考点跟踪训练28_圆的弧长和图形面积的计算
考点集训25 圆的弧长和图形面积的计算 浙江《中考面对面》课件PPT
解：(1)如图；
(2)过点 O 作 OC⊥AB 于 D，交弧 AB 于 C，则 CD＝6cm.∵OC⊥AB， ∴BD＝AD＝12AB，∴BD＝AD＝6 3cm，设半径为 r，则 OD＝(r－ 6)cm，在 Rt△BOD 中，BD2＋OD2＝BO2，∴(6 3)2＋(r－6)2＝r2，解 得 r＝12，∴这个圆形截面的半径为 12cm.又∵设弧长 AB 所对圆心
考点集训25 圆的弧长和图形面积的计算
一、选择题 1．扇形的半径为30cm，圆心角为120°，此扇形的弧长是( A) A．20πcm B．10πcm C．10cm D．20cm
【解析】圆心角 120°即32π.弧长＝32π·30＝20πcm
2．已知圆锥的底面半径为 4cm，高为 3cm，则圆锥的侧 面积是( B )
∴劣弧B︵C长为601π8×0 1＝π3.
12．某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管 道破裂，通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的破裂管道有
水部分的截面图(如图)． (1)请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面(不写作法，但应保留
作图痕迹)； (2)维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽 AB＝12 3cm，水
4．如图，点 O 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序
折叠，使A︵B和B︵C都经过圆心 O，则阴影部分的面积是⊙O 面积的( B )
1
1
2
3
A.2
B.3
C.3
D.5
【解析】折叠 AC，会发现A︵C也会经过圆心 O, 此时观察图像易 发现阴影部分面积占全圆的13.
5．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为 B，连接 AO，AO 与⊙O 交
圆的弧长和扇形面积计算
圆的弧长和扇形面积计算在数学中，圆是一个非常重要的几何形状。
对于圆，我们通常需要计算它的弧长和扇形的面积。
在本文中，我将介绍如何准确计算圆的弧长和扇形的面积。
1. 圆的弧长计算圆的弧长是圆周上两点之间的曲线距离。
要计算圆的弧长，我们需要知道圆的半径和圆心角的度数。
圆的弧长公式为：弧长 = (圆心角度数/ 360) × 2πr其中，r代表圆的半径，π是一个常数，约等于3.14159。
举个例子，假设一个圆的半径为5cm，圆心角为60度。
我们可以使用上述公式计算弧长：弧长 = (60 / 360) × 2π × 5 = 5.24cm因此，这个圆的弧长为5.24cm。
2. 扇形的面积计算扇形是由圆周上两条半径之间的部分组成。
要计算扇形的面积，我们同样需要圆的半径和圆心角的度数。
扇形的面积公式为：面积 = (圆心角度数/ 360) × πr²举个例子，假设一个圆的半径为8cm，圆心角为45度。
我们可以使用上述公式计算扇形的面积：面积= (45 / 360) × π × 8² = 25.13cm²因此，这个扇形的面积为25.13cm²。
总结：在计算圆的弧长和扇形的面积时，使用公式可以帮助我们准确计算结果。
记住圆的弧长公式为(圆心角度数/ 360) × 2πr，扇形的面积公式为(圆心角度数/ 360) × πr²。
以上就是关于圆的弧长和扇形面积计算的介绍。
通过掌握这些计算方法，我们可以更好地理解和应用圆的相关知识。
希望本文对你有所帮助！。
圆的弧长和图形面积的计算
考点跟踪训练28 圆的弧长和图形面积的计算一、选择题1．如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A 、B 、C 为格点，作△ABC 的外接圆⊙O ，则AC 的长等于( )A.34π B.54π C.32π D.52π 答案 D 解析 如图，易知AC ＝BC ，AC ⊥BC ，所以AB 是⊙O 的直径，连OC ，则∠AOC ＝90°，A C 的长等于90180π×5＝52π . 2．小刚用一张半径为24 cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10 cm ，那么这张扇形纸板的面积是( )A ．120π cm 2B ．240π cm 2C ．260π cm 2D ．480π cm 2答案 B解析 根据圆的周长公式，得圆的底面周长＝2π ×10＝20π ，即扇形的弧长是20π ，所以扇形的面积＝12lr ＝12×20π×24＝240π ，故选B.3．如图，圆柱的底面周长为6 cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6 cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC ＝23BC .一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是( )A ．(4＋6π) cm B ．5 cm C ．3 5cm D ．7 cm答案 B解析 如图，将圆柱的侧面展开，可求得AC ＝12×6＝3，PC ＝23BC ＝23×6＝4.在Rt △PAC 中，P A ＝32＋42＝5，所以从A 点到P 点的最短距离是5.4．已知圆锥底面圆的半径为6 cm ，高为8 cm ，则圆锥的侧面积为( )cm 2.A ．48B ．48πC ．120πD ．60π 答案 D解析 ∵r ＝6，h ＝8，又r 2＋h 2＝l 2，∴l ＝62＋82＝10， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×6×10＝60π.5．如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是( )A ．3πB ．6πC ．5πD ．4π 答案 B解析 设AB ′与半圆周交于C ，半圆圆心为O ，连接OC .∵∠B ′AB ＝60°，OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∠AOC ＝60°，∠BOC ＝120°，S 扇形ABB ′＝60360π×62＝6π，∴S 阴影＝S 半圆AB ′＋S 扇形AB ′B －S半圆AB ＝S 扇形AB ′B ＝6π.二、填空题6．母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为___________．答案 2π解析 S 圆锥侧＝π×1×2＝2π.7．一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形，则此圆锥的底面半径为______．答案 1解析 圆锥展开图扇形面积为90360π×42，圆锥的侧面积为π×r ×4，∴90360π×42＝π×r ×4，r ＝1.8．在半径为4π的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于________．答案 1解析 据弧长公式，l ＝n πr 180＝45×π×4π180＝1.9、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为点M ，AB ＝20.分别以DM 、CM 为直径作两个大小不同的⊙O 1和⊙O 2，则图中所示的阴影部分面积为___________．(结果保留π)答案 50π解析 ∵直径DC ⊥AB ，∴AM ＝BM ＝12×20＝10.由相交弦定理，得CM ·DM ＝AM ·BM ＝10×10＝100，∴S 阴影＝π×⎝⎛⎭⎫12CD 2－π×⎝⎛⎭⎫12DM 2－π×⎝⎛⎭⎫12CM 2＝14π×(CD 2－DM 2－CM 2) ＝14π×[(CM ＋DM )2－DM 2－CM 2] ＝14π×(2CM ×DM ) ＝12π×CM ×DM ＝12π×100＝50π.10．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形AB C.那么剪下的扇形ABC (阴影部分)的面积为______；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r ＝______.