2015年全国重点高中阶段自主招生考试数学模拟试题(六)(历年真题汇总)
重点高中自主招生考试数学试卷集(大全集)
6。
如图，点在函数的图象上，过点 A 作垂直轴，垂足为，过点作垂直轴，垂足为,则矩形的面积是……( ）A 。
B 。
C 。
D 。
不能确定7。
用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图 所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为………………( ）A.个 B 。
个C 。
个D 。
个8。
用半径为、圆心角为的扇形做成一个圆锥的侧面， 则这个圆锥的底面半径是……………………………………………………………………（ )A 。
cmB 。
cm C.cm D 。
cm9。
若为整数，则能使也为整数的的个数有 ……………………（ ）A 。
1个 B.2个 C 。
3个 D 。
4个10。
已知为实数,则代数式的最小值为………………（ ）A 。
B 。
C 。
D.14。
如图,正方形的边长为cm,正方形的边长为cm ．如果正方形绕点旋转，那么、两点之间的最小距离为 cm ．15.若规定：①表示大于的最小整数，例如:，；②表示不大于的最大整数，例如：,。
则使等式成立的整数．．． 16。
如图，、分别是的点,与相交于点，与相交于 点,若△APD ,△BQC ， 则阴影部分的面积为 ．。
19.将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上。
(1）从中随机抽取一张卡片,求该卡片正面上的数字是偶数的概率；（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明。
20。
为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排人，则还剩人;若每处安排人,则有一处的人数不足人，但不少于人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数。
21。
如图，四边形是正方形,点是的中点,是边上不同于点、的点，若，求证：.22。
清华大学2015年自主招生数学试题及答案解析
绝密★启用前清华大学2015年自主招生考试数学试题一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π,则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1),且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x y f xy++,x 、y ∈(-1,1),则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点,则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2,∠C=3π,且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ）(A)b=2a (B)△ABC 的周长为 (C)△ABC (D)△ABC 的外接圆半径为7.设函数2()(3)x f x x e =-,则（ ）(A)()f x 有极小值,但无最小值 (B) ()f x 有极大值,但无最大值(C)若方程()f x =b 恰有一个实根,则b>36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根,则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=},B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=,已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )},则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-=(C)12x x +=a ,12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3,则5x+4y+3z 的最小值为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得n S =m a ,则（ ）（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n,总存在正整数m,使得n a =m S11.运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是（ ）(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中,AB=2,AD=A 1A =1,则A 到平面1A BD 的距离为（ ）。
浙江省乐清中学2015年自主招生模拟考试数学试题(附答案)
乐清中学2015年自主招生模拟考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、 已知20082010+=x a ，20092010+=x b ，20102010+=x c ，则多项式ac bc ab c b a ---++222的值为 （ ）A. -3B. 3C. 2D. 12.一张圆桌旁有四个座位，A,B,C,D 四人随机坐在四个座位上，A 则D 与相邻的概率是（ ） 2.3A B. 12 C. 14 D. 293. 小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为（ ）A ．40B ．C ．D ．4．已知关于x 的不等式组255332x x x t x +⎧->⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩只有五个整数解。
则t 的取值范围是（ ）A ． 9≤t ≤219 B ．9≤t ＜219 C ．9＜t ≤219 D ．9＜t ＜2195、如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于( )A 、12B 、16 C、 D 、6．已知：二次函数y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A(x 1,0)、B(x 2，0)两点，其顶点坐标为P(－2b，4b -4c 2)，AB ＝｜x 1－x 2|，若S △APB ＝1，则b 与c 的关系式是 ( ) A ．b 2－4c+1= 0 B ．b 2－4c －1=0C ．b 2－4c+4=0D ．b 2－4c －4=07.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，AB ＝10cm ，点P 由点C 出发以每秒2 cm 的速度沿线CA 向点A 运动（不运动至A 点），⊙O 的圆心在BP 上，且⊙O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2秒钟时，⊙O 的半径（ ） A.712cm B.512cm C.35cm D.2cm8．在一列数1x ，2x ，3x ，……中，已知11x =，当k ≥2时，1121444k k k k x x ---⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2015x =( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题有7个小题，每小题6分，共42分）9、 在实数范围内因式分解：=--++13222y xy y x _______________________;10、如图1是长方形纸带，∠DEF ＝24°，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿BF 折叠成图3，则图3中的∠CFE 的度数是___________．11．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，有一个锐角为60°，BC=6．若P 在直线AC 上（不与点A ，C 重合），且∠ABP ＝30°，则CP 的长为_______.12、已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（0，2），若二次函数3)3(2+-+=x a x y 的图像与线段AB 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是 ___________.13．小林每天下午5点放学时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家，有一天学校提前一个小时放学，小林自己步行回家，在途中遇到开车来接他的爸爸，•结果比平时早20分钟到家，则小林步行________分钟遇到来接他的爸爸．14、已知三个非负实数c b a ,,满足：523=++c b a 和132=-+c b a ，若c b a m 73-+=，则m 的最小值为 。
重点高中自主招生考试数学试卷精选全文
可编辑修改精选全文完整版重点高中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整理得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选C．2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3 D．分析：本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可．解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．D．随C点移动而移动等分分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，所以有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．解答：解：连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．故选B．4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2分析：首先把y=+两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最后求差．解答：解：∵y=+，∴y2=4+2=4+2×，∵1≤x≤5，当x=3时，y的最大值为2，当x=1或5时，y的最小值为2，故当x=1或5时，y 取得最小值2，当x取1与5中间值3时，y取得最大值，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选D．5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．考点：线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图．分析：此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选D．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈分析：根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．解解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，∴圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．故选C．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考查了旋转的性质．7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）A．2个B．3个C．4个D．5个解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c ＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m 时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），正确．③④⑤正确．故选B ． 8．（3分）如图，正△ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 连结AP 、BP 、CP ，如果，那么△ABC 的内切圆半径为（ ）A ． 1B ．C ． 2D ．解答： 解：如图，过P 点作正△ABC 的三边的平行线，则△MPN ，△OPQ ，△RSP 都是正三角形，四边形ASPM ，四边形NCOP ，四边形PQBR 是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，又知S △AFP +S △PCD +S △BPE =，故知S △ABC =3，S △ABC =AB 2sin60°=3，故AB=2，三角形ABC 的高h=3，△ABC 的内切圆半径r=h=1．故选A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=．解答：解：∵与|3﹣a ﹣|互为相反数，∴+|3﹣a ﹣|=0，∴3﹣a ﹣=0，解得a+=3，∴a+2+=3+2，根据题意，a ＞0，∴（+）2=5，∴+=．答案为：．10．（3分）若[x ]表示不超过x 的最大整数，，则[A ]=﹣2 ．分析： 先根据零指数幂和分母有理化得到A=﹣，而≈1.732，然后根据[x ]表示不超过x的最大整数得到，[A ]=﹣2． 解答：解：∵A=++1=++1=+1=+1=﹣1﹣+1=﹣，∴[A ]=[﹣]=﹣2．故答案为﹣2．点本题考查了取整计算：[x ]表示不超过x 的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．评：11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．分析：连接MN，设△MON的面积是s，由于M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，易知MN是△ABC的中位线，那么MN∥AB，MN=AB，根据平行线分线段成比例定理可得△MON∽△BOA，于是OM：OB=MN：AB=1：2，易求△BON的面积是2s，进而可知△BMN的面积是3s，再根据中点性质，可求△BCM的面积等于6s，同理可求△ABC的面积是12s，从而可求S△BON：S△ABC．解答：解：连接MN，设△MON的面积是s，∵M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MON∽△BOA，∴OM：OB=MN：AB=1：2，∴△BON的面积=2s，∴△BMN的面积=3s，∵N是BC的中点，∴△BCM的面积=6s，同理可知△ABC的面积=12s，∴S△BON：S△ABC=2s：12s=1：6，故答案是．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，解题的关键是连接MN，构造相似三角形．12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为3．