4-2最优化分析方法
最优化设计 课后习题答案
最优化方法-习题解答张彦斌计算机学院2014年10月20日Contents1第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、412第二章线搜索算法-P27习题2、4、643第三章最速下降法和牛顿法P41习题1，2，374第四章共轭梯度法P51习题1，3，6(1)105第五章拟牛顿法P73-2126第六章信赖域方法P86-8147第七章非线性最小二乘问题P98-1，2，6188第八章最优性条件P112-1，2,5,6239第九章罚函数法P132，1-(1)、2-(1)、3-(3),62610第十一章二次规划习题11P178-1（1），5291第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、4 1.验证下列各集合是凸集:(1)S={(x1,x2)|2x1+x2≥1,x1−2x2≥1};需要验证：根据凸集的定义，对任意的x(x1,x2),y(y1,y2)∈S及任意的实数λ∈[0,1],都有λx+(1−λ)y∈S.即,(λx1+(1−λ)y1,λx2+(1−λ)y2)∈S证：由x(x1,x2),y(y1,y2)∈S得到，{2x1+x2≥1,x1−2x2≥12y1+y2≥1,y1−2y2≥1(1)1把(1)中的两个式子对应的左右两部分分别乘以λ和1−λ,然后再相加，即得λ(2x1+x2)+(1−λ)(2y1+y2)≥1,λ(x1−2x2)+(1−λ)(y1−2y2)≥1(2)合并同类项，2(λx1+(1−λ)y1)+(λx2+(1−λ)y2)≥1,(λx1+(1−λ)y1)−2(λx2+(1−λ)y2)≥1(3)证毕.2.判断下列函数为凸（凹）函数或严格凸（凹）函数：(3)f(x)=x21−2x1x2+x22+2x1+3x2首先二阶导数连续可微，根据定理1.5，f在凸集上是（I）凸函数的充分必要条件是∇2f(x)对一切x为半正定；（II）严格凸函数的充分条件是∇2f(x)对一切x为正定。
最优化计算方法(工程优化)第4章
点。
如果 2 f x 负定，则 x 为 f (x) 的严格局部极大点。
无约束优化的最优性条件----凸优化的一阶条件
定理(一阶充要条件)
设 f : Rn R 是凸函数且在 x 处连续可微，则 x 为 f (x)的全局极小点的充要条件是 f (x*) 0.
f (x p) f (x)+f (x)T p o( )
P是什么方向时，函数值 f (x p) 下降最快？也就是
p是什么方向时，f (x)T p 取得最小值？
f (x)T p f (x) p cos(f (x), p)
当 cos(f (x), p) 1 时，f (x)T p 最小，最小值为
令 f x 0, 即：
利用一阶条件 求驻点
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
x12 1 0
x22
2x2
0
得到驻点： 1 1 1 1
x1
0 ,
x2
2 ,
x3
0
,
x4
2
.
无约束优化的最优性条件
函数 f x 的Hesse阵：
2
f
x
2x1
0
0
2
x2
2
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
2 0
0 2
的行列式小于0；
x1, x4是鞍点；
2
f
x2
2 0
0
2
是正定矩阵；
x2 是极小点；
2
f
x3
2 0
0 2
是负定矩阵；
x3 是极大点。
• 对某些较简单的函数，这样做有时是可行的；
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例3 将例1的目标函数改为 f(x)= -3x1 -2x2 ,而约束条件
不变, 即求
f(x)= -3x1 - 2x2
解 可行集如图:
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(2) 转变“≤”约束为等式约束 引入 xn+p ≥0 , 使
称变量 xn+p为松驰变量. (3) 转变“≥”约束为等式约束
引入 xn+q ≥0 , 使
称变量 xn+q为剩余变量.
