例 2011年上海市区中考模拟第25题

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上海模考题真题-2011年上海中考语文试卷及参考答案

上海模考题真题-2011年上海中考语文试卷及参考答案

2011年上海市初中毕业统一学业考试语文试卷(满分150分,考试时间100分钟)考生注意:1.本试卷共27题。

2.请将所有答案做在答题纸的指定位置上,做在试卷上一律不计分。

一、文言文(42分)(一)默写(18分)I.草枯鹰眼疾,____________(《观猎》)2.欲把西湖比西子,____________(《饮湖上初晴后雨》)3.____________,千载谁堪伯仲间。

(《书愤》)4.当年万里觅封侯,____________。

(《诉衷情》)5.____________,思而不学则殆。

(《孔孟论学》)6.醉翁之意不在酒,____________。

(《醉翁亭记》)(二)阅读下面的词,完成第7—8题(4分)如梦令李清照昨夜雨疏风骤,浓睡不消残酒。

试问卷帘人,却道海棠依旧。

知否,知否?应是绿肥红瘦。

7.“浓睡”在词中的意思是_______________(2分)8.下列理解不正确的—项是______(2分)A“雨疏风骤”的意思是雨点稀疏,晚风急猛。

B“海棠依旧”是词人对“卷帘人”的回答。

C“绿肥红瘦”描写出雨后海棠花的情景。

D这首词篇幅短小,有人物,有对话,意味深长。

(三)阅读下文,完成第9—11题(8分)蒋氏大戚,汪然出涕曰:“君将哀而生之乎?则吾斯役之不幸,未若复吾赋不幸之甚也。

向吾不为斯役,则久已病矣。

自吾氏三世居是乡,积于今六十岁矣,而乡邻之生日蹙,殚其地之出,竭其庐之入,号呼而转徙,饥渴而顿踣,触风雨,犯寒暑,呼嘘毒疠,往往而死者相藉也。

曩与吾祖居者,今其室十无一焉;与吾父居者,今其室十无二三焉;与吾居十二年者,今其室十无四五焉。

非死则徙尔。

而吾以捕蛇独存。

悍吏之来吾乡,叫嚣乎东西,隳突乎南北,哗然而骇者,虽鸡狗不得宁焉。

吾恂恂而起,视其缶,而吾蛇尚存,则弛然而卧。

谨食之,时而献焉。

退而甘食其土之有,以尽吾齿。

盖一岁之犯死者二焉;其余则熙熙而乐……”9.上文节选自课文《》,作者柳宗元是(朝代)的文学家。

1.1因动点产生的相似三角形问题

1.1因动点产生的相似三角形问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2012年苏州市中考第29题如图1,已知抛物线211(1)444by x b x =-++(b 是实数且b >2)与x 轴的正半轴分别交于点A 、B (点A 位于点B 是左侧),与y 轴的正半轴交于点C .(1)点B 的坐标为______,点C 的坐标为__________(用含b 的代数式表示);(2)请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.图1 动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”,拖动点B 在x 轴的正半轴上运动,可以体验到,点P 到两坐标轴的距离相等,存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻.双击按钮“第(3)题”,拖动点B ,可以体验到,存在∠OQA =∠B 的时刻,也存在∠OQ ′A =∠B 的时刻. 思路点拨1.第(2)题中,等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等.2.联结OP ,把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b 的式子表示.3.第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上. 满分解答(1)B 的坐标为(b , 0),点C 的坐标为(0,4b). (2)如图2,过点P 作PD ⊥x 轴,PE ⊥y 轴,垂足分别为D 、E ,那么△PDB ≌△PEC . 因此PD =PE .设点P 的坐标为(x, x).如图3,联结OP .所以S 四边形PCOB =S △PCO +S △PBO =1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅==2b .解得165x =.所以点P 的坐标为(1616,55).图2 图3(3)由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--,得A (1, 0),OA =1. ①如图4,以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ,那么△OQC ≌△QOA . 当BA QAQA OA=,即2QA BA OA =⋅时,△BQA ∽△QOA . 所以2()14bb =-.解得8b =±Q 为(1,2.②如图5,以OC 为直径的圆与直线x =1交于点Q ,那么∠OQC =90°。

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析普陀25

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析普陀25

例 2011年上海市普陀区中考模拟第25题直角三角板ABC 中,∠A =30°,BC =1.将其绕直角顶点C 逆时针旋转一个角α (0°<α<120°且α≠90°),得到Rt △A ′B ′C ′.(1)如图1,当A ′B ′边经过点B 时,求旋转角α的度数;(2)在三角板旋转的过程中,边A ′C 与AB 所在直线交于点D ,过点 D 作DE ∥A ′B ′交C B ′边于点E ,联结BE .①当0°<α<90°时,设AD =x ,BE =y ,求y 与x 之间的函数解析式及定义域;②当13BDE ABC S S =△△时,求AD 的长.图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“11普陀25”,拖动点A ′绕着点C 旋转,观察度量值和函数图像,可以体验到,不论D 在AD 上或者在AD 的延长线上,y 都与x 成正比例;△CAD 与△CBE 保持相似;有两个时刻,△ABC 与△BDE 的面积的比值为3.请打开超级画板文件名“11普陀25”,思路点拨1.图形在旋转的过程中,对应边相等,对应角相等,旋转角等于对应线段的夹角. 2.心动不如行动,在备用图中准确、规范的画图,等量关系就在画图的过程中. 3.第(2)题要分类讨论,顺势把第一种情况的结论迁移到第二种情况中进行讨论,解题就有了方向.满分解答(1)在Rt △ABC 中,∠A =30°,所以∠ABC =60°.在旋转的过程中,对应边CB =CB ′,对应角∠B ′=∠ABC =60°,旋转角α=∠BCB ′. 当A ′B ′边经过点B 时,△BCB ′是等边三角形,此时旋转角α=60°. (2)如图2,①当0°<α<90°时,点D 在AB 边上. 由DE ∥A ′B ′,得C D C E C A C B =''.在旋转的过程中,对应边CA =CA ′,CB =CB ′,对应角∠ACD =∠BC B ′. 所以C D C E C AC B=.因此△CAD ∽△CBE .于是BE BC ADAC=.在Rt △ABC 中,∠A =30°,所以3BC AC=.因此3y x=y 与x 之间的函数解析式为3y=,定义域为0<x <2.图2 图3 图4②在Rt △ABC 中,∠A =30°,BC =1,所以AC =AB =22.(Ⅰ)如图2,当0°<α<90°时,△CAD ∽△CBE ,∠A =∠CBE . 所以△BDE 是直角三角形(如图3).因此11(2)(2)226B D E S B E B D y x x x =⋅=-=-△.当13BDE ABC S S =△△(2)=66x -x =1(如图5).(Ⅱ)如图4,当90°<α<120°时,同理可以证明△CAD ∽△CBE ,3B E A D=,△BDE 是直角三角形.此时11(2)(2)2236B D E S B E B D A D A D D A D =⋅=⨯-=-△.当13BDE ABC S S =△△(2)=66A D A D -,得AD =1+1-.综合(Ⅰ)、(Ⅱ)当13BDE ABC S S =△△时,AD =1或AD =1+考点伸展我们来看几个特殊的时刻:旋转角为30°,90°,120°(如图5,图6,图7)图5 图6 图7。

