0-1第一节因式分解
因式分解法解一元二次方程的步骤
因式分解法解一元二次方程的步骤因式分解法是解一元二次方程的一种常用方法。
它的基本思路是将二次方程转化成两个一次方程相乘的形式，然后通过求解这两个一次方程得到方程的解。
下面我们来详细介绍因式分解法的步骤。
步骤1：确定一元二次方程的形式首先，我们要确定一元二次方程的形式，即确认方程为a*x^2 +b*x + c = 0，其中a、b和c是实数，且a ≠ 0。
确保方程满足这个条件后，我们才能使用因式分解法进行求解。
步骤2：计算二次项系数a将已知的一元二次方程写成标准形式，我们可以直接从方程中读取二次项系数a的值。
这一步很重要，因为我们后续的计算都会用到a 的值。
步骤3：计算常数项c同理，我们从方程中读取常数项c的值。
这一步同样很关键，因为我们在解方程时，需要用到常数项的值。
步骤4：根据二次项系数a和常数项c的符号确定因式的形式根据二次项系数a的符号，一元二次方程的因式形式分为两种情况：当a > 0时，我们可以使用“差平方”的形式进行因式分解；当a < 0时，我们可以使用“和平方”的形式进行因式分解。
步骤5：根据因式的形式进行因式分解对于“差平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x - n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ n。
将原方程的右侧展开并整理，得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后通过求解m和n的值，可以得到方程的解。
对于“和平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x + n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ -n。
也是通过展开右侧等式并整理得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后求解m和n的值，得到方程的解。
步骤6：求解方程通过步骤5的因式分解，我们得到了一元二次方程的两个一次因式，接下来，我们可以将每个因式设置为零，分别求解得到方程的解。
步骤7：检验解的有效性最后，我们还需要检验求得的解是否满足原方程。
将解代入原方程中，如果方程两侧相等，那么我们的解就是有效的，否则需要重新检查求解过程。
因式分解讲义(适合0基础的)
因式分解知识网络详解：因式分解的基本方法：1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。
2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：平方差公式()()22a b a b a b -=+-； 完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。
要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。
4、十字相乘法——))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 【课前回顾】1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）（A ）()b a b a 222-=-（B ）()()1112-+=-m m m（C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是()，（A ）－8a 2bc （B ）2a 2b 2c 3（C ）－4abc （D ）24a 3b 3c 33．下列因式分解中，正确的是（）（A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2（C ）()2222y x y xy x --=-+-（D ）()222y x y x +=+4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）（A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()．（A ）4x 2－1（B ）4x 2＋4x －1（C ）x 2－xy ＋y 2D ．x 2－x ＋6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（）（A ）3（B ）4（C ）12（D ）±12 经典例题讲解：提公因式法：提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律例：22x y xy -()()p x y q y x ---()()x a b y a b +-+变式练习：1．多项式6a 3b 2－3a 2b 2－21a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是()A.3a 2bB.3ab 2C.3a 3b 2D.3a 2b 22．如果()222332x y mx x n -+=--，那么（）A ．m=6，n=yB ．m=-6，n=yC ．m=6，n=-yD ．m=-6，n=-y3．()()222m a m a -+-，分解因式等于（）A ．()()22a m m --B ．()()21m a m --C ．()()21m a m -+D ．以上答案都不能4．下面各式中，分解因式正确的是()A.12xyz －9x 2.y 2=3xyz(4－3xy)B.3a 2y －3ay+6y=3y(a 2－a+2)C.－x 2+xy －xz=－x(x 2+y －z)D.a 2b+5ab －b=b(a 2+5a)5．若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是（）A ．7B ．10C ．70D ．176.因式分解1．6x 3－8x 2－4x2．x 2y(x －y)+2xy(y －x)3.()()x m ab m x a +-+4.()()()x x x --+-212运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=-完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+±立方和：)b ab a )(b a (b a 2233+-+=+立方差：)b ab a )(b a (b a 2233++-=- 例1.把下列各式分解因式：（1）x 2－4y 2（2）22331b a +- （3）22)2()2(y x y x +--(4)442-+-x x例2．（1）已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++的值 （2）已知0136422=+--+b a b a ，求b a +。