答案 2π；33解析 连接OA 、OB ，画OD ⊥AC 于D .∵扇形ABC 为最大圆心角为60°的扇形， ∴点B 、O 、D 在同一条直线上，BD ⊥AC . ∵OA ＝OB ，∴∠ABD ＝∠BAO ＝30°，∠OAD ＝30°. 在Rt △OAD 中，OA ＝2，∴OD ＝1，AD ＝3，AC ＝2AD ＝2 3.∴S 阴影＝60360π×(2 3)2＝2π.∵弧BC 的长＝60180π×2 3，∴2πr ＝60180π×2 3，∴r ＝33.三、解答题13．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOC ＝60°，OC ＝2.(1)求OE 和CD 的长；(2)求图中阴影部分的面积． 解 (1)在△OCE 中， ∵∠CEO ＝90°，∠EOC ＝60°，OC ＝2，∴OE ＝12OC ＝1，∴CE ＝32OC ＝ 3.∵OA ⊥CD ，∴CE ＝DE ，∴CD ＝2 3.(2) ∵S △ABC ＝12AB ·CE ＝12×4×3＝2 3，∴S 阴影＝12π×22－2 3＝2π－2 3.14．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，O 是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与AB 、AC 边相切于D 、E 两点，连接OD .已知BD ＝2，AD ＝3.求：(1)tan C ；(2)图中两部分阴影面积的和．解 (1)如图，连接OE .∵AB 、AC 分别切⊙O 于D 、E 两点， ∴∠ADO ＝∠AEO ＝90°. 又∵∠A ＝90°，∴四边形ADOE 是矩形． ∵OD ＝OE ，∴四边形ADOE 是正方形． ∴OD ∥AC ，OD ＝AD ＝3. ∴∠BOD ＝∠C .在Rt △BOD 中，tan ∠BOD ＝BD OD ＝23.∴tan C ＝23.(2)如图，设⊙O 与BC 交于M 、N 两点． 由(1)得，四边形ADOE 是正方形， ∴∠DOE ＝90°.∴∠COE ＋∠BOD ＝90°.∵在Rt △EOC 中，tan C ＝23，OE ＝3，∴EC ＝92.∴S 扇形DOM ＋S 扇形EON ＝S 扇形DOE ＝14S ⊙O ＝14π×32＝94π.∴S 阴影＝S △BOD ＋S △COE －()S 扇形DOM ＋S 扇形EON ＝12×2×3＋12×3×92－94π＝394－94π. ∴图中两部分阴影面积的和为394－94π.15．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于E ，OF ⊥AC 于F ，BE ＝OF .(1)求证：OF ∥BC ；(2)求证：△AFO ≌△CEB ；(3)若EB ＝5 cm ，CD ＝103cm ，设OE ＝x ，求x 值及阴影部分的面积． 解 (1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.又∵OF ⊥AC 于F ，∴∠AFO ＝90°， ∴∠ACB ＝∠AFO . ∴OF ∥BC .(2)由(1)知，∠CAB ＋∠ABC ＝90°. ∵AB ⊥CD 于E ， ∴∠BEC ＝90°，∠BCE ＋∠ABC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠CAB .又∵∠AFO ＝∠BEC ，BE ＝OF ， ∴△AFO ≌△CEB .(3)∵AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，∴∠OEC ＝90°，CE ＝12CD ＝12×10 3＝5 3.在Rt △OCE 中，OE ＝x ，则OB ＝5＋x ＝OC ， 由勾股定理得：OC 2＝OE 2＋EC 2，∴(5＋x )2＝()5 32＋x 2，解得x ＝5. 在Rt △OCE 中，tan ∠COE ＝5 35＝ 3.∵∠COE 为锐角， ∴∠COE ＝60°.由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为： S 阴影＝2(S 扇形OBC －S ΔOEC )＝2×(60π×102360－12×5 3×5)＝100π3－25 3(cm 2)．。
第28课 圆的弧长和图形面积的计算
探究提高
扇形面积公式和弧长公式容易混淆．
n 1 2 S 扇形＝ πR ＝ lR. 360 2
知能迁移2 (1)如图，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，
点C、D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于 __________．(结果用π表示)
解析 连接 CD、OC、OD、BC.
∵ AC ＝ CD ＝ DB ＝60° ， ∴∠ABC＝∠BCD＝30° . ∴CD∥AB. ∴S△PCD＝S△OCD. 60 25 ∴S 阴影＝S△PCD＋S 弓形＝S△OCD＋S 弓形＝S 扇形 COD＝ π×52＝ π. 360 6 25 答案 π 6
②设 BC 的中点为 O，由(1)可知 O 即为圆心，连接 OA、OD， 过 O 作 OE⊥AD 于 E.在 Rt△AOE 中，∠AOE＝30° . ∴OE＝OA· 30° cos ＝ 1 3 S△AOD＝ ×3× 2 2 3 2 9 4 3 ， 3，源自答案B解析
如图，可知外圆的半径为 9，
内圆的半径为 7，S 圆环＝S 外圆－S 内圆 ＝π×92－π×72＝81π－49π＝32π.
3．(2011· 宁波)如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，AC＝BC＝2 2， 若把 Rt△ABC 绕边 AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表 面积为( A．4π ) B．4 2π C．8π D．8 2π
解析
答案 6π
90 π(3＋4＋5)＝6π. 180
(2) (2011· 广州)如图，AB 切⊙O 于点 B，OA＝2 弦 BC∥OA，则劣弧 BC 的弧长为( A. 3 π 3 B. 3 π 2 C．π ) D. 3 π 2
3，AB＝3，
解析
连接 OB、OC，则 OB⊥AB，
圆的弧长和图形面积的计算
中有水部分弓形的面积.
O A B 6cm
典型例题解析
【例3】(2003年· 吉林省)圆心角都是90°的扇形 OAB与扇形OCD如图所示那样叠放在一起，连结AC、 BD (1)求证：△AOC≌△BOD； (2)若OA=3 cm，OC=1 cm，求阴影部分的面积.
【解析】(1)同圆中的半径相等，即OA=OB， OC=OD.再由∠AOB=∠COD=90°得∠1=∠2，所 以△AOC≌△BOD (2)阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用 面积公式求解，通常有两条思路，一是转化成规 则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.此 题是利用图形的割补，把图形△OAC放到 △OBD的位置(因为△AOC≌△BOD)，则阴影部 分的面积为圆环的面积 1 1 2 2 S阴=S扇AOB-S扇COD= π(OA -OC )= π(9-1)=２π
8.已知扇形的面积为24∏ 径是 6 cm,圆心角是 9.已知扇形的面积是12
cm2 ,弧长为８∏cm,则扇形的半
240 度 ,半径是8cm,则扇形周长是 19 ．
cm2
10.圆锥的底面半径是1cm,母线是2cm,则高是
侧面积是
2∏
，全面积是
3∏
2 cm ,
3
cm,
例1：已知一个圆锥的轴截面 △ABC是等边三角形，它的表面 2 积为75∏ cm ,求这个圆锥的底面 A 半径和母线的长。
5.一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为６cm,母线 长５cm,则它的侧面积是（ D ）
2 2 2 2 cm cm cm cm Ａ.66∏ Ｂ.30∏ Ｃ.28∏ Ｄ.15∏
6.在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 4∏cm .
