高考数学总复习第三篇三角函数解三角形必修4必修5第4节三角函数的图象与性质应用能力提升理含解析
高中数学必修4三角函数的图像与性质
高一数学辅导三角函数（四）【三角函数的图像与性质】考点1求与三角函数有关的函数的定义域【例１】(１)求下列函数的定义域:①y=错误!+错误!；②y＝错误!；③y＝lgｓin(cos x)．（2）已知ｆ(x)的定义域为［0，１）,求ｆ(ｃos x)的定义域.解析:(1)①错误!未定义书签。
错误!0<x<错误!或错误!未定义书签。
≤４,所以函数的定义域是错误!未定义书签。
∪[π，4］．②siｎ(cos x)≥00≤cos x≤12kπ-错误!未定义书签。
≤x≤2ｋπ＋错误!未定义书签。
,k∈Ｚ，所以函数的定义域是错误!未定义书签。
.③由siｎ(cosｘ)>02kπ＜coｓｘ＜2kπ＋π(k∈Ｚ）,又∵-1≤cos x≤1，∴0＜cos x≤１，∴所求定义域为错误!未定义书签。
,k∈Z.(2)0≤co ｓ x ＜12k π-＼f （π，２）≤x ≤2k π＋错误!未定义书签。
，且ｘ≠２k π(k ∈Z ）,∴所求函数的定义域为错误!未定义书签。
∪(2ｋπ,2k π＋错误!]，ｋ∈Z.考点2 求三角函数的单调区间【例2】 求下列函数的单调区间:（１)ｙ=＼ｆ(1,２)ｓｉｎ错误!; （2）ｙ=－错误!未定义书签。
．解析:(1）∵ｙ＝错误!sin 错误!未定义书签。
=－错误!未定义书签。
ｓi ｎ错误!,且函数ｙ＝sin x 的单调递增区间是错误!未定义书签。
,单调递减区间是错误!未定义书签。
(k ∈Z).∴由2k π－＼f(π,2)≤错误!未定义书签。
-π4≤2k π+错误!未定义书签。
3k π－错误!未定义书签。
≤x ≤3ｋπ+9π8(k ∈Z)， 由2k π＋错误!≤错误!-错误!≤２k π+错误!未定义书签。
3k π＋错误!未定义书签。
≤ｘ≤3k π＋＼f （２１π,8)(错误!Z),即函数的单调递减区间为[3k π－3π8,3k π＋9π８](k ∈Ｚ)，单调递增区间为［3k π+9π８,3k π+错误!]错误!(2）作出函数y =－错误!未定义书签。
高考数学复习重要知识点：三角函数的图象与性质
2019高考数学复习重要知识点：三角函数的图象与性质三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，下面是2019高考数学复习重要知识点：三角函数的图象与性质，希望对考生有帮助。
1、周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1、求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2、求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)、利用sin x、cos x的值域；教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
(2)、形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第4节三角函数的图象和性质课件理
知识
梳理诊断
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 y＝sinx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是： (0，0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0). 余弦函数 y＝cosx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是： (0，1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1).
考点
题型突破
考点一 三角函数的定义域、值域——自练型
(1)(2016·重 庆 巴 南 区 质 检 ) 函 数 f(x) ＝ －
π
2tan2x＋6的定义域是(
)
π A.xx≠6
B.xx≠－1π2
C.xx≠kπ＋π6（k∈Z） D.xx≠k2π＋π6（k∈Z）
(1)y＝sinx 在第一、四象限是增函数.(
)
(2)所有的周期函数都有最小正周期.(
)
(3)y＝ksinx＋1(x∈R)的最大值为 k＋1.(
)
(4)y＝sin|x|为偶函数.(
)
(5)y＝tanx 在整个定义域上是增函数.(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2.函数 y＝
[解析] 由 y＝cos2x＋π2＝－sin2x，可知该函数的最小 正周期为 π 且为奇函数，故选 A.
[答案] A
5.(2016·临沂测试)函数 f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的
最小值为(
)
A.－1
B.－
2 2
C.
2 2
D.0
[解析] 由已知 x∈0，π2，得 2x－π4∈－π4，34π，所以 sin2x－π4∈－ 22，1，故函数 f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2
高考数学第三篇三角函数、解三角形(、)第5节函数yasin(ωxφ)的图象及应用理高三数学
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考点二 求函数 y=Asin (ωx+ )+B 的解析式 【例 2】 (1)函数 y=Asin(ωx+ )的部分图象如图所示,则( ) (A)y=sin(x- π )
3 (B)y=sin( 2 x- 2π )
39 (C)y=cos(4x+ π )
6 (D)y=sin(2x+ π )
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解析:(2)显然 A=3, T =7-3=4,得ω= π ,
2
4
所以 f(x)=3sin( π x+ ),又 f(5)=3sin( 5π + )=-3,得 = π ,
4
4
4
所以 f(x)=3sin( π x+ π ),所以 g(x)=3sin[ π (2x-1)+ π ]=3sin πx ,
所以 y=sin(2x+ π ),故选 D. 3
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(2)设函数 f(x)=Asin(ωx+ )(A>0,ω>0,| |< π )的部分图象如图所示,则 f(0) 2
等于( ) (A) 3 (B) 3
2 (C) 2 (D)1
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知识(zhī shi)链条完善
考点 专项突 (kǎo diǎn) 破
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知识链条(liàntiáo)完善
知识(zhī shi)梳理
把散落的知识连起来
2025版高考数学总复习第4章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质考点2三角函数的单调性
三角函数的单调性1.求下列函数的单调区间：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间； (2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调区间； (3)y ＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递减区间． [解析] (1)∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )． 即所求单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． (2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， 由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2， 解得4k π－43π<x <4k π＋83π(k ∈Z )． ∴函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－43π，4k π＋83π(k ∈Z )．无增区间． (3)画图知单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．2．(2023·洛阳模拟)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 .[解析] 解法一：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3(ω>0)， ∴ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－πω2，2πω3， ∵f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34. 解法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数， 需⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π2，2π3≤π2ω，ω>0，即0<ω≤34. 解法三：由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 由题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z ，ω>0)， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ ω>0，－π2ω≤－π2，π2ω≥2π3，即0<ω≤34. 名师点拨：三角函数单调性问题的解题策略1．求三角函数单调区间的两种方法：(1)代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式．求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数．注：正、余弦型单调区间长度为半周期．2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．【变式训练】1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])的单调递增区间是( C ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π [解析] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z ，∴当k ＝0时，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6. 2．若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则实数a 的最大值是( C )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π[解析] 本题主要考查三角函数的图象及性质．f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.因为f (x )在[0，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＋π4≤π，解得0<a ≤3π4.故a 的最大值是3π4，故选C ．。
必修4、必修5 三角函数 解三角形
三角函数解三角形一、三角函数的基本概念（一）任意角与弧度制1、任意角：角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边；▲规定：按照逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，当射线没有做任何旋转时形成的角叫做零角；2、象限角、轴上角（轴线角）与区间角：（1）象限角：在平面直角坐标系内，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就成这个角为第几象限角，角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限；（2）轴上角（轴线角）：角的终边落在坐标轴上的角称为轴上角（或称为轴线角）；（3）区间角：用区间表示角的大小区域称为区间角；3、弧度制：（1）1弧度的角：在圆周上，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，“弧度”用符号“”表示，读作弧度；（2）角的弧度数的顺序性：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0；（3）角度值与弧度制的互化：；；（4）弧度制与实数一一对应；4、弧度制与扇形弧长面积公式：设扇形圆心角的度数为，半径为，则扇形的弧长和面积公式：；；（二）任意角的三角函数1、任意角三角函数的定义：（1）单位圆（以原点为圆心，单位长度为半径的圆）中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为 ，则定义角 的三角函数：,，，，，；（2）已知角 的终边上的任意一点 ，定义 ，则定义角 的三角函数：,，，，，； （3）我们将 ， ， ， ， ， 分别叫做正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数和余割函数，它们统称为任意角 的三角函数； 2、三角函数值在各个象限内的符号：一全正，二正弦（余割），三两切，四余弦（正割）； 3、三角函数线：（1）三角函数线的做法：在单位圆中，设角 的终边交圆于点 ，设点 为圆与 正向的交点，过 作 轴于 ，过点 作圆的切线交角 的终边（或其延长线）于点 ，则有向线段 ， ， 分别称为角 的正弦线、余弦线和正切线，统称为三角函数线，有向线段的数量就是三角函数值的大小。