数学竞赛专题讲座---第一讲因式分解(一)
第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一：它被广泛地应用于初等数学之中：是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活：技巧性强：学习这些方法与技巧：不仅是掌握因式分解内容所必需的：而且对于培养学生的解题技能：发展学生的思维能力：都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上：对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中：我们学过若干个乘法公式：现将其反向使用：即为因式分解中常用的公式：例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)：(2)a2±2ab+b2=(a±b)2：(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)：(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2：(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)：(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数：(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)：其中n为偶数：(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)：其中n为奇数．运用公式法分解因式时：要根据多项式的特点：根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4：(2)x3-8y3-z3-6xyz：(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab：(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形：直接使用公式(5)：解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性：现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式：本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式：用它可以推出很多有用的结论：例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然：当a+b+c=0时：则a3+b3+c3=3abc：当a+b+c＞0时：则a3+b3+c3-3abc ≥0：即a3+b3+c3≥3abc：而且：当且仅当a=b=c时：等号成立．如果令x=a3≥0：y=b3≥0：z=c3≥0：则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项：从最高次项x15开始：x的次数顺次递减至0：由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)：所以说明在本题的分解过程中：用到先乘以(x-1)：再除以(x-1)的技巧：这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时：整理、化简常将几个同类项合并为一项：或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时：需要恢复那些被合并或相互抵消的项：即把多项式中的某一项拆成两项或多项：或者在多项式中添上两个仅符合相反的项：前者称为拆项：后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多：这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法：注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出：用拆项、添项的方法分解因式时：要拆哪些项：添什么项并无一定之规：主要的是要依靠对题目特点的观察：灵活变换：因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3：(2)(m2-1)(n2-1)+4mn：(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4：(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目：由于分解后的因式结构较复杂：所以不易想到添加+ab-ab：而且添加项后分成的三项组又无公因式：而是先将前两组分解：再与第三组结合：找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在：同学们需多做练习：积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体：并用一个新的字母替代这个整体来运算：从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开：是关于x的四次多项式：分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体：并用字母y来替代：于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y：则