7.扇形半径为12,面积为9∏,它的圆心角等于 22.5 度
圆的弧长与扇形面积计算知识点总结
圆的弧长与扇形面积计算知识点总结在几何学中，圆是一个非常重要且常见的图形。
计算圆的弧长和扇形面积是解决与圆相关问题的基础。
本文将对圆的弧长和扇形面积的计算方法进行总结。
一、圆的弧长计算圆的弧长是圆的一部分所对应的弧长，可以通过圆的半径或直径来计算。
假设半径为r、弧度为θ的圆弧的弧长为L，弧长可以通过下面的公式来计算：L = θ * r其中，θ表示角度，它可以用弧度（radian）或度（degree）来表示。
如果θ用弧度表示，则上式中的弧长单位为弧长单位为r；如果θ用度表示，则上式中的弧长单位为π。
例如，如果半径为3的圆弧对应的角度为π/3弧度，则该圆弧的弧长为：L = (π/3) * 3 = π二、扇形面积的计算扇形是由圆心和圆上两个切点连线所围成的区域。
计算扇形的面积需要知道圆的半径以及对应的圆心角。
假设半径为r、对应的圆心角为θ的扇形的面积为S，面积可以通过下面的公式来计算：S = (θ/360) * π * r^2其中，θ表示度数。
公式中的θ/360表示圆心角度数与360度的比值，可以用来表示扇形所占的比例。
面积的单位为平方单位，如平方厘米、平方米等。
例如，如果半径为4的扇形的圆心角为90度，则该扇形的面积为：S = (90/360) * π * 4^2 = (1/4) * π * 16 = 4π三、计算实例下面通过几个实例来演示圆的弧长和扇形面积的计算方法。
实例一：已知半径为5的圆上的圆心角为60度，求圆弧的弧长和扇形的面积。
弧长的计算：L = (60/360) * 2π * 5 = (1/6) * 2π * 5 = 5π/6扇形面积的计算：S = (60/360) * π * 5^2 = (1/6) * π * 25 = 25π/6实例二：已知半径为8的圆上的圆心角为120度，求圆弧的弧长和扇形的面积。
弧长的计算：L = (120/360) * 2π * 8 = (1/3) * 2π * 8 = 16π/3扇形面积的计算：S = (120/360) * π * 8^2 = (1/3) * π * 64 = 64π/3实例三：已知半径为10的圆上的圆心角为270度，求圆弧的弧长和扇形的面积。
圆的弧长和图形面积的计算
圆弧弧长和面积的计算公式
圆弧弧长和面积的计算公式圆弧是圆的一部分，它的长度和面积是在数学和工程领域中经常用到的。
在本文中，我们将讨论圆弧弧长和面积的计算公式，以及如何应用这些公式来解决实际问题。
首先，让我们来看看圆弧的弧长是如何计算的。
圆的弧长可以通过以下公式来计算：弧长 = 半径×弧度。
其中，半径是圆的半径，弧度是圆弧所对的圆心角的角度，通常用弧度制表示。
弧度制是一种角度的测量单位，它是以圆的半径为单位，使得圆的周长为2π的角度制。
因此，如果我们知道圆的半径和圆弧所对的角度，就可以通过上述公式来计算圆弧的弧长。
举个例子，如果一个圆的半径为5厘米，圆弧所对的角度为60度，那么该圆弧的弧长可以通过以下公式来计算：弧长 = 5 ×π/3 ≈ 5.24厘米。
接下来，让我们来看看圆弧的面积是如何计算的。
圆弧的面积可以通过以下公式来计算：面积 = 1/2 ×半径×弧长。
这个公式是通过将圆弧切割成一个扇形和一个三角形，然后计算这两个部分的面积之和得到的。
因此，如果我们知道圆的半径和圆弧的弧长，就可以通过上述公式来计算圆弧的面积。
举个例子，如果一个圆的半径为5厘米，圆弧的弧长为5.24厘米，那么该圆弧的面积可以通过以下公式来计算：面积 = 1/2 × 5 × 5.24 ≈ 13.1平方厘米。
现在，让我们来看看如何应用这些公式来解决实际问题。
假设我们需要设计一个圆形花园的围墙，我们知道花园的半径为10米，我们希望围墙的长度能够覆盖整个花园的边界。
我们可以通过以下步骤来计算围墙的长度和面积：1. 首先，我们需要计算围墙的长度。
根据上述公式，围墙的长度等于花园的半径乘以2π。
因此，围墙的长度等于10 × 2π≈ 62.8米。
2. 接下来，我们需要计算围墙的面积。
根据上述公式，围墙的面积等于1/2乘以花园的半径乘以围墙的长度。
因此，围墙的面积等于1/2 × 10 × 62.8 ≈ 314平方米。
第28课 圆的弧长和图形面积的计算
2
题型分类
深度剖析
题型一 弧长公式的应用
例1：如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②， 再由图②到图③，∠O＝60°，OA＝1.求O点所运动的
路径长．
1 解：点O运动路径第一段弧长 90π×1＝ π；
第二段路径的弧长为 60π·1＝ 1π；
180
2
180 3 90π×1 1 第三段路径的弧长为 ＝ π. 2 180 1 1 即点O所运动的路径长为 1π＋ π＋ π＝ π. 4 2 2 3 3
360 ＝25 π 6
题型三 圆锥
例3：(本题6分)如图，如果从半径为9 cm的圆形纸片剪
去 1圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接鏠
3
处不叠合)，求这个圆锥的高．
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
2 r 解法一：∵θ＝ ×360°＝ ×360° 3 9
∴r＝6
[3分]
又h2＋r2＝l2
∴h＝ 92－62 ＝3 5
2 解法二：πr×9＝ ×π×92 3
[6分]
∴r＝6 于是h＝ 92－62 ＝3 5
2 解法三：2πr＝ ×(2π×9) 3
r＝6
于是h＝3 5 探究提高：正确、灵活地运用扇形面积和圆弧周长， 圆锥侧面展开图面积的计算公式解题，就圆锥而言，
“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全 不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧 长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线 长．圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角 形．
解：
90 π(3＋4＋5)＝6π 180
题型二
扇形面积公式的运用
例2：如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果 BO＝65 cm，DO＝15 cm，当BD绕点O旋转90°时，
弧长与面积公式
弧长与面积公式一、引言在几何学中，弧长与面积是两个重要的概念。
弧长是指圆周上的一段弧所对应的长度，而面积是指平面上的一个图形所占据的空间。
弧长与面积的计算公式是我们学习几何学的基础知识之一。
本文将介绍弧长与面积的计算公式，并通过一些例子加深理解。
二、弧长的计算公式1. 圆的弧长对于一个圆，其弧长可以通过圆的半径和圆心角来计算。
圆心角是指圆上两条半径之间的夹角。
当圆心角为θ时，弧长L可以通过以下公式计算：L = θ * r其中，L表示弧长，θ表示圆心角的度数，r表示圆的半径。
2. 扇形的弧长扇形是由圆弧和两条半径组成的图形。
当我们知道扇形的圆心角和半径时，可以通过以下公式计算扇形的弧长：L = (θ / 360) * 2πr其中，L表示扇形的弧长，θ表示扇形的圆心角的度数，r表示扇形的半径。
3. 弓形的弧长弓形是由圆弧和一条弦组成的图形。
当我们知道弓形的圆心角和弦的长度时，可以通过以下公式计算弓形的弧长：L = 2r * sin(θ / 2)其中，L表示弓形的弧长，r表示弓形的半径，θ表示弓形的圆心角的度数。
三、面积的计算公式1. 圆的面积圆的面积可以通过圆的半径来计算。
圆的面积公式如下：S = π * r^2其中，S表示圆的面积，r表示圆的半径，π是一个常数，约等于3.14。
2. 扇形的面积扇形的面积是由扇形的圆心角和半径决定的。
扇形的面积公式如下：S = (θ / 360) * π * r^2其中，S表示扇形的面积，θ表示扇形的圆心角的度数，r表示扇形的半径，π是一个常数，约等于3.14。
3. 弓形的面积弓形的面积是由弓形的圆心角、半径和弦的长度决定的。
弓形的面积公式如下：S = (θ / 360) * π * r^2 - 1/2 * r^2 * sin(θ)其中，S表示弓形的面积，θ表示弓形的圆心角的度数，r表示弓形的半径，π是一个常数，约等于3.14。
四、例子1. 弧长的例子假设一个圆的半径为5cm，圆心角为60度，我们可以使用圆的弧长公式来计算弧长：L = 60 * 5 = 300cm因此，该圆的弧长为300cm。
中考数学复习《圆的弧长和图形面积的计算》练习题含答案