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：探究型．分析：先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出R的值，再作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由圆心角、弧、弦的关系可知==80°，故BC′=100°，由=20°可知=120°，由OC′=OD可求出∠ODC′的度数，进而可得出结论．解答：解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．分析：首先列举出所有数据的和，进而利用已知求出a，b的值，再利用中位数是一组数据重新排序后之间的一个数或之间两个数的平均数，由此即可求解．解答：解：根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有可能：1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，3+5=8，3+7=10，3+8=11，5+7=12，5+8=13，7+8=15，它们和中所有不同数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，故是2的倍数的个数为a=5，是3的倍数的个数为b=5，则样本6、5、5、9按大小排列为：5，5，6，9，则这组数据的中位数是：=5.5，故答案为：5.5．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．分析：首先用k表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积S，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可．解答：解：y=kx+2k﹣1恒过（﹣2，﹣1），y=（k+1）x+2k+1也恒过（﹣2，﹣1），k为正整数，那么，k≥1，且k∈Z如图，直线y=kx+2k﹣1与X轴的交点是A（，0），与y轴的交点是B （0，2k﹣1）直线y=（k+1）x+2k+1与X轴的交点是C（，0），与y轴的交点是D （0，2k+1），那么，S四边形ABDC=S△COD﹣S△AOB，=（OC•OD﹣OA•OB），=[﹣]，=（4﹣），=2﹣又，k≥1，且k∈Z，那么，2﹣在定义域k≥1上是增函数，因此，当k=1时，四边形ABDC的面积最小，最小值S=2﹣=．点评：本题考查了两条指向相交或平行问题，解题的关键是用k表示出直线与坐标轴的交点坐标并用k表示出围成的三角形的面积，从而得到函数关系式，利用函数的知识其最值问题．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．分析：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，根据折叠及矩形的性质，用含x的式子表示Rt△EGQ的三边，再用勾股定理列方程求x即可．解答：解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，由折叠及矩形的性质可知，EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x﹣2，在Rt△EGQ中，由勾股定理得EG2+GQ2=EQ2，即：（x﹣2）2+32=x2，解得：x=，即PQ=．16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是1cm．分析：易得扇形的弧长，除以2π也就得到了圆锥的底面半径，再加上母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高，利用相似可求得圆柱的高与母线的关系，表示出侧面积，根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即可．解答：解：扇形的弧长=4πcm，∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，∴圆锥的高为=2cm，设圆柱的底面半径为rcm，高为Rcm．=，解得：R=2﹣r，∴圆柱的侧面积=2π×r×（2﹣r）=﹣2πr2+4πr（cm2），∴当r==1cm时，圆柱的侧面积有最大值．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）将C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得c=b+1，联立抛物线y=﹣x2+bx+b+1与直线y=7﹣2x，转化为关于x的二元一次方程，令△=0求b的值即可；（2）直线y=﹣x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形的腰或底，分别求Q点的坐标．解答：解：（1）把点C（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c=0，解得c=b+1，联立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b=0，∵抛物线与直线只有一个交点，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，解得b=﹣10或2，∵c=b+1＞0，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在满足题意的点Q．联立，解得或，则A（0，3），B（3，0），由抛物线y=﹣x2+2x+3，可知抛物线对称轴为x=1，由勾股定理，得AB=3，当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3﹣）；当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，﹣）；当AB为底时，Q（1，1）．故满足题意的Q点坐标为：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．分析：作出圆与BA，BC相切时圆心的位置G，与CD相切时圆心的位置P，与CD相切时圆心的位置I，分别求得各段的路径的长，然后求和即可．解答：解：当圆心移动到G的位置时，作GR⊥AB，GL⊥BC分别于点R，L．∵，∴∠CBF=30°，∴∠RGB=15°，∵直角△RGB中，tan∠RGB=，∴BR=GR•tan∠RGB=2﹣，则BL=BR=2﹣，则从M移动到G的路长是：AB﹣BR﹣1=50﹣（2﹣）﹣1=47+m，BC=2×5=10m，则从G移动到P的位置（P是圆心在C，且与BC相切时圆心的位置），GP=10﹣BL=10﹣（2﹣）=8+m；圆心从P到I（I是圆心在C，且与CD相切时圆心的位置），移动的路径是弧，弧长是：=m；圆心从I到N移动的距离是：6﹣1=5m，则圆心移动的距离是：（47+）+（8+）+5+=60+2+（m）．19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．分析：（1）利用正方形的性质得到AD∥BC，DC∥AB，利用平行线分线段成比例定理得到，，从而得到，然后再利用AB=BC即可得到CE=DF；（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF的垂心．解答：解：（1）CE=DF；证明：∵正方形ABCD∴AD∥BC，DC∥AB∴，（∴∴又AB=BC∴CE=DF；（2）垂心．在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF=∠FDE，∵∠DAF+∠ADE=90°，∴AF⊥DE，同理FB⊥AE．H为△AEF的垂心．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．解答：（1）解：∵菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，∴△ADC和△DBC都是等边三角形，∴菱形的面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）证明：∵PM与PE都是⊙O2的切线，∴PM=PE，又∵PN与PF都是⊙O1的切线，∴PN=PF，∴PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）解：∵BE与BG都是⊙O2的切线，∴BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，∴∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，∴BE=O2E=r2，∴BG=r2，∴DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，∴MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），∵EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），而EF=MN，∴6+（r1+r2）=12﹣（r1+r2），∴r1+r2=9．21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x 轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，∴BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0，∵x＞0，∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，又∵BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•（m+1），∴m=2±，∵m＞0，∴m=+2．②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．则，∴BC2=EC•BF．∵△BEC∽△FCB∴∠CBF=∠ECO，∵∠EOC=∠FTB=90°，∴△BTF∽△COE，∴，∴可令F（x，（x+2））（x＞0）又∵点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x ﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∴x=m+2，∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•整理得：0=16，显然不成立．综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2．。
2015年全国重点高中阶段自主招生考试数学模拟试题(一)(历年真题汇总)
2015年全国重点高中阶段自主招生考试数学模拟试题（一）（历年真题汇总）数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）学校 班级 姓名 号数 准考证号亲爱的同学：欢迎你参加本次考试！请细心审题，用心思考，耐心解答．祝你成功！答题时请注意：请将答案或解答过程写在答题卡．．．的相应位置上，写在试卷上不得分． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有．．一个．．正确的选项，请把正确答案的代号填写在答题．．卡．中相应的表格内） 1．下列计算正确的是A ．32a a a =•B ． 523)(a a = C ． 32a a a =+ D ． 326a a a =÷ 2．不等式组⎩⎨⎧≥->+0401x x 的解集是A ．41≤≤-xB ．41≥-<x x 或C ．41<<-xD ．41≤<-x3．一组数据：3，4，5，x ，7的众数是4，则x 的值是A ．3B ．4C ．5D ．6４．下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是A B C D５．已知两圆的半径分别为6和1，当它们外切时，圆心距为A ．5B ．6C ．7D ．8６．如果一个定值电阻R 两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I随它的两端电压U 变化的图像是7．下列事件是必然事件的是A ．直线b x y +=3经过第一象限；B ．方程0222=-+-x x x 的解是2=x ；C ．方程34-=+x 有实数根；D ．当a 是一切实数时，a a =2．8．如图示，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上；叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为9．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC=4 ，BD 为⊙O 的直径，则BD 等于A.4B.6C.8D.1210．如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为A ．41-n cm 2B ．4n cm 2C ．41cm 2D ．n)41( cm 2二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分．请将答案填在答题卡．．．的相应位置上）11．2009-的相反数是 ．12．分解因式:222-m = ．13．生物学家发现目前备受关注的甲H1N1病毒的长度约为0.000056毫米，用科学记数法表示为毫米．14．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB= ．15．海峡两岸血浓于水，“两岸三通”有了新发展，最近大陆与台湾的包机航班改为定期航班，受到两岸人民的欢迎．如图是我国政区图，根据图上信息，台北与北京的实际距离<直线距离>约是 千米（精确到千米）．A B D C H G E F F BCG(A) H(D) E G(A)H(D)F(C) E(B) B DC A A B C O A 'B 'C '北京* 台北 * 600千米 O DCBA 第９题 第１０题第第１4题 第１5题16．如图，菱形OABC 中，120A =o ∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90o，则图中由弧,,A B B B '''C ，A '弧CB 围成的阴影部分的面积是 ．(结果保留根号) 17．若方程组⎩⎨⎧=-=+a by x b y x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，那么b a -= ．18．从1-，1，2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数y ax b =+的系数,a b ，则一次函数y ax b =+的图象不经过第三象限的概率是 ． 三、解答题(共8小题，满分78分. 请将答案写在答题卡．．．的相应位置上) 19．（满分8分）计算：20)2(30sin 2)23(-+--ο20．（满分8分）小明和小颖在玩“石头、剪刀、布”的一次游戏中，他们平局的概率是多少？（请列表或画树状图分析）21．（满分8分）如图, 将矩形EFBC 一条对角线FC 向两端延伸，使AF=DC ，连接AB 、ED ．求证：AB ∥ED ．22．