数学(浙江专用)总复习教师用书：第四章 三角函数、解三角形 第讲 三角函数的图象与性质
第3讲三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2。
理解正弦函数、余弦函数在区间［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间错误!内的单调性。
知识梳理1。
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，错误!，（π，0），错误!，（2π，0).（2）余弦函数y＝cos x,x∈［0，2π]的图象中，五个关键点是：（0,1)，错误!，(π，－1）,错误!，（2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R｛x错误!错误!值域［－1，1]［－1，1］R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数1。
判断正误(在括号内打“√”或“×"）（1)由sin错误!＝sin 错误!知，错误!是正弦函数y＝sin x(x∈R）的一个周期。
( )（2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.（）（3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )(4）已知y＝k sin x＋1，x∈R,则y的最大值为k＋1。
( ）（5）y＝sin｜x｜是偶函数。
（)解析（1）函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z).（2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.（3）正切函数y＝tan x在每一个区间错误!(k∈Z）上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数。
(4)当k〉0时，y max＝k＋1；当k<0时，y max＝－k＋1.答案(1）×(2）×(3）×(4)×(5)√2。
（2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ）A。
y＝sin错误!B。
y＝cos错误!C.y＝sin 2x＋cos 2xD.y＝sin x＋cos x解析y＝sin错误!＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝cos错误!＝－sin 2x是最小正周期为π的奇函数;y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin错误!是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sin x＋cos x＝错误!sin错误!是最小正周期为2π的非奇非偶函数.答案B3。
高中数学必修四三角函数知识点
高中数学必修四三角函数知识点高中数学必修四三角函数知识点详解角是我们在几何学中经常接触到的重要概念，而三角函数则是与角密切相关的一类函数。
在高中数学必修四中，三角函数是一个重要的知识点，对于数学学习的深入和数学建模的实践具有重要的意义。
本文将结合具体例子，详细介绍高中数学必修四三角函数的相关知识。
一、正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本、最常用的两个三角函数。
我们首先从几何解释的角度来理解它们。
对于一个角A，我们可以根据角A所在的单位圆上的点(x,y)的坐标值，得到角A的正弦值sinA和余弦值cosA。
而正弦函数sinx和余弦函数cosx则是将角x所对应的正弦值和余弦值关系式表示的函数。
举个例子来说明，假设有一角x=30°，那么根据单位圆上的坐标特点，点(x,y)的坐标值为(√3/2,1/2)。
因此，角x的正弦值sinx=1/2，余弦值cosx=√3/2。
我们可以用这样的方法，通过观察和计算，来确定正弦函数和余弦函数的函数图像和性质。
二、正切函数和余切函数正切函数和余切函数是另外两个重要的三角函数。
正切函数tanx和余切函数cotx则是将角x所对应的正切值和余切值关系式表示的函数。
我们以正切函数为例，来解释一下它的定义和性质。
对于一个角A，我们可以根据角A所在的单位圆上的点(x,y)的坐标值，得到角A的正切值tanA。
正切函数tanx就是将角x所对应的正切值关系式表示的函数。
正切函数tanx的一个重要特点是周期性。
考虑tanx的函数图像，我们可以观察到在每个周期内，tanx呈现出规律的周期性变化。
而周期为π的函数图像在整个定义域上都是无穷区间波动的。
三、其他三角函数除了上述介绍的正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数之外，还有其他一些与三角函数密切相关的函数，如割函数secx和余割函数cscx等。
割函数和余割函数定义如下：割函数secx是角x对应的余弦倒数的函数，余割函数cscx是角x对应的正弦倒数的函数。
高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第四节三角函数的图象与性质教师用书理(2021学年)
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
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第四节三角函数的图象与性质☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1．能画出ｙ=sin x,y=ｃosｘ，y＝ｔan x 的图象,了解三角函数的周期性;２.理解正弦函数、余弦函数在区间［0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间错误!内的单调性。
201６,天津卷,1５,13分(三角函数的周期性、单调性)２016，山东卷,７，5分（三角函数的周期性)20１6,浙江卷，3,5分(三角函数的图象）２015，全国卷Ⅰ,8,5分（三角函数的图象与单调性)以考查基本三角函数的图象和性质为主,是高考的重点内容,题目涉及三角函数的图象、单调性、周期性、最值、零点、对称性。
微知识小题练自|主|排|查1.“五点法”作图原理在确定正弦函数y＝ｓin x在［0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是（0，０）、错误!、(π，0)、错误!、（2π,0)。
２．三角函数的图象和性质函数性质y＝siｎx y＝cosｘy=tanｘ定义域错误!错误!{x|x≠kπ+＼ｆ(π,２) (k∈Z）}图象值域[-1，1]［-１,1］R对称性对称轴:x=kπ＋错误!(k∈Z）;对称中心：(kπ，0)（k∈Ｚ）对称轴:x=kπ(k∈Z);对称中心：错误!(k∈Z)对称中心:错误!(k∈Z）周期2π2ππ单调性单调增区间2kπ－错误!,２kπ＋错误!(ｋ∈Z)；单调减区间2kπ+＼f（π，２）,2ｋπ+3π2(k∈Z）单调增区间[２kπ-π，2kπ]（k∈Ｚ)；单调减区间[２kπ，2kπ+π］（ｋ∈Z）单调增区间错误!(ｋ∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数微点提醒1.判断函数周期不能以特殊代一般，只有x取定义域内的每一个值时，都有f（ｘ+T)=f(ｘ),Ｔ才是函数f(x）的一个周期。
高考一轮复习第3章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质
第四讲三角函数的图象与性质知识梳理·双基自测知识梳理知识点一周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 .非零常数T叫做这个函数的周期 .如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 .(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数性质y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域{x|x∈R} {x|x∈R} {x|x∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} R单调性在⎣⎢⎡－π2＋2kπ，⎦⎥⎤π2＋2kπ，k∈Z上递增；在⎣⎢⎡π2＋2kπ，⎦⎥⎤3π2＋2kπ，k∈Z上递减在 [(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上递增；在[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上递减在⎝⎛－π2＋kπ，⎭⎪⎫π2＋kπ，k∈Z上递增重要结论1．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是 (0,0) 、 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 、 (π，0) 、 ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 、 (2π，0) .函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是 (0,1) 、 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 、 (π，－1) 、⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0 、 (2π，1) .2．函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，如y ＝cos x 的对称轴为x ＝kπ(k∈Z)，而不是x ＝2kπ(k∈Z)．3．对于y ＝tan x 不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k ∈Z)内为增函数．双基自测题组一 走出误区1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝sin x 在第一象限是增函数．( × )(2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (3)y ＝sin |x|是周期为π的函数．( × ) (4)y ＝cos x ，x ∈(0,4π)不是周期函数．( × )(5)由sin ⎝ ⎛π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x(x ∈R)的一个周期．( × )(6)已知y ＝ksin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1( × ) 题组二 走进教材2．(必修4P 45T3改编)函数y ＝tan 2x 的定义域是( D )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠kπ＋π4，k ∈ZB ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠kπ2＋π8，k ∈ZC ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≠kπ＋π8，k ∈ZD ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≠kπ2＋π4，k ∈Z[解析] 由2x≠kπ＋π2，k ∈Z ，得x≠kπ2＋π4，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠kπ2＋π4，k ∈Z .3．