中考数学复习 圆的弧长和图形面积的计算一、选择题1．扇形的半径为30 cm ，圆心角为120°，此扇形的弧长是( A ) A ．20π cm B ．10π c m C ．10 cm D ．20 cm【解析】弧长＝120π×30180＝20π(cm)，故选A.2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC ＝2，∠BAC ＝30°，则劣弧BC 的长等于( A ) A.2π3 B.π3 C.23π3 D.3π3【解析】如图，连结OB ，OC ，∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，又OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC ＝2，∴劣弧BC 的长为60π×2180＝2π3.,第2题图) ,第3题图)3．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝5 cm ，BC ＝12 cm ，∠ACB ＝90°，把Rt △ABC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( B )A ．60π cm 2B ．65π cm 2C ．120π cm 2D ．130π cm 2【解析】∵在Rt △ABC 中，AC ＝5 cm ，BC ＝12 cm ，∠ACB ＝90°，∴由勾股定理得AB＝13 cm ，∴圆锥的底面周长＝10π cm ，∴几何体的侧面积＝12×10π ×13＝65π (cm 2) .故选B.4．如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连结OB ，OD ，若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵的长为( C )A ．π B.32π C ．2π D ．3π【解析】根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD ＋∠A ＝180°，由圆周角定理可得∠BOD ＝2∠A ，再由∠BOD ＝∠BCD 可得2∠A ＋∠A ＝180°，所以∠A ＝60°，即可得∠BOD ＝120°，所以BD ︵的长＝120π×3180＝2π；故选C.,第4题图) ,第5题图)5．用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为( A )A ．π－332B ．π－3 3 C.332 D ．π－334【解析】如图，设AB 的中点P ，连结OA ，OP ，AP ，△OAP 的面积是：34×12＝34，扇形OAP 的面积是：S 扇形＝π6，AP 直线和AP 弧面积：S 弓形＝π6－34，阴影面积：3×2S 弓形＝π－332. 二、填空题6．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 的夹角为120°，AB 长为30 cm ，求则BC ︵的长为__20π_cm __.(结果保留π)【解析】根据弧长公式l ＝n πr 180可得：弧BC 的长＝n πr 180＝120×π×30180＝20π (cm)．7．120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是__9__．【解析】根据弧长的公式l ＝n πr 180，得到6π＝120πr180，解得r ＝9.8．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD 的面积为__25__．【解析】扇形ABD 的弧长DB ︵＝BC ＋DC ＝10，扇形ABD 的半径为正方形的边长5，∴S扇形ABD ＝12×10×5＝25.9．如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB ＝12，∠C ＝60°，则FE ︵的长为__π__．【解析】如图连结OE ，OF ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OE ⊥CD ，∴∠OED ＝90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠C ＝60°，∴∠A ＝∠C ＝60°，∠D ＝120°，∵OA ＝OF ，∴∠A ＝∠OF A ＝60°，∴∠DFO ＝120°，∴∠EOF ＝360°－∠D －∠DFO －∠DEO ＝30°，FE ︵的长＝30π×6180＝π.故答案为π.三、解答题10．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2，∠OAB ＝30°，弦BC ∥OA .求劣弧BC 的长．(结果保留π)解：连结OC ，OB ，∵AB 为圆O 的切线，∴∠ABO ＝90°，在Rt △ABO 中，OA ＝2，∠OAB ＝30°，∴OB ＝1，∠AOB ＝60°，∵BC ∥OA ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°，又OB＝OC ，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC ＝60°，∴劣弧BC 长为60π×1180＝π311．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(－1，3)，(－4，1)，(－2，1)，先将△ABC 沿一确定方向平移得到△A 1B 1C 1，点B 的对应点B 1的坐标是(1，2)，再将△A 1B 1C 1绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，点A 1的对应点为点A 2.(1)画出△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2；(2)求出在这两次变换过程中，点A 经过点A 1到达A 2的路径总长．解：(1)如图，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2即为所作(2)OA 1＝42＋42＝42，点A 经过点A 1到达A 2的路径总长＝52＋12＋90π×42180＝26＋22π12．如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA ，OB 分别交⊙O 于点D ，E ，CD ︵＝CE ︵. (1)求证：OA ＝OB ；(2)已知AB ＝43，OA ＝4，求阴影部分的面积．解：(1)连结OC ，则OC ⊥AB.∵CD ︵＝CE ︵，∴∠AOC ＝∠BOC.在△AOC 和△BOC 中， ⎩⎨⎧∠AOC ＝∠BOC ，OC ＝OC ，∠OCA ＝∠OCB ＝90°，∴△AOC ≌△BOC (ASA )，∴OA ＝OB(2)由(1)可得AC ＝BC ＝12AB ＝23，∴在Rt △AOC 中，OC ＝2，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴S △BOC ＝12BC· OC ＝12×23×2＝23，S 扇形EOC ＝60°×π×22360°＝23π，∴S 阴影＝S △BOC －S 扇形EOC ＝23－23π13．如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连结EF ，CG .(1)求证：EF ∥CG ；(2)求点C ，A 在旋转过程中形成的，与线段CG 所围成的阴影部分的面积．解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ＝2，∠ABC ＝90°，∵△BEC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABF ，∴△ABF ≌△CBE ，∴∠FAB ＝∠ECB ，∠ABF ＝∠CBE ＝90°，AF ＝EC ，∴∠AFB ＋∠FAB ＝90°，∵线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，∴∠AFB ＋∠CFG ＝∠AFG ＝90°，∴∠CFG ＝∠FAB ＝∠ECB ，∴EC ∥FG ，∵AF ＝EC ，AF ＝FG ，∴EC ＝FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴EF ∥CG(2)∵AD ＝2，E 是AB 的中点，∴FB ＝BE ＝12AB ＝12×2＝1，∴AF ＝AB 2＋BF 2＝22＋12＝5，由平行四边形的性质，△FEC ≌△CGF ，∴S △FEC ＝S △CGF ，∴S 阴影＝S 扇形BAC＋S △ABF ＋S △FGC －S 扇形FAG ＝90·π·22360＋12×2×1＋12×(1＋2)×1－90π×（5）2360＝52－π4。
第28课 圆的弧长和图形面积的计算
基础自测
2．(2013·湘西州)下列图形中，是圆锥侧面展开图的是 ( B )
A
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B
C 解析 只是扇形．故选B.
D 圆锥的侧面展开图是光滑的曲面，没有棱，
第28课
圆的弧长和图形面积的计算
基础自测
3．(2013·牡丹江)一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径 是6，则这个圆锥的侧面积是 ( C )
(3)圆锥侧面展开图扇形圆心角公式： r ·360° ． θ ＝___________ l
第28课 圆的弧长和图形面积的计算
要点梳理
3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法； (2)割补法；
首 页
(3)拼凑法； (4)等积变形构造方程法； (5)去重法．
第28课
圆的弧长和图形面积的计算
助学微博
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∵∠OAE＝60°，OA＝10，
OE OE OE OE＝ ∴ sin ∠ OAE ＝ ＝ ∴sin∠OAE＝OA＝10＝ OA 10
3 3， ， 2 2
∴ ∴OE OE＝ ＝5 5 3 3， ， ∴AE＝5.
∴EB＝AE＋AB＝5＋48＝53,
第28课
圆的弧长和图形面积的计算
在Rt△OEB 中，
A．1圈
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( B )
B．2圈 D．4圈
C．3圈
∵⊙O的周长＝2π×1＝2π， 硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB、BC、CD、
DA滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的路程是： 2(AB＋BC )－8AF＝20－8＝12，
∴硬币自身滚动的圈数大约是：12÷2π≈2(圈)．故选B.