（满分10分）2009年10月1日是中华人民共和国成立六十周年纪念日，某中学举行了一次“建国知识竞赛”，并从中抽取了部分学生成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本，绘制了如下的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：（1）此样本抽取了多少名学生的成绩？（2）此样本数据的中位数落在哪一个范围内？(请直接写出该组的分数范围）（3）若这次竞赛成绩高于80分为优秀，已知该校有900名学生参加了这次竞赛活动，请估计该校获得优秀成绩的学生人数约为多少名？23．（满分8分）为了更好地宣传“2010年上海世博会”，“和谐之旅”号京沪城际铁路于2009年5月1日正式开通运营，预计高速列车在北京、上海间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到上海的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由上海返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由上海返回北京比去上海时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由上海返回北京的平均速度是每小时多少千米？24．（满分10分）阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过点A作AD ⊥BC 于点D （如图）， 则 sin B =c AD ，sin C =bAD ，即AD =c sin B ，AD =b sin C ， 于是c sin B =b sin C ，即C c B b sin sin =． A B C D E F 第21题 第22题 学生数50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 222 28 0 32 36同理有A a C c sin sin =，Bb A a sin sin =． 所以 Cc B b A a sin sin sin ==………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠B ，运用上述结论．．．．(*)．．．和有关定理．．．．．就可以求出其余三个未知元素c 、∠A 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件 a 、b 、∠B∠A ； 第二步：由条件 ∠A 、∠B ∠C ； 第三步：由条件 c ．（2）如图，已知：∠A =60°，∠C =75°，a =6，运用上述结论(*)试求b ．25．（满分12分）如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴交于点），（、08)0,2(B A ，OBC OCA ∠=∠。
上海市2015年重点中学自主招生数学模拟试题(含答案)
2016年重点中学自主招生数学模抵试題参考答案与并分标程一、选择题（共5小题，每題6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A, B, C,D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号壊入题后的括号内.不壊、多填或错填均不得分）1、如果关于x的方程x2-ax + a2-3 = Q至少有一个正根.则实数a的取值范围是（C ）A、-2<a<2B、>/3<a<2C、-75<a<2D、-V5<a<22、如图，己知：点£、F分别是正方形ABCD的边刀8、8C的中点，BD、QF分别交CE于点G、H .若正方形的面枳是240,则四边形8FHG的面积等于（B ）A、26B、28C、24 D. 303、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：归3一4 +仏％・4 = 缶二-伝二.则代数式x + y + z ^^xyz的值是............... （A ）A、0B、1C、3D、条件不足，无法计算4、如图.四边形8DCE内接于以BC为直径的QA.巳知：8C = 10,cosZBCD = |, ZBCE = 30°.则线段DE 的长是............. （D ）A、789B、7 73C、4+3 V3D、3+4 右5、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个〃排的等腰梯形阵，且这〃排学生数按每排都比前一拝多一人的规律排列，则当〃取到最大值时.排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是............... （B ）A、296B、221C、225D、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。
不设中间分）6、己知：实常数a、b、c、d同时満足下列两个等式：⑴asin0 + 8cosQ-c = O：（2）acosQ-Z）sin0 + d = O （其中。
为任意锐角），则。
、如c、d之间的关系式是:_a2 +b2 =c2 +d2_o7、函数J，= |x-1| + 2|x-2| + 3|x-3| + 4|x-4|的最小值是8 ________ .8、己知一个三角形的周长和面积分别是84、210. 一个单位圆在它的内部沿着三边勾速无摩擦地滾动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是84-^9、己知：x=疽则可用含x的V5 + V2有理系数三次多项式来表示为：41 =1 3 11---- X ------ X。
2015年上海中学自主招生数学卷
=++=+b a a b b a b a 则,111轴交于与x m m mx x y )0(4322>-+=3211=-OA OB 19102111<+<n x n 2015年上海中学自主招生数学考试 一、填空题1. 已知 .2. 有 个实数x ，可以使得x -120为正整数.3. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，CD ＝BF ，BD ＝CE. 用含∠A 的式子表示∠EDF ，应为∠EDF ＝ .4. 在直角坐标系中，抛物线A 、B 两点，若A 、B 两点到原点的距离分别为OA 、OB ，且满足 ，则m = .5. 定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，r ＜72，且r 是一个整数，动圆B 保持内切于 圆A 且沿着圆A 的圆周滚动一圈，若动圆B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一 点，则r 共有 个可能的值.6. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人；如果每船坐8人，那么就 有一船不空也不满，则学生共有 人.7. 对于各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，…，a n ）（n 是不小于2的正整数），如果在 i ＜j 时有a i ＞a j ，则称a i 与a j 是该数组的一个“逆序”，例如数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正数数组 （a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6）的逆序数为2，则（a 6，a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的逆序数是 .8. 若n 为正整数，则使得关于x 的不等式 有唯一的整数解的n 的最大值 为 .二、选择题9. 已知x 2＋ax －12能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a 的个数为 ……………………………………………………………………………………………（ ）A. 3B. 4C. 6D. 810. 如图，D 、E 分别为△ABC 的底边所在直线上的两点，DB ＝EC ，过A 作直线l ，作DM ∥BA 交l 于M ，作EN ∥CA 交l 于N ，设 △ABM 面积为S 1，△ACN 面积为S 2，则………………（ ）,20151007735231,2013100753321122222222++++=++++= b a A. S 1＞S 2 B. S 1＝S 2 C. S 1＜S 2 D. 无法解定11. 设p 1，p 2，q 1，q 2为实数，则p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，若方程甲：x 2＋p 1x ＋q 1＝0，乙：x 2＋p 2x ＋q 2＝0，则…………………………………………………………………（ ）A. 甲必有实根，乙也必有实根B. 甲没有实根，乙也没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定12. 设 则以下四个选项中最接近 a －b 的整数为…………………………………………………………………………（ ）A. 252B. 504C. 1007D. 2013三、解答题13. 直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC （B 、D 位于AC 的两侧），M 、N 分别是AC 、BD 中点，且M 、N 不重合.⑴ 线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论；⑵ 若∠BAC ＝30°，∠CAD ＝45°，AC ＝4，求MN 的长.14. 是否存在m 个不全相等的正数a 1，a 2，…，a m (m ＞7)，使得它们能全部被摆放在一个圆 周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值；若不存在， 请说明理由.2015年上海中学自主招生数学考试参考答案：1. －1 解析：等式的两边都乘以a ＋b 即可得到答案.2. 10 解析：120－ 中共有10个完全平方数.3. 解析：由题意可得，4. 2 解析：由条件可得点A （x 1，0），B （x 2，0）中，x 1＜0，故由条件列式为： 然后利用根与系数的关系构建关于m 的方程即可求解.5. 11 解析：∵⊙B 滚动一圈后，切点不变，且r 为整数，∴⊙A 的周长是⊙B 的整数倍.6. 44 解析：设有x 艘船，依题意有0<4x ＋20－8（x —1）x ＜8，解得x ＝6.7. 13 解：取（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6）为（1，2，3，6，4，5），满足题意.8. 2209. C 解析：－12可以分解为6组整因数的积.10. B 解析：∵DM ∥AB ， ，又∵EN ∥CA ，∴ ，∵BD ＝CE ∴ ， ∴ . . 11. C 解析：假设两个方程都没有实数根，则 且 即 即,)(22121p p q q >+与题设矛盾，故假设不成立. 12. B 解析：错位相减，得 13. 解：⑴线段MN 与BD 垂直，联结MB 与MD ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长 的一半，可以知道 所以MB ＝MD .三角形MBD 中，N 是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：MN 垂直BD . ⑵ 如图：联结BM ，MD ，延长DM ，过B 作延长线的垂线段BE ，则可知在Rt △BEM 中，∠EMB ＝30°.⑶ ∵ AC ＝4，∴ BM ＝2，∴ BE ＝1， ∴ 由Rt △BMN 可得：14. 解：设前两个数为a 1，a 2，则有 每六个数为一个循环，故当 时，存在. A ∠-︒2190,321121=+x x ABD ABM S S ∆∆=ACEACN S S ∆∆=ACE ABD S S ∆∆=ACN ABMS S ∆∆=04121<-q p ,)(4,04222121222p p q q q p +>+∴<-2)(2222121p p q q +>+.201510072013100610075233121222222--++-+-+=- b a ,2,2AC MD AC MB ==.CED BDF ∆≅∆.2,3==MD EM 322)32(12+=++=BD .32+=BN 32)32(222-=+-=MN 8172162514321,,,1,1,a a a a a a a a a a a a a =====,,,2192 a a a a ==),2(6为正整数且n n n m ≥=。
2015年初中毕业班学业水平考试暨高中招生模拟测试数学附答案
2015年初中毕业班学业水平考试暨高中招生模拟测试数学 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分120分，考试时间共120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、报名号（考号）写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内.同时在答题卡背面第3页顶端用2B 铅笔涂好自己的座位号.2．第Ⅰ卷每小题选出的答案不能答在试卷上，必须用2B 铅笔在答题卡上把对应题目．．．．的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案.第Ⅱ卷必须用0.5mm 黑色墨水签字笔书写在答题卡上的指定位置.不在指定区域作答的将无效.3．考试结束，监考人员只将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：（每题3分，共30分）1、9的算术平方根是（ ）A ．±3B ．-3C ．3D ．±812、下列各式计算正确的是（ ）A ．222)（x y x y -=- B ．32-x x x = C ．235()x x = D ．54x x x ÷=3、右图是由四个相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的正视图是（ ）4、下列说法正确的是 （ ）A ．为了了解我市今年夏季冷饮市场冰淇淋的质量，可采用普查的调查方式B ．打开电视机，正在播广告是必然事件C ．销售某种鞋，销售商最感兴趣的是所销售的鞋的尺码的平均数D ．当我市考查人口年龄结构时，符合这一条件的所有资阳市的公民的年龄就是一个样本5、如图1，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32°，则∠2的度数是（ ）；A ．32°B ．58°C ．68°D ．60° 6、一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．100(1)121x +=B ．100(1)121x -=图数学第1页C ．2100(1)121x +=D ．2100(1)121x -=7、如图2，A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a 、b ，下列式子成立的是（ ）A ．ab ＞0B ．a +b ＜0C ．（b ﹣1）（a +1）＞0D ．（b ﹣1）（a ﹣1）＞08、如图3，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC =60°，若⊙O 的半径0C 为2，则弦BC 的长为（ ）A ．1 BC ．2 D．9、如图4，△ABD 是等边三角形，以AD 为边向外作△ADE ，使∠AED=30°，且AE =3,DE =2，连接BE ，则BE 的长为（ ）A ．