利用整体思想巧解题
数学解题思想——整体思想
数学解题思想——整体思想杨相云整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子、图形或概念看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
一．整体代入在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化难为易。
例1 已知a 是方程210x x +-=的一个根，求代数式22211a a a a--+的值。
分析：由a 是方程210x x +-=的一个根，得210a a +-=，则21-a a -=，2=1a a +，再整体带入即可。
二．整体设元在解决某些比较复杂的式子时，也可以考虑将复杂的式子整体用字母代换，使问题化繁为简，巧妙获解。
例2 阅读材料：求2320141+2+2+2...2++的值。
解：设S=2320141+2+2+2...2++，则2S=234201420152+2+22...22++++,两式相减得 2S-S=201521-，即S=201521-；故2320141+2+2+2...2++=201521-。
请你仿照此方法计算：（1）23101+3+3+3...3++；（2）231+5+5+5...5n ++（其中n 为正整数）。
分析：（1）仿照阅读材料，设S=23101+3+3+3...3++，两边乘以3后得到关系式3S=2310113+3+3...33+++,再与已知等式相减，得2S=1131-,即可求出所求式子的值；（2）设S=231+5+5+5...5n ++，两边乘以3后得到关系式5S=2315+5+5...5+5n n +++,再与已知等式相减，得4S=151n +-,即可求出所求式子的值；三．整体构造就是对已知条件和所求联合研究，把问题作为一个整体来构造，从而解决问题。
例3 甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件、丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件、丙1件，共用84元。
渗透整体思想 提升数学解题效率
渗透整体思想提升数学解题效率一、培养整体思维习惯在解决数学问题的过程中，我们常常会被细节问题所困扰，导致忽略了问题的整体思想。
在解决代数方程时，我们会被各种变量、系数、方程式的变形等问题所迷惑，而忽略了方程的整体结构和解题的整体思路。
培养整体思维习惯是提升数学解题效率的关键。
我们要从整体上把握问题的要点，理清题目的逻辑结构。
在解题之前，我们可以对题目进行分析，将问题整体分为几个部分，分析题目之间的内在联系，从而找到解题的规律和方法。
我们要注重培养归纳总结的能力，从解决一个具体问题中找到普遍性的规律，提高我们处理问题的整体思维能力。
通过培养整体思维习惯，我们能够更好地把握问题的本质，提高解题的效率和准确度。
二、注重数学知识的渗透性学习我们要注重数学知识的内在联系，善于将数学知识进行整合和梳理。
在学习一个数学概念或定理时，我们要善于与其他数学知识进行联系，找到它们之间的内在联系和逻辑关系，从而更好地理解和掌握这些知识。
我们要善于从实际问题中渗透数学知识。
数学是一种解决实际问题的工具，我们要善于将所学的数学知识运用到实际问题中去，从而更好地理解和掌握这些知识。
通过注重数学知识的渗透性学习，我们能够更好地理解和掌握数学知识，提高解题的效率和准确度。
三、积极培养问题解决能力数学解题不仅仅是解答问题，更是培养我们解决实际问题的能力。
我们在解题过程中，要积极培养问题解决能力，提高解题的效率和准确度。
我们要善于发现问题的本质，找到问题的关键点。
在解决一个问题时，我们要深入挖掘问题的内在逻辑，找到问题解决的关键点和方法，从而更好地解决问题。
我们要善于灵活运用所学的数学知识，掌握多种解题方法。
在解决一个问题时，我们可以根据问题的特点，灵活选择适合的解题方法，提高解题的效率和准确度。
通过积极培养问题解决能力，我们能够更好地解决问题，提高解题的效率和准确度。
渗透整体思想，提升数学解题效率是一个系统工程，需要学生从学习习惯、数学知识渗透、问题解决能力等多个方面进行综合提升。
渗透整体思想 提升数学解题效率
渗透整体思想提升数学解题效率数学解题是学生在学习数学过程中必不可少的部分，而提高数学解题的效率则是每个学生都希望可以达到的目标。
要提升数学解题的效率并不是一件容易的事情，需要学生具备良好的数学基础和解题技巧，更需要具备整体思想的渗透。
只有将整体思想贯穿于数学解题的过程中，才能达到事半功倍的效果。
本文将从整体思想、数学解题效率和提升方法等方面进行探讨。
整体思想在数学解题中的重要性不言而喻。
整体思想是指在解决问题时，将问题看作一个整体并加以分析，而不是一味地从局部着手。
整体思想是数学解题的核心，它决定了解题的方向和方法。
只有将整体思想渗透到每一个解题过程中，才能提高解题效率，事半功倍。
整体思想在数学解题中的应用可以帮助学生更好地理解问题。
在学习数学时，很多学生会因为把问题想得太零散而导致理解困难。
如果我们能够运用整体思想，将问题看作一个整体并加以分析，将会更容易理解问题所在，减少解题过程中的偏差和失误。
整体思想可以帮助学生更好地掌握解题方法。
在解决问题时，整体思想可以帮助学生在探索解题方法时找到更有效的途径，并且可以减少解题出现错误的几率。
这样一来，学生在解题时就能事半功倍，提高解题效率。
整体思想可以帮助学生更好地应用所学知识。
在学习数学的过程中，学生需要掌握各种数学知识，并将这些知识用于解答问题。
而整体思想可以帮助学生更好地应用这些知识，将所学知识结合起来，形成一个整体的解题思路，从而提高解题的效率。
整体思想在数学解题中的重要性不言而喻。
只有将整体思想贯穿于数学解题的过程中，才能提高解题的效率，事半功倍。
那么，要如何提升数学解题的效率呢？要注重平时的积累和训练。
数学解题能力并非一蹴而就，需要平日里的积累和训练。
学生要多做数学练习，不断巩固所学知识，提高解题能力。
只有积累了足够多的解题经验，才能在解题时游刃有余，事半功倍。
要注重解题方法的掌握。
解题方法是解决问题的手段，是提高解题效率的关键。
学生在学习数学的过程中要多加注意解题方法的掌握，尤其是一些常见的解题方法和技巧。
利用整体思想解题
