其规律是每个分子的数比分母都小3,即{23}n -. 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-. 点评:观察法一般适用于给出了数列的前几项,根据这些项来写出数列的通项公式,一般的,所给的数列的前几项规律性特别强,并且规律也特别明显,要么能直接看出,要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于数列类型的题目.例2.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列,255a S =.求数列{}n a 的通项公式.分析:对于数列{}n a ,是等差数列,所以要求其通项公式,只需要求出首项与公差即可.解析:设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列,∴9123a a a =,即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d,∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得:531=a ,53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评:利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义,设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ,利用该式写出11()n n S f a ++=,两式做差,再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式,从而求出na 。

高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量与复数 第3讲 平面向量与复数教案-高三全册数学教案

高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量与复数 第3讲 平面向量与复数教案-高三全册数学教案

第3讲 平面向量与复数平面向量的概念与线性运算[核心提炼]1.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化;2.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量;在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量.[典型例题](1)(2019·杭州模拟)如图所示,已知AB 是圆O 的直径,点C ,D 是半圆弧的两个三等分点,AB →=a ,AC →=b ,则AD →=( )A .a -12bB .12a -bC .a +12bD .12a +b(2)(2019·金华市十校联考)已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,点P 满足OP →=14(OA →+OB →+2OC →),则S △PAB S △OAB为( )A .32 B .23C .2D .12(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC 中,点D 满足BD →=34BC →,当点E 在射线AD (不含点A )上移动时,若AE →=λAB →+μAC →,则(λ+1)2+μ2的取值范围为________.【解析】 (1)连接CD ,由点C ,D 是半圆弧的三等分点,得CD ∥AB 且CD →=12AB →=12a ,所以AD →=AC →+CD →=b +12a .(2)如图,延长CO ,交AB 中点D ,O 是△ABC 的重心,则OP →=14(OA →+OB →+2OC →)=14(2OD →+2OC →)=14(-OC →+2OC →)=14OC →,所以OP =14OC =14×23CD =16CD ;所以DP =DO +OP =13CD +16CD =12CD ,DO =13CD ;所以S △PAB S △OAB =DP DO =12CD13CD =32.(3)因为点E 在射线AD (不含点A )上,设AE →=kAD →(k >0),又BD →=34BC →,所以AE →=k (AB →+BD →)=k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →+34(AC →-AB →)=k 4AB →+3k 4AC →, 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ=k 4μ=3k4,(λ+1)2+μ2=⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4+12+916k 2=58⎝ ⎛⎭⎪⎫k +252+910>1,故(λ+1)2+μ2的取值范围为(1,+∞).【答案】 (1)D (2)A (3)(1,+∞)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底,同时注意共线向量定理的灵活运用. (2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.[对点训练]1.(2019·瑞安市四校联考)设M 是△ABC 边BC 上的点,N 为AM 的中点,若AN →=λAB →+μAC →,则λ+μ的值为( )A.14B.13C.12D.1 解析:选C.因为M 在BC 边上,所以存在实数t ∈[0,1]使得BM →=tBC →. AM →=AB →+BM →=AB →+tBC →=AB →+t (AC →-AB →)=(1-t )AB →+tAC →,因为N 为AM 的中点, 所以AN →=12AM →=1-t 2AB →+t 2AC →,所以λ=1-t 2,μ=t 2,所以λ+μ=1-t 2+t 2=12,故C 正确.2.(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中,BC =7,AC =6,cos C =267.若动点P 满足AP →=(1-λ)AB →+2λ3AC →,(λ∈R ),则点P 的轨迹与直线BC ,AC 所围成的封闭区域的面积为( )A .5B .10C .2 6D .4 6解析:选A.设AD →=23AC →,因为AP →=(1-λ)AB →+2λ3AC →=(1-λ)AB →+λAD →,所以B ,D ,P 三点共线. 所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中,BC =7,AC =6,cos C =267,所以sin C =57,所以S △ABC =12×7×6×57=15,所以S △BCD =13S △ABC =5.3.(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i =1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB →+λ2BC →+λ3CD →+λ4DA →+λ5AC →+λ6BD →|的最小值是________,最大值是________.解析:以点A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,如图,则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),所以λ1AB →+λ2BC →+λ3CD →+λ4DA →+λ5AC →+λ6BD →=(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6),所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1-λ3+λ5-λ6=0λ2-λ4+λ5+λ6=0时,可取λ1=λ3=1,λ5=λ6=1,λ2=-1,λ4=1,此时|λ1AB →+λ2BC →+λ3CD →+λ4DA →+λ5AC →+λ6BD →|取得最小值0;取λ1=1,λ3=-1,λ5=λ6=1,λ2=1,λ4=-1,则|λ1AB →+λ2BC →+λ3CD →+λ4DA →+λ5AC →+λ6BD →|取得最大值22+42=2 5.答案:0 2 5平面向量的数量积 [核心提炼]1.平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义:a ·b =|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ,b 的夹角);(2)坐标运算:a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)时,a ·b =x 1x 2+y 1y 2. 2.平面向量的三个性质(1)若a =(x ,y ),则|a |=a·a =x 2+y 2. (2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 |AB →|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.(3)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为a 与b 的夹角,则cos θ=a·b |a||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21x 22+y 22. [典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2-4e·b +3=0,则|a -b |的最小值是( )A .3-1B .3+1C .2D .2- 3(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=k ,|c |=2-k 且a +b +c =0,则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________.【解析】 (1)设O 为坐标原点,a =OA →,b =OB →=(x ,y ),e =(1,0),由b 2-4e ·b +3=0得x 2+y 2-4x +3=0,即(x -2)2+y 2=1,所以点B 的轨迹是以C (2,0)为圆心,1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3,所以不妨令点A 在射线y =3x (x >0)上,如图,数形结合可知|a -b |min =|CA →|-|CB →|=3-1.故选A. (2)设b 与c 的夹角为θ,由题b +c =-a , 所以b 2+c 2+2b ·c =1.即cos θ=2k 2-4k +32k 2-4k =1+32(k -1)2-2. 因为|a |=|b +c |≥|b -c |,所以|2k -2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以-1≤cos θ≤-12.【答案】 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,-12(1)平面向量数量积的计算①涉及数量积和模的计算问题,通常有两种求解思路(ⅰ)直接利用数量积的定义; (ⅱ)建立坐标系,通过坐标运算求解.②在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算.(2)求解向量数量积最值问题的两种思路①直接利用数量积公式得出代数式,依据代数式求最值.②建立平面直角坐标系,通过坐标运算得出函数式,转化为求函数的最值.[对点训练]1.(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a 、b 满足|a |=|b |=1,a ·b =12,若向量c满足|a -b +c |≤1,则|c |的最大值为( )A .1B . 