4 BC ．5 D10、如图5，二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为直线x =1，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a +b =0；②8a +c ＜0；③abc ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2，⑤对任意实数m ，()m am b a b +≤+.其中正确的结论有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡相应区域作答，超出答案区域的答案无效.2．试卷中标“▲”及方框处是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答的内容或问题.请注意准确理解题意、明确题目要求，规范地表达、工整地书写解题过程或结果.二、填空题：（每题3分，共18分）11、PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，0.0000025米用科学记数图 2 图3法表示应为 米；12、有一组数据：5、2、6、5、4，它们的中位数是 ；13、已知：P A 、PB 与⊙O 相切于A 点、B 点，OA ＝1，P A ＝3，则图6中阴影部分的面积是 （结果保留π）；14、若关于x 的一元二次方程2(1)320m x x -+-=总有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ；15、如图7所示，在三角形ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DF 过EC 的中点G 并与BC 的延长线交于点F ，BE 与DE 交于点O ．若△ADE 的面积为2，则四边形BOGC 的面积为 ；16、如图8，()111P ,x y ，()222P ,x y ，……()P ,n n n x y 在函数()10y x x =>的图象上，△11POA 、△212P A A 、△323P A A 、……△1n n n P A A -都是等腰直角三角形，斜边1OA 、12A A 、23A A 、，……1n n A A -都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），则点n P 的坐标是 .（用含n 的式子表示）．三、解答题：（共72分）17、（7分）解方程：11322x x x-+=-- ；18、（8分）某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动，活动结束后，初三（2）班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调查（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如图9所示的扇形统计图.（1）该班学生选择“和谐”观点的有 人，在扇形统计图中，“和谐”观点所在扇形区域的圆心角是 度.（2）如果该校有1500名初三学生，利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生约有 人. 图6 图7 图8 图9（3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查，求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率（用树状图或列表法分析解答）19.（8分）关于x 的不等式组23(2)24x a x x -≥-⎧⎨-<⎩ （1）若2a =.求这个不等式组的解集.（2）若这个不等式组的整数解有3个，求a 的取值范围.20、（8分）如图10，在⊙O 中，AB =AC ，BD 为直径，弦AD 与BC 相交于点E ，延长DA 到F ，使∠ABF =∠ABC .（1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）若AD=8，tan ∠ABF =34，求DE 的长．21、（9分）如图11，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴相交于点M （3,0），与y 轴相交于点N （0，-4），反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过线 段MN 的中点A ，（1）求直线l 和反比例函数的解析式；（2）在函数k y x=（x ＞0）的图象上取异于点A 的一点B ， 作BC ⊥x 轴于点C ，连接OB 交直线l 于点P ．若△ONP 的 面积是△OBC 面积的3倍，求点P 的坐标．图10图1122、（9分）如图12，一艘船以每小时60海里的速度自A向正北方向航行，船在A处时，灯塔S在船的北偏东30°，航行1小时后到B处，此时灯塔S在船的北偏东75°，（运算结果保留根号）（1）求船在B处时与灯塔S的距离；（2）若船从B处继续向正北方向航行，问经过多长时间船与灯塔S的距离最近．23、（11分）如图13所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD 边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．24、（12分）如图14-1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+16x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N．①若直线l⊥BD，如图1，试求11BP BQ的值；图12图13②若l为满足条件的任意直线，如图14-2．①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。
2015高中阶段招生统一模拟考试数学试题3
2015年高中阶段招生统一模拟考试数 学 试 卷本试卷共10页，分为A 卷（120分）、B 卷（30分），全卷150分，考试时间120分钟。
A 卷又分为第Ι卷和第II 卷。
A 卷（共120分）第I 卷（选择题 共48分）一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确的字母填涂在答题卡上相应的位置。
1． 43-的倒数是 A ． 43 B ． 34- C ． 34 D ． 43-2． 下列各数：3π，sin 30°，3-，4，其中无理数的个数是 A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 3． 三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等两部分的是A ． 中线B ． 角平分线C ． 高D ． 中位线 4A ．B ．C ．D ．5． 下列实验中，概率最大的是A ． 抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面；B ． 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别刻有数字1到6），掷出的点数为奇数；C ． 在一副洗匀的扑克（背面朝上）中任取一张，恰好为方块；D ． 三张同样的纸片，分别写有数字2，3，4，和匀后背面朝上，任取一张恰好为偶数 6． 已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d 的范围是A ． 0<d <2B ． 1<d <2C ． 0<d <3D ． 0≤d <2 7． 如图，点P 是等边△ABC 的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A 开始沿AB 边运动到B ，再沿BC 边运动到C 为止，设运动时间为t ，△ACP 的面积为S ，则S 与的大致图象是8． 对于二次函数)3)(1(2-+=x x y ，下列说法正确的是 A ． 图象的开口向下B ． 当x >1时，y 随x的增大而减小 C ． 当x <1时，y随x 的增大而减小 D ．图象的对称轴是直线1-=x 9． 不能判定一个四边形是平行四边形的条件是A ． 两组对边分别平行B ． 一组对边平行，另一组对边相等C ． 一组对边平行且相等D ． 两组对边分别相等 10． 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍。
高中2015年自主招生数学考试含答案
⾼中2015年⾃主招⽣数学考试含答案2015年⾃主招⽣考试⼀、选择题（每⼩题6分，共30分。
每⼩题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有⼀个选项是正确的。
请将正确选项的代号填⼊题后的括号⾥，不填、多填或错填均得0分）1、下列图中阴影部分⾯积与算式2131242-??-++的结果相同的是………………【】2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【】①实数不是有理数就是⽆理数；② a ＜a ＋a ；③121的平⽅根是 ±11；④在实数范围内，⾮负数⼀定是正数；⑤两个⽆理数之和⼀定是⽆理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 3、某家庭三⼝⼈准备在“五⼀”期间参加旅⾏团外出旅游。
甲旅⾏社告知：⽗母买全票，⼥⼉按半价优惠；⼄旅⾏社告知：家庭旅⾏可按团体票计价，即每⼈均按⼋折收费。
若这两家旅⾏社每⼈的原标价相同，那么……………………………………………………………………【】 A 、甲⽐⼄更优惠 B 、⼄⽐甲更优惠 C 、甲与⼄相同 D 、与原标价有关4、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆⼼O 移动的⽔平距离为【】A 、2πB 、πC 、32D 、45、平⾯内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m 个，最少有n 个，则m n + 等于……………………………………………………………………………【】 A 、36 B 、37 C 、38 D 、39 ⼆、填空题（每⼩题6分，共48分）1、甲、⼄两⼈骑⾃⾏车，同时从相距65千⽶的两地相向⽽⾏，甲、⼄两⼈的速度和为32.5千⽶/时，则经过⼩时，两⼈相遇。
2、若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是。
3、某校把学⽣的笔试、实践能⼒和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的⽐例计⼊学期总评成绩，90分以上为优秀。
全国重点高中华中师大一附中2015年高中自主招生考试数学模拟试题(附答案)
确定一点 D,使得
的值最大，则 D 点的坐标为__________.
三、解答题（本大题共 5 个小题，共 72 分）
13、 （13 分）已知关于 x 的方程 (m2 1)x 2 3(3m 1)x 18 0 有两个正整数根（m
是整数）. △ABC 的三边 a、b、c 满足 c 2 3 ， m2 a 2m 8a 0 ， m2 b2m 8b 0 . 求：⑴ m 的值；⑵ △ABC 的面积.
O
C
如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的
横坐标为
6 5
，那么
EF=2GO
是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理
由；
（3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ
与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐
标；若不存在，请说明理由.
16、（13 分）已知点 P 是抛物线 y x2 上一点，过点 M（0，2）作半径为 2 的⊙M，
华师一附中 2015 年高中自主招生考试
参考答案
14、(15 分)如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，A（8，0），C（0，6），点 M 是 OA 的中点，P、Q 两点同时从点 M 出发，点 P 沿 x 轴向右运动；
点 Q 沿 x 轴先向左运动至原点 O 后，再向右运动到点 M 停止，点 P 随之停止运动．P、Q 两点运动的速度均为每秒 1 个单位．以 PQ 为一边向上作正方形 PRLQ．设点 P 的运动时 间为 t（秒），正方形 PRLQ 与矩形 OABC 重叠部分（阴影部分）的面积为 S（平方单 位）． （1）用含 t 的代数式表示点 P 的坐标； （2）分别求当 t=1，t=5 时，线段 PQ 的长； （3）求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）连接 AC．当正方形 PRLQ 与△ABC 的重叠部分为三角形时，直接写出 t 的取值范围．
2015年河南省中招考试数学试题及答案解析
一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列各数中最大的数是（）A. 5B.C.πD.－8【答案】：A【解析】：根据有理数的定义，很容易得到最大的数是5，选A。
2.如图所示的几何体的俯视图是（）【答案】：B【解析】：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，选B。
3.据统计，2014年我国高新产品出口总额达40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（）A.4.0570×109B. 0.40570×1010C. 40.570×1011D. 4.0570×1012【答案】：D【解析】：科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数。
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。
当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数。
将40570亿用科学记数法表示4.0570×1012元，选D。
4.如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=∠2，∠3=1250，则∠4的度数为（）A.550B.600 C .700 D.750【答案】：A【解析】：本题考查了三线八角，因为∠1=∠2，所以a∥b,又∠3=1250，∠3与∠4互补，则∠4的度数为550。
选A。
5.不等式组的解集在数轴上表示为（）【答案】：C【解析】：本题考查了不等式组的解集，有①得x≥-5，有②得x＜2，这里注意空心和实心；所以选C。
6.小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试，技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A.255分B.84分C.84.5分D.86分【答案】：D【解析】：本题主要考察加权平均数的计算方法，（85×2+80×3+90×5）÷（2+3+5）=86分，所以选D.7.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A.4B.6C.8D.10【答案】：C【解析】：本题主要考察平行四边形和等腰三角形三线合一定理。
华师一附中15年数学卷.