利用整体思想解题一、整体代入一类求代数式值的问题，若利用常规方法计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值，这时若将条件和结论从一个整体的角度去分析，挖掘已知式子和待求式子的整体结构特征，将已知条件进行适当的变形，或把已知关系式作为整体代入，便可能使得求值问题变得“柳暗花明”．例1 已知a 是方程x 2－2014x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2013a ＋220141a +的值． 解 由已知得a 2－2014a ＋1＝0．则得a 2－2013a ＝a －1，a 2＋1＝2014a ．显然a ≠0，所以两边同除以d ，得 a ＋12014a=， ∴a 2－2013a ＋220141a + ＝a －1＋20142014a＝a ＋1120141a -=-， ＝2013．评析 当已知方程的解时，通常把解代入方程，然后再对等式进行移项、因式分解、配方等变形，构造出待求式子的部分或整体．二、整体约减整体约减思想包含整体相减和整体约分两种，在利用整体思想变形时，须掌握一些变形公式．例2 观察下列等式：第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；第2个等式：21111 35235a⎛⎫==⨯-⎪⨯⎝⎭；第3个等式：31111 57257a⎛⎫==⨯-⎪⨯⎝⎭；第4个等式：41111 79279a⎛⎫==⨯-⎪⨯⎝⎭；……请回答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝_______；(2)用含n的代数式表示第n个等式：a n＝_______＝_______；(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．评析本题是一道规律探究题，考查学生的观察能力、计算能力、由特殊到一般的数学思想等，解决问题的关键是发现等式中变化的数与序数的对应规律．三、整体换元整体换元思想是指将题目中的条件或结论看作一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，从而起到化繁为简、化难为易的作用．例3 计算：11111111111232014232013232014⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111232013⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． 解 仔细观察式子，发现四个括号中的式子都含有式子111232013+++． 不妨令a ＝111232013+++，则评析 把111232013+++看成一个整体，并用一个新字母a 来代替，使待求的式子变成一个含有字母a 的代数式，大大地简化了运算，起到了化繁为简的作用．四、整体补形整体补形思想是指根据已知图形的特点，将不规则或不完整的图形，通过简单的拼接，补充成规则的或完整的图形，再进行求解．例4 如图1，六边形ABCDEF 的六个角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个六边形的周长等于_______．解 分别作线段AB 、CD 、EF 的延长线和反向延长线，使它们交于点G 、H 、P ，如图2．∵六边形ABCDEF 的六个角都等于120°，∴六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°，∴△AHF 、△BGC 、△DPE 、△GHP 都是等边三角形．∴GC ＝BC ＝3，DP ＝DE ＝2，GH ＝GP ＝GC ＋CD ＋DP＝3＋3＋2＝8．F A＝HA＝GH－AB－BG＝8－1－3＝4．EF＝PH－HF－EP＝8－4－2＝2．所以，六边形的周长为：1＋3＋3＋2＋2＋4＝15．评析对于不规则的图形，我们常用割补法，将其转化为规则图形加以解决．五、整体改造当所求的式子不易入手时，可对已知或结论进行整体改造（如因式分解、配方等），寻求它们之间的联系，当图形比较复杂时，可对图形进行分解、平移、旋转、翻折、相似变换等．利用整体改造思想时，常用的改造途径有：数向形的改造，代数式结构的改造，条件和结论的改造，特殊和一般的改造，动和静、正和反的改造等．例5 如图3，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2．解连结AC，因为弧OA与弧OC关于点O成中心对称，所以点O为AC的中点．所以，AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积为S△ABC＝12×2×2＝2(cm2)．评析本题根据中心对称的性质，把所求的不规则图形通过中心对称变换改造为规则图形，即△ABC的面积，这是问题解决的关键．六、整体合并解答代数问题时，有时代数式、方程或不等式进行合并，合并之后往往能凑整、消元等，这样的解题思想叫整体合并．应用整体合并思想应根据题目的特征，合理地进行合并，常用的合并方法有首尾合并、错位合并、配方合并、根据数字特征合并等．例6 已知x，y满足方程组2100821005x yx y+=⎧⎨+=-⎩，则x2－y2的值为_______．解由于x2－y2＝（x＋y）(x－y)，因此只要求出x＋y、x－y这两个整体的值即可．将两个方程相减，得x－y＝2013；将两个方程相加整理，得3x＋3y＝3，化简得x＋y＝1．∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝2013．评析若直接解方程组求出x，y的值，再代入代数式进行计算，则计算量很大．这里采用整体合并的思想，取得了事半功倍的效果．七、整体操作整体操作是指从操作性问题的整体性质出发，注重对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些对象看做一个整体，从而有慝的地整体处理．解答操作性问题，关键是要善于运用“集成”的眼光，进行有意识的整体操作，解决这类问题一般要经历观察、思考、想象、交流、推理、操作、反思等活动过程，需要利用已有的生活经验和感知发现结论，从而解决问题．例7 有七只茶杯，杯口朝上放在桌子上，请你把它们全部转成杯口朝下，现在要求每一次同时翻转四只茶杯，使得杯口与杯底相反．问能否经过有限次翻转后，使得所有茶杯的杯口向下？给出你的结论并加以证明．解这是不可能做到的，我们用赋值法加以证明．把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1．这样，问题就变为＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1七个数，每次翻动，就是改变其中四个数的符号，看能否经过有限次的翻动，把它们全部改为－1．改变一个数的符号，也就是把这个数乘以－1．在一次翻动中，有四个数乘以－1，七个数的乘积经过一次翻动后，应当乘以(－1)4．所以七个数的乘积经过翻动，仍然保持不变，原来的七个数的乘积是＋1，不管经过多少次翻动，七个数的乘积始终是＋1，而七个－1的乘积是－1，不可能把七个数都变成－1．评析此题若进行逐一尝试，是难以完成的，采用了赋值法——把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1，从奇偶性方面做出判断，便能使问题快速得到解决．本题如果把杯子的个数改为偶数，或者每次翻动奇数个杯子，也可以用这种方法加以解决．整体化思想是解决数学问题的一种思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质，在教学过程中，教师应该培养学生的整体化思想，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题．。
