物理竞赛作业(3)20150302(刚体的速度与加速度)
高二物理竞赛习题课刚体PPT(课件)
用v表示物体碰撞后的速度，则
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度，
0转动,此时有一个质量为m
(C)
(D) 0
解：这个问题可分为三个阶段进行分析。
1
第五章 刚体的转动 总结
1、描述刚体转动的物理量
L J 常量
( Fdt p2 p1)
(F
0,
p
常矢量)
4
1. 两个力作用在一个有固定转轴的刚体上, (1) 这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力 矩一定是零. (2) 这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力 矩可能是零. (3) 当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩 也一定是零. (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力 也一定是零.
习 题 对小球＋圆柱体＋地球：系统的机械能守恒：
第三阶段是碰撞后物体的滑行过程和棒的上升过程。 ，亦即l < 6 s 因碰撞时间极短，产生的冲力极大，物体所受地面的摩擦力可以忽略。
课
(2) 这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力
设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
4、刚体定轴转动角动量定理 解：这个问题可分为三个阶段进行分析。 设各摩擦均不计，试求当小球滑落到圆柱体底部B时，小球相对圆柱体的速度和圆柱体的角速度。
J 则小球相对于地面的速度水平分量为：
J ，亦即l < 6 s
(A) (B) 一个半径为R的水平圆盘转台,可绕通过其中心2的竖直0固定光滑轴转动,转动惯量为J,开始时转台以匀角速度2 0转0动,此时有一个质量为m
高中物理竞赛(力学)练习题解
1、（本题20分）如图6所示，宇宙飞船在距火星表面H 高度处作匀速圆周运动，火星半径为R 。
当飞船运行到P 点时，在极短时间内向外侧点喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原来速度的α倍。
因α很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会。
飞船喷气质量可以不计。
（1）试求飞船新轨道的近火星点A 的高度h 近和远火星点B 的高度h 远 ； （2）设飞船原来的运动速度为v 0 ,试计算新轨道的运行周期T 。
2，(20分)有一个摆长为l 的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O 的距离为x 处（x ＜l ）的C 点有一固定的钉子，如图所示，当摆摇摆时，摆线会受到钉子的阻挡．当l 肯定而x 取不同值时，阻挡后摆球的运动状况将不同．现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过O 点），然后放手，令其自由摇摆，假如摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x 的最小值．3，（20分）如图所示，一根长为L 的细刚性轻杆的两端分别连结小球a 和b ，它们的质量分别为m a 和 m b . 杆可绕距a 球为L/4处的水平定轴O 在竖直平面内转动．初始时杆处于竖直位置．小球b 几乎接触桌面．在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m 的立方体匀质物块，图中ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面．现用一水平恒力F 作用于a 球上，使之绕O 轴逆时针转动，求当a 转过 角时小球b 速度的大小．设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球b 与立方体物块始终接触没有分别．不计一切摩擦．4、把上端A 封闭、下端B 开口的玻璃管插入水中,放掉部分空气后放手,玻璃管可以竖直地浮在水中(如下图).设玻璃管的质量m=40克,横截面积S=2厘米2,水面以上部分的长度b=1厘米,大气压强P 0=105帕斯卡.玻璃管壁厚度不计,管内空气质量不计.(1)求玻璃管内外水面的高度差h.(2)用手拿住玻璃管并缓慢地把它压入水中,当管的A 端在水面下超过某一深度时,放手后玻璃管不浮起.求这个深度.(3)上一小问中,放手后玻璃管的位置是否改变?如何改变?(计算时可认为管内空气的温度不变) 5、一个光滑的圆锥体固定在水平的桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角θ=30°(如右图).