§5.4正态总体参数的区间估计

( 2) 对 给 定 的 置 信 度 ， 确 定 常 数 , b, 使 1 a P {a Z b} 1 .
( 3) 从 不 等 式 Z ( X 1 , X n ; ) b得 到 等 价 的 不 等 式 a ˆ ˆ1 ˆ2 , 其 中ˆ1 （X 1 , X n） ，ˆ2 ˆ（X 1 , X n） 1 2 都是统计量 .
ˆ ˆ [1 ( x1 ， ， xn ) ， 2 ( x1 ， ， xn )]
于是可以认为未知参数就落在这个区间内．
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定义： 设总体 含一待估参数；对于样本 1 ,, X n , X X ˆ ˆ ˆ 找出统计量ˆ ( X ,, X )(i 1,2), , 使得：
0 2 推得，随机区间： [ X u 0 , X u 0 ] n n 2 2
间 区 信 置 的 为 度 信 置 的 是 . 1
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说明：
（1）置信区间不唯一，在置信度固定的条件下， 置信区间越短，估计精度越高。
（2）在置信度固定的条件下，n 越大，置信区间 越短，估计精度越高。 （3）在样本量 n 固定时，置信度越大，置信区间 越长，估计精度越低。
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例如：若 5%，即置信度为 95%. 1 这时重复抽样100次，则在得到的 个区间中包含 100 真值的有95个左右，不包含 真值的有5个左右.
通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%.
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求置信区间的步骤：
(1) 找一个样本的函数 Z ( X 1 ,, X n ; ), Z 它包含待估参数 ，而不包含其它未知参数.且 Z的分布是已知的，不依赖于未知参数 .
[ X t (n 1)
S S , X t (n 1) ] n n
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3. 求正态总体均值的区间估计小结
2 ，找 的置信区间 (1) 已知方差
①当置信度为1 时， 查标准正态分布函数 表，使
1 (u )
2
，从而得上侧分位数u ； 2 2
i 1
n
n
2
n
X i
i 1
n
2
X i 2
i 1
n
2 n
2
12 n
2
2
未知
1
2
X
n i 1
i
X
2
2 n 1
X
i 1
2
i
X
2
X
n i 1
2
i
X
2
2 n 1
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查 (n 1)分布表 得 ,
2
2 2 (n 1), 1 2 (n 1)。 2 1 2
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由此得：

2 1

2
(n 1)
(n 1) S 2

2
(n 1)
2 2
(n 1) S 2 ( n 1) S 2 2 推得： 2 2 (n 1) (n 1)
ˆ ˆ (4) 随机区间 [1， 2 ] 就是置信度为1 的置信区间.
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二、正态总体均值的区间估计
设X 1 ,, X n为总 体 ~ N ( , )的一 个样本 X , 在置 信度 下，来确 定 的置 信区间 1， 2 ]. 1 [
2
1. 方差已知时，估计均值
在置信度为 %时，试求温度的均值 95 的所在范围。
已知n 7, 0.05. 由样本值算得： 解：
x 112.8, s 2 1.29.
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查表得t0.05 (6) 2.447. 由此得置信区间：
[112.8 2.447
1.29 1.29 , 112.8 2.447 ] 7 7 [111.75, 113.85]
n ， 得 的1 置 信 区 间
x ②由样本值 x1 , x2 ,, xn 计算出样本均值 ；
③设
u
2

( x , x ) 。
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(2) 未知方差 ，找 的置信区间
2
n ①当置信度为1 时，查自由度为 1 ，水 平为 的t 分布双侧分位数表，得 t (n 1) ； x ②由样本值 x1 , x2 ,, xn 计算出样本均值 和 样本标准差S ；
ˆ ˆ 1 X 1 ， ， X n 与 2 X 1 ， ， X n
由它们组成一个区间 ˆ ˆ [1 ( X1 ， ， X n ) ， 2 ( X1 ， ， X n )]
对 于 一 个 具 体 问 题 ， 得 到 样 本 观 测 值x1 ， ， x n 当 后 ， 我 们 便 得 到 一 个体 的 区 间 ： 具
2
n
, x u
2
0
n
]
2. 方差未知时，估计均值
由于方差 2未知，
而选取样本函数： T
X S/ n
~ t ( n 1).
对于给定的 ，查t分布表，找 1与2，使得： 1
P{1 T 2 } 1 ，
我们仍然取成对称区间 , ],使得： [
1 x (115 120 110 ) 115 9 查正态分布表得临界值 u 0.025 1.96，由此得置信区间：
[115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9 ] [110.43 , 119.57] 0
[x-u
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P{|U | } 1
即：
P{
X
0
} 1
n
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由正态分布表的构造，P{| U | } 1 ，可知： 由
, u 查正态分布表 ( ) 1
2 ( X ) n u u
2

2
, 得：
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推得，置信区间为：
[ X t (n 1)
S S , X t (n 1) ] n n
例2 用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度 分别为：120,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6度; 设温度 X ~ N ( , 2 )。
2 设已知方差 2 0 ,
构造样本的函数 U
X
0
~ N (0,1).
n
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对 于 给 定 的 置 信 度 ， 查 正 态 分 布 表 ， 找 出 1 1， 2， 使 得:
P{1 U 2 } 1 .
由 此 可 找 出 无 穷 多 组， 2； 通 常 我 们 取 对 称 区 1 间[ , ], 使 ：
2 1 2
这就是说，置信区间为：
2 2 ( n 1) S ( n 1) S 2 ( n 1) , 2 ( n 1) 1 2 2
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例3 设某机床加工的零件长度 X ~ N ( , 2 )， 今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下：
12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 在置信度为95%时，试求总体方差 2的置信区间.
已知 s2 . 解： n 16, 0.05. 由样本值算得： 0.00244 2 2 2 查 (n 1)分布表 得 0.025 (15) 27.5, 0.975 (15) 6.26. ,
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随机变量 的分布
双侧置信区间的上、下限

2已 知
X
/ n X
S/ n
1
N 0， 1
X u
2
n
2未知
t n 1
S X t n 1 n
已 知

X i 2 2
样本函数： 2 ( n 1) S 2
~ 2 (n 1).
P{1 2 2 } 1 ，
虽 然 2 分 布 密 度 函 数 无 对 称 ， 我 们 仍 采 用 使 概 率 性 对称的区间：
P{ 2 1 } P{ 2 2 } / 2，
S ③设 t ( n 1) n ，得 的1 置信区间 ( x , x ) 。
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三、正态总体方差的区间估计
设X 1 ,, X n为总体 ~ N ( , 2 )的一个样本 X .
2 2 对于给定的1 ，查 分布表，得1与2，使得：
ˆ 但是，点估计值x1 ， ， xn 仅仅是未知参数
这在应用上是非常不方 便的．
的一个近似值，没有反 映出这个近似值的误差 范围，
区间估计就是根据样本给出未知参数的一个范围，
并希望知道这个范围包含该参数的可信程度。
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一、区间估计的概念
所谓区间估计就是构造 两个统计量
P{| T | } 1 ，
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即 P{
X S/ n
} 1 ，
由t分布表的构造及{| T | } 1 ，可知： P
t (n 1),
由此得：
X t (n 1) t (n 1) S/ n
§5.4 正态总体参数的区间估计
一、区间估计的概念 二、正态总体均值的区间估计 三、正态总体方差的区间估计