整体思想巧解方程
整体思想就是从整体上考虑题目中的数量关系及性质，突出对问题的整体结构的分析和改造，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。
在学习《简易方程》这个单元时，如果能灵活运用整体思想，往往给我们带来意想不到的效果。
■苏有焱（适合五年级）例1：已知a +b +b =18，a +b =14，a 和b 各是多少？【分析】部分同学一看到题中有两个未知数便觉得无从下手。
其实通过仔细观察、分析，可以看出把第二个条件“a +b =14”整体代入到第一个条件“a +b +b =18”中，则可消除一个未知数a ，式子变为“14+b =18”，从而轻松求出b =4，a =10。
在这个问题中，我们选择整体代换的方法，根据问题的条件，选择“a +b =14”，将它们看成一个整体，进行等量代换，达到减少计算量的目的。
例3：小刚和小明两人一起去商店购买同样的光盘，小刚买了8张，小明买了12张，两人一共花了160元。
每张光盘几元？【分析】不少同学习惯利用“小刚买光盘花的钱+小刚买光盘花的钱=160元”的等量关系来列方程。
其实，考虑到每张光盘价钱是一样的，可以先求购买数量，再利用“单价×数量=总价”的等量关系来列方程。
即，设每张光盘元，则有（8+12）x =160，即20x =160，解得x =8。
解决问题时，我们往往习惯于“化整为零”，但有时候若能仔细观察问题的特点和具体要求，从全局出发把握整体则会事半功倍。
例2：3个连续自然数的和是66，那么这3个数分别是多少？【分析】相邻的自然数之间相差“1”，学生习惯上会设第一个数为x ，第二个数是x +1，第三个数是x +2，然后列出的方程为x +x +1+x +2。
其实如果从整体考虑，以中间的数为基础设未知数，即设这三个数分别是x -1，x ，x +1，则有x -1+x +x +1=66，整理得3x =66，进而解得x =22，可知这三个数分别为：21，22，23。
“整体”思想在解题中的应用
“整体”思想在解题中的应用“整体”思想是数学的重要解题思想，也是中考考查的重要内容之一。
运用“整体”思想解题在初中数学的很多方面都有体现。
下面结合初三中考复习的一些教学内容谈谈我对“整体”思想解题的一点体会。
“整体”思想解题主要体现在以下五个方面：一、求代数式的值此类题型一般是已知一个代数式的值，求另一个代数式的值。
解这类题时若先把已知代数式中的未知数求出来往往行不通，一般的方法就是运用 “整体”思想来解决。
例1：已知x 2+3x+1=0，求x 3+2x 2-2x+9的值。
分析：把已知条件中的“x 2+3x+1”看成一个整体，设法把所求的代数式化为由“x 2+3x+1”组成的式子即可。
解：x 3+2x 2-2x+9= x 3+3x 2+x - x 2-3x -1+10=x(x 2+3x+1) –(x 2+3x+1)+10=10 例2：若a 2-a+1=2，则a-a 2+1=________.解：由a 2-a+1=2得a 2-a=1，移项得a-a 2+1=0例3：已知：a+2b+3c=10，4a+5b+6c=19，则a+b+c=________。
分析：此题的关键是把a+b+c 看作一个整体，而不能当成三个未知数。
解：由已知得（4a+5b+6c ）-（a+2b+3c ）=19-10，所以3a+3b+3c=9，故a+b+c=3 跟例3类似的题还有“若3a+4b-c=5，2a+b+6c=15，则a+b+c=________.” 例4：当a+b=3，x-y=1时代数式a 2+2ab+ b 2-x+y 的值等于_______.（2003年广东省中考题）解：a 2+2ab+ b 2-x+y=(a+b)2-(x-y)= 32-1=8(注：分别把a+b 和x-y 当成一个整体)。
这类题型在中考中很常见，除上面的例子外还有很多，如：1、（04年山西）已知x+y=1，那么221x +xy+221y 的值为________， 2、（02年哈尔滨）已知a+a 1=3，那么a 2+21a= ，3、（04年天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y 的值等于 ，4、（03年河南）如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值是 ，5、（00年广东）已知x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z= 。
提分练习：巧用整体思想解题的三类十技巧
《提分练习16 巧用整体思想解题的三类十技巧》典例剖析例 先化简,再求值.当3,1x y =-=时,求223()4()7()6()x y x y x y x y ---+---的值.解题秘方:对于一些形似独立,实为联系紧密的量,我们在解答时可将它们作为一个整体来处理,用整体思想解答问题可以起到化繁为简、变难为易的效果.本例中由于每一项都有x y -,我们可以把x y -看作一个整体进行解答.解:原式223()6()4()7()x y x y x y x y =-----+-2(36)()(47)()x y x y =--+-+-23()3()x y x y =--+-.当3,1x y =-=时,314x y -=--=-,所以,原式23(4)3(4)=-⨯-+⨯-481260=--=-.分类训练类型1 利用整体思想巧解整式问题技巧1 应用整体合并同类项1.化简:4()3()2()x y z x y z x y z ++---+---7()()x y z x y z ++---.技巧2 应用整体去括号2.计算:()22223224x y x z xyz x z x y ⎡⎤---+⎣⎦.技巧3应用整体直接代入3.设23,23M a b N a b =-=--,则(M N += )A.46a b -B.4aC.6b -D.46a b +4.已知22,51A a a B a =-=-+.(1)化简:322A B -+;(2)当12a =-时,求322A B -+的值. 技巧4 应用整体先添括号后代入5.【中考・威海】若1m n -=-,则2()m n --22m n +的值是( )A.3B.2C.1D.1-6.已知7,10a b ab +==,则式子(54ab a ++7b)(43)ab a --的值为________.7.已知2145212x x +-=-,求式子2645x x -+的值.技巧5 应用整体先求值后整体代入8.当1x =时,34ax bx ++的值为0,求当1x =-时,34ax bx ++的值.9.当2x =时,多项式35ax bx -+的值是4,求当2x =-时,多项式35ax bx -+的值. 技巧6 应用特殊值法先求值后整体代入10.