广东省揭阳市2015届高三第二次模拟考试数学理试题(附答案)
【2015广东高考模拟 理科数学】广东省各地2015届高三一模二模试题汇总 12份
图17432109878试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）2015广州一模 数学（理科）2015.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．M N B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 924. 直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是22222222侧视图正视图222222A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. (),1-∞-D. (],1-∞- 6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为233，则该锥体的俯视图可以是图2A. B. C. D. 7. 已知a 为实数，则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R );② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R );③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R );其中, 具有性质P 的映射的序号为 A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知tan 2α=，则tan 2α的值为 .10. 已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x在点()1,e 处的切线斜率为 .图3OADE C B 11. 已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X > 等于 .12. 已知幂函数()223(mm f x xm --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f 的值为 .13．已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++C k n n ++C (n n n =C 01n -+C 11n -++C 11k n --++C 11)n n --12n n -=⋅， 由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++C 2k n n ++C n n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 . 15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ， 使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ， 则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求0sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.图4OF ED C B A 图5FE PODB A17. （本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X . （1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的 中点，ACEF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥P ABFED -，且10PB =.（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角--B AP O 的正切值.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,21n n a a S +==+，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线20+=x y 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(2,1)-，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21. （本小题满分14分） 已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围； （2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *，e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 43-10. 2e 11. 0.1587 12. 16 13. ()212n n n -+⋅ 14. 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭15. 3说明: 第14题答案可以是2,2,4k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得2,A =， …………………………1分00222T x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， …………………………3分 ∴.T π= …………………………4分 由,2πωπ=得2=ω， …………………………5分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCAACBB∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………………………6分（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个最高点, ∴ 0262x ππ+=. …………………………7分∴ 06x π=. …………………………8分 ∴0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………9分 sincoscossin6464ππππ=+ …………………………10分12322222=⨯+⨯…………………………11分 264+=. …………………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，………………………1分即()1127672n n -=⨯， 化简得，260n n --=， …………………………2分解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分 （2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分()407P X ==， ()3421767P X ==⨯=， ()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分∴X 的分布列为： X 0 12 3GH F EPODBA…………………………11分∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥. ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………2分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =， ∴EF ⊥平面POA . …………………………3分∴BD ⊥平面POA . …………………………4分 （2）解法1：设AO BD H =，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，23HA =，3HO PO ==. ……5分 在R t △BHO 中，227BO BH HO =+=，在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 过H 作⊥HG AP ，垂足为G ，连接BG ，由（1）知⊥BH 平面POA ，且⊂AP 平面POA ， ∴⊥BH AP .∵=HG BH H ，⊂HG 平面BHG ，⊂BH 平面BHG ，∴⊥AP 平面BHG . …………………………8分 ∵⊂BG 平面BHG ，∴⊥AP BG . …………………………9分 ∴∠BGH 为二面角--B AP O 的平面角. …………………………10分 在Rt △POA 中，2230=+=AP AO PO ，在Rt △POA 和Rt △HGA 中，90,︒∠=∠=∠=∠POA HGA PAO HAG ， ∴Rt △POA ～Rt △HGA . …………………………11分P 47 27 435 135z yxH F EPODBA∴=PO PAHG HA. ∴32330530⋅⨯===PO HA HG PA . …………………………12分 在Rt △BHG 中，230tan 3305∠===BH BGH HG . ……………………13分 ∴二面角--B AP O 的正切值为303. …………………………14分 解法2：设AOBD H =，连接BO ，∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，23HA =，3HO PO ==.………………………5分 在R t △BHO 中，227BO BH HO =+=，在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系-O xyz ，则()0,33,0-A ，()2,3,0-B ，()0,0,3P ，()0,3,0-H .…………8分 ∴()0,33,3=AP ，()2,23,0=AB . 设平面PAB 的法向量为=n (),,x y z ，由⊥n AP ，⊥n AB ，得 3330,2230.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩y z x y ……9分令1=y ，得3=-z ，3=-x .∴平面PAB 的一个法向量为=n ()3,1,3--. …………………………10分由（1）知平面PAO 的一个法向量为()2,0,0=-BH ， ……………………11分设二面角--B AP O 的平面角为θ， 则cos θ=cos ,n BH⋅=n BH n BH233913132==⨯.………………………12分 ∴2130sin 1cos13θθ=-=，sin 30tan cos 3θθθ==.………………………13分 ∴二面角--B AP O 的正切值为303. …………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n 项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识） （1）解：∵111,21n n a a S +==+，∴21121213a S a =+=+=. …………………………1分（2）解法1：由121n n a S +=+，得121n n n S S S +-=+， …………………………2分故()211n n S S +=+. …………………………3分∵0n a >，∴0n S >. ∴11n n S S +=+. …………………………4分∴数列{}nS 是首项为11S =，公差为1的等差数列.∴()11n S n n =+-=. …………………………5分 ∴2n S n =. …………………………6分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分又11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分解法2：由121n n a S +=+，得()2114n n a S +-=， …………………………2分 当2n ≥时，()2114n n a S --=， …………………………3分 ∴()()()22111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………………４分∴2211220n n n n a a a a ++---=.∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分 ∵ 0n a >，∴12n n a a +-=. …………………………６分 ∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分 ∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分 ∵11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分 解法3：由已知及（1）得11a =，23a =，猜想21n a n =-. …………………………2分 下面用数学归纳法证明.① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ………3分 ② 假设n k =()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， …………………………4分 由已知121k k a S +=+，得()2114k k a S +-=， 故()2114k k a S --=.∴()()()22111144k k k k k a a S S a +----=-=. …………………………5分∴22211220k k k k a a a a ++---=.∴()()1120k kk k a a aa +++--=. …………………………6分∵10,0k k a a +>>，∴120k k a a +--=. …………………………7分 ∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分 故当1n k =+时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即21n a n =-. …………………………9分（3）解：由(2)知21n a n =-, ()21212n n n S n +-==.假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,则2214k k k S a a -=⋅. …………………………10分即()()()4212181k k k -=-⋅-. …………………………11分 ∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠. ∴ ()32181k k -=-.∴ 328126181k k k k -+-=-.化简得 32460k k k --=. …………………………12分 ∵ 0k ≠,∴ 24610k k --=.解得2664431384k ±+⨯±==, 与k 为正整数矛盾. ……………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , …………1分 ∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (2,1)-，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分 ∴ ()22222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(2,0)F -,2(2,0)F , ……………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (2,1)-， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)-及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)-， ∴(2,1)AQ x y =+-，11(2,1)AP x y =+-，(2,1)BQ x y =-+，11(2,1)BP x y =-+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11(2)(2)(1)(1)0x x y y +++--=， ……………………5分 即 11(2)(2)(1)(1)x x y y ++=---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11(2)(2)(1)(1)x x y y --=-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(2,1)P --或(2,1)P ,此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)-- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)-，由②得 23y x =-，解方程组2225,23,x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=, 除去四个点()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, ()2,1-, 2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (2,1)-及椭圆1C 关于原点对称可得B (2,1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥. ∴1111122y y x x --⨯=-++()12x ≠-，① ……………………5分1111122y y x x ++⨯=---()12x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-, 代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=. 若点(2,1)P --或(2,1)P , 此时点Q 对应的坐标分别为(2,1)或(2,1)-- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (2,1)-，由②得 23y x =-，解方程组2225,23,x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q 的坐标为()2,1-或2,22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=, 除去四个点()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, ()2,1-,2,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:AB 20x y +=的距离为23x y+.△ABQ 的面积为2221(22)(11)23x y S +=++--⋅………………………10分 2x y =+22222x y xy =++. ………………………11分而22222(2)()422y y xy x x =⨯⨯≤+（当且仅当22y x =时等号成立） ∴22222222522224522y S x y xy x y x x y =++≤+++=+522=. ……12分 当且仅当22yx =时, 等号成立. 由222,225,y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,22,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2,22.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分 ∴△ABQ 的面积最大值为522, 此时,点Q 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或2,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法２：由于()()22221123AB =++--=，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大．………………………1０分 设与直线AB 平行的直线为20x y m ++=，由2220,25,x y m x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22542250y my c ++-=， 由()223220250m m ∆=--=，解得522m =±． ………………………1１分若522m =，则2y =-，22x =-；若522m =-，则2y =，22x =．…1２分 故当点Q 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或2,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为()2222221522212S AB +⨯=⨯=+． ………………………1４分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） （1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分 ② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=>， 当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分 综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分 （2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分∴2222221212ln 1ln 1ln 1n nn n n n nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分 即ln 2222121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由于n ∈N *，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分 ∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. …………………………10分 由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立， 即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分 ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n nn n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………………………12分即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于n ∈N *，则()()32232333363316431611212122n n n n n n n n n n n +-+-+--=≥=. …………………………13分∴12<ln 22212111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………14分 ∴e 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）2015广州二模 数学（理科）2015.4参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+=2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()4,0,1,0,x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示， 则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为y xO 1 5 3 -3图1A ．425B ．12C ．23D ．16．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A ．13B ．7C ．433 D ．3327．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+= A .0 B .9 C .18 D .36二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．11．已知()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）． 13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．x=1, y=2z=xy是z<20? x =yy =z输出z结束否开始图3AV CB图2（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点， AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为453，求△ABC 外接圆半径的大小． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示．组号年龄分组 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率 1 [20,30) 28 b2 [30,40) 27 0.93 [40,50) 5 0.54 [50,60]a0.4（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值； （2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分） 如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱 垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别 是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．BACDFG 图4年龄频率/组距20 30 40 50 60 0.010 c 0.0350.0250 C 1ABA 1B 1D 1 CDMNEFE 1F 119．（本小题满分14分）已知点(),n n nP a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),e bQ b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D A A B B C C二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 9 10 1112 131415答案1327210305-43116．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，……2分 由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯……3分 12=-．…4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-， 因为A 是△ABC 的内角， 所以2sin 1cos A A =-32=．……6分 由（1）知5b k =，3c k =， 因为△ABC 的面积为453，所以1sin 4532bc A =，……8分 即135345322k k ⨯⨯⨯=， 解得23k =．………10分由正弦定理2sin a R A =，即71432sin 32k R A ==，…………11分解得14R =．所以△ABC 外接圆半径的大小为14．12分 17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．1分第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．…………2分 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．……3分 第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=．……4分 （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.5分 依题意X 的取值为0，1，2．…………6分()022426C C 20C 5P X ===，…7分()112426C C 81C 15P X ===，8分()202426C C 12C 15P X ===，9分所以X 的分布列为：X 0 12P25 815115所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=． …………12分 18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形．………………………………………10分 C 1ABA 1B 1D 1CDM NEFE 1F 1所以11A B E D ．……2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．……6分（2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()33,3,0B ，339,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E ，()33,1,0M ，8分则333,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()33,2,0DM =-．……10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即330,3320.y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取33y =，则2x =，33z =．