第28课 圆的弧长和图形面积的计算
圆的弧长与面积
圆的弧长与面积圆是一种具有特殊几何性质的几何形体，它由一个固定点（圆心）和这个点到平面上所有点的距离相等的点的集合组成。
圆具有独特的弧长和面积属性，本文将详细介绍圆的弧长和面积的计算方法。
首先，我们来讨论圆的弧长。
弧长是圆周上两个端点之间的弧所对应的弧长。
我们以圆心角作为度量弧长的单位。
在平面几何中，圆心角的度数和圆周上所对应的弧长成正比例关系，即圆心角弧长公式为：L = θ * r，其中L表示弧长、θ表示圆心角的度数、r表示圆的半径。
这个公式的推导可以通过圆心角的定义和比例关系得出。
接下来，我们来讨论圆的面积。
圆的面积是指圆所围成的平面区域的大小。
我们以正多边形的面积逼近圆的面积，然后通过无穷细分来求得圆的面积公式。
假设我们将一个正多边形细分成无穷多个边，使得每条边的长度趋近于零。
这样，我们就可以求得圆的面积公式：A = π * r²，其中A表示圆的面积、π表示圆周率约等于3.14、r表示圆的半径。
这个公式的推导可以通过进行高中数学中的极限运算得出。
通过圆的弧长和面积公式，我们可以进行一些有趣的计算与应用。
首先，我们来计算一下圆的弧长。
假设一个圆的半径为2厘米，圆心角为60度，我们可以使用弧长公式来计算弧长：L = θ * r = 60 * 2 *π / 360 = 2π / 3 厘米。
这样，我们就求得了弧长为2π / 3 厘米。
接下来，我们来计算一下圆的面积。
假设一个圆的半径为5厘米，我们可以使用面积公式来计算面积：A = π * r² = 3.14 * 5² = 78.5 平方厘米。
这样，我们就求得了面积为78.5 平方厘米。
除了计算圆的弧长和面积，这些公式还可以应用于生活中的一些实际问题。
例如，我们可以通过圆的面积公式来计算地球的表面积。
地球的半径约为6371千米，我们可以使用面积公式来计算地球的表面积：A = π * r² = 3.14 * 6371² ≈ 127,573,038 平方千米。
圆弧长和面积公式
圆弧长和面积公式圆弧是指圆上两点之间的弧段。
在数学中，我们常常需要计算圆弧的长度和面积。
本文将介绍圆弧长和面积的计算公式，并提供一些实际应用的例子。
一、圆弧长的计算公式圆弧长是指圆上两点之间的弧长。
假设圆的半径为r，圆心角为θ（弧度制），那么圆弧长可以用以下公式来计算：L = r × θ其中L表示圆弧长。
例如，如果圆的半径为5cm，圆心角为60°，那么圆弧长可以计算为：L = 5 × (60/360) × 2π ≈ 5.24cm这个公式非常简单直观，可以轻松计算出圆弧的长度。
二、圆弧面积的计算公式圆弧面积是指圆弧所围成的扇形的面积。
假设圆的半径为r，圆心角为θ（弧度制），那么圆弧面积可以用以下公式来计算：S = (1/2) × r² × θ其中S表示圆弧面积。
例如，如果圆的半径为5cm，圆心角为60°，那么圆弧面积可以计算为：S = (1/2) × 5² × (60/360) × π ≈ 6.54cm²这个公式也非常简单明了，可以快速计算出圆弧的面积。
三、实际应用举例圆弧长和面积的公式在实际生活中有许多应用。
以下举例说明：1.建筑设计：在建筑设计中，圆弧常用于设计拱门、圆形窗户等。
通过计算圆弧的长度和面积，可以确定所需材料的数量和结构的稳定性。
2.机械制造：在机械制造中，圆弧常用于设计齿轮、凸轮等部件。
通过计算圆弧的长度和面积，可以确定部件的尺寸和性能。
3.地理测量：在地理测量中，圆弧常用于测量地球表面的曲线。
通过计算圆弧的长度和面积，可以确定地理现象的规律和趋势。
4.电子工程：在电子工程中，圆弧常用于设计电路板的布线。
通过计算圆弧的长度和面积，可以确定电子元件的连接方式和信号传输的效率。
总结：本文介绍了圆弧长和面积的计算公式，并提供了一些实际应用的例子。
圆弧长的计算公式为L = r × θ，圆弧面积的计算公式为S = (1/2) × r² × θ。
中考数学专项训练圆的弧长和图形面积的计算含解析
蚆腿膅莃螈羂肁莂羀圆的弧长和图形面积的计算一、选择题1．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面睁开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150° D．180°2．如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（暗影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）A．πa B．2πaC．D．3a3．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．πB．πC．πD．π4．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．π﹣D．π﹣5．如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点．若∠CDE=x°，∠ECD=y°，⊙B的半径为R，则的长度是（）1A．B．C．D．二、填空题6．圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为cm．7．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中暗影部分的面积为（结果保存π）．8．如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为cm．9．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为．10．把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，而后将正方形纸片绕着极点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°，按上述方法经过4次旋转后，极点O经过的总行程为，经过61次旋转后，极点O经过的总行程为．2三、解答题（共40分）11．如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延伸线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．1）求证：AB为⊙O的切线；2）求弦AC的长；3）求图中暗影部分的面积．12．如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延伸线于点A，连结CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的暗影部分的面积．（结果保存π）13．如图，OC均分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延伸交⊙A于点D，交ON于点E．（1）求证：ON是⊙A的切线；（2）若∠MON=60°，求图中暗影部分的面积．（结果保存π）314．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB= +1，AD=．（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰巧落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为；（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE 于点F，则四边形B′FED′的面积为；（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰巧经过极点B，求弧D′D″的长．（结果保存π）4圆的弧长和图形面积的计算参照答案与试题分析一、选择题1．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面睁开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°【考点】圆锥的计算．【剖析】设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，而后设正圆锥的侧面睁开图的圆心角是n°，利用弧长的计算公式即可求解．【解答】解：设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，设正圆锥的侧面睁开图的圆心角是n°，则=2πr，解得：n=180°．应选D．【评论】正确理解圆锥的侧面睁开图与本来的扇形之间的关系是解决本题的要点，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．2．如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（暗影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）A．πa B．2πaC．D．3a【考点】弧长的计算．【剖析】由图可知，暗影部分的周长是两个圆心角为90°、半径为a的扇形的弧长，可据此求出阴影部分的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为a正方形，5∴∠B=∠D=90°，AB=CB=AD=CD=a，∴树叶形图案的周长=×2=πa．应选A．【评论】本题考察了弧长的计算．解答该题时，需要切记弧长公式l=（R是半径）．3．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．πB．πC．πD．π【考点】扇形面积的计算；钟面角．【专题】几何图形问题．【剖析】从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，则分针在钟面上扫过的面积是：=π．应选：A．【评论】本题考察了扇形的面积公式，正确理解公式是要点．4．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．π﹣D．π﹣【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判断与性质；菱形的性质．【专题】几何图形问题；压轴题．【剖析】依据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，从而利用全等三角形的判断得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，从而求出即可．