一条长度为l 的绳(质量不计),一端的位置固定在圆锥体的顶点O 处,另一端拴着一个质量为m 的小物体(物体可看作质点,绳长小于圆锥体的母线).物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动(物体和绳在上图中都没画出).aObA BCDF6、(13分) 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体,如图所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上,Q 端拴在物体上.设绳的总长不变,绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽视不计.起先时,车在A 点,左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的,左侧绳长为H.提升时,车加速向左运动,沿水平方向从A 经过B 驶向C.设A 到B 的距离也为H,车过B 点时的速度为v B .求在车由A 移到B 的过程中,绳Q 端的拉力对物体做的功.7.在两端封闭、内径匀称的直玻璃管内,有一段水银柱将两种志向气体a 和b 隔开.将管直立着,达到平衡时,若温度为T,气柱a 和b 的长度分别为l a 和l b ;若温度为T ＇,长度分别为l 抋和l 抌.然后将管平放在水平桌面上,在平衡时,两段气柱长度分别为l 攁和l 攂.已知T 、T 挕8．如图所示，质量为Kg M9=的小车放在光滑的水平面上，其中AB 部分为半径R=0.5m 的光滑41圆弧，BC 部分水平且不光滑，长为L=2m ，一小物块质量m=6Kg ，由A 点静止释放，刚好滑到C 点静止（取g=102s m ），求：①物块与BC 间的动摩擦因数②物块从A 滑到C 过程中，小车获得的最大速度9.．如图所示，在光滑水平面上放一质量为M 、边长为l 的正方体木块，木块上搁有一长为L 的轻质光滑棒，棒的一端用光滑铰链连接于地面上O 点，棒可绕O 点在竖直平面内自由转动，另一端固定一质量为m 的均质金属小球．起先时，棒与木块均静止，棒与水平面夹角为α角．当棒绕O 点向垂直于木块接触边方向转动到棒与水平面间夹角变为β的瞬时，求木块速度的大小．10 如图所示，一半径为R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今渐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．mRωθ rmg图2.1111如图所示，一木块从斜面AC 的顶端A 点自静止起滑下，经过水平面CD 后，又滑上另一个斜面DF ，到达顶端F 点时速度减为零。
物理竞赛1-35届真题分类04刚体力学（无答案）
物理竞赛1-35届真题分类04刚体⼒学（⽆答案）真题分类—刚体⼒学（21届复赛）六、(20分)如图所⽰，三个质量都是m 的刚性⼩球A 、B 、C 位于光滑的⽔平桌⾯上（图中纸⾯），A 、B 之间，B 、C 之间分别⽤刚性轻杆相连，杆与A 、B 、C 的各连接处皆为“铰链式”的（不能对⼩球产⽣垂直于杆⽅向的作⽤⼒）．已知杆AB 与BC 的夹⾓为，< /2．DE 为固定在桌⾯上⼀块挡板，它与AB 连线⽅向垂直．现令A 、B 、C ⼀起以共同的速度v 沿平⾏于AB 连线⽅向向DE 运动，已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间⽆摩擦⼒作⽤，求碰撞时当C 沿垂直于DE ⽅向的速度由v 变为0这⼀极短时间内挡板对C 的冲量的⼤⼩．⼆、（23届复赛）（25分）如图所⽰，⼀根质量可以忽略的细杆，长2L ，两端和中⼼处分别固连着质量为m 的⼩球B 、D 和C ，开始时静⽌在光滑的⽔平桌⾯上。
桌⾯上另有⼀质量为M 的⼩球A ，以⼀给定的速度Vo 沿垂直于杆DB 的⽅向与右端⼩球B 作弹性碰撞求刚碰后⼩球A 、B 、C 、D 的速度，并详细讨论以后可能发⽣的运动情况。
由杆的刚性条件有 D C C B ''''-=-v v v v （21）（19）式的⾓动量参考点设在刚要发⽣第⼆次碰撞时与D 球重合的空间点．把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对⽐，可以看到它们除了⼩球B 和D 互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解 C 0'=v （22）和 C 0456M M m'=+v v （23）C（27届复赛）三、（ 22 分）如图，⼀质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m ，半径为 R ，螺距H =πR ，可绕竖直的对称轴OO ′，⽆摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两⽀撑杆的质量可忽略不计．⼀质量也为 m 的⼩球穿在螺旋环上并可沿螺旋环⽆摩擦地滑动,⾸先扶住⼩球使其静⽌于螺旋环上的某⼀点 A ，这时螺旋环也处于静⽌状态．然后放开⼩球，让⼩球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴 OO ′，转动．求当⼩球下滑到离其初始位置沿竖直⽅向的距离为 h 时，螺旋环转动的⾓速度和⼩球对螺旋环作⽤⼒的⼤⼩．（29届复赛）三、（25分）如图所⽰，两根刚性轻杆AB 和BC 在B 段牢固粘接在⼀起，AB 延长线与BC 的夹⾓α为锐⾓，杆BC 长为l ，杆AB 长为αcos l 。