所以()2,33,33=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………12分 设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n nxzyC 1ABA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1()()2222223332333302217411633323333022⎛⎫⨯-+⨯+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………14分 第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则()33,3,0B ，339,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E ，()33,1,0M ，()33,0,1N ，2分所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． …3分 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合， 所以1DE MN ．…5分所以M ，N ，1E ，D 四点共面．……6分 （2）解：由（1）知333,,022BC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()33,2,0DM =-． (10)分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即330,3320.y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取33y =，则2x =，33z =．所以()2,33,33=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………12分xzyC 1A BA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n()()2222223332333302217411633323333022⎛⎫⨯-+⨯+⨯ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………14分 第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．……2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．……6分 （2）连接AD ，因为BCAD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．……7分连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ，C 1ABA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1则sin hADθ=．8分 因为A DMN D AMN V V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…9分 在边长为3的正六边形ABCDEF 中，33DB =，6DA =， 在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=， 由余弦定理可得，31DM =．在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以37DN =． 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以2MN =． 在△DMN 中，31DM =，37DN =，2MN =， 由余弦定理可得，2cos 31DMN ∠=-，所以29sin 31DMN ∠=． 所以158sin 22DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………11分 又12AMN S ∆=，12分 所以3358AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==．………13分 所以174sin 116h AD θ==． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为174116．………14分 19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ． (6)分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=．……7分 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++⎪⎝⎭．…………8分 因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，…10分 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦………11分 15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………12分 16<． 又当1n =时，212111106PP =<．……13分 所以22212131+111116n PP PP PP +++<．………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．……1分 因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，2分 所以圆心C 的坐标为()1,0-．………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -， 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k 满足00211k y kx k -+-=+，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，……7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-()()22000022000412122y y x x x x x x -+⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦……9分 因为()220044y x =--，所以()02056222x AB x -=+．………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………5分 设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C 相切，所以()0022001a y ax y a x -+=-+，化简得()2000220x a y a x +--=． ①同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以()24AB a b a b ab =-=+-200002422y x x x ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭ ()()2000204422y x x x ++=+．…9分因为()220044y x =--，所以()02056222x AB x -=+…………10分()2001652222x x =-+++．…………11分 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以222165AB t t =-+252522163264t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，12分 当532t =时，max 524AB =， 当14t =时，min 2AB =． 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．14分21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()221xa x ≥+2分212x x =++()01x <<， 因为21122x x <++在()0,1x ∈内恒成立，所以12a ≥．故实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…4分 解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．………1分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()2210ax a x a +-+≥()01x <<，2分设()()221g x ax a x a =+-+，当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意．当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩解得12a ≥或1a >， 所以12a ≥．综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．………4分 （2）证明：因为函数()e xg x =，所以()e xg x '=．过点(),e b P b ，(),e bQ b --作曲线C 的切线方程为：1l ：()e e b b y x b =-+，2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，由()()e e ,e e ,b bb by x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ 6分消去y ，解得()()()0e +e e e eeb b b b bbb x -----=-． ①…7分下面给出判定00x >的两种方法： 方法一：设e bt =，………8分 因为0b >，所以1t >，且ln b t =． 所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-．………9分设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >，则()12ln h t t t t t '=-+()1t >．……10分 令()12ln u t t t t t =-+()1t >，则()212ln 1u t t t'=+-．当1t >时，ln 0t >，2110t ->，所以()212ln 10u t t t'=+->，……11分所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数， 所以()()10u t u >=，即()0h t '>，12分 所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数， 所以()()10h t h >=．…13分因为当1t >时，210t ->，所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．14分。
高三数学第二次模拟试题理揭阳二模,扫描版新人教A版
广东省揭阳市高三数学第二次模拟试题理（揭阳二模，扫描版）揭阳市 高中毕业班高考第二次模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．一．选择题：BCDA DACC解析：1．由210x -≥得0x ≥，[0,)A ∴=+∞，故选B ．2．由(12)1ai i bi +=-得1,12a b ⇒=-=-||a bi ⇒+==选C ．3．设(,)B x y ，由3AB a =u u u r r 得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D ．4．由129m a a a a =+++L 得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ．5．依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D.6．令()ln(1)g x x x =-+，则1'()111x g x x x =-=++，由'()0,g x >得0,x >即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，由'()0g x <得10x -<<，即函数()g x 在(1,0)-上单调递减，所以当0x =时，函数()g x 有最小值，min ()(0)0g x g ==，于是对任意的(1,0)(0,)x ∈-+∞U ，有()0g x ≥，故排除B 、D,因函数()g x 在(1,0)-上单调递减，则函数()f x 在(1,0)-上递增，故排除C,所以答案选A.7．四名学生中有两名分在一所学校的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一所学校的有33A 种，所以不同的安排方法种数是23343330C A A -=．故选C. 8. 因21(3)(2)()55(3)(2)1n n n a f f n n n n ⎛⎫+-+== ⎪++++-⎝⎭11()()23f f n n =-++，故81ii a =∑128111111()()()()()()34451011a a a f f f f f f =+++=-+-++-L L 111131()()()()31111314f f f f -=-==⨯-，故选C.二．填空题：；10. 43200x y --=；11.34；12. 12a >（或1(,)2a ∈+∞）；13.2； 14. cos sin 20ρθρθ+-=（或cos()4πρθ-=；. 解析：9．依题意得3a =，则4tan a π=4tan 3π= 10．双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0)，渐近线的方程为43y x =±，所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=． 11．两个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12p =，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：2131(1)4P p =--=12．由“∃)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ”是真命题，得(0)(1)0f f ⋅<⇒(12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a >13．令,x y u y v +==，则点(,)Q u v 满足01,0 2.u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uov 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.14．把)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+，圆心C 的坐标为（1，1），与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()4πρθ-=15.依题意知30DBA ∠=o ,则AD=2，过点D 作DG AB ⊥于G ，则AG=BE=1，所以3BF =. 三．解答题：16．解：（1）函数()f x 要有意义，需满足：cos 0x ≠， 解得,2x k k Z ππ≠+∈，------------2分 即()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈-------------------------------------4分（2）∵1)4()cos x f x xπ-=122)22cos x x x =1cos 2sin 2cos x x x +-=--------6分22cos 2sin cos cos x x x x -=2(cos sin )x x =--------------------------------------------------8分 由4tan 3α=-，得4sin cos 3αα=-, 又22sin cos 1αα+= ∴29cos 25α=，∵α是第四象限的角∴3cos 5α=，4sin 5α=----------------------10分 ∴14()2(cos sin )5f ααα=-=．-----------------------------------------------------------12分 17. 解：（1）设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为25，------------------------------2分 故2232336()()55125P A C =⨯=. ------------------------------------------5分 (2)ξ可能的取值为0，1，2，3．----------------------------------6分P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 23C 25＝18100＝950， P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 23C 25＋C 24C 25·C 13·C 12C 25＝1225， P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 13·C 12C 25＋C 24C 25·C 22C 25＝1550， P (ξ＝3)＝C 14C 25·C22C 25＝125．-----------------------------10分 ξ的分布列为--------------------------------11数学期望为E ξ＝1×1225+2×1550+3×125=1.2．-------------------------------------------------------12分N 1M 1E A B C D FN M18．解：（1）13a =，23a c =+，333a c =+， --------------------------------1分∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2(3)3(33)c c +=+， --------------------------------2分解得0c =或3c =． --------------------------------3分当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故3c =．-------------------------------4分（2）当2n ≥时，由21a a c -=，322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-， 得1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=L ．--------------------------------6分 又13a =，3c =，∴2333(1)(2)(23)22n a n n n n n =+-=-+=L ，，．-------------------------8分 当1n =时，上式也成立，∴23(2)()2n a n n n N *=-+∈．--------------------------------9分 （3）由2013n a ≥得23(2)20132n n -+≥，即213400n n --≥--------------------------10分∵n N ∈*,∴12n +≥141813622+⨯>=--------------------------------11分 令37n =，得3720012013a =<，令38n =得3821122013a =>----------------------13分∴使2013n a ≥成立的最小自然数38n =．--------------------------------14分19．解：（1）依题意得,,EF DE EF AE EF ⊥⊥∴⊥平面ADE ，DEA ∠=θ-------2分由45θ=o得，1sin 4524ADE S DE EA ∆=⋅=o ,∴4BCF ADE ADE V S EF -∆=⋅=----------------------------------------------------------------------4分 （2）证法一：过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M ，G E AB CD F N M QE A B C D FN M过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ，连结11M N ,------------5分∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF === ∴11MM NN =--------------------------------7分∴四边形11MNN M 为平行四边形，--------------------------------------------------------8分11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面--------------------10分【法二：过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，则,CN FM FG NE MA GE== //NG CF ∴--------------------------------------------------------------6分 ,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面，------------7分 同理可证得//MG BCF 面，又MG NG G =I , ∴平面MNG//平面BCF-------------9分∵MN ⊂平面MNG,//MN BCF ∴面．----------------------------------------------------10分】（3）法一：取CF 的中点为Q ，连结MQ 、NQ ，则MQ//AC ，∴NMQ ∠或其补角为异面直线MN 与AC 所成的角，--------11分 ∵090θ=且2a =∴12NQ =,2MQ ==2MN ∴=---------------------------------------------------------------------12分222cos 2QM MN NQ NMQ MN QM +-∴∠==⋅ 即MN 与AC所成角的余弦值为3--------------------------------14分 【法二：∵090θ=且2a = 分别以FE 、FB 、FC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. --------------11分则111111(1,1,0),(0,0,1),(,,0),(,0,),(1,1,1),(0,,),222222A C M N AC MN =--=-u u u r u u u u r 得----12分cos ,AC MN ∴<>==u u u r u u u u r 13分 所以与AC所成角的余弦值为14分】 20. 解：(1)∵1cos602122p OA ==⨯=o ，即2p =， ∴所求抛物线的方程为24y x = --------------------------------2分∴设圆的半径为r ，则122cos 60OB r =⋅=o ，∴圆的方程为22(2)4x y -+=.--------------4分(2) 设()()1122,,,G x y H x y ，由0OG OH ⋅=u u u r u u u r 得02121=+y y x x∵2211224,4y x y x ==，∴1216x x =， --------------------------------6分 ∵12GOH S OG OH ∆=u u u r u u u r ,∴()()222222*********GOH S OG OH x y x y ∆==++u u u r u u u r =()()2211221444x x x x ++ =()()21212121214164x x x x x x x x ⎡⎤+++⎣⎦≥()212121214164x x x x x x ⎡⎤+⋅⎣⎦=256 ∴16GOH S ∆≥,当且仅当122x x ==时取等号，∴GOH ∆面积最小值为16.-------------------------------------------9分(3) 设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在抛物线C 上，∴2233444,4y x y x ==两式相减得：()()()3434344y y y y x x -+=---------------------------------11分 ∴343434444PQx x y y k y y k -+=⋅==--，∴02y k =- ∵()00,y x D 在()():10m y k x k =-≠上∴010x =-<，点()00,y x D 在抛物线外--------------------------------13分∴在抛物线C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. --------------------------14分 21．解：（1）解法1：∵121'()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=----------1分当1n =时，1'()(1)(13)f x x x =--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴1111()28a f ==，--------------------------------------------------3分当2n =时，2'()f x 2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴2211()216a f ==---------------------------------------------------5分【解法2：当1n =时，21()(1)f x x x =-，则21'()(1)2(1)(1)(13)f x x x x x x =---=--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减，∴1111()28a f ==， 当2n =时，222()(1)f x x x =-，则222'()2(1)2(1)f x x x x x =---2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减，∴2211()216a f ==】（2）令'()0n f x =得1x =或2n x n =+，∵当3n ≥时，1[,1]22n n ∈+且当1[,)22nx n ∈+时'()0n f x >，当(,1]2nx n ∈+时'()0n f x <，-----------------------7分故()n f x 在2nx n =+处取得最大值，即当3n ≥时，22()()()222n n n n n a f n n n ==+++24(2)n n n n +=+,------（*）------------------9分当2n =时（*）仍然成立，综上得21,184.2(2)n nn n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩-------------------------------------10分 （3）当2n ≥时，要证2241(2)(2)n n n n n +≤++，只需证明2(1)4n n +≥-------------------11分∵01222(1)()()n nnn n n C C C nnn+=+++L 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++= ∴对任意*n N ∈（2n ≥）,都有21(2)n a n ≤+成立.--------------------------------14分。
揭阳市届高三第二次模拟数学试题及答案(理)