已知44320123(2)x a x a x a x a x +=++++4a ,求:(1)01234a a a a a ++++的值;(2)01234a a a a a -+-+的值;(3)13a a +的值.类型2 利用整体思想巧解方程问题技巧7 应用整体合并同类项解方程11.解方程:12(1)(1)2(1)2x x x +--=-+1(1)2x +. 技巧8 应用整体设未知数解方程12.一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字1移到右端，那么所得新的六位数等于原数的3倍，求原来的六位数.类型3 利用整体思想巧解几何问题技巧9 应用整体求线段长13.已知,,,A B C D 四点在同一条直线上,点C 是线段AB 的中点,点D 在线段AB 上.(1)若16,3AB BD BC ==,求线段CD 的长度. (2)若点E 是线段AB 上一点,且2AE BE =,当:2:3AD BD =时,线段CD 与CE 具有怎样的数量关系?请说明理由.技巧10 应用整体求角度14.如图,已知AOB ∠内部顺次有四条射线:OE ,,,.OC OD OF OE 平分,AOC OF ∠平分BOD ∠.(1)若160,40AOB COD ∠=︒∠=︒,求EOF ∠的度数;(2)若,AOB COD αβ∠=∠=,求EOF ∠的度数;(3)从(1)(2)的结果,你能得出什么规律吗?参考答案1.答案：见解析解析：原式3()2()x y z x y z =-++---333222x y z x y z =----++5x y z =--- .2.答案：见解析解析：原式()22223224x y x z xyz x z x y =-+-+2222223224732.x y x z xyz x z x y x y x z xyz =-+-+=-+ 3.答案：C4.答案：见解析解析：(1)322A B -+()2322(51)2a a a =---++2631022a a a =-+-+267a a =+.(2)当12a =-时,原式2216762a a ⎛⎫=+=⨯-+ ⎪⎝⎭1722⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭. 5.答案：A点拨:原式22()2()(1)2m n m n =---=--⨯(1)3-=.6.答案：59点拨:原式化简后为7()ab a b ++,再整体代入求值.7.答案：见解析解析：因为2145212x x +-=-,所以214217x x -=-.所以2321x x -=.所以()22645232x x x x -+=-+57=.点拨:求多项式的值时,有时给出相应字母的值,直接求值;有时不能求出字母的值,就需要观察已知条件与所求式子之间的关系,将已知条件和所求式子经过适当变形后,运用整体代入的方法求解.8.答案：见解析解析：当1x =时,3440ax bx a b ++=++= ,所以a +4b =- .当1x =-时,344ax bx a b ++=--+=()4448a b -++=+=.9.答案：见解析解析：当2x =时,3352254ax bx a b -+=-+=,即821a b -=-.当2x =-时,335(2)(2)ax bx a -+=-⨯--⨯ 5b +825(82)5(1)56a b a b =-++=--+=--+=.10.答案：见解析解析：(1)将1x =代入4432012(2)x a x a x a x +=+++34a x a +，得401234(12)81a a a a a ++++=+=.(2)将1x =-代入4432012(2)x a x a x a x +=+++34a x a +，得401234(12)1a a a a a -+-+=-+=.(3)因为()(01234012a a a a a a a a ++++--+-)()34132a a a a +=+，所以()138112a a -=+,所以1340a a +=.点拨:直接求各项系数所组成的式子的值是行不通的,通过观察各式子的特点,适当地赋予x 特殊的值可以求出各式子的值.11.答案：见解析解析：将(1)x +和(1)x -看作整体. 原方程可变形为12(1)(1)2(2x x x +-+=-1)1(1)2x +-, 即35(1)(1)22x x +=-, 去括号得33552222x x +=-， 解得4x =.12.答案：见解析解析：设原来的六位数去掉最高位上的数字后得到的五位数为x ,则根据题意,得101x +=3(100000)x +.解得42857x =.所以100000142857x +=.答:原来的六位数为142857.点拨:本题若逐个设出各位上的数字,则未知数过多,不易列出方程,如果从整体思考,设后五位数为一个整体,方便简捷.13.答案：见解析解析：(1)如图①.因为点C 是线段AB 的中点,6AB =, 所以132BC AB ==. 因为13BD BC =,所以1313BD =⨯=. 所以312CD BC BD =-=-=.(2)53CD CE =.理由:如图②,设2,3AD x BD x ==,则5AB x =,因为点C 是线段AB 的中点, 所以1522AC AB x ==. 所以51222CD AC AD x x x =-=-=. 因为2AE BE =,所以21033AE AB x ==. 所以1055326CE AE AC x x x =-=-=.所以15::3:526CD CE ==. 所以53CD CE =.14.答案：见解析解析：(1)因为OE 平分,AOC OF ∠平分BOD ∠, 所以11,22COE AOC FOD BOD ∠=∠∠=∠. 所以EOF COE COD FOD ∠=∠+∠+∠ 112211.22AOC COD BOD AOB COD =∠+∠+∠=∠+∠ 因为160,40AOB COD ∠=︒∠=︒, 所以8020100EOF ∠=︒+︒=︒.(2)因为EOF COE COD FOD ∠=∠+∠+∠=1122AOC COD BOD ∠+∠+∠ 1122AOB COD =∠+∠， ,.AOB COD αβ∠=∠= 所以111()222EOF αβαβ∠=+=+. (3)若AOB ∠内部顺次有四条射线:,,OE OC OD ,,OF OE 平分,AOC OF ∠平分BOD ∠,则EOF ∠=1()2AOB COD ∠+∠.。
四讲 整体思想巧用
第四讲整体思想在整式加减运算中的巧用运用整体思想解题，常可化繁为简，变难为易，收到事半功倍之效，现就整式加减运算中运用整体思想解题的一些方法技巧举例如下：一、整体合并：例1：计算：43（2x－3y）+30(3y－2x)－12(2x－3y－120)+569分析：因为（2x－3y）=－(3y－2x)，所以可把（2x－3y）看作整体，先合并再去括号，这样较为简便。
解：原式=43（2x－3y）－30(2x－3y)－12(2x－3y)+1440+569=2x－3y+2009二、整体代入例2：若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x=－1时，代数式ax3+bx+7 的值为（）A.7B.10C.11D.12分析：若分别求出a和b的值再代入，既无必要也不可能，故可考虑整体代入。
