实正交矩阵的性质及判定
正交矩阵及其性质
=XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此 cos AX , AY ( AX , AY ) ( X ,Y ) cos X ,Y ,
| AX || AY | | X || Y |
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 7时42 分29秒0 7:42:29 20.12.1 3
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所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
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是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
正交矩阵与正交变换
正交矩阵与正交变换正交矩阵和正交变换在数学和物理学领域具有重要的地位和应用。
它们被广泛用于描述旋转、镜像、对称性等问题。
本文将介绍正交矩阵和正交变换的概念、性质和应用。
一、正交矩阵的概念和性质正交矩阵是一个实矩阵，其列向量两两正交且长度为1。
简言之，正交矩阵的转置与逆矩阵相等。
正交矩阵的定义可以表示为：若矩阵A的转置与逆矩阵相等，则A为正交矩阵。
由正交矩阵的性质可知，正交矩阵的行向量也是两两正交且长度为1。
正交矩阵的性质还包括以下几点：1. 正交矩阵的行列式等于1或-1；2. 正交矩阵的任意两列（行）满足内积等于0，任意一列（行）的长度为1；3. 正交矩阵的转置等于逆矩阵。
正交矩阵的一个重要应用是在旋转变换中。
将一个向量乘以一个正交矩阵，相当于对该向量进行了旋转变换。
这是因为正交矩阵的列向量构成了一个正交基，可以用于表示旋转方向和角度。
二、正交变换的概念和性质正交变换是指在二维或多维空间中，保持长度和角度不变的线性变换。
正交变换可以由正交矩阵表示，应用于几何学、物理学、图形学等领域。
正交变换的一个典型例子是旋转变换。
通过定义旋转角度和旋转轴，可以得到对应的正交矩阵，然后将该矩阵应用于向量，实现向量的旋转。
正交变换的性质包括：1. 正交变换保持向量长度不变。
即对于向量x，有 ||Tx|| = ||x||，其中T表示正交变换。
2. 正交变换保持向量之间的夹角不变。
即对于向量x和y，有cos(θ) = cos(Tx, Ty)，其中θ表示向量x和y之间的夹角，Tx和Ty表示应用正交变换T后的向量。
三、正交矩阵与正交变换的应用正交矩阵和正交变换在众多学科和领域中具有广泛应用，以下列举几个常见的应用领域：1. 几何学中的坐标变换：正交变换可以实现向量在不同坐标系之间的转换，例如平移、旋转和缩放等操作。
2. 物理学中的对称性：正交矩阵和正交变换被用于描述物理系统的对称性，如空间反演、时间反演等。
3. 图形学中的变换：正交变换被广泛应用于图形学中的三维模型变换和视图变换，实现图形的旋转、缩放和投影等操作。
毕业论文正交矩阵及其应用41544
正交矩阵及其应用The orthogonal matrix and its applicalion摘要正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具, 它的应用非常广泛. 本文从以下主要例举了正交矩阵的三大应用: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.关键词: 矩阵; 正交矩阵; 标准正交基; 集合; 特征根; 行列式AbstractOrthogonal matrix is the mathematical study of an important class of tools, it is widely used. This article cites the following main four orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, Orthogonal matrix topology and Modem Algebra, orthogonal matrix the application of physics.Keywords: matrix; orthogonal matrix; orthonormal basis; a collection of eigenvalues; determinant目录摘要 (I)Abstract (II)0 引言 (1)1 正交矩阵的定义及其简单性质 (1)1.1 正交矩阵的定义及其判定 (1)1.2 正交矩阵的性质 (1)2 正交矩阵的应用 (2)2.1 正交矩阵在线性代数中的应用 (2)2.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用 (8)2.3 正交矩阵在物理中的作用 (11)参考文献 (15)0 引言正交矩阵是一类重要的实方阵, 由于它的一些特殊性质, 使得它在不同的领域都有着广泛的应用, 也推动了其它学科的发展. 本文从正交矩阵的定义以及其性质入手, 来探讨它的四大应用即: 正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.1 正交矩阵的定义及其简单性质1.1 正交矩阵的的定义及其判定定义1.1[1] n 阶实矩阵A , 若满足E A A =', 则称A 为正交矩阵. 判定1 A 为正交矩阵1'-=⇔A A .判定2 A 为正交矩阵⇔'1,,,1,2,,0,,i j i j i j n i j αα=⎧==⎨≠⎩.判定3 A 为正交矩阵⇔'1,,1,2,...0,,i ji j i j n i j ββ=⎧===⎨≠⎩.1.2 正交矩阵的性质设A 为正交矩阵, 它有如下性质:性质1[5] 1A =±, 1A -存在, 并且1A -也为正交矩阵; 性质2[5] 'A ,*A 也是正交矩阵; 当1A =时, '*A A =, 即ij ij a A =; 当1A =-时. '*A A =-, 即ij ij a A =-.性质3[5] 若B 也是正交矩阵, 则''11,,,AB A B AB A B AB --都为正交矩阵. 证明 性质1 显然1A =±, ()()()'11''1A A A ---==所以1A -也是正交矩阵.性质2 '1A A -=, 显然'A 为正交矩阵.由*'11,A A A A A-=±==,当1A =时, '*A A =, 即ij ij a A =; 当1A =-时, '*A A =-, 即ij ij a A =-; 所以*A 为正交矩阵.性质3 由'1'1,A A B B --==可知()()'1''11AB B A B A AB ---===,故AB 为正交矩阵. 由性质1, 性质2推知''11,,,A B AB A B AB --均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果λ是它的特征值, 那么1λ也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵T , 使112A T T λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中1,...,n λλ为A 的全部特征值, 即()11,2,...,i i n λ==. 这些性质这里就不再证明了.2 正交矩阵的应用2.1 正交矩阵在线性代数中的应用在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens 矩阵. 这里, 我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积, 给出化欧空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量()'21,n w w w W = , 令()i j w w s ji >+=22,sw d sw c ji==,, 则称n 阶矩阵行行j i c d d c T ij ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11 i 列 j 列 为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ij T , 是由向量W 的第j i ,两个元素定义的, 与单位矩阵只在第j i ,行和第j i ,列相应的四个元素上有差别.设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()i j >, 则有如下的性质: <1> ij T 是正交矩阵;<2> 设()',21,,n ij u u u W T =, 则有()j i k w u u s u k k j i ,,0,≠===;<3> 用ij T 左乘任一矩阵A ,ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元素（用ij T 右乘任一矩阵A ,A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 <1> ()122222=+=+sw wdc j i , 故E T T ij ij =', ij T 是正交矩阵.<2> 由ij T 得定义知, 用ij T 左乘向量W , 只改变W 的第j i ,两个元素, 且22=+-=+-==+=+=sw w s w w cw dw u ss w s w dw cw u ji i j j i j ji j i i 所以ij T 左乘W , 使ij T W 的第i 个分量非负, 第j 个分量为0, 其余分量不变. <3> 根据 <2> 及矩阵乘法即可以得出结论. 引理 2.1.1[7] 任何n 阶实非奇异矩阵()nn ija A ⨯=, 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理 2.1.1[7] 设P 是n 阶正交矩阵<1> 若1=P , 则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即r P P P P 21=;<2> 若1-=P , 则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -, 即n r E P P P P -= 21, 其中),2,1(r i P i =是初等旋转矩阵.nn nE ⨯-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1111证明 由于P 是n 阶正交矩阵, 根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵, 而且R 得对角线上的元素除最后一个外都是正的, 所以有R S S S P r ''2'1 = (2.1)由P 是正交矩阵和(2.1)式得E R S S S S R P P r r ==''11'' 即 E R R =' (2.2)设 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n r r r r r r R 22211211其中,()12,10-=>n i r ii ,则 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1112221121121221211'nn n n nn nnr r r r r r r r r r r r R R由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=1P 11P 11,2,1,;1;0且且n j i n j i n j i j i j i r ij所以⎩⎨⎧-===1P ,E 1P E R n -当，当 (2.3) 于是由(2.1)(2.3)式得<1> 当1=P 时, ''2'1r S S S P =; <2> 当1-=P 时, n r E S S S P -=''2'1 . 记()r i S P i i ,,2,1' ==, i P 是初等旋转矩阵, 故定理1结论成立.引理 2.1.2[7] 设()mn ija A ⨯=, 秩()m A =, 则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵, 把'A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式, 其中R 是m 阶上三角阵, O 是()m m n ⨯-矩阵.证明 由引理2知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O R P A 1, 其中P 是n 阶正交矩阵, 1R 是m 阶上三角阵, 又根据定理1知:⎩⎨⎧-===-1,1,11P E P P P P P P n r r 其中()r i P i ,2,1=是初等旋转矩阵.<1> 当1=P 时, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O R P P P A r 121 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==O R A P P R R r '1'1, <2> 当1-=P 时, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-O R E P P P A n r 121 于是有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-O R O R E A P P n r1'1'显然, R 是m 阶上三角阵, 当m n =时R 与1R 除最后一行对应元素绝对值相等、符号相反外, 其余元素对应相等. 当m n >时,1R R =, 所以由<1>、<2>知本定理的结论成立.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nm m m m n n a a a a a a a a a 21222122121111,,,ααα是欧式空间n R 的子空间m V 的一组基, 记()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nm n n m m m a a a a a aa a a A 21222211121121ααα是秩为m 的m n ⨯矩阵.