2015年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A={x|x=3k﹣1，k∈Z}，则下列表示正确的是（）A．﹣1∉A B．﹣11∈A C．3k+2∉A D．3k2﹣1∈A【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】判断一个元素是不是集合A的元素，只要看这个元素是否满足条件x=3k﹣1，k ∈Z，即可：若判断一个具体的整数是否为A的元素，只需令这个数等于3k﹣1，解出k，判断k是否满足k∈Z即可；而若这个元素是含字母的式子时，需要看这个式子能否写成x=3k ﹣1，k∈Z，的形式，按照这个方法判断每个选项的正误即可．【解析】解：A．k=0时，x=﹣1，∴﹣1∈A，∴该选项错误；B．令﹣11=3k﹣1，k=，∴﹣11∉A，∴该选项错误；C.3k+2=3（k﹣1）﹣1，k﹣1∈Z，∴3k+2∈A，∴该选项错误；D．对于3k2﹣1，k2∈Z，∴3k2﹣1∈A，∴该选项正确．故选D．【点评】考查描述法表示集合，集合、元素的概念，以及元素与集合的关系，元素与集合关系的判断方法．2．（5分）已知复数z=1+i，则=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解析】解：∵复数z=1+i，∴==﹣=﹣2，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）命题P：“∃x∈R，x2+1＜2x”的否定￢P为（）A．∃x∈R，x2+1＞2x B．∃x∈R，x2+1≥2x C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：“∃x∈R，x2+1＜2x”的否定￢P为：∀x∈R，x2+1≥2x．故选：C．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系．4．（5分）已知，则cos2α=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由已知及诱导公式可求sinα，由二倍角的余弦函数公式即可得解．【解析】解：∵，∴可得sinα=﹣，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．5．（5分）设向量=（1，2），=（2，3），若向量与向量=（﹣5，﹣6）共线，则λ的值为（）A．B．C．D．4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算、向量共线定理即可得出．【解析】解：∵=（1，2）﹣λ（2，3）=（1﹣2λ，2﹣3λ），与共线，∴﹣5（2﹣3λ）﹣（﹣6）（1﹣2λ）=0，化为﹣4+3λ=0，解得．故选：A．【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量共线定理，属于基础题．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的最小值是（）A．1 B． 4 C．D．0【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率的几何意义进行求解即可．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则z=，则z的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OB的斜率最小，由，解得，即B（3，2），则z==，故选：C【点评】本题主要考查线性规划以及直线斜率公式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）已知点P在抛物线x2=4y上，那么点P到点M（﹣1，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．B．C．（﹣1，2）D．（1，2）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接FP，利用抛物线的定义可得|PQ|=|FP|．可知当PQ∥x轴时，点P、Q、M三点共线，因此|PM|+|PF|取得最小值|QM|，求出即可．【解析】解：抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接FP，则|PQ|=|FP|．故当PQ∥y轴时，|PM|+|PF|取得最小值|QM|=2﹣（﹣1）=3．设点P（﹣1，y），代入抛物线方程（﹣1）2=4y，解得y=，∴P（﹣1，）．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．8．（5分）连续掷一正方体骰子（各面的点数分别为1，2，3，4，5，6）两次得到的点数分别为m、n，作向量，若，则与的夹角成为直角三角形内角的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】总的基本事件共36种，而符合题意的共21个，由概率公式可得．【解析】解：由题意可得m、n均取自1到6，故向量有6×6=36种取法，由知，则m≥n，列举可得这样的（m，n）为（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共有1+2+3+4+5+6=21（个），故所求的概率故选：B．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则的值为1．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用待定系数法求出f（x）的表达式即可．【解析】解：设f（x）=xα，则f（3）=3α=，解得α=﹣1，则f（x）=x﹣1，f（2）=，则log f（2）=log=1，故答案为：1；【点评】本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．10．（5分）展开式中的常数项为﹣160．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】写出二项式的通项，直接由x得系数为0求得r的值，再代入通项求得答案．【解析】解：由，得=•x r﹣3．由r﹣3=0，得r=3．∴展开式中的常数项为=﹣160．故答案为：﹣160．【点评】本题考查了二项式定理，考查了二项式的展开式，是基础的计算题．11．（5分）图中的三个直角三角形是一个体积为30cm3的几何体的三视图，则侧视图中的h=6cm．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出几何体是一个三棱锥，存在两两垂直的棱，画出图形运用体积公式判断即可．【解析】解：根据三识图判断得出：∵PA，AB，AC两两垂直，∴PA⊥面ABC，且PA=h，AB=6，AC=6，∴V==5h=30，即h=6，故答案为：6．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，根据给出的数据恢复空间几何体，判断几何体的性质，难度不大，属于中档题．12．（5分）下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩将第1次到第12次的考试成绩依次记为a1，a2，…，a12．图2是统计上表中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是7．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是统计12次考试中成绩大于等于90的次数，根据成绩表即可得解．【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是统计12次考试中成绩大于等于90的次数，根据成绩表可知，成绩大于等于90的次数n=7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．13．（5分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c（acosB﹣bcosA）=b2，则=．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理求得要求式子的值．【解析】解：△ABC中，∵c（acosB﹣bcosA）=b2，故由余弦定理可得ac•﹣bc•=b2，化简可得=2，∴=．再利用正弦定理可得=，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ（2cosθ﹣sinθ）=3与ρ（cosθ+2sinθ）=﹣1的交点的极坐标为．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步建立方程组，求出交点的坐标，最后把交点的直角坐标转化为极坐标．【解析】解：在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ（2cosθ﹣sinθ）=3，转化为直角坐标方程为：2x﹣y﹣3=0．曲线ρ（cosθ+2sinθ）=﹣1，转化为直角坐标方程为：x+2y+1=0．建立方程组为：，解得：所以交点的直角坐标为：（1，﹣1），转化为极坐标为：（，）．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，解二元一次方程组，直角坐标与极坐标之间的相互转化．主要考查学生的应用能力．【几何证明选讲选做题】15．如图，点P在圆O的直径AB的延长线上，且PB=OB=3，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】由切割线定理得PC2=PB•PA=12，由此能求出CD长．【解析】解：∵AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，且PB=OB=3，PC切⊙O于点C，CD⊥AB于点D，∴由切割线定理得PC2=PB•PA=27，∴PC=3，连结OC，则OC=OP，∴∠P=30°，∴CD=PC=．故答案为：．【点评】此题综合运用了切割线定理、切线的性质定理以及解直角三角形的知识，属于基础题．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M为图象与x轴的交点，为图象的最高点．（1）求A、ω的值；（2）若，，求的值．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）直接利用函数的图象确定函数的A和周期．（2）利用函数的关系式，进一步利用函数的恒等变换求出结果．【解析】解：（1）由为图象的最高点知A=2，又点M知函数f（x）的最小正周期，∵∴ω=π，（2）由（1）知，由得，∵∴∴，∵=∴=【点评】本题考查的知识要点：利用函数的图象求函数的解析式，及函数的周期，利用函数的关系变换求函数的值，主要考查学生的应用能力．17．（12分）某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129；乙：133，107，120，113，122，114，125，118，129，127．（1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，并判断哪个班的平均水平较高；（2）若数学成绩不低于128分，称为“优秀”，求从甲班这10名学生中随机选取3名，至多有1名“优秀”的概率；（3）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩，若从该校（人数很多）任选3人，记X表示抽到“优秀”学生的人数，求X的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（1）直接利用茎叶图的作法画出茎叶图即可．（2）直接利用古典概型概率个数求解即可．（3）求出概率判断概率类型X～B（3，0.2），求出期望即可．【解析】解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如图示：………..（3分）乙班的平均水平较高；…………………………………（4分）（2）由上数据知：甲班这10人中“优秀”的学生有2名，则从这10名学生中随机选取3人，至多有1人“优秀”的概率．………………….（8分）（3）因样本20名学生中，“优秀”的有4名，故从这20名学生中任选1名，恰好抽到“优秀”的概率为，……………………..（10分）据此可估计从该校中任选1名学生，其为“优秀”的概率为0.2，因X～B（3，0.2），所以EX=3×0.2=0.6．……………………….（12分）【点评】本题考查茎叶图以及古典概型，考查期望的求法，考查计算能力．18．（14分）已知等比数列f'（x）满足：a n＞0，a1=5，S n为其前n项和，且20S1，S3，7S2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log5a2+log5a4+…+log5a2n+2，求数列{}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出．【解析】解：（1）设数列{a n}的公比为q，∵20S1，S3，7S2成等差数列，∴2S3=20S1+7S2．即，化简得2q2﹣5q﹣25=0，解得：q=5或∵a n＞0，∴不合舍去，∴．（2）∵b n=log5a2+log5a4+…+log5a2n+2=，=，∴=，∴==．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，PA=PD=CD=2AB=2．（1）求证：AB⊥PD；（2）记AD=x，V（x）表示四棱锥P﹣ABCD的体积，当V（x）取得最大值时，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；（2）解：取AD中点E，连结PE，通过题意易得当V（x）取得最大值时，利用常用法或坐标法即可得结果．【解析】（1）证明：∵AB∥CD，AD⊥CD，∴AB⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥平面PAD，又∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD；（2）解：取AD中点E，连结PE，∵PA=PD，∴PE⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PE⊥底面ABCD，在Rt△PEA中，，∴==（0＜x＜4），∵V（x），当且仅当，即时“=”成立，即当V（x）取得最大值时，解法1：∵，PA2+PD2=8=AD2，∴PD⊥PA，又由（1）知AB⊥PD，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴PD⊥PB，∴∠APB为二面角A﹣PD﹣B的平面角，在Rt△PAB中，，即当V（x）取得最大值时，二面角A﹣PD﹣B的余弦值为；解法2：以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴、PE所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图示：则E（0，0，0），A（，0，0），D（，0，0），P（0，0，），，∴，，设平面PDB的法向量为，由得，，令c=1，则a=﹣1，∴，又是平面PAD的一个法向量，设二面角二面角A﹣PD﹣B的大小为θ，则，即所求二面角A﹣PD﹣B的余弦值为．【点评】本题主要考查线面关系及面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．20．（14分）已知椭圆C：的焦点分别为、，P为椭圆C上任一点，的最大值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点A（1，0），试探究是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于D、E两点，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设P（x，y），运用向量的数量积的坐标表示，结合点满足椭圆方程，运用椭圆的性质，即可得到最大值1，可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入，运用韦达定理和判别式大于0，结合两点的距离公式，可得k，m的关系式，消去m，解不等式即可得到k的范围．【解析】解：（1）设P（x，y），由、，得，．∴=x2+y2﹣3，由得，∴=，∵0≤x2≤a2，∴当x2=a2，即x=±a时，有最大值，即，∴b2=1，a2=c2+b2=4，∴所求椭圆C的方程为；（2）假设存在直线l满足题设，设D（x1，y1），E（x2，y2），将y=kx+m代入并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=﹣16（m2﹣4k2﹣1）＞0，得4k2+1＞m2①又，由|AD|=|AE|可得，⇒（1+k2）（x1+x2）+2km﹣2=0，化简得②将②代入①得，，化简得20k4+k2﹣1＞0⇒（4k2+1）（5k2﹣1）＞0，解得或．所以存在直线l，使得|AD|=|AE|，此时k的取值范围为．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查两点的距离公式的运用和化简整理的能力，属于中档题和易错题．21．（14分）已知函数（1）当a=1时，解不等式f（x）＜x﹣1；（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（3）若在区间（0，1]上，函数f（x）的图象总在直线y=m（m∈R，m是常数）的下方，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用；其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）讨论x＞0，x＜0，去绝对值，运用绝对值不等式的解集即可得到所求；（2）通过讨论x的范围，去绝对值，再由二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到所求单调区间；（3）运用不等式恒成立思想，在区间（0，1]上，函数f（x）的图象总在直线y=m（m∈R，m是常数）的下方，即对∀x∈（0，1]都有f（x）＜m，⇔对∀x∈（0，1]都有x|x﹣a|＜m+1，显然m＞﹣1，运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a的范围．【解析】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＜x﹣1即x|x﹣1|＜x，显然x≠0，当x＞0时，原不等式可化为：|x﹣1|＜1⇒﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2；当x＜0时，原不等式可化为：|x﹣1|＞1⇒x﹣1＞1或x﹣1＜﹣1⇒x＞2或x＜0，即为x＜0．综上得：当a=1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜2或x＜0}；（2）∵，若x≥a时，∵a＞0，由f'（x）=2x﹣a知，在（a，+∞）上，f′（x）≥0，若x＜a，由f′（x）=﹣2x+a知，当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，∴当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为，（a，+∞），单调减区间为．（3）在区间（0，1]上，函数f（x）的图象总在直线y=m（m∈R，m是常数）的下方，即对∀x∈（0，1]都有f（x）＜m，⇔对∀x∈（0，1]都有x|x﹣a|＜m+1，显然m＞﹣1，即﹣m﹣1＜x（x﹣a）＜m+1⇒对∀x∈（0，1]，恒成立⇒对∀x∈（0，1]，，设，，x∈（0，1]，则对∀x∈（0，1]，恒成立⇔g（x）max＜a＜p（x）min，x∈（0，1]，∵，当x∈（0，1]时g'（x）＞0，∴函数g（x）在（0，1]上单调递增，∴g（x）max=﹣m，又∵=，当即m≥0时，对于x∈（0，1]，有p′（x）＜0，∴函数p（x）在（0，1]上为减函数，∴p（x）min=p（1）=2+m，当，即﹣1＜m＜0时，当，p′（x）≤0，当，p′（x）＞0，∴在（0，1]上，，（或当﹣1＜m＜0时，在（0，1]上，，当时取等号），又∵当﹣1＜m＜0时，要g（x）max＜a＜p（x）min即还需满足⇒m2﹣4m﹣4＜0，解得，∴当时，，当m≥0时，﹣m＜a＜2+m．【点评】本题考查分段函数的运用，考查绝对值不等式的解法和函数的单调性的运用，同时考查不等式恒成立思想的运用，属于中档题．。
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编.排列组合
1 广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编排列组合1．（2015届佛山市）将编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球放入编号为1, 2, 3, 4, 5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 .2．（2015届广州市）5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）．3．（2015届惠州市）将自然数按如图排列，其中处于从左到右第m 列从下到上第n 行的数记为),(n m A ，如4)1,3(=A ，12)2,4(=A ，则=),1(n A __________；=)10,10(A __________．282127152026101419256913182435812172312471116224（2015届深圳市）从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取五个，组成五位数，则不同的五位数共有A ．50个B ．60个C ．100个D ．120个5（2015届湛江市）已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种．6（2015届肇庆市）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋 友1本，则不同的赠送方法共有 ▲ 种（用数字作答）.答案：20 30 (1),1812n n + B 31 10。
广东省揭阳市高三数学第二次模拟试题 理(揭阳二模)新人教A版
绝密★启用前揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，{|A x y ==，则=A C UA.[0,)+∞B.(,0)-∞C. (0,)+∞D. (,0]-∞ 2．若(12)1ai i bi +=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则||a bi +=A ．12i + BC．2D ．543．已知点A (1,5)-和向量a =（2,3），若3AB a =，则点B 的坐标为A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5，14) 4．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若129m a a a a =+++，则m 的值为A ．37B ．36C ．20D ．19 5．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(1)示，则该几何体的体积为A.7B.223C.476D.233图（1）俯视图侧视图正视图元件2元件16．已知函数1()ln(1)f x x x =-+,则()y f x =的图象大致为7．某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为A.18B.24C.30D.36 8.设()f x 是定义在（0,1）上的函数，对任意的1y x >>都有11()()()1y x f f f xy x y-=--，记21()()55n a f n N n n *=∈++,则81i i a =∑=A.1()2fB.1()3fC. 1()4fD. 1()5f 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．若点(,1)a -在函数13log y x =的图象上，则4tanaπ的值为 ．10．过双曲线221916x y 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .11．某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个 图（2）元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ． 12．已知函数()4||21f x a x a =-+．若命题：“0(0,1)x ∃∈，使0()0f x =”是真命题，则实数a 的取值范围为 ． 13．已知点(,)P x y 满足01,0 2.x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩则点(,)Q x y y +构成的图形的面积为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O 为极点，直线l 过圆C ：22)4πρθ=-的圆心C ，且与直线OC 垂直，则直线l 的极坐标方程为 ．图（5）图（4）M N FDC BAE15．(几何证明选讲选做题) 如图（3）所示，,C D 是半圆周上的两个三等分点，直径4AB =，CE AB ⊥，垂足为E ，BD 与CE 相交于点F ，则BF 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1)4()cos x f x xπ-=， （1）求函数()f x 的定义域；（2）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值． 17. （本小题满分12分）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；（2）在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望． 18．（本小题满分14分）数列{}n a 中，13a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （1）求c 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求最小的自然数n ，使2013n a ≥．19．（本小题满分14分）在图（4）所示的长方形ABCD 中， AD=2AB=2，E 、F分别为AD 、BC 的中点， M 、N 两点分别在AF 和CE 上运动，且AM=EN=a (0a <<把长方形ABCD 沿EF 折成大小为θ的二面角A-EF-C ，如图（5）所示，其中(0,]2πθ∈（1）当045θ=时，求三棱柱BCF-ADE 的体积；（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN 总与平面BCF 平行； （3）当090θ=且2a =时，求异面直线MN 与AC 所成角 的余弦值．图3 B o20. （本小题满分14分）如图（6）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为l ，焦点为圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点作倾斜角 为3π的直线t ，交l 于点A ，交圆M 于点B,且||||2AO OB ==． （1）求圆M 和抛物线C 的方程；（2）设,G H 是抛物线C 上异于原点O 的两个不同点，且0OG OH ⋅=,求GOH ∆面积的最小值；（6）（3）在抛物线C 上是否存在两点Q P ,关于直线()():10m y k x k =-≠对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分）设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a （1,2,n =）．（1）求12,a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对任意*n N ∈（2n ≥）,都有21(2)n a n ≤+成立．揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题：BCDA DACC解析：1．由210x-≥得0x ≥，[0,)A ∴=+∞，故选B ．2．由(12)1ai i bi +=-得1,12a b ⇒=-=-||a bi ⇒+==选C ．3．设(,)B x y ，由3AB a =得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D ．4．由129m a a a a =+++得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ．5．依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D. 6．令()ln(1)g x x x =-+，则1'()111xg x x x =-=++，由'()0,g x >得0,x >即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，由'()0g x <得10x -<<，即函数()g x 在(1,0)-上单调递减，所以当0x =时，函数()g x 有最小值，min ()(0)0g x g ==，于是对任意的(1,0)(0,)x ∈-+∞，有()0g x ≥，故排除B 、D,因函数()g x 在(1,0)-上单调递减，则函数()f x 在(1,0)-上递增，故排除C,所以答案选A.7．四名学生中有两名分在一所学校的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一所学校的有33A 种，所以不同的安排方法种数是23343330C A A -=．故选C. 8. 因21(3)(2)()55(3)(2)1n n n a f f n n n n ⎛⎫+-+== ⎪++++-⎝⎭11()()23f f n n =-++，故81ii a =∑128111111()()()()()()34451011a a a f f f f f f =+++=-+-++-111131()()()()31111314f f f f -=-==⨯-，故选C.二．填空题：10. 43200xy ；11.34；12. 12a >（或1(,)2a ∈+∞）；13.2； 14. cos sin 20ρθρθ+-=（或cos()4πρθ-=；.解析：9．依题意得3a =，则4tana π=4tan 3π=． 10．双曲线221916x y 的右焦点为(5,0)，渐近线的方程为43y x =±，所以所求直线方程为4(5),3y x 即43200x y ．11．两个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12p =，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：2131(1)4P p =--=12．由“∃)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ”是真命题，得(0)(1)0f f ⋅<⇒(12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a >13．令,x y u y v +==，则点(,)Q u v 满足01,0 2.u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uov 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.14．把)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+，圆心C 的坐标为（1，1），与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()4πρθ-=15.