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体：比如今x2+x+1=u：一样可以得到同样的结果：有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式：然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2：则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y：则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知：用换元法分解因式时：不必将原式中的元都用新元代换：根据题目需要：引入必要的新元：原式中的变元和新变元可以一起变形：换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体：但并没有设立新元来代替它：即熟练使用换元法后：并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母：且当互换这两个字母的位置时：多项式保持不变：这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式：经常令u=x+y：v=xy：用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u：xy=v：则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2：(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4：(2)x4-11x2y2+y2：(3)x3+9x2+26x+24：(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1：(2)x4+7x3+14x2+7x+1：(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1：(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。
001因式分解
高一数学学案 序号 001 学生第1课 因式分解一、基本知识点回顾1、把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
例：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（） A 、2222)1(xy y x x xy -=- B 、)3)(3(92-+=-x x xC 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-D 、c b a x c bx ax ++=++)(2、我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
例：①y x x 225-的公因式为 ；②322236129xy y x y x -+的公因式为3、分解因式的平方差公式：分解因式的完全平方公式：注意：1、 因式分解的方法：提取公因式法；公式法2、 提取公因式法因式分解的思路：一看系数（数字）找它们的最大公约数，二看字母找它们相同字母的次数最低的，三看多余字母（多余字母不提）3、 公式法分解因式1）熟记平方差公式22b -a b -a b a =+））（（和完全平方公式()()222222b 2ab -a b -a b ab 2a b a +=++=+，2)方法指导：①直接套公式；②先提公因式，后用公式法；③先变换系数，再用公式法；④变换指数用公式；⑤重新排列用公式；⑥重新整理后再用公式；⑦连续用公式。
温馨提示：1、不论用什么样的方法进行因式分解，一定要分解到每个因式不能再分解为止。
4、分解因式不同于以往的计算，分解因式分解到最后一定是几个因式相乘。
例：（1）下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）A 、42+-mB 、22y x --C 、122-y xD 、()()22a m a m +-- （2）下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ）A 、2242b ab a +-B 、4142+-m mC 、269y y +-D 、222y xy x --4、形如 或 的式子称为完全平方式。
例：下列各式是完全平方式的是（） A 、412+-x x B 、21x +C 、1++xy xD 、122-+x x二、巩固练习（一）选择题：1、下列分解因式正确的是( )A 、)1(222--=--m n n n nm nB 、)32(322---=-+-a ab b b ab abC 、2)()()(y x y x y y x x -=---D 、2)1(22--=--a a a a2、下列各式中,能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A 、x 2－xy 2B 、－1+y 2C 、2y 2+2D 、x 3－y 3 3、下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A 、4x 2+1B 、4x 2－4x －1C 、x 2+xy +y 2D 、x 2－4x +44、若2249y kxy x +-是一个完全平方式，则k 的值为（ ）A 、6B 、±6C 、12D 、±125、若分解因式))(3(152n x x mx x ++=-+ 则m 的值为（ ）A 、－5B 、5C 、－2D 、2（二）填空题1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。
因式分解(一)
因式分解(一)撰稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳一、目标认知学习目标：1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；3．会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；4．经历综合利用提公因式法和公式法将多项式因式分解的过程，发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯。