上海市卢湾区2011届中考数学模拟卷 上教版

上海市卢湾区2011届中考数学模拟卷 上教版

卢湾区2010学年初中毕业统一学业模拟考试数学试卷(时间100分钟,满分150分) 2011.4.考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题;2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效;3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分) 1.2的倒数是( )A .12-; B .12; C .2-; D .2.2.对于非零实数m ,下列式子运算正确的是( )A .923)(m m =;B .623m m m =⋅;C .532m m m =+;D .426m m m =÷.3.抛物线221y x x =-+的顶点坐标是( )A .(1,0);B .(– 1,0) ;C .(–2 ,1) ;D .(2,–1). 4.某班7名同学的一次体育测试成绩(满分30分)依次为:22,23,24,23, 22,23,25,这组数据的众数是( )A .22 ;; C .24 ; D .25 .5.已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上,DE ∥BC ,3AD DB =,用向量BC 表示向量DE 为( )A .12BC ; B .13BC ; C .23BC ; D .34BC .6.如图,某反比例函数的图像过点M (2-,1),则此反比例函数表达式为( )A .2y x =;B .2y x =-;C .12y x =;D .12y x=-.二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)7有意义,那么x 的取值X 围是▲. 8.分解因式:24x y y -=▲.9x =的解是 ▲ .10.从1至9这9个自然数中任取一个数,这个数能被2整除的概率是▲. 11.若一次函数2y x k =+-的图像在y 轴上的截距是5,则k =▲.12.在直线1y x =+上且位于x 轴上方的所有点,它们的横坐标的取值X 围是▲ . 13.若方程2250x kx --=的一个根是1-,则k =▲. 14.在长方体ABCD -EFGH 中,与面ABCD 垂直的棱共有▲条. 15.正六边形绕其中心至少旋转▲度可以与其自身完全重合.16.如图,D 是BC 延长线上一点,ACD α∠=度,若50A ∠=度,则B ∠=▲度(用含α的代数式表示).17.如图,点G 是ABC ∆的重心,GH BC ⊥,垂足为点H ,若3GH =,则点A 到BC 的距离为▲.18.在ABC ∆中,90C ∠=︒,D 是AC 上的点,A DBC ∠=∠,将线段BD 绕点B 旋(第6题图)ABCD(第16题图)ABCHG(第17题图)转,使点D 落在线段AC 的延长线上,记作点E ,已知2BC =,3AD =,则DE =▲.三、解答题:(本大题共7题,满分78分) 19.(本题满分10分)1-︒-+20. (本题满分10分)解方程:234224x x x -+=--.21.(本题满分10分)某校为了解九年级500名学生平均每天课外阅读的时间,随机调查了该年级部分学生一周内平均每天课外阅读的时间(以分钟为单位,并取整数),现将有关数据整理后绘制成尚未完成的频率分布表和频数分布直方图:(1)被调查的学生有名; (2)频率分布表中,a = ,b =; (3)补全频数分布直方图;(4)被调查学生一周内平均每天课外阅读时间的中位数落在组;(5)请估计该年级学生中,大约有名学生平均每天课外阅读的时间不少于35分钟.22.(本题满分10分)已知:如图,AB 是O 的直径,C 是O 上一点,CD ⊥AB ,垂足为点D ,F 是AC 的中点,OF 与AC 相交于点E ,AC =8 cm ,2EF =(1)求AO 的长; (2)求sin C 的值.23.(本题满分12分)已知:如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E 是BC 的中点,BEA DEA ∠=∠,联结AE 、BD 相交于点F ,BD CD ⊥. (1)求证:AE CD =;(第22题图)A D F人数(人时间(分钟)(2)求证:四边形ABED 是菱形.24.(本题满分12分)已知:抛物线2y ax bx c =++经过点()0,0O ,()7,4A ,且对称轴l 与x 轴交于点()5,0B .(1)求抛物线的表达式;(2)如图,点E 、F 分别是y 轴、对称轴l 上的点,且四边形EOBF 是矩形,点55,2C ⎛⎫⎪⎝⎭是BF 上一点,将BOC ∆沿着直线OC 翻折,B 点与线段EF 上的D 点重合,求D 点的坐标;(3)在(2)的条件下,点G 是对称轴l 上的点,直线DG 交CO 于点H ,:1:4DOH DHC S S ∆∆=,求G 点坐标.25.(本题满分14分)已知:如图,在直角梯形ABCD 中,BC ∥AD ()AD BC >,BC ⊥AB ,AB =8,BC=6.动点E 、F 分别在边BC 和AD 上,且AF =2EC .线段EF 与AC 相交于点G ,过点G 作GH ∥AD ,交CD 于点H ,射线EH 交AD 的延长线于点M ,交AC 于点O ,设EC =x . (1)求证:AF DM =;BC EGH O(2)当EM AC ⊥时,用含x 的代数式表达AD 的长; (3)在(2)题条件下,若以MO 为半径的M 与以FD 为半径的F 相切,求x 的值.卢湾区2011年初中毕业统一学业模拟考试参考答案及评分说明一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)1.B ; 2.D ; 3.A ; 4.B ; 5. D ; 6.B . 二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.3x ≥;8.()()22y x x +-;9.1x =; 10.49;11.7;12.1x >-; 13.3; 14.4; 15.60; 16.50α-; 17.9; 18.2. 三、解答题:(本大题共7题,满分78分)19.解:原式11=-8分)0=.………………………………………………………………(2分)20.解:去分母,得()()()223424x x x +-+=-,……………………………(3分) 去括号,得226428x x x --+=-,……………………………………………(2分) 整理,得260x x +-=,…………………………………………………………(2分) 解,得123,2x x =-=,……………………………………………………………(2分) 经检验:2x =是原方程的增根,3x =-是原方程的根. ………………………(1分) 21.(1)50;(2)12,0.12;(3)略;(4)3;(5)310.………………(每小题2分)22.解:(1)∵F 是AC 的中点,∴AF CF =,又OF 是半径,……………(1分) ∴OF AC ⊥,AE CE =,………………………………………………………(2分)∵AC =8 cm ,∴4AE =cm , …………………………………………………(1分) 在Rt AEO ∆中,222AE EO AO +=,……………………………………………(1分) 又∵2EF =cm ,∴()22242AO AO +-=,解得5AO =,∴5AO =cm. ……(1分) (2)∵OE AC ⊥,∴90A AOE ∠+∠=︒,……………………………………(1分) ∵CD ⊥AB ,∴90A C ∠+∠=︒,…………………………………………………(1分) ∴AOE C ∠=∠,∴sin sin C AOE =∠,…………………………………………(1分) ∵4sin 5AE AOE AO ∠==,∴4sin 5C =.…………………………………………(1分)23.证明:(1)∵BD ⊥CD ,∴90BDC ∠=︒,∵E 是BC 的中点,∴BE DE EC ==,………………………………………(2分) ∵BEA DEA ∠=∠,∴EF ⊥BD ,即90BFE ∠=︒,∴EA ∥CD ,…………(2分) ∵AD ∥BC ,∴四边形AECD 是平行四边形,………………………………(1分) ∴AE CD =.………………………………………………………………………(1分) (2)∵四边形AECD 是平行四边形,∴AD EC =,…………………………(2分) ∴AD =BE ,又AD ∥BE ,∴四边形ABED 是平行四边形,………………(2分) ∵BE DE =,∴四边形ABED 是菱形. …………………………………………(2分)24. 解(1)由题意得5,20,4974ba c abc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩…………………………………………(1分)解,得4,2140,210.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴24402121y x x =-+.…………………………………………(3分)(2)∵BOC ∆与DOC ∆重合,55,2OB BC ==,∴55,2BO DO CD BC ====,90OBC ODC ∠=∠=︒,∴90EDO FDC ∠+∠=︒,又90EDO EOD ∠+∠=︒,∴EOD FDC ∠=∠,∵90OED DFC ∠=∠=︒,∴EOD ∆∽FDC ∆,………(2分) ∴5252ED EO OD FC DF CD ====,……………………………………………………(1分)∵四边形OEFB 是矩形,∴EF OB =,EO FB =, 设FC x =,则2,52ED x DF x ==-,∴104EO x =-, ∴51042x x -=+,解,得32x =,∴3,4ED EO ==,∴()3,4D .…………(1分)(3)过点H 作HP OB ⊥,垂足为点P . ∵:1:4DOH DHC S S ∆∆=,∴14DOH DHC S OH S HC ∆∆==,…………………………………(1分)∵HP OB ⊥,CB OB ⊥,∴HP ∥BC , ∴15OH OP PH OC OB BC ===,∴11,2OP PH ==,∴11,2H ⎛⎫⎪⎝⎭.……………………(1分)∴经过点()3,4D ,11,2H ⎛⎫⎪⎝⎭的直线DG 的表达式为7544y x =-,……………(1分)∴155,2G ⎛⎫⎪⎝⎭.………………………………………………………………………(1分)25. 解:(1)∵BC ∥AD ,∴EC CGAF AG =,EC CH DM DH=,………………………(2分) ∵GH ∥AD ,CG CHAG DH=,……………………………………………………(1分) ∴EC ECAF DM=,∴AF DM =.……………………………………………………(1分) (2)∵AB BC ⊥,AB =8,BC=6,∴10AC =, ∵BC ⊥AB ,EM AC ⊥,∴cos BC COACB AC EC∠==,…………………………(1分) ∵EC =x ,∴610CO x =,∴35CO x =,……………………………………………(1分) ∵AF =2EC ,由(1)知AF DM =,∴2DM EC =,∴2DM x =,∵EC ∥AM ,∴EC COAM AO=,………………………………………………… (1分) ∴3532105xx AD x x =+-,∴5093x AD -=.………………………………………(1分) (3)∵EM AC ⊥,设AD a =,∴2FD a x =-,()425MO a x =+,………(1分)FM FD DM FD AF AD a =+=+==,当F 与M 相外切时,FD MO FM +=;()4225a x a x a -++=,解,得10021x =,………………………………………(1分)∵AD BC >,即6a >, 由10021x =,得50621a =<,与已知不符,∴10021x =(舍);…………………(1分) 当F 与M 相内切时,FD MO FM -=,①()4225a x a x a --+=,无解;………………………………………………(1分)②()()4225a x a x a +--=, 解,得259x =,253a =,∵2x a <,6a >,∴259x =.……………………(2分)综上所述,满足条件的x 的值为259.。