依题意知30DBA ∠=,则AD=2，过点D 作DG AB ⊥于G ，则AG=BE=1，所以3BF =. 三．解答题：16．解：（1）函数()f x 要有意义，需满足：cos 0x ≠，解得,2x k k Z ππ≠+∈，------------2分即()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈-------------------------------------4分（2）∵1)4()cos x f x xπ-=122)22cos x x x =1cos 2sin 2cos x xx +-=--------6分 22cos 2sin cos cos x x xx-=2(cos sin )x x =--------------------------------------------------8分由4tan 3α=-，得4sin cos 3αα=-, 又22sin cos 1αα+= ∴29cos 25α=，∵α是第四象限的角∴3cos 5α=，4sin 5α=----------------------10分∴14()2(cos sin )5f ααα=-=．-----------------------------------------------------------12分 17. 解：（1）设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”， 依题意知，每次抽到二等品的概率为25，----------------------2分 故2232336()()55125P A C =⨯=. ------------------------------------------5分 (2)ξ可能的取值为0，1，2，3．----------------------------------6分P (ξ＝0)＝C24C 25·C 23C 25＝18100＝950， P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 23C 25＋C 24C 25·C 13·C 12C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 13·C 12C 25＋C 24C 25·C 22C 25＝1550， P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 22C 25＝125．-----------------------------10分 ξ的分布列为--------------------------------11数学期望为E ξ＝1×1225+2×1550+3×125=1.2．-------------------------------------------------------12分 18．解：（1）13a =，23a c =+，333a c =+， --------------------------------1分 ∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2(3)3(33)c c +=+， --------------------------------2分 解得0c =或3c =． --------------------------------3分N 1M 1EA BCDFNM当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故3c =．-------------------------------4分 （2）当2n ≥时，由21a a c -=，322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-， 得1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=．--------------------------------6分 又13a =，3c =，∴2333(1)(2)(23)22n a n n n n n =+-=-+=，，．-------------------------8分当1n =时，上式也成立，∴23(2)()2n a n n n N *=-+∈．--------------------------------9分 （3）由2013n a ≥得23(2)20132n n -+≥，即213400n n --≥--------------------------10分∵n N ∈*,∴n ≥141813622+⨯>=--------------------------------11分 令37n =，得3720012013a =<，令38n =得3821122013a =>----------------------13分∴使2013n a ≥成立的最小自然数38n =．--------------------------------14分 19．解：（1）依题意得,,EF DE EF AE EF ⊥⊥∴⊥平面ADE ，DEA ∠=θ-------2分 由45θ=得，12sin 4524ADE SDE EA ∆=⋅=, ∴4BCF ADE ADE V S EF -∆=⋅=----------------------------------------------------------------------4分（2）证法一：过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M ，过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ，连结11M N ,------------5分∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN 又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF=== ∴11MM NN =--------------------------------7分 ∴四边形11MNN M 为平行四边形，--------------------------------------------------------8分GEBCDFNM QEABCDFNM11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面--------------------10分【法二：过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，则,CN FM FGNE MA GE== //NG CF ∴--------------------------------------------------------------6分 ,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面，------------7分同理可证得//MG BCF 面，又MG NG G =, ∴平面MNG//平面BCF-------------9分∵MN ⊂平面MNG,//MN BCF ∴面．----------------------------------------------------10分】 （3）法一：取CF 的中点为Q ，连结MQ 、NQ ，则MQ//AC ，∴NMQ ∠或其补角为异面直线MN 与AC 所成的角，--------11分∵090θ=且2a =∴12NQ =,MQ ==MN ∴=---------------------------------------------------------------------12分222cos 23QM MN NQ NMQ MN QM +-∴∠==⋅即MN 与AC--------------------------------14分 【法二：∵090θ=且a =分别以FE 、FB 、FC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. --------------11分 则111111(1,1,0),(0,0,1),(,,0),(,0,),(1,1,1),(0,,),222222A C M N AC MN =--=-得----12分cos ,AC MN ∴<>==13分 所以与AC14分】 20. 解：(1)∵1cos602122p OA ==⨯=，即2p =， ∴所求抛物线的方程为24y x =--------------------------------2分∴设圆的半径为r ，则122cos 60OB r =⋅=，∴圆的方程为22(2)4x y -+=.--------------4分(2) 设()()1122,,,G x y H x y ，由0OG OH ⋅=得02121=+y y x x ∵2211224,4y x y x ==，∴1216x x =，--------------------------------6分∵12GOH S OG OH ∆=,∴()()222222*********GOHS OG OH x y x y ∆==++=()()2211221444x x x x ++ =()()21212121214164x x x x x x x x ⎡⎤+++⎣⎦≥()212121214164x x x x x x ⎡⎤+⋅⎣⎦=256 ∴16GOH S ∆≥,当且仅当122x x ==时取等号，∴GOH ∆面积最小值为16.-------------------------------------------9分 (3) 设()()4433,,,y x Q y x P 关于直线m 对称，且PQ 中点()00,y x D ∵ ()()4433,,,y x Q y x P 在抛物线C 上，∴2233444,4y x y x ==两式相减得：()()()3434344y y y y x x -+=---------------------------------11分∴343434444PQx x y y k y y k -+=⋅==--，∴02y k =-∵()00,y x D 在()():10m y k x k =-≠上∴010x =-<，点()00,y x D 在抛物线外--------------------------------13分∴在抛物线C 上不存在两点Q P ,关于直线m 对称. --------------------------14分 21．解：（1）解法1：∵121'()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=----------1分当1n =时，1'()(1)(13)f x x x =--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴1111()28a f ==，--------------------------------------------------3分当2n =时，2'()f x 2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴2211()216a f ==---------------------------------------------------5分广东省揭阳市2013届高三数学第二次模拟试题 理（揭阳二模）新人教A 版11 / 11 【解法2：当1n =时，21()(1)f x x x =-，则21'()(1)2(1)(1)(13)f x x x x x x =---=-- 当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减，∴1111()28a f ==， 当2n =时，222()(1)f x x x =-，则222'()2(1)2(1)f x x x x x =---2(1)(12)x x x =-- 当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减，∴2211()216a f ==】 （2）令'()0n f x =得1x =或2n x n =+，∵当3n ≥时，1[,1]22n n ∈+且当1[,)22n x n ∈+时'()0n f x >，当(,1]2n x n ∈+时'()0n f x <，---------- ---------7分故()n f x 在2nx n =+处取得最大值，即当3n ≥时，22()()()222n n n n n a f n n n ==+++24(2)n n n n +=+,------（*）------------------9分 当2n =时（*）仍然成立，综上得21,184.2(2)n n n n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩-------------------------------------10分（3）当2n ≥时，要证2241(2)(2)n n n n n +≤++，只需证明2(1)4n n +≥-------------------11分 ∵01222(1)()()n n n n n n C C C n nn +=+++2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++= ∴对任意*n N ∈（2n ≥）,都有21(2)n a n ≤+成立.------- ------------------14分。
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编不等式
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编不等式1（2015届惠州市）若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．112（2015届惠州市）设0,0a b >>，若1a b +=，则11a b+的最小值为__________． 3（2015届揭阳市）已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则y x 的最小值是 A.1 B. 4 C.23D.0 4（2015届茂名市）设变量y x ,满足约束条件2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 2+=的最小值为（ ）.A. -3B. -1 C ．13 D ．-5 5（2015届茂名市）不等式112≤+--x x 的解集为 .6（2015届深圳市）若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩,则2x y +的取值范围是A ．[0,6]B ．[1,6]7（2015届深圳市）不等式5|2||1|≤-+-x x 的解集为 ．C ．[1,5]D ．[0,5]8（2015届湛江市）2015某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是 名．9（2015届肇庆市）不等式0|5||12|>--+x x 的解集为 ▲ . 10（2015届佛山市）不等式112<-x 的解集为 . 答案：C 4 C A [)+∞,0 B []2,3- 10 ),34()6,(+∞--∞ （0, 1）。
广东省揭阳市2015届高三第二次模拟考试理科综合试卷 Word版含答案.pdf
A．球进入竖直半圆弧轨道后做匀速圆周运动
B．若小球能通过半圆弧最高点P，则球在P点受力平衡
C．若小球的初速度，则小球一定能通过P点
D．若小球恰能通过半圆弧最高点P，则小球落地点离O点的水平距离为2R
21．如图示，等腰直角三角形ABC中存在匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的
，选对的得4分，选错或不答的得0分。
下列有关细胞的物质组成的叙述，正确的是
A.细胞内的化合物都是以碳链为骨架的B.脂肪酸和核酸都含有氮和磷元素
C.叶绿体色素都含有Mg元素D.脂肪、糖和淀粉都是贮能物质 2．
A．蓝藻和绿藻都能进行光合作用，但场所不同
B．酶能降低化学反应的活化能
C．选用过氧化氢和过氧化氢酶探究酶的最适温度
D（AC的中点）、C两孔射出，则
A．从C、D两孔射出的粒子的运动半径大小之比为RC：RD=2：1
B．从C、D两孔射出的粒子的出射速度大小之比为vC：vD=1：1
C．从C、D两孔射出的粒子在磁场中的运动周期之比为TC：TD=2：1
D．从C、D两孔射出的粒子在磁场中的运动时间之比为tC：tD=1：1
D．若人体静脉滴注ATP注射液，ATP到达心肌细胞内至少要穿越3层细胞膜
4．EBV）是一种单链RNA病毒，EBV与宿主细胞结合后，将核酸-蛋白复合体(－RNA)释放至细胞质，通过下图途径进
行增殖。下列推断正确的是
A．①所需嘌呤比例与过程③所需嘧啶比例相同
B．过程需要的氨基酸和tRNA的种类、数量相同C．增殖需种D．6．．．．D．7．下列关于有机物的说法正确的是
选项陈述I陈述IIAH2O2、SO2都能使酸性高锰酸钾褪色前者表现出还原性后者表现出漂白性B纯银器表面在空气中渐
揭阳市2015年高考二模理科数学【试题+答案】
绝密★启用前揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试数学（理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A 。
1A -∉ B.11A -∈ C 。
32k A +∉ D 。
231k A -∈2．已知复数1z i =+，则21z z=- A 。
2B 。
－2 C. 2i D. －2i3．命题P ：“2,12x R x x ∃∈+<”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+> B 。
2,12x R x x ∃∈+≥ C.2,12x R x x ∀∈+≥ D 。
2,12x R x x ∀∈+< 4．已知1sin()3πα+=，则cos 2α=A.9B 。
89 C.79- D 。
795。
设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为 A ．43 B ．413 C ．49- D ．4图1侧视图6．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则y x 的最小值是A 。
广东省揭阳市高三第二次模拟考试数学(理)试题含答案【精选】.doc
6 23 正视图俯视图左视图图1绝密★启用前揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数()1lg(63)f x x x =+-的定义域为（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）[1,2)- （D ）[1,2]- （2）已知复数iia z 213++=(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则||z 为 （A ）32（B ）152（C ）6 （D ）3（3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知1sin cos 3αα-=，则cos(2)2πα-= （A ）89- （B ）23 （C ）89（D 17 （5）已知01a b c <<<<，则（A ）b a a a >（B ）a b c c >（C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1 所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升） （A ）14（B ）212π+（C ）π+12（D ）π238+ （7）设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用j 表示），则判断框中应填入的条件是 （A ）?58<i （B ）?58≤i （C ）?59<j（D ）?59≤j（8）某微信群中四人同时抢3 则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为 （A ）14 （B ）34 （C ）53 （D ）21 （9）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若 y x z 2-=的最小值为-3，则a 的值为（A ）1（B ）23（C ）2（D ）37（10）函数x x x f 21()(2-=的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ） （11）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为O P QQD E F COBAP 图4图3F E DBCA（A ）64 （B ）128 （C ）192 （D ）384 （12）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内有零点，则ω的取值范围是（A ）155(,)(,)484+∞U （B ）)1,85[]41,0(Y （C ）1155(,)(,)8484U （D ）115(,)(,)848+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题:第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题:第(23)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-r r 满足||||a b a b ⋅=-⋅r r u u r r，则 x = .（14）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 .（15）在△ABC 中，已知AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°，||2AC =u u u r ，则||AB uuu r 的取值范围是 .（16）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的离心率为1F 、2F 是双曲线的两个焦点，A为左顶点、B (0,)b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，1)1(21+++=+n na n a nn ． （I ）求证：数列}1{+nan 是等比数列；（II ）求数列}{n a 的前n 项和为n S ． (18)（本小题满分12分）已知图3中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //，CD EF //，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，OQ 与EF的交点为P ，OP =1，PQ =2，现将梯形ABCD 沿EF 折起，使得3=OQ ，连结AD 、BC ，得一几何体如图4示．(Ⅰ)证明：平面ABCD ⊥平面ABFE ；(Ⅱ)若图3中，45A ∠=o ，CD=2，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值． （19）（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智 力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5 是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估 计概率．(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； (Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数； (Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率． （20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，设线段AB 的中点为),(00y x C ，求0x 的取值范围．(21)（本小题满分12分）设函数2)()(a x x f -=（a R ∈），x x g ln )(=，(Ⅰ) 试求曲线)()()(x g x f x F +=在点))1(,1(F 处的切线l 与曲线)(x F 的公共点个数；(Ⅱ) 若函数)()()(x g x f x G ⋅=有两个极值点，求实数a 的取值范围． （附：当0<a ，趋近于0时，xax -ln 2趋向于∞+） 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如右图，当直线y xz 2-=过点(2,)A a a -时，取得最小值，即2231a a a --=-⇒=.（10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）. （11）以投影面为底面，6=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())2224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ==L ，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ）【法二：)4sin(22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当Λ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：解析：(15) 由AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°知30B ∠=o ,由正弦定理得： ||||4sin sin 30ABAC C ==ou u u r u u u r||4sin AB C ⇒=u u u r ,又0150C <<o得0||4AB <≤u u u r . （16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-u u u r u u u u r225x y =+-，显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值， 由面积法易得22min4()5x y +=，故12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最小值为421555-=-. 三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ，-----------------------------1分 ∴)1(2111+=+++nan a n n ，--------------------------------------------------------3分 又211=+a ，得01≠+na n，∴21111=++++na n a n n ，---------------------------------------5分 ∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．-----------------------6分 【证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++，----------------1分Q D EF COBAP由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n， ∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n a n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，------------------5分∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．----------------------------------6分】 （II ）由（I ）得n n nna 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2，---------------------------8分 23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ])1(321[n n +-++++-Λ，设23122232(1)22n nn T n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ，-------------① 则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅L ，---------② ①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅L12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ，------------------------------------------------------------------10分又(1)123(1)2n n n n +++++-+=L ， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+．-----------------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD 为等腰梯形，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB//CD EF //， ∴OP ⊥EF 、PQ ⊥EF ，①---------------------2分 在图4中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥--------------3分 由①及P PQ OP =I ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF ⊥OQ ，----------------4分 又OP EF P =I ，∴OQ ⊥平面ABFE ，----------------------------------5分又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；-------------------------------------6分 (Ⅱ)在图4中，由45A ∠=o，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分以O 为原点，PO 所在的直线为轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示， 则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、C得)0,1,1(--=BF，(0,BC =-u u u r-------8分 设(,,)m x y z =r是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BC m BFm ρρ，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ， 取=3，得(m =u r---------9分同理可得平面ADE的一个法向量(n =r-------------------------------------10分设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m ρρρρρρ⋅⋅=><=θ35= 所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35．