2C . 3D .2解析:选D.由平面向量a 、b 满足|a |=|b |=1,a ·b =12,可得|a|·|b |·cos 〈a ,b 〉=1·1·cos 〈a ,b 〉=12,由0≤〈a ,b 〉≤π,可得〈a ,b 〉=π3,设a =(1,0),b =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,c =(x ,y ),则|a -b +c |≤1,即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12+x ,y -32≤1,即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -322≤1,故|a -b +c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,32为圆心,半径等于1的圆上和圆内部分,|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离,而原点在圆上,则最大值为圆的直径,即为2.2.如图,已知平面四边形ABCD ,AB ⊥BC ,AB =BC =AD =2,CD =3,AC 与BD 交于点O .记I 1=OA →·OB →,I 2=OB →·OC →,I 3=OC →·OD →,则( )A .I 1<I 2<I 3B .I 1<I 3<I 2C .I 3 < I 1<I 2D .I 2<I 1<I 3解析:选C.如图所示,四边形ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得AO <AF ,而∠AFB =90°,所以∠AOB 与∠COD 为钝角,∠AOD与∠BOC 为锐角.根据题意,I 1-I 2=OA →·OB →-OB →·OC →=OB →·(OA →-OC →)=OB →·CA →=|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0,所以I 1<I 2,同理得,I 2>I 3,作AG ⊥BD 于G ,又AB =AD ,所以OB <BG =GD <OD ,而OA <AF =FC <OC ,所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|,而cos ∠AOB =cos ∠COD <0,所以OA →·OB →>OC →·OD →,即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.3.(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ,b 满足:a 2=(5a -4b )·b ,则cos 〈a ,b 〉的最小值为________.解析:非零向量a ,b 满足:a 2=(5a -4b )·b ,可得a ·b =15(a 2+4b 2)=15(|a |2+4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2=45|a |·|b |,即有cos 〈a ,b 〉=a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |=45,当且仅当|a |=2|b |,取得最小值45.答案:45平面向量与其他知识的交汇[核心提炼]平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”,常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题,平面向量的“位置”为:一是作为解决问题的工具,二是通过运算作为命题条件.[典型例题](1)如图,已知点D 为△ABC 的边BC 上一点,BD →=3DC →,E n (n ∈N *)为边AC 上的列点,满足E n A →=14a n +1·E n B →-(3a n +2)E n D →,其中实数列{a n }中,a n >0,a 1=1,则数列{a n }的通项公式为a n =( )A .3·2n -1-2 B .2n-1 C .3n-1 D .2·3n -1-1(2)已知在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量p =(cos B +sinB ,2sin B -2),q =(sin B -cos B ,1+sin B ),且p ⊥q .①求B 的大小;②若b =2,△ABC 的面积为3,求a ,c .【解】 (1)选D.因为BD →=3DC →,所以E n C →=E n B →+BC →=E n B →+43BD →=E n B →+43(BE n →+E n D →)=-13E n B→+43E n D →.设mE n C →=E n A →,则由E n A →=14a n +1E n B →-(3a n +2)E n D →,得(14a n +1+13m )E n B →-(43m +3a n +2)E n D →=0,则-13m =14a n +1,43m =-(3a n +2),所以14a n +1=14(3a n +2),所以a n +1+1=3(a n +1).因为a 1+1=2,所以数列{a n +1}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以a n +1=2·3n -1,所以a n =2·3n -1-1.(2)①因为p ⊥q ,所以p ·q =(cos B +sin B )(sin B -cos B )+(2sin B -2)·(1+sin B )=0,即3sin 2B -cos 2B -2=0,即sin 2B =34,又角B 是锐角三角形ABC 的内角,所以sin B =32,所以B =60°. ②由①得B =60°,又△ABC 的面积为3, 所以S △ABC =12ac sin B ,即ac =4.①由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B , 又b =2,所以a 2+c 2=8,② 联立①②,解得a =c =2.平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何,求最值. (1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系,解题的关键还是三角函数的知识.在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系,在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中几何量之间的关系,最后的解题还要落实到解析几何知识上.(2)因为向量是沟通代数、几何的工具,有着极其丰富的实际背景,对于某些代数问题,可构造向量,使其转化为向量问题求解.[对点训练]1.(2019·杭州市高三二模)△ABC 中,∠C =90°,AC =4,BC =3,D 是AB 的中点,E ,F 分别是边BC 、AC 上的动点,且EF =1,则DE →·DF →的最小值等于( )A.54 B.154 C.174D.174解析:选B.以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示:则A (0,4),B (3,0),C (0,0),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2. 设E (x ,0),则F (0,1-x 2),0≤x ≤1. 所以DE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -32,-2,DF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,1-x 2-2.所以DE →·DF →=94-32x +4-21-x 2=254-3x 2-21-x 2.令f (x )=254-3x 2-21-x 2,当x ≠1时,则f ′(x )=-32+2x1-x 2. 令f ′(x )=0得x =35.当0≤x <35时,f ′(x )<0,当35<x <1时,f ′(x )>0.所以当x =35时,f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35=154.当x =1时,f (1)=254-32=194>154,故选B.2.(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ,b 满足|a +b |=4,|a -b |=3,则|a |+|b |的取值范围是( )A .[3,5]B .[4,5]C .[3,4]D .[4,7]解析:选B.|a |+|b |≥max{|a +b |,|a -b |}=4, (|a |+|b |)2≤|a +b |2+|a -b |2=25,所以|a |+|b |≤5.3.(2019·江苏常州武进区高三上学期期中考试改编)已知数列{a n }中,a 1=2,点列P n (n =1,2,…)在△ABC 内部,且△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1.若对n ∈N *都存在数列{b n }满足b n P n A →+12a n +1P n B →+(3a n +2)P n C →=0,求a 4.解:在线段BC 上取点D ,使得BD =2CD ,则P n 在线段AD 上, 因为b n P n A →+12a n +1P n B →+(3a n +2)P n C →=0,所以-12a n +1BP n →=b n AP n →+(3a n +2)CP n →=b n (BP n →-BA →)+(3a n +2)(BP n →-BC →),所以⎝ ⎛⎭⎪⎫-12a n +1-b n -3a n -2BP n →=-b n BA →-32×(3a n +2)BD →.因为A ,P n ,D 三点共线,所以-12a n +1-b n -3a n -2=-b n -32(3a n +2),即a n +1=3a n +2,所以a 2=3a 1+2=8,a 3=3a 2+2=26,a 4=3a 3+2=80.复 数 [核心提炼]1.复数的除法复数的除法一般是将分母实数化,即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简. 2.复数运算中常见的结论(1)(1±i)2=±2i ,1+i 1-i =i ,1-i 1+i =-i.(2)-b +a i =i(a +b i). (3)i 4n=1,i 4n +1=i ,i4n +2=-1,i4n +3=-i.(4)i 4n+i4n +1+i 4n +2+i4n +3=0.[典型例题](1)(2019·杭州学军中学高考模拟)设复数z 满足1+z1-z =i ,则|z |=( )A .1B . 2C . 3D .2(2)设有下面四个命题p 1:若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ;p 2:若复数z 满足z 2∈R ,则z ∈R ; p 3:若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ,则z 1=z 2; p 4:若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为( ) A .p 1,p 3 B .p 1,p 4C .p 2,p 3D .p 2,p 4(3)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知复数z =1+i ,其中i 为虚数单位,则复数1+z +z 2+…+z 2 017的实部为( )A .1B .-1C .21 009D .-21 009【解析】 (1)因为复数z 满足1+z1-z=i ,所以1+z =i -z i ,所以z (1+i)=i -1,所以z =i -1i +1=i ,所以|z |=1,故选A.