若()mn ija A ⨯=满足定理2的条件, 则存在初等旋转矩阵r P P P 21使⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O R A P P r '1' (2.4)且()()'1'2'21',,,,,,P P P P P P PP E r r ==所以''1'2''1'2'1'P P P P E P P P P r r r ==- (2.5)由(2.4)、(2.5)两式知, 对E A 、做同样的旋转变换, 在把A 化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的同时,就将E 化成了'P , 而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧式空间的子空间m V 的一组基:()()m i a a a ni i i i m ,,2,1,,,,,,'2121 ==αααα为一组标准正交基德方法为:<1> 由已知基m ααα ,,21为列向量构成矩阵()mn ija A ⨯=;<2> 对矩阵()E A 施行初等旋转变换, 化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R , 同时E 就被化为正交矩阵'P , 这里R 是m 阶上三角阵;<3> 取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然, 上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法. 下面, 我们通过实例说明此方法的应用.例 2.1.1 求以向量()()()'3'2'11,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1-=-=-=ααα为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==100010001111321αααA 对分块矩阵()E A 依次左乘342312,,T T T , 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21230023210000100001,10000313200323100001,10000100002222002222342312T T T 得()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------=2121212100233213213213320002361616123000212121212122334E A T T T 则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------=21230021321320213216*********121,21212121233213213210326161002121'P P 取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23321321321,0326161,002121321P P P 则321,,P P P 就是由321,,ααα得到 的3V 的一组标准正交基.2.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用全体n 阶正交矩阵作成的集合, 记为()n O , 从代数和拓扑的角度来看, 我们可以证明它构成一拓扑群, 并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群.(1) ()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前, 先介绍一下相关的概念.定义 2.2.1[3] 设G 是任一集合, R 是G 的子集构成的子集族, 且满足: 1、结合G 与空集φ属于R ; 2、R 中任意个集的并集属于R ; 3、R 中任意有穷个集的交集属于R ;称R 是G 上的一个拓扑, 集合G 上定义了拓扑R , 称G 是一个拓扑空间.定义 2.2.2[3] 如果G 是一个拓扑空间, 兵赋予群的机构, 使得群的乘法运算 :u G G G →⨯; 求逆运算 :v G G →;是连续映射, 就称G 为拓扑群.根据上面的定义, 我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.<1> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. <2> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群.<3> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群.证明 <1> 设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合, 以()ij a A =表示M 的一个代表元素. 我们可以把M 等同于2n 维欧氏空间2n E , 也就是将()ij a A =对应于2nE 的点()nn n a a a a a a ,,,,,,312211211 .R 是点集2n E 的子集族, 则2n E 和φ都属于R ,R 中任意个集的并集属于R ,R 中有穷个集的交集也属于R , 可以验证2n E 构成一拓扑空间, 从而M 成为一拓扑空间. ()n O 是所有实元素的n 阶正交矩阵, 所以是M 的子集合, 于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑, 从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.<2> 10 ()n O C B A ∈∀,,由于矩阵的乘法满足集合律, 所以()()BC A C AB → 20 ()st O E n n ,∈∃ ()A AE A E O A n n n ==∈∀,30 ()st A A O A n ,,'1=∃∈∀- E AA AA A A A A ====--'1'1所以正交矩阵作成的集合()n O 对于乘法运算可构成一群.<3> 对于<1>中的拓扑空间M 的拓扑, 定义矩阵乘法M M M m →⨯:设()()ij ij b B a A ==∀,, 则乘积()B A m ,的ij 个元素是∑=nk kj ik b a 1现在M 具有乘积空间111E E E ⨯⨯⨯ (2n 个因子)的拓扑, 对于任何满足n j i ≤≤,1的j i ,, 我们有投影映射1:E M M M m ij →→⨯π, 将A 和B 的乘积()B A m ,映为它的第ij 个元素. 现在()∑==nk kj ik ij b a B A m 1,π是A 和B 的元素的多项式, 因此m ij π连续, 投影映射ij π是连续的,从而证明映射m 是连续的. 因为()n O 具有M 的子空间拓扑, 是M 的一个子拓扑空间,且由正交矩阵的性质<3>及上面的讨论知, 映射()()()n n n O O O m →⨯:也是连续的.()n O 中的矩阵可逆,定义求逆映射()()n n O O f →:,()()1-=∈∀A A f O A n . 由于合成映射()()1:E O O f n n ij →→π, 将()n O A ∈∀映为1-A 的第ij 个元素, 由正交矩阵的性质<2>,AA A *'=, 所以A A a ji ji =, 即()A A A f ji ij =π, A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式, 且0≠A , 所以f ij π为连续的, 而投影映射ij π为连续的, 所以求逆映射()()n n O O f →:为连续的.至此, ()n O 又是一个拓扑空间,并且构成群, 对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射, 因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群, 称它为正交群.(2) ()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道以下有关的定义和定理.定义 2.2.3[4] 设G 为拓扑群, G 的拓扑为n 维实(或复)解析流形, 且映射()12121,-→g g g g G g g ∈∀21, 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射, 则称G 为n 维lie群.定理 2.2.1[4] 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 M A ∈∀(所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合), A 对应2n 维欧氏空间2n E 的点()nn n a a a a a a ,,,,,312111211α,M 可作为2n 维欧氏空间. A 的行列式A det 为元素nn n a a a a a a ,,,,,312111211的解析函数, {}0det =∈A M A 为M 中的开子集. 这时, 按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形, 且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析, 故*M 为2n 维lie 群. ()n O 为*M 的闭子集, 按诱导拓扑为子流形, ()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致, 根据定理内容, 只要证明M 等同于2n E 时, ()n O 相当于2n E 内的有界闭集. 设()n O A ∈∀, 由于E A A ='有∑==nj ik kjij ba 1δ n k i ≤≤,1对于任意的k i ,,定义映射E M f ik →: M A ∈∀ ()∑==nj kj ij ik b a A f 1则()n O 为系列各集合的交集()01-ik f n k i ≤≤,1 k i ≠()11-ii f n i ≤≤1由于()n k i f ik ≤≤,1都是连续映射, 所以上述每个集合都是闭集. 因此()n O 是M 的有界闭集, 这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群, 我们称为紧lie 群, 所以()n O 是紧lie 群. (3) ()n O 是不连通的定义 2.2.4[3] 设X 是一个拓扑空间, X 中存在着两个非空的闭子集A 和B , 使X B A = 和φ=B A 成立, 则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合, S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成的集合. 因为()1:det E SO n →是连续映射, 而我们知道单点集{}1是1E 的闭集,()()1det 1-=n SO , 在连续映射下, 任何一个闭集的原象也是闭集, 所以()n SO 也为闭集,()n SO 为()n O 的闭集, 同理, 我们也可以证明S 是闭集, 因为()(),n n O S SO =()φ=S SO n ,而()n SO 和S 是闭集, 有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的.2.3 正交矩阵在物理中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量. 下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的量. 设曲线()()()(){}1111r t x t y t z t =与曲线()()()(){}r t x t y t z t =只差一个运动, 从曲线()1r t 到曲线()1r t 的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.6) 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵, 123,,b b b 是常数.对(2.6)两边求n 阶导数得()()()()()()111n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有111121312122231313233m m m m m m m m m m m m m m m x x a x a y a z y A y a x a y a z z z a x a y a z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.7)因为A 是正交矩阵, 所以也有()()1r t r t = (2.8) 另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵''''''111''''''''''''111''''''''''''''''''111T x y z x y z x y z x y z A x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两边取行列式, 由det 1A =±得'''''''''111''''''''''''''''''111'''''''''''''''''''''''''''111T x y z x y z x y z x y z x y z A x y z x y z x y z x y z ==±现在取()()()()()()()()111r t r t r t r t r t r t =可类似地讨论. 