知识结构重点难点：重点：因式分解的概念及各种方法的使用条件。
难点：因式分解方法的综合应用。
二、知识要点梳理知识点一：因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，如：，等。
要点诠释：（1）因式分解的实质就是把加减形式化成乘积形式；（2）因式分解的过程和整式乘法的过程正好相反，即因式分解和整式乘法是互逆的，可表示为：多项式几个因式的乘积；（3）分解要彻底：即要使分解后每个因式（在我们所学的范围内）都不能再进行因式分解（不含有因式了）．知识点二：公因式的概念1、公因式的定义：在多项式中各项都有的因式叫做这个多项式的公因式．如：多项式中每项都含有因式k，则k就是这个多项式的公因式．2、公因式的特点：a．公因式的系数是原多项式各项系数的最大公约数；b．公因式中的字母是各项中都含有字母；c．公因式字母的次数是相同字母的最低次．也即：知识点三：提公因式法分解因式把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提取公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即(ma＋mb＋mc)＝m(a＋b＋c)；（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式。
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号。
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误。
因式分解全部公式(一)
因式分解全部公式(一)因式分解全部公式一、一元二次方程的因式分解公式1. 公式一元二次方程的因式分解公式如下：ax^2 + bx + c = 02. 解释说明在解一元二次方程时，有时可以通过因式分解的方法来得到解的形式。
根据一元二次方程的因式分解公式，我们可以将方程化简为两个一次因式相乘的形式。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以使用因式分解的方法来求解。
通过观察可以发现，方程可简化为(x + 2)(x + 3) = 0。
由此可得出方程的解为x = -2或x = -3。
二、三角函数的因式分解公式1. 公式三角函数的因式分解公式如下：sin^2(x) + cos^2(x) = 12. 解释说明三角函数的因式分解公式是一个重要的恒等式。
根据该公式，三角函数的平方和等于1。
举例来说，对于一个正弦函数sin(x)，我们可以将其平方和sin^2(x)和余弦函数的平方和cos^2(x)相加，得到结果为1。
这表明在三角函数中，正弦和余弦函数是互补的，且两者的平方和始终为1。
三、多项式的因式分解公式1. 公式多项式的因式分解公式可以写为：a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + b^(n -1))2. 解释说明多项式的因式分解公式可以帮助我们将一个多项式分解成更简单的乘积形式。
举例来说，对于多项式x^2 - 4，根据因式分解公式，我们可以将其分解为(x - 2)(x + 2)。
通过这种方法，我们可以将复杂的多项式简化为多个一次因式的乘积。
四、总结这篇文章介绍了因式分解的一些常用公式，并通过例子解释了它们的应用。
通过因式分解，我们可以将复杂的表达式转化为更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
掌握这些公式对于数学和物理等领域的学习和应用都具有重要意义。
第一章因式分解
因式分解（1）目标：1、理解因式分解的概念和意义2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
一、看谁算得快：1、若a=101,b=99,则a 2-b 2=___________；2、若a=99,b=-1,则a 2-2ab+b 2=____________；3、若x=-3,则20x 2+60x=____________。
观察以上结果，请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。
a 2-b 2=(a+b)(a-b) ， a 2-2ab+b 2 = (a-b)2 ， 20x 2+60x=20x(x+3)， 找出它们的特点。
(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 因式分解： 也叫分解因式。
(a+b)(a-b)= a 2-b 2 , (a-b)2= a 2-2ab+b 2， 20x(x+3)= 20x 2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？二、、因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：a 2-b 2=========（a+b ）（a-b ）整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。
三、轻松练习1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什(1)x 2-3x+1=x(x-3)+1 ；(2)(m ＋n)(a ＋b)＋(m ＋n)(x ＋y)＝(m ＋n)(a ＋b ＋x ＋y)；(3)2m(m-n)=2m 2-2mn ； (4)4x 2-4x+1=(2x-1)2； (5)3a 2+6a=3a （a+2）； (6)x 2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x ； (7)k 2+21k +2=（k+k1）2；2、解方程：（1）012=-x （2）x 2–5x = 03、4、6、14的最大公因数是 。
4、分解因式（1）42-x （2） 5x x +2当堂达标一、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）。
《因式分解》ppt全文课件
思路点拨：因式分解法解一元二次方程的步骤是： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解． 但要具体情况具体分析．