(2)对于命题p 1,设z =a +b i(a ,b ∈R ),由1z =1a +b i =a -b ia 2+b 2∈R ,得b =0,则z ∈R成立,故命题p 1正确;对于命题p 2,设z =a +b i(a ,b ∈R ),由z 2=a 2-b 2+2ab i ∈R ,得ab =0,则a =0或b =0,复数z 可能为实数或纯虚数,故命题p 2错误;对于命题p 3,设z 1=a +b i(a ,b ∈R ),z 2=c +d i(c ,d ∈R ),由z 1·z 2=(ac -bd )+(ad +bc )i ∈R ,得ad +bc =0,不一定有z 1=z 2,故命题p 3错误;对于命题p 4,设z =a +b i(a ,b ∈R ),则由z ∈R ,得b =0,所以z =a ∈R 成立,故命题p 4正确.故选B.(3)因为z =1+i , 所以1+z +z 2+…+z2 017=1×(1-z 2 018)1-z=z 2 018-1z -1=(1+i )2 018-11+i -1=(2i )1 009-1i =(-1+21 009i )(-i )-i2=21 009+i. 所以复数1+z +z 2+…+z2 017的实部为21 009.故选C.【答案】 (1)A (2)B (3)C复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础,结合四则运算,利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题.(2)若与其他知识结合考查,则要借助其他的相关知识解决问题.[对点训练]1.(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1+i)z =|3+i|,则在复平面内,z 对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:选A.由题意,得z =(3)2+121+i =2(1-i )(1+i )(1-i )=1-i ,所以z =1+i ,其在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限,故选A.2.(2019·金丽衢十二校联考)设z 是复数,|z -i|≤2(i 是虚数单位),则|z |的最大值是( )A .1B .2C .3D .4解析:选C.因为|z -i|≤2,所以复数z 在复平面内对应点在以(0,1)为圆心,以2为半径的圆及其内部.所以|z |的最大值为3.故选C.3.(2019·高考浙江卷)复数z =11+i (i 为虚数单位),则|z |=________.解析:通解:z =11+i =1-i 2=12-i2,所以|z |=⎝ ⎛⎭⎪⎫122+⎝ ⎛⎭⎪⎫-122=22. 优解:|z |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪11+i =1|1+i|=112+12=22.答案:22专题强化训练1.(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z 满足z (1+i)=2i ,则z 的共轭复数z 等于( )A .1+iB .1-iC .-1+iD .-1-i解析:选B.由z (1+i)=2i ,得z =2i 1+i =2i (1-i )(1+i )(1-i )=1+i ,则z 的共轭复数z =1-i.故选B.2.在等腰梯形ABCD 中,AB →=-2CD →,M 为BC 的中点,则AM →=( ) A.12AB →+12AD → B.34AB →+12AD →C.34AB →+14AD → D.12AB →+34AD → 解析:选B.因为AB →=-2CD →,所以AB →=2DC →.又M 是BC 的中点,所以AM →=12(AB →+AC →)=12(AB →+AD →+DC →)=12(AB →+AD →+12AB →)=34AB →+12AD →,故选B.3.(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2-i)=3-4i(其中i 为虚数单位),则复数|zi|=( )A.253 B.2C.553D. 5解析:选D.复数z 满足z ·(2-i)=3-4i(其中i 为虚数单位),所以z ·(2-i)(2+i)=(3-4i)(2+i),化为:5z =10-5i ,可得z =2-i.则复数|z i |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2-i i =⎪⎪⎪⎪⎪⎪-i (2-i )-i·i=|-1-2i|=|1+2i|=12+22= 5.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD 中,E ,F 分别为BC 和DC 的中点,则DE →·BF →=( )A .-52B .32C .-4D .-2解析:选C.通过建系求点的坐标,然后求解向量的数量积.在边长为2的正方形ABCD 中,E ,F 分别为BC 和DC 的中点,以A 为坐标原点,AB ,AD 为坐标轴,建立平面直角坐标系,则B (2,0),D (0,2),E (2,1),F (1,2).所以DE →=(2,-1),BF →=(-1,2),所以DE →·BF →=-4.5.(2019·台州市书生中学检测)已知点O 是△ABC 的外接圆圆心,且AB =3,AC =4.若存在非零实数x 、y ,使得AO →=xAB →+yAC →,且x +2y =1,则cos ∠BAC 的值为( )A.23B.33C.23D.13解析:选A.设线段AC 的中点为点D ,则直线OD ⊥AC .因为AO →=xAB →+yAC →,所以AO →=xAB →+2yAD →.又因为x +2y =1,所以点O 、B 、D 三点共线,即点B 在线段AC 的中垂线上,则AB =BC =3.在△ABC 中,由余弦定理得,cos ∠BAC =32+42-322×3×4=23.故选A.6.在△ABC 中,AB =3,BC =2,∠A =π2,如果不等式|BA →-tBC →|≥|AC →|恒成立,则实数t 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1C .⎝⎛⎦⎥⎤-∞,12∪[1,+∞) D .(-∞,0]∪[1,+∞)解析:选C.在直角三角形ABC 中,易知AC =1,cos ∠ABC =32,由|BA →-tBC →|≥|AC →|,得BA →2-2tBA →·BC →+t 2BC →2≥AC →2,即2t 2-3t +1≥0,解得t ≥1或t ≤12.7.称d (a ,b )=|a -b |为两个向量a ,b 间的“距离”.若向量a ,b 满足:①|b |=1;②a ≠b ;③对任意的t ∈R ,恒有d (a ,t b )≥d (a ,b ),则( )A .a ⊥bB .b ⊥(a -b )C .a ⊥(a -b )D .(a +b )⊥(a -b )解析:选B.由于d (a ,b )=|a -b |,因此对任意的t ∈R ,恒有d (a ,t b )≥d (a ,b ),即|a -t b |≥|a -b |,即(a -t b )2≥(a -b )2,t 2-2t a ·b +(2a ·b -1)≥0对任意的t ∈R 都成立,因此有(-2a ·b )2-4(2a ·b -1)≤0,即(a ·b -1)2≤0,得a ·b -1=0,故a ·b -b 2=b ·(a -b )=0,故b ⊥(a -b ).8.(2019·温州市高考模拟)记max{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≥bb ,a <b ,已知向量a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=2,a ·b =0,c =λa +μb (λ,μ≥0,且λ+μ=1,则当max{c ·a ,c ·b }取最小值时,|c |=( )A.255B.223 C.1D.52解析:选A.如图,设OA →=a ,OB =b ,则a =(1,0),b =(0,2), 因为λ,μ≥0,λ+μ=1,所以0≤λ≤1. 又c =λa +μb ,所以c ·a =(λa +b -λb )·a =λ;c ·b =(λa +b -λb )·b =4-4λ.由λ=4-4λ,得λ=45.所以max{c ·a ,c ·b }=⎩⎪⎨⎪⎧λ,45≤λ≤14-4λ,0≤λ<45.令f (λ)=⎩⎪⎨⎪⎧λ,45≤λ≤14-4λ,0≤λ<45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45,1. 所以f (λ)min =45,此时λ=45,μ=15,所以c =45a +15b =⎝ ⎛⎭⎪⎫45,25. 所以|c |=⎝ ⎛⎭⎪⎫452+⎝ ⎛⎭⎪⎫252=255.故选A.9.(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=4,|b |=3,|c |=2,b ·c =3,则(a -b )2(a -c )2-[(a -b )·(a -c )]2的最大值为( )A .43+37B .47+3 3C .(43+37)2D .(47+33)2解析:选D.设OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,a -b 与a -c 所成夹角为θ, 则(a -b )2(a -c )2-[(a -b )·(a -c )]2=|AB |2|AC |2-|AB |2|AC |2cos 2θ=|AB |2|AC |2sin 2θ=|AB |2|AC |2sin 2∠CAB =4S 2△ABC , 因为|b |=3,|c |=2,b ·c =3,所以b ,c 的夹角为60°, 设B (3,0),C (1,3),则|BC |=7,所以S △OBC =12×3×2×sin 60°=332,设O 到BC 的距离为h ,则12·BC ·h =S △OBC =332, 所以h =3217,因为|a |=4,所以A 点落在以O 为圆心,以4为半径的圆上, 所以A 到BC 的距离最大值为4+h =4+3217.所以S △ABC 的最大值为 12×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫4+3217 =27+332, 所以(a -b )2(a -c )2-[(a -b )·(a -c )]2最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27+3322=(47+33)2.故选D.10.(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ,b 是两个非零向量,且|a |=|b |=λ|a +b |,λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33,1,则b 与a -b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,23πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,5π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3,πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6,π 解析:选B.因为|a |=|b |=λ|a +b |,λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33,1, 不妨设|a +b |=1,则|a |=|b |=λ.令OA →=a ,OB →=b ,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ,则平行四边形OACB 为菱形.故有△OAB 为等腰三角形,故有∠OAB =∠OBA =θ,且0<θ<π2.