因为'''111''''''''''''''''111111111111'''''''''''''''''''''111111111m x y z y z z x x y x y z x y z y z z x x y x y z =++ (2.9) '''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''x y z y z z x x y x y z x yzyzzxxyx y z =++ (2.10)(2.7)代入(2.9)的右边得()()()''''''''''''''''''''''''111111111213212223313233''''''''''''111111m m m y z z x x y ax a y a za x a y a z a x a y a z y z z x z y ++++++++ '''''''''''''''111111112131''''''''''''111111y z z x x y a x a xa xy zzxx y ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭''''''''''''111111122232''''''''''''111111m y z z x x y a y a ya yy z z x xy ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭'''''''''''''''111111132333''''''''''''111111y z z x x y a z a z a z y zzxx y ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭（2.11） 因(2.9)与(2.10)右边相等, 有(2.10)右边与(2.11)式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x ax z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x a x z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质2知, ij ij a A =且由1(,1,2,3)njikj jk i AA j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z A A A y z ''++''''+21122221222311()z x A A A z x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数, 即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可推得111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对汪老师表示衷心的感谢!参考文献[1] 张凯院, 徐仲．矩阵论同步学习辅导[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2002. 10．160-164[2] 赵大成等．物质机构[M]．人民教育出版社 1982.9 219-226[3] 熊金城. 点集拓扑讲义[M]. 高等教育出版社, 1998.5 110-111, 193-195[4] 严志达等. Lie群及其lie代数[M]. 高等教育出版社, 1985.10 16-17[5] 戴立辉. 正交矩阵的若干性质[M]. 华东地质学院学报, 2002.9 第25卷第31期 267-268[6] 刘钊南．正交矩阵的作用[M]. 湘潭师范学院学报, 1987．11-16[7] 刘国志. 欧氏空间子空间的标准正交基德全新方法—Givens变换法[J]. 抚顺石油学院学报, 1996.3 16卷1期 78-81[8] 张焕玲. 一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法[J].山东科学,1996.3 9卷1期 14-16[9] 陈少白. 空间曲线的刚体运动基不变量[J]. 武汉科技大学学报, 2003.12 26卷4期 424-426[10] Fuzhen zhang, Matrix Theory, Springer, 1999.[11] Horn R A, Johnson C R. 1989. Matrix Analysis(矩阵分析),杨奇.天津:天津大学出版社[12] D J Field What is the goal of sensory coding？4(1994).[13] M Heiler.C Schnorr Learning sparse representations by non-negative matrix factorization Matrix factorization and sequential cone programming7 (2006).。
正交矩阵的性质和应用
目录摘要（关键词） (1)Abstract（Key words） (1)1前言 (1)2正交矩阵的性质 (1)3正交矩阵的相关命题 (3)4 正交矩阵的应用 (5)4.1 正交矩阵在解析几何上的应用 (6)4.2正交矩阵在拓扑学和近似代数中的应用 (7)4.3 正交矩阵在物理学中的应用 (9)5后记 (10)参考文献 (10)致谢 (11)关于正交矩阵的性质及应用研究摘要:正交矩阵是数学中一类特殊的矩阵，同时它还具有一些非常特殊的性质和广泛的应用.目前也有很多关于正交矩阵文献，但是其中大部分都是研究关于正交矩阵性质，而关于正交矩阵的应用很少提及.本文的主要任务就是利用正交矩阵的定义，并以矩阵性质，行列式性质为主要工具，归纳正交矩阵的性质，并探讨正交矩阵在解析几何、拓扑学、近似代数及物理学上的应用.关键词:正交矩阵；行列式；性质；应用Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool.Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application1前言我们在讨论标准正交基的求法后，由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，从而讨论一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。
正交矩阵及其应用
正交矩阵及其应用1. 引言 (1)2. 正交矩阵的基本知识 (2)2.1正交矩阵的定义与判定 (2)2.2 正交矩阵的性质 (3)3.正交矩阵在数学中的应用 (4)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (4)3.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用 (10)4.正交矩阵在化学中的应用 (13)sp杂化轨道 (14)4.1 34.2 sp杂化轨道 (16)5.正交矩阵在物理学中的应用 (17)6. 结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)如果n阶实矩阵A满足T,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．AA E本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．关键词：正交矩阵；初等旋转矩阵；标准正交基；原子轨道的杂化；曲率；挠率AbstractIf a n-dimensional real matrix A satisfies EAA T ,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.This paper enumerats the applications of orthogonal matrix in linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra.A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. The transition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with an orthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate1引言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和列数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把n 阶实数矩阵A 满足E AA T=,称A 为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在n 维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v .v 的长度的平方是2 v .如果矩阵形式为Qv 的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt 正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt 正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.2正交矩阵的基本知识本文中在没有特别说明的情况下,A 都表示为正交矩阵,记矩阵A 的秩为()r A ,i α与j α为矩阵A 的第i 列与第j 列,T i α表示矩阵A 的第i 行. det A 表示行列式的值即det A =A .2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.1[3]n 阶实数矩阵A 满足E AA T =（或E A A T =,或E AA=-1）,则称A 为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵A 是正交矩阵?1T A A -=;判定2.1.3 矩阵A 是正交矩阵?1()(,1,2,0(),T ij i j i j i j αα=?==?≠? ，)n ;判定2.1.4 矩阵A 是正交矩阵?1()(,1,2,,0(),Ti j i j i j i j αα=?==?≠? )n ;备注：判定一个是方阵A 是否为正交矩阵往往用定义,即E AA T =（或E A A T=,或E AA =-1）,也可以验证A 的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.2.2 正交矩阵的性质若A 是正交矩阵,则A 有以下性质([3])：性质2.2.5 1A =±,则A 可逆,且其逆1-A 也为正交矩阵.证明显然1±=A . ()()()111---==A A AT TT所以1-A 也是正交矩阵.性质2.2.6 *A ,TA ,也是正交矩阵, 即有:(1)当1A =时, *A A T =, 即*()T ij A A =;(2)当1A =-时, *A A T =, 即*()T ij A A =-.证明若A 是正交矩阵,1T A A -=, 由性质2.2.5,T A 为正交矩阵.因为AA A A A T*1,1==±=-,所以,当1A =时, *A A T =, 即*()T ij A A =;当1A =-时.*T A A =-, 即*()T ij A A =-.从而*A 为正交矩阵. 性质2.2.7 (1,2,)kA k = 是正交矩阵. 证明因为()()kT Tk A A=,所以()()()Tkkkk Tk T AA AA E A A ===.因此,k A 也是正交矩阵性质2.2.8 lA 是正交矩阵的充分必要条件是1±=l .证明必要性若lA 是正交矩阵,则另一方面()()()1211T lA lA lA lA l AA --===,一方面()Tl A l A E=,于是,21l =,1±=l ; 充分性因为A 是正交矩阵,若1±=l ,显然lA 也是正交矩阵.性质2.2.9 若B 也是正交矩阵, 则AB ,B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 都为正交矩阵. 证明由11,--==B B A A TT可知()()111---===AB AB A B AB TTT,故AB 为正交矩阵.同理推知B A T ,T AB ,B A 1-,1-AB 均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果λ是它的特征值, 那么λ1也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在可逆矩阵T , 使11n A T T λλ-?? ?= ? ???,其中n λλ,,1 为A 的全部特征值, 即()11,2,,i i n λ== . 这些性质证明略.3.正交矩阵在数学中的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens 矩阵.定义3.1[1]设向量()2212,,,,0,,,Ti k n i k t tT t t t s t t c d s s==+≠== 则称n 阶矩阵 1000100000010010000001001ik c d i G d c k i k= ?- ? ? ?为向量T 下的Givens 矩阵或初等旋转矩阵,也可记作(),ik ik G G c s =.下面给出Givens 矩阵的三个性质[2],[10]性质3.1.1 Givens 矩阵是正交矩阵.证明由2222221i k t t c d s s+=+=,则G Tik ik G E =,故ik G 是正交矩阵.性质3.1.2 设()()1212,,,,,,,T Tn ik n T t t t y G T y y y === ,则有,0,(,)i k j j y s y y t j i k ===≠.证明由ik G 的定义知, (,)j j y t j i k =≠,且22,i k i i k t t y ct dt s s s =+=+=0i k i k k i k t t t ty dt ct s s=-+=-+=,即ik G 右乘向量T ,只改变向量T 第i 和第k 个元素,其他元素不变.性质 3.1.3 任意矩阵A 右乘ik G ,ik AG 只改变A 的第i 列和k 列元素; 任意矩阵左乘ik G ,ik G A 只改变A 的第i 行和k 行元素.证明由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论. 引理 3.1.4[2]任何n 阶实非奇异矩阵 , ()nn ija A ?= 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.5[10]设Q 是n 阶正交矩阵()I 若1Q =, 则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即12r Q Q Q Q = ;()II 若1Q =-, 则Q 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -, 即12r n Q Q Q Q E -= , 其中(1,2,)i Q i r = 是初等旋转矩阵.（1111n n nE -= ?-??）.证明由于Q 是n 阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵12,,,r S S S , 使121r r S S S S Q R -= （这里R 是n 阶上三角阵）,而且R 的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是12TTTr Q S S S R = （3-11）注意到Q 是正交矩阵,由（3-11）式得,112TTTTTr r Q Q R S S S S S R E == ,即E R R =' （3-12）设R =11121222n n nn r r r r r r ??,其中,0(1,2,,1)ii r i n >=- ,则TR R =11122212nnnn r r r r r r ?? ?11121222n n nn r r r r r r ??