华师一附中高中提前自主招生考试数学训练题一、选择题1．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．︒=∠30ADC，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）．（A） B ）4 （C ） （D ）4.5 2. 设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax ，有两个不相等的实数根1x 、2x ，且1x <<12x ，那么实数a 的取值范围是( )A 、112-<aB 、5272<<-aC 、52>aD 、0112<<-a 3. 如图AC ⊥BC 于C ，BC ＝a, CA=b, AB=c, ⊙O 与直线AB 、BC 、AC都相切，则⊙O 的半径为（ ） A.2a b c +- B. 2b c a +- C. 2a b c ++ D. 2a cb +- 4. 如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abcc c b b a a +++的所有可能的值为 A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-25. 如图线段AB,CD 将大长方形分成四个小长方形， 其中18S =，26S =，35S =，则4S =（ ）A. 203B. 53C.10D. 1036. 如图，正方形ABCD 的边1=AB ，和都是以1为半径的 圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是 ( )A 、12-π B 、41π- C 、13-π D 、61π- 7. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c +++的值为（ ） A. 21 B. 22 C. 1 D. 2 8. .已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3AF 、CE 交于点G ，则A B C D A G C D S S 矩形四边形等9. 如图9-2，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE ，设于（ ） A. 65 B. 54 C. 43 D. 32 O A B C 3题图A S B D 1C5题图S 2S 4S 3cA B C a b A B C DEF GHG D CA B E F E D C B A 10. 如图，D 、E 在BC 上，F 、G 分别在AC 、AB 上，且四边形DEFG 为正方形．如果S △CFE ＝S △AGF ＝1，S △BDG ＝3，那么S △ABC 等于 ( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)911. 如果a +b +c =0,1114a b c ++=-，那么222111a b c ++的值为 (A)3 (B)8 (C)16 (D) 2012. 如果a 、b 是关于x 的方程(x +c )(x +d )=1的两个根，那么(a +c )(b +c )等于(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) c 213. .如图，Rt △ABC 的斜边BC=4，∠ABC=30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( )(A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π (D) 332-π 14. 如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ）A 、22<<-aB 、23≤<aC 、23≤<-aD 、23≤≤-a15. 如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于……………………（ ）A 、26B 、28C 、24D 、316. 有四位同学参加一场竞赛.竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得-100分;选乙题答对得90分，答错得-90分.若四位同学的总分为0，则这四位同学不同得分情况的种数是( ) .(A)18 (B) 24 (C)36 (D)4817. 如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，E 在AC 上，且∠AED ＝90°+21∠C ，则BC+2AE 等于( B )A ．AB B ．AC C ．23AB D ．23AC 二、填空题 的值为．1. 如果a ，b ，c 是正数，且满足， 那么2. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .3 已知12x x ，为方程2420x x ++=的两实根，则3121455x x ++=G F E D CB A4. 在△ABC 中，AC=2011,BC=2010, 20112010+=AB 则=∙C A cos sin5 如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是 ．6. 两个反比例函数x y 3=，x y 6=在第一象限内的图象点1P 、2P 、3P 、…、2007P 在反比例函数xy 6=上，它们的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、…、2007x ，纵坐标分别是1、3、5…共2007个连续奇数，过1P 、2P 、3P 、…、2007P 分别作y 轴的平行线，与xy 3=的图象交点依次为)','(111y x Q 、)','(222y x Q 、…、),('2007'20072007y x Q ， 则=20072007Q P7. 已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长8. 如图，直线x y 33=，点1A 坐标为（1，0），过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ，以原点O 为圆心，1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ，以原点O 为圆心，2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ，…，按此做法进行下去，点4A 的坐标为（ ， ）；点n A （ ， ）．9. 在一个口袋中有4个完全相同的小球， 把它们分别标号为 1， 2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球。
全国重点高中黄冈中学2015年自主招生理科实验班预录考试数学模拟试题八
黄冈中学2015年自主招生预录考试数学模拟试题一、填空题（每小题5分，共25分） 1、已知，20092008201022=-++x x ,则.___________2010200822=+--x x .2、若a 2-3a+1=0，则3a 3-8a 2+a+ ＝__________.3、如图，点A 、C 都在函数y= (x<0)的图象上，点B 、D 都在x 轴上，且使得∆OAB 、∆BCD 都是等腰直角三角形，(︒=∠=∠90BCD OAB ),则点D4、已知在平面直角坐标系中，O(0,0)、A(6,0),∠OBA=60o ︒，当∆OAB 的面积最大时，点B 的坐标是____________________.5、如图，在∆ABC 中，AB=3,AC=2，以BC 为边的∆BCP 是等边三角形，则AP 的最大值为________，最小值为_________. 二、选择题(每小题5分，共25分)6、已知关于x 的两个方程x 2+2bx+a=0与x 2+ax+2b=0有且仅有一个公共根，则a 2+b 2最小值为（ ）A.B.C. D.7、如图，在等腰Rt ∆ABC 中，AC=BC ，以斜边AB 为一边作等边∆ABD ，使点C 、D 在AB 的同侧，再以CD 为一边作等边∆CDE ，使点C 、E 在AD 的异侧，若AE=1,则CD 的长为（ ）A.13- B.C. D.8、若a, b 为实数,且 ，则（1+a+b ）(1-a-b)的值为（ ）132+a x351525354213-226-26-b b a a +-=-+1111xA.-1B.0C.1D.29、关于x ,y 的方程(m-1)x 2+2x-my-m+3=0的解与m 的取值无关，则x+y ＝（ ）A.11B.11或-1C.8D.-110、已知一个一次函数自变量x 的取值范围是-3≤x ≤5，对应的函数值y 的取值范围为-2≤y ≤10，则这个一次函数图象上的整点（横坐标、纵坐标都为整数的点）的个数有（ ）A 、4个B 、5个C 、9个D 、10个三、解答题（共50分）11、在负实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程的解，求实数k 的值。
【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2015年自主招生考试数学试题(含解析)
2015年湖南省长沙市长郡中学自主招生考试数学试卷（理实班）一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分．1．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．9 D．123．若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF=：1 C．AF2=FH•FE D．FB：FC=HB：EC5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22 B．24 C．36 D．446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30 B．35 C．56 D．448二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分．7．若4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA= ．8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是．10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm．11．物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是．12．设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆C k的半径为（k为正整数，用a表示，不必证明）三、解答题：本题有4个小题，共60分．13．如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．14．已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分 3 1 0奖励（元/每人）1500 700 0当比赛进行到12轮结束已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．2015年湖南省长沙市长郡中学自主招生考试数学试卷（理实班）参考答案与试题解析一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分．1．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个【考点】零指数幂．【专题】分类讨论．【分析】方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论．第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为﹣1，指数为偶数．【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x﹣1≠0时，解得x=﹣3；（2）当x2+x﹣1=1时，解得x=﹣2或1．（3）当x2+x﹣1=﹣1，x+3为偶数时，解得x=﹣1因而原方程所有整数解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4个．故选B．【点评】本题考查了：a0=1（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1．本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选C，需特别注意．2．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3﹣h1=6，那么等边△ABC的面积为（）A．4 B．8 C．9 D．12【考点】等边三角形的性质．【专题】面积法．【分析】先设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，根据S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB，得出ah1+ ah2﹣ah3=，再根据h2+h3﹣h1=6，求得a=4即可得到等边△ABC的面积．【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则S△PAB+S△PAC﹣S△PCB=S△CAB，即ah1+ah2﹣ah3=，∴a（h2+h3﹣h1）=，∵h2+h3﹣h1=6，∴a=4，∴S△CAB==12，故选（D）．【点评】本题主要考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长之间的关系．根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解决问题的关键．3．若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大【考点】实数大小比较．【分析】在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．【解答】解：∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣0.001，那么a3=﹣0.000 000 001，=﹣0.1，=﹣1000，∴最小，a3最大，故选A．【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化比较的步骤．4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF=：1 C．AF2=FH•FE D．FB：FC=HB：EC【考点】旋转的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．【解答】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．∴AE⊥AF，所以A正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF=：1，所以B正确；∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC=HB：EC，所以D正确．∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2=FH•FE不正确．故选：C．【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22 B．24 C．