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析卢湾25

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析卢湾25

例 2011年上海市卢湾区中考模拟第25题已知:如图1,在直角梯形ABCD中,BC∥AD(AD>BC),BC⊥AB,AB=8,BC=6.动点E、F分别在边BC和AD上,且AF=2EC.线段EF与AC相交于点G,过点G作GH∥AD,交CD于点H,射线EH交AD的延长线于点M,交AC于点O,设EC=x.(1)求证:AF=DM;(2)当EM⊥AC时,用含x的代数式表达AD的长;(3)在(2)题条件下,若以MO为半径的⊙M与以FD为半径的⊙F相切,求x的值.图1动感体验请打开几何画板文件名“11卢湾25”,拖动点E在CB上运动,可以体验到,AF与DM 保持相等,从AD随x变化的函数图像可以看到,AD是x的一次函数.可以看到,两圆可以内切,不可能外切.请打开超级画板文件名“11卢湾25”,思路点拨1.结合第(2)题的条件“EM⊥AC”重新画图:先画确定的直角△ABC,过点A画BC的平行线,截取AF=2CE,联结EF交AC于G;作EM⊥AC产生点M;过点G作BC 的平行线交EM于H;延长CH交AM于D.如果你截取的AF=2CE使得F不慎落在了AD的延长线上,那就太好了,暗示了第(3)题求得的x值要检验的.再取适当的AF=2CE重新画图.2.已知条件“直角梯形ABCD”,容易误导大家以为AD是定值,其实点D是从动点.满分解答(1)如图2,如图3,因为BC∥AD,所以EC CGAF AG=,EC CHDM DH=.因为GH∥AD,所以CG CHAG DH=.因此EC ECAF DM=.所以AF DM=.图2 图3(2)如图4,在Rt△ABC中,AB=8,BC=6,所以10AC=.过点E作EN//AC交DA的延长线于N,则四边形CANE是平行四边形.因此NE=AC=10,AN=CE=x,∠MNE=∠BCA.由于EM ⊥AC ,所以△EMN 是直角三角形.在Rt △EMN 中,NE =10,MN =MD +DA +AN =DA +3x . 所以3cos cos 5NE BCA MNE MN ∠=∠==. 因此10335AD x =+.于是得到5093x AD -=.图4 图5(3)如图5,在Rt △AMO 中,MA =MD +DA =509503233x x x --+=,4sin 5MAO ∠=, 所以404sin 35MO MA MAO x =⋅∠=-. 由AF =MD ,可得AD =MF .因此FD =AD -AF =509502533x x x --=-. 对于⊙M ,r M =40435MO x =-;对于⊙F ,r F =FD =5053x -;圆心距MF 5093x -=. ①当两圆外切时,r M +r F =MF .解方程40435x -+5053x -5093x -=,得10021x =. 此时,AF 200221x ==,5093x AD -=5021=.因此点F 在AD 的延长线上,不合题意. ②当两圆外切时,|r M -r F |=MF . 解方程404505353x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5093x -=,得259x =. 此时,AF 5029x ==,5093x AD -=759=.因此点F 在AD 上,符合题意. 综合①、②,当x =259时,两圆内切(如图5). 考点伸展第(2)题用含x 的代数式表达AD 的长,怎么确定x 的取值范围呢?因为点E 、F 分别在边BC 和AD 上,所以AF ≤AD ,即2x ≤5093x -.解得x ≤103. 如果事先确定了x 的取值范围是x ≤103,据此可以检验10021x =不合题意. 事实上,当两圆内切时,四边形CDFE 是平行四边形,四边形CHGE 是菱形. 绘图注意:大圆经过点O ,不经过点C 、G .C 、G 在圆外。

2011数学上海金山中考模拟试卷

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2010年金山区模拟一数 学 卷(满分150分,考试时间100分钟)考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题;2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效. 3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1.化简32(3)x 所得的结果是( ).A .99xB .69xC .66xD .96x2.若b a <,则下列各式中一定成立的是( )A .33a b ->-B .33a b< C .33a b -<- D .ac bc < 3.在平面直角坐标系中,下列直线中与直线23y x =-平行的是( )A .3y x =-B .23y x =-+C .23y x =+D .32y x =-4.在平面直角坐标系中,将二次函数22x y =的图象向左平移3个单位,所得图象的解析式为( )A .22(3)y x =+B .22(3)y x =-C .223y x =+D .223y x =-5.在正多边形中,外角和等于内角和的是( )A .正六边形B .正五边形C .正四边形D .正三边形6.已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点,那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是( )A .8d >B . 2d >C .02d ≤<D . 8d >或02d ≤<二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7.因式分解:22x x -= .8.如果方程()132x a -=的根是3x =,那么a = . 9.请你写一个大于2且小于3的无理数 . 10.函数1()1f x x=-的定义域是 . 11. ()322a b a --= .12.在Rt △ABC 中,∠C =90°,13sinA =,BC =6,那么AB = . 13.在一个不透明的布袋中装有2个白球和n 个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同.若从中随机摸出一个球,摸到黄球的概率是45,则n =__________.14.如图1,已知a ∥b ,140∠=,那么2∠的度数等于 . 15.两个相似三角形对应边上高的比是1∶4 ,那么它们的面积比是 .16.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,BC =6,以点C 为圆心的⊙C 与AB 相切,那么⊙C 的半径等于 .17.在四边形ABCD 中,点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,如果四边形EFGH 为菱形,那么四边形ABCD 可能是 (只要写一种). 18.如图2,在△ABC 中,AD 是BC 上的中线,BC =4, ∠ADC =30°,把△ADC 沿AD 所在直线翻折后 点C 落在点C ′ 的位置,那么点D 到直线BC ′ 的 距离是 .三、解答题:(本大题共7题,满分78分) 19.(本题满分10分) 解分式方程:212111x x x -=--20.(本题满分10分)一块长方形绿地的面积为2400平方米,并且长比宽多20米,那么这块绿地的长和宽分别为多少米?12 a b图1C /BD CA图221.(本题满分10分,每小题满分各5分)如图3,在△ABC 中,sin ∠B =45,∠C =30°,AB =10。

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析奉贤25

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析奉贤25

例 2011年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1,在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG、正方形DMNK,恰好使得N、A、F三点在同一条直线上,联结MF交线段AD于点P,联结NP,设正方形BEFG的边长为x,正方形DMNK的边长为y.(1)求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围;(2)当△NPF的面积为32时,求x的值;(3)以P为圆心,AP为半径的圆能否与以G为圆心,GF为半径的圆相切,若能请求x的值,若不能,请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“11奉贤25”,拖动点E运动,观察图形的变化和函数的图像,可以体验到,y是x的一次函数,△NKA与△AEF保持全等,AP是△FMN的中位线.可以看到,两圆能够外切,不存在内切的情况.请打开超级画板文件名“11奉贤25”,思路点拨1.根据题意,保持正方形ABCD的大小不变,改变x的值,画两三个图形观察研究.2.因为三个正方形的位置关系,存在很多直角三角形相似,选择便于标记边长的,就可以得到y关于x的函数关系式.3.抓住y=x+6的几何意义是NK=AE,思路一下子就灵活了.4.罗列两圆的半径和圆心距,分外切与内切两种情况列方程,探求两圆相切的存在性.满分解答(1)如图2,由正方形ABCD、正方形BEFG、正方形DMNK,可知∠E=∠K,KD//EF.所以∠AFE=∠NAK.因此△AFE∽△NAK.于是A E N KE F K A=,即66x yx y+=-.由此得到y关于x的函数关系式为y=x+6,自变量x的取值范围是0<x≤6.(2)如图2,y=x+6的几何意义是NK=AE,即△AFE≌△NAK.因此A、P分别为NF、MF的中点,AP为△FMN的中位线.所以△NPF与△NPM是等底同高的三角形.所以2211(6)3222N P F M N P S S y x ∆∆===+=.解得x =2.图2 图3(3)如图3,联结PG ,延长FG 交AD 于H ,则GH ⊥AD .在Rt △PG H 中,GH =6,2y P H A P A H x =-=-,所以PG =.对于⊙P ,2P y r AP ==;对于⊙G ,G r G F x ==.①当两圆外切时,P G r r PG +=.所以2y x +=解得3x =-±(负值舍去).②当两圆内切时,P G r r PG -=.所以2y x -=.此方程无解.综合①、②,当3x =时,这两个圆外切(如图3).考点伸展第(3)题探求两圆相切,可以不用计算,说理两圆不可能内切: 如图3,如果两圆内切,那么P G r r PG -=.而P G r r -的几何意义是AP AH PH -=,在Rt △PGH 中,直角边不可能等于斜边. 因此两圆不可能内切.。

中考数学压轴题---因动点产生的相似三角形问题[含答案]

中考数学压轴题---因动点产生的相似三角形问题[含答案]