而由题意可得,b 与a -b 的夹角,即OB →与BA →的夹角,等于π-θ,△OAC 中,由余弦定理可得|OC |2=1=|OA |2+|AC |2-2|OA |·|AC |·cos 2θ=λ2+λ2-2·λ·λcos 2θ,解得cos 2θ=1-12λ2.再由33≤λ≤1,可得12≤12λ2≤32,所以-12≤cos 2θ≤12,所以π3≤2θ≤2π3,所以π6≤θ≤π3,故2π3≤π-θ≤5π6,即b 与a -b 的夹角π-θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,5π6.11.(2019·杭州市高考二模)已知复数z =1+a ii (a ∈R )的实部为1,则a =________,|z |=________.解析:因为z =1+a i i =(1+a i )(-i )-i 2=a -i 的实部为1, 所以a =1,则z =1-i ,|z |= 2. 答案:1212.(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1,e 2为单位向量,其中a =2e 1+e 2,b =e 2,且a 在b 上的投影为2,则a ·b =________,e 1与e 2的夹角为________.解析:设e 1,e 2的夹角为θ,因为a 在b 上的投影为2, 所以a ·b |b |=(2e 1+e 2)·e 2|e 2|=2e 1·e 2+|e 2|2=2|e 1|·|e 2|cos θ+1=2,解得cos θ=12,则θ=π3.a ·b =(2e 1+e 2)·e 2=2e 1·e 2+|e 2|2=2|e 1|·|e 2|cos θ+1=2. 答案:2π313.已知向量a ,b ,|a |=1,|b |=2.若对任意单位向量e ,均有|a ·e |+|b ·e |≤6,则a ·b 的最大值是________.解析:由题意,令e =(1,0),a =(cos α,sin α),b =(2cos β,2sin β),则由|a ·e |+|b ·e |≤6,可得|cos α|+2|cos β|≤ 6.①令sin α+2sin β=m ,②①2+②2得4[|cos αcos β|+sin αsin β]≤1+m 2对一切实数α,β恒成立,所以4[|cos αcos β|+sin αsin β]≤1,故a·b =2(cos αcos β+sin αsin β)≤2[|cos αcos β|+sin αsin β]≤12.答案:1214.(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →=(1,3),BD →=(-3,1),则凸四边形ABCD 的面积为________;AB →·CD →的取值范围是________. 解析:由AC →=(1,3),BD →=(-3,1)得AC →⊥BD →,且|AC →|=2,|BD →|=2,所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2=2;因为ABCD 为凸四边形,所以AC 与BD 交于四边形内一点,记为M ,则AB →·CD →=(MB →-MA →)(MD →-MC →)=MB →·MD →+MA →·MC →-MB →·MC →-MA →·MD →,设AM →=λAC →,BM →=μBD →,则λ,μ∈(0,1),且MA →=-λAC →,MC →=(1-λ)AC →, MB →=-μBD →,MD →=(1-μ)BD →,所以AB →·CD →=-4μ(1-μ)-4λ(1-λ)∈[-2,0),所以有λ=μ=12时,AB →·CD →取到最小值-2.答案:2 [-2,0)15.(2019·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC 中,∠ACB 为钝角,AC =BC =1,CO →=xCA →+yCB →且x +y =1,函数f (m )=|CA →-mCB →|的最小值为32,则|CO →|的最小值为________.解析:在△ABC 中,∠ACB 为钝角,AC =BC =1,函数f (m )的最小值为32. 所以函数f (m )=|CA →-mCB →| =CA →2+m 2CB →2-2mCA →·CB →=1+m 2-2m cos ∠ACB ≥32, 化为4m 2-8m cos ∠ACB +1≥0恒成立.当且仅当m =8cos ∠ACB8=cos ∠ACB 时等号成立,代入得到cos ∠ACB =-12,所以∠ACB =2π3.所以|CO →|2=x 2CA →2+y 2CB →2+2xyCA →·CB →=x 2+y 2+2xy ×cos 2π3=x 2+(1-x )2-x (1-x )=3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+14, 当且仅当x =12=y 时,|CO →|2取得最小值14,所以|CO →|的最小值为12.答案:1216.在△OAB 中,已知|OB →|=2,|AB →|=1,∠AOB =45°,若OP →=λOA →+μOB →,且λ+2μ=2,则OA →在OP →上的投影的取值范围是________.解析:由OP →=λOA →+μOB →,且λ+2μ=2, 则OA →·OP →=OA →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-λ2OB →=λOA →2+⎝⎛⎭⎪⎫1-λ2OA →·OB →,又|OB →|=2,|AB →|=1,∠AOB =45°, 所以由余弦定理求得|OA →|=1,所以OA →·OP →=λ+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-λ2×1×2×22=1+λ2,|OP →|=⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-λ2OB →2= λ2|OA →|2+2λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-λ2OA →·OB →+⎝⎛⎭⎪⎫1-λ22|OB →|2=λ22+2,故OA →在OP →上的投影OA →·OP →|OP →|=1+λ2λ22+2=22·λ+2λ2+4(*). 当λ<-2时,(*)式=-22·(λ+2)2λ2+4=-221+4λλ2+4=-221+4λ+4λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,0; 当λ≥-2时,(*)式可化为22(λ+2)2λ2+4;①λ=0,上式=22;②-2≤λ<0,上式=221+4λ+4λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,22; ③λ>0,上式=221+4λ+4λ∈⎝⎛⎦⎥⎤22,1. 综上,OA →在OP →上的投影的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-22,1.答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤-22,1 17.已知OA →,OB →是非零不共线的向量,设OC →=1r +1·OA →+r r +1OB →,定义点集P =⎩⎪⎨⎪⎧K ⎪⎪⎪⎪KB →·KC →|KB →|=KA →·KC→|KA →|,⎭⎪⎬⎪⎫KC →≠0,当K 1,K 2∈P 时,若对于任意的r ≥3,不等式|K 1K 2→|≤c |AB→|恒成立,则实数c 的最小值为________.解析:由OC →=1r +1·OA →+r r +1OB →,可得A ,B ,C 三点共线,由KB →·KC →|KB →|=KA →·KC→|KA →|,可得|KC →|cos ∠AKC =|KC →|cos ∠BKC ,即有∠AKC =∠BKC ,则KC 为∠AKB 的角平分线. 由角平分线的性质定理可知|KA ||KB |=|AC ||BC |=r , 以AB 所在的直线为x 轴,以线段AB 上某一点为原点建立直角坐标系,设点K (x ,y ),A (-a ,0),B (b ,0),所以(x +a )2+y 2(x -b )2+y2=r 2,化简得(1-r 2)x 2+(1-r 2)y 2+(2a +2br 2)x +(a 2-b 2r 2)=0.由方程知K 的轨迹是圆心在AB 上的圆,当|K 1K 2|为直径时最大,方便计算,令K 1K 2与AB 共线,如图,由|K 1A |=r |K 1B |,可得|K 1B |=|AB |r +1,由|K 2A |=r |K 2B |,可得|K 2B |=|AB |r -1,可得|K 1K 2|=|AB |r +1+|AB |r -1=2r r 2-1|AB |=2r -1r|AB |,而易知r -1r ≥3-13=83,即有|K 1K 2|≤34|AB |,即|K 1K 2||AB |≤34,即c ≥⎝⎛⎭⎪⎫|K 1K 2||AB |max =34, 故c 的最小值为34.答案:3418.在△ABC 中,已知C =π6,向量p =(sin A ,2),q =(2,cos B ),且p ⊥q .(1)求角A 的值;(2)若BC →=2BD →,AD =7,求△ABC 的面积.解:(1)因为p ⊥q ,所以p ·q =0⇒p ·q =2sin A +2cos B =0,又C =π6,所以sin A +cos B =sin A +cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6-A =0,化简得tan A =33,A ∈(0,π),所以A =π6. (2)因为BC →=2BD →,所以D 为BC 边的中点, 设|BD →|=x ,|BC →|=2x ,由(1)知A =C =π6,所以|BA →|=2x ,B =2π3,在△ABD 中,由余弦定理,得|AD →|2=|BA →|2+|BD →|2-2|BA →|·|BD →|·cos 2π3=(2x )2+x 2-2·2x ·x ·cos 2π3=7,所以x =1,所以AB =BC =2,所以S △ABC =12BA ·BC ·sin B =12×2×2×sin 2π3= 3.19.已知m =(2sin x ,sin x -cos x ),n =(3cos x ,sin x +cos x ),记函数f (x )=m ·n .(1)求函数f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合;(2)设△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若f (C )=2,c =3,求△ABC 面积的最大值.解:(1)由题意,得f (x )=m ·n =23sin x cos x +sin 2x -cos 2x =3sin 2x -(cos 2x -sin 2x )=3sin 2x -cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6,所以f (x )max =2;当f (x )取最大值时,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6=1,此时2x -π6=2k π+π2(k ∈Z ),解得x =k π+π3(k ∈Z ),所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =k π+π3,k ∈Z .(2)由f (C )=2,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C -π6=1,又0<C <π,即-π6<2C -π6<11π6,所以2C -π6=π2,解得C =π3,在△ABC 中,由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得3=a 2+b 2-ab ≥ab ,即ab ≤3,当且仅当a =b =3时,取等号,所以S △ABC =12ab sinC =34ab ≤334, 所以△ABC 面积的最大值为334.。