=111?? ?. 由上式得,(,1,2,,1)1,(,1,2,,1)11,1 1.ij i j i j n i j i j n r i j n Q i j n Q ≠=-??==-?=?===??-===-?且且所以1,1n E Q R E Q -?=?=?=-??，当当 , （3-13）即,当1Q =时,12T T T r Q SS S S = ;当1Q =-时, 12T T Tr Q S S S = n E -.记(1,2,,)Ti i S Q i r == ,注意到i Q 是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.6[1]设1()ij n m R A a Am A Q O===，秩（），则其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(零矩阵.定理 3.1.7[10]设()ij n m A a Am ?==，r （）,则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵,把TA 变为R O ??的形式,其中R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(矩阵.证明由引理3.1.6知1R A Q O ??=,其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵.又根据定理1知：11,1,1r n r Q Q E Q Q Q Q Q -?=-?=?=?? ,则12,i Q i r = （，）是初等旋转矩阵. (I)当1Q =时,11211 T Tr r R R A Q Q Q R R Q Q A O O ===令，; (II)当1Q =-时,112r n R A Q Q Q E O -??= ,则111.T T r n n R R R Q Q A E E O O O --== ? ? ???????记.显然,R 是m 阶上三角阵,当n m =时,R 与1R 除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时n m >时,1R R =.综上,知本定理的结论成立.设112111n a a a α?? ? ?= ? ? ,122222n a a a α?? ? ?= ? ? ??? , ,12m m m nm a a a α??= ? ? ???是欧氏空间n R 的子空间n V 的一组基, 记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A aa a ααα??== ? ?是秩为的n m ?的矩阵.若()ij n m A a ?=满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵12,,,r Q Q Q ,使1T Tr R Q Q A O ??=（3-14）且 12()Tr E QQ Q Q Q == 21()TTTr Q Q Q所以2121T T T T T T Tr r Q Q Q E Q Q Q Q == （3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对A 、E 做同样的旋转变换,在把A 化为?O R 的同时,就将E 化成了TQ ,而Q 的前m 个列向量属于子空间nV .综上所述可得化欧氏空间的子空间nV 的一组基12,,,m ααα 12((,,,),1,Ti i i ni a a a i α==2,,)m 为一组标准正交基的方法:（1）由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ?=; （2）对矩阵)(E A 施行初等旋转变换,化A 为O R ,同时E 就被化为正交矩阵TQ ,这里R 是m 阶上三角阵;（3）取Q 的前m 个列向量便可得nV 的一组标准正交基. 显然,上述方法是求子空间nV 的一组标准正交基的另一种方法. 下面,我们通过实例对比Schimidt 正交化求标准正交基.例1 求以向量1(1,1,0,0)α=-,2(1,0,1,0)α=-,3(1,0,0,1)α=-为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解方法一用Schimidt 正交化把它们正交化：'11(1,1,0,0)εα==-,''2122''11(,)11(,,1,0)(,)22αεεαεε=-=--,'''''31323312''''1122(,)(,)111(,,,1)(,)(,)333αεαεεαεεεεεε=--=--- 再把每个向量单位化,得'11'1111(,,0,0)22εεε==--,'22'21112(,,,0)663εεε==--, '33'311113(,,,)2232323εεε==---. 即,1T ε,2T ε,3T ε就是由123,,T T Tααα,得到的3V 的一组标准正交基.方法二（利用连乘初等旋转矩阵）设矩阵123111100(,,)010001A ααα---??== ? ???, 对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ,23T ,34T , 12T =22002222002200100001??- ?-- ?,23T =10001200332100330001?? ? ? ? ? ?- ? ? ??,34T =10000100130022310022?? ? ? ?---??, 得34T 23T 12T )(E A =1100112222211203106 632611132300223232331111002222??- ? ? ?--------- ??,则11002211206 631113223232311112 222T P ??- ? ?-- ?= ?------- ,11112262311112262321102323310022P ??---- ? ? ?--- ?= ?-- ?- ??, 取111(,,0,0)22T P =--, 2112(,,,0)663T P =--, 31113(,,,)2232323TP =---. 那么321,,P P P 就是由123,,TTTααα,得到的3V 的一组标准正交基.对比两者的解法,用Schimidt 正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用全体n 阶正交矩阵作成的集合, 记为()n O , 从代数和拓扑的角度来看, 我们可以证明它构成一拓扑群, 并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群.(1) ()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前, 先介绍一下相关的概念.定义 2.2.1[3]设G 是任一集合, R 是G 的子集构成的子集族, 且满足: 1、结合G 与空集φ属于R ; 2、 R 中任意个集的并集属于R ; 3、 R 中任意有穷个集的交集属于R ;称R 是G 上的一个拓扑, 集合G 上定义了拓扑R , 称G 是一个拓扑空间.定义 2.2.2[3] 如果G 是一个拓扑空间, 兵赋予群的机构, 使得群的乘法运算:u G G G →?;求逆运算:v G G →;是连续映射, 就称G 为拓扑群.根据上面的定义, 我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群. <1> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. <2> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. <3> 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群.证明 <1> 设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合, 以() ij a A =表示M 的一个代表元素. 我们可以把M 等同于2n 维欧氏空间2n E, 也就是将()ij a A =对应于2nE 的点()nn n a a a a a a ,,,,,,312211211 .R 是点集2nE 的子集族, 则2n E和φ都属于R ,R 中任意个集的并集属于R ,R 中有穷个集的交集也属于R , 可以验证2n E 构成一拓扑空间, 从而M 成为一拓扑空间.()n O 是所有实元素的n 阶正交矩阵, 所以是M 的子集合, 于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑, 从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.<2> 10()n O C B A ∈?,,由于矩阵的乘法满足集合律, 所以()()BC A C AB →20()st O E n n ,∈? ()A AE A E O A n n n ==∈?,30()st A AO A n ,,'1=?∈?- E AA AA A A A A ====--'1'1所以正交矩阵作成的集合()n O 对于乘法运算可构成一群.<3> 对于<1>中的拓扑空间M 的拓扑, 定义矩阵乘法M M M m →?:设()()ij ij b B a A ==?,, 则乘积()B A m ,的ij 个元素是∑=nk kj ikb a1现在M 具有乘积空间111E E E (2n 个因子)的拓扑, 对于任何满足n j i ≤≤,1的j i ,,我们有投影映射1:E M M M m ij →→?π, 将A 和B 的乘积()B A m ,映为它的第ij 个元素. 现在()∑==nk kj ik ij b a B A m 1,π是A 和B 的元素的多项式, 因此m ij π连续, 投影映射ij π是连续的,从而证明映射m 是连续的. 因为()n O 具有M 的子空间拓扑, 是M 的一个子拓扑空间,且由正交矩阵的性质<3>及上面的讨论知, 映射()()()n n n O O O m →?:也是连续的.()n O 中的矩阵可逆,定义求逆映射()()n n O O f →:,()()1-=∈?A A f O A n . 由于合成映射()()1:E O O f n n ij →→π, 将()n O A ∈?映为1-A 的第ij 个元素, 由正交矩阵的性质<2>, AA A *'=,所以AA a ji ji =, 即()AA A f ji ij =π, A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式, 且0≠A , 所以f ij π为连续的, 而投影映射ij π为连续的, 所以求逆映射()()n n O O f →:为连续的.至此, ()n O 又是一个拓扑空间,并且构成群, 对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射, 因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群, 称它为正交群.(2) ()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道以下有关的定义和定理.定义 2.2.3[4]设G 为拓扑群, G 的拓扑为n 维实(或复)解析流形, 且映射()12121,-→g g g gG g g ∈?21, 为解析流形G G ?到G 上的解析映射, 则称G 为n 维lie 群.定理 2.2.1[4]欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明M A ∈?(所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合), A 对应2 n 维欧氏空间2n E的点()nn n a a a a a a ,,,,,312111211α,M 可作为2n 维欧氏空间. A 的行列式A d e t 为元素nn n a a a a a a ,,,,,312111211的解析函数, {}0det =∈A M A 为M 中的开子集. 这时, 按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形, 且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析, 故*M 为2n 维lie 群. ()n O 为*M 的闭子集, 按诱导拓扑为子流形, ()n O 为lie 群.为了证明()n O 紧致, 根据定理内容, 只要证明M 等同于2n E 时, ()n O 相当于2n E内的有界闭集.设()n O A ∈?, 由于E A A ='有∑==nj ik kjij ba 1δ n k i ≤≤,1对于任意的k i ,,定义映射E M f ik →: M A ∈? ()∑==nj kj ij ik b a A f 1则()n O 为系列各集合的交集()01-ik f n k i ≤≤,1 k i ≠()11-ii f n i ≤≤1由于()n k i f ik ≤≤,1都是连续映射, 所以上述每个集合都是闭集. 因此()n O 是M 的有界闭集, 这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群, 我们称为紧lie 群, 所以()n O 是紧lie 群. (3) ()n O 是不连通的定义 2.2.4[3]设X 是一个拓扑空间, X 中存在着两个非空的闭子集A 和B , 使X B A = 和φ=B A 成立, 则称X 是不连通的.证明我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合, S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成的集合. 因为()1:det E SO n →是连续映射, 而我们知道单点集{}1是1E 的闭集,()()1det 1-=n SO ,在连续映射下, 任何一个闭集的原象也是闭集, 所以()n SO 也为闭集,()n SO 为()n O 的闭集, 同理, 我们也可以证明S 是闭集, 因为()(),n n O S SO = ()φ=S SO n ,而()n SO 和S 是闭集, 有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的.4正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ,k φ为新的杂化轨道,i φ为参加杂化的旧轨道,ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数[4].