因动点产生的相似三角形问题例1(2011年上海市闸北区中考模拟第25题)直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ,抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 、C 、D 三点.(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标;(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G 的坐标;(3) 在直线BG 上是否存在点Q ,使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.图1满分解答(1)A (3,0),B (0,1),C (0,3),D (-1,0).(2)因为抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (3,0)、C (0,3)、D (-1,0) 三点,所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4,顶点G 的坐标为(1,4).(3)如图2,直线BG 的解析式为y =3x +1,直线CD 的解析式为y =3x +3,因此CD //BG .因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB ⊥CD .因此AB ⊥BG ,即∠ABQ =90°. 因为点Q 在直线BG 上,设点Q 的坐标为(x ,3x +1),那么22(3)10BQ x x x =+=±.Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3,如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似,存在两种情况: ①当3B Q B A =时,10310x ±=.解得3x =±.所以1(3,10)Q ,2(3,8)Q --.②当13B Q B A=时,101310x ±=.解得13x =±.所以31(,2)3Q ,41(,0)3Q -.图2 图3考点伸展第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ;二是22(3)10BQ x x x =+=±.我们换个思路解答第(3)题:如图3,作GH ⊥y 轴,QN ⊥y 轴,垂足分别为H 、N .通过证明△AOB ≌△BHG ,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG =90°. 在Rt △BGH 中,1sin 110∠=,3cos 110∠=.①当3B Q B A=时,310B Q =.在Rt △BQN 中,sin 13QN BQ =⋅∠=,cos 19BN BQ =⋅∠=. 当Q 在B 上方时,1(3,10)Q ;当Q 在B 下方时,2(3,8)Q --. ②当13B Q B A=时,1103B Q =.同理得到31(,2)3Q ,41(,0)3Q -.例2(2011年上海市杨浦区中考模拟第24题)Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数(0)k y k x =≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D (4,m ),与AB 边交于点E (2,n ),△BDE 的面积为2.(1)求m 与n 的数量关系; (2)当tan ∠A =12时,求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式;(3)设直线AB 与y 轴交于点F ,点P 在射线FD 上,在(2)的条件下,如果△AEO 与△EFP 相似,求点P 的坐标.图1满分解答(1)如图1,因为点D (4,m )、E (2,n )在反比例函数ky x =的图像上,所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理,得n =2m .(2)如图2,过点E 作EH ⊥BC ,垂足为H .在Rt △BEH 中,tan ∠BEH =tan ∠A =12,EH =2,所以BH =1.因此D (4,m ),E (2,2m ),B (4,2m +1).已知△BDE 的面积为2,所以11(1)2222B D E H m ⋅=+⨯=.解得m =1.因此D (4,1),E (2,2),B (4,3).因为点D (4,1)在反比例函数k y x=的图像上,所以k =4.因此反比例函数的解析式为4y x=.设直线AB 的解析式为y =kx +b ,代入B (4,3)、E (2,2),得34,22.k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得12k =,1b =.因此直线AB 的函数解析式为112y x =+.图2 图3 图4(3)如图3,因为直线112y x =+与y 轴交于点F(0,1),点D 的坐标为(4,1),所以FD // x 轴,∠EFP =∠EAO .因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况:①如图3,当E A EF A O F P =时,2552FP =.解得FP =1.此时点P 的坐标为(1,1).②如图4,当E A F P A OE F=时,2525F P =.解得FP =5.此时点P 的坐标为(5,1).考点伸展本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”,如果没有这个条件限制,保持其他条件不变,那么还有如图5的情况:第(1)题的结论m 与n 的数量关系不变.第(2)题反比例函数的解析式为12y x=-,直线AB 为172y x =-.第(3)题FD 不再与x 轴平行,△AEO 与△EFP 也不可能相似.图5例3(2010年义乌市中考第24题)如图1,已知梯形OABC ,抛物线分别过点O (0,0)、A (2,0)、B (6,3). (1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标;(2)将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1,得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1.设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ,A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1,y 1)、(x 2,y 2).用含S 的代数式表示x 2-x 1,并求出当S =36时点A 1的坐标;(3)在图1中,设点D 的坐标为(1,3),动点P 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动,动点Q 从点D 出发,以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动.P 、Q 两点同时出发,当点Q 到达点M 时,P 、Q 两点同时停止运动.设P 、Q 两点的运动时间为t ,是否存在某一时刻t ,使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.图1 图2(1)抛物线的对称轴为直线1x =,解析式为21184y x x =-,顶点为M (1,18-).(2) 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-,由此得到1223s x x +=+.由于213y y -=,所以22212211111138484y y x x x x -=--+=.整理,得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦.因此得到2172x x S -=. 当S =36时,212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为(6,3).(3)设直线AB 与PQ 交于点G ,直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ,直线PQ 与x 轴交于点F ,那么要探求相似的△GAF 与△GQE ,有一个公共角∠G .在△GEQ 中,∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角,为定值.在△GAF 中,∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ ≠∠GAF . 因此只存在∠GQE =∠GAF 的可能,△GQE ∽△GAF .这时∠GAF =∠GQE =∠PQD . 由于3tan 4G A F ∠=,tan 5DQ t PQD QPt∠==-,所以345t t=-.解得207t =.图3 图4考点伸展第(3)题是否存在点G 在x 轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t 的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.例4(2010年上海市宝山区中考模拟第24题)如图1,已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线22y m x m x n =++上.(1)求m 、n ;(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,若四边形A A ′B ′B 为菱形,求平移后抛物线的表达式;(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ,试在x 轴上找一个点D ,使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似.图1满分解答(1) 因为点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线22y m x m x n =++上,所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-,4n =.(2)如图2,由点A (-2,4) 和点B (1,0),可得AB =5.因为四边形A A ′B ′B 为菱形,所以A A ′=B ′B = AB =5.因为438342+--=x x y ()2416133x =-++,所以原抛物线的对称轴x =-1向右平移5个单位后,对应的直线为x =4.因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y .图2(3) 由点A (-2,4) 和点B ′ (6,0),可得A B ′=45. 如图2,由AM //CN ,可得''''B N B C B MB A=,即2'845B C =.解得'5B C =.所以35AC =.根据菱形的性质,在△ABC 与△B ′CD 中,∠BAC =∠CB ′D .①如图3,当''A B B C A C B D =时,55'35B D=,解得'3B D =.此时OD =3,点D 的坐标为(3,0).②如图4,当''A B B D A CB C=时,5'355B D =,解得5'3B D =.此时OD =133,点D 的坐标为(133,0).图3 图4考点伸展在本题情境下,我们还可以探求△B ′CD 与△ABB ′相似,其实这是有公共底角的两个等腰三角形,容易想象,存在两种情况.我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似,这两个三角形有一组公共角∠B ,根据对应边成比例,分两种情况计算.例5(2009年临沂市中考第26题)如图1,抛物线经过点A (4,0)、B (1,0)、C (0,-2)三点. (1)求此抛物线的解析式;(2)P 是抛物线上的一个动点,过P 作PM ⊥x 轴,垂足为M ,是否存在点P ,使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似?若存在,请求出符合条件的 点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC 上方的抛物线是有一点D ,使得△DCA 的面积最大,求出点D 的坐标.图1满分解答(1)因为抛物线与x 轴交于A (4,0)、B (1,0)两点,设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ,代入点C 的 坐标(0,-2),解得21-=a .所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y .(2)设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x .①如图2,当点P 在x 轴上方时,1<x <4,)4)(1(21---=x x PM ,x AM -=4.如果2==CO AO PM AM ,那么24)4)(1(21=----xx x .解得5=x 不合题意.如果21==COAO PMAM ,那么214)4)(1(21=----xx x .解得2=x .此时点P 的坐标为(2,1).②如图3,当点P 在点A 的右侧时,x >4,)4)(1(21--=x x PM ,4-=x AM .解方程24)4)(1(21=---x x x ,得5=x .此时点P 的坐标为)2,5(-.解方程214)4)(1(21=---x x x ,得2=x 不合题意.③如图4,当点P 在点B 的左侧时,x <1,)4)(1(21--=x x PM ,x AM -=4.解方程24)4)(1(21=---x x x ,得3-=x .此时点P 的坐标为)14,3(--.解方程214)4)(1(21=---xx x ,得0=x .此时点P 与点O 重合,不合题意.综上所述,符合条件的 点P 的坐标为(2,1)或)14,3(--或)2,5(-.图2 图3 图4(3)如图5,过点D 作x 轴的垂线交AC 于E .直线AC 的解析式为221-=x y .设点D 的横坐标为m )41(<<m ,那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m mm ,点E 的坐标为)221,(-m m .所以)221()22521(2---+-=m m mDE m m2212+-=.因此4)221(212⨯+-=∆m mS DAC m m 42+-=4)2(2+--=m .当2=m 时,△DCA 的面积最大,此时点D 的坐标为(2,1).图5 图6考点伸展第(3)题也可以这样解:如图6,过D 点构造矩形OAMN ,那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积.设点D 的横坐标为(m ,n ))41(<<m ,那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S .由于225212-+-=m mn ,所以m m S 42+-=.例6(2009年上海市闸北区中考模拟第25题)如图1,△ABC 中,AB =5,AC =3,cos A =310.D 为射线BA 上的点(点D 不与点B 重合),作DE //BC 交射线CA 于点E ..(1) 若CE =x ,BD =y ,求y 与x 的函数关系式,并写出函数的定义域;(2) 当分别以线段BD ,CE 为直径的两圆相切时,求DE 的长度;(3) 当点D 在AB 边上时,BC 边上是否存在点F ,使△ABC 与△DEF 相似?若存在,请求出线段BF 的长;若不存在,请说明理由.图1 备用图备用图满分解答(1)如图2,作BH⊥AC,垂足为点H.在Rt△ABH中,AB=5,cosA=310A HA B=,所以AH=32=12AC.所以BH垂直平分AC,△ABC 为等腰三角形,AB=CB=5.因为DE//BC,所以A B A CD BE C=,即53y x=.于是得到53y x=,(0x>).(2)如图3,图4,因为DE//BC,所以D E A EB C A C=,M N A NB C A C=,即|3|53D E x-=,1|3|253xM N-=.因此5|3|3xD E-=,圆心距5|6|6xM N-=.图2 图3 图4在⊙M中,115226Mr B D y x===,在⊙N中,1122Nr C E x==.①当两圆外切时,5162x x+5|6|6x-=.解得3013x=或者10x=-.如图5,符合题意的解为3013x=,此时5(3)15313xD E-==.②当两圆内切时,5162x x-5|6|6x-=.当x<6时,解得307x=,如图6,此时E在CA的延长线上,5(3)1537xD E-==;当x>6时,解得10x=,如图7,此时E在CA的延长线上,5(3)3533xD E-==.图5 图6 图7(3)因为△ABC 是等腰三角形,因此当△ABC 与△DEF 相似时,△DEF 也是等腰三角形.如图8,当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时,DE 为等腰三角形DEF 的腰,符合题意,此时BF =2.5.根据对称性,当F 在BC 边上的高的垂足时,也符合题意,此时BF =4.1.如图9,当DE 为等腰三角形DEF 的底边时,四边形DECF 是平行四边形,此时12534B F =.图8 图9 图10 图11考点伸展第(3)题的情景是一道典型题,如图10,如图11,AH 是△ABC 的高,D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点,那么四边形DEHF 是等腰梯形.例7(2008年杭州市中考第24题)如图1,在直角坐标系xOy 中,设点A (0,t ),点Q (t ,b ).平移二次函数2tx y -=的图象,得到的抛物线F 满足两个条件:①顶点为Q ;②与x 轴相交于B 、C 两点(∣OB ∣<∣OC ∣),连结A ,B .(1)是否存在这样的抛物线F ,使得OC OB OA ⋅=2?请你作出判断,并说明理由;(2)如果AQ ∥BC ,且tan ∠ABO =23,求抛物线F 对应的二次函数的解析式.满分解答(1)因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q (t ,b ),所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(.因为抛物线与x 轴有两个交点,因此0>b t .令0=y ,得-=t OB tb ,+=t OC tb .所以-=⋅t OC OB (|||||tb )( +t tb )|-=2|t22|OA ttb ==.即22b t t t-=±.所以当32t b =时,存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=.(2)因为AQ //BC ,所以t =b ,于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(.解得1,121+=-=t x t x . ①当0>t 时,由||||OC OB <,得)0,1(-t B .如图2,当01>-t 时,由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ,解得3=t .此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y .如图3,当01<-t 时,由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ,解得=t 53.此时二次函数的解析式为-=y 532x +2518x +12548.图2 图3②如图4,如图5,当0<t 时,由||||OC OB <,将t -代t ,可得=t 53-,3-=t .此时二次函数的解析式为=y 532x+2518x -12548或241832++=x x y .图4 图5考点伸展第(2)题还可以这样分类讨论:因为AQ //BC ,所以t =b ,于是抛物线F 为2()y t x t t =--+.由3tan 2O A A B O O B∠==,得23O B O A =.①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+,得3t =±(如图2,图5).②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+,得35t =±(如图3,图4).。