解：由题意可得a+b+7=4，即a+b=－3∴－（a+b）=3当x=－1时，原式=－a－b+7=－(a+b)+7=3+7=10，故选B。
三、整体加减例3：已知3x2－3xy=28，3xy－3y2=－13，求代数式x2－y2与x2－2xy+ y2的值。
分析：若由已知条件想解方程组求出x、y的值，再代入求解，则超出初一学生所学范围，仔细观察已知式和要求式，便可发现，只要将已知式整体相加减再变形，即可求解。
解：将两式分别相加得3x2－3xy+3xy－3y2=28－13可化为3（x2－y2）=15∴x2－y2=5两式相减得3x2－3xy－3xy+3y2=28+13=41∴x2－2xy+y2=41/3一、自查：1. 单项式4333y x -的系数是 ，次数是 ． 2. 若23122++-m n y x 与41135--m y n x 是同类项，则m n n m -+)(= ．3. 己知0122=++a a ，则求3422-+a a 的值为 ．4. 如果5324331+-k ab b a 是五次多项式，那么k= ． 5. 计算：()()()()2356x y z x y z x y z x y z +---+-+-+-+= ．二、梳理：1. 知识上① ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式、几次几项式系数；、次数；、概念；多项式系数、次数；、概念；单项式整式代数式4321---321--- ② 整式的加减：关键词：同类项；去括号；先化简，再求值.2. 方法上：这部分内容涉及到整体、方程、转化等数学思想，特别是运用整体思想对某些问题进行整体处理，常能化繁为简，收到事半功倍的效果．三、典型问题：例1、先化简再求值：{}a a a a a a a a 3]9)2(85[41522222-+---+--，其中51-=a例2、计算：222213344a b ab ab a b ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.变式1：一个多项减去2234ab a b +，差为22122a b ab -,求这个多项式.例3、已知：多项式a x b x c x 539+++，当x =3时，它的值为81，则当x =-3时，它的值为多少？变式1：设a b c b -=-=313，，求代数式()()3252a c c a -+--的值变式2：若4=+-b a b a ，求代数式)(2)(5b a b a b a b a -+-+-的值？四、巩固练习：1. 若 －3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为－6，次数为3，则a ＝________， m ＝________．2. 3)2(42-+-x m x n 是关于x 的四次二项式，则=n m ___________.3. 若3223m n x y x y -与 是同类项，则m +n =____________.4. 若当2x =时，代数式35ax bx -+的值是4，则当2x =-时，35ax bx -+的值是 ．5. 已知05322=--a a ，那么109124234-+-a a a =____________.6. 个位上数字是a,十位上数字是b,百位上的数字是c 的三位数与把该三位数的个位数字、百位数字对调位置后所得的三位数的差为 ____________.7. 化简：=-+--)(3)3(2b a b a a ，=---24354b ab ab ． 8. 一条铁丝正好可围成一个长方形，一边长为b a +2，另一边比它大b a -，则长方形的周长是 ____________.9. 下列代数式中，①ab ·2 ②. a ÷4 ③. －4×a ×b ④. xy 213⑤. mn 35 ⑥ . －3×6 书写正确的是____________.（填序号）10. 计算：63)(41)(21y x y x y x y x --++++-=____________. 11. 若a ＜0, 则 2a+5a = ____________.12. 代数式 2)(3a x -+- 的最小值为_______，这时x =_______.13. 已知：b a A 35+=，b a a B 2223-=，2722-+=b a a C ，当a=1,b=2时， 求C B A 32+-的值.14. 先化间，再计算： )32(35)23(61)32(21)32(31y x x y y x y x --+---++--，其中x=2，y=1.。
数学中的整体思想
数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。
有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。
一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
设船往返共用x小时。
则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。
分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。
中考数学复习指导：利用整体思想巧解题
点评 (1) x＋y, xy 称为基本对称式，关干 x、y 的对称式求值往往利用 x+y, xy 整体代入求 值; (2)解这类题的一般步骤是: 先分别求出: x+y, xy 的值，然后将所求代数式进行适当的变 形，使之成为只含有 x+y, xy 的式子，最后将 x+y, xy 的值整体代入即可. 三、用整体思想解方程或方程组 例 4 解方程组:
2 5( + y ) − 8( x − 3) = 20, ① 3 20( x − 3) + 5( 2 + y ) = 27.② 3
分析 若先做去括号、去分母等变形，解答过程显得比较繁琐，观察方程组的特点，将
2 2 ( +y ) 与(x﹣3)分别看成整体，整体相减，可消去 ( +y ) . 3 3 1 13 解 ②－①，得，28(x－3)＝7，x－3＝ ，x＝ . 4 4
把 a2+3a+1 看成一个整体，展开后就可以得到一个关于 a2+3a+1 的二次三项式，问题就可以 迎刃而解一了. 解 原式 =(a2+3a+2)( a2+3a+1)+1 =( a2+3a+1)2+2(a2+3a+1)+1 =( a2+3a+1+1)2 =( a2+3a+2)2 =(a+1)2(a+2)2. 点评 对于有括号的多项式，分解因式时，不要急于将括号展开，要仔细观察式子的特 点，有时不去掉括号，直接分解因式反而更方便，如上题，把 a2+3a+1 看成一个整体，整个 多项式的结构就显得清晰和简单.总之， “整体思想”是初中数学中一种非常重要的思想与方 法.在解题过程中灵活利用整体思想，可以开拓解题思路、强化化归能力，提高数学综合素 质.