在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=?; （2）杂化轨道的正交性.0()k l d k l τφφ=≠?; （3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即2222121nki i i ni k cc c c ==+++∑ =1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.4.1 3sp 杂化轨道.例 2 以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ,这样在形成4CH 分子时,激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ,2x p φ,2yp φ,2z p φ是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ,b φ,c φ,d φ,那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵,即211121314221222324231323334414243442x y z s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ??= ?= 2222xy z s p p p A φφφφ??. A 为正交矩阵,111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道2s φ,2xp φ,2y p φ,2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A .因为A 是正交矩阵,由定义可得2222111213141a a a a +++=,即11121314a a a a ===, 所以112 41a =,得11121314a a a a ====12(取正值). 又因为是等性杂化轨道.有222211213141a a a a === ,222211121314a a a a +++=1, 所以11213141a a a a ====12（取正值）. 即得到22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ?? ? ? ? ?=. 又因22232411111022222a a a ?+++=,22222223241()12a a a +++=,222324a a a ==, 取符合条件的2212a =,2312a =,2412a =. 同理,32333411111022222a a a ?+++=,22322333243411022a a a a a a ?+++=, 即32333412a a a ++=- ,32333412a a a --=-,得3212a =-,3334a a =-,取3312a =,3412a =-. 又42434411111022222a a a ?+++=, 42434411111022222a a a ?+--=,42434411111022222a a a ?-+-=, 得4212a =-,4312a =-,4412a =-.所以,11112222111122221111222211112222A ?? ? ? ?--=-- ? ? --. 可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++,22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--,22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-,22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+.4.2 sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样,线性变换211112222122x s p a a a a φφφφ=的系数矩阵11122122a a A a a ??=是正交矩阵. 根据等性杂化理论有2211211a a +=,1121a a =,22 11121a a +=,于是,112112a a ==,1212a =（取正值）. 又,221110222a ?+?=,故, 2212a =-,即,。
正交矩阵的性质
习题课 正交矩阵的性质
三、正交矩阵的特征根
1 在不同的教材上曾出现下面的命题 ①正交变换的特征根为1或－1； ②正交矩阵的实特征根为1或－1； ③正交矩阵的特征根的模等于1。
（5）
习题课 正交矩阵的性质
4 正交矩阵 A Rnn的三类特征根 ① n为偶数时， t 与 s 的奇偶性相同 ② n为奇数时，t 与s 的奇偶性相反，且至少有1个 特征根为1或－1。
习题课 正交矩阵的性质
5 n 维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况
注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根
习题课 正交矩阵的性质
3 正交矩阵的判定
1
A
(aij
)
(1, 2 ,,n)Fra bibliotek 2 n
Rnn
① A为正交矩阵 A' A1
②
A为正交矩阵
i ' j
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
③ A为正交矩阵
i
j
'
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
习题课 正交矩阵的性质
习题课 正交矩阵的性质
3 A为n维欧氏空间Vn (R)的线性变换， 1, 2 , , n 是一组
标准正交基，若 A(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A ， A Rnn
则
A是正交变换 A为正交矩阵
习题课 正交矩阵的性质
4 n维欧氏空间 Vn (R) 的正交变换的分类 ① A为第一类的(旋转)，若 A 1； ② A为第二类的，若 A 1。
正交矩阵概念
正交矩阵概念正交矩阵概念正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
本文将从定义、性质、构造和应用四个方面详细介绍正交矩阵的概念。
一、定义1.1 矩阵的定义在线性代数中，矩阵是由一组数排成若干行若干列的表格形式表示的数学对象。
一个$m\times n$的矩阵$A$可以写成如下形式：$$A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：(1) 所有列向量互相垂直；(2) 所有列向量模长为1。
即对于一个$n\times n$的矩阵$Q$，满足以下条件：$$Q^TQ=QQ^T=I_n$$其中$I_n$表示$n$阶单位矩阵。
二、性质2.1 正交矩阵的性质正交矩阵具有以下性质：(1) 正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且互相垂直；(2) 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵；(3) 正交矩阵的行列式为$\pm 1$，即$\det(Q)=\pm 1$；(4) 正交矩阵保持向量长度和角度不变，即对于任意向量$x$，有$\|Qx\|=\|x\|$且$\angle(Qx,Qy)=\angle(x,y)$。
2.2 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵如果$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，则它们的乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
证明：由于$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，所以有：$$Q^T=Q_2^TQ_1^T=(QQ)^T=I_n$$因此，乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
正交矩阵的性质
③正交矩阵 A R nn 的特征根
i) 分类
实特征根为1或－1
非实特征根为成对共轭 与 出现， 且 1
2
ii) 可设 正特征根
1 2 t 1
1 2 s 1
（4）
负特征根
非实特征根 1 ,1 ,2 ,2 ,,k ,k 且 i i i
相同。
③ 若A有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。
习题课 正交矩阵的性质
6
问题 ① 证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个 特征值。 ② 证明第二类正交变换一定以－1作为它的一个特征值。
③ 设A是3 3正交阵且 A 1
证明A的特征多项式为
f ( ) 3 t2 t 1 ，
这里 1 t 3
习题课 正交矩阵的性质
① 与 ② 进一步的结论？
③ 考虑A的所有特征值的可能性
i) ii) iii)
(1,1,1) (1,1,1)
(1, , ) ， 1 ，
2
习题课 正交矩阵的性质
nn
矩阵 A R
满足
(1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A
则 1 , 2 ,, n 为标准正交基 A为正交矩阵
习题课 正交矩阵的性质
3
A为n维欧氏空间 Vn (R)的线性变换， 1 , 2 ,, n 是一组 标准正交基，若 A(1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A ， A R nn 则
nn A ( 1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) A ， R 标准正交基，且 A
有关正交矩阵性质的探讨
在探讨性质之前，先得了解正交矩阵的出处，正交矩阵来自于正交变换的定义：设A 是欧几里得空间的线性变换，如果A保持内积，也就是说，对任意的，有A A ＝。
正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，则变换前后的图形全等。
●定义一：正交变换关于规范正交基的矩阵称为正交矩阵。
根据规范正交基的性质，我们可证得：矩阵是正交变换A关于规范正交基得矩阵得充分必要条件是。
由此可得：●定义二：满足的方阵为正交矩阵。
现在探讨正交矩阵的性质：一、正交矩阵与矩阵运算的关系：设，即有。
1)正交矩阵的和：令则，不是正交矩阵。
2)正交矩阵的积：∴为正交矩阵。
3)正交矩阵的逆和转置：由,故均为正交矩阵。
4)正交矩阵的伴随:，，∴为正交矩阵。
二、正交矩阵的特征：行列式：由。
其中行列式等于的称为第一类正交变换，行列式等于的称为第二类正交变换。
正交变换的特征值：欧几里得空间里正交变换的特征值为，证明如下：设A( )＝，则(A( ),A( ))且奇数维欧几里得空间的第一类正交变换，必以为特征值，偶数维欧几里得空间的第二类正交变换，必以为特征值。
正交矩阵显然是可逆的。
三、正交矩阵与特殊矩阵的关系：特征值全是实数的的正交矩阵必是对称矩阵。
证明如下：设是阶正交矩阵，且其特征值都是实数。
那么就可以看作是某个欧几里得空间上的正交变换A关于某个规范正交基的矩阵。
设是的任一特征值，是相应的特征向量。
令。
则是A的不变子空间：任取，则。
所以A＝( A＝(A A)＝( )=0。
因A是正交变换，所以特征值是非零实数，从而A＝0，即是A不变的。
A 仍是正交变换，且A 的特征值就是A的特征值，因此其特征值也都是实数。
对A 重复上述步骤的话，就能得到A的个实特征值以及相对应的个两两正交的特征向量。
将单位化即得得一个新的规范正交基。
而A在这一基下的矩阵实对角阵。
设是从旧的规范正交基到新的规范正交基的过渡矩阵，则。
由于也是正交矩阵，所以是对称矩阵。
任意阶实可逆方阵均可分解为，其中是正交矩阵，是下三角矩阵。
实正交矩阵的性质及判定
科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界1正交矩阵的性质定义1如果n 阶矩阵A 满足A T A =E (即A -1=A T ),那么称A 为正交矩阵,简称正交阵。
规定:本文中的正交阵都是实矩阵。
性质1方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量(行向量)都是单位向量,且两两正交。
性质2若A 为正交矩阵,则|λ|=±1。
性质3若A 为正交矩阵,则A -1为正交矩阵。
性质4若A 为正交矩阵,则它的伴随矩阵A *为正交矩阵。
证明:∵A *=|A |A -1,又∴|A |=±1,当|A |=1时,∵A *=A -1,∴A *为正交矩阵;当|A |=-1时,A *=-A -1,(A *)T A *=(-A -1)T (-A -1)=(A -1)T A -1=E ,∴A *为正交矩阵。
性质5若A ,B 都为正交矩阵,则AB 为正交矩阵。
性质6若A 为n 阶正交矩阵,则A 的特征值的模为1。
证明:设x 为n 维非零复向量,λ为复数,且Ax=λx ,(1)对(1)式两端取共轭转置(AX )T =(Ax )T =(x )T (A )T =(x )T A T =(λx )T =(λ)T x T ,又因为A T A =E ,x T x >0所以(x )T A T Ax =(λ)T x T λx ,x T x =(λ)T λx T x ,即x T x =|λ|2x T x ,所以|λ|2=1。
2正交矩阵的判定例1判断矩阵A =2/32/31/32/3-1/3-2/31/3-2/32/3⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟是否为正交矩阵。
解:设A=(a 1,a 2,a 3),||a 1||=(2/3)2+(2/3)2+(1/3)2√=1,||a 2||=(2/3)2+(-1/3)2+(-2/3)2√=1,||a 3||=(1/3)2+(-2/3)2+(2/3)2√=1,所以a 1,a 2,a 3都为单位向量,且[a 1,a 2]=(2/3)(2/3)+(2/3)(-1/3)+(1/3)(-2/3)=0,同理可证[a 1,a 3]=0,[a 2,a 3]=0,所以a 1,a 2,a 3两两正交,所以A 为正交矩阵。
正交矩阵的4种判定方法
正交矩阵的4种判定方法正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它有许多重要的性质和应用。
正交矩阵的定义是满足AA^T=A^TA=I的矩阵A，其中I是单位矩阵。
本文将介绍正交矩阵的4种判定方法，每种方法将分别介绍其原理和具体算法。
1. 矩阵的列向量组构成标准正交基这是判定正交矩阵最基本的方法之一。
