集合不等式试题及答案

集合与简易逻辑 不等式
1.已知),0(+∞=U ,}0sin |{>=x x A ,}1)1(log |{4>+=x x B ,=)(B C A U U
A.}0|{π≤<x x
B.}1|{π≤<-x x
C.}30|{≤<x x
D.}31|{≤<-x x
2.已知a 、b 是不共线的向量，AB a b λ=+，AC a b μ=+（λ、R μ∈），则A 、B 、C 三点共线的充要条件是
A. λ＋μ=1
B.λ－μ=1
C.λμ=－1
D.λμ=1 3．若不等式
2
22
9t t a t t +≤≤+在]2,0(∈t 上恒成立,则a 的取值范围是 A.]1,61[ B.]134,61[ C.]22,61[ D.]1,13
2[
4 已知 {}
()(){}032:;4:>--<-=x x x q a x x A p ，且非p 是非q 的充分条件，则a 的取值范围为（ ）
A. -1<a<6
B. 61≤≤-a
C. 61>-<a a 或
D. 61≥-≤a a 或
5、设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，
①2
2
(3)2611a a a +>++；②)1(22
2--≥+b a b a ；③3322
a b a b ab +>+；④
2>+a
b
b a 。

上述4个式子中恒成立的有 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
6、对于实数a b 、，“()0b b a -≤”是“
1a
b
≥”成立的( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要条件
7、若关于x 的不等式4)1(4
2
+≤+k x k 的解集是M ，则对任意实数k ，总有 （ ）
A ．2∈M ，0∉M
B ．2∉M ，0∉M
C ．2∉M ，0∈M
D ．2∈M ，0∈M
8、若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫
过A 中的那部分区域的面积为 ( ) A ．
34
B ．1
C ．
7
4
D ．5 9、已知,,x y z R +
∈，230x y z -+=，则2
y xz
的最小值 ．
10、记关于x 的不等式
01
x a
x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．
（I ）若3a =，求P ；（II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．
11、命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <，命题:q 实数x 满足2
60x x --≤或
2280x x +->，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围．
12选作 已知集合{}121212(,)0,0,D x x x x x x k =>>+=．其中k 为正常数．
（I ）设12u x x =，求u 的取值范围． （II ）求证：当1k ≥时不等式21212112
(
)()()2k x x x x k
--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立； （III ）求使不等式21212112()()()2k x x x x k
--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的k 的范围．
集合与简易逻辑 不等式参考答案
1C 2C 3D 4【标准答案】 B 解法1 特殊值法验证，
取a=-1，(][)+∞⋃-∞-=,35,A ,(][)+∞⋃∞-=,32,B ，非p 是非q 的充分条件成立，排除A ，C ； 取a=7，(][)+∞⋃∞-=,113,A , (][)+∞⋃∞-=,32,B ，非p 是非q 的充分条件不成立，排除D ，选B ；
解法2 集合观念认识充分条件化归子集关系构建不等式组求解，解不等式切入，
()()61,342
4,,3,2,4,4_
_
≤≤-∴⎩
⎨⎧≥+≤-∴⊆=+-=a a a B A B a a A ，选B ；
解法3 用等价命题 构建不等式组求解， 非p 是非q 的充分条件等价命题为q 是p 的充分条件，集合观念认识充分条件化归子集关系构建不等式组求解，解不等式切入，)3,2(),4,4(=+-=B a a A ，由q 是p 的充分条件知5、A 6、B
7、D 解：当x ＝0时，原不等式为4
k ＋4≥0显然成立，当x ＝2时，原不等式为4
k ＋4≥22
k ＋2，即4
k －22
k ＋2≥0，即（k 2－1）2＋1≥0，也成立，故选（D ）。

8、C 解：如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形。

（阴影部分面积比1大，比1
2222
OAB
S
=⨯⨯=小,故选C,不需要算出来） 9、3 解：由230x y z -+=得32
x z
y +=，代入2y xz 得
229666344x z xz xz xz
xz xz
+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．
10、解：（I ）由3
01
x x -<+，得{}13P x x =-<<．
（II ）{}{
}
1102Q x x x x =-=≤≤≤．
由0a >，得{}
1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，即a 的取值范围是(2)+∞，． 11、设{}
22|430(0)A x x ax a a =-+<<{}|3x a x a =<<，
{}22|60280B x x x x x =--≤+->或{}{}22|60|280x x x x x x =--<⋃+->
{}{}|23|42x x x x x =-≤≤⋃<->或={}|42x x x <-≥-或
因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以q ⌝⇒p ⌝，且p ⌝推不出q ⌝ 而{}|42R C B x x =-≤<-，{}|3,R C A x x a x a =≤≥或 所以{}{}|42|3x x x x a x a -≤<-≤≥或，则324
00
a a a a ≥-≤-⎧⎧⎨
⎨<<⎩⎩或 即2
043
a a -
≤<≤-或 12【标准答案】（I ）221212()24x x k x x +≤=，当且仅当122
k
x x ==时等号成立， 故u 的取值范围为2
(0,]4
k ．（3分）
（II ） 变形，得121212121221
111
()()x x x x x x x x x x x x --=
+-- 2222121212121212111
22x x k k x x x x u x x x x x x u
+--=+-=-+=-+. （5分）
由204k u <≤，又1k ≥，2
10k -≥，∴21()2k f u u u -=-+在2(0,]4
k 上是增函数，
所以121211()()x x x x --=212k u u --
+22222214222()4424
k k k k
k k k -≤-+=-+=-． 即当1k ≥时不等式2
1212112()()()2k x x x x k
--≤-成立． （9分）
（III ）令121211
()()x x x x --=212()k u f u u -+
+=，则)4
()22(22k f k k =-， 即求使2()()4k f u f ≥对2
(0,]4k u ∈恒成立的k 的范围．（10分）
由（II ）知，要使2
1212112()()()2k x x x x k
--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立，必有01k <<，
因此2
10k ->，∴函数2
1()2k f u u u
-=++
在
上递减，在)+∞上递增，
要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f ≥
，必有
2
4
k ≤ 即4
2
16160k k +-≤
，解得0k <≤．
（14分）。