高三二轮复习教学案(三角函数)

高三二轮复习教学案(三角函数)

高三数学二轮复习教学案(解三角形)班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________1.在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a=4bsinA ,则cosB=_________.2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若bc b a 322=-,B C sin 32sin =,则A=______________.3.已知△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=c=26+, 且∠A=75°,则b=__________4.据新华社报道,强台风“康森”在海南三亚登陆,台风中心最大风力达到12级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少椰子树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20 m ,则折断点与树干底部的距离是______m .5.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且acosB —bcosA=53c , 则tan(A -B)的最大值是__________________.6.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ,从D 沿着DC 走到C 用了3min .若此人步行的速度为每分钟50 m ,则该扇形的半径为_____________m .7.在锐角三角形ABC 中,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若C b a a b cos 6=+, 求BC A C tan tan tan tan +的值.8.已知在斜三角形ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--(1)求角A(2)若2cos sin >C B,求角C 的取值范围.9.如图,A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°,在水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°,AC=0.1 km ,试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等,并求出B 、D 的距离.高三数学二轮复习教学案(平面向量)班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________1.在四边形ABCD 中,“DC AB 2=”是“四边形ABCD 为梯形’’的______________条件.2.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,2BC =16,||||AC AB AC AB -=+ ,则|AM |=_____________3.已知平面向量),0(,βααβα≠≠满足1||=β,且α与αβ-的夹角为120°,则||α的取值范围是_________________4.设向量)cos 3,2(),3,sin 4(αα==b a ,且b a //,则锐角α为____________5.在△ABC 中,已知2π=C ,AC=1,BC=2,则|)1(2|)(CB CA f λλλ-+=的最小值是___________6.如图,在△ABC 中,已知AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH ⊥BC 于H ,M 为AH 的中点,若BC AB AM μλ+=,则μλ+=____________7.已知A )0,22(,B )22,0(,M )sin ,(cos αα,点N 满足)1(=++=μλμλON OB OA ,则||MN 的最小值是_______________8.已知)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos θθθθ-==b a ,且]3,0[πθ∈ (1||b a b a +(2)是否存在实数k ,使||3||b k a b a k -=+?若存在,求出实数k 的值,若不存在,请说明理由。

二轮复习教案(2)数列问题的题型与方法(3课时)

二轮复习教案(2)数列问题的题型与方法(3课时)

高三数学第二轮复习教案第2讲 数列问题的题型与方法(3课时)一、考试内容数列;等差数列及其通项公式,等差数列前n 项和公式;等比数列及其通项公式,等比数列前n 项和公式。

二、考试要求1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项。

2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能运用公式解答简单的问题。

3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式,并能运用公式解决简单的问题。

三、复习目标1. 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式解题; 2.能熟练地求一些特殊数列的通项和前n 项的和;3.使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;4.通过解决探索性问题,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.5.在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力.6.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.四、双基透视1. 可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

(2)通项公式法:①若= +(n-1)d= +(n-k )d ,则{}n a 为等差数列;②若,则{}n a 为等比数列。

(3)中项公式法:验证都成立。

3. 在等差数列{}n a 中,有关S n的最值问题——常用邻项变号法求解:(1)当>0,d<0时,满足的项数m使得取最大值.(2)当<0,d>0时,满足的项数m使得取最小值。

(整理)高三数学第二轮复习教案

(整理)高三数学第二轮复习教案

高三数学第二轮复习教案第8讲导数应用的题型与方法(4课时)一、考试内容导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数两个函数的和、差、积、商的导数,复合函数的导数,基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值二、考试要求⑴了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念。

⑵熟记基本导数公式(c,x m(m为有理数),sin x, cos x, e x, a x,lnx, logx的导数)。

掌a握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。

⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数要极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

三、复习目标1.了解导数的概念,能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念.2.熟记基本导数公式(c,x m(m为有理数),sin x, cos x, e x, a x, lnx, logx的导数)。

a掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数,利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题,掌握导数的基本应用. 3.了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。

能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。

4.了解复合函数的概念。

会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。

掌握复合函数的求导法则,并会用法则解决一些简单问题。

四、双基透视导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面:1.导数的常规问题:(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。