物理竞赛力学典型题目汇编(含答案)
第一讲 平衡问题典题汇总类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。
1、如图1—4所示，均匀杆长为a ，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy 平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy 平面内的曲线方程．分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏离时起重力势能不变，即杆子的质心不变，y C 为常量。
又由于AB 杆竖直时12C y a =， 那么B 点的坐标为 sin x a θ=111cos (1cos )222y a a a θθ=-=- 消去参数得222(2)x y a a +-=类型二、物体系的平衡问题的最基本特征就是物体间受力情况、平衡条件互相制约，情况复杂解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较容易地处理好这类问题。
例3．三个完全相同的圆柱体，如图1一6叠放在水平桌面上，将C 柱放上去之前，A 、B 两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的摩擦因数为μ，若系统处于平衡，μ0与μ必须满足什么条件？分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A 、B 、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。
设每个圆柱的重力均为G ，首先隔离C 球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fc y ＝0可得111)2N f G += ① 再隔留A 球，受力分析如图1一8所示，由∑F Ay =0得1121022N f N G +-+= ② 由∑F Ax =0得211102f N N -= ③ 由∑E A ＝0得12f R f R = ④ 由以上四式可得12f f ===112N G =，232N G =而202f N μ≤，11f N μ≤0μ≥2μ≥类型三、物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力F f 与弹力F N 的合力凡与接触面法线方向的夹角θ不能大于摩擦角，这是判断物体不发生滑动的条件．在解题中经常用到摩擦角的概念．例4．如图1一8所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为1l 和2l ，它们的下端在C 点相连接并悬挂一质量为m 的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环A 、B 相连，圆环套在圆形水平横杆上．A 、B 可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，且12l l <。
高中物理竞赛 第三章刚体力学_2
本章主要讨论刚体的定轴转动运动。
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§3.2 刚体定轴转动定律
一、转动刚体的运动描述：
由于刚体定轴转动时刚体上 的角速度相同，因此用角量描述刚 体运动比较方便。
VB
B
角 位置 t
角位移 t t t t d t 角速度
2 Fr sin f r sin m r i i i i i i
M Fi M fi mi ri
2
fi
d
Ft
A
Fn
刚体内每一点都可以表达成 为上式。整个刚体是上式的和。
r
F
M Fi M fi mi ri 2
A
M
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§3.1 刚体的平动和转动
§3.2 刚体定轴转动定律 §3.3 刚体转动的功和能 §3.4 刚体角动量与角动量守恒定律 §3.5 进动
