湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题
湖北省武汉市华中师大一附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
湖北省武汉市华中师大一附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．（5分）设全集U是实数集R，集合M={x|x2＞2x}，N={x|log2（x﹣1）≤0}，则（∁U M）∩N为（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x＜2}2．（5分）若且，则sin（π﹣α）（）A．B．C．D．3．（5分）对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinxcosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x4．（5分）设，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．（5分）函数f（x）=2sinx+tanx+m，有零点，则m的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．6．（5分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．7．（5分）设满足，则f（n+4）=（）A．2B．﹣2 C．1D．﹣18．（5分）已知，则等于（）A．B．C．D．A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C．f（2）＜g（0）＜f（3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）10．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA满足2bcosB=acosC+ccosA，若b=，则a+c的最大值为（）A．B．3C．2D．9二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（理）已知cos（﹣x）=a，且0，则的值用a表示为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则λ+μ的值是．13．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．14．（5分）如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则•的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f（）=﹣；②若|f（x1）=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．17．（12分）设集合A为函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式的解集．（1）求A∩B；（2）若C⊆∁R A，求a的取值范围．18．（12分）已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，﹣2cosx）设函数f（x）=•（1）求f（x）的单调增区间；（2）若tanα=，求f（α）的值．19．（12分）已知向量=（cosx，cosx），=（0，sinx），=（sinx，cosx）=（sinx，sinx）．（1）当x=时，求向量与的夹角θ；（2）当x∈时，求•的最大值；（3）设函数f（x）=（﹣）（+），将函数f（x）的图象向右平移s个长度单位，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1，令=（s，t），求||的最小值．20．（13分）利用已学知识证明：（1）sinθ+s inφ=2sin cos；（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，求△ABC的面积．21．（14分）已知函数f（x）=x2+2x，（Ⅰ）若x∈，求f（x）的值域；（Ⅱ）若存在实数t，当x∈，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．湖北省武汉市华中师大一附中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．（5分）设全集U是实数集R，集合M={x|x2＞2x}，N={x|log2（x﹣1）≤0}，则（∁U M）∩N为（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x＜2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：分别求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，根据全集U=R，求出M的补集，找出M补集与N的交集即可．解答：解：由M中的不等式变形得：x2﹣2x＞0，即x（x﹣2）＞0，解得：x＞2或x＜0，∴M={x|x＞2或x＜0}，∵全集U=R，∴∁U M={x|0≤x≤2}，由N中的不等式变形得：log2（x﹣1）≤0=log21，得到0＜x﹣1≤1，解得：1＜x≤2，即N={x|1＜x≤2}，则（∁U M）∩N={x|1＜x≤2}．故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）若且，则sin（π﹣α）（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：已知等式利用诱导公式化简求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，所求式子利用诱导公式化简后，将sinα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵cos（2π﹣α）=cosα=，α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则sin（π﹣α）=sinα=﹣．故选B点评：此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3．（5分）对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinxcosx考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：直接利用已知条件，判断函数的奇偶性，以及函数的周期性，然后判断选项即可．