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(4) 消除自由变量
标准形式要求 xi ≥0, 模型中如果出现 xi 可任取值, 则称 xi 为自由变量, 此时可作如下处理:
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再绘出目标函数的等值线.当目标函数值为z0时, 其等值线为 –x1 - 2x2 = z0
这是一条直线, 当 z0 取不同值时, 可得到其他等值线. 因具有相同的斜率, 所以等值线是彼此平行的直线. 例如, 当z0=0时, 得一通过坐标原点的等值线
–x1 - 2x2 = 0
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二． 最优化问题的数学模型与分类
1. 根据问题不同特点分类
( 1 ) 无约束极小化问题 求 x =(x1，x2，…，xn)T 使函数 f(x) 达到最小, 记为
mxiRnn f (x) 或 min f (x) （2）约束极小化问题
记为
min f (x)
s.t. g i (x) 0, i = 1,2, …, m hj(x) = 0, j = 1, 2, …, n
资源与环境经济学(4-2)
qs ws
qm wm
污染
企业为利润最大化：产量扩大到 Qm（边际私人净收益 = 0） 社会最优：当 MEC > MNPB 时，应停止扩大生产. 税 T* 使企业在 T* > MNPB 时，停止扩大生产，把生产限制在社会最优 产量 Qs 的水平。即，T* 把 MNPB 线向左下方移动到 MNPB-T* 税使污染 排放量从 Wm 下降到 Ws。 图中，税率恰好等于最优产量 Qs 所对应的边际外部成本，即污染对外 产生的边际损害。这样企业的产量超过 Qs ，所付的税额就会超过私人净 收益。在此企业将把污染限制在 Ws 庇古税可以定义为：庇古税就是在最优污染水平等于边际外部成本时的 排污收费。
④ 企业与消费者之间分担税负的问题，即企业会不会把税负转嫁到消费者 身上的问题。 假设企业的产品需求曲线为D 税前供给曲线为 S0 对企业而言，如果企 对企业而言 业的污染水平与产量成比 例，则企业必须对生产和 销售单位产品交纳庇古税 T*,这使生产成本也上升了 T*，C从而使供给曲线上升 P0+T* P1 P0 E1 •
2、数学推导 、
社会净收益（NSB） = 收益 – 私人成本 – 外部成本 = P•Q – C（Q）- EC（Q）
NSP （社会净收益）最大化的一阶条件：
∂NSP ∂C ∂EC =P− − =0 ∂Q ∂Q ∂Q
∂C ∂EC ∂SC 则⇒ p = + = ∂Q ∂Q ∂Q
或者，边际私人净收益 = 边际外部成本
c
T*
MNPB
MEC
如果企业继续生产，达到Qm， 企业需支付庇古税为Qm X T*，即面 积OT*bQm ，它相当于cdfQm。 但是企业不会支付abQ*Qm，因 为税额已超过私人净收益 aQ*Qm。 为了避税，企业将生产Q*，即最优产 量。而当企业生产Q*时，仍需支付 OT*aQ*。
四年级奥数第05讲-最优化问题(教)
学科教师辅导讲义知识梳理一、最优化问题在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”二、时间最优问题策略在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事；（2）做每件事需要的时间；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。
在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。
典例分析考点一：烧水问题例1、明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟。
应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？【解析】经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。
水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。
这一过程可用方框图表示：从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需15分钟。
例2、妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。
要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？【解析】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。
水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。
而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。