高三数学二轮复习专题教案

高三数学二轮复习专题教案

集合与简易逻辑一、考点回顾1、集合的含义及其表示法,子集,全集与补集,子集与并集的定义;2、集合与其它知识的联系,如一元二次不等式、函数的定义域、值域等;3、逻辑联结词的含义,四种命题之间的转化,了解反证法;4、含全称量词与存在量词的命题的转化,并会判断真假,能写出一个命题的否定;5、充分条件,必要条件及充要条件的意义,能判断两个命题的充要关系;6、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。

二、经典例题剖析考点1、集合的概念1、集合的概念:(1)集合中元素特征,确定性,互异性,无序性;(2)集合的分类:①按元素个数分:有限集,无限集;②按元素特征分;数集,点集。

如数集{y|y=x2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线;(3)集合的表示法:①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,…};②描述法。

2、两类关系:(1)元素与集合的关系,用∈或∉表示;(2)集合与集合的关系,用⊆,≠⊂,=表示,当A⊆B时,称A是B的子集;当A≠⊂B时,称A是B的真子集。

3、解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题4、注意空集∅的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A⊆B,则有A=∅或A≠∅两种可能,此时应分类讨论例1、下面四个命题正确的是(A)10以内的质数集合是{1,3,5,7} (B)方程x2-4x+4=0的解集是{2,2}(C)0与{0}表示同一个集合(D)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}解:选(D),最小的质数是2,不是1,故(A)错;由集合的定义可知(B)(C)都错。

例2、已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,2m}.若B⊆A,则实数m=.解:由B⊆A,且2m不可能等于-1,可知2m=2m-1,解得:m=1。

高三数学第二轮复习教案 .doc

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高三数学第二轮复习教案第7讲 概率与统计问题的题型与方法(三)七、强化训练和参考答案1.随机变量ξ的的分布列如下,则m =(D ) A .31 B .21 C .61 D .41 2.设随机变量ξ服从二项分布B (6,21),则P (ξ=3)= (A )A .165B .163C .85D .833.从签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签中,任意取3支,设ξ为这3支签的号码之中最大的一个,则ξ的的数学期望为(B )A .5B .5.25C .5.8D .4.64.某射手射击时击中目标的概率为0.7,设4次射击击中目标的次数为随机变量ξ,则P (ξ≥1)等于(D)A .0.9163B .0.0081C .0.0756D .0.99195.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性是(C )A .与第几次抽样有关,第一次抽的可能性最大B .与第几次抽样有关,第一次抽的可能性最小C .与第几次抽样无关,每次抽到的可能性相等D .与第几次抽样无关,与抽取几个样本有关6.一个年级有12个班,每个班有50名学生,随机编为1~50号,为了了解他们在课外的兴趣爱好要求每班是40号学生留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是(D )A .分层抽样B .抽签法C .随机数表法D .系统抽样法7.当一个样本的容量不大时,我们估计总体的标准差σ的常用量是(C )A .sB .s 2C .s *D .s *28.从总体中抽一个样本,2、3、4、8、7、6,则样本平均数为x =(B ) A .4 B .5 C .6 D .6.59.从总体中抽一个样本,3、7、4、6、5,则样本方差s *2为(B ) A .2 B .2.5 C .5 D .3 10.下面哪有个数不为总体特征数的是(B )A .总体平均数B .总体方差C .总体标准差D .总体样本 11.为了抽查某城市汽车尾气排放执行标准情况,在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为5 的汽车检查,这种抽样方法称为(C )A .简单随机抽样B .随机数表法C .系统抽样法D .分层抽样法 12.已知n 个数据为x 1,x 2,…,x n ,那么])()()[(1122221x x x x x x n n -++-+--Λ是指(D )A .sB .s *C .s 2D .s *2 13.总体方差σ2的的估计量为(B )A .xB .s 2C .sD .s *14.已知容量为40的样本方差s 2=3.9,那么s *=(B )A .4B .2C .2 D .115.设15000件产品中有1000件废品,从中抽取150件进行检查,查得废品的数学期望为(B )A .20B .10C .5D .1516.某一计算机网络,有几个终端,每个终端在一天中使用的概率p ,则这个网络中一天平均使用的终端个数为(B )A .np (1-p )B .npC .nD .p (1- p ) 17.下列说法正确的是:(D )A .甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样B .期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好C .期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习情况甲班比乙班好D .期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习情况甲班比乙班好18.某射击运动员射击所得环数ξ的分布列如图所示,则P (ξ=8)= (D )A .P (P>0)B .0.38C .0.41D .0.28 19.设随机变量的ξ的分布列为P (ξ=k )=21k(k =1、2、3、4、5、6),则P (1.5<ξ3.5)=(A )A .215 B .214 C .212 D .211 20.如果η~B (15,41)则使P (η=k )最大的k 是(D )A .3B .4C .5D .3 或421.某人有资金10万元,准备用于投资经营甲,乙两种商品,根据统计资料:经营甲 经营乙那么,他应该选择经营 甲 种商品。

高三数学二轮复习教学计划(7篇)

高三数学二轮复习教学计划(7篇)

高三数学二轮复习教学计划(7篇)高三数学二轮复习教学计划篇1这学期我继续担任高三理科82班和88班的数学老师。

为了全面迎接20_年高考,取得好成绩,我制定了高三数学复习教学计划。

一、指导思想研究教材,了解新信息,更新观念,倡导理性思维,探索新的教学模式,注重团结合作,面向全体学生,因材施教,激发学生的数学学习兴趣,培养学生的数学素质,充分促进教学效果的提高。

二、教学理念一般原则1、认真学习数学考试大纲和国家考试说明,做到宏观把握、微观把握,关注高考热点,特别关注高考信息。

根据样卷把握第一轮和第二轮复习的整体难度。

2.不要孤立地记忆和认识每一个知识点,而是把它放入相应的系统结构中,在比较和辨析的过程中寻求其内在联系,达到理解的层次,注重知识块的复习,构建知识网络。

3、立足基础,不做数学考试大纲以外的事情。

精心选择基础训练题目,做到不偏不倚,不遗漏,不生疏,即不偏离教材和考试大纲的范围和要求。

不要选择做那些有孤独感和怪诞感的特点、内容和想法的题目。

利用历年高考数学试题作为复习资源,根据新教材和考试大纲的要求进行针对性训练。

严格控制选题和做题的难度,做到不按个人喜好选题,不脱离学生的学习情况,不超出教学的基本内容,不选择大量难的题目。

(二)体现数学特点,注重知识和能力的提高,增强综合解题能力1.加强问题解决教学,提高学生问题解决探究能力。

2.注意联系实际,从解决实际数学问题的角度提高学生的综合能力。

学生的能力不脱离基础知识,基础扎实的学生未必能力强。

在教学中,不断应用基础知识解决数学问题,努力提高学生的学科综合能力。

从教材、学生和现实的角度出发,选取典型的数学与生活、生产、环境、科技联系起来,有计划、有针对性地对学生进行训练,让他们有更多的机会锻炼各种能力,从而达到提高学生数学综合能力的目的。

(三)合理安排发言、练习、评价和协助复习的时间1、精心设计教学,要简明扼要,不增加学生负担,避免海战问题2.协调说、练、评、助的关系,追求数学复习的最佳效果3.注重实效,努力提高复习教学的效率和效益(四)改变传统的复习模式,体现小组交流与合作1、淡化自身,加强备课小组的交流与合作,资源共享。