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§3.1
刚体的平动和转动
刚体的定义：
特殊的连续分布的质点系，该质点系在运动过 程中质点间距在任何条件下都保持为定值。刚体时固 体物件的理想化模型。或说，刚体是受力时不改变形 状和体积的物体。
dt 2 d t d 角加速度 dt dt
A
VA
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角量与线量的联系： 速度
v r
v r
dv at r dt v2 2 an r r
加速度
匀变速转动公式
0 t
2
2 2 0
全国中学生物理竞赛实验指导书思考题参考答案-力学
在气轨上研究瞬时速度【思考题参考答案】1．试测量气轨倾斜角度β，并把实验中所求得的加速度a 和g sin β相比较。
答：测量β的方法：先用匀速法把气垫导轨调节水平，然后，测出两个支点沿气轨的长度L ，测出垫块的高度h ，L h =βsin 。
测量加速度的方法：（1）将两个光电门安放在一定距离的适中位置，读出距离s ，（2）滑块装上U 型挡光片，将光电计时器调节到测两个速度状态，让滑块静止下滑测量经过两个光电门的速度v 1、v 2。
（3）计算加速度a 并与Lh g g =βsin 比较，其中sv v a 22122-=。
注：为消除粘滞阻力影响，可以通过测量四个速度分别计算下滑和上升的加速度。
道理如下：=-=f a a a 下sv v 22122-，s v v a a a f 22423-=+=上，所以s v v v v a 421242322--+= 2．使用平板型挡光片和两个光电门，如何测量滑块通过倾斜气轨上一点A 的瞬时速度。
答：将光电计时器调到测量一个时间间隔状态，在滑块上装平板型挡光片，控制滑块从气轨上一个固定点P 由静止滑下，从挡光片前沿挡第一光电门开始计时，挡第二光电门停止计时，测出时间t ，根据匀变速运动公式，有at v v v B A +==，而()t l at v v v v B =-=+=22选择不同的l ，测出t ，计算出t l v =，在坐标纸上画出v —t 曲线，确定斜率和截距，其斜率的绝对值为a /2，截距为A 点的瞬时速度v 。
【补充思考题】测量气轨的阻尼因数。
滑块在气轨上运动，由于内摩擦和气轨平整度问题，也会有较小的阻力，一般认为阻力与速度方向相反，大小成正比。
即bv f =。
设计一个实验，测量b 值。
测量依据和测量公式：将气轨调节水平，放一质量为m 的滑块，气轨上两光电门之间距离为s 。
轻推滑块是它向右运动，由于阻尼A B v v <，同理，向左运动B A v v '<'。
《刚体运动习题》课件
刚体的转动问题涉及到分析刚体的转动惯量、角速度、角加速度等物理量，以及力和扭矩对刚体转动的影响。通过解决刚体的转动问题，可以了解刚体在转动过程中的运动规律和特点。
刚体的复合运动问题涉及到刚体的平动和转动同时发生的情况。
总结词
刚体的复合运动问题需要综合考虑刚体的平动和转动，分析其相互影响和耦合作用。这类问题通常比较复杂，需要运用力学和运动学的知识进行求解。
总结词
在解答进阶习题时，学生需要具备较强的分析能力和计算能力，能够根据题目要求进行正确的分析和计算，并得出正确的结论。
详细描述
总结词：高难度习题是刚体运动中的高级题目类型，主要考察学生对刚体运动理论的深入理解和应用能力。
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详细描述
刚体的振动问题主要研究刚体在周期性外力作用下的振动现象。
总结词
刚体的振动问题涉及到分析刚体的振动频率、振幅、相位等物理量，以及周期性外力对刚体振动的影响。通过解决刚体的振动问题，可以了解刚体在振动过程中的运动规律和特点，对于工程实践中的振动控制和减振设计具有重要意义。
详细描述
刚体运动的解题方法
03
它基于力学的基本原理和数学工具，如微积分、线性代数和常微分方程等，来推导和求解刚体运动的数学模型。
解析法可以给出精确的解，但有时可能比较复杂，需要较高的数学水平。
解析法是一种通过数学公式和定理来求解刚体运动问题的方法。
几何法是通过图形和几何形状来描述和解决刚体运动问题的方法。
它通过绘制刚体的运动轨迹、速度和加速度等矢量图，以及分析刚体的转动和角速度等来解决问题。
04
建筑结构中的刚体运动是指建筑物在风、地震等外力作用下产生的运动，包括平动、扭转和复合运动等。
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体-习题课(共12张PPT)
解:
设碰后棒开始转动的角速度为 , 滑块m2可视为质点, 碰撞瞬时忽略摩擦阻 力矩, 则m1、m2系统对o轴的角动量守恒, 取逆时针转动的方向为正方向, 由角动量 守恒定律, 有 碰后棒在转动过程中受到的摩擦阻力矩为
o
m1
m v1 2 v2
l
1 2 m2 v1l m2 v 2 l m1l 3
使 L 方向改变,而大小不变.