根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。
考点二：煎饼问题例1、贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。
《最优化方法》课程教学大纲
最优化方法》课程教学大纲课程编号：100004英文名称：Optimizatio n Methods一、课程说明1. 课程类别理工科学位基础课程2. 适应专业及课程性质理、工、经、管类各专业，必修文、法类各专业，选修3. 课程目的（1 ）使学生掌握最优化问题的建模、无约束最优化及约束最优化问题的理论和各种算法;（2）使学生了解二次规划与线性分式规划的一些特殊算法；（3）提高学生应用数学理论与方法分析、解决实际问题的能力以及计算机应用能力。
4. 学分与学时学分2,学时405. 建议先修课程微积分、线性代数、Matlab语言6. 推荐教材或参考书目推荐教材：（1）《非线性最优化》（第一版）.谢政、李建平、汤泽滢主编.国防科技大学出版社.2003年.孙（第一版）参考文瑜、徐成贤、朱德通主编.高等教育出版社.2004年（2）《最优化方法》书目：（第一版）.胡适耕、施保昌主编.华中理工大学出版社.2000年（1）《最优化原理》（2）《运筹学》》（修订版）.《运筹学》教材编写组主编.清华大学出版社.1990年7. 教学方法与手段（1）教学方法：启发式（2）教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合8. 考核及成绩评定考核方式：考试成绩评定：考试课（1）平时成绩占20%形式有：考勤、课堂测验、作业完成情况（2）考试成绩占80%形式有：笔试（开卷）。
9. 课外自学要求（1）课前预习；（2）课后复习；（3）多上机实现各种常用优化算法。
二、课程教学基本内容及要求第一章最优化问题与数学预备知识基本内容：（1 ）最优化的概念；（2）经典最优化中两种类型的问题--无约束极值问题、具有等式约束的极值问题的求解方法；（3）最优化问题的模型及分类；（4）向量函数微分学的有关知识；5）最优化的基本术语。
基本要求：（1）理解最优化的概念；（2）掌握经典最优化中两种类型的问题--无约束极值问题、具有等式约束的极值问题的求解方法；（3）了解最优化问题的模型及分类；（4）掌握向量函数微分学的有关知识；（5）了解最优化的基本术语。
最优化第四部分
无,且xk+1=xk,则缩短步长,仍从xk出发进行下一次轴向移动;若
无,且xk+1xk,则仍从xk出发用步长k进行下一次轴向移动.
最优化理论与方法 第四部分 直接搜索的数值解法
从xk+1出发的模式移动是指以1为步长沿加速方向:dk=xk+1–xk
移动一步,得到新的参考点y=xk+1+dk=2xk+1–xk , 然后 , 从新的参 考点y出发 , 仍以k为步长进行轴向移动.
所以第三次轴向移动结束,令 x3 y (3, 2)T .由于 f ( x3 ) f ( x2 ) ,
2 1 0.1 , 且 x3 x2 ,
因此，令 x3 x2 (2 , 1)T , 3 2 ,
取参考点 y x3 (2,1)T .
最优化理论与方法 第四部分 直接搜索的数值解法
二、Powell 法
本节介绍由Powell提出的一种求解无约束最优化问题
(4.1.1)的直接法. 它本质上是以正定二次函数为背景，以共 轭方向为基础的一种方法. 本节分别介绍原始Powell法和Powell法. 补充：共轭方向 设H为一正定对称矩阵，若有一组非零向量S1，S2，……，Sn
满足 量（方向）。 当H为单位矩阵时，有
由梯度法的分析知，此时点X1的梯度必与方向S0垂直，即有
f X S
1 T
0
0
（4-21）
和
f X 1 HX1 B
（4-22）
最优化理论与方法 第四部分 直接搜索的数值解法
从点X1开始沿另一下降方向S1作一维搜索，得 （4-23） X 2 X 1 S1
1
若欲使X2成为极小点，根据极值的必要条件，应有
小学奥数题目-四年级-简单逻辑推理类-最优化问题2
最优化问题2——集合点的选取在日常生活和生产中，我们会经常遇到一些事情需要进行合理、科学地安排，既要在指定时间内完成任务，又要考虑到精打细算，用最少的时间、人力、物力，发挥出最大的效率。
这就涉及这一章的知识“统筹问题”。
它包含的内容非常广泛，例如统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题、物资调运问题、最省运费问题等等，每类问题都有特定的解法。
这些来源于生活的实际问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。
本节主要介绍两类典型的集合点选取问题：人员集合与物资集合人员集合：问题描述：多个人分散分布在一条线上，现在要使他们在某处集合，我们应该如何选取他们集合的位置，保证所有人走的路程和最短；解决方案：考虑总的人数为n，则有，n为奇数，设在(n+1)/2这个点；n为偶数，设在n/2或n/2+1这两个点中的任意一个或者两点之间的任意一个位置上。