解：(1)方程可变形为 y(y＋7)＝0， ∴y＋7＝0 或 y＝0.∴y1＝－7，y2＝0. (2)∵方程可变形为 t(2t－1)－3(2t－1)＝0， ∴(2t－1)(t－3)＝0. ∴2t－1＝0 或 t－3＝0.∴t1＝12，t2＝3.
∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.
∴3x＋2＝0 或 12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀 课件）
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀 课件）
4．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方 法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中 任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀 课件）
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀 课件）
2．用因式分解法解下列方程： (1)(x－4)(x＋1)＝0； (2)(5x－1)(x＋1)＝(6x＋1)(x＋1)． 解：(1)(x－4)(x＋1)＝0，即 x－4＝0 或 x＋1＝0. ∴x1＝4，x2＝－1. (2)(5x－1)(x＋1)＝(6x＋1)(x＋1)， ∴(5x－1)(x＋1)－(6x＋1)(x＋1)＝0， (x＋1)(5x－1－6x－1)＝0. ∴(x＋1)(－x－2)＝0. 即 x＋1＝0 或－x－2＝0.∴x1＝－1，x2＝－2.
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀 课件）
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀 课件）
【跟踪训练】
第一1因式分解
第一、二讲因式分解一.知识要点:1因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式积．．．的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解。
2因式分解的方法:提取公因式法、运用公式法、十字交叉法、求根公式法、分组分解法、换元法、待定系数法,构造法.二、因式分解的方法：（一）提取公因式法：1、提取公因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法.如：多项式ma＋mb各项都含有的公因式m，可将m提到括号外面，写成m（a＋b）的形式。
2、公因式的确定：用提取公因式法分解因式的关键是确定公因式，确定公因式可按照下面的步骤：（1）公因式的系数应取各项系数绝对值的最大公约数（当系数是整数时）（2）字母取各项的相同字母，（3）各字母的指数取最低次幂3、提取公因式的注意事项（1）提公因式后的项数应与原多项式的项数一样；（2）当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1。
1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项。
这类题常有学生犯下面的错误，如：4x2－8ax ＋2x=2x（2x－4a）；（3）第一项的系数是负数时，应先提负号转化，然后再提公因式；（4）添括号法则：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都要变号；（5）公因式要提尽，如：-3ab＋6abx-9aby＝ab(-3＋6x-9y)(×)，原式应分解为：－3ab(1－2x＋3y)；（6）公因式可以是一个数、一个单项式、一个多项式.如：2（a－b）－a＋b，利用添括号法则把－a＋b可变形成-（a-b），若把（a－b）看作m，原多项式就可以提取公因式a－b。
（二）运用公式法：1、概念利用多项式运算公式进行因式分解的方法平方差公式．．．．．：()() 22a b a b a b-=+-完全平方和（差）公式．．．．．．．．．．：()2 222a ab b a b±+=±立方和（差）公式．．．．．．．．：3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++; 完全立方和（差）公式．．．．．．．．．．：3223333()a a b ab b a b +++=+； 3223333()a a b ab b a b -+-=-（a 、b 可以表示数、单项式、多项式）;三项式完全平分．．．．．．．：2222222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 三个数立方和：补充公式:n n x y -=2、运用公式法的注意事项：（1）若多项式为两项，这两项都能写成完全平方数（或式）的形式，且符号相反，即可用平方差公式；（2）若多项式为三项，其中有两项能写成完全平方数（或式）的形式，符号相同，且第三项恰是这两个数（或式）的2倍或2倍的相反数，即可用完全平方公式；（3）若多项式为两项，这两项都能写成完全立方数（或式）的形式，即可用立方和（差）公式；（4）若形式与完全立方和（差）公式一样，也可考虑用完全立方和（差）公式分解因式；（5）因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式.再考虑是否符合公式。
因式分解从零起步讲解
因式分解从零起步讲解因式分解是一种数学方法，它把一个多项式化成几个整式的积的形式，也被称为恒等变形。
它是数学中非常有用的工具，可以帮助我们理解和解决各种数学问题。
首先，让我们从了解什么是因式分解开始。
因式分解就是把一个多项式，用一些数和字母的积的形式表示出来，也就是把一个多项式化成几个整式的积的形式。
这个过程也被称为恒等变形，因为在这个过程中，多项式的值是不变的，只是形式发生了变化。
例如，我们可以把多项式x^2 + 2x + 1分解成(x + 1)^2。
这里的(x + 1)^2就是通过因式分解得到的，它表示了原来多项式的值。
因式分解的方法有很多种，其中最常见的方法包括提取公因式、公式法、十字相乘法等。