36 D．44【考点】三角形的面积．【分析】可设S△ADF=m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m表示出△AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积．【解答】解：如图，连AF，设S△ADF=m，∵S△BDF：S△BCF=10：20=1：2=DF：CF，则有2m=S△AEF+S△EFC，S△AEF=2m﹣16，而S△BFC：S△EFC=20：16=5：4=BF：EF，又∵S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4，而S△ABF=m+S△BDF=m+10，∴S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4=（m+10）：（2m﹣16），解得m=20．S△AEF=2×20﹣16=24，S ADEF=S△AEF+S△ADF=24+20=44．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30 B．35 C．56 D．448【考点】整数问题的综合运用．【专题】数字问题．【分析】此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有C152=105种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3=每天3个班再用105除以3=35天．【解答】解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152=105种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是105÷（24÷8）=35（天）．故选：B．【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分．7．若4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA= ．【考点】解一元二次方程﹣配方法；锐角三角函数的定义．【分析】先解一元二次方程，再根据锐角三角函数的定义得出即可．【解答】解：4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，（2sinA﹣cosA）2=0，2sinA﹣cosA=0，2sinA=cosA，tanA==，故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和解一元二次方程等知识点，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握．8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过 2 小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．【考点】勾股定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解答】解：如下图所示，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，则BC=3x，AC=12x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2=OB2；在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2=AO2；在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2=AB2=（15x）2；∴122+（3x）2+122+（12x）2=（15x）2，解得：x=2或﹣2（舍去）．即经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理的实际应用，难度适中，先根据题意画出图形是解题关键．9．如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是y=﹣x2﹣x+．【考点】二次函数综合题．【分析】根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，∴A点的坐标为：（﹣4，2），B点的坐标为：（﹣2，6），C点的坐标为：（2，4），将A，B，C代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴二次函数解析式为：y=﹣x2﹣x+．故答案为：y=﹣x2﹣x+．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键．10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于20 cm．【考点】相切两圆的性质．【分析】首先根据题意作图，可得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，然后过点B作BE⊥AC，又由切线的性质，即可得四边形ECDB是矩形，则在Rt△AEB中，即可求得BE的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长．【解答】解：如图，根据题意得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，∴AB=25cm，AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=90°，过点B作BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴四边形ECDB是矩形，∴BE=CD，EC=BD=5cm，∴AE=AC﹣EC=15cm，在Rt△AEB中，BE===20（cm），∴CD=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．11．物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是（﹣，﹣2）．【考点】规律型：点的坐标．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边长为4，物质B是物质A的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：正方形的边长为4，因为物质B是物质A的速度的2倍，时间相同，物质A与物质B 的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1，物质A行的路程为16×=，物质B行的路程为16×=，在BC边相遇；②第二次相遇物质A与物质B行的路程和为16×2，物质A行的路程为16×2×=，物质B行的路程为16×2×=，在DE边相遇；③第三次相遇物质A与物质B行的路程和为16×3，物质A行的路程为16×3×=16，物质B行的路程为16×3×=32，在A点相遇；④第四次相遇物质A与物质B行的路程和为16×4，物质A行的路程为16×4×=，物质B行的路程为16×4×=，在BC边相遇；⑤第五次相遇物质A与物质B行的路程和为16×5，物质A行的路程为16×5×=，物质B行的路程为16×5×=，在DE边相遇；…综上可得相遇三次一个循环，因为2015=3×671+2，即第2015次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第2015次相遇在边DE 上，点的坐标是（﹣，﹣2）．故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】此题属于应用类问题，主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，难度较大．12．设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆C k的半径为（﹣1 ）k﹣1 a （k为正整数，用a表示，不必证明）【考点】相切两圆的性质；勾股定理；正方形的判定与性质．【专题】规律型．【分析】（1）连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，得到AC=2a﹣2r，根据正方形的性质和勾股定理得到AC=2r，推出方程2a﹣2r=2r，求出即可；（2）求出r=（﹣1）a，r3=（﹣1）r=a，r4=，得出圆C k的半径为r k=（﹣1 ）k﹣1 a即可．【解答】（1）解：连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，∴AC=2a﹣2r，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，由勾股定理得：AC=2r，∴2a﹣2r=2r，解得：r=（﹣1）a，故答案为：（﹣1）a．（2）解：由（1）得：r=（﹣1）a，同理圆C3的半径是r3=（﹣1）r=a，C4的半径是r4=，…圆C k的半径为r k=（﹣1 ）k﹣1 a，故答案为：r k=（﹣1 ）k﹣1 a．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，勾股定理，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，能根据计算结果得出规律是解此题的关键．三、解答题：本题有4个小题，共60分．13．如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）根据O为AD中点，OC∥AE，得到2OC=AE，再根据AD是圆O的直径，得到2OC=AD，从而得到AD=AE；（2）根据平行四边形的性质得到BC∥AD，再根据C为中点，得到AB=BE=4，从而求得BC=BE=4，然后连接BD，得到∠DBE=90°，进而得到BE=BC=CE=4，然后求面积即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC=AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC=AD，∴AD=AE．（2）由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又C为中点，∴AB=BE=4，∵AD=AE，∴BC=BE=4，连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE=90°，∴CE=BC=4，即BE=BC=CE=4，∴所求面积为4．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定，解题的关键正确的应用圆周角定理．14．已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】探究型．【分析】（1）先判断出△的符号即可得出结论；（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．【解答】解：（1）∵△=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4，∴|AB|=2．又设顶点M（a，b），由y=（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．得b=﹣（p﹣1）2﹣1．当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM=|AB||b|取最小值1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．15．某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分 3 1 0奖励（元/每人）1500 700 0当比赛进行到12轮结束（2015•天心区校级自主招生）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x ﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y=x﹣1与C点不过y=x﹣1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，即可求得a 的取值范围；②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y=x﹣1下方．【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；若C点过y=x﹣1；则2=（m+3）﹣1，m=﹣1与m＞0不合；∴C点不过y=x﹣1；若点D过y=x﹣1，则2=m﹣1，m=2，∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M（，0），由于y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，∴，∴，∴y=ax2﹣7ax+10a（也可得：y=a（x﹣2）（x﹣5）=a（x2﹣7x+10）=ax2﹣7ax+10a）∴y=a（x﹣）2﹣a；∴抛物线顶点P（，﹣ a）∵顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，∴＜﹣a＜2，∴﹣＜a＜﹣．②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴AF=QF，CQ=BC=2，∴CF=n+2，DF=2﹣n；在Rt△DCF中，∵DF2+DC2=CF2；∴32+（2﹣n）2=（n+2）2，∴n=，∴F（2，）∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴﹣a=，∴a=﹣；∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣5，抛物线与y轴的交点为Q（0，﹣5），又直线y=x﹣1与y轴交点（0，﹣1）；∴Q在直线y=x﹣1下方．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。
2015年全国高校自主招生数学模拟试卷2
∴所求值=log2．
三、（本题满分20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．
解：由于x≥y≥z≥，故≤x≤－×2=．
∴cosxsinycosz=cosx×[sin(y+z)+sin(y－z)]=cos2x+cosxsin(y－z)≥cos2=．即最小值．
(A)x100a，S100=2ba(B)x100b，S1002ba
(C)x100b，S100=ba(D)x100a，S100ba
解：x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，…．易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=－a，
又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2b－a．选A．
(由于≤x≤，y≥z，故cosxsin(y－z)≥0)，当y=z=，x=时，cosxsinycosz=．
∵cosxsinycosz=cosz×[sin(x+y)－sin(x－y)]=cos2z－coszsin(x－y)．
三、（20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．
四、(20分)
设双曲线xy1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上．