物资集合：问题描述：现在各地有数量不等的物资，需要将它们集中到其中的某地，我们应该如何选取位置，保证运费最省；解决方案：1、计算物资总量；2、分析两端的量，找出来物资量较大的一端，如果大端大于等于总量的一半，则集中到大端；否则，大端集中到离它最近的不为零的位置。
本节主要介绍两类典型的集合点选取问题的解题思路，其推导验证过程会在之后的具体问题中再做如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在在某一居民楼处设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在哪栋居民楼处？1.1.如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，每栋楼的距离均为200米，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？、A、B、C、D2.2.如图，在街道上有A、B、C、D、E、F六栋居民楼，现在在某一居民楼处设立一个小超市，要想使居民到达超市的距离之和最短，超市应该设在哪栋居民楼处？、A、C、D、E3.3.现在有A、B、C、D、E、F、G、H八个人分别住在如图所示的八栋居民楼，八栋楼之间的距离都不一样，如图所示，现在这八个人某天相约在某栋居民楼碰头，要想使这八个人走的路程和最短，应该在哪栋居民楼下碰头？、A或H、B或G、C或F、D或E有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？1.1.有998名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？、出发地点、在第一个学生所在的地点、在正中间两个学生所在的地点、在最后一名学生所在的地点2.2.在一条公路上每隔100千米，这条路上共有5个仓库，并且每个仓库都有10吨的货物，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要1元运输费，那么最少要________元运费才行？集中到哪个仓库能使运费最省？（回答最省运费是多少元）3.3.有101只蚂蚁分别住在一条直线路上，现在他们需要集合起来开会，请问开会地点设在第_____只蚂蚁的家里才能使所有蚂蚁走的路程的总和最小？在一条公路上每隔100千米，有一个仓库(如图)共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要1元运输费，那么最少要多少运费才行？1.1.在一条公路上每隔100千米有一个仓库(如图)，共有5个仓库，一号仓库存有30吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要1元运输费，那么最少要_____元运费才行？2.2.一条直线公路上有5个村，现在几个村的居民要一起开会，每个村的要开会的人数如下图，请问将开会的地点设在哪个村，几个村的居民走的路程和最短？、一、二、三、四3.3.一条直街上有8栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，6，7，8，相邻两楼的距离都是50米。
最优化方法试卷
华东理工大学研究生《最优化方法》考试卷专业 ________ 班级 ________ 学号 ________ 姓名 ________ 成绩 ________2014年12月11日 一、简答题（40分，每小题4分）1．请写出最优化问题的一般模型形式。
2．试叙述局部最优解和全局最优解的定义。
3．请给出优化算法收敛速度的定义。
4．请给出优化算法的终止准则。
5．给出下降方向的定义和判别方法？ 6．简述下降迭代法的基本步骤。
7．何谓共轭方向？你知道由线性无关向量组构造共轭向量组的方法吗？ 8．最速下降法是最好的优化算法吗？为什么？ 9．何谓可行方向及如何判别？10．优化问题的最优解与可行下降方向有什么关系？二、（10分）试用最速下降法（梯度法）求解如下问题，初始点⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110x ，只迭代一次，并判断迭代结果是否为最优解。
21222122)(min 2x x x x x f Rx -+=∈三、（10分）试叙述Powell 基本算法步骤或单纯形替换法的步骤，并简述其特点。
四、（10分）试用惩罚函数求解如下的优化问题8 ..)3()(min 2≥--=x t s x x f五、（10分）考虑下述线性规划问题1223 1832 ..233)(max 321321321321≥=++=+++-=x x x x x x x x x t s x x x x f ，，1．求出该问题的所有基本解，并指出哪些是基本可行解； 2．该问题是否有最优解？若有，请求出其最优解。
六、（10分）考虑问题010)3( 010)3( ..)(max 211323212≥≤---≤+-+=x x x x x x t s x x f ，1．写出上述问题的Kuhn —Tucker 条件。