解答：解：对于任意x∈R，满足条件f（x）=f（﹣x），说明函数是偶函数，满足f（x﹣π）=f（x）的函数是周期为π的函数．对于A，不是偶函数，不正确；对于B，也不是偶函数，不正确；对于C，是偶函数，但是周期不是π，不正确；对于D，f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，是偶函数，周期为：π，正确．故选：D．点评：本题考查抽象函数的奇偶性函数的周期性的应用，基本知识的考查．4．（5分）设，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数和对数函数的性质分别判断取值范围，然后比较大小即可．解答：解：0＜logπ31，，所以0＜a＜1，b＞1，c＜0，所以c＜a＜b，即b＞a＞c．故选C．点评：本题主要考查利用指数函数和对数函数的性质比较数的大小，比较基础．5．（5分）函数f（x）=2sinx+tanx+m，有零点，则m的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：易知函数f（x）=2sinx+tanx+m在上是增函数，从而可得f（﹣）•f（）≤0，从而解得．解答：解：易知函数f（x）=2sinx+tanx+m在上是增函数，则只需使f（﹣）•f（）≤0，即（2×（﹣）+（﹣）+m）（2×++m）≤0，故m∈；故选：D．点评：本题考查了函数的单调性的判断与函数零点的判定定理的应用，属于基础题．6．（5分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a＞1，由此不难判断函数的图象．解答：解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C点评：若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．7．（5分）设满足，则f（n+4）=（）A．2B．﹣2 C．1D．﹣1考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：结合题意，分别就当n＞6时，当n≤6时，代入，然后由f（n）=﹣可求n，进而可求f（n+4）解答：解：当n＞6时，f（n）=﹣log3（n+1）=﹣∴n=不满足题意，舍去当n≤6时，f（n）=∴n﹣6=﹣2即n=4∴f（n+4）=f（8）=﹣log39=﹣2故选B点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是根据不同的自变量的范围确定相应的函数解析式8．（5分）已知，则等于（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：先将sin（）用两角和正弦公式化开，然后与sinα合并后用辅角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案．解答：解：∵sin（）+sinα=sinα++sinα==﹣∴∴sin（）=﹣∵cos（α+）=cos（）=﹣sin（）=故选D．点评：本题主要考查两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式．三角函数部分公式比较多，容易记混，对公式一定要强化记忆．9．（5分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=e x，则有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C． f（2）＜g（0）＜f（3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）考点：函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合．专题：压轴题．分析：因为函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）．用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）=e﹣x，又由f（x）﹣g（x）=e x联立方程组，可求出f（x），g（x）的解析式进而得到答案．解答：解：用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，即f（x）+g（x）=﹣e﹣x，又∵f（x）﹣g（x）=e x∴解得：，，分析选项可得：对于A：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故A错误；对于B：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），故B错误；对于C：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故C错误；对于D：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），且f（3）＞f（2）＞0，而g（0）=﹣1＜0，D正确；故选D．点评：本题考查函数的奇偶性性质的应用．另外还考查了指数函数的单调性．10．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA满足2bcosB=acosC+ccosA，若b=，则a+c的最大值为（）A．B．3C．2D．9考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理化边为角，可求导cosB，由此可得B，由余弦定理可得：3=a2+c2﹣ac，由基本不等式可得：ac≤3，代入：3=（a+c）2﹣3ac可得a+c的最大值．解答：解：2bcosB=ccosA+acosC，由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，∴2sinBcosB=sinB，又sinB≠0，∴cosB=，∴B=．∵由余弦定理可得：3=a2+c2﹣ac，∴可得：3≥2ac﹣ac=a c∴即有：ac≤3，代入：3=（a+c）2﹣3ac可得：（a+c）2=3+3ac≤12∴a+c的最大值为2．故选：C．点评：该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，基本不等式的应用，考查学生运用知识解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（理）已知cos（﹣x）=a，且0，则的值用a表示为2a．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由x的范围求出﹣x的范围，根据cos（﹣x）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（﹣x）的值，利用诱导公式求出所求式子分母的值，将cosx=cos，求出cosx的值，进而确定出cos2x 的值，代入计算即可求出值．