(文章)整体思想在解题中的运用
整体思想在解题中的运用在解方程组时,有些方程组直接用代入法或加减法求解比较烦琐, 若从整体入手,就会显得非常简捷. 下面举例说明之.一. 整体代入例1.解方程组②①⎩⎨⎧-=+=+242123y x y x分析：方程组中y 的系数成倍数关系，把x y 312-=看作一个整体代入②，可直接消去y .解：由①得：x y 312-= ③把③代入②，得：2)31(22-=-+x x ，解之，得1=x . 把1=x 代入③得：1-=y∴⎩⎨⎧-==11y x 二. 整体相加 例2.解方程组200320042002200420032005x y x y +=⎧⎨+=⎩①②分析：本例两个方程中相同未知数的系数和等于常数的和,可把它们整体相加,再同除以这个相同的系数和,则可以求得x y +的值,然后再用整体代入法就容易求解. 解：①+②，得：400740074007x y +=,两边同时除以4077得, 即1x y += ③再由①,得2003200420032003x y x y y +=++,即2003()2002x y y ++= ④把③代入④得, 200312002y ⨯+=. 解得, 1y =-.把1y =-代入③得, 2x =∴21x y =⎧⎨=-⎩三. 整体相减例3.解方程组②①⎩⎨⎧=+-=+123854y x y x分析：本例中未知数系数相差1，可考虑整体相减后，再用代入法消元.解：①－②，得：,93-=+y x 即③y x 39--=将③代入①，得：4-=y 将4-=y 代入③，得3=x ∴⎩⎨⎧-==43y x四. 整体换元例4.解方程组②①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++82323327332432y x y x y x y x分析：本例中的方程若按常规方法去处理，则要进行去分母,去括号等一系列的化简整理,之后方可求解.观察到方程组中的分子分别相同，可考虑使用换元法进行妙解.解：设B y x A y x =-=+32,32，则原方程可化为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+823734B A B A 解这个方程组，得：⎩⎨⎧-==2460B A ，也就是说④③⎩⎨⎧-=-=+24326032y x y x ③+④，得：9=x ，将9=x 代入③，得：14=y∴⎩⎨⎧==149y x。
“整体思想”在解题中的作用
＝
‘ ．
６ ｐ — ｐ 。
‘ ｙ ｌ ＞０， Ｙ ２ ＞０
．
＇
（ ｘ 一 ３） ‘
．
ｙ １ ＋ ｙ ２ ＞ Ｏ
利 用 数 轴 标 根 法 可得 ： ｘ ＜ ２ 或ｘ ＞ ．
２
・ ． ．
ｙ Ｉ ＋ ｙ ２ ＝ ￣ｐ ６ ＿ ｐ ２
Ｙ ２ ：— Ｙ Ｉ ＋
—
二、 注 意 整体 意识 与 整 体 代 换 例２ ： 求 满 足 下 列 条 件 的 复数 Ｚ ： （ １ ） １ ＜ ｚ ＋ ≤６；
Ｚ
．
注： 在解析几 何综合题 中 ， 常 出现 直 线 与 曲 线 交 点 问 题 ． 般 均可采用上述“ 设 而不求” 、 “ 设点代 点” 的 整 体 思 想 方 法
处 理．
易知 ： ∈Ｒ（ 否 则ｚ ＋ ≥２
．
四、 注 意 条件 的整 体 使 用 或 结 论 的 整体 运 算
要做到“ 四注 意 ” ． 注意 概 念 、 性 质 本 身的 整 体 性
一
２ １ ５ ５ ０ ０ ）
・ ．
‘
Ａ、 Ｂ 均 在 抛 物 线ｙ 。 ＝ ｐ ｘ ｌ －
２
从而得 ： ｙ ２
１ ＝ｐ ｘ ｙ ２ ＝Ｐ ２
得 』 ｙ ２ ｌ ＋ ｙ ２ ｐ ‘ ｚ ）
．
．
△＝ ｕ ２ ４０ ＜０
－
利用求根公式 ：
ｕ
Ｚ＝ 一
ｆ Ｊ ￣ ４ ： ｆ ｉ ， ｓ （ 詈 ＋ ｘ ） ＝ 詈 ， 一＜ ７ ４
的值 ．
、 ／ ４ ０ 一 ｕ ‘．
Ｉ
十 一
２
Ｕ
． ． ．
渗透整体思想 提升数学解题效率
渗透整体思想提升数学解题效率数学解题能力是一项非常重要的能力，它不仅能帮助我们在学习和工作中取得好的成绩，还能培养我们的逻辑思维能力和分析问题的能力。
很多人在学习数学解题时会遇到困难，觉得数学太难了，解题效率很低。
其实，要提高数学解题效率，关键在于培养整体思想，从整体上把握问题，以及通过一些技巧和方法来解题。
本文将从渗透整体思想和提升数学解题效率两方面来详细介绍。
一．渗透整体思想1.整体思想的重要性渗透整体思想是提高数学解题能力的关键，因为数学解题不是简单地局限于一道题目，而是要把握整个数学知识的脉络，找到其中的规律，解决问题。
所以，要提高数学解题效率，就要培养整体思想，从整体上把握问题。
2.整体思想的培养方法（1）建立知识体系整体思想的培养需要建立良好的数学知识体系，这需要通过系统的学习，从基础知识开始，梳理数学知识的脉络，形成完整的知识体系，这样有助于我们在解题时能够从整体上把握问题，找到解题的方法。
（2）拓展思维空间用多种方法体现整体思维模式：多媒体教学、思维导图、数学游戏等。
（3）培养逻辑思维逻辑思维能力是整体思想的基础，只有培养了逻辑思维能力，我们才能更好地把握问题的整体，找到问题的解决方法。
1.梳理解题思路解题之前要对题目进行透彻梳理，弄清题目要求，明确解题思路，理顺数学知识之间的关联，这样可以有助于我们更好地把握问题的整体。
2.选择合适的解题方法在解题过程中，要根据题目的条件和要求，选择合适的解题方法。
有些题目可以用代数法解，有些题目可以用几何法解，有些题目可以用递推法解，还有些题目可以用综合法解。
要根据具体情况，选择合适的解题方法。
3.加强实战训练提高数学解题效率，关键在于加强实战训练，多做题、多练习。
通过不断地做题和练习，我们才能更好地掌握解题方法，养成良好的数学解题习惯，提高解题效率。
4.灵活运用数学工具在解题过程中，要学会灵活运用数学工具，比如画图、设变量、联立方程等，这些数学工具能够帮助我们更好地解题，提高解题效率。
渗透整体思想 提升数学解题效率
渗透整体思想提升数学解题效率随着社会的发展，数学已经成为现代人生活中必不可少的一部分。
不管是在学校还是工作中，数学都是一个必要的学科。
对于很多人来说，数学问题常常是一个难题。
为了更好地解决数学问题，提高数学解题效率，我们可以运用渗透整体思想。
渗透整体思想是指从整体上把握问题的思维方式。
在数学解题过程中，我们常常只关注于具体的计算步骤和结果，而忽略了问题的整体性质。
很多数学问题都有一个共同点，即它们的解决方法是基于某种规律或者模式的。
如果我们能够从整体上理解问题，把握住问题的关键信息，就能够更快地找到解决问题的线索，提高解题效率。
具体而言，渗透整体思想可以通过以下几个步骤来实现：第一步，全面理解问题。