M L
自转轴将在水平面内逆时针方向(俯视)回转
质点力学、刚体力学有关公式对照表
质点的运动 速度 加速度 质量 刚体的定轴转动 角速度
d r dt
2
dr v dt dv a dt
角加速度 转动惯量
ddt
d dt
d 2 dt 2
m 力 F 运动定律 F ma 动量 p mv 角动量 L r p
动量定理
力矩
转动定律 动量 角动量
M r F
J r 2 dm
M J p mi vi
L J
dmv F dt
2 mg R 2 2 M f dM f r dr mgR 2 0 R 3
(2)求圆盘停止转动的时间有两种解法
dr r
o
R
解1 用转动定律 2 1 2 d M f mgR J mR 3 2 dt
3R dt d 4g
t
0
3R 0 dt d 4g 0
l
A
m1 1 M f gxdx m1 gl 0 l 2
1 m2 v1l m2 v 2 l m1l 2 3
高中物理竞赛习题集03(动力学word)
第三章 动力学例题：如图所示，光滑斜面倾角为θ，在水平地面上加速运动。
斜面上用一条与斜面平行的细绳系一质量为m 的小球，当斜面加速度为a 时（a ＜cot θ），小球保持相对斜面静止。
求此时绳子的拉力T 。
解一、沿加速度a 方向建x 轴，与a 垂直的方向上建y 轴ΣFx = ma ，即Tx － Nx = maΣFy = 0 ， 即Ty + Ny = mg代入数据，以上两式成为T cos θ－N sin θ = ma T sin θ + Ncos θ = mg解两式得：T = mgsin θ + ma cos θ解二、将正交分解的坐标选择为：x ——斜面方向，y ——和斜面垂直的方向。
这时，在分解受力时，只分解重力G 就行了，但值得注意，加速度a 不在任何一个坐标轴上，是需要分解的。
T － mg sin θ = m acos θ显然，独立解T 值是成功的。
结果与解法一相同。
T= mgsin θ + ma cos θ注意：当a ＞cot θ时，从支持力的结果N = mgcos θ－ma sin θ看小球脱离斜面的条件，脱离斜面后，θ条件已没有意义。
此时，T = m 22a g +例题：如图，二物之间的摩擦因数为μ，地面光滑。
（1）、二物相对静止的F 的条件 （2）、二物相对滑动时的系统牛顿第二定律 （3）、如果地面不光滑，二处的摩擦因数分别为1μ和2μ。
分析在不同F 下的运动情况解：（1）设二物相对静止。
则()12/a F m m =+静摩擦力 1112m Ff m a m m ==+最大静摩擦力 1m f m g μ=∵m f f ≤ ∴1112m Fm g m m μ+≥相对静止的条件 ()12F m m g μ+≤（2） 1122122F m a m a m g m a μ=+=+ （3）m 1和m 2之间的最大静摩擦力 111m f m g μ= m 2和地面之间的最大静摩擦力 ()2212m f m m g μ=+ 当2m F f ≤时，m 1和m 2均静止。
【预赛自招】2021年高中物理竞赛习题专题：刚体动力学(含答案)
高中物理竞赛习题专题：刚体动力学1.均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是()(A)角速度从小到大，角加速度不变(B)角速度从小到大，角加速度从小到大(C)角速度从小到大，角加速度从大到小(D)角速度不变，角加速度为零2.假设卫星环绕地球中心作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的()(A)角动量守恒，动能守恒(B)角动量守恒，机械能守恒(C)角动量不守恒，机械能守恒(D)角动量不守恒，动量也不守恒(Ｅ)角动量守恒，动量也守恒3.水分子的形状如图所示，从光谱分析知水分子对AA′轴的转动惯量JAA′＝1.93×10-47 kg·m2，对BB′轴转动惯量JBB′＝1.14×10-47kg·m2，试由此数据和各原子质量求出氢和氧原子的距离D和夹角θ．假设各原子都可当质点处理．4.用落体观察法测定飞轮的转动惯量，是将半径为R的飞轮支承在O点上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为m的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动(如图)．记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量．试写出它的计算式．(假设轴承间无摩擦)．5.质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在图(a)所示的组合轮两端.设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计.试求两物体的加速度和绳的张力.6.如图所示，一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量.若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：(1)经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？(2)在此时间内共转过多少转？7.如图所示，一长为2l的细棒AB，其质量不计，它的两端牢固地联结着质量各为m的小球，棒的中点O焊接在竖直轴z上，并且棒与z轴夹角成α角.若棒在外力作用下绕z轴(正向为竖直向上)以角直速度ω＝ω0(1－e－t)转动，其中ω0为常量.求(1)棒与两球构成的系统在时刻t对z轴的角动量；(2)在t＝0时系统所受外力对z轴的合外力矩.8.在光滑的水平面上有一木杆，其质量m1＝1.0kg，长l＝40cm，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动.一质量为m2＝10g的子弹，以v＝2.0×102m·s－1的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交.若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度.9.半径分别为r1、r2的两个薄伞形轮，它们各自对通过盘心且垂直盘面转轴的转动惯量为J1和J2.开始时轮Ⅰ以角速度ω0转动，问与轮Ⅱ成正交啮合后(如图所示)，两轮的角速度分别为多大？10.一质量为1.12kg，长为1.0m的均匀细棒，支点在棒的上端点，开始时棒自由悬挂.以100N的力打击它的下端点，打击时间为0.02s.(1)若打击前棒是静止的，求打击时其角动量的变化；(2)棒的最大偏转角.（3）打击瞬间O点杆收到的作用力。