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析杨浦25

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析杨浦25

例 2011年上海市杨浦区中考模拟第25题已知△ABC 中,AB =4,BC =6,AC >AB ,点D 为AC 边上一点,且DC =AB ,E 为BC 边的中点,联结DE ,设AD =x .(1)当DE ⊥BC 时(如图1),求x 的值;(2)设ABEDC D ES y S ∆=四边形,求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(3)取AD 的中点M ,联结EM 并延长交BA 的延长线于点P ,以A 为圆心AM 为半径作⊙A ,试问:当AD 的长改变时,点P 与⊙A 的位置关系变化吗?若不变化,请说明具体的位置关系,并证明你的结论;若变化,请说明理由.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦25”,拖动点A 绕着点B 旋转,可以体验到,AB =BD =CD 保持不变,△APM 与△DEM 保持相似,⊙A 始终经过点P . 请打开超级画板文件名“11杨浦25”,思路点拨1.第(1)题联结BD 是关键的一步,两个等腰三角形有公共的腰BD .2.构造AC 边上的高,就可以把锐角三角形分割为有公共直角边的两个直角三角形,这是解三角形常见的构造辅助线的方法.3.第(2)题应用等底同高三角形的面积比相等,同高三角形的面积比等于底边的比. 4.第(2)题先画一个比较大的、比较准确的示意图,把点P 与⊙A 的位置关系观察出来,再进行论证.5.证明点P 在⊙A 上的思路是证明AP =AM .满分解答(1)如图2,联结BD ,过点B 作BH ⊥AC 于H . 因为DE 垂直平分BC ,所以DB =DC . 又已知AB =DC ,所以AB =DB . 因此AH =BH =12x .在Rt △ABH 和Rt △CBH 中,AB 2-AH 2= BC 2-CH 2. 所以2216()36(4)22xx -=-+.解得x =1.(2)如图3,因为E 是BC 的中点,所以∴BD E C D E S S ∆∆=. 因此ABEDC D ES y S ∆=四边形1ABD BD EABD C D E C D ES S S S S ∆∆∆∆∆+==+.因为4ABD DBCS x S ∆∆=,所以24ABD C D ES x S ∆∆=,即2ABD C D ES x S ∆∆=.因此得到12x y =+.定义域为 0<x <6.图2 图3 图4(3)如图4,点P 在⊙A 上. 证明:设AC 的中点为N ,联结EN . 因为E 、N 分别为BC 、AC 的中点, 所以EN 是△ABC 的中位线,EN //AB ,EN =122A B =.所以AN =12A C ,A P N E A MN M=.已知M 是AD 的中点,所以1112222M N A N A M A C A D C D =-=-==.所以EN =MN ,AP =AM .因此,点P 在以A 为圆心、AM 为半径的圆上.考点伸展图2中的点H 与图4中的点M 是什么关系?都是AD 的中点,点H 是确定的等腰三角形ABD 的中点,点M 是动态的等腰三角形ABD 的中点.第(2)题中的定义域0<x <6是怎么确定的呢?当A 与D 重合时,四边形ABED 不存在,所以x >0;当点A 旋转到CB 的延长线上时,四边形ABED 、△CDE 都不存在了, 此时AC =AB +BC =10,x =AD =AC -DC =6.所以x 必须满足x <6.。

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析静安25

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析静安25

例 2011年上海市静安区中考模拟第25题如图1,在半径为5的⊙O 中,点A 、B 在⊙O 上,∠AOB =90º,点C 是 A B 上的一个动点,AC 与OB 的延长线相交于点D ,设AC =x ,BD =y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域;(2)如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ,且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2,当BD =31OB 时,求⊙O 1的半径;(3)是否存在点C ,使得△DCB ∽△DOC ?如果存在,请证明;如果不存在,请简要说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“11静安25”,拖动点C 在 A B 上运动,观察图形、图像和度量值,可以体验到,∠DCB 保持45°不变,y 随x 的增大而减小.双击按钮“OB =3BD ”,从度量值可以看到,AC =6.双击按钮“△DCB ∽△DOC ”,可以体验到,此时C 是 A B 的中点.请打开超级画板文件名“11静安25”,思路点拨1.综合考虑第(1)、(2)题,可以感悟到应用垂径定理构造辅助线.2.第(1)题求得的解析式容易折磨人的自信,第(2)题的计算更显得繁琐. 3.第(2)题⊙O 1与⊙O 的圆心距为2,要考虑两种情况.4.第(3)题中,隐含了∠DCB 保持45°不变这个条件,不易觉察.满分解答(1)如图2,过圆心O 作OE ⊥AC ,垂足为E ,那么AE =x AC 2121=.在Rt △AOE 中,OE =2224125xAE AO -=-.由tan O E D O A AEAO==,得OE AO DO AE ⋅=⋅.所以(5)2x y =+.整理,得xxxy 510052--=.定义域为250<<x .(2)如图3,当BD =31OB 时,35=y .解方程xxx51005352--=,得x =6.此时,在Rt △AOE 中,OA =5,AE =3,所以OE =4. ①当点O 1在线段OE 上时,211=-=OO OE E O , 在Rt △AO 1E 中,1332222211=+=+=AEE O A O .②当点O 1在线段EO 的延长线上时,611=+=OO OE E O , 在Rt △AO 1E 中,5336222211=+=+=AEEO A O .综合①、②,⊙O 1的半径为13或53.图2 图3 图4(3)如图4,四边形AOBC 的内角和等于360°,其中∠AOB =90°,所以另外三个角的和为270°.由于OA =OB =OC ,所以∠OAC =∠OCA ,∠OBC =∠OCB . 因此∠ACB =135°.所以∠DCB =45°,为定值. 所以当∠DOC =45°时,△DCB ∽△DOC .此时C 为 A B 的中点.考点伸展在本题情境下,△BCD 能否成为等腰三角形?不可能的.这是因为,∠DCB =45°,∠D 总是小于45°. 为什么∠D 总是小于45°?在Rt △AOD 中,∠A 的大小由点C 来决定,当C 与B 重合时,∠A 取得最小值45°,而此时△BCD 不存在.。