这些方法都需要我们熟练掌握，才能在进行因式分解时迅速找到合适的方法。
1. 提取公因式：这是因式分解中最基本的方法之一。
如果我们有一个多项式，其中有一个或者几个相同的项，我们就可以把这项提取出来，然后把剩下的部分用括号括起来。
这样就可以把一个多项式变成两个或者更多个整式的积的形式。
2. 公式法：在数学中有很多公式可以帮助我们进行因式分解。
例如，平方差公式(a^2 - b^2 =(a + b)(a - b))和完全平方公式(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2)等。
这些公式都可以帮助我们快速找到因式分解的方法。
3. 十字相乘法：这种方法比较复杂，但也是因式分解中比较常用的一种方法。
它的基本思想是把一个多项式的系数分解成两个数，然后交叉相乘，得到一个新的多项式，这个新的多项式就是原来多项式的因式之一。
总的来说，因式分解是数学中非常重要的一个概念和方法。
它可以帮助我们理解和解决各种数学问题，也可以帮助我们更好地理解数学中的其他概念和方法。
因此，我们需要熟练掌握因式分解的方法和技巧，才能更好地进行数学学习和应用。
零基础因式分解
零基础因式分解因式分解是代数学中的一个非常重要的内容，它可以将一个多项式分解成为若干个乘积的形式，使得我们更加轻松地处理和理解多项式的性质和运算。
在学习因式分解的过程中，零基础的同学们可能会感到有些困惑，但只要掌握了一些基本的方法和技巧，通过不断的练习和思考，你们一定可以轻松掌握因式分解的技巧。
首先，让我们来了解一下因式分解的基本概念。
所谓因式分解，就是将一个多项式拆解成为若干个乘积的形式。
在拆解的过程中，我们要找出原多项式中的各个因子，并进行合适的组合，使得它们的乘积等于原多项式。
接下来，我们来看一些因式分解的基本方法和思路。
首先，我们可以通过提取公因子的方式进行因式分解。
即找出多项式中可以整除的公因子，然后将公因子提取出来，留下剩余的部分。
例如，对于多项式 2x + 4y，我们可以发现2是它们的公因子，因此可以进行因式分解为2(x+2y)。
其次，我们可以通过特殊乘法公式进行因式分解。
特殊乘法公式包括平方差公式、完全平方公式、立方和公式等等。
例如，对于多项式x² - 4，我们可以运用平方差公式(a² - b² = (a+b)(a-b))进行因式分解为(x+2)(x-2)。
此外，我们还可以通过配方法进行因式分解。
配方法是通过改变原多项式的形式，使得在拆解因子的时候更加方便。
例如，对于多项式x² + 5x + 6，我们可以通过配方法将其改写为(x+2)(x+3)，然后再进行因式分解。
在进行因式分解的过程中，我们还需要注意一些特殊情况。
例如，当多项式中存在共轭因子时，我们可以将它们合并为一个因子。
又比如，当多项式中存在特殊形式的因子时，我们需要注意识别，并运用相应的公式进行分解。
最后，我们来总结一下因式分解的步骤。
首先，我们需要观察多项式，找出是否存在公因子，然后进行公因子提取。
接着，我们可以尝试运用特殊乘法公式进行分解，如平方差公式、完全平方公式等。
如果特殊乘法公式无法应用，我们可以考虑使用配方法。
初中数学课件-因式分解演示课件北师大版1
（2）x3-2x2+x；
原式= x（x-1）2.
（3）2x2+2x+ ； （4） x2+2xy+2y2；
初中数学课件-因式分解演示课件北师 大版1 （精品 课件）
（5）（x-1）（x+3）+4.
原式＝x2+3x-x-3+4 ＝x2+2x+1 ＝（x+1）2.
初中数学课件-因式分解演示课件北师 大版1 （精品 课件）
（3）m4-2m2+1；
原式＝（m2）2-2m2+1＝（m2-1）2 ＝［（m+1）（m-1）］2＝（m-1）2（m+1）2.
（4）（x+2y）2-2（x+2y）+1.
原式＝（x+2y-1）2.
初中数学课件-因式分解演示课件北师 大版1 （精品 课件）
初中数学课件-因式分解演示课件北师 大版1 （精品 课件）
C
组
8. 已知 x-1= +4 的值.
，求代数式（x+1）2-4（x+1）
初中数学课件-因式分解演示课件北师 大版1 （精品 课件）
初中数学课件-因式分解演示课件北师 大版1 （精品 课件）
谢谢！
初中数学课件-因式分解演示课件北师 大版1 （精品 课件）
初中数学课件-因式分解演示课件北师 大版1 （精品 课件）
初中数学课件-因式分解演示课件北师 大版1 （精品 课件）
6. 若 4x2+kx+9 是完全平方式，则 k 的值
为 12或-12
.
初中数学课件-因式分解演示课件北师 大版1 （精品 课件）
因式分解第一课
因式分解——第一课时学案背景介绍因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。
它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。
因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。
教学目标1、了解因式分解的意义；2、理解因式分解与整式乘法的相互关系；3、初步了解，运用因式分解的提取公因式法。
教学重点与难点重点是因式分解的概念及提取公因式法的运用，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
1.运用前两节所学的知识填空 1).m(a+b+c)= . 2).(a+b)(a-b)= .3).(a+b)2=2.试一试 填空:1).ma+mb+mc= m•( )2).a 2-b 2=( )( )3).a 2+2ab+b 2=( )2 请同学们自己总结1、2两大题的特点和联系因式分解定义：多项式−−−−←−−−→−整式乘法因式分解（整式）（整式）……（整式）3.判断下列各题是否为因式分解：1)m(a+b+c)= ma+mb+mc.2)a 2-b 2 = (a+b)(a-b)3)a 2-b 2 +1= (a+b)(a-b)+1试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式（公因式）（1） 3a+3b 的公因式是：（2）-24m 2x+16n 2x 公因式是：（3）2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是：(4) 4ab-2a 2b 2的公因式是：请大家一起来总结公因式的特征1.2.3.例1 把下列多项式分解因式：（1）-5a 2+25a练习1把下列多项式因式分解（1）3a+3b （2）5x-5y+5z （3） 4a 3b-2a 2b 2练习2.把下列多项式分解因式(1). 2p 3q 2+p 2q 3 (2). x n -x n y (3). a(x-y)-b(x-y)练习3. 9992+999已知a+b=5,ab=3,求a 2b+ab 2的值.布置作业（1）书本p41,练习2（2） 兴趣题：手工课上，老师给同学们发了3张正方形纸片，3张长方形纸片，请你将它们拼成一个长方形，并运用面积之间的关系，将多项式2a 2+3ab+b 2 因式分解a a1172592592593515⨯+⨯+⨯。