高中物理奥林匹克竞赛专题——刚体
(FrMz)
Md z
A
M d z
——力矩的功（单位：J）
0
2.力矩的功会产生什么样的效果呢？
0M zd 0Izd dd t 0Izd ddt
下面来看
1 2
I
z
Iz d
0
12Iz2 12Iz02
2 表示什么意思？
轮轴无摩擦
T2 = m2 ( g – a ) m2 g
轻绳不伸长
轮绳不打滑
如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为
（以后各例同） ( T2 – T1 ) R – Mr= I 再联立求解。
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为复。
转轴通过端点与棒垂直
m
L
I=
1 3
mL2
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
I=
m 12
(a 2 + b 2 )
匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
I=mR2
匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
I=
m R2 2
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
I
=
m 2
(R12 +
R2 2
)
匀质圆柱体
转轴通过中心 垂直于几何轴
I=
m 4
R2+
T1 a
m1 g
mA、RA T2
m1
a m2 g
A T3 T1
mB、RB
m2
T3
B
T2
T 1m 1gm 1a m 2gT 2m 2a
T 3R AT 1R A1 2m AR 2 A A T 2R BT 3R B1 2m BR B 2 B
刚体习题及答案
1 2 mvl mv l ml 3
③弹性碰撞，故动能也守恒，有:
1 1 1 1 mv 2 mv 2 ( ml 2 ) 2 2 2 2 3
④碰后杆上升过程，杆与地球系统的机械能守恒: 1 1 2 2 1 ( ml ) mgl (1 cos ) 2 3 2 3 arccos2 3 联立求解，得：
人: Mg T 2 Ma
1 1 物 : T1 - Mg = Ma 2 2
B
T2
o
T1
2 a g 7
A
Mg
B
a
轮： (T2 T1 ) R J
1 Mg 2
a R
例2.两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个 组合轮。小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径r’＝2r， 质量为m’=2m。组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水 平固定轴O转动，对O轴的转动惯量J＝9mr2/2。两圆盘边缘上 分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，如 图所示。这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的 长度不变。已知r = 10 cm．求： (1) 组合轮的角加速度； (2) 当物体A上升h＝40 cm时，组合轮的角速度ω。
r r
2.对薄平板刚体的正交轴定理 z J
yi xi x 典型应用：
z
mi ri
高中物理竞赛之力学部分：刚体力学大解析(可编辑精品)
内容：若选一系统，此系统中，有质点（多个）和刚体，此系统对于某一转动轴的合力矩为零，则整个系统对该转动轴的角动量守恒。即 =恒量
例题分析
例1：一长为l，质量为M的杆，可绕支点O自由转动，另一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。问子弹刚穿进棒内时，棒的角速度为多少？（设棒穿进棒的时间很短）
分析：
则a=5m/s2， =2.5mT=40N
练习：1—78答案加速度为5.79m/s2，绳子的张力分别为69.9N，和75.8N。
（4）定轴转动的功能原理
转动动能：定轴转动的刚体中，所有的质元作圆周运动的动能之和即刚体的转动动能，
力矩的功：力矩作用下，使刚体发生转动，转动过程中转动动能发生变化，则力矩对刚体做了功，即力矩的功。
定轴转动的动能定理：
合外力矩对刚体做的功等于刚体转动动能的增加量
即
例题分析：
例：一质量为M，半径为R的圆盘，盘上绕有绳子，一端挂一质量为m的物体。问物体由静止开始下落高度h时，其速度为多大呢？
又因
解得：
练习：匀质杆的质量为m，长为l，一端为光滑的支点，最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，求杆在铅垂直位置时，其下端点的线速度v。（ ）
利用上述定理分析细圆环对任意切线的转动惯量：J=3mR2/2
※定轴转动定律
刚体在做定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受到的合外力距成正比，与刚体的转动惯量成反比。
即M=J （类比与牛二定律F=ma）
例题分析：
例2．质量为M=16kg的实心滑轮，半径R为0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m=8kg的物体。求（1）静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。
分析：左右两部分对中心转轴的转动惯量是一样的，则只要算出其中一部分的转动惯量就可以了，则将左边部分分成n等份，每分的质量为m/2n，
高中物理奥林匹克竞赛专题---刚体习题(共47张PPT)
角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正 比，即M＝－kω (k为正的常数)，求：圆盘的角速
度从ω0变为
1 2
0
时所需的时间．
解：根据转动定律： Jd / dt = -k