在解决数学问题之前，我们首先需要全面理解问题。
我们需要读懂问题的题目，并将问题的关键信息整理出来。
在整理关键信息的过程中，我们可以将问题中的数据和要求列成表格或者图形，以便更好地把握问题的整体性质。
第二步，分析问题的规律。
在理解问题的基础上，我们需要分析问题的规律。
数学问题往往有一定的规律或者模式，我们可以通过分析问题中的数据和要求，寻找出这些规律或者模式。
当我们遇到一个求和的问题时，可以尝试使用等差数列的求和公式来解决。
第四步，检验解答。
在解决数学问题之后，我们需要仔细检验解答。
检验解答的过程中，我们需要将解答与问题中的要求进行对比，确保解答是否符合问题的要求。
通过仔细检验解答，我们可以发现解答过程中可能存在的错误，及时纠正并提高解题效率。
渗透整体思想可以帮助我们更好地把握数学问题，提高解题效率。
在解决数学问题时，我们应该全面理解问题，分析问题的规律，并运用这些规律解决问题。
通过检验解答，我们可以发现解答过程中可能存在的错误，并及时纠正。
相信只要我们运用渗透整体思想，充分发挥数学思维的潜力，就能够提高数学解题效率，解决数学问题更加轻松。
渗透整体思想 提升数学解题效率
渗透整体思想提升数学解题效率渗透整体思想是一种解题方法，通过对问题进行全面的思考和分析，寻找问题的本质和关键点，以便更好地找到解决问题的途径和方法。
在数学解题中，渗透整体思想可以帮助提高解题效率，以下是一些方法和技巧：1. 理清问题的关键点：在解题前，先要明确问题的要求和限制条件，理清问题的关键点是解题思考的基础。
2. 审视已知条件：对于已知条件，要仔细观察并提取出其中的关键信息，有助于确定解题的方向。
3. 尝试建立模型：建立数学模型是解决数学问题的关键步骤。
对于不同类型的问题，可以尝试建立不同的模型，通过模型的分析和求解，可以找到问题的解决方法。
4. 寻找相似问题：在解决数学问题时，常常会遇到一些类似的问题。
寻找相似问题，可以借鉴相似问题的解决思路，并将其应用到当前问题上。
5. 从已知条件出发，推导结论：根据已知条件进行推导是解题中常用的方法之一。
通过推导，可以发现问题中隐藏的规律和关联，从而简化解题的过程。
6. 多角度思考问题：对于复杂的数学问题，可以从不同的角度进行思考和分析，看问题是否有不同的解决思路和方法。
7. 引入假设情况：当问题较为复杂，无法直接求解时，可以引入一些假设情况，通过分析假设情况的解决方法，来推导出原问题的解。
8. 运用数学定理和公式：数学定理和公式是解决数学问题的重要工具，熟练掌握并灵活运用数学定理和公式，可以提高解题效率。
9. 细心审题：解题前要仔细阅读题目，理解题目的意思和要求，避免因为理解错误而走入错误的解题思路。
10. 多练习、多总结：解题是一个技巧性的过程，通过多做题目和总结经验，可以提高解题的效率和准确性。
通过渗透整体思想，我们可以更全面地思考和解决数学问题，在解题过程中发现问题的内在联系和规律，从而提高解题效率。
养成良好的解题习惯和方法，不断积累解题经验，也是提高数学解题效率的重要途径。
小学数学“从整体上看”思想在解题中的运用-教育文档资料
小学数学“从整体上看”思想在解题中的运用在小学数学教学中，我们经常会遇到一些这样的问题，按照常规的思路，一步一步计算下来，感觉会比较困难，甚至有些问题还无从下手。
在这个时候，我们就需要转换思维角度，从整体入手，找到问题的切入点，从而快速、简洁、有效地解决问题。
一般地，我们把从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想方法。
下面我就从几个例题简要谈谈。
一、整体定位例1：下图中正方形的面积是6平方厘米，求圆的面积。
解析：根据圆的面积公式S=πr2，如果按照常规方法先算出圆的半径r，发现对于小学生而言，在这个题目中是比较困难的，但我们可以求出r2这个整体，从而算出圆的面积S更为简单。
可以把圆内的正方形看成由两个完全一样的直角三角形组成，每个直角三角形的面积都等于r2，也就等于正方形面积的12，即2r?r÷2=6÷2。
于是，r2=3，圆的面积S=3π（cm2）。
或者可以把圆内的正方形看成由4个完全一样的直角三角形组成，每个直角三角形的面积都等于半径平方的一半，也就等于正方形面积的14，即r2÷2=6÷4。
同样能得到圆的面积是3π（cm2）。
从上面的例题中，我们可以看到，学生在思考问题时，往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，这是学生的惯用思想方法，然后再逐个击破。
但是有时候这种思考方法，常常导致解题变得复杂化，且运算量很多，甚至在一些情况下，以现有的知识水平未能解决，学生就变得束手无策了。
其实，在很多数学问题中，如果我们能改变思维模式，有意识地去放大观察的“视角”，往往能发现问题中的某个小“整体”，我们就可以利用这个整体快速、有效地解决问题。
二、整体代换例2：如果3x+6=7，那么6x+4=（）。
解析：这题如果是学过分数乘除法的同学，可以从左边的方程解出未知数，然后带入右边的式子求出结果，不过还是有一定的计算量。
用整体思想法解数学题
用整体思想法解数学题用整体思想法解数学题，就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、消元、代入或求值等。
这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题。
例1 分解因式分析：若把两个二次三项式与相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难。
但若把（或）视为一个整体，即把看成一个新变元t，原式就变形为关于t的二次多项式，问题就容易解决了。
解：设，则原式再将代入上式原式说明：由上例可以看出，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简化解题过程。
例2 解方程解：设，则原方程可变为解得，当时，解得；当时无解经检验，是原方程的解。
说明：本题是把看成一个整体，恰当换元，才能化繁就简。
例3 计算解：设，则原式说明：这是一类规律探索型问题，看似复杂吓人，若掌握了整体换元思想，并不难解。
例4 已知和成正比例（其中m、n是常数）（1）求证：y是x的一次函数；（2）如果时，；时，，求这个函数的解析式。
解：（1）因与成正比例，故可设整理可得因，、为常数，所以y是x的一次函数。
（2）由题意可得方程组解得，.故所求的函数解析式为。
说明：在解方程组时，单独解出k、n、m是不可能的，也是不必要的。
故将看成一个整体求解，从而求得函数解析式。