对于一个n\times n的矩阵A，如果它的列向量组\{\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,\vec{a_n}\}构成一个标准正交基，即向量组中的每个向量\vec{a_i}都满足\|\vec{a_i}\|=1并且相互垂直，那么矩阵A就是正交矩阵。
该方法的证明可以根据正交矩阵的定义和向量组构成标准正交基的定义，显然得证。
算法步骤：1. 计算矩阵A的列向量组\{\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,\vec{a_n}\}。
2. 判断向量组中的每个向量\vec{a_i}是否满足\|\vec{a_i}\|=1且相互垂直。
3. 如果向量组中的每个向量都满足条件，则矩阵A是正交矩阵。
2. 矩阵的行向量组构成标准正交基这个方法与上面的方法类似，只是判断的是矩阵的行向量组。
证明同样可以通过正交矩阵的定义和构成标准正交基的定义来完成。
算法步骤：1. 计算矩阵A的行向量组\{\vec{r_1},\vec{r_2},\cdots,\vec{r_n}\}。
2. 判断向量组中的每个向量\vec{r_i}是否满足\|\vec{r_i}\|=1且相互垂直。
3. 如果向量组中的每个向量都满足条件，则矩阵A是正交矩阵。
3. 矩阵的行列式值为1或-1这是另一个判定正交矩阵的方法。
对于一个n\times n的矩阵A，如果它的行列式值满足det(A)=\pm1，那么矩阵A就是正交矩阵。
证明可以通过正交矩阵的行列式定义来完成。
由于正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵，因此可以得到A^{-1}=A^T，再由行列式的性质可得det(A)^2=det(AA^T)=det(A^TA)=det(I)=1，因此det(A)=\pm1。
证明正交矩阵特征值 -回复
证明正交矩阵特征值-回复题目：证明正交矩阵的特征值唯一为1或-1引言：在线性代数中，正交矩阵是一种特殊的方阵，其列向量构成的集合是一组单位正交基。
正交矩阵具有许多重要的性质，其中之一就是其特征值的唯一性。
本文将通过数学推导，并结合直观解释，一步一步地证明正交矩阵的特征值唯一为1或-1。
一、正交矩阵的定义与性质1. 正交矩阵是一个方阵，它的转置矩阵等于其逆矩阵，即A^T ·A =A ·A^T = I。
2. 正交矩阵的每一列向量构成的集合都是单位向量，且两两正交。
二、正交矩阵的特征值与特征向量对于任意的n阶正交矩阵A，存在标量λ和非零向量x，使得Ax = λx。
这里的λ就是A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
三、证明正交矩阵的特征值只能为1或-1为了证明正交矩阵的特征值只能为1或-1，我们可从以下两个方面着手。
1. 正交矩阵的特征值范围设A是一个n阶正交矩阵，A的特征值为λ。
则根据特征值的定义，有Ax = λx，其中x是对应于λ的特征向量。
由于A是正交矩阵，它的每一列向量都是单位向量，因此对任意的向量x，有x = Ax 。
则对于特征向量x，有：x = Ax = λx上式两边同时除以x ，得到：1 = λ这说明特征值λ的绝对值必须为1。
2. 正交矩阵的特征值的实际情况设A是一个n阶正交矩阵，A的特征值为λ。
由于特征值的绝对值必须为1，我们只需要证明λ只能取1或-1即可。
考虑特征值方程Ax = λx，对两边同时进行转置运算，并利用正交矩阵的性质A^T·A = I，得到：(Ax)^T ·(Ax) = (λx)^T ·(λx)x^T ·A^T ·A ·x = x^T ·λ^T ·λ·xx^T ·I ·x = x^T ·λ^T ·λ·xx^T ·x = x^T ·λ^2 ·xx ^2 = λ^2 ·x ^2由于x是非零向量，其中x ^2 不为0，所以消去这一项，得到：1 = λ^2综上所述，我们得到一个关键结果：对于特征值λ，它的平方等于1。
同济大学线性代数第六版正交向量与正交矩阵的性质
同济大学线性代数第六版正交向量与正交矩阵的性质正交向量和正交矩阵是线性代数中非常重要的概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
在同济大学线性代数教材的第六版中，正交向量和正交矩阵的性质被详细地介绍和讲解。
本文将围绕这一主题展开，探讨正交向量和正交矩阵的性质及其应用。
一、正交向量的性质正交向量是指两个向量的内积为零，也就是说它们的夹角为九十度。
同济大学线性代数第六版中详细介绍了正交向量的性质。
首先，正交向量的数量不会超过向量空间的维数。
这一性质被称为正交向量的基本定理，它对于解决线性方程组和矩阵的特征值问题非常重要。
其次，同济大学线性代数第六版还介绍了正交向量组和正交补空间的概念。
正交向量组是指一组两两正交的向量，它们张成的子空间被称为正交子空间。
而正交补空间是指与一个向量空间正交的向量构成的子空间。
正交补空间的概念在矩阵和线性方程组的求解中经常出现，可以帮助我们简化问题，降低计算难度。
二、正交矩阵的性质正交矩阵是指方阵的转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵。
同济大学线性代数第六版中详细介绍了正交矩阵的性质及其应用。
首先，正交矩阵的行向量组和列向量组都是正交向量组。
这一性质使得正交矩阵具有很好的几何意义，可以用来描述旋转和镜像。
其次，同济大学线性代数第六版介绍了正交矩阵的特殊形式——正交对角矩阵。
正交对角矩阵的对角线上的元素都是1或-1，其余元素都是0。
正交对角矩阵具有简单的性质和运算规则，在计算中比较方便。
另外，同济大学线性代数第六版还介绍了正交复合矩阵的概念。
正交复合矩阵是由多个正交矩阵相乘得到的，具有一些特殊的性质。
例如，正交复合矩阵的转置等于其逆矩阵，因此可以保证矩阵乘法的可逆性。
三、正交向量和正交矩阵的应用正交向量和正交矩阵在各个领域中都有着广泛的应用。
首先，在几何学中，正交向量可以用来描述平面和空间中的垂直关系，例如描述直线的法向量，计算投影和距离等。
其次，在物理学中，正交向量和正交矩阵经常用于描述旋转、镜像和坐标变换等问题。
正交矩阵及其性质
ann
按列分块为[a1,a2,...,an],
精选ppt
2 20221/5/4
于是
ATAa a12T Ta1,a2,
anT
,an a a12T Ta a1 1
a1Ta2 a2Ta2
anTa1 anTa2
a a12T Ta an n
anTan
因此ATA=I的充分必要条件是
aiTai (ai,ai)1, i1,2,,n;
称为正交变换。
定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。
精选ppt
7 20721/5/4
也就是说，若列向量X,YRn在n阶 正交矩阵A作用下变换为AX, AYRn, 则
向量的内积与长度及向量间的夹角都保 持不变, 即
(AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|, {AX,AY}={X,Y}.
0
1 (y - z) 0
2
x2 y2 z2 1
x 4 yz 1
18
18
a(- 4 , 1 , 1 )T
18 18 18
精选ppt
6 20621/5/4
定义 若A为正交矩阵，则线性变换 YAX
y1
a11x1
ym am1x1
a1n xn amn xn
n
或 yi a ij x j i 1, ,m. j 1
精选ppt
8 20821/5/4
Байду номын сангаас
4.3 正交矩阵及其性质
精选ppt
1 20121/5/4
定义6 设A为n阶方阵, 如果A A=I或
AAT=I, 就
称A为正交矩阵.(A-1=AT )
定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条
正交矩阵及其判定
正交矩阵及其判定()1, .TTn A A AE A A A-==若阶方阵满足即则称为正交矩阵定义方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列(行)向量都是单位向量，且两两正交．即 A 的列(行)向量组构成R n 的规范正交基．定理⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇔nnnn n n nnn n n n a a a a a a a a a a a aa a a a a a212221212111212222111211E A A T=E=证明:()ET nT Tn =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔αααααα,,,2121 211122112212000010110T T n T T T T nn T nT T nn αααααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L M M M M M M M LL()n j i ji j i ijT ji ,,2,1,,0;,1 =⎩⎨⎧≠===⇔当当δαα.212100021212121212121212121是正交矩阵验证矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=P 123412-1212-1212-12-1212,,,0012120000e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析:结果:.,, 是正交矩阵所以且两两正交向量的每个列向量都是单位P P 例||||()()||||TTT TTy y y P x P x x P P x x x x =====若 P 是正交阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换．1().i A n A ⇒=±若为阶正交矩阵()ii A n 若为阶正交矩阵1TA A -⇒与也是正交矩阵(),iii A B n 若为阶正交矩阵性质.AB BA ⇒与也是正交矩阵定义正交变换保持向量的长度不变（从而三角形的形状保持不变)性质.A ⇔的列（行）向量组为单位正交向量组)(0],[,1],[j i j i i i ≠==⇔αααα)()(ij j T i δαα=⇔阶正交阵为n A ⎩⎨⎧≠==ji j i ij,0,1δ1-=⇔=⇔A A E A A T T 小 结.。
实正定矩阵的判定及其重要结论
摘要:本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.关键词:实对称正定矩阵;等价定理;充分条件Decision of Real Positive Definite Matrixand Its Important ConclusionAbstract:This paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ，give some of the equivalence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix .Keywords:real symmetry positive definite matrix, equivalence theorem , sufficient condition禄 鹏（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水，741000）摘 要: 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识，给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明，并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.关键词: 实对称正定矩阵; 等价定理; 充分条件1 引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论[]2,1，现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵，其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛[]4,3，因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知，但缺少系统的总结，本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论，从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具.2 实正定矩阵的等价定理定义1[]5 实二次型()n x x x f ,,,21 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有()n c c c f ,,,21 0>.定义2[]5 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型AX X T 正定.引理1[]5 n 元实二次型()n x x x f ,,,21 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .引理2[]5 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.引理3[]6 设A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T 使得()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-， ()1 其中n λλλ,,,21 为A 的特征值. 引理4[]7 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵Q 和上三角矩阵R 的乘积,其中R 的主对角元均为正.定理1 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的n 维非零列向量X ,即10⨯∈≠n R X ，使0>AX X T .证明 由定义1和定义2可证.定理2 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切顺序主子式大于0.证明[]5 必要性, 因为A 是实对称正定矩阵，由定义2知，存在二次型 ()n x x x f ,,,21 ∑∑===ni nj j i ij x x a 11是正定的.对于每个k ,,1n k ≤≤令()k k x x f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij x x a 11.我们来证明k f 是一个k 元的正定二次型. 