2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期期中数学试题(解析版)

【点睛】
本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.
2．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为 米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）
（1）求 的值;
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）利用倍角公式、辅助角公式将 化为 ，由两条相邻对称轴之间的距离为 可得周期为 ，再利用周期的计算公式计算即可；
纵坐标不变，得到函数 ，因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 上存在零点，所以 ，
故实数 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查三角函数的图象及其性质的应用，涉及到倍角公式、辅助角公式、函数图象的变换、函数零点等知识，是一道容易题.
18．已知 满足 ，若其图像向左平移 个单位后得到的函数为奇函数．
（1）求 的解析式；
16．函数 的图象与其对称轴在 轴右侧的交点从左到右依次记为 在点列 ，中存在三个不同的点 使得 是等腰直角三角形，将满足上述条件的 值从小到大组成的数列记为 ，则 ________.
【答案】
【解析】不妨设 是以 为顶点的等腰直角三角型，由 的最值可得斜边 ，结合 的周期性及对称性可知 ，进一步得到 的表达式即可得到答案.
【答案】(1)14.25海里；（2）渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助．
【解析】【详解】试题分析：（1）这是解三角形问题，图形中 ，已知 ，要求 ，因此由正弦定理知应该知道它们所对的两角，由题中已知的三个方位角，可求出 ， ， ，故易求得结论；（2）只要求出两船到达 点的时间即可， 国舰艇路程为 ，我渔政船路程为 ，这里要在 中求出 ，已知 ，因此应用余弦定理可求出 ，从而得出结论．
【详解】
由 ，可得 ，
设 ，函数 的图象与 有3个交点，
如图：
三个零点 ， ， ，
从图可知 ，即 ， ，即 ，
可得 的取值范围是 ，
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，对称问题和转化思想的应用，属于中档题．
11．函数 在区间 上的最小值是 ，则 的取值范围是_______．
2019-2020学年上海市华师大二附中高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】首先求得 的单调减区间，根据 在 上是减函数，求得 ，由此求得 的取值范围.
【详解】
的递减区间是 ，又 ， ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：B．
（3）若 ，其中 ，求此函数的解析式，并求 ．
【答案】（1）2；（2） ；（3）见解析
【解析】（1）由内往外计算即可；
（2）由已知，通过计算易得数列 是以4为周期的周期数列，先计算 的值，利用 即可得到答案；
（3）代入表中数据即可得到 的解析式，再分n为奇数、偶数讨论求和即可.
【详解】
（1）由表中数据可得 .
试题解析：（1）∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，则 的图象向左平移 个单位后得到的函数为 ，而 为奇函数，则有 ， ，而 ，
则有 ，从而 .
（2） ，
由正弦定理得： ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ∵ 是锐角三角形， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ .
19．钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A、B、C分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点C的南偏西36°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为3海里.
【答案】
【解析】利用函数 的单调性求解即可.
【详解】
的单调增区间为
当 时， 的单调增区间为
由于
则要使函数 在区间 上是单调函数
必须
即实数 的最大值为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正弦型函数的单调性以及利用单调区间求参数的取值，关键是将正弦型函数化归为正弦函数来处理问题，属于中等题.
14．已知函数 ,下列说法正确的是__________．
9．已知函数 ，则满足不等式 的实数 的取值范围是________.
【答案】
【解析】由已知，可得 在 上为奇函数且单调递增，将 改写为 ，利用单调性可得 ，解不等式组即可.
【详解】
由已知， ，所以 在 上是奇函数，又
时， 均为增函数，所以 在 上为增函数，故 在 上为增函
数，又 ，所以 ，
所以 ，解得 .
【答案】
【解析】 ,令 , ,其图像开口向下,对称轴为 ,故在区间 上为增函数.令 ,解得 .故 的范围须在 .而 ,根据 函数图像的对称性可知 .
12．已知将函数 的图象向右平移 个单位长度得到画 的图象，若 和 的图象都关于 对称，则 ________.
【答案】
【解析】 和 的图象都关于 对称，所以 ①， ②，由①②结合 即可得到答案.
函数周期 ，令 ，可得 .则函数在 上有8条对称轴.
根据正弦函数的性质可知 ，
将以上各式相加得：
故选:C.
【点睛】
本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为 的形式.
二、填空题
5．函数 的对称中心是________.
【答案】
【解析】由正切函数的对边分别为 ，设 的面积为 ，若 ，则 的最大值为_____．
【答案】
【解析】由题得
由题得
所以 ,当且仅当 时取等号.
所以 的最大值为 ,故填
点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把 中的分母化简成 ,第二个难点
是得到 后，如何求tanA的最大值.转化成利用基本不等式求cosA的最大值.
② ， ，
， 是 的最小正周期，②正确；
③ 时， ，
， 在 单调递减，③正确；
④ 是奇函数图象关于 对称，
不是对称中心，④错误；
⑤
，
，⑤正确，故答案为②③⑤.
点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数的单调性、函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
（1）求A、C两点间的距离；（精确到0.01）
（2）某一时刻，我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P C A（直线行进），而我东海某渔政船正位于点A南偏西60°方向20海里的点Q处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M处，再折向点A直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助？说明理由．
3．已知 是函数 的最大值，若存在实数 使得对任意实数 总有 成立，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用正弦的和角公式以及辅助角公式化简 至标准型正弦函数，解得 ，即可容易求得结果.
【详解】
因为
∴ ，周期 ，
又存在实数 ，对任意实数 总有 成立，
∴ ， ，
的最小值为 ，
故选：B.
（2） ，由于 ，则 ， ，
， ，所以 ，依次递推可得数列
的周期为4，又 ，所以 .
（3）由题意得 ，由 ，得 ，即
，又 ，则 ，从而 ，而 ，所以
，故 ，消 ，得
所以 ，解得 ，又 ，
所以 ，所以 ，
此函数有最小正周期6，且 ， ，
（2）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且满足 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；（2） .
【解析】试题分析：（1）根据周期求出 ,利用图象变换求出 ,即可求 的解析式；(2)由正弦定理得： ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ,用 表示出 ,代入已知的等式,利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据 的范围求出这个角的范围,由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围.
（2）由函数的平移、伸缩变换可得 ，函数 在区间 上存在零点，则 在 上有解，即 的取值范围即为 在 上的值域.
【详解】
（1） ，
因为两条相邻对称轴之间的距离为 ，所以 ，
即 ，所以 .
（2）由（1）可得 ，将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数
，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
故答案为：
【点睛】
本题考查利用函数的单调性解不等式，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.
10．设函数 ， ，若函数 恰有三个零点 ，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】根据函数 ， ，求解 的值域，函数 恰有三个零点，转化为函数图象与 有3个交点，结合三角函数的图象即可得结果．
【详解】
由题意， ，因为 和 的图象都关于 对
称，所以 ①， ②，由①②，得
，又 ，所以 ，将 代入①，得
，注意到 ，所以 ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，涉及到函数图象的平移、函数的对称性，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
13．已知函数 在区间 上是单调函数，则实数 的最大值为__________.
试题解析：（1）求得 ，
由 海里.
（2）R国舰艇的到达时间为： 小时.
在 中，
得 海里，
所以渔政船的到达时间为： 小时.