因式分解.1因式分解》共16页
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。
高中衔接教案,第一课因式分解
高中衔接教案,第一课因式分解(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高一数学学案（1） 因式分解班级_____________ 姓名___________ 学号__________一、知识点因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、分组分解法，求根公式法等．问题：有什么方法将()()n n S n n S n n +--+-22233及n n n n a a a a 12212++--因式分解二、例题例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2 （2）x 2＋4x －12 （3）2273x x -+（4）2672x x -+ （5）22()x a b xy aby -++变式1分解因式：（1）256x x +- （2）256x x -+ （3）256x x ++（4）256x x -- （5）2273x x ++ （6）()21x a x a -++例2 分解因式：（1）32933x x x +++ （2）1xy x y -+- （３）222456x xy y x y +--+-例3 分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．例4 分解因式:（1）3221x x -+ （2）32231x x -+三、练习1．分解因式：⑴1242-+x x⑵31a + ⑶222x x +-⑷2220y xy x --⑸2244y xy x -- ⑹bc ac ab a -+-2⑺ay ax y x ++-22⑻22865y xy x -+ （9）15)(2)(2-+++b a b a2.分解因式：⑴c b ac ab -+-⑵c b ac ab 6834-+- ⑶25912422-++b ab a⑷ yxy y x 862-+- ⑸22916y xy x -+ ⑹161024+-p p⑺2)1(6)1(75+-++a a ⑻ 222(3)2(3)8x x x x ---- ⑼22()x x a a +--⑽ 3276x x +-⑾ 223x xy x y -++- ⑿2235294x xy y x y +-++-（13）4(1)(2)x y y y x -++- （14） 22222b c ab ac bc ++++（15） 22(1)(1)4a b ab --- （16）2222(1)(1)a a a a ++++附：十字相乘法因式分解学案1．2()x p q x pq +++型的因式分解特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．∵22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++，因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初高中数学衔接知识点专题
★专题一因式分解学案制作人：邢蕾
【要点回顾】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．
1．公式法
常用的乘法公式：
[1]平方差公式：；
[2]完全平方和公式：；
[3]完全平方差公式： ;
[4] ()2c
+= ;
b
a+
[5]33
a b
+=(立方和公式)
[6] 33
-= (立方差公式)
a b
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．
2．分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb
+++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
3．十字相乘法
（1）2()
+++型的因式分解
x p q x pq
∵2()x p q x pq +++2()()()()x px qx pq x x p q x p x p x q =+++=+++=++，
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
（2）一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解
4．其它因式分解的方法:其他常用的因式分解的方法：
（1）提公因式法（2）配方法（3）方程求根法（4）拆项添项法
【课前尝试】
分解因式：
（1）6(x-2)+x(x-2) (2) 1-252x
（3）1522-+x x （4）2524x x +-
【例题选讲】
例1 把下列各式因式分解：
(1) 2215x x -- (2) 2762
++x x
(3) 2223y xy x +- (4) 222()8()12x x x x +-++
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
【巩固练习】
1．把下列各式分解因式：
(1) 48a 3a 2+-
(2) 86x x 24+-
(3)86x 5x 2+--
(4) 1023ab b 5a 22-+
(5) 8x 3+
2.把下列各式因式分解 1、21252x x -- 2、22568x xy y +-
3、1842+--x x
4、2222110y xy x +-
5、40)(3)(2----y x y x
6、8)2(7)2(222-+-+x x x x。