(必修4P 40T4改编)下列关于函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( B ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2及⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π及⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数[解析] 函数y ＝4sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增．故选B.4．(必修4P 38T3改编)函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为 5 ，此时x ＝ 3π4＋2kπ(k∈Z) .[解析] 函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2kπ，k ∈Z ，即x ＝3π4＋2k π(k∈Z)．题组三 走向高考5．(2020·天津，8,5分)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2是f(x)的最大值；③把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( B ) A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③[解析] 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期T ＝2π1＝2π，①正确；易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π2＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝sin 5π6＝12<1，②错误；把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到的是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，③正确．综上，①③正确，②错误．故选B. 6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增的是( A )A ．f(x)＝|cos 2x|B ．f(x)＝|sin 2x|C ．f(x)＝cos |x|D ．f(x)＝sin |x|[解析] A 中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f(x)单调递增，故A 正确；B 中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f(x)单调递减，故B 不正确；C 中，函数f(x)＝cos |x|＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f(x)＝sin|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x≥0，－sin x ，x<0，由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D 不正确，故选A.考点突破·互动探究考点一 三角函数的定义域、值域——自主练透 例1 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k ∈Z) C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋5π6(k ∈Z) (2)函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2的值域为 [1,4] .(3)函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x|≤π4的最大值与最小值分别为 54，1－22 .[解析] (1)由2sin x －1≥0，得sin x≥12，所以2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6(k ∈Z)．故选B.(2)因为π6≤x≤π2，所以0≤2x －π3≤2π3，所以－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以1≤3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤4. 所以函数的值域为[1,4]． (3)令t ＝sin x ，因为|x|≤π4， 所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. 所以y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，所以当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.所以函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x|≤π4的最大值为54，最小值为1－22.名师点拨三角函数定义域、值域的求解策略(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝asin ωx＋bcos ωx＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； ②形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值). 考点二 三角函数的单调性——师生共研例2 (1)求下列函数的单调区间：①y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间；②y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调区间；③y ＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递减区间．(2)(2021·洛阳模拟)已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( A )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2][解析] (1)①∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴由2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k ∈Z)．即所求单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z)．②y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2，解得4k π－43π<x<4k π＋83π(k ∈Z)．∴函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4kπ－43π，4kπ＋83π(k ∈Z)．③画图知单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π4，kπ＋π4(k ∈Z)． (2)由π2<x<π得π2ω＋π4<ωx＋π4<πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.故选A.[答案] (1)①⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3(k ∈Z) ②⎝⎛⎭⎪⎫4kπ－43π，4kπ＋83π(k ∈Z)③⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π4，kπ＋π4(k ∈Z)(2)A名师点拨三角函数单调性问题的解题策略(1)求三角函数单调区间的两种方法：①代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y ＝Asin(ωx＋φ)或y ＝Acos(ωx＋φ)的形式．求形如y ＝Asin(ωx＋φ)或y ＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．②图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数．注：正、余弦型单调区间长度为半周期．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 〔变式训练1〕(1)(多选题)(2020·山东泰安第二次段考)函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的一个单调递增区间是( AD )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π12，13π12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 (2)(2018· 课标全国Ⅱ，10)若f(x)＝cos x －sin x 在[0，a]上是减函数，则实数a 的最大值是( C ) A.π4B ．π2C ．3π4D ．π[解析] (1)f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2kπ－π≤2x－π6≤2kπ，k ∈Z ，解得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k ∈Z.所以函数f(x)的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－5π12，kπ＋π12，k ∈Z.令k ＝0,1，可得选项AD 正确，故选A 、D.(2)本题主要考查三角函数的图象及性质．f(x)＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.因为f(x)在[0，a]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a ＋π4≤π，解得0<a≤3π4.故a 的最大值是3π4，故选C.考点三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性——多维探究 角度1 周期性例3 求下列函数的周期：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3；(2)y ＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12； (3)y ＝|tan x|；(4)y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin xcos x －2cos 2x ＋1.[解析] (1)∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3，∴T ＝2π23＝3π，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3的周期为3π.(2)画图知y ＝|cos x|的周期是y ＝cos x 的周期的一半，∴y ＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期的一半，即T ＝12×2π2＝π2.(3)画出y ＝|tan x|的图象． 如图所示．由图象易知T ＝π.∴y ＝|tan x|的图象与y ＝tan x 的周期相同. (4)y ＝－2sin 2x·cosπ4－2cos 2x·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] (1)3π (2)π2 (3)π (4)π角度2 奇偶性 例4 已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( B )A ．0B ．π6C ．π4D ．π3[解析] 因为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋θ是偶函数，所以π3＋θ＝π2＋k π，即θ＝π6＋kπ(k∈Z)，又因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故θ＝π6. 角度3 对称性例5 (多选题)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( AD )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π12对称[解析] 由T ＝π知ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数f(x)的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)，解得x ＝π12＋kπ2(k ∈Z)； 函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝kπ(k∈Z)，解得x ＝－π6＋kπ2(k ∈Z)．