清泉州阳光实验学校高三数学二轮专题复习教案――不等式

清泉州阳光实验学校高三数学二轮专题复习教案――不等式

清泉州阳光实验学校2021届高三数学二轮专题复习教案――不等式第四中学邱金龙一、本章知识构造:〔6〕倒数法那么:假设ab>0,a>b ,那么b1a 1<。

2、根本不等式〔或者者均值不等式〕;利用完全平方式的性质,可得a2+b2≥2ab〔a ,b∈R〕,该不等式可推广为a2+b2≥2|ab|;或者者变形为|ab|≤2b a 22+;当a ,b≥0时,a+b≥ab 2或者者ab≤22b a ⎪⎭⎫⎝⎛+.3、不等式的证明:(1)不等式证明的常用方法:比较法,公式法,分析法,反证法,换元法,放缩法; (2)在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质结合使用;(3)证明不等式的过程中,放大或者者缩小应适度。

4、 不等式的解法:解不等式是寻找使不等式成立的充要条件,因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

一元二次不等式〔组〕是解不等式的根底,一元二次不等式是解不等式的基此题型。

一元二次不等式与相应的函数,方程的联络①求一般的一元二次不等式20axbx c ++>或者者20ax bx c ++<(0)a >的解集,要结合20ax bx c ++=的根及二次函数2y ax bx c =++图象确定解集.②对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>,设24b ac∆=-,它的解按照000∆>∆=∆<,,可分为三种情况.相应地,二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此,我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >的解集,列表如下:含参数的不等式应适当分类讨论。

5、不等式的应用相当广泛,如求函数的定义域,值域,研究函数单调性等。

在解决问题过程中,应当擅长发现详细问题背景下的不等式模型。

用根本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。

【数学】高考二轮复习数学学案(5)算法初步

【数学】高考二轮复习数学学案(5)算法初步

算法初步【学法导航】算法是高中数学课程中的新内容,本章的重点是算法的概念和算法的三种逻辑结构。

以选择题或填空题的形式出现,分值在5分左右,考察的热点是算法的概念【典例精析】1.自然语言表示的算法【内容解读】通过对解决具体问题过程与步骤的分析,体会算法的思想,理解算法的含义;对于某一问题往往能够设计出多种算法,通过选用步骤最少的、结构最好的算法【命题规律】以选择题或解答题的题型为主,难度不大。

例1、烧水泡茶需要洗刷茶具(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡茶(2 min)等个步骤、从以下选项中选最好的一种算法( )(A)第一步:洗刷茶具;第二步:刷水壶;第三步:烧水;第四步:泡茶(B)第一步:刷水壶;第二步:洗刷茶具;第三步:烧水;第四步:泡茶(C)第一步:烧水;第二步:刷水壶;第三步:洗刷茶具;第四步:泡茶(D)第一步:烧水;第二步:烧水的同时洗刷茶具和刷水壶;第三步:泡茶解:烧水要8分钟,这时刚好刷茶具和水壶,可节省时间。

所以选(D)点评:一个问题的算法有多种,我们应该选择结构最好的算法。

例2、已知直角三角形的两直角边长分别为a b,,设计一个求该三角形周长的算法.解:由勾股定理,可求出斜边22=+++.l a b a bc a b=+,从而周长22算法步骤如下:第一步:输入实数a b,;第二步:计算22+的结果,并将这个结果赋给c;a b第三步:执行计算:l a b c=++;第四步:输出l.点评:用自然语言描绘算法,然后才能画出程序框图,写出程序。

所以,用自然描绘算法是程序设计的基础2.程序框图【内容解读】顺序结构、选择结构和循环结构是算法的三种基本逻辑结构.在画流程图时,首先要实行逻辑结构的选择,若求只含有一个关系式的解析式的函数的函数值时,只用顺序结构就能解决,顺序结构是任何一个算法中必不可少的结构.选择结构主要用在一些需要依据选择实行判断的算法中,如分段函数的求值、数据的大小关系比较等问题.循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中,如累加求和、累乘求积等问题.用循环结构表达算法,关键要做好以下三点:①确定循环变量和初始值;②确定算法中反复执行的局部,即循环体;③确定循环的终止选择.循环结构又分为当型(While型)和直到型(Until型)两种.当型循环在每次执行循环体前对控制循环的选择实行判断,当选择满足时执行循环体,不满足则停止;直到型循环在执行了一次循环体之后,对控制循环的选择实行判断,当选择不满足时执行循环体,满足则停止.两种循环仅仅实现循环的不同方法,它们是能够互相转换的.对同一个问题假如分别用当型循环和直到型循环来处理的话,那么两者判断的条件恰好相反.【命题规律】考查程序框图的知识经常出现在高考的选择题或填空题中,理解程序框图中,程序的流向,执行步骤。

高三数学二轮复习教学案——基本不等式(1)(2)

高三数学二轮复习教学案——基本不等式(1)(2)

高三数学二轮复习教学案——基本不等式(1)班级 学号 姓名【基础训练】1.设R y x ∈,,且0≠xy ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222411y x y x 的最小值为_____________。

2.若实数y x ,满足122=++xy y x ,则y x +的最大值是_____________。

3.己知0>b ,直线012=++y x b 与02)4(2=++-y b ax 互相垂直,则ab 的最小值为______________。

4.若实数b a ,满足)1(014>=+--a b a ab ,则)2)(1(++b a 的最小值为_____________。

5.若不等式ax x x x ≥-++2222对)4,0(∈x 恒成立,则实数a 的取值范围是_________。

6.不等式011≥-+-+-ac c b b a λ,对满足c b a >>恒成立,则λ的取值范围是________。

7.己知0,,>c b a 且94222=+++bc ac ab a ,则c b a ++的最小值为______________。

【典型例题】8.某厂家拟在2012年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元)0(≥m 满足13+-=m k x (k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件。

己知2007年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)。

(1)将2012年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数;(2)该厂家2012年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?9.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层,某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元。