-------------------------------12分 （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为-------------------2分ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；----------------4分(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分 设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为，可知)7.0,3(~B X ， 则的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；------------------------------------------7分(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，---------------------------------------------------------------8分213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，---------------------------------9分)16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，------------------------10分333)16(=ξP C 001.01.03==------------------------------------------------------------11分所以小明在 3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．------12分（20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，----------------1分 得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-------4分 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-----------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分 又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 设A (1，y 1)，B (2，y 2)，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=m k ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-．--------------12分 （21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，xa x x F 1)(2)('+-=，切线l 的斜率为a F 23)1('-=，---------------------------------------------1分∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ，-----2分联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ； 设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=xx x )1)(12(--=，----------3分 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减，----4分 又0)1(=h ，031)1(242<-=ee e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ，-----------5分∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点．--6分(Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=xax a x x G 在),0(∞+至少有两不同根，----------------7分设xa x x r -+=1ln 2)(，①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根，由1ln 2+=x y 与x a y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+xa x 恰有一根2x ，由a x x ==12得a =1，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；-----------------8分②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=x a x x r 在),0(∞+至少有两不同根， 由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a 上单调递增， 可知)(x r 在)2,0(a -上单调递减， 因为0<a ，趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ，由题意知，需0)(min<x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-a a r ，解得232-->e a ，------11分 ∴0223<<--a e ． 综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e -∈-+∞U U ．---------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈---------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分（Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分 可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分 代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分 ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分 依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=-------------------------8分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】（23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分 （Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分 故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分 ()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．------------------------------------10分】。
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编
广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编不等式1（2015届惠州市）若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．10D ．11 2（2015届惠州市）设0,0a b >>，若1a b +=，则11a b+的最小值为__________． 3（2015届揭阳市）已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则y x 的最小值是A.1B. 4C.23D.0 4（2015届茂名市）设变量y x ,满足约束条件2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 2+=的最小值为（ ）.A. -3B. -1 C ．13 D ．-5 5（2015届茂名市）不等式112≤+--x x 的解集为 . 6（2015届深圳市）若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩,则2x y +的取值范围是A ．[0,6]B ．[1,6]7（2015届深圳市）不等式5|2||1|≤-+-x x 的解集为 ．C ．[1,5]D ．[0,5]8（2015届湛江市）2015某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≥-6252x y x y x ，则该校招聘的教师最多是 名．9（2015届肇庆市）不等式0|5||12|>--+x x 的解集为 ▲ .10（2015届佛山市）不等式112<-x 的解集为 . 答案：C 4 C A [)+∞,0 B []2,3- 10 ),34()6,(+∞--∞ （0, 1）广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编复数1．（2015届潮州市）若复数(2)(1)i ai ++是纯虚数(i 是虚数单位，a 是实数)，则a 等于（ ）A. -1B. 21-C.2D. 3 2．（2015届佛山市）若复数z 满足2)1()1(i z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3（2015届惠州市）已知b 为实数，i 为虚数单位，若21b ii+⋅-为实数，则b = ( ) A ．1- B ．2- C ．1 D ．24（2015届揭阳市）已知复数1z i =+，则21z z=- A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i 5（2015届茂名市） 复数311(i i-为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 （ ）. A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)--6（2015届深圳市）设i 为虚数单位，则复数 2015i 等于A ．1B ．1-C ．iD ．i -7（2015届湛江市）已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z =（ ）．A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --1 8（2015届肇庆市）设i 为虚数单位，则复数)1(i i z -=对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C B B B D B A9（2015届广州市）已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 答案：1广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编集合与常用逻辑用语一．选择题1.（2015届潮州市）设集合101x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,{}1B x x a =-<,则“1a =”是“A B ≠∅ ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又必要条件 2.（2015届佛山市）集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（ ）A ． 3B ．4C ．7D ．83（2015届佛山市）已知函数)( 11ln )(R a x a x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=.命题p ：)(, x f R a ∈∃是奇函数；命题q ：)(, x f R a ∈∀在定义域内是增函数，那么下列命题为真命题的是（ ）A ．p ⌝B ．q p ∧C ．()q p ∧⌝D ．()q p ⌝∧4（2015届佛山市）已知a , b , c 均为直线，α, β为平面.下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a 与一个平面α，则平面α内必存在与a 垂直的直线； （2）任意给定的三条直线a , b , c ，必存在与a , b , c 都相交的直线； （3）α//β，βα⊂⊂b a , ，必存在与a , b 都垂直的直线； （4）βαβαβα⊂⊂=⊥b a c , , , ，若a 不垂直c ，则a 不垂直b . 其中真命题的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ．3D ．45（2015届佛山市）若集合P 具有以下性质：① P P ∈∈1, 0； ② 若P y x ∈,，则P y x ∈-，且0≠x 时，P x∈1.则称集合P 是“Γ集”，则下列结论不正确的是( ) A ．整数集Z 是“Γ集” B ．有理数集Q 是 “Γ集”C ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，则必有P xy ∈D ．对任意的一个“Γ集”P ，若P y x ∈,，且0≠x ，则必有P xy∈ 6（2015届广州市）命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+= 7．（2015届惠州市）若集合{|01,}A x x x x R =<>∈或，{}2,B x x x R =>∈，则 ( )A ．AB ⊇ B ．A B =C ．A B ⊆D ．A B φ=8（2015届惠州市）下列命题的说法 错误．．的是 ( ) A ．若复合命题q p ∧为假命题，则,p q 都是假命题． B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++> 则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．D ．命题“若2320x x -+=，则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”9．（2015届揭阳市）已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C.32k A +∉D.231k A -∈ 10（2015届揭阳市）命题P ：“2,12x R x x ∃∈+<”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+>B.2,12x R x x ∃∈+≥C.2,12x R x x ∀∈+≥D.2,12x R x x ∀∈+<11（2015届茂名市） 设集合{}1,4,5M =,{}0,3,5N =,则M N = （ ）.A ．{}1,4B ．{}0,3C ．{}0,1,3,4,5D ．{}512（2015届湛江市）．已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则M N = （ ）．A ．MB ．NC ．{}12x x -<<D ．{}3x x <13（2015届肇庆市）．对于非空集合A 、B ，定义运算：},|{B A x B A x x B A ∉∈=⊕且. 已知}|{b x a x M <<=，}|{d x c x N <<=，其中a 、b 、c 、d 满足d c b a +=+，0<<cd ab ，则=⊕N MA ．),(),(c b d aB ．),(),(b d a cC ．(][)d b a c ,,D ．(][)b d c a ,, 答案：A D D B A C A A D C D C D二．填空题1．（2015届深圳市）已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，则“2ab c >”是“π3C <”的 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）． 2．（2015届湛江市）已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种． 答案：充分非必要 31广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编函数1、（2015届广州市）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2（2015届广州市）已知函数()4,0,1,0,x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．43．（2015届广州市）已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425B ．12C ．23D ．14（2015届惠州市）下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( ) A ．3y x = B ．1y x x=+C ．e x y x -=⋅D ．ln()y x =- 5（2015届揭阳市）已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则12log (2)f 的值为 ．6（2015届茂名市） 若函数()y f x =在实数集R 上的图象是连续不断的，且对任意实数x 存在常数t 使得()()f t x tf x +=恒成立，则称()y f x =是一个“关于t 函数”．现有下列“关图1侧视图正视图h65于t 函数”的结论：①常数函数是“关于t 函数”；②“关于2函数”至少有一个零点；③xx f )21()(=是一个“关于t 函数”．其中正确结论的个数是 ( ).A ．1B ．2C ．3D ．0 7（2015届茂名市） 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x >0 时, ()f x ＝1＋x)21(，则(2)f -＝ .8（2015届深圳市）下列四个函数中，在闭区间]1,1[-上单调递增的函数是A ．2x y =B ．x y 2=C ．x y 2log =D ．x y 2sin =9（2015届肇庆市）函数x x y -+-=3)2ln(的定义域 ▲ . 答案：D A B B 1 B 45-B (]3,2 广东省各市2015年高考二模数学理试题分类汇编 立体几何1．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，得该几何体的表面积是________.2．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A ．13B ．7C ．433D ．3323．多面体MN ABCD -的底面ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( ) A ．163B ．6C ．203D ．64．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 的几何体的三视图，AV CB图22224ABC DMN则侧视图中的h =_________cm ．5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）. A ．23 B ．43 C ．83D ．46．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸， 则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计） A ．π8+ B ．π48+C ．π16+D ．π416+答案： 12π B C 6 B C 7（本小题满分14分）如图1,平面五边形SABCD 中SAD ABC DA CD BC AB SA ∆=∠=====,32,2,215π沿AD 折起成.如图2，使顶点S 在底面的射影是四边形ABCD 的中心O ，M 为BC 上一点，21=BM . （1）证明：SOM BC 平面⊥； （2）求二面角C SM A --的正弦值。
广东省揭阳市高考数学二模试卷(理科)
广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） a=0是复数z=a+bi为纯虚数的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2019高一上·宾县月考) 已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（）A . -7B . -5C . 2D . 94. （2分） (2016高三上·红桥期中) 以下说法正确的有（）（1）y=x+ （x∈R）最小值为2；（2）a2+b2≥2ab对a，b∈R恒成立；（3）a＞b＞0且c＞d＞0，则必有ac＞bd；（4）命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”；（5）实数x＞y是＜成立的充要条件；（6）设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∨￢q”也为假命题．A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个5. （2分）(2018·德阳模拟) 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为（）A .B .C .D . 136. （2分） (2017高二上·定州期末) 为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象上所有的点（）A . 向左平移个单位B . 向左平移个单位C . 向右平移个单位D . 向右平移个单位7. （2分）在平面直角坐标系中，直线与圆相交于A、B 两点，则弦AB的长等于（）A .B .C .D . 18. （2分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为（）A . 3B . 4C . 5D . 69. （2分）三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直，PA=1,PB=2,PC=3，且这个三棱锥的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·北区模拟) 已知实数x，y满足条件，则z=3x+2y的取值范围是（）A . （﹣∞，10]B . [5，10]C . [8，+∞）D . [8，10]11. （2分）如果点在以点F为焦点的抛物线上，则（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2019高一上·绍兴期末) 如图，有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是的直径，上底CD的端点在圆周上，为研究这个梯形周长的变化情况，有以下两种方案：方案一：设腰长，周长为；方案二：设，周长为，当x，在定义域内增大时A . 先增大后减小，先减小后增大B . 先增大后减小，先增大后减小C . 先减小后增大，先增大后减小D . 先减小后增大，先减小后增大二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·浙江) 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6 ， S6=________．14. （1分） (2017高二下·邢台期末) 若（2x2﹣3）n展开式中第3项的二项式系数为15，则n=________．15. （1分） (2015高一下·城中开学考) 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则• =________．16. （1分） (2017高一上·如东月考) 已知△ 中，，，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （15分） (2016高一下·高淳期末) 设数列{an}为等比数列，数列{bn}满足bn=na1+（n﹣1）a2+…+2an ﹣1+an ，n∈N* ，已知b1=m，，其中m≠0．（1）求数列{an}的首项和公比；（2）当m=1时，求bn；（3）设Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有Sn∈[1，3]，求实数m的取值范围．18. （5分）(2017·沈阳模拟) PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．19. （15分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证：AM∥平面BDE；（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（3）试在线段AC上一点P，使得PF与BC所成的角是60°．20. （10分） (2019高三上·双流期中) 已知椭圆的离心率为，椭圆经过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.21. （5分） (2016高二下·绵阳期中) 某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房子，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过am．房屋正面的造价为400元/m2 ，房屋侧面的造价为150元/m2 ，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？22. （10分） (2015高三上·唐山期末) 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为．（t为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=acosθ，（a＞0）（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a的值．23. （5分） (2016高一下·黔东南期末) 设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB=x，求△ADP的最大面积及相应x的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、。
广东省揭阳市高三数学第二次模拟试题 理(揭阳二模)新人教A版
揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U R =，{|A x y ==，则=A C UA.[0,)+∞B.(,0)-∞C. (0,)+∞D. (,0]-∞ 2．若(12)1ai i bi +=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则||a bi +=A ．12i + BC．D ．543．已知点A (1,5)-和向量a =（2,3），若3AB a =，则点B 的坐标为A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5，14) 4．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若129m a a a a =+++，则m 的值为A ．37B ．36C ．20D ．19 5．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(1)示，则该几何体的体积为A.7B.223C.476D.233图（1）俯视图侧视图正视图6．已知函数1()ln(1)f x x x =-+,则()y f x =的图象大致为7．某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为A.18B.24C.30D.36 8.设()f x 是定义在（0,1）上的函数，对任意的1y x >>都有11()()()1y x f f f xy x y-=--，记21()()55n a f n N n n *=∈++,则81i i a =∑=A.1()2fB.1()3fC. 1()4fD. 1()5f 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．若点(,1)a -在函数13log y x =的图象上，则4tanaπ的值为 ．10．过双曲线221916x y 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .11．某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件 1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个 图（2） 元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ． 12．已知函数()4||21f x a x a =-+．若命题：“0(0,1)x ∃∈，使0()0f x =”是真命题，则实数a 的取值范围为 ． 13．已知点(,)P x y 满足01,0 2.x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩则点(,)Q x y y +构成的图形的面积为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O 为极点，直线过圆C ：22cos()4πρθ=-元件2元件1的圆心C ，且与直线OC 垂直，则直线的极坐标方程为 ． 15．(几何证明选讲选做题) 如图（3）所示，,C D 是半圆周上的两个三等分点，直径4AB =，CE AB ⊥，垂足为E ，BD 与CE 相交于点F ，则BF 的长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()f x =（1）求函数()f x 的定义域；（2）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值． 17. （本小题满分12分）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；（2）在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．18．（本小题满分14分）数列{}n a 中，13a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为的等比数列．（1）求c 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求最小的自然数n ，使2013n a ≥．19．（本小题满分14分）在图（4）所示的长方形ABCD 中， AD=2AB=2，E 、F 分别为AD 、BC 的中点， M 、N 两点分别在AF 和CE 上运动，且AM=EN=a (0a <<把长方形ABCD 沿EF 折成大小为θ的二面角A-EF-C ，如图（5）所示，其中(0,]2πθ∈（1）当045θ=时，求三棱柱BCF-ADE 的体积；（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN 总与平面BCF 平行； （3）当090θ=且a =时，求异面直线MN 与AC 所成角图 3E BA o 图（5）图（4）MNFDCBE的余弦值．20. （本小题满分14分）如图（6）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线为，焦点为F 圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点作倾斜角 为3π的直线t ，交于点A ，交圆M 于点B,且||||2AO OB ==． （1）求圆M 和抛物线C 的方程；（2）设,G H 是抛物线C 上异于原点O 的两个不同点，且OG OH ⋅=,求GOH∆面积的图（6）（3）在抛物线C 上是否存在两点Q P ,关于直线()():10m y k x k =-≠对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a （1,2,n =）．（1）求12,a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对任意*n N ∈（2n ≥）,都有21(2)n a n ≤+成立．揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题：BCDA DACC解析：1．由210x -≥得0x ≥，[0,)A ∴=+∞，故选B ．2．由(12)1ai i bi +=-得1,12a b ⇒=-=-||a bi ⇒+==选C ．3．设(,)B x y ，由3AB a =得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D ．4．由129m a a a a =+++得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ．5．依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D.6．令()ln(1)g x x x =-+，则1'()111xg x x x =-=++，由'()0,g x >得0,x >即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，由'()0g x <得10x -<<，即函数()g x 在(1,0)-上单调递减，所以当0x =时，函数()g x 有最小值，min ()(0)0g x g ==，于是对任意的(1,0)(0,)x ∈-+∞，有()0g x ≥，故排除B 、D,因函数()g x 在(1,0)-上单调递减，则函数()f x 在(1,0)-上递增，故排除C,所以答案选A.7．四名学生中有两名分在一所学校的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一所学校的有33A 种，所以不同的安排方法种数是23343330C A A -=．故选C. 8. 因21(3)(2)()55(3)(2)1n n n a f f n n n n ⎛⎫+-+== ⎪++++-⎝⎭11()()23f f n n =-++，故81ii a=∑128111111()()()()()()34451011a a a f f f f f f =+++=-+-++-111131()()()()31111314f f f f -=-==⨯-，故选C.二．填空题：；10. 43200xy ；11.34；12. 12a >（或1(,)2a ∈+∞）；13.2；14. cos sin 20ρθρθ+-=（或cos()4πρθ-=解析：9．依题意得3a =，则4tana π=4tan 3π=． 10．双曲线221916x y 的右焦点为(5,0)，渐近线的方程为43y x =±，所以所求直线方程为4(5),3y x 即43200x y ．11．两个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12p =，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：2131(1)4P p =--=12．由“∃)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ”是真命题，得(0)(1)0f f ⋅<⇒(12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a >13．令,x y u y v +==，则点(,)Q u v 满足01,0 2.u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uov 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.14．把)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+，圆心C 的坐标为（1，1），与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()4πρθ-=15.依题意知30DBA ∠=,则AD=2，过点D 作DG AB ⊥于G ，则AG=BE=1，所以BF = 三．解答题：16．解：（1）函数()f x 要有意义，需满足：cos 0x ≠，解得,2x k k Z ππ≠+∈，------------2分 即()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈-------------------------------------4分（2）∵()f x==1cos 2sin 2cos x xx +-=--------6分22cos 2sin cos cos x x xx-=2(cos sin )x x =--------------------------------------------------8分由4tan 3α=-，得4sin cos 3αα=-, 又22sin cos 1αα+= ∴29cos 25α=，∵α是第四象限的角∴3cos 5α=，4sin 5α=----------------------10分∴14()2(cos sin )5f ααα=-=．-----------------------------------------------------------12分17. 解：（1）设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为25，----------------------2分故2232336()()55125P A C =⨯=. ------------------------------------------5分 (2)ξ可能的取值为0，1，2，3．----------------------------------6分P (ξ＝0)＝C24C 25·C 23C 25＝18100＝950， P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 23C 25＋C 24C 25·C 13·C 12C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 13·C 12C 25＋C 24C 25·C 22C 25＝1550， P (ξ＝3)＝C 14C 25·C22C 25＝125．-----------------------------10分 ξ的分布列为--------------------------------11数学期望为E ξ＝1×1225+2×1550+3×125=1.2．-------------------------------------------------------12分 18．解：（1）13a =，23a c =+，333a c =+， --------------------------------1分∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2(3)3(33)c c +=+， --------------------------------2分 解得0c =或3c =． --------------------------------3分当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故3c =．-------------------------------4分（2）当2n ≥时，由21a a c -=，322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-， 得1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=．--------------------------------6分 又13a =，3c =，∴2333(1)(2)(23)22n a n n n n n =+-=-+=，，．-------------------------8分当1n =时，上式也成立，∴23(2)()2n a n n n N *=-+∈．--------------------------------9分（3）由2013n a ≥得23(2)20132n n -+≥，即213400n n --≥--------------------------10分∵n N ∈*,∴n ≥141813622+⨯>=--------------------------------11分 令37n =，得3720012013a =<，令38n =得3821122013a =>----------------------13分∴使2013n a ≥成立的最小自然数38n =．--------------------------------14分 19．解：（1）依题意得,,EF DE EF AE EF ⊥⊥∴⊥平面ADE ，DEA ∠=θ-------2分 由45θ=得，12sin 452ADE S DE EA∆=⋅=, ∴BCF ADE ADE V S EF -∆=⋅=----------------------------------------------------------------------4分（2）证法一：过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M ，过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ，连结11M N ,------------5分N 1M 1EA BCDFNM∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN 又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF=== ∴11MM NN =--------------------------------7分∴四边形11MNN M 为平行四边形，--------------------------------------------------------8分11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面--------------------10分【法二：过点M 作MG EF ⊥交EF 于G ，连结NG ，则,CN FM FG NE MA GE == //NG CF ∴--------------------------------------------------------------6分 ,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面，------------7分同理可证得//MG BCF 面，又MG NG G =, ∴平面MNG//平面BCF-------------9分∵MN ⊂平面MNG, //MN BCF ∴面．----------------------------------------------------10分】 （3）法一：取CF 的中点为Q ，连结MQ 、NQ ，则MQ//AC ， ∴NMQ ∠或其补角为异面直线MN 与AC 所成的角，--------11分∵090θ=且a =∴12NQ =,MQ ==MN ∴=---------------------------------------------------------------------12分222cos 2QM MN NQ NMQ MN QM +-∴∠==⋅即MN 与AC --------------------------------14分 【法二：∵090θ=且a =分别以FE 、FB 、FC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. --------------11分 则111111(1,1,0),(0,0,1),(,,0),(,0,),(1,1,1),(0,,),222222A C M N AC MN =--=-得----12GEABCDFNMQ EBC DFNM分cos,AC MN∴<>==，……………………………………………13分所以与AC所成角的余弦值为14分】20. 解：(1)∵1cos602122pOA==⨯=，即2p=，∴所求抛物线的方程为24y x=--------------------------------2分∴设圆的半径为r，则122cos60OBr=⋅=，∴圆的方程为22(2)4x y-+=.--------------4分(2) 设()()1122,,,G x y H x y，由0OG OH⋅=得02121=+yyxx∵2211224,4y x y x==，∴1216x x=，--------------------------------6分∵12GOHS OG OH∆=,∴()()222222211221144GOHS OG OH x y x y∆==++=()()2211221444x x x x++=()()21212121214164x x x x x x x x⎡⎤+++⎣⎦≥()212121214164x x x x x x⎡⎤+⋅⎣⎦=256∴16GOHS∆≥,当且仅当122x x==时取等号，∴GOH∆面积最小值为16.-------------------------------------------9分(3) 设()()4433,,,yxQyxP关于直线m对称，且PQ中点()0,yxD∵()()4433,,,yxQyxP在抛物线C上，∴2233444,4y x y x==两式相减得：()()()3434344y y y y x x-+=---------------------------------11分∴343434444PQx xy y ky y k-+=⋅==--，∴2y k=-∵()0,yxD在()():10m y k x k=-≠上∴10x=-<，点()0,yxD在抛物线外--------------------------------13分∴在抛物线C上不存在两点QP,关于直线m对称. --------------------------14分1121．解：（1）解法1：∵121'()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=----------1分当1n =时，1'()(1)(13)f x x x =--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴1111()28a f ==，--------------------------------------------------3分当2n =时，2'()f x 2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减， ∴2211()216a f ==---------------------------------------------------5分 【解法2：当1n =时，21()(1)f x x x =-，则21'()(1)2(1)(1)(13)f x x x x x x =---=--当1[,1]2x ∈时，1'()0f x ≤，即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减，∴1111()28a f ==， 当2n =时，222()(1)f x x x =-，则222'()2(1)2(1)f x x x x x =---2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时，2'()0f x ≤，即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减，∴2211()216a f ==】（2）令'()0n f x =得1x =或2n x n =+，∵当3n ≥时，1[,1]22n n ∈+且当1[,)22nx n ∈+时'()0n f x >，当(,1]2nx n ∈+时'()0n f x <，-------------------7分 故()n f x 在2n x n =+处取得最大值，即当3n ≥时，22()()()222n n n n n a f n n n ==+++24(2)n n n n +=+,------（*）------------------9分当2n =时（*）仍然成立，综上得21,184.2(2)n nn n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩-------------------------------------10分（3）当2n ≥时，要证2241(2)(2)n n n n n +≤++，只需证明2(1)4n n +≥-------------------11分∵01222(1)()()n n nn n n C C C n n n +=+++2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=12 ∴对任意*n N ∈（2n ≥）,都有21(2)n a n ≤+成立.-------------------------14分。
广东省揭阳市高三数学第二次模拟考试 理
揭阳市2011年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中，不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高． 乘法公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|11,}M x x x Z =-≤≤∈,{|02}N x x =≤≤，则MN 为A. {1}B. {0,1,2}C. {|01}x x ≤≤D. {0,1} 2．设(12)34i z i -=+，则||z 为A ．3 B ．5C ．5 3. 为了解某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）的关系，统计了（ｘ，ｙ）的10组值，并画成散点图如图１，则其回归方程可能是 A . 10198y x ∧=-- B. 10198y x ∧=-+ C. 10198y x ∧=+ D.10198y x ∧=-图1图２主视图C 1B 1A 1CB A4．要得到函数sin(2)4y x π=+的图象，只要将函数sin 2y x =的图象A.向左平移4π单位 B.向右平移4π单位 C.向右平移8π单位 D.向左平移8π单位5．已知命题p ：x R ∃∈，5cos 4x =；命题q ：2,10x R x x ∀∈-+>.则下列结论正确的是A ．命题p q ∧是真命题B ．命题p q ∧⌝是真命题C ．命题p q ⌝∧是真命题D ．命题p q ⌝∨⌝是假命题 6．如图2，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为A ．16 B． C．．7．已知点(,)M x y 满足1,10,220.x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若ax y +的最小值为3，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．48．已知平面区域0{(,)|y x y y ≥⎧⎪Ω=⎨≤⎪⎩，直线2y mx m =+和曲线y =有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为 A ．2(0,]2ππ- B ．2(0,]2ππ+ C ．2[,1]2ππ+ D ．2[,1]2ππ- 二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30（一）必做题（9～13题） 9．函数()ln(2)xf x x =- 的定义域为 .10．双曲线29x －216y =1的离心率e = ；焦点到渐近线的距离为 . 11．在Rt ABC ∆中，0C=90∠，AB AC ⋅= .12．根据图3所示的程序框图，若0514231,5,10,a a a a a a ======3DEB A男女6432性别人数科别甲科室乙科室则输出的V 值为 ．13．在平面直角坐标系中，定义点11(,)P x y 、22(,)Q x y 之间的直角距离为1212(,)||||d P Q x x y y =-+-若点(,1),(1,2),(2,5)A x B C ，且(,)(,)d A B d A C >，则x 的取值范围为 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题, 两题全答的，只计前一题的得分）14．（几何证明选做题）如图4，BD ⊥AE ，90C?o ，AB ＝4, BC ＝2,AD ＝3,则DE ＝ ；CE ＝ . 图415．(坐标系与参数方程选做题) 设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()42in πρθ+=上的动点，则M 与N 的最小距离是 .三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，△ABC 的面积S满足cos S A =. （1）求角A 的值；（2）若a =B 的大小为,x 用x 表示c ，并求c 的取值范围．17.(本小题满分12分)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个 科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.（1）求从甲、乙两科室各抽取的人数；（2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率； （3）记ξ表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列及数学期望.18. （本小题满分14分）已知数列{}n a 是首项11a =，公差大于０的等差数列，其前ｎ项和为n S ，数列{}n b 是首项12b =的等比数列，且2216b S =,3372b S =．DCBA(1) 求n a 和n b ；(2) 令11c =，221k k c a -=，212k k k c a kb +=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n c 的前12+n 项和12+n T ．19．（本小题满分14分）已知如图5，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA=AD=1,AB=2,120PAB ∠=,90PBC ∠=.(1)求证：平面PAD ⊥平面PAB ；(2)求三棱锥D －PAC 的体积；(3)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值． 图520．（本小题满分14分）已知：向量(3,0)OA =，O 为坐标原点，动点M 满足：||||4OM OA OM OA ++-=. (1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）已知直线1l 、2l 都过点(0,1)B ，且12l l ⊥，1l 、2l 与轨迹C 分别交于点D 、E ，试探究是否存在这样的直线？使得△BDE 是等腰直角三角形.若存在，指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知：函数2()21f x ax x =-+. (1) 若113a ≤≤，且()f x 在[1,3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-，求()g a 的表达式；(2) 在(1)的条件下，求证：1()2g a ≥； （3）设0a >，证明对任意的121,[,)x x a∈+∞，1212|()()|||f x f x a x x -≥-.y=2x-2x揭阳市2011年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题：DCBD CDCD 解析：5．因命题p 假，命题q 真，所以答案选C. 6．该三棱柱的侧视图是长为4，宽为 D.7. 由各选项知a 取正值，设ax y z +=，结合图形易得当直线y ax z =-+ 过点(1,0)时，ax y +取得最小值，故3a =，选C. 8.已知直线2y mx m =+过半圆y =上一点（－2,０）， 当ｍ＝０时直线与ｘ轴重合，这时()1P M =，故可排除A,B,若ｍ＝１，如图可求得当2()2P M ππ-=，故选D. 二．填空题：9. {|23x x <<或3}x >；10.53、4； 11. 3；12.32；13. 0x <或3x >；14.5、1 . 解析：10．因3,45a b c ==⇒=，所以53e =，焦点(5,0)到渐近线43y x =的距离为4545d ⨯== 11. ()2AB AC AC+CB AC AC 3⋅=⋅==，或AB AC |AB||AC|cos A ⋅=⋅|||AB ||AC ||AB |AC =⋅2||3AC ==． 12．该框图是求多项式5432543210a x a x a x a x a x a +++++当01x x ==时的值，依题意知5432543210a x a x a x a x a x a +++++5(1)x =+，故输出的ｖ值为5(11)32+=.13．由定义得|1|1|2|4|1||2|3x x x x -+>-+⇒--->，解得0x <或3x >．14.依题意得△ADB ∽△ACB AD ABAD AE AC AB AC AE ⇒=⇒⋅=⋅()AD AD DE AC AB ⇒+=⋅ 64953DE ⨯-⇒==,DB =由DB AD DB ACEC EC AC AD⋅=⇒==15.将方程2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=化为普通方程得2220x y y ++=1x y +=结合图形易得M 与N1.三．解答题：16.解：（1）在ABC ∆中，由cos S A =1sin 2bc A =得tan A =-------------------------------------------------------------------------------3分∵0A π<< ∴3A π=-------------------------------------------5分（2）由3a A π==及正弦定理得2sin sin a c A C===，------------7分 ∴22sin 2sin()2sin()3c C A B x ππ==--=---------------------------9分∵3A π= ∴203x π<< ∴22033x ππ<-<--------------------10分∴20sin()13x π<-≤， 202sin()23x π<-≤ 即(0,2]c ∈ ------------------------------------------------------------12分17.