【解答】解：连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，6∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD的高为，∵扇形BEF的半径为 2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE订交于点G，设BF、DC订交于点H，在△ABG和△DBH中，，∴△ABG≌△DBH（ASA），∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中暗影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=﹣×2×=﹣．应选：B．【评论】本题主要考察了扇形的面积计算以及全等三角形的判断与性质等知识，依据已知得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积是解题要点．5．如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点．若∠CDE=x°，∠ECD=y°，⊙B的半径为R，则的长度是（）7A．B．C．D．【考点】弧长的计算；多边形内角与外角；圆周角定理；切线的性质；切线长定理．【专题】压轴题．【剖析】点C、D、E都在⊙P上，由圆周角定理可得：∠DPE=2y°；而后在四边形BDPE中，求出∠B；最后利用弧长公式计算出结果．【解答】解：依据题意，由切线长定理可知：PC=PD=PE，即点C、D、E在以P为圆心，PC长为半径的⊙P上，由圆周角定理得：∠DPE=2∠ECD=2y°．如图，连结BD、BE，则∠BDP=∠BEP=90°，在四边形BDPE中，∠B+∠BDP+∠DPE+∠BEP=360°，即：∠B+90°+2y°+90°=360°，解得：∠B=180°﹣2y°．∴的长度是：=．应选B．【评论】本题考察圆的有关性质．解题要点是确立点C、D、E在⊙P上，从而由圆周角定理获得∠DPE=2∠ECD=2y°．8二、填空题6．圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为3cm．【考点】圆锥的计算．【专题】压轴题．【剖析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设母线长为R，底面半径是2cm，则底面周长=4π，侧面积=2πR=6π，R=3．故答案为：3．【评论】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．比较基础，要点是掌握公式．7．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中暗影部分的面积为（结果保存π）π2．【考点】扇形面积的计算．【剖析】先依据扇形面积公式计算出扇形面积，而后计算出三角形AOB的面积，既而用扇形面积﹣三角形面积可得出暗影的面积．【解答】解：S扇形===π，S△AOB=×2×2=2，则S暗影=S扇形﹣S△AOB=π﹣2．故答案为：π﹣2．【评论】本题考察了扇形面积的计算，难度一般，解答本题的要点是娴熟掌握扇形面积的计算公式．8．如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为3cm．9【考点】圆锥的计算．【剖析】第一求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，则底面半径即可求得，而后利用勾股定理即可求得圆锥的高．【解答】解：圆心角是：360×（1﹣）=240°，则弧长是：=12π（cm），设圆锥的底面半径是r，则2πr=12π，解得：r=6，则圆锥的高是：=3（cm）．故答案是：3．【评论】正确理解圆锥的侧面睁开图与本来的扇形之间的关系是解决本题的要点，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．9．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为+2（cm2）．【考点】扇形面积的计算．【专题】数形联合．【剖析】在Rt△OBC中求出OB、BC，而后求出扇形OAB及△OBC的面积即可得出答案．【解答】解：∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，10在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°，∴∠OBC=30°，∴OB=4cm，BC=2cm，则S扇形OAB==2），S△OBC=OC×BC=22），（cm（cm故S重叠=S扇形OAB+S△OBC=+22）（cm故答案为：+2（cm2）．【评论】本题考察了扇形的面积计算，解答本题要点是求出扇形的半径，注意娴熟掌握扇形的面积公式，难度一般．10．把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，而后将正方形纸片绕着极点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°，按上述方法经过4次旋转后，极点O经过的总行程为，经过61次旋转后，极点O经过的总行程为．【考点】弧长的计算；正方形的性质；旋转的性质．【专题】压轴题．【剖析】为了便于标明字母，且更清楚的察看，每次旋转后向右略微平移一点，作出前几次旋转后的图形，点O的第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°圆心角的扇形，第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形；①依据弧长公式列式进行计算即可得解；②求出61次旋转中有几个4次，而后依据以上的结论进行计算即可求解．【解答】解：如图，为了便于标明字母，且地点更清楚，每次旋转后不防向右挪动一点，第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为=；11第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为；第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为=；第4次旋转点O没有挪动，旋转后与最先正方形的搁置同样，所以4次旋转，极点O经过的路线长为++=；∵61÷4=151，∴经过61次旋转，极点O经过的行程是 4次旋转行程的15倍加上第1次路线长，即×15+=．故答案为：；．【评论】本题考察了旋转变换的性质，正方形的性质以及弧长的计算，读懂题意，并依据题意作出图形更形象直观，且有益于旋转变换规律的发现．三、解答题（共40分）11．如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延伸线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．1）求证：AB为⊙O的切线；2）求弦AC的长；3）求图中暗影部分的面积．【考点】切线的判断；扇形面积的计算．12【剖析】（1）如图，连结OA，欲证明AAB为⊙O的切线，只要证明AB⊥OA即可；（2）如图，连结AD，建立直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度；（3）依据图告知，图中暗影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积．【解答】解：（ 1）证明：如图，连结O A．AB=AC，∠ABC=30°，∴∠ABC=∠ACB=30°．∴∠AOB=2∠ACB=60°，∴在△ABO中，∠BAO=g地0°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°，即AB⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线；2）解：如图，连结AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°．∵由（g）知，∠ACB=30°，∴AD=CD=4，则依据勾股定理知AC==4，即弦AC的长是4；（3）解：由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4，则S△ADC=AD?AC=×4×4=8．∵点O是△ADC斜边上的中点，∴S△AOC=S△ADC=4．依据图告知，S暗影=S+S=+4=+4．扇形ADO△AOC13【评论】本题考察了切线的判断，圆周角定理以及扇形面积的计算．解答（3）时，求△AOC的面积的面积的技巧性在于利用了“等边同高”三角形的面积相等的性质．12．如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延伸线于点A，连结CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的暗影部分的面积．（结果保存π）【考点】切线的判断；扇形面积的计算．【专题】压轴题．【剖析】（1）求出∠COB的度数，求出∠ A的度数，依据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数，依据切线的判断推出即可；（2）如解答图所示，解题要点是证明△CDM≌△OBM，从而获得S暗影=S扇形BOC．【解答】如图，连结BC，OD，OC，设OC与BD交于点M．∵1）证明：依据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC∥BD，∵∴∠A=∠OBD=30°，∵∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°，∵即OC⊥AC，∵∵OC为半径，∵∴AC是⊙O的切线；∵∵∵2）解：由（1）知，AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD．14由垂径定理可知，MD=MB=BD=．在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB===6．在△CDM与△OBM中，∴△CDM≌△OBM（ASA），S△CDM=S△OBM∴暗影部分的面积S=S=2暗影=6π（cm）．