对于任意一组不全为零的实数,,,1k c c 有()k k c c f ,,1 ∑∑===ki kj j i ij c c a 11=()0,,0,,,1 k c c f .0>因此()k k x x f ,,1 是正定的. 由正定矩阵的行列式大于零可知，k f 的行列式,01111>kk k ka a a an k ,,1 =. 这就证明了矩阵A 的一切顺序主子式大于0.充分性, 对n 作数学归纳法. 当1=n 时, ().21111x a x f = 由条件011>a ，显然有()1x f 是正定的.假设充分性的论断对于1-n 元二次型成立,现在来证明n 元的情形.令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ,=α⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-n n n a a ,11 ,于是矩阵A 可以分块写成A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn T a A αα1. 既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零. 由归纳法假定, 1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 阶矩阵G 使 11-=n T E G A G ,这里1-n E 代表1-n 阶单位矩阵. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001G C , 于是 =11AC C T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡100T G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn T a A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡100G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-nn T T n a G G E αα1. 再令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1012αT n G E C , 有 2112C AC C C T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101G E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn T T n a G G E αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--101αT n G E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-ααT T nn n GG a E 001. 令 21C C C =, ,ααT T nn GG a a -=就有 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a AC C T 11 . 两边取行列式, a A C =2. 由条件,0>A ,因此0>a . 显然⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 11 . 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，所以A 是正定矩阵.定理3 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵.证明 由定理2可证.定理4 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的特征值全大于0.证明 必要性,A 为正定矩阵,若A 的全部特征值为n λλλ,,,21 不全大于0,不妨设01≤λ.由引理3存在正交矩阵T 使得()1式成立.令 (),,,,21n T ααα = 则i i i A αλα=()n i ,,2,1 =，即i α为A 的属于特征值i λ的特征向量. 特别的，取单位特征向量01≠β，即111βλβ=A .于是有 11111βλβββT T A =01≤=λ，这与A 为正定矩阵相矛盾，故A 的全部特征值为n λλλ,,,21 都大于0.充分性: 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ，由引理3知存在正交矩阵T ，使得 ()n T diag AT T AT T λλλ,,,211 ==-. 从而有 ()T n T Tdiag A λλλ,,,21 =.任取0≠X ，则AX X T ()X T Tdiag X T n T λλλ,,,21 =()Y diag Y n T λλλ,,,21 =，其中 T X Y T T =()0,,,21≠n y y y ，于是AX X T 02222211>+++=n n y y y λλλ ，即A 为正定矩阵.定理5 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 合同与E .证明 必要性, 由引理1和引理2知正定二次型()n x x x f ,,,21 可经过一适当的非退化线性替换TY X =化为规范形 22221ny y y +++ .其对应的矩阵为单位矩阵E . 即()()TY A TY T EY Y T =⇒()EY Y Y AT T Y T T T =，故A 合同与E .充分性, 由于A 合同与E ，即存在可逆矩阵C 使得C C EC C A T T ==.任取0≠X ，令()Tn y y y Y CX ,,,21 ==，则0≠Y ，于是Y Y CX C X AX X T T T T ===22221ny y y +++ 0>. 故A 是正定矩阵. 定理6 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切主子式都大于0. 证明 必要性，A 正定,令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.设矩阵A 与k A 的二次型分别为AY Y T 和X A X k T . 对任意(),0,,10≠=Ti i mb b X 存在(),0,,10≠=Tn c c Y 其中⎩⎨⎧==.;,,,0,1other i i k b c k k k 由A 正定,00AY Y T ,0>得00X A X k T是正定的, 故存在实可逆矩阵k T , 使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k T k T A T λλ 1， 其中(),,,10k i i =>λ 从而k k k k T k T A T A T λλ 12==0>. 又 02>k T ,故 0>k A ()n k ,,2,1 =.充分性, 实对称矩阵A 的一切主子式都大于0, 所以A 的一切顺序主子式都大于0. 由定理2可证A 为正定矩阵.定理7 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的一切主子矩阵都是正定矩阵.证明 必要性,A 正定,令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111, 其中 k A 为A 的主子矩阵, n i i k ≤<<≤ 11()n k ,,2,1 =.显然 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =也是实对称矩阵.又因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111的k 个顺序主子式均为A 的k 个主子式,由定理6知k 个主子式都大于零, 从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k i i i i i i i i k a a a a A 1111()n k ,,2,1 =为正定矩阵.充分性, 实对称矩阵A 的一切主子矩阵都是正定矩阵, 则矩阵A 的一切主子式都大于零, 由定理6即证A 是正定矩阵.定理8 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 半正定且0≠A .证明 必要性, 因为A 正定，则显然A 一定半正定，且0≠A .充分性, 设A 的特征值为n λλλ,,,21 ,由A 半正定可知，i λ(),,,2,10n i =≥又021≠⋅⋅⋅=n A λλλ ，故(),,,2,10n i i =>λ 由定理4可知A 正定.定理9 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的实列满秩矩阵m n C ⨯, 都有AC C T 为正定矩阵.证明 必要性, 首先()TT ACC AC C T =,对任意的1⨯∈m R X ,0≠X ,由秩C n =, 知,0≠CX 而A 为正定矩阵, 故()()(),0>=CX A CX X AC C X TT T即 AC C T 为正定矩阵.充分性, AC C T 正定, 则对任意的1⨯∈m R X ,0≠X , 由秩C n =, 知,0≠CX 并且 ()()CX A CX T=()0>X AC C X T T , 即A 为正定矩阵.定理10 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是对于任意的实可逆矩阵T , 都有AT T T 为正定矩阵.证明 必要性,首先()TT ATT AT T T =, 对任意的1⨯∈n R X ,0≠X ,由秩T n =, 知,0≠TX 而A 为正定矩阵, 故()()(),0>=TX A TX X AT T X TT T即 AT T T 为正定矩阵.充分性,AT T T 正定, 则对任意的1⨯∈n R X , 0≠X , 由秩T n =,知,0≠TX 并且 ()()TX A TX T=()0>X AT T X T T , 即A 为正定矩阵.定理11 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在正定矩阵B ,使2B A =. 证明 必要性, 设A 的全部特征值为n λλλ,,,21 全大于0，由引理3得 ()121,,,-=T Tdiag A n λλλ=()],,,[121-T Tdiag n λλλ ()],,,[121-T Tdiag n λλλ =2B ，其中 =B ()],,,[121-TTdiag nλλλ .因为B 为实对称矩阵，且特征值0>i λ(),,,2,1n i = 所以B 为正定矩阵.充分性, 由于B 为正定矩阵, 使2B A =，则B 为实对称可逆矩阵，且有 2B A =B B T =EB B T =，即A 合同与E .再由定理5得A 为正定矩阵.定理12 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =.证明 必要性,A 是实对称正定矩阵，则存在实可逆矩阵P 使得 EP P A T =P P T =, 其中E 为n 阶单位矩阵.充分性, 因为存在实可逆矩阵P , 使得P P A T =,并且P P A T =EP P T =, 其中E 为n 阶单位矩阵. 即实对称矩阵A 合同与E ，所以A 为正定矩阵.定理13 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在实列满秩矩阵n m Q ⨯, 使Q Q A T =.证明 必要性, 因为A 为正定矩阵, 则存在n 阶实可逆矩阵P , 使得 P P A T =()()n m n T nn P -⨯⨯=0()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n P 0. 令 =Q ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯n n m n n P 0, 则 Q Q A T=, 其中Q 为n m ⨯列满秩矩阵.充分性,n m Q ⨯为实列满秩矩阵,则Q Q T 为n 阶可逆矩阵,故对任意的1⨯∈n R X ,0≠X , 由秩Q m =, 知,0≠QX 并且=AX X T QX Q X T T ()()QX QX T=,0>即A 为正定矩阵.定理14 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ，使得R R A T =.证明 必要性, 因为A 是实对称正定矩阵,则存在实可逆矩阵P ,使得P P A T =. 又由引理4知,存在矩阵Q 和P 使得 QR P =, 其中Q 为n 阶正交矩阵,R 为n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵, 从而P P A T =QR Q R T T =R R T =.充分性, 因为存在n 阶主对角元素都大于零的上三角矩阵R ，使得R R A T =. 则显然矩阵R 可逆, 由定理12即可证A 是正定矩阵.定理15 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在n 阶主对角元素都大于零的下三角矩阵U ,U U A T =.证明 类似于定理14.定理16 实对称矩阵=A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T为正定矩阵的充要条件是1A 和21123A A A A T --为正定矩阵.证明 当1A 可逆时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A ET 1120⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221A A A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E A A E0211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21123100A A A A A T ()2 必要性, 若A 正定，那么1A 也正定，11-A 存在. 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-E A A E T 0211，则T 可逆，所以AT T T 也正定.从而⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112310A A A A AT 为正定矩阵，因此它的主子矩阵1A 和21123A A A A T --为正定矩阵.充分性, 由1A 和21123A A A A T--为正定矩阵.