故选A 、D.名师点拨(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝Asin(ωx＋φ)或y ＝Acos(ωx＋φ)或y ＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|求解．(2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y ＝Asin(ωx＋φ)代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数．若y ＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k ∈Z)，若y ＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z)．(3)求函数y ＝Asin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题． ①∵y ＝sin x 的对称中心是(kπ，0)，(k ∈Z)，∴y ＝Asin(ωx＋φ)的对称中心，由方程ωx＋φ＝kπ解出x ＝kπ－φω，故对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－φω，0(k ∈Z)．②∵y ＝sin x 的对称轴是x ＝kπ＋π2，k ∈Z ，∴ωx＋φ＝kπ＋π2解出x ＝kπ＋π2－φω，即x ＝kπ＋π2－φω为函数y ＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程．③函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x 0)的值进行判断．(4)注意y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k ∈Z)．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2018·课标全国Ⅲ，6)函数f(x)＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( C ) A.π4B ．π2C ．πD ．2π(2)(角度2)(多选题)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( BD ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 (3)(角度3)(2018·江苏)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是 －π6.[解析] (1)本题考查三角函数的周期．解法一：f(x)的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≠kπ＋π2，k ∈Z .f(x)＝sin xcos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x·cos x＝12sin 2x ，∴f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.解法二：f(x ＋π)＝tan x ＋π1＋tan 2x ＋π＝tan x1＋tan 2x ＝f(x)，∴π是f(x)的周期．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π21＋tan 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，而tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x －sin x ＝－1tan x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－tan x 1＋tan 2x ≠f(x)， ∴π2不是f(x)的周期， ∴π4也不是f(x)的周期．故选C. (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，不符合题意．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是T ＝π的奇函数，符合题意，同理C 不是奇函数，D 为y ＝2sin 2x ，故选B 、D.(3)由题意可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，所以2π3＋φ＝π2＋kπ，φ＝－π6＋kπ(k∈Z)，因为－π2<φ<π2，所以k ＝0，φ＝－π6.故填－π6.名师讲坛·素养提升 三角函数的值域与最值例6 (1)函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，13 .(2)函数f(x)＝2sin xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数f(x)的值域为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋32 . (3)函数y ＝1＋sin x 3＋cos x 的值域为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 .(4)若x 是三角形的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x －sin xcos x 的最小值是( A ) A ．－12＋ 2B ．12＋ 2 C ．1D ． 2[解析] (1)解法一：y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，13.解法二：由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y≤13，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，13.(2)f(x)＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3sin 2x ＋sin xcos x ＝31－cos 2x 2＋sin 2x2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. ∴f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋32.(3)解法一：由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －ycos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y 2其中sin φ＝－y 1＋y2，cos φ＝11＋y2.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3y －11＋y 2≤1，解得0≤y≤34. 解法二：1＋sin x3＋cos x 可理解为点P(－cos x ，－sin x)与点C(3,1)连线的斜率，点P(－cos x ，－sin x)在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x 3＋cos x 满足k CA ≤t≤k CB ，设过点C(3,1)的直线方程为y －1＝k(x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k|k 2＋1≤1，解得0≤k≤34.从而值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.(4)由条件知0<x≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，又0<x≤π3，∴π4<x ＋π4≤7π12，得1<t≤2；又t 2＝1＋2sin xcos x ，得sin xcos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，则－12＋2≤y<1，所以函数的最小值为－12＋ 2.故选A.名师点拨求三角函数值域或最值的方法(1)y ＝asin x ＋b(或y ＝acos x ＋b)的值域为[－|a|＋b ，|a|＋b]．(2)y ＝asin 2x ＋bcos x ＋c 可转化为关于cos x 的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可． (3)y ＝asin 2x ＋bsin xcos x ＋c·cos 2x ――→利用二倍角公式降幂整理y ＝Asin 2x ＋Bcos 2x ――→辅助角公式y ＝A 2＋B 2sin(2x ＋φ)，再利用sin(2x ＋φ)的有界性求解，注意2x ＋φ的取值范围．(4)y ＝asin x ＋b csin x ＋d (或y ＝acos x ＋b ccos x ＋d )可反解出sin x ＝f(y)(或cos x ＝f(y))由正、余弦函数的有界性(|f(y)|≤1)求解；y ＝asin x ＋bccos x ＋d可根据式子的几何意义用数形结合方法求解，或化为sin(x ＋φ)＝yd －b a 2＋yc2利用三角函数的有界性求解．(5)y ＝f(sin x±cos x，sin x·cos x)常用换元法，令t ＝sin x±cos x＝2sin(x±π4)，则cos xsinx ＝t 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫或1－t 22，可化为关于t 的二次函数在某区间上的值域或最值．〔变式训练3〕(1)函数f(x)＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是 1 .(2)(2021·黑龙江宜春二中月考)函数y ＝12＋sin x ＋cos x 的最大值是( D )A.22－1 B ．－22－1 C ．1－22D ．1＋22(3)(2021·云南调研)函数y ＝sin x －cos x ＋sin xcos x 的值域是 ⎣⎢⎦⎥2 . [解析] (1)依题意，f(x)＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f(x)max ＝1. (2)y ＝12＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∵2－2≤2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2＋2，∴y≤12－2＝1＋22，故选D.(3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝1－2sin xcos x ， sin xcos x ＝1－t22，且－2≤t≤2，∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1，当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数y ＝sin x －cos x ＋sin xcos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.。
2024年高考数学总复习第四章《三角函数解三角形》三角函数的图象与性质
4 的单调递减区间为
π＋kπ，5π＋kπ 8 2 8 2 (k∈Z)．
题组三 易错自纠
5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线 x＝π对称的是( ) 3
2x＋π A．y＝2sin 3
2x－π B．y＝2sin 6
x＋π C．y＝2sin 2 3
2x－π D．y＝2sin 3
答案 B
解析
函数 y＝2sin
答案 x
3
sin x>0，
解析 要使函数有意义，则 cos x－1≥0， 2
sin x>0，
即 cos x≥1， 2
2kπ<x<π＋2kπ，k∈Z，
解得 －π＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z，
3
3
所以 2kπ<x≤π＋2kπ(k∈Z)， 3
|2kπ<x≤2kπ＋π，k∈Z
(2)由 sin
π＋2π 63
＝sin
π知，2π是正弦函数 y＝sin x(x∈R)的一个周期．(
×
)
63
(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( × )
(4)已知 y＝ksin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( × )
(5)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
题组二 教材改编
2x－π
－3，3
即 y＝3sin
6 的值域为 2 .