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高三数学第二轮复习教案第7讲 概率与统计问题的题型与方法(三)七、强化训练和参考答案1.随机变量ξ的的分布列如下,则m =(D ) A .31 B .21 C .61 D .41 2.设随机变量ξ服从二项分布B (6,21),则P (ξ=3)= (A )A .165B .163C .85D .833.从签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签中,任意取3支,设ξ为这3支签的号码之中最大的一个,则ξ的的数学期望为(B )A .5B .5.25C .5.8D .4.64.某射手射击时击中目标的概率为0.7,设4次射击击中目标的次数为随机变量ξ,则P (ξ≥1)等于(D)A .0.9163B .0.0081C .0.0756D .0.99195.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性是(C )A .与第几次抽样有关,第一次抽的可能性最大B .与第几次抽样有关,第一次抽的可能性最小C .与第几次抽样无关,每次抽到的可能性相等D .与第几次抽样无关,与抽取几个样本有关6.一个年级有12个班,每个班有50名学生,随机编为1~50号,为了了解他们在课外的兴趣爱好要求每班是40号学生留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是(D )A .分层抽样B .抽签法C .随机数表法D .系统抽样法7.当一个样本的容量不大时,我们估计总体的标准差σ的常用量是(C )A .sB .s 2C .s *D .s *28.从总体中抽一个样本,2、3、4、8、7、6,则样本平均数为x =(B ) A .4 B .5 C .6 D .6.59.从总体中抽一个样本,3、7、4、6、5,则样本方差s *2为(B ) A .2 B .2.5 C .5 D .3 10.下面哪有个数不为总体特征数的是(B )A .总体平均数B .总体方差C .总体标准差D .总体样本 11.为了抽查某城市汽车尾气排放执行标准情况,在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为5 的汽车检查,这种抽样方法称为(C )A .简单随机抽样B .随机数表法C .系统抽样法D .分层抽样法 12.已知n 个数据为x 1,x 2,…,x n ,那么])()()[(1122221x x x x x x n n -++-+--Λ是指(D )A .sB .s *C .s 2D .s *2 13.总体方差σ2的的估计量为(B )A .xB .s 2C .sD .s *14.已知容量为40的样本方差s 2=3.9,那么s *=(B )A .4B .2C .2 D .115.设15000件产品中有1000件废品,从中抽取150件进行检查,查得废品的数学期望为(B )A .20B .10C .5D .1516.某一计算机网络,有几个终端,每个终端在一天中使用的概率p ,则这个网络中一天平均使用的终端个数为(B )A .np (1-p )B .npC .nD .p (1- p ) 17.下列说法正确的是:(D )A .甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样B .期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好C .期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习情况甲班比乙班好D .期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习情况甲班比乙班好18.某射击运动员射击所得环数ξ的分布列如图所示,则P (ξ=8)= (D )A .P (P>0)B .0.38C .0.41D .0.28 19.设随机变量的ξ的分布列为P (ξ=k )=21k(k =1、2、3、4、5、6),则P (1.5<ξ3.5)=(A )A .215 B .214 C .212 D .211 20.如果η~B (15,41)则使P (η=k )最大的k 是(D )A .3B .4C .5D .3 或421.某人有资金10万元,准备用于投资经营甲,乙两种商品,根据统计资料:经营甲 经营乙那么,他应该选择经营 甲 种商品。

22.在10件产品中有8件正品,从中任意地取出3件,设取到正品的个数为ζ,则ζ的取值可以有 3 种。

23.要检查某厂的产品合格率,检查人员从1000件产品中任意抽取了50件,问这种抽样的方法是 简单随机抽样法 。

24.若样本a 1,a 2,a 3的方差是2,则样本2a 1+3,2a 2+3,2a 3+3的方差是 8 。

25.甲、乙两种棉花,各抽取50根棉花纤维检验长度,样本方差分别是s 甲=1.32,s 乙=0.93,这两种棉花质量较好的是 乙 。

26.甲、乙两学生连续五次数学测验成绩如下,甲:80、75、80、90、70;乙:70、70、75、80、65,则可以认为 乙 的数学成绩比较稳定。

27.某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中任意地连续取出两件,其中次品数ξ的概率分布是:28.若样本a1,a2,a3的方差是2,则样本2a1,2a2,2a3的方差是8。

29.已知随机变量ξ的分布列如下:求x的值。

30.袋中有3个白球,2个红球,从袋中随机取2个球,假设取得1个白球得1分,取得1个红球得0分,求得分值ξ的分布列。

(要写出解题过程,并按要求填空)31.有10张卡片,其中8张标有数字2,有2张标有数字5,从中随机地取出3张卡片,设3张卡片的数字之和为随机变量ξ。

求Eξ,Dξ。

32.某市教委,为了指导教师更好地做好2002年高三复习迎考工作,决定对全市第一次高三模拟考试成绩进行分析,要从全市2008张考卷中抽取200份试卷,请你设计一个系统抽样,抽取所需数目的样本。

33.已知已个样本的s2=0.63,s*2=0.7,求样本的容量n是多少?34.样本(x1,x2,x3,…,x n)的样本均值为n x,样本(x1,x2,x3,…,x n,x n+1)的样本均值为1+n x。

求证:1+n x =1+n n n x +11+n x n +135.据统计,一年中一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,参加者需交保险费100元,若在一年以内,万元以上财产被窃,保险公司赔偿a 万元(a >100),问a 如何确定,可是保险公司期望获利?36.某公司有三个部门,第一个部门800个员工,第二个部门604个员工,第三个部门500个员工,现在用按部门分层抽样的方法抽取一个容量为380名员工的样本,求应该删除几个人,每个部门应该抽取多少名员工? 4,160,120,10037.已知连续型随机变量ξ的概率密度函数为:010+kx 2200>≤≤<x x x 且f (x )≥0, f (x )=求常数k 的值,并计算概率p (1.5<ζ<2.5)。

k =-21, p (1.5<ξ<2.5)=0.062538.在同样条件下,用甲乙两种方法测量某零件长度(单位mm ),由大量结果得到分布列如下: 甲:乙:问哪种方法精度较好? E ξ=E η=50, D ξ<D η39.某班40人随机平均分成两组,两组学生一次考试的成绩情况如下表:求全班的平均成绩和标准差。

平均为85,5140.某企业对一项工程的完成有三个方案,甲、乙、丙每个方案的获利情况如下表所示:问企业应选择哪种方案?E ξ甲>E ξ乙>E ξ丙八、近几年全国高考概率题集锦 1.2000年全国高考天津理科卷(17)甲乙两人参加普法知识竞赛,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙二人依次各抽一题. (I ) 甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少? (II ) 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?解:(I ) 甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为91046⨯⨯=154 (II ) 设 甲、乙二人中至少有一人抽到选择题为事件B ,则对立事件B 为两人均抽到判断题,则 P (B ) = 1 – P (B ) = 1 –91034⨯⨯=15132.2001年全国高考天津理科卷(18)用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2. 当元件A 、B 、C 都正常工作时,系统N 1正常工作,当元件A 正 常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时,系统N 2正常工作. 已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80, 0.90, 0.90,分别求系统N 1、N 2正常工作的概率。

解:分别记三个元件A 、B 、C 能正常工作为事件A 、B 、C , 由题意,这三个事件相互独立, 系统N 1正常工作的概率为P (A ·B ·C ) = P (A )·P (B )· P (C ) = 0.8⨯0.9⨯0.9 = 0.648 系统N 2中,记事件D 为B 、C 至少有一个正常工作,则P (D ) = 1 – P (C B ·) =1 – P (B )· P (C ) = 1 – (1 –0.9)⨯(1 – 0.9) = 0.99系统N 2正常工作的概率为P (A · D ) = P (A )· P (D ) = 0.8⨯0.99 = 0.792 说明:用事件的并可知,系统N 2正常工作的概率为P (AC AB Y ) = P (AB ) + P (AC ) – P (ABC ) = 0.8⨯0.9 + 0.8⨯0.9 – 0.8⨯0.9⨯0.9 = 0.792A B C(N 1)AB C(N 2)3.2002年全国高考天津文科卷(20) 天津理科卷(19)(本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法,考查运用概率知识解决实际问题的能力。

)某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5 (相互独立)。

(Ⅰ) 求至少三人同时上网的概率; (Ⅱ) 至少几人同时上网的概率小于0.3?解: (Ⅰ) 至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率,即32216415611)5.0()5.0()5.0(1626616606=-=---++C C C(Ⅱ) 至少4人同时上网的概率为 3.0)5.0()5.0()5.0(3211641615666656646>==++++C C C至少5人同时上网的概率为 3.0)5.0()5.0(6476416666656<==++C C因此,至少5人同时上网的概率为小于0.3。

4.2003年全国高考江苏卷(17) 天津文科卷(20)(本小题考查相互独立事件概率的计算,运用数学知识解决问题的能力。

) 有三种产品,合格率分别为0.90, 0.95和0.95,各抽取一件进行检验。

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