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析金山25

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析金山25

例 2011年上海市金山区中考模拟第25题如图1,正方形ABCD的边长为4,M是AD的中点,动点E在线段AB上,联结EM 并延长交射线CD于F,过M作EF的垂线交射线BC于G,联结EG、FG.(1)求证:△GEF是等腰三角形;(2)设AE=x,△GEF的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)在点E运动的过程中,△GEF能否成为等边三角形?请说明理由.图1动感体验请打开几何画板文件名“11金山25”,拖动点E在AB上运动,观察图像和度量值,可以体验到,y是x的二次函数,GM垂直平分EF,△EAM与△MNG保持相似,∠GEF的正切值保持不变.请打开超级画板文件名“11金山25”,思路点拨1.GM垂直EF是已知的,自然想到GM平分EF的话,证明思路是显然的.2.把等腰三角形GEF的面积,转化为直角三角形GEM的面积,那么就要思考如何用x的式子表示ME、GM的长.把ME、GM构造为两个相似的直角三角形的斜边长,是添加辅助线的典型题.3.ME与GM的关系,不仅用在第(2)题求三角形的面积,也应用于第(3)题探求∠GEF为定值.满分解答(1)如图2,因为AE//DF,所以M E M A.M F M D因为M是AD的中点,所以M是EF的中点.又因为MG⊥EF,所以G是线段EF垂直平分线上的点.因此GE=GF,△GEF是等腰三角形.(2)如图3,过点G作AD的垂线交AD的延长线于N.由于∠1与∠2都与∠3互余,所以∠1=∠2.因此△EAM ∽△MNG .所以24EM M A M G G N ==.所以MG =2ME . 在Rt △AEM 中,AE =x ,AM =2,所以ME 2=x 2+4. 于是,22122282GEF y S EF GG M E M E M E x ==⋅=⨯==+△. 自变量x 的取值范围是0≤x ≤4.图2 图3(3)△GEF 不可能成为等边三角形,理由如下:如图3,在第(2)题中已经知道,MG =2ME .因此tan ∠GEF =2为定值,所以∠GEF 不可能等于60°.考点伸展在本题情境下,因为tan ∠GEF =2为定值,所以等腰三角形GEF 的形状保持不变. 如果我们改变题设,△GEF 会不会成为等边三角形?如图4,如果把正方形ABCD 改为矩形ABCD ,AD =4,AB =GEF 保持等边三角形的形状.如图5,如果把正方形ABCD 改为矩形ABCD ,AD =4,AB =2,那么△GEF 保持等腰直角三角形的形状.图4 图5。

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析浦东25

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析浦东25

例 2011年上海市浦东新区中考模拟第25题如图,已知在△ABC中,AB=4,BC=2,以点B为圆心,线段BC长为半径的弧交边AC于点D,且∠DBC=∠BAC,P是边BC延长线上一点,过点P作PQ⊥BP,交线段BD的延长线于点Q,设CP=x,DQ =y.(1)求CD的长;(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)当∠DAQ=2∠BAC时,求CP的值.图1动感体验请打开几何画板文件名“11浦东25”,拖动点P在BC的延长线上运动,观察图形和图像,可以体验到,y是x的一次函数,△QPE的形状保持不变.双击按钮“∠DAQ=2∠BAC”可以看到,△ADF是等腰三角形,△ABD与△AQF全等,△ABF与△AQD全等.请打开超级画板文件名“11浦东25”,思路点拨1.可以证明△ABC与△BCD是有公共底角的两个等腰三角形.2.求y关于x的函数解析式,一般策略是把y和x置于同一个直角三角形中用勾股定理列方程,或者构造平行线得到对应线段成比例.3.解第(3)题的策略是根据已知条件∠DAQ=2∠BAC把∠DAQ先平分,再仔细观察图形寻找等量关系.满分解答(1)如图1,因为∠DBC=∠BAC,∠BCD=∠ACB,所以△BCD∽△ACB.因此BC BD CDAB AC BC==.所以2242CDAC==.解得AC=4,CD=1.(2)由(1)知,△BCD与△ACB都是等腰三角形.所以1 cos cos4ABC ACB∠=∠=.如图2,过点Q作QE//AC交BC的延长线于E,那么1 cos cos4E ACB∠=∠=.由DC//QE,得BD BC DCBQ BE QE==,即22122y x PE QE==+++.解得PE y x =-,22y QE +=. 在Rt △QPE 中,1cos 4PE E QE ∠==,所以QE =4PE . 整理24()2y y x +=-,得8277y x =+.定义域为x >0.图2 图3(3)如图3,作∠DAQ 的平分线交DQ 于F .已知∠DBC =∠BAC ,当∠DAQ =2∠BAC 时,那么∠BAC =∠DAF =∠QAF . 又因为∠BDC =∠ADF ,所以△BCD ∽△AFD .所以△ADF 是腰长为3的等腰三角形,底边DF =32. 因此△ABF ≌△AQD .所以y =DQ =BF =BD +DF =72. 解方程782277x =+,得4516x CP ==. 考点伸展第(3)题如果让你纠结,那么你就反客为主:把点Q 作为主动点.如图3,把图画大一些,画好等腰△ABC 和等腰△BCD ,延长好BC 、BD ;作∠DAF =∠QAF =∠BAC ;过点Q 作QP ⊥BC 交BC 的延长线于P .把相等的角标记出来,把相等的线段标记出来,你看到了几个等腰三角形?你看到了几对全等三角形?。

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析松江25

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析松江25

例 2011年上海市松江区中考模拟第25题如图1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =4,BC =5,D 是BC 边上一点,CD =3,点P 在边AC 上(点P 与A 、C 不重合),过点P 作PE // BC ,交AD 于点E .(1)设AP =x ,DE =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出x 的取值范围;(2)当以PE 为半径的⊙E 与DB 为半径的⊙D 外切时,求∠DPE 的正切值;(3)将△ABD 沿直线AD 翻折,得到△AB ′D ,联结B ′C .如果∠ACE =∠BCB ′,求AP 的值.图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“11松江25”,拖动点P 在AC 上运动,观察函数的图像,可以体验到,y 是x 的一次函数;双击按钮“两圆外切” 可以准确显示;双击按钮“∠ACE =∠BCB '”可以体验到△CAE 与△CBB ′相似.请打开超级画板文件名“11松江24”,思路点拨1.第(1)题的对应线段成比例很显然,但是第(1)题的结论在第(2)、(3)题中都要用到,因此要仔细算,歇歇看,再往前.2.第(2)题求∠DPE 的正切值,转化到Rt △CDP 中求∠PDC 的正切值.3.第(2)题把图画大画准确,仔细端详图形,标记相等的角,看看思路能否豁然开朗?不能的画,需要添加什么线呢?翻折必有对称轴,对称必有相等.满分解答(1)如图1,在Rt △ABC 中,AC =4,CD =3,所以AD =5. 因为PE // BC ,所以A P A E A CA D=,即545x y -=.于是得到y 关于x 的函数解析式为554y x =-+,x 的取值范围是0<x <4.(2)对于⊙E ,r E =EP =34x ;对于⊙D ,r D =DB =2;圆心距ED =554x -+.当两圆外切时,r E +r D =ED .所以324x +=554x -+.解得32x =(如图2).所以52P C =.如图2,因为PE // BC ,所以∠DPE =∠PDC .因此tan ∠DPE =tan ∠PDC 56P C D C==.(3)如图3,设AD 的延长线交BB ′于F ,则AF 垂直平分BB ′. 在Rt △BDF 中,BD =2,4sin sin 5B D F A DC ∠=∠=,所以85B F =,16'5B B =.如图4,因为∠CAD =∠DBF ,当∠ACE =∠BCB ′时,△CAE ∽△CBB ′. 因此'C A C B A EB B =,即451655y =-.整理,得64525y =-. 结合第(1)题的结论554y x =-+,解得256125x A P ==.图2 图3 图4考点伸展在本题情景下,两圆能否内切?当两圆内切时,|r E -r D |=ED .所以324x -=554x -+.解得72x =(如图5)或6x =(不合题意).图5。