2x－3π
4．函数 y＝－tan
4 的单调递减区间为
．
π＋kπ，5π＋kπ 答案 8 2 8 2 (k∈Z)
解析 由－π＋kπ<2x－3π<π＋kπ(k∈Z)，
2
42
得π＋kπ<x<5π＋kπ(k∈Z)， 82 8 2
2022届高考一轮复习第4章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质课时跟踪检测理含解
第四章 三角函数、解三角形第四节 三角函数的图象与性质A 级·基础过关 |固根基|1.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≠kπ＋3π4，k∈Z解析：选D y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，由x －π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋3π4，k∈Z.故选D ．2．(2019届重庆南开中学月考)函数f(x)＝(1＋3tan x )·cos x 的最小正周期为( ) A ．2π B ．3π2C ．πD ．π2解析：选 A ∵f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x cos x ·cos x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴T＝2π.故选A ．3．函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选 D ∵f(x)＝(1＋cos 2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos 4x 4，∴T＝2π4＝π2且为偶函数．故选D ．4．(2019届江西六校联考)下列函数中，最小正周期是π且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是增函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin xC ．y ＝tan x2D ．y ＝cos 2x解析：选D y ＝sin 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的单调性是先减后增；y ＝sin x 的最小正周期是T ＝2πω＝2π；y ＝tan x 2的最小正周期是T ＝πω＝2π；y ＝cos 2x 满足条件，故选D ．5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x∈[0，π])的增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π解析：选C ∵y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2kπ≤2x －π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π3＋kπ≤x ≤5π6＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋kπ，5π6＋kπ，k∈Z，∴当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.故选C ．6．若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( ) A ．－π6B ．π6C ．－π3D ．π3解析：选D 因为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，且f(x)的图象关于原点对称，所以f(0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，所以θ－π3＝kπ(k∈Z)，即θ＝π3＋kπ(k∈Z)．又|θ|<π2，所以θ＝π3.7．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x|在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )A B C D解析：选D y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，结合选项图形知，D 正确．8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 解析：选D f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f(x)为奇函数，所以φ＝3π4，即f(x)＝－2sin ωx.又直线y ＝2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f(x)的最小正周期为π2.由2πω＝π2，可得ω＝4，故f(x)＝－2sin 4x.由2kπ＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k∈Z，得k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k∈Z.令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D ． 9．(2019年北京卷)函数f(x)＝sin 22x 的最小正周期是________． 解析：∵f(x)＝sin 22x ＝1－cos 4x 2，∴f(x)的最小正周期T ＝2π4＝π2.答案：π210．已知函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g(x)＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f(x)的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 11．(2018年北京卷)已知函数f(x)＝sin 2x ＋3sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． 解：(1)因为f(x)＝sin 2x ＋3sin xcos x＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 由题意知，－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m≥π3.所以m 的最小值为π3.12．(2019届福州调研)已知函数f(x)＝a2cos 2x2＋sin x ＋b.(1)若a ＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a ，b 的值． 解：f(x)＝a(1＋cos x ＋sin x)＋b ＝2asinx ＋π4＋a ＋b.(1)当a ＝－1时，f(x)＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2kπ＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k∈Z)，得2kπ＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a≠0. ①当a>0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a<0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届河南部分示范性高中联考)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<ω<6，|φ|<π2的图象经过点π6，2和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，则函数f(x)的图象的对称轴可以是( )A ．x ＝－11π6B ．x ＝－3π5C ．x ＝π4D ．x ＝π3解析：选A 由题意得，2π3－π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋12T ，k 1∈N ，得T ＝π2k 1＋1(k 1∈N)，故ω＝2πT ＝4k 1＋2(k 1∈N)．因为0<ω<6，k 1∈N ，所以ω＝2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2，∴π3＋φ＝2k 2π＋π2(k 2∈Z)．因为|φ|<π2，故φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2x ＋π6＝π2＋kπ(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k∈Z)，取k ＝－4，得x ＝－11π6.故选A ．14．(2019届湖南长沙一中模拟)若函数f(x)＝sin ωx－cos ωx (ω>0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，则ω的取值不可能为( )A ．14B ．15C ．12D ．34解析：选D f(x)＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ωx －π4(ω>0)，令－π2＋2kπ≤ωx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－π4ω＋2k πω≤x ≤3π4ω＋2k πω，k∈Z.∵f(x)＝sin ωx －cos ωx (ω>0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴令－π4ω≤－π2且3π4ω≥π2，得0<ω≤12，结合选项知选D ．15．(2019届河北、河南重点中学联考)若对于任意x∈R，都有f(x)＋2f(－x)＝3cos x －sin x ，则函数f(2x)图象的对称中心为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k∈Z)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k∈Z)C ．⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k∈Z)D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k∈Z)解析：选D 因为f(x)＋2f(－x)＝3cos x －sin x ，x∈R，① 所以f(－x)＋2f(x)＝3cos x ＋sin x ．②联立①②解得f(x)＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f(2x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝kπ(k∈Z)，得x ＝k π2－π8(k∈Z)，所以f(2x)图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k∈Z)．16．(2019届湖南长沙高三模拟)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点，设∠BPC＝θ，若tan θ2＝34，则f(x)图象的对称中心可以是( )A ．(0，0)B ．(1，0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 解析：选D 由已知作出图形，连接BC ，过P 作BC 的垂线， 如图所示．由题意知，A ＝2.又∠BPC＝θ，所以tan θ2＝12|BC|2＋|－2|＝34，解得|BC|＝6，所以T ＝6＝2π|ω|.又∵ω>0，∴解得ω＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ.将点P(1，2)的坐标代入函数解析式，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2，解得φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．令k ＝0，得φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6.令π3x ＋π6＝mπ(m∈Z)，解得x ＝3m －12(m∈Z)．令m ＝1，得x ＝52，即f(x)图象的对称中心可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.故选D ．。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件 文
【解】 (1)f(8)＝10－ 3cos1π2×8－sin1π2×8＝10－ 3 cos23π－sin23π
＝10－ 3×－12－ 23＝10. 故实验室这一天上午 8 时的温度为 10 ℃.