解答：解：∵0＜x＜，∴0＜﹣x＜，∵cos（﹣x）=a，∴sin（﹣x）=，∴cos（+x）=cos=sin（﹣x）=，cosx=cos=×a+×=（a+），即cos2x=2cos2x﹣1=2×（a+）2﹣1=a2+1﹣a2+2a﹣1=2a，则原式==2a．故答案为：2a点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则λ+μ的值是．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得点C的坐标，进而可得向量的坐标，由向量相等可得，可得答案．解答：解：∵点C在第一象限内，∠AOC=，且|OC|=2，∴点C的横坐标为x C=2cos=，纵坐标y C=2sin=1，故=（，1），而=（1，0），=（0，1），则λ+μ=（λ，μ）由=+⇒，∴λ+μ=1+故答案为：+1．点评：本题考查平面向量的坐标运算，以及相等向量．13．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．解答：解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，∵tanA=，tanB=，∴===，∴sinAcosB=cosA（2sinC﹣sinB）=2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，即A=，∴cosA==，∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2rsinA）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），∴△ABC面积为S=bcsinA≤×3×=，则△ABC面积的最大值为：．故答案为：．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．14．（5分）如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O 上的一个动点，且点P与点A不重合，则•的取值范围是．考点：平面向量数量积的运算．分析：如图所示：设∠PAB=θ，作OM⊥AP，则∠AOM=θ，求得AP=2AM=10sinθ，可得=10sinθ×1×cosθ=5sin2θ，由此求得•的取值范围．解答：解：如图所示：设∠PAB=θ，作OM⊥AP，则∠AOM=θ，∴sinθ=，AM=5sinθ，AP=2AM=10sinθ．∴=10sinθ×1×cosθ=5sin2θ∈，故答案为：．点评：本题主要考查了向量的数量积的定义，弦切角定理及三角函数的定义的综合应用，试题具有一定的灵活性，属于中档题．15．（5分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f（）=﹣；②若|f（x1）=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是①③．考点：二倍角的正弦．专题：探究型；三角函数的图像与性质．分析：①f（）=|cos|•sin==﹣；②若|f（x1）=|f（x2）|，即|sin2x1|=|sin2x2|，列举反例x1=0，x2=时也成立；③在区间上，f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，单调递增；④由f（x+π）≠f（x），可得函数f（x）的周期不是π；⑤由函数f（x）=|cosx|•sinx，可得函数是奇函数．解答：解：①f（）=|cos|•sin==﹣，正确；②若|f（x1）=|f（x2）|，即|sin2x1|=|sin2x2|，则x1=0，x2=时也成立，故②不正确；③在区间上，f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，单调递增，正确；④∵f（x+π）≠f（x），∴函数f（x）的周期为π，不正确；⑤∵函数f（x）=|cosx|•sinx，∴函数是奇函数，∴f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，点（﹣，0）不是函数的对称中心，故不正确．故答案为：①③．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式，以及三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据两角和的余弦函数公式化简已知的等式，得到cos（B+C）的值，由B+C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B+C的度数，然后由三角形的内角和定理求出A的度数；（Ⅱ）根据余弦定理表示出a的平方，配方变形后，把a，b+c及cosA的值代入即可求出bc的值，然后由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）∵，∴又∵0＜B+C＜π，∴，∵A+B+C=π，∴．（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA得即：，∴bc=4，∴．点评：此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．17．（12分）设集合A为函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式的解集．（1）求A∩B；（2）若C⊆∁R A，求a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；补集及其运算；函数的值域；对数函数的定义域．专题：常规题型；计算题．分析：（1）分别计算出几何A，B，再计算A∩B即可；（2）根据条件再由（1）容易计算．解答：解：（1）∵﹣x2﹣2x+8＞0，∴解得A=（﹣4，2）．∵，∴B=（﹣∞，﹣3]∪∪∪∪（2）先表示出f（α），然后分子分母同时除以coa2α，并将tanα的值代入即可．解答：解：f（x）=•=2cos2x﹣2sinxcosx=1+cos2x﹣sin2x=1+2cos（2x+）…（3分）（1）当2kπ﹣π≤2x+≤2kπ时，f（x）单调递增，解得：kπ﹣≤x≤kπ﹣k∈Z∴f（x）的单调递增区间为k∈Z …（7分）（2）f（α）=2cos2α﹣2sinαcosα===…（12分）点评：本题考查平面向量的数量积，三角函数的单调性，三角函数的值，考查学生计算能力，是中档题．19．（12分）已知向量=（cosx，cosx），=（0，sinx），=（sinx，cosx）=（sinx，sinx）．