(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
(2)设P(1，1)在C2上，Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标．
解：f(x)的对称轴为x=，
易得，0<α<<<β<<<γ<<<δ<．选B．
2015年高校自主招生数学模拟试卷(6)
2015年高校自主招生数学模拟试卷（6）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P−ABCD 中，∠APC ＝60°，则二面角A−PB−C 的平面角的余弦值为（ ）A. 71B. 71-C. 21D. 21-2. 若21sin cos =-x x ，则=-x x 33sin cos （ ） A.83 B.1611 C. 1611-D. 83-3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于（ ） A.8152B.8159 C.8160 D.8161 4. 设函数1cos 2sin 3)(++=x x x f ．若实数a 、b 、c 使得1)()(=-+c x bf x af 对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于（ ） A. 21-B.21 C. −1 D. 15. 设b a ,是不共线的两个向量．已知k +=2，+=，32-=，若S Q P ,,三点共线，则k 的值为_______．A. 1-B. 3-C. 34-D. 53-6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集．若n ∈A 时总有B n ∈+22，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62B. 66C. 68D. 74DP二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则PD PC PB PA +++的最小值为__________．8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，BC ＝6，33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________．9. 已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________．10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数．若a 1＝d ，b 1＝d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________．11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为________． 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）．三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 求证：3131211333<++++n．14. 已知过点(0，1)的直线l 与曲线C ：)0(1>+=x xx y 交于两个不同点M 和N ．求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹．15. 设函数)(x f 对所有的实数x 都满足)()2(x f x f =+π． 求证：存在4个函数)4,3,2,1)((=i x f i 满足：（1）对4,3,2,1=i ，)(x f i 是偶函数，且对任意的实数x ，有)()(x f x f i i =+π； （2）对任意的实数x ，有x x f x x f x x f x f x f 2sin )(sin )(cos )()()(4321+++=．2015年高校自主招生数学模拟试卷（6）参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P−ABCD 中，∠APC ＝60°，则二面角A−PB−C 的平面角的余弦值为（ B ）A. 71B. 71-C. 21D. 21-解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M ．连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A−PB−C 的平面角．不妨设AB ＝2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM ．在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC ．2.若21sin cos =-x x ，则=-x x 33sin cos （ ） A.83 B.1611 C. 1611-D. 83-解：因为21sin cos =-x x ，有832211sin cos 2=-=x x ， )sin cos sin )(cos sin (cos sin cos 2233x x x x x x x x ++-=-=+⨯=)831(211611．故选B ．3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式a −2b ＋10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92＝81个．由不等式a −2b ＋10>0得2b ＜a ＋10，于是，当b ＝1、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、DPM9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5＝45种；当b ＝6时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b ＝7时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b ＝8时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当b ＝9时，a 只能取9，有1种．于是，所求事件的概率为816181135745=++++．4. 设函数1cos 2sin 3)(++=x x x f ．若实数a 、b 、c 使得1)()(=-+c x bf x af 对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于（ C ） A. 21-B.21 C. −1 D. 1解：令c ＝π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )＋f (x−c )＝2，于是取21==b a ，c ＝π，则对任意的x ∈R ，af (x )＋bf (x−c )＝1，由此得1cos -=acb ． 一般地，由题设可得1)sin(13)(++=ϕx x f ，1)sin(13)(+-+=-c x c x f ϕ，其中20π<<ϕ且32tan =ϕ，于是1)()(=-+c x bf x af 可化为 1)sin(13)sin(13=++-+++b a c x b x a ϕϕ，即0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+++-+++b a x c b c x b x a ϕϕϕ，所以 0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+++-++b a x c b x c b a ϕϕ．由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+)3(01)2(0sin )1(0cos b a c b c b a ， 若b ＝0，则由(1)知a ＝0，显然不满足(3)式，故b≠0．所以，由(2)知sin c ＝0，故c ＝2kπ＋π或c ＝2kπ(k ∈Z )．当c ＝2kπ时，cos c ＝1，则(1)、(3)两式矛盾．故c ＝2kπ＋π(k ∈Z )，cos c ＝−1．由(1)、(3)知21==b a ，所以1cos -=ac b ． 5. 设,是不共线的两个向量．已知k +=2，+=，32-=，若S Q P ,,三点共线，则k 的值为__C __．A. 1-B. 3-C. 34-D. 53-解：由b k a PQ +=2，又b a RS QR QS 23-=+=， 又因为 S Q P ,,三点共线，所以Q ∥， 所以 k 34-=，即34-=k ，故选C ． 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集．若n ∈A 时总有2n ＋2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ B ） A. 62B. 66C. 68D. 74解：先证|A ∪B |≤66，只须证|A |≤33，为此只须证若A 是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n ∈A ，使得2n ＋2∈B ．证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个．由于A 是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A ，即存在n ∈A ，使得2n ＋2∈B ． 如取A ＝{1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}， B ＝{2n ＋2|n ∈A }，则A 、B 满足题设且|A ∪B |≤66． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |的最小值为5223+ ．解：如图，设AC 与BD 交于F 点，则|PA |＋|PC |≥|AC |＝|FA |＋|FC |，|PB |＋|PD |≥|BD |＝|FB |＋|FD |，因此，当动点P 与F 点重合时，|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |取到最小值5223||||+=+BD AC ．8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，BC ＝6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于32． 解：因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以2)()(=+⋅++⋅BF AB AC BE AB AB ，即22=⋅+⋅+⋅+BF AC AB AC BE AB AB ．因为12=AB ，P FDCB1133236133133-=⨯⨯-+⨯⨯=⋅，-=，所以21)(1=--⋅+，即2=⋅BC BF ．设EF 与BC 的夹角为θ，则有2cos ||||=⋅⋅θ，即3cos θ＝2，所以32cos =θ． 9. 已知正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于635π． 解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上．在面AA 1B 1B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为332=AE ，AA 1＝1，则61πAE A =∠．同理6πBAF =∠，所以6πEAF =∠，故弧EF 的长为ππ936332=⋅，而这样的弧共有三条．在面BB 1C 1C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B ，半径为33，2πFBG =∠，所以弧FG 的长为ππ63233=⋅．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为635633933πππ=⨯+⨯． 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数．若a 1＝d ，b 1＝d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于 21．解：因为22111212121321232221114)2()(qq q b q b b d a d a a b b b a a a ++=++++++=++++，故由已知条件知道：1＋q ＋q 2为m 14，其中m 为正整数．令mq q 1412=++，则 mmm q 4356211144121-+-=-++-=．由于q 是小于1的正有理数，所以3141<<m，即5≤m ≤13且m m 4356-是某个有理数的平方，由此可知21=q ． 11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为554． 解：实际上)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x xππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y ＝g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)＝g (x 1)．于是)(2)(2)(2)()(22212111x f x x g x x g x x g x f =+≥+=+=，而f (x )在]45,43[上是减函数，所以554)45()(=≥f x f ，即f (x )在]45,41[上的最小值是554． 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 3960 种（用数字作答）．解：使2个a 既不同行也不同列的填法有C 42A 42＝72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C 42A 42＝72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有C 161A 92＝16×72种．所以，符合题设条件的填法共有722−72−16×72＝3960种．三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 求证：3131211333<++++n．证明1：111))1(1)1(1()1()1(113+-+⋅+--=+-<m m mm mm m m m m=（2111)1111-++⋅⋅+--m m mm m而m m m m m =-++<-++211211111113+--<m m m原式＜1＋111141213111+--++-+-n n ＝3111222<+--+n n证明2：)1)(1()1(2--+->+=n n n n n n n11)1(1121---=-+-<n n n n n n n nn n n n n nn 111)1(121--=---<原式〈323)1113121211(21<-=--++-+-+nnn14. 已知过点(0，1)的直线l 与曲线C ：)0(1>+=x xx y 交于两个不同点M 和N ．求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹．解：设点M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，曲线C 在点M 、N 处的切线分别为l 1、l 2，其交点P 的坐标为(x p ，y p )．