2．这个问题的最优解满足Kuhn —Tucker 条件吗？为什么？七、（10分）已知某化工反应y 与因数x 和时间t 之间的依赖关系为xa t a ta x a y 43211+++=其中4321,,,a a a a 是待定参数，为确定这三个参数，实验测得有关y x t ,,的五组数据如下：1．试用最小二乘法建立确定参数4321,,,a a a a 的数学模型；2．对于列出的非线性最小二乘问题，你知道有哪些优化算法可求解该问题，并请给出求解该问题的修正Gauss-Newton 算法的迭代公式。
4--第二章色谱分离条件的选择
2、柱温的选择
柱温是一个重要的操作参数，直接影响分离效能和分析速度。
每一种固定液都有一定的使用温度，柱温不能高于固定液 的最高使用温度。
柱温对分离的影响：a宜采用较低温度；b柱温不能过低。
柱温选择原则：在保证分离效果前提下，尽可能采用较低柱 温，标准以保留时间适度为宜、峰形不拖尾为度。
a.对于高沸点(300~400℃)混合物 在较低的柱温（低于沸点100～200℃ ）下分析，低沸点物 质较快流出，低固定液含量（质量分数1～3％）
相比β改变，β=VM/VS， VM减小，β减小，由K=kβ ，k增 大。即采用细颗粒的固定相，填充紧密均匀，减小柱子死 体积。
3.分离度与柱选择性之间的关系（选择因子α ）
k α -1 R＝ √ n * ( α ) * ( 1+k ) 4
1
相对保留值α 是柱选择性的量度，α 越大，柱选择性越好， 分离效果越好。 注意，α 是大于或等于1的，等于1，则分离不能实现。
k
, k/(1+k)=1-1/(1+k)
,R
但k增大，固定相对组分的溶解或吸附就多，分析时间就会 延长，峰宽产生扩展； k增加到一定程度后，k/(1+k)变化不明显。 所以k一般在1～10范围内。
k
, k/(1+k)=1-1/(1+k)
,R
改变k值方法：改变柱温、改变相比。
柱温改变，分配系数K改变，K=kβ ，则k改变；
对于沸点范围较宽的试样，宜采用程序升温。 什么是程序升温？ 柱温按照预定的加热速度，随时间作线性或非线性的增加。
采用程序升温有什么好处？ 由于柱温随时间作线性或非线性的增加，那么在较低的初始 温度，沸点较低的组分较快流出，得到良好分离；随柱温升 高，较高沸点的组分也能较快流出，也能和较低沸点组分一
最优化理论与算法(第四章)
第四章 共轭梯度法§ 共轭方向法共轭方向法是无约束最优化问题的一类重要算法。
它一方面克服了最速下降法中，迭代点列呈锯齿形前进，收敛慢的缺点，同时又不像牛顿法中计算牛顿方向花费大量的工作量，尤其是共轭方向法具有所谓二次收敛性质，即当将其用于二次函数时，具有有限终止性质。
一、共轭方向概念 设G 是n n ⨯对称正定矩阵，1d ，2d 是n 维非零向量，假设120T d Gd = （）那么称1d ，2d 是G －共轭的。
类似地，设1,,m d d 是n R 中一组非零向量。
假设0T i j d Gd =()i j ≠ （）那么称向量组1,,m d d 是G －共轭的。
注：(1) 当G I =时，共轭性就变成正交性，故共轭是正交概念的推行。
(2) 若1,,m d d G －共轭，那么它们必线性无关。
二、共轭方向法共轭方向法确实是依照一组彼此共轭方向依次搜索。
模式算法：1）给出初始点0x ，计算00()g g x =，计算0d ，使000Td g <，:0k = （初始共轭方向）； 2）计算k α和1k x +，使得0()min ()k k k k k f x d f x d ααα≥+=+，令1k k k k x x d α+=+；3）计算1k d +，使10Tk j d Gd +=，0,1,,j k =，令:1k k =+，转2）。
三、共轭方向法的大体定理共轭方向法最重要的性质确实是：当算法用于正定二次函数时，能够在有限多次迭代后终止，取得最优解（固然要执行精准一维搜索）。
定理 关于正定二次函数，共轭方向法最多通过n 步精准搜索终止；且对每一个1i x +，都是()f x 在线性流形00,i j j j j x x x d αα=⎧⎫⎪⎪=+∀⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑中的极小点。
证明：首先证明对所有的1i n ≤-，都有10T i j g d +=，0,1,,j i =（即每一个迭代点处的梯度与以前的搜索方向均正交）事实上，由于目标函数是二次函数，因此有()11k k k k k k g g G x x Gd α++-=-=1）当j i <时， ()1111iTTT i j j j k k j k j g d gd g g d +++=+=+-∑110iT T j j kkj k j gd dGd α+=+=+=∑2）当j i =时，由精准搜索性质知：10T i j g d +=综上所述，有 10T i j g d += (0,1,,)j i =。
最优化计算方法课后习题集答案解析
解：取 ， 时，DFP法的第一步与最速下降法相同
， ，
，
以下作第二次迭代
，
其中，
，
所以
令 ， 利用 ，求得
所以 ，
以下作第三次迭代
，
，
所以
令 ， 利用 ，求得
所以 ， 因为 ，于是停止
即为最优解。
习题四
包括题目： P95页 3；4；8；9(1)；12选做；13选做
3题解如下
3.考虑问题 ，其中
X1,x2,x3≥0 （3）
求出点（1,1,0）处的一个下降可行方向.