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析徐汇25

2011年上海市中考数学模拟试题压轴题分析徐汇25

例 2011年上海市徐汇区中考模拟第25题在梯形ABCD 中,AD //BC ,AB ⊥AD ,AB =4,AD =5,CD =5.E 为底边BC 上一点,以点E 为圆心,BE 为半径画⊙E 交直线DE 于点F .(1)如图,当点F 在线段DE 上时,设BE =x ,DF =y ,试建立y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)当以CD 直径的⊙O 与⊙E 与相切时,求x 的值;(3)联接AF 、BF ,当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时,求x 的值.图1动感体验请打开几何画板文件名“11徐汇25”,拖动点E 在BC 上运动,观察图形和图像,可以体验到,当F 在ED 上时,y 随x 的增大而减小;两圆可以外切一次,也可以内切一次,内切时四边形ABED 正好是矩形;双击按钮“AB =AF ”,可以看到,△ABE 与△AFE 关于AE 对称;双击按钮“FA =FB ” 可以看到,点F 是DE 的中点.请打开超级画板文件名“11徐汇25”,思路点拨1.以DE 为斜边构造直角三角形,就可以利用勾股定理建立x 与y 之间的关系式.2.用x 的式子表示两圆的半径和圆心距,分外切和内切两种情况列方程.3.第(3)题无法先画出准确的示意图再进行计算,要先说理再列方程进行计算.计算要用到第(1)题的结论.当AB =AF 时,△ABE 与△AFE 关于AE 对称,通过解直角△ADF 可以得到DF =y =4;当FA =FB 时,点F 是DE 的中点,因此x =y .满分解答(1)如图2,过点D 作DG ⊥BC ,垂足为G .那么BG =AD =5,DG =AB =4.在Rt △DEG 中,DG =4,EG =5-x ,DE =x +y ,由勾股定理,得(x +y )2=(5-x )2+42.变形,得y x =.定义域为0<x ≤4.1.(2)如图3,过点O 作OH ⊥BC ,垂足为H .在Rt △OCH 中,OC =52,所以OH =OC sin ∠C =2,CH =OC cos ∠C =32. 在Rt △OEH 中, OH =2,EH =313822x x --=-,所以22213()22O E x =-+. 对于⊙O ,r O =52;对于⊙E ,r E =x ;圆心距为OE .①当两圆外切时,r O +r E =OE ,所以(r O +r E )2=OE 2. 解方程222513()()222x x +=-+,得209x =.②当两圆内切时,| r O +r E |=OE ,所以(r O -r E )2=OE 2. 解方程222513()()222x x -=-+,得5x =.图2 图3 图4(3)①如图5,当AF =AB =4时,由BE =FE ,知△ABE 与△AFE 关于AE 对称. 在Rt △ADF 中, AD =5,AF =4,所以DF =y =3.如图5,当点F 在线段DE 上时,解方程3x =,得x =2.如图6,当点F 在线段DE 延长线上时,解方程16)5(2+--x x =3,解得x =8. ②如图7,当F A =FB 时,点F 在AB 的垂直平分线上,此时F 是DE 的中点,x =y .解方程x x =,得3x =.综上所述,当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时,8=x 、2或33725+-.图5 图6 图7考点伸展本题的梯形ABCD 的情景不变,E 是BC 边上的一点,设BE =x ,那么直线DE 能否同时平分梯形的周长和面积?能的话,求x 的值.先设直线DE 平分梯形的周长,那么x =2.再代入计算面积,DE 不能平分梯形的面积.。

2011年上海市宝山区、嘉定区中考数学模拟卷(含答案)

2011年上海市宝山区、嘉定区中考数学模拟卷(含答案)

宝山、嘉定2011年学业考试数学模拟卷(时间:100分钟,满分:150分)考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)[每小题只有一个正确选项,在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]1.下列根式中,与2为同类二次根式的是(▲) (A )21; (B )a 2; (C )2.0; (D )12.2.关于二次函数2)1(2+-=x y 的图像,下列判断正确的是(▲)(A )图像开口向上; (B )图像的对称轴为直线1=x ; (C )图像有最低点; (D )图像的顶点坐标为(1-,2). 3.关于等边三角形,下列说法不.正确的是(▲) (A )等边三角形是轴对称图形; (B )等边三角形是中心对称图形; (C )等边三角形是旋转对称图形; (D )等边三角形都相似.4.把一块周长为20cm ,面积为202cm 的纸片裁成四块形状、大小完全相同的小三角形纸片(如图1),则每块小三角形纸片的周长和面积分别为(▲) (A )10cm ,52cm ; (B )10cm ,102cm ; (C )5cm ,52cm ; (D )5cm ,102cm .5.已知1e 、2e 是两个单位向量,向量12e a =,22e b -=,那么下列结论中正确的是(▲). (A )21e e =; (B )b a -=; (C )b a =; (D )b a -=. 6.图2反映了一辆汽车从甲地开往乙地的过程中,汽车离开甲地的距离s (千米)与所用时间t (分)之间的函数关系.已知汽车在途中停车加油一次,根据图像,下列描述中,不.正确的是(▲) (A )汽车在途中加油用了10分钟; (B )汽车在加油前后,速度没有变化;(C )汽车加油后的速度为每小时90千米; (D )甲乙两地相距60千米.二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7.计算:=⋅-a a 2)( ▲ .8.计算:=---112m mm m ▲ .(图1)S (千米) t (分)6030 553525 0(图2)9.在实数范围内分解因式:222--x x = ▲ . 10.方程x x -=+32的解为: ▲ .11.已知12)(3-=x x f ,且3)(=a f ,则=a ▲ .12.已知函数2-+=k kx y 的图像经过第一、三、四象限,则k 的取值范围是 ▲ . 13.把抛物线x x y 22-=向左平移一个单位,所得抛物线的表达式为: ▲ .14.已知关于x 的方程042=+-m x x ,如果从1、2、3、4、5、6六个数中任取一个数作为方程的常数项m ,那么所得方程有实数根的概率是 ▲ .15.如图3,已知梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=5,CD=3,AD=BC=4,则=∠DAB cos ▲ . 16.如图4,小芳与路灯相距3米,他发现自己在地面上的影子(DE )长2米,如果小芳的身高为1.6米,那么路灯离地面的高度(AB )是 ▲ 米.17.如图5,已知AB 是⊙O 的直径,⊙O 1、⊙O 2的直径分别是OA 、OB ,⊙O 3与⊙O 、⊙O 1、⊙O 2均相切,则⊙O 3与⊙O 的半径之比为 ▲ .18.已知A 是平面直角坐标系内一点,先把点A 向上平移3个单位得到点B ,再把点A 绕点B 顺时针方向旋转90°得到点C ,若点C 关于y 轴的对称点为(1,2),那么点A 的坐标是 ▲ .三、解答题:(本大题共7题,满分78分)[将下列各题的解答过程,做在答题纸上]19.(本题满分10分) 计算:1312)23(6)8()13(-+--+-.(图4)CBED A(图5)ABO O 1O 2O 3CD(图3)BA如图6,已知一个正比例函数与一个反比例函数的 图像在第一象限的交点为A (2,4). (1)求正比例函数与反比例函数的解析式; (2)平移直线OA ,平移后的直线与x 轴交于点B , 与反比例函数的图像在第一象限的交点为C (4,n ). 求B 、C 两点的距离.21.(本题满分10分,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分4分)如图7,△ABC 中,AB=AC ,54cos =∠ABC ,点D 在边BC 上,BD =6,CD=AB .(1) 求AB 的长; (2) 求ADC ∠的正切值.A (2,4)yxO(图6)DCBA(图7)如图8,已知B 是线段AE 上一点,ABCD 和BEFG 都是正方形,联结AG 、CE . (1) 求证:AG =CE ; (2) 设CE 与GF 的交点为P ,求证:AG PE CG PG .23.(本题满分12分,每小题各4分)为了了解学生关注热点新闻的情况,“两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,调查结果统计如图9所示(其中男生收看3次的人数没有标出).根据上述信息,解答下列各题:(1) 该班级女生人数是 ▲ ,女生收看“两会”新闻次数的中位数是 ▲ ; (2) 对于某个群体,我们把一周内 收看某热点新闻次数不低于3次的人 数占其所在群体总人数的百分比叫做 该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻 的“关注指数”比女生低5%,试求 该班级男生人数;(3) 为进一步分析该班级男、女生 收看“两会”新闻次数的特点,小明 给出了男生的部分统计量(如表1).根据你所学过的统计知识,适当 计算女生的有关统计量,进而比较该 班级男、女生收看 “两会”新闻次数 的波动大小.统计量 平均数(次) 中位数(次)众数(次)方差…… 该班级男生3 34 2……ABCDEFG P(图8)0 14 23 次数(次)2 3 5 6 7人数(人)O5(图9)1女生 男生4 (表1)如图10,已知抛物线c bx x y ++-=2与x 轴负半轴交于点A ,与y 轴正半轴交于点B ,且OB OA =. (1) 求c b +的值;(2) 若点C 在抛物线上,且四边形OABC 是 平行四边形,试求抛物线的解析式;(3) 在(2)的条件下,作∠OBC 的角平分线, 与抛物线交于点P ,求点P 的坐标.CBAOy x(图10)25.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)如图11,已知⊙O 的半径长为1,PQ 是⊙O 的直径,点M 是PQ 延长线上一点,以点M 为圆心作圆,与⊙O 交于A 、B 两点,联结PA 并延长,交⊙M 于另外一点C .(1) 若AB 恰好是⊙O 的直径,设OM=x ,AC=y ,试在图12中画出符合要求的大致图形,并求y 关于x 的函数解析式;(2) 联结OA 、MA 、MC ,若OA ⊥MA ,且△OMA 与△PMC 相似,求OM 的长度和⊙M 的半径长;(3) 是否存在⊙M ,使得AB 、AC 恰好是一个正五边形的两条边?若存在,试求OM 的长度和⊙M 的半径长;若不存在,试说明理由.图12Q POM备用图QPOAB图11CQ P O M宝山、嘉定2011年九年级数学模拟测试评分参考标准一、1. A ; 2. D ; 3. B ; 4. A ; 5. C ; 6. B.二、7. 3a ; 8. m ; 9. )31)(31(--+-x x ; 10. 1-=x ;11. 32; 12. 20<<k ; 13. 12-=x y ; 14.32; 15.41; 16. 4; 17. 3:1; 18. )1,2(-. 三、19.解:原式=2362324+--- (5分)=)23(6322--- (2分) =3223322+-- (2分) =232- (1分)20.解(1)设正比例函数的解析式为x k y 1=,反比例函数的解析式为xk y 2= (1分)根据题意得:241⨯=k ,242k = (2分) 解得:21=k ,82=k所以,正比例函数的解析式为x y 2=,反比例函数的解析式为xy 8=. (2分) (2)因为点C (4,n )在反比例函数xy 8=的图像上 所以,248==n ,即点C 的坐标为)2,4( (1分) 因为AO ∥BC ,所以可设直线BC 的表达式为b x y +=2 (1分) 又点C 的坐标为)2,4(在直线BC 上所以,b +⨯=422,解得6-=b ,直线BC 的表达式为62-=x y (1分) 直线BC 与x 轴交于点B ,设点B 的坐标为)0,(m可以得:620-=m ,解得3=m ,所以点B 的坐标为)0,3( (1分) ∴ 5=BC ……………………1分21.解:(1)过点A 作AH ⊥BC ,垂足为H (1分)∵AC AB = ∴BC HC BH 21== (1分)设x CD AC AB === ∵6=BD∴6+=x BC , 26+=x BH (1分)在Rt △AHB 中,ABBH ABC =∠cos ,又54cos =∠ABC∴5426=+x x (2分) 解得:10=x ,所以10=AB (1分)(2)821===BC HC BH2810=-=-=CH CD DH (1分)在Rt △AHB 中,222AB BH AH =+,又10=AB ,∴6=AH (1分) 在Rt △AHD 中,326tan ===∠DHAH ADC∴ADC ∠的正切值是3 (2分)22.证明:(1)∵四边形ABCD 和BEFG 是正方形∴CB AB =,BE BG =,︒=∠=∠90CBE ABG (3分)∴△ABG ≌△CBE (1分) ∴CE AG = (1分) (2)∵PG ∥BE∴CBCG BEPG =,CEPE CB BG = (2分)∵BE BG =,CE AG =∴CBBG CGPG =,AGPE CB BG = (2分)∴AGPE CGPG = (1分)23.(1)20 (2分), 3 (2分);(2)由题意:该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为%65%1002013=⨯ (1分) 所以,男生对“两会”新闻的“关注指数”为%60 (1分) 设该班的男生有x 人则 %60)631(=++-x x (1分), 解得:25=x (1分)答:该班级男生有25人.(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为3202554635221=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯, (2分)女生收看“两会”新闻次数的方差为:101320)53(2)43(5)33(6)23(5)13(222222=-+-+-+-+-因为2>1013,所以男生比女生的波动幅度大. (2分)24.解:(1)由题意得:点B 的坐标为),0(c ,其中0>c ,c OB = (1分) ∵OB OA =,点A 在x 轴的负半轴上,∴点A 的坐标为)0,(c - (1分) ∵点A 在抛物线c bx x y ++-=2上,∴c bc c +--=20 (1分) ∴ 1=+c b (因为0>c ) (1分) (2)∵四边形OABC 是平行四边形∴c AO BC ==,又BC ∥x 轴,点B 的坐标为),0(c∴点C 的坐标为),(c c (1分) 又点C 在抛物线上,∴c bc c c ++-=2∴0=-c b 或0=c (舍去) (1分)又 由(1)知:1=+c b ∴21=b ,21=c . 抛物线的解析式为21212++-=x x y . (2分) (3)过点P 作⊥PM y 轴,⊥PN BC ,垂足分别为M 、N ∵ BP 平分CBO ∠ ∴ PN PM = (1分)设点P 的坐标为)2121(2++-x x x ,∴x x x =++--)2121(212 (1分) 解得:23=x 或0=x (舍去) (1分) 所以,点P 的坐标为)21,23(- (1分)25.(1)图画正确 (1分)过点M 作AC MN ⊥,垂足为N∴y NC AN 21== 由题意得:AB PM ⊥, 又AB 是圆O 的直径∴1==OP OA ∴︒=∠45APO , 2=PA∴y PN 212+=(1分) 在Rt △PNM 中,PMPNNPM =∠cos 又x PM +=1,︒=∠45NPM∴ 22121245cos =++=︒x y∴ y 关于x 的函数解析式为22-=x y (1>x ) (2分)(2)设圆M 的半径为r因为 OA ⊥MA ,∴∠OAM=90°,12+=r OM又△OMA 与△PMC 相似,所以△PMC 是直角三角形。