且两个正定矩阵的和也是正定矩阵知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112310A A A A AT 为正定矩阵. 再由()2式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221A A A A A T=()TT 1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112300A A A A A T 1-T ，即A 为正定矩阵.定理17 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是A 的正惯性指数等于A 的维数n .证明 由引理1和定义2显然可证.定理18 实对称矩阵n n R A ⨯∈为正定矩阵的充要条件是存在正交向量组,,,,21n ααα 使.2211Tn n T T A αααααα+++=证明必要性,A 是正定矩阵,则由引理3可知,存在正定矩阵,U 使 ()U diag U A n T λλλ,,,21 =,()Tn U βββ,,,21 =,令 i i i βλα=()n i ,,2,1 =，为正交向量组, 即得.2211Tn n T T A αααααα+++=充分性,T n n T T A αααααα+++= 2211=[]T n TT ααα 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n ααα 21 U U T = （U 为正交矩阵）, 显然A 是正定矩阵.3 实正定矩阵的重要结论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外, 还有一些很重要的结论,下面给出详细内容及其证明. ()1 若A 是n 阶实对称正定矩阵, 则0>A .证明 设A 是一正定矩阵,因为A 与单位矩阵合同,所以有实可逆矩阵C 使 C C EC C A T T ==. 两边取行列式, 就有02>==C C C A T.()2 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则1-A 也是实对称正定矩阵. 证明 因为A 是实对称正定矩阵, 则0>A , 所以A 可逆. 又因为 ()(),111---==A A A T T所以1-A 也是实对称矩阵.设A 定特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ, 但1-A 的全部特征值为01>iλ()n i ,,2,1 =, 即1-A 为正定矩阵.()3 若A 是n 阶实对称正定矩阵, 则*A 也是正定矩阵（其中*A 表示A 的伴随矩阵）.证明 已知*A =,1n n R A A ⨯-∈ 且()(),***==A A A T T又A 是正定矩阵, 所以0>A .设A 的特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ,于是*A 的n 个特征值为11211,,,---n A A A λλλ 也都大于零, 即*A 也是正定矩阵.()4 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则k A （k 是正整数）也是正定矩阵.证明 设A 的全部特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ,则k A 对全部特征值为,,,,21knk k λλλ 也都大于零, 即k A 也是正定矩阵. ()5 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则必有nn a a a ,,,2211 都大于零,即主对角线上的元素都大于零.证明 根据定义1和定义2可知，对任意的1⨯∈n R X ,且0≠X 有0>AX X T ,故依次令,100,,001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= X可得,011>a ,022>a , ,0>nn a 即证主对角线上的元素都大于零.()6 若A 是n 阶实对称正定矩阵,则存在实数,a 使得A aE -是正定矩阵. 证明 设A 的全部特征值为,,,,21n λλλ 则由A 正定有 ()n i i ,,2,10 =>λ, 则A aE -的特征值为 .,,1n a a λλ--令 {}1,,2,1,max +==n i a i λ, 则有()n i a i ,,2,10 =>-λ从而A aE -是正定矩阵, 即证存在实数a 使得A aE -是正定矩阵.()7 若A 是n 阶实对称矩阵,E 为n 阶单位矩阵, 证明:存在正数ε,是得A E ε+为正定矩阵.证明 可证A E ε+为实对称矩阵, 且存在正交矩阵T ,使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T AT T λλ 1, 其中n λλλ,,,21 为A 的全部特征值,令 {}n λλλλ,,,max 210 =.不妨设0λ0>（因为,若0λ0=,则01===n λλ ,0=A ,结论已证）. 再令 110+=λε, 那么110<+λλi ()n i ,,2,1 =.所以 ()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=-110011λλλλεn T A T⇒()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=+-11110011λλλλεn T A E T ，其中0110>++λλi ()n i ,,2,1 =, 故A E ε+为正定矩阵.()8 若B A ,都是n 阶实对称矩阵,A 是正定矩阵, 证明: 存在实可逆矩阵T , 使得AT T T 与BT T T 同时为对角形.证明 由于A 是正定矩阵,则A 合同与单位矩阵E ,即存在实可逆矩阵,P 使得 E AP P T =.而且BP P T 仍为实对称矩阵, 从而存在正交矩阵,Q 使得(),1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T T Q BP P Q λλ 其中n λλλ,,,21 是BP P T 对特征值.令 PQ T =,则AT T T ()()()E Q AP P Q PQ A PQ T T T===,=BT T T ()()()===Q BP P Q PQ B PQ T T T ,1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλ其中E 为n 阶单位矩阵.()9 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵,证明 .B A B A +>+证明 由于A 是正定矩阵,则A 合同与单位矩阵E ,即存在实可逆矩阵,P 使得 E AP P T =.而且BP P T 仍为实对称正定矩阵, 从而存在正交矩阵,Q 使得(),1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n T T Q BP P Q λλ 其中n λλλ,,,21 都大于零是BP P T 对特征值.令 PQ T =, 则 AT T T ()()()E Q AP P Q PQ A PQ T T T===,其中E 为n 阶单位矩阵,=BT T T ()()()===Q BP P Q PQ B PQ T T T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλ 1, ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=+n T T B A T λλ111 , 有 ()()()n T B A λλλ+++=+111212.又知 12=P A ,n P B λλ 12=. 而PQ T =,其中Q 为正交矩阵, 则1±=Q , 且2222P Q P T ==.所以 ()()()n P B A λλλ+++=+111212n λλλ 211+≥,而 []n P B A λλλ 2121+=+, 即证 B A B A +>+.()10 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵,则B A +也正定.证明 B A ,都是n 阶实对称正定矩阵, 则()B A B A T +=+, 且对任意的1⨯∈n R X ,0≠X 有()0>+=+BX X AX X X B A X T T T , 所以B A +也正定.()11 若A 是n 阶实对称正定矩阵,证明:nn a a a A 2211≤, 其中()n i a ii ,,2,1 =为A 的主对角元素.证明 设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=nn Ta A A αα1, 其中1A 为A 的1-n 阶顺序主子阵, ()n n n n T a a a ,121,,,-= α因为A 正定, 所以1A 正定,11-A 存在,于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10111A E T n α⎥⎦⎤⎢⎣⎡nn Ta A αα1⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1111αA E n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-αα11100A a A T nn ,两边取行列式得()αα111--=A a A A T nn .因为1A 正定, 所以11-A 正定,011≥-ααA T ,01>A , 则由上式可得 nn a A A 1≤.同理1,121--≤n n a A A , 其中2A 为A 的2-n 阶顺序主子阵, 这样继续下去,可得 nn a A A 1≤nn n n a a A 1,12--≤≤≤ nn a a a 2211.()12 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵,证明:AB 的特征值均大于零.证明 由于A 是正定矩阵, 则A 合同与单位矩阵E , 即存在实可逆矩阵,P 使得 E PAP T =.()()()11111-----==P B P BP P PAP PABP TTT .因为B 为正定矩阵, ()()11--P B P T也正定, 从而它的特征值全大于零. 再由上式可知AB 与()()11--P B P T相似, 所以它们有相同的特征值, 因此AB 的特征值均大于零.()13 若B A ,都是n 阶实对称正定矩阵, 且BA AB =, 证明AB 为正定矩阵. 证明 见参考文献[]7第273271-页.参考文献[1] Pullman NP. Matrix Theory and its Applications[M]，Academic Press,1976. [2] COM PA. Principles and Practice of Mathematics[M]，SpringerVerlag,Berlin Heidelberg,1998.[3] Johnson CR. Positive definite matrices[J]，AmerMathMothly ,1970.[4] 胡跃进. 广义正定矩阵的一个不等式[J]，阜阳师范学院学报（自然科学版），2001. [5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数（第三版）[M]，北京:高等教 育出版社，2003.[6] 张禾瑞,郝镔新. 高等代数（第三版）[M]，北京:高等教育出版社，1983. [7] 钱吉林. 高等代数解题精粹（修订版）[M]，北京:中央民族大学出版社,2002.。
矩阵正交变换后特征值
矩阵正交变换后特征值矩阵正交变换是线性代数中重要的概念之一，它在许多领域中都有广泛的应用。
在矩阵正交变换后，特征值起到了重要的作用。
本文将围绕着特征值展开，介绍矩阵正交变换的定义、性质以及特征值的意义和应用。
一、矩阵正交变换的定义和性质矩阵正交变换是指将一个矩阵通过一个正交矩阵进行变换的过程。
正交矩阵是指其转置等于其逆的矩阵。
具体来说，对于一个n维实数向量空间内的矩阵A，如果存在一个n×n的正交矩阵Q，使得QAQ^T是一个对角矩阵D，那么矩阵A经过矩阵Q的正交变换后，其特征值就会出现在对角矩阵D的对角线上。
矩阵正交变换具有以下几个性质：1. 正交变换不改变向量的模长，只改变其方向。
这是因为正交矩阵的列向量是标准正交基，它们的模长都是1，所以通过正交变换后，向量的模长不变。
2. 正交变换保持向量之间的内积。
这是因为正交矩阵的转置等于其逆，所以对于任意两个向量x和y，有x^TQ^TQy=x^Ty，即在正交变换后，向量之间的内积不变。
3. 正交变换保持向量的正交性。
如果两个向量在变换前是正交的，那么它们在变换后仍然是正交的。
这是因为正交矩阵的转置等于其逆，所以对于任意两个向量x和y，有(xQ)^T(Qy)=x^Ty=0，即在正交变换后，向量的正交性不变。
二、特征值的意义和应用特征值是矩阵正交变换后的重要指标，它揭示了矩阵变换对向量的影响程度。
特征值的绝对值表示了向量在对应特征向量方向上的伸缩比例，而特征值的正负号表示了向量在对应特征向量方向上的翻转情况。
特征值在许多领域中都有广泛的应用。
其中一个重要的应用是在物理学中的量子力学。
量子力学中的态矢量经过一个线性变换后，其特征值和特征向量给出了粒子的能量和相应的波函数。
这为解决量子力学中的问题提供了重要的工具。
另一个重要的应用是在图像处理中的特征提取。
图像可以表示为像素点的矩阵，通过对图像矩阵进行正交变换，可以提取出图像的特征值和特征向量。
这些特征值和特征向量可以用来描述图像的纹理、形状等特征，从而实现图像的分类、识别等任务。
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实正交矩阵的性质及判定
作者：司凤娟
来源：《科技视界》2013年第17期
【摘要】本文讨论了实正交矩阵的若干性质以及利用性质和定义判定矩阵的正交性。
【关键词】矩阵；正交矩阵；判定
1 正交矩阵的性质
定义1 如果n阶矩阵A满足ATA=E（即A-1=AT），那么称A为正交矩阵，简称正交阵。
规定：本文中的正交阵都是实矩阵。
性质1 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量（行向量）都是单位向量，且两两正交。
性质2 若A为正交矩阵，则|λ|=±1。
性质3 若A为正交矩阵，则A-1为正交矩阵。
性质4 若A为正交矩阵，则它的伴随矩阵A*为正交矩阵。
2 正交矩阵的判定
例3 如果A为实对称矩阵，且满足A2-4A+3E=0证明A-2E为正交矩阵。
【参考文献】
[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].5版.2007.
[责任编辑：王静]。