解：首先检查在点（1,1,0）处哪些约束为有效约束。检查易知（1），X3≥0为有效约束。设所求可行方向d=(d1,d2,d3)T。根据可行方向d的定义，应存在a>0，使对∀t∈（0，a）能有
X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T
（1）
s.t.
（2）
s.t.
（1）解：非线性规划的K-T条件如下：
（1）
（2）
（3）
再加上约束条件 （4）
为求出满足（1）~（4）式的解，分情况考虑：
①若（4）式等号不成立，即 ，那么由（2）式得 ，将 代入（1）式解得 ， ，所得值不满足 的条件，故舍去。
②若（4）式等号成立，由（1）式可以解得 ， ，代入（4）式有：
JBi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
di0
1
1
0
-5/6
-1/6
1
10/6
4
0
0
38/6
2
0
1
-9/6
最优化方法部分课后习题解答(1-7)
最优化方法部分课后习题解答习题一1.一直优化问题的数学模型为：22121122123142min ()(3)(4)5()02()50..()0()0f x x xg x x x g x x x s t g x x g x x =−+−⎧=−−≥⎪⎪⎪=−−+≥⎨⎪=≥⎪=≥⎪⎩试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出最优值。
（2）约束最优点，并求出其最优值。
（3）如果加一个等式约束，其约束最优解是什么？12()0h x x x =−=解：（1）在无约束条件下，的可行域在整个平面上，不难看出，当=（3，4）()f x 120x x *x 时，取最小值，即，最优点为=（3，4）：且最优值为：=0()f x *x *()f x （2）在约束条件下，的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是()f x 在约束集合即可行域中找一点，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可12(,)x x 以看出，当时，所在的圆的半径最小。
*155(,)44x =()f x 其中：点为和的交点，令求解得到：1()g x 2()g x 1122125()02()50g x x x g x x x ⎧=−−=⎪⎨⎪=−−+=⎩1215454x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即最优点为：最优值为：=*155(,)44x =*()f x 658（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：该优化问题属于三维的优化问题。
123122313123max ()220..00f x x x x x x x x x x S x s t x x =++≤⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎩32123sx y z v⎛⎞=====⎜⎟⎝⎠习题二3.计算一般二次函数的梯度。
工程优化方法-第1章 极值理论与最优化问题的数学表达
f ( X *) 0
展开式：
f ( X * X ) f ( X *) f ( X *)T X 1 X T H ( X *)X 2
f ( X * X ) f (X *) 1 X T H (X *)X 0 2
f ( X * X ) f ( X *)
可见，通过梯度为零点的海辛矩阵是否是正定可 以判别是否是极小点。
j
h11, h12,
H
hn1, hn2,
, h1n
, hnn
nn
nn
hij x j xi
hij x j xi
[ i1 j1
, i1 j1
,
x1
x2
nn
hij x j xi
, i1 j1
]T
xn
n
n
n
n
n
n
[ h1 j x j hi1xi , h2 j x j hi2xi , , hnj x j hin xi ]T
j 1
(1 5)
L( X ,W ,) xi
f ( X ) xi
m
j
j 1
g j ( X ) xi
0
L( X ,W ,)
w j
2 jwj
0
L( X ,W
j
,)
g
j(X
)
w2j
0
由上式可推导：
f ( X )
xi
jg j(X )
m
j
j 1
0
g j ( X xi
)
0
j 0
(1 6)
求极小问题的 j 取值推导：
梯度方向是函数值变化率最大方向证明：