扇形BOC【评论】本题考察了平行线性质，切线的判断，扇形的面积，三角形的面积，圆周角定理的应用，主要考察学生综合运用定理进行推理和计算的能力．13．如图，OC均分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延伸交⊙A于点D，交ON于点E．（1）求证：ON是⊙A的切线；（2）若∠MON=60°，求图中暗影部分的面积．（结果保存π）【考点】切线的判断；扇形面积的计算．【剖析】（1）第一过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线；（2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S暗影=S△AEF﹣S扇形ADF，即可求得答案．15【解答】（1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，∵⊙A与OM相切于点B，AB⊥OM，OC均分∠MON，∴AF=AB=2，∴ON是⊙A的切线；2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，∴∠OEB=30°，∴AF⊥ON，∴∠FAE=60°，在Rt△AEF中，tan∠FAE=，EF=AF?tan60°=2，∴S暗影=S△AEF﹣S扇形ADF= AF?EF﹣×π×AF2=2﹣π．【评论】本题考察了切线的判断与性质、扇形的面积以及三角函数的性质．本题难度适中，注意掌握协助线的作法，注意数形联合思想的应用．14．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB= +1，AD=．（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰巧落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为；（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形 B′FED′的面积为﹣；（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰巧经过极点16B，求弧D′D″的长．（结果保存π）【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；弧长的计算．【专题】研究型．【剖析】（1）先依据图形反折变换的性质得出AD′，D′E的长，再依据勾股定理求出AE的长即可；（2）由（1）知，AD′=，故可得出BD′的长，依据图形反折变换的性质可得出B′D′的长，再由等腰直角三角形的性质得出B′F的长，依据梯形的面积公式即可得出结论；（3）先依据直角三角形的性质求出∠BEC的度数，由翻折变换的性质可得出∠DEA的度数，故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧长公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵△ADE反折后与△AD′E重合，∴AD′=AD=D′E=DE=，∴AE===；2）∵由（1）知AD′=，∴BD′=1，∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，∴B′D′=BD′=1，∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=，∴四边形ADED′是正方形，∴B′F=AB′=﹣1，∴S梯形B′FED′=（B′F+D′E）?B′D′=（﹣1+）×1=﹣；故答案为：（1）；（2）﹣；（3）∵∠C=90°，BC=，EC=1，∴tan∠BEC= =，17∴∠BEC=60°，由翻折可知：∠DEA=45°，∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，∴==．【评论】本题考察的是图形的翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答本题的要点．羆腿肀荿蝿肅腿蒁羅精选介绍强力介绍值得拥有18。
圆的弧长和图形面积的计算
cm2 ,弧长为８∏cm,则扇形的半
240 度
9.已知扇形的面积是12
侧面积是 2∏
cm2
,半径是8cm,则扇形周长是 19 ．
3∏
2 cm ,
10.圆锥的底面半径是1cm,母线是2cm,则高是 ，全面积是
3
cm,
例1：已知一个圆锥的轴截面 △ABC是等边三角形，它的表面 2 积为75∏ cm ,求这个圆锥的底面 A 半径和母线的长。
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达咯热河。第壹站就是狮子园，那是皇上在热河赏赐给王爷の园子，距离行宫很近。由于皇上喜好行围打猎之事，乐别思返，即使即将入冬，他仍是决定再住上壹段时间，那 里虽然别比辽阔の大草原，但是那里既能行围打猎，又有山清水秀の风景，更有行宫舒适良好の生活环境，可是要比那紫禁城强上几百倍。此时已是秋风瑟瑟の九月，又是地 处塞外，气候与京城相比，甚是寒冷。幸好王爷有自己の园子，而别是投宿驿馆，女眷壹行生活在自家の园子里，就像是在京城壹样。现在の那各格局颇似京城，行宫就好比 紫禁城，狮子园就好比雍亲王府，王爷每天壹早去行宫上早朝，晚上回到狮子园歇息。假设遇到轮值啥啊の，王爷就会歇到行宫の值班房。所以在狮子园中，众人几乎见别到 王爷の身影。壹大清早就前去行宫上早朝，下咯早朝，或是继续御前听差，或是陪伴皇上行幸围猎，或是遇到轮值，或是遇到应酬，所以行宫の值班房倒成咯他经常歇息の地 方，便于随时应差，非常方便。没什么王爷の狮子园，别管是主子还是奴才们全都是喜别自禁，因为大家都是围着王爷壹各人转，现在王爷别在，大家全都乐得轻松自在。水 清那是第壹次到狮子园，就像草原壹样，也是她此生唯壹の壹次热河之行。当她刚下马车，初见园子の时候，她の那双大双眼睛怎么看都看别够。虽然那里没什么草原の辽阔， 没什么湖广の秀美，但是，比起王府来，那里简直就是天堂。她再也别用整日里抬头别见低头见地看他の脸色行事，更主要の是，园子里没什么王府里那么多の规矩，既有和 京城壹样の舒适度，又有比王府更高の自由度，而水清又是壹各无比向往自由，向往安宁生活の壹各人，所以在狮子园中，水清仿佛是瞬间跌入咯蜜罐壹般。别要说是水清那 各主子跌进咯蜜罐，就是除咯秦顺儿之外の所有奴才们也都是同样跌进咯蜜罐。王爷很少出现，侧福晋整日里也见别到人影，偶尔出来走动走动，还是壹各“面容稚嫩、毫无 心机”の小主子，奴才们可别是都要高兴坏咯。王爷の身边有两各奴才，壹各秦顺儿，壹各吉尔。秦顺儿壹天二二十三小时别离王爷左右，吉尔则是长期驻扎值班房。虽然吉 尔是除秦顺儿以外最辛苦、最操劳の奴才，但是她同样也是感觉跌进咯蜜罐里。因为王爷三天两头地留宿值班房，几乎别怎么回狮子园。每当王爷壹回值班房，秦顺儿都是极 有眼力劲儿地躲到咯壹边，将他の大部分事项全部交给咯吉尔去做，除非主子专门点名要他秦顺儿办啥啊差事。吉尔则牢牢谨记排字琦の谆谆教诲，办差竭尽全力，同时将她 那爱慕之情深深地埋藏在心中，决别可在眼神或是行动上泄露出半点儿心思，万别可壹步别慎，满盘皆输。第壹卷 第563章 思女天堂里也有无奈与遗憾，天使也有忧郁与伤 心。水清在狮子园中の生活虽然十分惬意，但是，没什么悠思の人间天堂竟是如此の寂寞难过！那么美丽の人间胜景，那么美好の幸福时光，她是多么地想与那各可爱の小人 儿壹同来分享！悠思自从降生以来，从来没什么离开过水清の怀抱，可是现在，她们母女分别已经有八天咯，小格格会别会想她那各额娘咯？会别会因为没什么人给她念诗而 哭闹别止？那八天才仅仅是开始，后面还要有漫长の壹各月の时间，啥啊时候才能启程回到京城呢？在路上の时候水清虽然也是日思夜想她の小格格，但壹路上颠簸艰苦，左 壹件事情右壹件事情占据咯她の大部分时间，每当她开始想念悠思の时候，还别等她伤心落泪呢，下壹件事情就又发生咯。现在到咯园子就别壹样咯，整天无所事事，就会满 脑子胡思乱想：那各时间悠思应该用午膳咯呢，那各时间悠思应该在院子晒太阳呢，那各时间吴嬷嬷应该领她到自己の房里咯呢，那各时间……被思女之痛折磨得坐卧别安の 水清那才刚刚到热河，就开始咯度日如年、盼望归期の生活，别の人是壹天壹天地累加计算日子，她却是反过来，壹天壹天地减除着日子。每壹天醒来，她都会在心中默念壹 句：还有二十五天就可以回京城咯，就可以见到悠思咯。壹天天地掐着手指头数着剩下の日子，伤心
圆的弧长与扇形面积综合练习题
圆的弧长与扇形面积综合练习题题1：已知一个半径为3cm的圆的弧长为12πcm，求扇形的面积。
题解：求扇形的面积时，需要知道扇形的圆心角和半径。
已知圆的弧长是12πcm，可以计算出圆心角的大小。
因为弧长等于半径乘以圆心角的弧度，所以可以得到12π = 3cm × 圆心角。
解方程可以得到圆心角为4π/3弧度。
扇形的面积等于圆心角占据的比例乘以整个圆的面积，所以扇形的面积为(4π/3)(π(3)^2) = 12π平方cm。
题2：若一个圆的半径是5cm，那么它的弧长和扇形面积各是多少？题解：已知圆的半径是5cm，它的弧长可以计算得出。
弧长等于半径乘以圆心角的弧度，所以弧长等于5cm ×圆心角。
圆心角的弧度可以通过圆弧长除以半径得到。
假设圆心角为θ弧度，则弧长为5θ。
要求扇形的面积，也需要知道圆心角的大小。
同样，我们可以利用扇形的面积公式，并确认圆心角的弧度为θ。
扇形的面积等于圆心角占据的比例乘以整个圆的面积。
所以扇形的面积为θ(π(5)^2) = 25θπ平方cm。
题3：已知一个扇形的半径是8m，扇形的面积是12π平方m，求圆心角和弧长各是多少？题解：已知扇形的半径是8m，扇形的面积是12π平方m。
要求圆心角的大小，可以利用扇形面积的公式，并确认圆心角的弧度为θ。
扇形的面积等于圆心角占据的比例乘以整个圆的面积，所以12π平方m = θ(π(8)^2)。
解方程可以得到θ = 3π/4。
要求弧长的大小，同样可以利用扇形的面积公式，但是需要先计算出圆心角的弧度。
扇形的面积等于圆心角占据的比例乘以整个圆的面积，所以12π平方m = (3π/4)(π(8)^2)。
解方程可以得到弧长为6πm。
题4：一个扇形的圆心角是π/2，弧长是4，求扇形的面积。
题解：已知扇形的圆心角是π/2，弧长是4。
要求扇形的面积，需要用到圆心角和半径的关系。
圆心角所占的比例乘以整个圆的面积就是扇形的面积。
所以扇形的面积等于(π/2)(πr^2)，其中r表示圆的半径。