（1）当x=时，求向量与的夹角θ；（2）当x∈时，求•的最大值；（3）设函数f（x）=（﹣）（+），将函数f（x）的图象向右平移s个长度单位，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1，令=（s，t），求||的最小值．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）当x=时，利用cosθ=，即可求向量与的夹角θ；（2）当x∈时，化简•的表达式，通过相位的范围，利用正弦函数的值域求解其最大值；（3）通过三角变换求出函数g（x）的表达式，与g（x）=2sin2x+1对照比较，得到=（s，t），即可求||的最小值．解答：解：（1）当x=时，向量=（cosx，cosx）=（），=（0，sinx）=（0，），•==，，，﹣﹣﹣﹣（2分）cosθ===，∴θ=﹣﹣﹣﹣（4分）．（2）•=（sinx，cosx）•（sinx，sinx）=sin2x+sinxcosx===．﹣﹣﹣﹣（6分）∵x∈，∴2x﹣，∴﹣﹣﹣﹣（8分）．函数f（x）=（﹣）（+）=（cosx，cosx﹣sinx）•（2sinx，cosx+sinx）=．=2sin（2x+），（3）将函数f（x）的图象向右平移s个长度单位，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1，∴2sin2x+1=2sin（2x+﹣2s）+t，t=1，s=+kπ，k∈Z．=（s，t），||=≤=．点评：本题考查向量的数量积，两角和与差的三角函数，三角函数图象的平移变换，向量的模等知识，考查分析问题解决问题的能力．20．（13分）利用已学知识证明：（1）sinθ+sinφ=2sin cos；（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，求△ABC的面积．考点：三角函数恒等式的证明；三角函数的和差化积公式．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（1）由于θ=（+），φ=（﹣）即可证明；（2）化简可得，由已知△ABC的外接圆的半径为2，即可求△ABC的面积．解答：解：（1）…（4分）（2）∵∴由（1）可得∴…（10分）∵已知△ABC的外接圆的半径为2∴…（12分）点评：本题主要考察了三角函数的和差化积公式的应用，三角函数恒等式的证明，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=x2+2x，（Ⅰ）若x∈，求f（x）的值域；（Ⅱ）若存在实数t，当x∈，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数恒成立问题．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由f（x）的图象与性质，讨论a的取值，从而确定f（x）在上的增减性，求出f（x）的值域．（Ⅱ）把f（x+t）≤3x转化为（x+t）2+2（x+t）≤3x，即u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，在x∈恒小于0问题，考查u（x）的图象与性质，求出m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+2x的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣1，∴当﹣2＜a≤﹣1时，f（x）在上是减函数，，∴此时f（x）的值域为：；当﹣1＜a≤0时，f（x）在上先减后增，f（x）max=f（﹣2）=0，f（x）min=f（﹣1）=﹣1，∴此时f（x）的值域为：；当a＞0时，f（x）在上先减后增，，∴此时f（x）的值域为：．（Ⅱ）若存在实数t，当x∈，f（x+t）≤3x恒成立，即（x+t）2+2（x+t）≤3x，∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0；设u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，其中x∈∵u（x）的图象是抛物线，开口向上，∴u（x）max=max{u（1），u（m）}；由u（x）≤0恒成立知；化简得；v令g（t）=t2+2（1+m）t+m2﹣m，则原题转化为存在t∈，使得g（t）≤0；即当t∈时，g（t）min≤0；∵m＞1时，g（t）的对称轴是t=﹣1﹣m＜﹣2，①当﹣1﹣m＜﹣4，即m＞3时，g（t）min=g（﹣4），∴，解得3＜m≤8；②当﹣4≤﹣1﹣m＜﹣2，即1＜≤3时，g（t）min=g（﹣1﹣m）=﹣1﹣3m，∴，解得1＜m≤3；综上，m的取值范围是（1，8]．解法二，由，∴m≤，即=8，1＜m≤8；即得m的取值范围（1，8]．点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题的应用，解题时应讨论对称轴在区间内？在区间左侧？区间右侧？从而确定函数的最值．。
华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题
华中师大一附中2014-2015学年上学期期末考试高一数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1．设全集U 是实数集R ，集合}2|{2x x x M >=，}0)1(log |{2≤-=x x N ，则N M C )(U 为A ．}21|{<<x xB ．}21|{≤≤x xC ．}21|{≤<x xD ．}21|{<≤x x2．若35)2cos(=-απ且)0,2(πα-∈，则=-)sin(απ A ．35-B ．32-C ．31-D ．32± 3．下列函数中，对于任意∈x R ，同时满足条件)()(x f x f -=和)()(x f x f =-π的函数是A ．x x f sin )(=B ．x x x f cos sin )(⋅=C ．x x f cos )(=D ．x x x f 22sin cos )(-= 4．设3log π=a ，3.02=b ，6sinlog 3π=c ，则A ．c b a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>5．函数m x x x f ++=tan sin 2)(，]3,3[ππ-∈x 有零点，则m 的取值范围是A ．),32[+∞B ．]32,(-∞C ．),32()32,(+∞-∞D ．]32,32[-7. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=-6,136),1(log )(63x x x x f x 满足98)(-=n f ，则=+)4(n fA ．2B ．2-C ．1D ．1-8．已知534sin )3sin(-=++απα，02<<-απ，则)32cos(πα+等于 A ．54-B ．