(2)因为 f(t)＝10－2122s3inco1πs21tπ2t＋＝10－2sin1π2t＋π3， 又 0≤t<24，所以π3≤1π2t＋π3<73π，－1≤sin1π2t＋π3≤1. 当 t＝2 时，sin1π2t＋π3＝1； 当 t＝14 时，sin1π2t＋π3＝－1. 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12，取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差 为 4 ℃.
则 A＝3－2－1＝2， b＝3＋2－1＝1. 又 T＝223π－π6＝π，ω＝2Tπ＝2ππ＝2， 所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.
将 x＝π6，y＝3 代入上式，得 sinπ3＋φ＝1.所以π3＋φ＝π2＋2kπ， k∈Z，即 φ＝π6＋2kπ，k∈Z.
因为|φ|<π2，所以 φ＝π6，所以 f(x)＝2sin2x＋π6＋1. (2)由 2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得 kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈ Z)， 所以函数 f(x)的单调递增区间是 kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．
解析：(1)将 y＝sin(x＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵 坐标不变)，得到函数 y＝sin(2x＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长 度，得到函数 y＝sin[2(x－π3)＋π6]＝sin(2x－π2)，故 x＝－π2是其图象 的一条对称轴方程．
(2)把 y＝12sinx＋π3的图象向左平移 m 个单位长度后得到函数 y＝12sinx＋m＋π3＝12sinx＋m＋π3的图象，由题意得 m＋π3＝kπ ＋π2，k∈Z，即 m＝kπ＋π6，k∈Z，又 m>0，取 k＝0，得 m 的最 小值为π6.
高考数学总复习第4章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质考点3三角函数的周期性奇偶性对称性
三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 周期性求下列函数的最小正周期：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3；(2)y ＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12； (3)y ＝|tan x |；(4)y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1.[解析] (1)∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3，∴T ＝2π23＝3π，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3的最小正周期为3π.(2)画图知y ＝|cos x |的最小正周期是y ＝cos x 的周期的一半，∴y ＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期的一半，即T ＝12×2π2＝π2.(3)画出y ＝|tan x |的图象． 如图所示．由图象易知T ＝π.∴y ＝|tan x |的最小正周期与y ＝tan x 的最小正周期相同.(4)y ＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以y 的最小正周期T ＝2π2＝π.角度2 奇偶性1．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，则φ的值可以是( A )A ．5π6B ．π2C ．π3D ．－π2[解析] 因为当－π3＋φ＝k π＋π2时，f (x )为偶函数，即φ＝k π＋56π，当k ＝0时，φ＝56π，故选A ．2．(多选题)已知f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)为奇函数，则φ的一个取值可以是( CD )A ．π2B ．－π2C ．3π4D ．－π4[解析] 由题意，f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4为奇函数，所以φ＋π4＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－π4，k ∈Z .因此，选项CD 正确．角度3 对称性已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( A )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称[解析] 由已知可得ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是该函数图象的对称中心，所以A 正确，B 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0不是该函数图象的对称中心，所以C 错误； 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－32≠±1，所以直线x ＝π3不是该函数图象的对称轴，所以D 错误．名师点拨：1．求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)的形式，再分别应用公式T＝2π|ω|或T ＝π|ω|求解． 2．三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y ＝A sin(ωx ＋φ)代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．3．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题． (1)∵y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )，∴y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心，由方程ωx ＋φ＝k π解出x ＝k π－φω，故对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )．(2)∵y ＝sin x 的对称轴是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ωx ＋φ＝k π＋π2解出x ＝k π＋π2－φω，即x ＝k π＋π2－φω为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴方程．(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．4．注意y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )．【变式训练】1．(角度1)①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，②y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，③y ＝|sin x |，④y ＝cos|2x |中，最小正周期为π的函数为( B )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③[解析] ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期，T ＝2π2＝π；②y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2；③由函数图象知y ＝|sin x |的最小正周期为π； ④y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π.故选B ．2．(角度2)(2022·威海三模)已知函数f (x )＝sin x cos(2x ＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝( C )A ．0B ．π4C ．π2D ．π[解析] ∵f (x )的定义域为R ，且为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2⇒cos(π＋φ)＝－cos(－π＋φ)⇒－cos φ＝cos φ⇒cos φ＝0，∵φ∈[0，π]，∴φ＝π2.当φ＝π2时，f (x )＝－sin x sin 2x 为偶函数，满足题意，故选C ．3．(角度3)下列关于函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的说法错误的是( C )A ．最小正周期为πB ．最大值为1，最小值为－1C ．函数图象关于直线x ＝0对称D ．函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称[解析] 将三角函数化简变形为标准形式，即可求出对应的周期，最值，对称轴，对称中心等，函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，函数的最小正周期T ＝π，A正确；最大值为1，最小值为－1，B 正确；由2x ＝k π＋π2⇒x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，得函数图象关于直线x ＝k π2＋π4，k ∈Z 对称，C 不正确；由2x ＝k π⇒x ＝k π2，k ∈Z ，得函数图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z 对称，D 正确．故选C ．。
高考数学一轮复习练案23第三章三角函数解三角形第四讲三角函数的图象与性质含解析新人教版
第四讲 三角函数的图象与性质A 组基础巩固一、单选题1．函数y ＝|2sin x |的最小正周期为( A ) A ．π B ．2π C ．π2D ．π4〖解析〗 由图象(图象略)知T ＝π.2．已知直线y ＝m (0<m <2)与函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象相邻的三个交点依次为A (1，m )，B (5，m )，C (7，m )，则ω＝( A )A ．π3B ．π4C ．π2D ．π6〖解析〗 由题意，得函数f (x )的相邻的两条对称轴分别为x ＝1＋52＝3，x ＝5＋72＝6，故函数的周期为2×(6－3)＝2πω，得ω＝π3，故选A. 3．(2020·山东省实验中学高三第一次诊断)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2(x ∈R )，则f (x )是( B )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数〖解析〗 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数．故选B.4．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为〖a ，b 〗，则b －a 的值是( B ) A ．2 B ．3 C ．3＋2D ．2－ 3〖解析〗 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为〖－2,1〗，所以b －a ＝3.5．(2021·河北邢台模拟)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( B ) A ．⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 〖解析〗 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( B ) A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称〖解析〗 ∵函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π.∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴函数f (x )图象的对称轴为2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝π8＋k π2，k ∈Z .故函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，故选B.二、多选题7．关于函数f (x )＝x ＋sin x ，下列说法正确的是( ACD ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )是周期函数 C ．f (x )有零点D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 〖解析〗 本题考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性及零点．函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故A 正确；根据周期函数的定义，可知函数f (x )一定不是周期函数，故B 错误；因为f (0)＝0，所以函数f (x )有零点，故C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，函数y ＝x 与y ＝sin x 均为增函数，所以函数f (x )也为增函数，故D 正确． 8．(2020·河南南阳四校联考改编)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )，下列结论错误的是( BC )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π6，0对称 C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称〖解析〗 由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故A 正确；当x ＝5π6时，f ⎝⎛⎭⎫5π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫2×5π6－π3＝－32，所以函数f (x )的图象不关于点⎝⎛⎭⎫5π6，0对称，故B 不正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，函数f (x )不单调，故C 不正确；当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝3，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，故D 正确．综上选B 、C.三、填空题9．若y ＝cos x 在区间〖－π，α〗上为增函数，则实数α的取值范围是 －π<α≤0 . 10．(2021·云南昆明高三调研测试)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象上相邻的两个最高点之间的距离为 π .〖解析〗 函数f (x )的图象上相邻两个最高点之间的距离为函数f (x )的最小正周期，又函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期为π，故f (x )的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π. 11．函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2部分图象如图所示，若x 1，x 2∈〖a ，b 〗且x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)，满足f (x 1＋x 2)＝1，则φ＝ π6 ，此时y ＝f (x )的单调递减区间是 ⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ) .〖解析〗 因为f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且f (a )＝f (b )＝0，故可得b －a ＝π2，因为f (x 1＋x 2)＝1，故可得2sin 〖2(x 1＋x 2)＋φ〗＝1，则可得2(x 1＋x 2)＋φ＝5π6.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2，故可得2sin 〖(x 1＋x 2)＋φ〗＝2，则可得(x 1＋x 2)＋φ＝π2，解得φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，故可得x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．故答案为：π6；⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．12．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是 π ，单调减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z . 〖解析〗 ∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝12(1－cos 2x )＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，∴最小正周期是π.由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．∴单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z . 四、解答题13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)当f (x )为偶函数时，求φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．〖解析〗 由f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． 所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， 所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 14．(2021·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋a (a 为常数)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有最小值1，求a 的值． 〖解析〗 (1)f (x )＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)当0≤x ≤π2时，π6≤2x ＋π6≤76π，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以当x ＝π2时，f (x )有最小值，最小值为a －1＝1，所以a ＝2.B 组能力提升1．(多选题)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( AD ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )最大值为3C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )最大值为4〖解析〗 本题主要考查三角函数变换及三角函数的性质．f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝2(1－sin 2x )－sin 2x ＋2＝4－3sin 2x ＝4－3×1－cos 2x 2＝52＋3cos 2x2， ∴f (x )的最小正周期T ＝π，当cos 2x ＝1时，f (x )取最大值为4，故选A 、D.2．已知函数f (x )＝2sin(πx ＋1)，若对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( B )A ．2B ．1C ．4D ．12〖解析〗 对任意的x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立， 所以f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2， 所以|x 1－x 2|min ＝T2，又f (x )＝2sin(πx ＋1)的周期T ＝2ππ＝2，所以|x 1－x 2|min ＝1，故选B.3．(2021·常德模拟)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)为奇函数，且在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数，则θ的一个值为( D )A ．－π3B ．－π6C ．2π3D ．5π6〖解析〗 由题意得f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6.因为函数f (x )为奇函数，所以θ＋π6＝k π(k ∈Z )，故θ＝－π6＋k π(k ∈Z )．当θ＝－π6时，f (x )＝2sin 2x ，在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为增函数，不合题意．当θ＝5π6时，f (x )＝－2sin 2x ，在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数，符合题意，故选D.4．如果函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，那么ω的取值范围是( B )A ．〖－6,0)B ．〖－4,0)C ．(0,4〗D ．(0,6〗〖解析〗 解法一：因为函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，所以ω<0且函数y ＝12sin(－ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π8上单调递增， 则⎩⎨⎧ω<0，－ω·⎝⎛⎭⎫－π12≥2k π－π2，k ∈Z ，－ω·π8≤2k π＋π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ω<0，ω≥24k －6，k ∈Z ，ω≥－16k －4，求得－4≤ω<0.故选B.解法二：代值检验法，当ω＝1时，y ＝12sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增，排除选项C ，D ；当ω＝－6时，y ＝12sin(－6x )＝－12sin 6x 在⎣⎡⎦⎤－π8，－π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π12，π12上单调递减，排除选项A.故选B.5．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求y ＝f (x )的单调递增区间； (3)求x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，求f (x )的值域． 〖解析〗 (1)由题意，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)． y ＝f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8，则2×π8＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，结合－π<φ<0可得φ＝－3π4.(2)由(1)可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (3)因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以2x －3π4∈⎝⎛⎭⎫－3π4，－π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4<－22， 故f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－1，－22.。
高考数学大一轮复习课件 第三篇 三角函数 解三角形(必修4、必修5) 第4节 三角函数的图象与性质
x
π 2
kπ, k
Z，
即
x
x
π 4 π
kπ, kπ,
k k
Z， Z.
2
故函数的定义域为{x︱x≠ π +kπ且 x≠ π +kπ,k∈Z}.