例5 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。
现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决。
解：设购甲、乙、丙各1件分别需x元、y元、z元。
依题意，得，即解关于，的二元一次方程组，可得（元）答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元。
典中点《提分练习18 整体思想在解题中的七种技巧》
《提分练习18 整体思想在解题中的七种技巧》典例剖析例 若实数a ，b 满足2a b b a+=，求22224a ab b a ab b ++++的值. 解题秘方：整体思想在一些复杂、非常规的命题中是一种应用非常广泛的思想，它能将复杂问题简单化.解答本题时，可将所求式子的分子、分母同时除以ab ，再进行适当变形，使之出现条件式，最后整体代入求值.解：由2a b b a+=，知ab ≠0. ∴2222144a b a ab b b a a b a ab b b a ++++=++++= ()1()4a b b a a b b a++++=211242+=+. 分类训练技巧1 整体代换在求值中的应用1.（1）已知2830a a --=，求（a -1）（a -3）+（a -5）（a -7）的值.（2）已知2222019,2020,2021a d b d c d +=+=+=，且abc =24，求a b c bc ca ab++-111a b c --的值. 技巧2 整体代换在求角的度数中的应用2.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.技巧3 整体代换在比较线段大小中的应用3.如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分∠BAF ，试判断AF 与BC +CF 的大小关系，并说明理由.技巧4 整体变形在求值中的应用4.计算：2022920229202299999991999⨯+个个个.技巧5 整体设元在求值中的应用5.计算：1111111111(1)()(1)2320212342022232022----++++----- 1111()2342021++++. 技巧6 整体补形在求图形周长中的应用6.如图，凸六边形 ABCDEF 的六个角都是120°，AB =5 cm ，BC =8 cm ，CD =10 cm ，DE =6 cm.求这个六边形的周长.技巧7 整体配凑在求值中的应用7.若abc ≠0，且a +b +c =0，求222222222111a b c b c a c a b+++-+-+-的值.参考答案1.答案：解：（1）原式=221638a a -+.∵2830a a --=，∴283a a -=.∴原式=28)38442(a a -+=.（2）由已知可得a -b =-1，b -c =-1，c -a =2，则原式=2221()a b c bc ac ab abc ++--- 2221[()()()]2a b b c c a abc=-+-+- 11(114)488=⨯++=. 2.答案：解：由题图可知，∠1+∠2=∠DAB ，∠3+∠4=∠IBA ，∠5+∠6=∠GCB . 根据三角形外角和定理，得∠DAB +∠IBA +∠GCB =360°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.3.答案：解：AF 与BC +CF 的大小关系为AF =BC +CF .理由如下：如图，分别延长AE ，DC 交于点G .∵E 为BC 边的中点，∴易证△ABE ≌△GCE .∴AB =GC ，∠BAE =∠CGE .又∵AB =BC ，∴BC =GC .∴BC +CF =GF .∵AE 平分∠BAF .∴∠BAE =∠F AE .∴∠F AE =∠CGE .∴AF =GF .∴AF =BC +CF .点拨：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题.本题中我们将BC +CF 转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的.4.解：原式=20229202292022920229999(9991)9991999⨯+-+个个个个 =202292022202299910001000⨯+个个0个0 =2022202291000(9991)⨯+个0个 =10004044个0. 点拨：观察式子特点，用凑整法可简化运算.整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的.5.答案：解：设11112342021a ++++=，则原式=11(1)()(1)20222022a a a a -⋅+--- 2211.2022202220222022a a a a a a =+---++= 点拨：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现相同算式，因而考虑整体设元.整体设元是用新元去代替已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的.6.答案：解：如图，延长CB ，F A 交于点G ，延长BC ，ED 交于点H ，延长DE ，AF 交于点M .则△ABG ，△CDH ，△EFM ，△GHM 均为等边三角形，∴GB =AB =5 cm ，CH =CD =10 cm.∴GH =GB +BC +CH =23 cm.∴ME =MH -DH -DE =GH -CD -DE =23-10-6=7（cm ）.∴EF =7 cm.∴AF =GM -GA -MF = GH -AB -EF = 23-5-7=11（cm ）.∴六边形ABCDEF 的周长为5+8+10+6+7+11=47 cm.点拨：整体补形是对一些不规则的图形进行添补，从而得到常见的图形.本题通过适当向外作延长线，根据六个角都是120°，可得到等边三角形，进而求解.7.答案：解：原式=222111()()()()()()a b c b c b c a c a c a b a b ++++-+-++-+ 222111()()()a abc b b c a c c a b =++------ 111()()()a abc b b c a c c a b =++-+-+-+ 111222ab bc ca=--- 02a b c abc ++=-=. 点拨：本题是把所求式子配凑成与条件a +b +c =0相关的式子，再进行求解.。