2011年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析

2011年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析
2
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11 宝山 24” ,拖动点 B 在 y 轴正半轴上运动,观察 b 随 c 变化 的跟踪图像,可以体验到, b+c 等于定值 1;在运动过程中,△AOB 保持等腰直角三角形, 四边形 OABC 保持平行四边形.双击按钮“点 C 落在抛物线上” ,可以看到,此时点 B 与点 C 关于抛物线的对称轴对称,△BPM 是等腰直角三角形.

2011 年上海市宝山区中考模拟第 25 题
图4 由 y x2
图5
图6
1 1 1 1 1 1 1 x (2 x 1)( x 1) ,知 A( , 0) , B(0, ) , C ( , ) . 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ; x ,得 Q(-1,-1 ) 2 2
如图 4,当 AQ//BC 时,根据对称性,易知点 Q 的坐标为(1, 0) ; 如图 5,当 CQ//AB 时,设 Q(x,x) ,解方程 x x 2
目录
华东师大出版社荣誉出品 《挑战中考数学压轴题》系列产品·5

且 OA=OB.
2011 年上海市宝山区中考模拟第 24 题
如图 1,已知抛物线 y=-x + bx+c 与 x 轴负半轴交于点 A,与 y 轴正半轴交于点 B , (1)求 b+c 的值; (2)若点 C 在抛物线上,且四边形 OABC 是平行四边形,试求抛物线的解析式; (3)在(2 )的条件下,作∠OBC 的角平分线,与抛物线交于点 P,求点 P 的坐标.
2 2
1 . 2
华东师大出版社荣誉出品 《挑战中考数学压轴题》系列产品·5
此时抛物线的解析式为 y x 2
1 1 x . 2 2
(3)过点 P 作 PM⊥y 轴,垂足为 M. 因为 BP 平分∠ CBO,所以△BPM 是等腰直角三角形. 设点 P 的坐标为 ( x, x2 由 BM=PM,列方程 解得 x
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例 2011年上海市中考第24题
已知平面直角坐标系xOy (如图1),一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ,点M 在正比例函数3
2
y x =的图像上,且MO =MA .二次函数 y =x 2+bx +c 的图像经过点A 、M .
(1)求线段AM 的长;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)如果点B 在y 轴上,且位于点A 下方,点C 在上述二次函数的图像上,点D 在一次函数3
34
y x =
+的图像上,
且四边形ABCD 是菱形,求点C 的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11上海24”,拖动点B 在y 轴上点A 下方运动,四边形ABCD 保持菱形的形状,可以体验到,菱形的顶点C 有一次机会落在抛物线上.
请打开超级画板文件名“11上海24”,
思路点拨
1.本题最大的障碍是没有图形,准确画出两条直线是基本要求,抛物线可以不画出来,但是对抛物线的位置要心中有数.
2.根据MO =MA 确定点M 在OA 的垂直平分线上,并且求得点M 的坐标,是整个题目成败的一个决定性步骤. 3.第(3)题求点C 的坐标,先根据菱形的边长、直线的斜率,用待定字母m 表示点C 的坐标,再代入抛物线的解析式求待定的字母m .
满分解答
(1)当x =0时,3
334
y x =
+=,所以点A 的坐标为(0,3),OA =3. 如图2,因为MO =MA ,所以点M 在OA 的垂直平分线上,点M 的纵坐标为3
2.
将32y =代入32y x =,得x =1.所以点M 的坐标为3
(1,)2
.因此AM = (2)因为抛物线y =x 2
+bx +c 经过A (0,3)、M 3(1,)2,所以3,
31.2
c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 解得52b =-
,3c =.所以二次函数的解析式为25
32
y x x =-+. (3)如图3,设四边形ABCD 为菱形,过点A 作AE ⊥CD ,垂足为E .
在Rt △ADE 中,设AE =4m ,DE =3m ,那么AD =5m . 因此点C 的坐标可以表示为(4m ,3-2m ).
将点C(4m ,3-2m )代入25
32
y x x =-+,得23216103m m m -=-+.
解得1
2
m
或者m =0(舍去). 因此点C 的坐标为(2,2).
图2 图3
考点伸展
如果第(3)题中,把“四边形ABCD 是菱形”改为“以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形”,那么还存在另一种情况:
如图4,点C 的坐标为727
(,)416

图4。

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