解：（1）从甲组应抽取的人数为310215⨯=，从乙组中应抽取的人数为35115⨯=；--------2分（2）从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率26210213C P C =-=（或11246421023C C C P C +==）----------------------------------------------------5分（3）ξ的可能取值为0，1，2，3-----------------------------------------------------6分2142211054(0)75C C P C C ξ==⋅=，------------------------------------------------------------7分1111246324212110510522(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，---------------------------------------------8分2163211051(3)5C C P C C ξ==⋅=，---------------------------------------------------------------9分34(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==（或 2111166432212110510534(2)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=)-------10分∴ξ的分布列如右4223419012375757555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=---------------------------------12分 18.解：(1)设数列{}n a 的公差为d （0d >）数列{}n b 的公比为q ，则1(1),n a n d =+- 12n n b q -=.------------------1分 依题意得222(2)16b S q d =+=，2332(33)72b S q d =+=由此得2(2)8(1)12q d q d +=⎧⎨+=⎩ ∵0d >,解得22d q =⎧⎨=⎩.----------------------5分∴21n a n =-，2n n b =.----------------------------------------------6分 (2) ∵()211121342()2n T c a a b a a b +=++++++⋅ +⋅⋅⋅212()n n n a a nb -+++＝2121(2)n n S b b nb ++++⋅⋅⋅+---------------------------------------9分令122n A b b nb =+++则22222n A n =+⋅++⋅2312222(1)22n n A n n +=+⋅++-+⋅P ABCDE 212222n n A n +-=+++-⋅，∴11222n n A n ++=⋅-+-----------------12分又2222(1)42n n n a S n +==，∴2112114222n n n T n n +++=++⋅-+2134(1)2n n n +=++-.-------------------14分 19. (1)证明：∵ABCD 为矩形∴AD AB ⊥且//AD BC --------------------------------------1分 ∵BC PB ⊥ ∴DA PB ⊥且AB PB B = --------------------2分∴DA ⊥平面PAB ,又∵DA ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面PAB -----------------------------------------5分(2) ∵D PAC P DAC P ABC C PAB V V V V ----===----------------------------------7分由（1）知DA ⊥平面PAB ，且//AD BC ∴BC ⊥平面PAB -------------8分 ∴111sin 332C PAB PAB V S BC PA AB PAB BC -∆=⋅=⋅⋅⋅∠⋅11216=⨯⨯=----10分 （3）解法1：以点A 为坐标原点，AB 右图示，则依题意可得(0,0,1)D ,(0,2,1)C,1(,0)22P - 可得35(,1)2CP =--, ----------------------------12分 平面ABCD 的单位法向量为(1,0,0)m =，设直线PC 与平面ABCD所成角为θ，则cos()2||||m CP m CP πθ⋅-===⋅∴sin θ=，即直线PC 与平面ABCD 分 解法2：由（1）知DA ⊥平面PAB ，∵AD ⊂面ABCD∴平面ABCD⊥平面PAB, 在平面PAB 内，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，则PE ⊥平面ABCD，连结EC ，则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角-------------12分 在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴PE=,又2222cos1207PB PA AB PA AB =+-⋅=∴PC ==在Rt△PEC中sinPEPCθ===.即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值分20．(1)解法１：设'()A------------------------------ 1分则|||||'|||OM OA OM OA OM OA OM OA++-=-+-=|'|||4MA MA+=>分∴动点M的轨迹为以A、'A为焦点，长轴长为 4的椭圆-----------------5分由42c a a=⇒=∴1b==----------------------------- 6分∴动点M的轨迹C的方程为2214xy+=---------------------------------7分[解法２：设点(,)M x y，则(3,),()OM OA x y OM OA x y+=+-=------------------------2分∵||||4OM OAOM OA++-=4=>------------------------------ 4分∴点M的轨迹C是以(为焦点，长轴长为 4 的椭圆------------5分∴2,a c==∴1b== --------------------------6分∴动点M的轨迹C的方程为2214xy+=------------------7分](2)由（1）知，轨迹C是椭圆2214xy+=，点(0,1)B是它的上顶点，设满足条件的直线1l、2l存在，直线1l的方程为1(0)y kx k=+>----①则直线2l的方程为11y xk=-+，-------------②--------------------------------------------------------------8分将①代入椭圆方程并整理得：22(14)80k x kx++=，可得2814Dkxk-=+，则228114Dkyk-=++.--9分将②代入椭圆方程并整理得：22(4)80k x kx +-=，可得284E kx k =+，则2814E y k-=++.---10分 由△BDE 是等腰直角三角形得||||BD BE=⇒=2422222222264646464(14)(14)(4)(4)k k k k k k k ⇒+=+++++222222222222(1)11(14)(4)(14)(4)k k k k k k k k ++⇒=⇒=++++221144k k k ⇒=++ 3232414144k k k k k k ⇒+=+⇒-=-2(1)(1)4(1)k k k k k ⇒-++=-----③--------12分∴1k =或2310k k -+=-----④-----------------------------------------------------------------------13分 ∵方程④的根判别式50∆=>，即方程④有两个不相等的实根，且不为1. ∴方程③有三个互不相等的实根.即满足条件的直线1l 、2l 存在，共有3组．-----------------------------------------------------------14分 （注：只答存在1组，给2分） 21.解：（1）∵211()()1f x a x aa=-+-由113a ≤≤得113a ≤≤ ∴11()()1N a f a a ==-.-----------------------2分 当112a ≤<，即112a <≤时，()M a (3)95f a ==-,故1()96g a a a=+-；-----------3分当123a ≤≤，即1132a ≤≤时，()M a (1)1f a ==-，故1()2g a a a=+-.-------------4分∴1112,[,];32()1196,(,1].2a a a g a a a a ⎧+-∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩-------------------------------------------------5分（2）∵当11[,]32a ∈时，21'()1g a a =-0<，∴函数()g a 在11[,]32上为减函数；---------6分 当1(,1]2a ∈时，21'()90g a a =->，∴函数()g a 在1(,1]2上为增函数，-------------7分 ∴当12a =时，()g a 取最小值，min 11()()22g a g ==,-------------------------------8分 故1()2g a ≥.------------------------------------------------------------------9分 （3）∵当0a >时，抛物线2()21f x ax x =-+开口向上，对称轴为1x a=， ∴函数()f x 在1[,)a +∞上为增函数，-----------------------------------------------------------10分（或由'()220f x ax =-≥得1x a ≥，∴函数()f x 在1[,)a+∞上为增函数） 不妨设12x x ≤，由121,[,)x x a ∈+∞得12()()f x f x ≤∴1212|()()|||f x f x a x x -≥-2121()()()f x f x a x x ⇔-≥-2211()()f x ax f x ax ⇔-≥- 令2()()(2)1x f x ax ax a x ϕ=-=-++，x ∈1[,)a+∞----------------------------------12分 ∵抛物线()y x ϕ=开口向上，对称轴为22a x a +=，且211122a a a a+=+> ∴函数()x ϕ在1[,)a +∞上单调递增，∴对任意的121,[,)x x a∈+∞，21x x ≥ 有21()()x x ϕϕ≥，即2()()f x a x f -≥-1|()(f x f ⇔-≥-----------14分。
广东省揭阳市高三数学第二次模拟试题 理
揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数2()=ln(2)1f x x x x +--的定义域为 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）(0,2) （D ）[1,2]（2）已知复数21i z i=-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则z z +=（A ）2i （B ）2i - （C ）-2 （D ）2（3）已知向量3,1),(0,1),(3)a b c k ==-=r r r，若2a b -r r 与c r 共线，则k 的值为（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 （4）已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是 （A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题 （C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题 （5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，则所选的4人中至少有1名女生的概率为（A ）1415（B ）815 （C ）25 （D ）415（6）已知函数2log ,(0)()2,(0)x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则不等式()1f x >的解集为（A ）(2,)+∞（B ）(,0)-∞ （C ）(,0)(2,)-∞+∞U （D ）(0,2)（7）如图1，圆柱形容器内盛有高度为6cm 的水，若放入3个相同的铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为 （A ）4cm （B ）3cm （C ）2cm （D ）1 cm（8）已知函数2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线l 与直线310x y +-=垂直，记数列1{}()f n的前n项和为nS，则2016S的值为（A）20152016（B）20162017（C）20142015（D）20172018（9）函数()(1cos)sinf x x x=+在[,]ππ-的图象的大致形状是（10）实数,x y满足条件20,40,3.x yx yx-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22yx的取值范围为（A）[4,)+∞（B）1[,2]3（C）[0,4]（D）1[,4]9（11）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为(A)20+2π (B) 206π+(C) 142π+ (D)16（12）在平面直角坐标系中，过原点O的直线l与曲线2xy e-=交于不同的两点A、B，分别过A、B作x轴的垂线，与曲线lny x=交于点C、D，则直线CD的斜率为（A）3 （B）2 （C）1 （D）12第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．ABCDb年产量/kg0.0015450550350250650a频率/组距0.0040（13）某水稻品种的单株稻穗颗粒数X 服从正态分布2(200,10)N ，则(190)P X >=__________．(附：若Z～2(,)N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544.)(14)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两条渐近线的夹角为60o，则该双曲线的离心率为 .(15)执行如图3所示的程序框图，则输出的k 值为 . (16)已知等差数列{}n a 满足18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 图3(17)（本小题满分12分）已知如图4，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，120BAC ∠=o，且152AB AC ⋅=-u u u r u u u r.(Ⅰ)求△ABC 的面积； (Ⅱ)若5AB =，求AD 的长. 图4(18)（本小题满分12分）某人租用一块土地种植一种瓜类作物，租期5年， 根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图5所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平 均年产量为455kg . 当年产量低于450 kg 时，单位售价为 12元/ kg ，当年产量不低于450 kg 时，单位售价为10元/ kg . （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）以各区间中点值作为该区间的年产量，并以年 产量落入该区间的频率作为年产量取该区间中点值的概率，求年销售额X （单位：元）的分布列； 图5 （Ⅲ）求在租期5年中，至少有2年的年销售额不低于5000元的概率．（19）（本小题满分12分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o， AB=PC=2，2.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设H 是PB 上的动点，求CH 与平面PAB 所成 最大角的正切值.图6（20）(本小题满分12分)已知椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b=>>的离心率为6，若动点A 在椭圆C 上，动点B在直线62ab y c ==上.（c 为椭圆的半焦距） （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若OA OB ⊥(O 为坐标原点)，试探究点O 到直线AB 的距离是否为定值；若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.(21)（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()2x f x e ax =+，()g x 是()f x 的导函数， （Ⅰ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()00g x =； （Ⅱ）若存在实数,a b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值．请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图7所示，⊙O 和⊙P 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E ．(Ⅰ) 若BC =2，BD =4，求AB 的长； (Ⅱ) 若AC =3，求AE 的长．(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C 的普通方程为：22194x y +=． (Ⅰ) 设2y t =，求椭圆C 以t 为参数的参数方程；(Ⅱ) 设C 与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴的交点分别为A 、B ，点P 是C 上位于第一象限的动点，求四边形AOBP 面积的最大值．（其中O 为坐标原点）(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|2|||(,0)f x x x a a R a =+--∈>，OPAB DC E图7(Ⅰ) 若()f x 的最小值是3-，求a 的值； (Ⅱ) 求关于x 的不等式|()|2f x ≤的解集．揭阳市2016年高中毕业班第二次高考模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 答案BCCDACBBADAC（7）设球的半径为r ，依题意得3243(66)33r r r r ππ⨯=-⇒=. (8)依题意知2()f x x ax =-的图象在点A (1,(1))f 处的切线斜率'(1)231k f a a ==-=⇒=-，故1111()(1)1f n n n n n ==-++， 201611111122320162017S =-+-++-L 12016120172017=-=． （9）由()12f π=可排除（C ）、(D)，由33()134f π=>可排除（B ）,故选(A). (10)设y k x =，则k 为可行域内的点与原点连线的斜率，易得123k ≤≤，故2149k ≤≤. （11）该几何体为一底面边长为2，高为3的长方体挖去两个14圆柱（圆柱的底面半径为1）得到的组合体，故其表面积为：211(41)2(41+21)320222πππ-⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+.(12)设直线l 的方程为(0)y kx k =>，且1122(,),(,)A x y B x y ，故121x kx e -=，222x kx e-=12221211,x x x e x e k k--⇒==，则122212121211ln()ln()ln ln x x CD e e x x k k k x x x x ----==-- 121211ln (2)ln ln (2)ln 1x e x e k k x x +----==-.二、填空题：ABCDE题号 13 14 15 16 答案0.8413233或2621解析：(13) (190)P X >=1()()0.52P X P X μσμσμσ>-=⋅-<<++0.8413=(16)由81358a a =得11135(7)8(12)61a d a d d a +=+⇒=-， 由1113(1)(1)()061n a a n d a n a =+-=+--≥1213n ⇒≤，所以，数列{}n a 前21项都是正数，以后各项为负数，故n S 取最大值时，n 的值为21. 三、解答题：（17）解：(Ⅰ)∵152AB AC ⋅=-u u u r u u u r ，∴115cos 22AB AC BAC AB AC ⋅⋅∠=-⋅=-,---2分 即15AB AC ⋅=，----------------------------------------------------3分∴315311sin 152224ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠=⨯⨯=.-------5分(Ⅱ)解法1：由5AB =得3AC =，延长AD 到E ，使AD=DE ，连结BE ，---------------6分∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形，∴60ABE ∠=o,且3BE AC ==-----------8分设AD x =，则2AE x =，在△ABE 中，由余弦定理得：222(2)2cos 2591519x AB BE AB BE ABE =+-⋅∠=+-=,-----------------------10分解得192x =，即AD 的长为192.--------------------------------------12分 【解法2：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，----------------------------------------------------------------------------------------------7分 由正弦定理得：sin sin BC ABBAC ACD=∠∠，得35sin 532sin 714AB BACACD BC∠∠===，----------------------------------------9分 ∵090ACD <∠<oo∴211cos 1sin 14ACD ACD ∠=-∠=，--------------10分在△ADC 中，22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 解得192AD =.------------------------------------------------------12分】 【解法3：由5AB =得3AC =，在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos 2591549BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=++=, 得7BC =，--------------------------------------------------------------------------------------7分在△ABC 中，2229492511cos 223714AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯,------------9分 在△ADC 中，由22249711192cos 92342144AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，解得192AD =.-------------------------------------------------------12分】 （18）解：（Ⅰ）由100(0.00150.004)1a b +++=，得100()0.45a b +=，----------------------------------------------1分 由3001004000.45001006000.15455a b ⨯+⨯+⨯+⨯=，得300500 2.05a b +=，-----------------------------------------------3分 解得0.0010a =；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）依题意知X 的可能取值为3600、4800、5000、6000，-------------------6分 ∵(3600)0.1P X ==，(4800)0.4P X ==，(5000)0.35P X ==，(3600)0.15P X ==，∴X 的分布列为X 3600 4800 5000 6000 P0.10.40.350.15分（Ⅲ）∵一年的销售额不低于5000元的概率为0.35+0.15=0.5, -------------------9分5年中年销售额不低于5000元的年数1~(5,)2B ξ，∴5年中至少有2年的年销售额不低于5000元的概率为51551113(2)1(0)(1)1()()2216P P P C ξξξ≥=-=-==--⨯=.-----------------12分（19）解：(Ⅰ)证明：取AB 中点O ，连结PO 、CO ，----------1分 由PA=PB=2，AB=2，知△PAB 为等腰直角三角形， ∴PO=1，PO⊥AB，-----------------------------------2分 由AB=BC=2，60ABC ∠=o，知△ABC 为等边三角形， ∴3CO =，-------------------------------------3分由2PC =得222PO CO PC +=,∴PO⊥CO，-------------------------------------------------------4分 又AB CO O=I ，∴PO⊥平面ABC ，----------------------------------------------5分又PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ----------6分 （Ⅱ）解法1：如图，连结OH ，由（Ⅰ）知CO PO ⊥，CO AB ⊥ ∴C O⊥平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角，-----------7分 在Rt △COH 中，∵tan OC CHO OH ∠=3OH=，-----------8分 要CHO ∠最大，只需OH 取最小值，而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时OH PB ⊥，22OH =，-------------10分故当CHO ∠最大时，tan 6CHO ∠=.即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.------------------------------12分 【解法2：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABC ，CO AB ⊥，如图所示，以O 为原点，OC 、OB 、OP 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(3,0,0)C ，(0,1,0)B ，(0,0,1)P ，-----------------------------7分设点H 的坐标为(0,,)m n ，BH BP λ=u u u r u u u r，则(0,1,)(0,1,1)m n λ-=-，∴1,m n λλ=-=，即(0,1,)H λλ-，------8分则(3,1,)HC λλ=--u u u r ，(3,0,0)OC =u u u r为平面PAB 的法向量，设CH 与平面PAB 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||OC HC OC HC OC HC θ⋅=<>=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u u r 22333(1)()λλ=⨯+-+-23172()22λ=-+,------10分当12λ=时，sin θ取最大值，max 6(sin )7θ=，-------------------------11分 又(0,]2πθ∈，此时θ最大，tan 6θ=，即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.-----------------12分】 (20)解：(Ⅰ)依题意得：63c a =-----① 62ab c =--------②-------------1分 ①×②得1b =，---------------------------------------------------2分又2222223c a b a a -==，解得23a =---------------------------------3分 ∴所求椭圆C 的方程为2213x y +=.