若直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=11kx y xx y ，消去y ，得11+=+kx x x ，即(k −1)x 2＋x −1＝0．由题意知，该方程在(0，＋∞)上有两个相异的实根x 1、x 2，故k ≠1，且Δ＝1＋4(k −1)>0…(1)，01121>-=+k x x …(2)，01121>-=k x x …(3)，由此解得143<<k ．对xx y 1+=求导，得211x y'-=，则2111|1x y'x x -==，2211|2x y'x x -==，于是直线l 1的方程为))(11(1211x x x y y --=-，即))(11()1(12111x x x x x y --=+-，化简后得到直线l 1的方程为1212)11(x x x y +-=…(4)．同理可求得直线l 2的方程为2222)11(x x x y +-=…(5)．(4)−(5)得022)11(212122=-+-x x x x x p ，因为x 1≠x 2，故有21212x x x x x p +=…(6)．将(2)(3)两式代入(6)式得x p ＝2．(4)＋(5)得)11(2))11(2(2212221x x x x x y p p +++-=…(7)，其中111212121=+=+x x x x x x ，12)1(212)(2)(112122121222121221222122212221-=--=-+=-+=+=+k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x ，代入(7)式得2y p ＝(3−2k )x p ＋2，而x p ＝2，得y p ＝4−2k ．又由143<<k 得252<<p y ，即点P 的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）．15. 设函数)(x f 对所有的实数x 都满足)()2(x f x f =+π． 求证：存在4个函数)4,3,2,1)((=i x f i 满足：（1）对4,3,2,1=i ，)(x f i 是偶函数，且对任意的实数x ，有)()(x f x f i i =+π； （2）对任意的实数x ，有x x f x x f x x f x f x f 2sin )(sin )(cos )()()(4321+++=． 证明：记2)()()(x f x f x g -+=，2)()()(x f x f x h --=，则f (x )＝g (x )＋h (x )，且g (x )是偶函数，h (x )是奇函数，对任意的x ∈R ，g (x ＋2π)＝g (x )，h (x ＋2π)＝h (x )．令2)()()(1πx g x g x f ++=，⎪⎩⎪⎨⎧+=+≠+-=202cos 2)()()(2πk πx πk πx x πx g x g x f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=k πx k πx xπx h x h x f 0sin 2)()()(3，⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=2022sin 2)()()(4k πx k πx x πx h x h x f ，其中k 为任意整数．容易验证f i (x )，i ＝1，2，3，4是偶函数，且对任意的x ∈R ，f i (x ＋π)＝f i (x )，i ＝1，2，3，4．下证对任意的x ∈R ，有f 1(x )＋f 2(x )cos x ＝g (x )．当2πk πx +≠时，显然成立；当2πk πx +=时，高等院校自主招生数学模拟试卷 戴又发编第11页 因为2)()()(cos )()(121πx g x g x f x x f x f ++==+，而 )()2()2())1(223()23()(x g πk πg πk πg πk πk πg πk πg πx g =+=--=+-+=+=+，故对任意的x ∈R ，f 1(x )＋f 2(x )cos x ＝g (x )． 下证对任意的x ∈R ，有f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ＝h (x )．当2k πx ≠时，显然成立；当x ＝kπ时，h (x )＝h (kπ)＝h (kπ−2kπ)＝h (−kπ)＝−h (kπ)，所以h (x )＝h (kπ)＝0，而此时f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ＝0，故h (x )＝f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ；当2πk πx +=时， )()2()2())1(223()23()(x h πk πh πk πh πk πk πh πk πh πx h -=+-=--=+-+=+=+，故)(2)()(s i n )(3x h πx h x h x x f =+-=，又f 4(x )sin2x ＝0，从而有h (x )＝f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ． 于是，对任意的x ∈R ，有f 3(x )sin x ＋f 4(x )sin2x ＝h (x )．综上所述，结论得证．。
全国重点高中XXX2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(A卷)(附答案)
全国重点高中XXX2015年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题(A卷)(附答案)XXX2015年自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题（A卷）时间：120分钟，满分：120分一、选择题（每小题5分，共30分）1.已知 $x-\frac{5x-2012}{x-2}$，则代数式的值是（）。
A。
2013.B。
2015.C。
2016.D。
20172.已知$S=\frac{1}{1980}+\frac{1}{1981}+\frac{1}{1982}+。
+\frac{1}{2012}$，则 $S$ 的整数部分是（）。
A。
59.B。
60.C。
61.D。
633.已知四边形 $ABCD$，下列条件：①$AB∥CD$；②$BC∥AD$；③$AB=CD$；④$BC=AD$；⑤$\angleA=\angle C$；⑥$\angle B=\angle D$。
任取其中两个，可以得出“四边形 $ABCD$ 是平行四边形”的概率是（）。
A。
$\frac{2}{3}$。
B。
$\frac{3}{4}$。
C。
$\frac{3}{5}$。
D。
$\frac{7}{15}$4.如图，矩形 $ABCD$ 的长为6，宽为3，点 $O_1$ 为矩形的中心，$⊙O_2$ 的半径为1，$O_1O_2⊥AB$于点 $P$，$O_1O_2=6$。
若 $⊙O_2$ 绕点 $P$ 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，$⊙O_2$ 与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）。
A。
3次。
B。
4次。
C。
5次。
D。
6次5.如图，$ABCD$ 是正方形场地，点 $E$ 在 $DC$ 的延长线上，$AE$ 与 $BC$ 相交于点 $F$。
有甲、乙、丙三名同学同时从点 $A$ 出发，甲沿着 $A-B-F-C$ 的路径行走至 $C$，乙沿着 $A-F-E-C-D$ 的路径行走至 $D$，丙沿着 $A-F-C-D$ 的路径行走至 $D$。
若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）。
重点高中自主招生数学试题
重点高中自主招生数学试题1.引言1.1 介绍重点高中自主招生的背景和重要性重点高中自主招生是指高中阶段对学生进行选拔的一种途径，通常在学生初中阶段进行选拔。
自主招生的背景是为了解决传统招生方式对学生综合能力的评价不足的问题，更能全面挖掘学生的潜能和特长。
重点高中的自主招生考试作为学生选拔的一个重要环节，具有深远的意义。
自主招生能够更全面地评价学生的能力和潜力，不仅仅局限于学生的考试成绩。
自主招生能够激发学生的学习动力和创造力，为学生提供更广阔的成长空间。
自主招生还有利于选拔优秀学生，并为他们提供更多的学习资源和成长机会。
重点高中自主招生在学生选拔中具有重要的意义和价值。
数学作为自主招生考试的一个重要科目，在学生选拔中扮演着关键的角色。
数学能够有效地检验学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决实际问题的能力，是重点高中自主招生考试中不可或缺的一部分。
学生需要加强数学知识的学习和掌握，提高数学解题能力，以在自主招生考试中取得更好的成绩和更多的机会。
本文旨在通过对数学试题的讲解和分析，帮助学生更好地应对重点高中自主招生考试，加强对数学的学习和理解，提高自己的竞争力。
接下来，我们将从数列与数学归纳法、不等式与绝对值、函数与方程、数学推理与证明等几个方面展开讨论，为学生提供更多的学习参考和指导。
1.2 强调数学在学生选拔中的重要性数学在学生选拔中的重要性无法低估。
重点高中自主招生考试对学生的数学能力有着严格的要求，而数学成绩往往被视为选拔学生的重要指标之一。
数学是一门需要逻辑思维和分析能力的学科，它不仅考察学生的计算能力，更重要的是培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
在现代社会，数学在各个领域都有着广泛的应用，学生掌握了扎实的数学知识，将更有利于他们未来的学习和发展。
数学在学生选拔中的重要性还体现在其对学生综合能力的考察。
数学题目往往融合了逻辑推理、分析判断、计算能力等多个方面的能力要求，通过解题过程可以全面地考察学生的综合能力。
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9、圆心在x轴上的两圆相交于A、B两点,已知A点的坐标为(-3,2),则B点的坐标是 。 10、用长4㎝,宽3㎝的邮票300枚不重不漏摆成一个正方形,这个正方形的边长等 于 ㎝。
二、选择题：（每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确 的) 11、用科学记数法表示0.0625,应记作 (A)0.625×10 1 (B)6.25 10 2 (C)62.5 10 3 (D)625 10 4 ( )
(B)12个
19、若不等式组 (A)m＞3
x 8 4 x 1
的解集是x＞3,则m的取值范围是 (
xm
)
(B)m≥3
(C)m≤3
(D)m＜3
20、如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆 按 箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时 , 则这个圆共转了 ( (A)4圈 (B)3圈 ) (C)5圈 (D)3.5圈
5、写出一条经过第一、二、四象限,且过点(-1,3)的直线解析式 。 6、已知
a 2 ab ,则 b 3 b
。
7、一顶简易的圆锥形帐蓬,帐篷收起来时伞面的长度有4米,撑开后帐篷高2米, 则帐篷撑好后的底面直径是 米。 。
8、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则其外接圆的半径为
C P
O1
A O2
B D
28、(本题14分)已知抛物线y=x 2 +bx+c与x轴的两个交点分别为A(x 1 ,0)、B(x 2 ,0)(A在B的左边),且x 1 + x 2 =4. (1)求b的值及c的取值范围; (2)如果AB=2,求抛物线的解析式; (3)设此抛物线与y轴的交点为C,顶点为D,对称轴与x轴的交点为E,问是否存在这 样的抛物线,使△AOC和△BED全等,如果存在,求出抛物线的解析式;如果不存在, 请说明理由.
12、如果a＞b,且c为实数,那么下列不等式一定成立的是 ( )
(A)ac＞bc
(B)ac＜bc
(C)ac 2 ＞bc 2
(D)ac 2 ≥bc 2
13、元月份某一天,北京市的最低气温为6℃,长泰县的最低气温为15℃,那么这一天长泰县的最低气温比北京市的最低气 温高 (A)15℃ (B)20℃ ( (C)-21℃ ) (D)21℃
24、(本题10分)已知:关于x的方程 x 2 2 x k 0 有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)若 、 是这个方程的两个实数根,求: (3)根据(2)的结果你能得出什么结论?.
25、(本题12分)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,OA=OB=1,与x轴的正方向夹角为30°. 求直线AB的解析式. B A O x y
14、在下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( ) (B)圆 (C)梯形 (D)平行四边形
(A)等腰三角形
15、抛物线y=2x 2 是由抛物线y=2(x+1) 2 2 经过平移得到的,则正确的平移是( ) (A)先向右平移1个单位,再向下平移2个单位 (B)先向左平移1个单位,再向上平移2个单位 (C)先向右平移2个单位,再向下平移1个单位 (D)先向左平移2个单位,再向上平移1个单位 16、在平面内有线段AB和直线l,点A、B到直线l的距离分别是4㎝、6㎝.则线段AB 的中点C到直线l的距离是 (A)1 或 5 (B)3 或 5 (C)4 (D)5 ( )
26、(本题12分)已知:如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,CD⊥AB,垂足为D,点 P在BA的延长线上,且PC是圆O的切线. (1)求证:∠PCD=∠POC (2)若OD:DA=1:2,PA=8,求的半径的长. P B B D O A D C
27、(本题12分)已知:如图,⊙O 1 和⊙O 2 相交于A、B两点,动点P在⊙O 2 上,且在⊙ O 1 外,直线PA、PB分别交⊙O 1 于C、D,问: ⊙O 1 的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化?如果发生变化,请你确定CD最长和 最短时P的位置;如果不发生变化,请你给出证明.
17、在Rt△ABC的直角边AC边上有一动点P(点P与点A、C不重合),过点P作直线截得 的三角形与△ABC相似,满足条件的直线最多有 ( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
18、在1000个数据中,用适当的方法抽取50个作为样本进行统计,频数分布表中, 54.5～57.5这一组的频率是0.12,那么,估计总体数据落在54.5～57.5之间的约 有 (A)6个 ( ) (C)60个 (D)120个
三、解答题:(共90分)
1 21、(本题10分)计算: ( 3 ) 0 ( ) 2 27 9 tan30° 3
22、(本题10分)解方程:
6 3 1 x 1 x 1
2
23、(本题10分)将分别标有数字0,1,2,3的四张卡片洗匀后,背面朝上放在桌面 上.抽取一张作为百位上的数字,再抽取一张作为十位上的数字, 再抽取一张作为个位上的数字,每次抽取都不放回. (1)能组成几个三位数?请写出个位数是“0”的三位数. (2)这些三位数中末两位数字恰好是“01”的概率为多少.
2015年全国重点高中阶段自主招生考试数学模拟试题（六）
注意事项：1.全卷满分150分，考试时间120分钟； 2．考生在答题过程中，不能使用计数器。 一、填空题：（每小题3分,共30分) 1、 3 2 的绝对值是 2、方程 x 2 2 x 的解是 。 。 。 。
3、函数 y 1 2 x 的自变量x的取值笵围是 4、抛物线 y ( x 2) 2 3 的对称轴为直线