∴
d k dt
J
两边积分： 0/21dt kdt
0
0J
得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ln2 = kt / J
∴ t＝(J ln2) / k
4、 如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A滑轮挂一 质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且F＝Mg．设A、B两滑轮的 角加速度分别为βA和bB，不计滑轮轴的摩擦，则有
(A) βA＝βB． (B) βA＞βB． (C) βA＜βB． (D) 无法确定．
A M
B
答案：C
F
5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上， 平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕 通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0 开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（18）
角动量守恒m：v0l (mM)l0V
角动量守恒：m（ M)l0V (mM)(l0 l)usin
机械能守恒 1(： mM)V2 1kl2 1(Mm)u2
2
2
2
解得：u
(mv)2 kl2 (Mm)2 mM
5、质量为M＝0.03 kg，长为l＝0.2 m的均匀细棒，在一水 平面内绕通过棒中心并与棒垂直的光滑固定轴自由转动．
Ml 2 1 ml 2
－－－刚体习题
刚体的定轴转动
1、基本物理量 （1）、角速度与角加速度
d
dt
d
dt
d2
dt2
全国中学生物理竞赛5物系相关速度
相交双方沿对方切向运动分速 度的矢量和.
vt
θ vn v
vn
A
v1
Oαvv2D1dBd v1d
C v2
v0
v2d 3
专题5-例1 如图所示，AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒及一
半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及 杆上与半圆相切点C的速度．
本题属刚体各点速度及接触点速度问题
已知滚珠球心速度为v，角速度为ω，
r ωB
根据刚体运动的速度法则:
ωA r
滚珠及内环接触处A速度
vA vr v 2
R1
R2 v2 vω v1
滚珠及外环接触处B速度
vB vr v 1
∵滚珠及两环无滑动，∴两环
v v1 v2 2
与珠接触处A、B切向速度相同
v1 v2
对方切向运动分速度的矢量和，
滑环速度即为杆沿圆圈切向分速
度:
v u
sin
φ
u
10
专题5-例8 如图所示，直角曲杆OBC绕O轴在图示平面内转
动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动．已知OB=10 cm，
曲杆的角速度ω=0.5 rad/s，求φ=60°时，小环M的速度．
这是线状交叉物系交叉点相关速度问题
根据接触物系触点速度相关特 征，两者沿接触面法向的分速度相 同，即
vAcosv0sin
vA v0tan
vA
α PA α O
α
v0
v0
7
专题5-例5 如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光
滑钉子A上，以恒定的速度v拉绳，当绳及竖直方向成α角时，求线
高中物理奥林匹克竞赛专题5.刚体力学基础习题(有答案)
高中物理奥林匹克竞赛专题55-1. 如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的平均圆盘状定滑轮，绳的两端区分挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴润滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2m r ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从运动释放，求重物的减速度和两滑轮之间绳内的张力。
解：受力剖析如图 ma T mg 222=- 〔1〕ma mg T =-1 〔2〕βJ r T T =-)(12 〔3〕βJ r T T =-)(1 〔4〕βr a = (5)联立 g a 41=， mg T 811= 5-2. 如下图,一平均细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上,设末尾时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求:〔1〕作用于杆的摩擦力矩；〔2〕经过多长时间杆才会中止转动。
（1） 设杆的线lm =λ，在杆上取一小质元dx dm λ=gxdx dM μλ= 思索对称（2） 依据转动定律d M J J dtωβ==所以 g l t μω30= 5-3. 如下图，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以疏忽，它与定滑轮之间无滑动。
假定定滑轮质量为M 、半径为R ,其转动惯量为2/2MR ，试求该物体由运动末尾下落的进程中，下落速度与时间的关系。
整理 mg dt dvM m =+)21(5-4. 轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴润滑，滑轮的质量为4/M ，平均散布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的重物，如图。
滑轮对O轴的转动惯量4/2MR J =，设人从运动末尾以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的减速度？解：选人、滑轮与重物为系统，设u 为人相对绳的速度，v 为重物上升的速度，系统对轴的角动量依据角动量定理 dt dL M = 所以 2g a = 5-5. 计算质量为m 半径为R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。