4
2
答案:②⑤
考点专项突破
考点一 三角函数的定义域
在讲练中理解知识
答案:(1){x︱x≠ π +kπ 且 x≠ π +kπ ,k∈Z}
2
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
对点自测
B 2.(2016·东北四校联考)函数
f(x)=sin
x
π 4
的图象的一条对称轴是
(
)
(A)x= π 4
(B)x= π 2
(C)x=- π 4
(D)x=- π 2
解析:对于函数
f(x)=sin
x
π 4
,
为奇数).又函数
f(x)在
π 18
,
5π 36
上单调,所以
π
≤1
12
2
× 2 π
,即ω≤12.若ω=11,又|
|≤ π 2
,则
=- π 4
,此时,f(x)=
sin(11x- π 4
),f(x)在
π 1 8
,
3π 44
上单调递增,在
3π 44
4
2
(2)(2016·广东茂名一模)函数y=lg(sin x)+ cosx1 的定义域为 .
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解析:函数f(x)=2sin(2x+ )(0< < )的图象过点(0, ),所以f(0)=2sin = ,所以sin = .
又因为0< < ,所以 = ,所以f(x)=2sin(2x+ ).
1.x∈[0,2π],y= + 的定义域为( C )
(A)[0, )(B)( ,π]
(C)[π, )(D)( ,2π]
解析:法一 由题意, 所以函数的定义域为[π, ).
故选C.
法二 x=π时,函数有意义,排除A,D;x= π时,函数有意义,排除B.故选C.
2.(2018·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=cos(ωx- )(ω>0)且f( )=f( ),若f(x)在区间( , )上有最大值,无最小值,则ω的最大值为( D )
所以T≥ - = ,
所以 ≥ ,
所以ω≤12,
所以当k=4时,ω= + = 为最大值.
故选D.
3.(2018·河南安阳模拟)若对于任意x∈R都有f(x)+2f(-x)=3cos x-sin x,则函数f(2x)图象的对称中心为( D )
(A)(kπ- ,0)(k∈Z)(B)(kπ- ,0)(k∈Z)
(A)f(0)<f(1)<f(2)(B)f(1)<f(2)<f(0)
(C)f(1)<f(0)<f(2)(D)f(2)<f(0)<f(1)
解析:由题意函数f(x)在(- , )上是增函数,在( , )上是减函数,
在一个周期(- , )上,在0,1,2中,1离对称轴x= 最近,2离对称轴x= 最远,故有f(2)<f(0)<f(1),故选D.
(A) (B) (C) (D)
解析:函数f(x)=cos(ωx- )(ω>0)且f( )=f( ),
所以直线x= ×( + )= 为f(x)=cos(ωx- )(ω>0)的一条对称轴,且过函数最大值点.
所以ω· - =2kπ,k∈Z,
所以ω= k+ ,k∈Z,
又ω>0,且f(x)在区间( , )上有最大值,无最小值,
(A)11(B)9(C)7(D)5
解析:因为f(x)=sin(ωx+ )的一个零点为x=- ,
x= 为y=f(x)图象的对称轴,
所以 k+ = -(- ),其中k∈N,即T= .
又T= ,
所以ω=2k+1(k∈N).
又f(x)在( , )上单调,
所以 ≥ - .
又T= ,所以ω≤12.
由①②知ω的取值集合为{1,3,5,7,9,11}.
故选B.
6.已知函数y=2sin x的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则b-a的值不可能是( C )
(A) (B)π(C)2π(D)
解析:函数y=2sin x在R上有-2≤y≤2,
函数的周期T=2π,
值域期,
b-a<2π.
故选C.
7.(2018·四川成都模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+ )(A,ω均为正的常数,| |< )的最小正周期为π,当x= 时,函数f(x)取得最大值,则下列结论正确的是( D )
由于当x=- 时,f(x)=cos(- )=0,
故函数f(x)的图象关于点(- ,0)对称,故C正确.
故选D.
5.(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+ )(ω>0,| |≤ ),x=- 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在( , )上单调,则ω的最大值为( B )
(C)( - ,0)(k∈Z)(D)( - ,0)(k∈Z)
解析:因为对任意x∈R,都有f(x)+2f(-x)=3cos x-sin x,①
用-x代替x,
得f(-x)+2f(x)=3cos (-x)-sin (-x),
即f(-x)+2f(x)=3cos x+sin x,②
由①②组成方程组,解得f(x)=sin x+cos x,
若ω=11,由f(- )=sin[11×(- )+ ]=0,
又| |≤ ,则 =- ,此时,f(x)=sin(11x- ),
f(x)在( , )上单调递增,在( , )上单调递减,
不满足条件.
若ω=9,由f(- )=sin[9×(- )+ ]=0,
又| |≤ ,则 = ,
此时,f(x)=sin(9x+ ),满足f(x)在( , )上单调的条件.
所以f(x)= sin(x+ ),
所以f(2x)= sin(2x+ ).
令2x+ =kπ,k∈Z,求得x= - ,
故函数f(2x)图象的对称中心为( - ,0),k∈Z,
故选D.
4.(2018·湖南邵阳三模)设函数f(x)=cos(2x- ),则下列结论错误的是( D )
(A)函数f(x)的一个周期为π
- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
令k=0,得函数f(x)在[0,π]上的增区间为[0, ],
令k=1,得函数f(x)在[0,π]上的增区间为P ,π].
答案:[0, ]和[ ,π]
9.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)=sin2x+ cos x- (x∈ )的最大值是.
解析:由题意得f(x)=sin2x+ cos x-
=-cos2x+ cos x+
=-(cos x- )2+1.
因为x∈[0, ],所以cos x∈[0,1].
所以当cos x= 时,f(x)max=1.
答案:1
能力提升(建议用时:25分钟)
10.(2018·山东滨州二模)设函数f(x)=sin(ωx+ )(ω>0,0< < ),已知f( )= ,若f(x1)=1,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为 ,则函数f(x)的单调递增区间为( B )
高考数学总复习第三篇三角函数解三角形必修4必修5第4节三角函数的图象与性质应用能力提升理含解析
第4节 三角函数的图象与性质
【选题明细表】
知识点、方法
题号
定义域、值域、最值
1,2,6,7,12
单调性、单调区间
5,8,10
奇偶性、周期性、对称性
3,9,11,13
综合应用
4,14,15
基础巩固(建议用时:25分钟)
(B)函数f(x)的图象关于直线x=- 对称
(C)函数f(x)的图象关于点(- ,0)对称
(D)函数f(x)在区间[- , ]上单调递减
解析:对于函数f(x)=cos(2x- ),它的最小正周期为 =π,故A正确.
由于当x=- 时,f(x)=cos (-2π)=1,为最大值,
故函数f(x)的图象关于直线x=- 对称,故B正确.