--------------------------4分 （Ⅱ）依题意知直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =， （1）若0k ≠，则直线OB 的方程为1y x k=-， 设(,),(,)A AB B A x y B x y ，则由222233113A AA A Ay kx x x k y =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，------------------------6分由2213262B B B B y x k k x y ⎧=-⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩，-------------------------------------------------------------------7分∵222223(1)||1|31AAA k OA x y k x k +=+=+=+--------------------------------8分 ∴222213(1)||1()|2BBB k OB x y x k +=+=+-=,-----------------------------9分设点O 到直线AB 的距离为d ，则22222222223(1)3(1)231)3121||3(1)||+||3(1)3(1)312AOB k k S k k d AB k OA OB k k k ∆++⋅++===+++++（.---------10分 (2)若0k =，则A 点的坐标为(3,0)或(3,0)，B 点的坐标为6(0,2， 这时，6321634d ==+，---------------------------------------------------------------------------11分综上得点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.-------------------------------------------------12分 【解法二：设A、B的坐标00(,)A x y 、6(,)2B t ，------------------------------------------5分由点A 在椭圆C 上和OA OB ⊥分别可得：220013x y +=和00602tx y +=，--------6分 设点O 到直线AB 的距离为d，则有||||||,OA OB AB d ⋅=⋅-------------------------------7分2222||||||OA OB AB d ∴⋅=⋅222222221||||||||||||||AB OA OB d OA OB OA OB +⇒==⋅⋅,-------------------8分2022********22222662000000006022220111111112||||3()()()x d OA OB x y x y x y x y t y x ∴=+=+=+=+⋅++++++220022220000323213()3(1)3x x x x y x ++===++--------------------------------------------------------------------11分 所以点O 到直线AB 的距离为定值，其值为1.--------------------------------------------------12分】 (21)（Ⅰ）证明：∵()()2x g x f x e ax '==+，()2x g x e a '=+，------------------------1分当0a >时，()0g x '>，∴函数()g x 在∞∞(-,+)上的单调递增，------------------------2分 又12g a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1210ae--<，()010g =>，------------------------------------------------------3分 ∴存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =；-----------------------------------------------4分（Ⅱ）解：（1）当0a <时，则当(,0)x ∈-∞时，()0g x >，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，且当x →-∞时，()f x →-∞，这与()f x b ≥矛盾；---------------------------5分 （2）当a =，由x e b≥，得b ≤，∴a b -≥；------------------------------------------6分（3）当0a >，由（Ⅰ）知当()0,x x ∈-∞时，()0g x <；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >； 即()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，----------------------------------7分 ∴()()0min f x f x =，-----------------------------------------------------------------------------------8分其中0x 满足0020x e ax +=，故002x e a x =-且00x <，∵()f x b ≥恒成立，∴0()b f x ≤即020xb e ax -≥--，于是0020001122x xx a b a e ax e x ⎛⎫-≥--=-+- ⎪⎝⎭，------------------9分记1()(1)22xx h x e x =-+-，0x <，则()()221'()112x h x e x x x=-+，-----------------10分由'()0h x <得1x <-，即函数()h x 在(,1)-∞-上单调时递减，'()0h x >得10x -<<，即函数()h x 在(1,0)-上单调递增，∴min 1()(1)h x h e=-=-， 综上得a b -的最小值为1e-，此时01x =-．--------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）由弦切角定理得BAC BDA ∠=∠，---------1分BAD BCA ∠=∠，----------------------------------------------------2分 所以BAC ∆∽BDA ∆，------------------------------------------------------------------3分得AB BC BD AB=，----------------------------------------------------------------------------4分28AB BC BD =⋅=，22AB =；---------------------------------5分（Ⅱ）连接EC ，∵AEC AEB BEC ∠=∠+∠，-----------------------------------------6分ACE ABE BAD ADB ∠=∠=∠+∠-------------------------------------------------7分∵AEB BAD ∠=∠，BAC BDA ∠=∠=BEC ∠,----------------------8分 ∴AEC ACE ∠=∠------------------------------------------------9分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)将2y t =代入椭圆的普通方程得22249(1)9(1)4t x t =-=-，------------1分 于是得231x t =±-，-----------------------------------------------------------------------------2分∴椭圆C 的参数方程为231,2.x t y t ⎧⎪=-⎨=⎪⎩（t 为参数）和231,2.x t y t ⎧⎪=--⎨=⎪⎩（t 为参数）---4分(Ⅱ)依题意知点A(3,0)，B(0,2)，--------------------------------------------------------------------5分 设点P的坐标为(3cos ,2sin )θθ，(0)2πθ<<---------------------------------------------6分则BPO OPA AOBP S S S ∆∆=+四边形1123cos 32sin 22θθ=⨯⨯+⨯⨯---------------------------8分3sin 3cos 32sin()4πθθθ=+=+，(0)2πθ<<-------------------------------------------9分当sin()14πθ+=，即4πθ=时，四边形AO BP 面积取得最大值，其值为32.--------10分（24）解：（Ⅰ）解法1：∵0a >， ∴(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，--------------2分当2x a -≤<时，2()2a f x a --≤<+，∴当x R ∈时，2()2a f x a --≤≤+---4分∴min ()(2)3f x a =-+=-，∴a =1；--------------------------------------------------5分【解法2：∵||2|||||(2)()|2x x a x x a a +--≤+--=+，----------------------2分∴|()|2f x a ≤+，min ()(2)f x a =-+，---------------------------------------------3分又已知min ()3f x =-， ∴a =1；-----------------------------------5分】（Ⅱ）由（Ⅰ）知(2),(2)()22,(2)2,()a x f x x a x a a x a -+<-⎧⎪=+--≤<⎨+≥⎪⎩，（0a >）当2x <-时，()(2)2f x a =-+<-，|()|2f x >，不等式|()|2f x ≤解集为空集---6分当x a ≥时，()22f x a =+>，不等式|()|2f x ≤解集也为空集；----------------7分当2x a -≤<时，|()|2f x ≤，即2222x a -≤+-≤⇒222a a x -<< ∵222a ->-，2aa <，∴当2x a -≤<时，|()|2f x ≤的解为222a a x -<<-----9分综上得所求不等式的解集为{|2}22a a x x -<<----------------------------10分。
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揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，则下列表示正确的是A.1A -∉B.11A -∈C.32k A +∉D.231k A -∈2．已知复数1z i =+，则21z z=- A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i 3．命题P ：“2,12x Rx x∃∈+<”的否定P ⌝为A. 2,12x R x x ∃∈+> B.2,12x R x x ∃∈+≥ C.2,12x R x x ∀∈+≥ D.2,12x R x x ∀∈+< 4．已知1sin()3πα+=，则cos 2α=A.9B.89C.79-D.79图1侧视图5.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ-a b 与向量(56)=--，c 共线，则λ的值为 A ．43 B ．413 C ．49- D ．4 6．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则y x 的最小值是A.1B. 4C.23D.0 7．已知点P 在抛物线24x y =上，那么点P 到点(12)M -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为A ．1(1,)4 B ． 1(1,)4- C ．(1,2)- D ．(1,2)8．连续掷一正方体骰子（各面的点数分别为1，2，3，4，5，6）两次得到的点数分别为m 、n ，作向量(,)a m n =，若(1,1)b =-，则a 与b 的夹角成为直角三角形内角的概率是 A.59 B. 712 C.512 D. 710二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．已知幂函数()y f x =的图象过点1(3,)3，则12log (2)f 的值为 ．10．6展开式中的常数项为 ． 11．图1中的三个直角三角形是一个体积为330cm 则侧视图中的h =_________cm ．12．下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩将第1次到第12次的考试成绩依次记为1212,,,a a a L .图2是 统计上表中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么 算法流程图输出的结果是 .13．在△ABC 中，已知角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2(cos cos )c a B b A b -=，则sin sin AB= ． （二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中，曲线(2cos sin )3ρθθ-=与(cos 2sin )1ρθθ+=-的交点的极坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，点P 在圆O 的直径AB 的 延长线上，且PB=OB=3,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于点D ，则CD 的长为 ． 图3三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知函数()sin()6f x A x πω=+(00)A ω>>，的部分图象如图4示，其中M 1(,0)6-为图象与x 轴的交点，1(,2)3P 为图象的最高点． (1)求A 、ω的值； (2)若2()3f απ=，(,0)3πα∈-，求cos()3πα+的值． 17．(本小题满分12分)某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：（单位：分）甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129； 乙：133，107，120，113，122，114，125，118，129，127. （1）以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出甲、乙两班 学生数学成绩的茎叶图，并判断哪个班的平均水平较高； （2）若数学成绩不低于128分，称为“优秀”，求从甲 班这10名学生中随机选取3名，至多有1名“优秀”的概率； （3）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩， 若从该校（人数很多）任选3人，记X 表示抽到“优秀”学生 的人数，求X 的数学期望． 18．(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 满足：0n a >，15a =，n S 为其前n 项和，且13220S S S ，，7成等差数列． （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设525452+2log log log n n b a a a =+++，求数列{1nb }的前n 项和n T ． 19．（本小题满分14分）如图6，已知四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， AB ∥CD ，AD ⊥CD ，PA=PD=CD=2AB=2． （1）求证：AB ⊥PD ；（2）记AD=x ，()V x 表示四棱锥P-ABCD 的体积， 当()V x 取得最大值时，求二面角A-PD-B 的余弦值．20．(本小题满分14分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1(F 、2F ，P 为椭圆C 上任一点，12PF PF ⋅uuu r uuu r的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A ，试探究是否存在直线:l y kx m =+与椭圆C 交于D 、E 两点，且使得||||AD AE =？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数()1,()f x a R =∈ （1）当1a =时，解不等式()1f x x <-； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（3）若在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方，求a 的取值范围．揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：DBCD ACBB解析：8．因m 、n 均取自1-6，故向量a 有6636⨯=种取法，由cos ,a b <>=知，0,2a b π<<>≤，则m n ≥，这样的(,)m n 共有12345621+++++=（个），故所求的概率2173612P ==．二、填空题：9. 1；10. 160-；11. 6；12.7；14. 7)4π；三、解答题：16．解：（1）由1(,2)3P 为图象的最高点知2A =，---------------------1分又点M 1(,0)6-知函数()f x 的最小正周期114()236T =+=，-----------------------3分 ∵2T πω=∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6f x x ππ=+由2()3f απ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分 ∵(,0)3πα∈-∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴cos()63πα+===-------------------------9分 ∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分∴cos()3πα+11132326=-⨯=------------12分17．解：（1）甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：--3分 乙班的平均水平较高；----------------------------4分（2）由上数据知：甲班这10人中“优秀”的学生有2名， 则从这10名学生中随机选取3人，至多有1人“优秀”的概率321882310C +14C 15C C P ==.----------------------------8分 （3）因样本20名学生中，“优秀”的有4名，故从这20名学生中任选1名，恰好抽到“优秀”的概率为4=0.220，-------------------------------------------------------------------------10分 据此可估计从该校中任选1名学生，其为“优秀”的概率为0.2，因(30.2)XB ，,所以30.20.6EX =⨯=.---------------------------------------------------------------------------12分 18．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∵13220,,7S S S 成等差数列，3122207.S S S ∴=+-----------------------------------2分 即21111112()207()a a q a q a a a q ++=++，化简得225250q q --=，------4分 解得：5q =或52q =- ------------------------------------------------------------------6分 ∵0n a >，∴52q =-不合舍去， ∴111555n n n n a a q --==⨯=.-----------------------------------------7分 (2)∵525452+2log log log n n b a a a =+++=24+2+2524225log ()log 5242(+1)n n a a a n +++==+++------------9分(1)(222)(1)(2)2n n n n +++==++，------------------------------------------10分∴1n b =111=(1)(+212n n n n -+++），-----------------------------------------------------12分∴12111n nT b b b =+++111111()()()233412n n =-+-++-++11222(2)nn n =-=++.----------------------------------------14分 19．解：（1）证明：∵AB ∥CD ，AD ⊥CD ，∴AB ⊥AD ，-----------------------------1分 ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD平面ABCD =AD ，∴AB ⊥平面PAD --------------------------------------------2分 又∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD------------------------------------------------------3分 （2）取AD 中点E ，连结PE ，∵PA=PD ，∴PE ⊥AD ，----4分 又侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且平面PAD平面ABCD =AD ，∴PE ⊥底面ABCD ，-------------------------------------------------------------------------5分在Rt ∆PEA 中，PE ==∴1()3ABCD V x S PE =⋅梯形11(12)32=⨯⨯+⨯14=04x <<）------7分∵()V x 124≤=-------------------------------9分当且仅当x =x =“＝”成立，即当()V x 取得最大值时AD = -----------------------------------------------------10分解法1：∵AD =222+8PA PD AD ==，∴PD ⊥PA ，--------------------11分又(1)知AB ⊥PD ，PA AB A =∴PD ⊥平面PAB ,又PB ⊂平面PAB∴PD ⊥PB ，------------------------------------------13分 ∴APB ∠为二面角A －PD －B 的平面角在Rt PAB ∆中,cosPA APB PB ∠===,即当()V x 取得最大值时，二面角A －PD －B ．-------------------14分[解法2：以点E 为坐标原定，EA 所在的直线为x 轴、PE 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图示：则E （0，0，0），0，0)，D(，0，0)，P(0，0，,0)B∴(2,1,PB =(PD =, 设平面PDB 的法向量为(,,)m a b c =由,m PB m PD ⊥⊥0b +=，0=，令1c =，则1a =-，b =∴(1m =-------------------------12分 又(0,1,0)AB =是平面PAD 的一个法向量， 设二面角二面角A－PD－B的大小为θ，则25c o s |5|||1110m A m A B θ⋅===⋅，即所求二面角A －PD －B 的余弦值为5．--------------------------------------------------14分]20.解：(1)设(,)P x y ,由1(F 、2F 得1(,)PF x y =-uuu r , 2,)PF x y =-uuu r.∴212)PF PF x x y ⋅=-+uuu r uuu r223x y =+-，---------------------2分由22221x y a b +=得2222(1)x y b a=- ∴222122(1)3x PF PF x b a⋅=+--uuu r uuu r 22233x b a =+-，------------------------4分∵220x a ≤≤，∴当22x a =，即x a =±时，12PF PF ⋅uuu r uuu r有最大值，即212max ()331PF PF b ⋅=+-=uuu r uuu r，---------------------------------------6分∴21b =，2224a c b =+=，∴所求双曲线C 的方程为2214x y +=.------------------------------------7分 （其它解法请参照给分）（2）假设存在直线l 满足题设，设1122(,),(,)D x y E x y ，将y kx m =+代入2214x y +=并整理得 222(14)8440k x kmx m +++-=，------------------------------------------------------------8分由222222644(14)(44)16(41)0k m k m m k ∆=-+-=--->，得2241k m +>-----------①又122814kmx x k +=-+--------------------10分由||||AD AE =可得2222112212121212(1)(1)()(2)()()0x y x y x x x x y y y y -+=-+⇒-+-+-+=121212122()0y y x x y y x x -⇒+-++=-212(1)()220k x x km ⇒+++-=228(1)22014kmk km k⇒-++-=+ 化简得2143k m k +=-------------②------------------------------------------12分将②代入①得2221441()3k k k++> 化简得42222010(41)(51)0k k k k +->⇒+->，解得k >k <所以存在直线l ，使得||||AD AE =，此时k 的取值范围为(,)-∞⋃+∞．-------14分21．解：（1）当1a =时，不等式()1f x x <-即|1|x x x -<， 显然0x ≠，当0x >时，原不等式可化为：|1|1111x x -<⇒-<-<02x ⇒<<--------------------------2分当0x <时，原不等式可化为：|1|111x x ->⇒->或11x -<-2x ⇒>或0x <，∴0x < 综上得：当1a =时，原不等式的解集为{|020}x x x <<<或---------------3分（2）∵221,()() 1.()x ax x a f x x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-+-<⎪⎩--------------------------------------4分若x a ≥时，∵0a >，由'()2f x x a =-知，在(,)a +∞上，'()0f x ≥， 若x a <，由'()2f x x a =-+知，当2ax <时，'()0f x >， 当2ax a <<时，'()0f x <， ∴当0a >时，函数()f x 的单调增区间为(,)2a -∞，(,)a +∞，单调减区间为(,)2a a .----6分(其它解法请参照给分)（3）在区间(0,1]上，函数()f x 的图象总在直线(,y m m R m =∈是常数）的下方， 即对(0,1]x ∀∈都有()f x m <，⇔对(0,1]x ∀∈都有||1x x a m -<+，-------7分 显然1m >-，即1()1m x x a m --<-<+⇒对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x++-<-<恒成立 ⇒对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x x++-<<+------------------------------8分 设1(),(0,1]m g x x x x +=-∈，1()m p x x x+=+，(0,1]x ∈， 则对(0,1]x ∀∈，11m m x a x x x++-<<+恒成立⇔max min ()()g x a p x <<，(0,1]x ∈----9分∵21'()1,m g x x+=+当(0,1]x ∈时'()0g x > ∴函数()g x 在(0,1]上单调递增，∴max ()g x m =-------------------------10分又∵21'()1m p x x +=-1≥即0m ≥时，对于(0,1]x ∈，有'()0p x <∴函数()p x 在(0,1]上为减函数∴min ()(1)2p x p m ==+----------------------------------------------11分1<，即10m -<<时，当x ∈，'()0p x ≤当x ∈，'()0p x >∴在(0,1]上，min ()p x p ==--------------------------------12分（或当10m -<<时，在(0,1]上，1()m p x x x +=+≥，当x =又∵当10m -<<时，要max min ()()g x a p x <<即m a -<<m >-2440m m ⇒--<，解得22m -<<+∴当20m -<<时，m a -<<---------------------------------------------13分 当0m ≥时，2m a m -<<+．-----------------------------------------------------------------14分。