证明：设X为任意迭代点，设沿任意迭代方向移动到新点：
小学四年级数学《最优化问题》
小学四年级数学《最优化问题》专题分析：在日常生活和工作中，我们经常会遇到下雨的问题。
完成一件事情怎样合理安排才能做到用时最少，效果最好。
这类问题在数学中称为统筹问题，解决问题时，必须树立统筹思想，能同时做的事，尽量同时做。
有时，我们还会遇到求“费时最省”“面积最大”“损耗最小”等问题，这些问题往往可以从极端情况去探索它的最大（小）值。
在数学中称为极值问题。
统筹问题和极值问题实际上都属于最优化问题。
思考角度：1、用时最省：把两件或三件以上的事同时做。
2、费时最省：费时少者优先。
3、面积最大：图形越正，面积越大。
4、乘积最大：两数相差越小，乘积越大。
入门题：1、用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，煎一个需要2分钟，规定每个饼的正反面各需1分钟。
问煎3个饼至少需要几分钟？2、妈妈让小明给客人捎水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟，拿茶叶需要2分钟，为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟？3、五（一）班赵明、孙勇、李佳三位同学到达学校卫生室等候校医治病。
赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水只需要1分钟，卫生室只有一位校医，问校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的总时间最短？需要几分钟？4、用18厘米的铁丝围成各种长方形，要使长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少平方厘米？5、用3 ～～6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
练习题：1、烤面包时，第一面要烤2分钟，第二面只烤1分钟。
即烤一块面包共需3分钟，小丽用烤面包的架子，一次能放两块面包。
她每天早上要吃3块面包，至少需要几分钟？2、小虎早晨完成几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶里需要1分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟，为了尽快完成这些事，怎样安排才能使用的时间最少？最少需要多少分钟？3、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务。
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下一阶段决策的前提条件。
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基本思想：可以把多阶段决策问题分解
成许多相互联系的小问题，从而把一个
大的决策过程分解成一系列前后有序的 子决策过程，分阶段实现决策的“最优 化”，进而实现“总体最优化”方案。
一般采用逆序递推方法，使各阶段及至 全过程最优化。
4
例：单目标——规划区空气质量规划目标最优化
(1)决策变量X1、X2、X3、X4分别代表SO2、TSP、CO、NO 的浓度 (2)目标函数 SO2、TSP、CO、NO的权重分别为0.4，0.3，0.1，0.2
SO2、TSP、CO、NO的执行标准分别为B1，B2，B3，B4
构造目标函数：minf=0.4X1/B1+0.3X2/B2+0.1X3/B3+0.2X4/B4 (3)约束条件 X1≤B1; X2≤B2; X3≤B3; X4≤B4; X≥0
接通过线性关系的模型来描述。
如果在规划模型中，目标函数和约束条件表
达式中存在至少一个关于决策变量的非线性 关系式，这种数学规划问题称为非线性规划 问题。
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目前，非线性规划问题常采用数值求解，算法大体分 为两类：
一是采用逐步线性逼近的思想，通过一系列非线性函 数线性化的过程，利用线性规划获得非线性规划的近 似最优解；
由结果可知，采用重力沉降室和喷雾洗涤器去除工厂 1释 放的 TSБайду номын сангаас ，采用喷雾洗涤器去除工厂 2 释放的 TSP ，采用 惯性除尘器去除工厂 3释放的 TSP，此时用于污染控制的 总费用最低：Z=1517207元/a。