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考点跟踪训练28 圆的弧长和图形面积的计算一、选择题 1．(2011·潜江)如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A 、B 、C 为格点，作△ABC 的外接圆⊙O ，则AC 的长等于()A.34π B.54π C.32π D.52π 答案 D解析 如图，易知AC ＝BC ，AC ⊥BC ，所以AB 是⊙O 的直径，连OC ，则∠AOC ＝90°，A C 的长等于90180π×5＝52π .2．(2010·丽水)小刚用一张半径为24 cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10 cm ，那么这张扇形纸板的面积是( )A ．120π cm 2B ．240π cm 2C ．260π cm 2D ．480π cm 2 答案 B解析 根据圆的周长公式，得圆的底面周长＝2π ×10＝20π ，即扇形的弧长是20π ，所以扇形的面积＝12lr ＝12×20π ×24＝240π ，故选B.3．(2011·广安)如图，圆柱的底面周长为6 cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6 cm ，点P是母线BC 上一点，且PC ＝23BC .一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是( )A ．(4＋6π) cm B ．5 cmC ．3 5cmD ．7 cm答案 B解析 如图，将圆柱的侧面展开，可求得AC ＝12×6＝3，PC ＝23BC ＝23×6＝4.在Rt △P AC 中，P A ＝32＋42＝5，所以从A 点到P 点的最短距离是5.4．(2011·常德)已知圆锥底面圆的半径为6 cm ，高为8 cm ，则圆锥的侧面积为( )cm 2. A ．48 B ．48π C ．120π D ．60π 答案 D解析 ∵r ＝6，h ＝8，又r 2＋h 2＝l 2，∴l ＝62＋82＝10， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×6×10＝60π. 5．(2011·泉州)如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是( )A ．3πB ．6πC ．5πD ．4π 答案 B解析 设AB ′与半圆周交于C ，半圆圆心为O ，连接OC .∵∠B ′AB ＝60°，OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∠AOC ＝60°，∠BOC ＝120°，S扇形ABB ′＝60360π×62＝6π，∴S 阴影＝S 半圆AB ′＋S 扇形AB ′B －S 半圆AB ＝S 扇形AB ′B ＝6π. 二、填空题 6．(2011·德州)母线长为2，底面圆的半径为1的圆锥的侧面积为___________． 答案 2π解析 S 圆锥侧＝π×1×2＝2π. 7．(2011·绍兴)一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为90°的扇形，则此圆锥的底面半径为______．答案 1解析 圆锥展开图扇形面积为90360π×42，圆锥的侧面积为π×r ×4，∴90360π×42＝π×r ×4，r ＝1.8．(2011·重庆)在半径为4π的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于________．答案 1解析 据弧长公式，l ＝n πr180＝45×π×4π180＝1.9．(2011·台州)如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为点M ，AB ＝20.分别以DM 、CM 为直径作两个大小不同的⊙O 1和⊙O 2，则图中所示的阴影部分面积为___________．(结果保留π)答案 50π解析 ∵直径DC ⊥AB ，∴AM ＝BM ＝12×20＝10.由相交弦定理，得CM ·DM ＝AM ·BM ＝10×10＝100，∴S 阴影＝π×⎝⎛⎭⎫12CD 2－π×⎝⎛⎭⎫12DM 2－π×⎝⎛⎭⎫12CM 2 ＝14π×(CD 2－DM 2－CM 2) ＝14π×[(CM ＋DM )2－DM 2－CM 2] ＝14π×(2CM ×DM ) ＝12π×CM ×DM ＝12π×100＝50π.10．(2011·泉州)如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形AB C.那么剪下的扇形ABC (阴影部分)的面积为______；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r ＝______.答案 2π；33解析 连接OA 、OB ，画OD ⊥AC于D .∵扇形ABC 为最大圆心角为60°的扇形， ∴点B 、O 、D 在同一条直线上，BD ⊥AC . ∵OA ＝OB ，∴∠ABD ＝∠BAO ＝30°，∠OAD ＝30°. 在Rt △OAD 中，OA ＝2，∴OD ＝1，AD ＝3，AC ＝2AD ＝2 3.∴S 阴影＝60360π×(2 3)2＝2π.∵弧BC 的长＝60180π×2 3，∴2πr ＝60180π×2 3，∴r ＝33.三、解答题 11．(2011·汕头)如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－4,0)，⊙P 的半径为2，将⊙P 沿着x 轴向右平移4个长度单位得⊙P 1.(1)画出⊙P 1，并直接判断⊙P 与⊙P 1的位置关系；(2)设⊙P 1与x 轴正半轴、y轴正半轴的交点为A 、B ，求劣弧AB 与弦AB 围成的图形的面积(结果保留π)．解 (1)如图所示，两圆外切．(2)劣弧的长度l ＝90π·2180＝π.劣弧和弦围成的图形的面积为S ＝14π·4－12×2×2＝π－2.12．(2011·杭州)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝1. (1)求证：∠A ≠30°；(2)将△ABC 绕BC 所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．解 (1)证明：在△ABC 中，∵AB 2＝3，AC 2＋BC 2＝2＋1＝3，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴sin A ＝BC AB ＝3≠12，∴∠A ≠30°.(2)将△ABC 绕BC 所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，由题意得r ＝2，l ＝ 3. ∴S 圆锥侧＝π×2×3＝6π，S 底＝π×(2)2＝2π.∴S 表面积＝6π＋2π.13．(2011·湖州)如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOC ＝60°，OC ＝2.(1)求OE 和CD 的长；(2)求图中阴影部分的面积． 解 (1)在△OCE 中， ∵∠CEO ＝90°，∠EOC ＝60°，OC ＝2，∴OE ＝12OC ＝1，∴CE ＝32OC ＝ 3.∵OA ⊥CD ，∴CE ＝DE ，∴CD ＝2 3.(2) ∵S △ABC ＝12AB ·CE ＝12×4×3＝2 3，∴S 阴影＝12π×22－2 3＝2π－2 3.14．(2011·泉州)如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，O 是BC 边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB 、AC 边相切于D 、E 两点，连接OD .已知BD ＝2，AD ＝3.求：(1)tan C ；(2)图中两部分阴影面积的和．解 (1)如图，连接OE .∵AB 、AC 分别切⊙O 于D 、E 两点， ∴∠ADO ＝∠AEO ＝90°. 又∵∠A ＝90°，∴四边形ADOE 是矩形． ∵OD ＝OE ，∴四边形ADOE 是正方形． ∴OD ∥AC ，OD ＝AD ＝3. ∴∠BOD ＝∠C .在Rt △BOD 中，tan ∠BOD ＝BD OD ＝23.∴tan C ＝23.(2)如图，设⊙O 与BC 交于M 、N 两点． 由(1)得，四边形ADOE 是正方形， ∴∠DOE ＝90°.∴∠COE ＋∠BOD ＝90°.∵在Rt △EOC 中，tan C ＝23，OE ＝3，∴EC ＝92.∴S 扇形DOM ＋S 扇形EON ＝S 扇形DOE ＝14S ⊙O ＝14π×32＝94π.∴S 阴影＝S △BOD ＋S △COE －()S 扇形DOM ＋S 扇形EON ＝12×2×3＋12×3×92－94π＝394－94π. ∴图中两部分阴影面积的和为394－94π.15．(2011·怀化)如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD 于E ，OF ⊥AC 于F ，BE ＝OF.(1)求证：OF ∥BC ；(2)求证：△AFO ≌△CEB ；(3)若EB ＝5 cm ，CD ＝103cm ，设OE ＝x ，求x 值及阴影部分的面积． 解 (1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.又∵OF ⊥AC 于F ，∴∠AFO ＝90°， ∴∠ACB ＝∠AFO . ∴OF ∥BC .(2)由(1)知，∠CAB ＋∠ABC ＝90°. ∵AB ⊥CD 于E ， ∴∠BEC ＝90°，∠BCE ＋∠ABC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠CAB .又∵∠AFO ＝∠BEC ，BE ＝OF ， ∴△AFO ≌△CEB .(3)∵AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，∴∠OEC ＝90°，CE ＝12CD ＝12×10 3＝5 3.在Rt △OCE 中，OE ＝x ，则OB ＝5＋x ＝OC ， 由勾股定理得：OC 2＝OE 2＋EC 2， ∴(5＋x )2＝()5 32＋x 2，解得x ＝5. 在Rt △OCE 中，tan ∠COE ＝5 35＝ 3.∵∠COE 为锐角， ∴∠COE ＝60°.由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为： S 阴影＝2(S 扇形OBC －S ΔOEC )＝2×(60π×102360－12×5 3×5)＝100π3－25 3(cm 2)．。