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二、非线性规划
在环境系统规划管理中，客观实际中大量复
杂的非线性关系，由于精确化需要，不宜直
二是采用直接搜索的思想，根据部分可行解或非线性 函数在局部范围内的某些特性，确定迭代程序，通过
不断改进目标值的搜索计算，获得最优或满足需要的 局部最优解。
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三、动态规划
在环境规划管理中，经常遇到多阶段最优化问题 ，即各个阶段相互联系，任一阶段的决策选择不 仅取决于前一阶段的决策结果，而且影响到下一 阶段活动的决策，从而影响到整个决策过程的优 化问题。这类问题通常采用动态规划方法求解。
5
[ 例 4-2] 假设一个地区的 TSP 来源于当地的三个工 厂 。 若 工 厂 1 和 工 厂 2 燃 煤 的 TSP 排 放 因 子 为 95kg/t(煤)，工厂3的TSP排放因子为85 kg/t(产品)。 工厂3产量为250 000t(产品)/a，工厂1和工厂2的燃 煤量分别为 400000t/a 和 300000t/a ，为满足环境质 量要求，TSP最大允许排放量为17600000 t/a，试 以最小的治理费用达到环境目标。 各种除尘设备去除 TSP 的效率、可行的除尘方法 的相应费用见表 4-2 、表 4-3 ，表中的费用折合成 了单位产品所需金额(元/t)。
常用来解决两类优化问题：
一是如何优化资源配置使产值最大或利润最高， 二是如何统筹安排以便消耗最少的资源或排放最少的污
染物。
线性规划问题的求解，最常用的算法是单纯形法。
3
其数学模型如下，其中式 (4-15) 称为目标函数；式 (4-16)称为约束条件。
max(min)Z c1x1 c2 x2 cn xn
和经典数学中的极值问题不同，因为环境规划
问题来源于实际，一般变量很多，目标函数十 分复杂。
目前，用于环境规划中的数学规划决策分析方
法主要有：
线性规划
非线性规划
动态规划
2
一、线性规划
求代表决策问题的线性函数在线性不等式或等式
约束下达到最小(或最大)值的问题。是最基本也 是最重要的最优化技术。
7
该规划问题的优化模型可写成：
minZ 1.0x11 2.0x14 2.8x15 1.4x21 2.2x24 3.0x25 1.1x31 1.2x32 1.5x33 3.0x34
总TSP排放量可根据其排放因子和除尘设备净化效率计算， 从污染源1的年排放TSP量为：
从物料平衡可分别列出三个厂的生产力约束为：
x10 +x11 +x14 +x15 400000 x20 +x21 +x24 +x25 300000 x30 +x31 +x32 +x33 x34 2500000
这是一个单目标优化问题，采用单纯形法求解可得最优 解:
X=(x11 ， x14 ， x24 ， x32)T=(242793 ， 157207 ， 300000 ， 250000)T
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a11 x1 a12 x2 c1n xn 或 b1 a12 x1 a22 x2 c2 n xn 或 b2 a x a x c x 或 b m mn n m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
第二节 最优化分析方法
在环境规划与管理中，常常需要采用最优化分析方法。
根据环境规划对象的具体特征和规划目标要求将决策 问题用一个目标函数和若干个约束条件来表示，求该 函数的极值。
在一些给定条件（约束条件）下，求所考察函数（目 标函数）在某种意义下的极值（极小或极大）问题—
—数学规划法最优化。
1
95x10 +39x11 +5.7x14 +2.9x15
总TSP排放量约束为：
95x10 +39x11 +5.7x14 +2.9x15 95x20 +39x21 +5.7x24 +2.9x25 85x30 +34.9x31 +22.1x32 +13.6x33 5.1x34 17600000(式中xij 0)
（4—15） （4—16）
该模型使优化决策分析过程转化为在约束条件下使目标函数 Z取最大 值或最小值，即求极值的线性规划过程。
式 (4-16)右端的 b1， b2， …， bm是优化决策分析的约束条件，一般 是常数，满足约束条件的 x1，x2，…，xn 的任何组合，都是数学模 型的可行解，使目标函数Z最大或最小的可行解是模型的最优解。