53-C ．53D ．549. 若函数)(x f ，)(x g 分别是R 上的奇函数，偶函数，且满足x e x g x f =-)()(，则有A ．)0()3()2(g f f <<B ．)2()3()0(f f g <<C ．)3()0()2(f g f <<D ．)3()2()0(f f g <<10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a , b , c ，且C a cos ，B b cos ，A c cos 满足 A c C a Bb c o s c o s c o s 2+=，若3=b ，则c a +的最大值为 A ．23 B ．3 C ．32 D ．9二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．已知a x =-)4cos(π，且40π<<x ，则)4cos(2cos x x +π的值用a 表示为__________．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知)0,1(A ，)1,0(B ，点C 在第一象限内，6π=∠AOC ，且2=OC ，若OB OA OC μλ+=，则μλ+的值是__________．13．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a , b , c ，外接圆半径为1，且满足bbc B A -=2tan tan ， 则△ABC 面积的最大值为__________．14．已知A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB 在A 点处与圆 O 相切，点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AB AP ⋅的取值范围是__________． 15．已知函数x x x f s i n |c o s|)(⋅=，给出下列五个说法：①43)32014(-=πf ；②若|)(||)(|21x f x f =，则∈+=k k x x (21πZ )；③)(x f 在区间]4,4[ππ-上单调递增；④函数)(x f 的周期为π；⑤)(x f 的图象关于点)0,2(π-成中心对称。
华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题
华中师大一附中2014-2015学年上学期期末考试高一数学试题考试限时：120分钟 卷面满分：150分 命题人：袁曼 审题人：黄进林一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1．设全集U 是实数集R ，集合}2|{2x x x M >=，}0)1(log |{2≤-=x x N ，则N M C )(U 为A ．}21|{<<x xB ．}21|{≤≤x xC ．}21|{≤<x xD ．}21|{<≤x x2．若35)2cos(=-απ且)0,2(πα-∈，则=-)sin(απ A ．35-B ．32-C ．31-D ．32± 3．下列函数中，对于任意∈x R ，同时满足条件)()(x f x f -=和)()(x f x f =-π的函数是A ．x x f sin )(=B ．x x x f cos sin )(⋅=C ．x x f cos )(=D ．x x x f 22sin cos )(-= 4．设3log π=a ，3.02=b ，6sinlog 3π=c ，则A ．c b a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>5．函数m x x x f ++=tan sin 2)(，]3,3[ππ-∈x 有零点，则m 的取值范围是A ．),32[+∞B ．]32,(-∞C ．),32()32,(+∞-∞D ．]32,32[-7. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=-6,136),1(log )(63x x x x f x 满足98)(-=n f ，则=+)4(n fA ．2B ．2-C ．1D ．1-8．已知534sin )3sin(-=++απα，02<<-απ，则)32cos(πα+等于 A ．54-B ．53-C ．53D ．549. 若函数)(x f ，)(x g 分别是R 上的奇函数，偶函数，且满足x e x g x f =-)()(，则有A ．)0()3()2(g f f <<B ．)2()3()0(f f g <<C ．)3()0()2(f g f <<D ．)3()2()0(f f g <<10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a , b , c ，且C a cos ，B b cos ，A c cos 满足 A c C a B b cos cos cos 2+=，若3=b ，则c a +的最大值为A ．23 B ．3 C ．32 D ．9二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．已知a x =-)4cos(π，且40π<<x ，则)4cos(2cos x x +π的值用a 表示为__________．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知)0,1(A ，)1,0(B ，点C 在第一象限内，6π=∠AOC ，且2=OC ，若OB OA OC μλ+=，则μλ+的值是__________．13．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a , b , c ，外接圆半径为1，且满足bbc B A -=2tan tan ， 则△ABC 面积的最大值为__________．14．已知A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB 在A 点处与圆 O 相切，点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AB AP ⋅的取值范围是__________． 15．已知函数x x x f sin |cos |)(⋅=，给出下列五个说法：①43)32014(-=πf ；②若|)(||)(|21x f x f =，则∈+=k k x x (21πZ )；③)(x f 在区间]4,4[ππ-上单调递增；④函数)(x f 的周期为π；⑤)(x f 的图象关于点)0,2(π-成中心对称。
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高一上学期期末考试物理试题Word版含答案
时限: 90分钟满分: 110分命题人：苏航审题人：许春一、选择题(本题共10小题，共50分，在每小题给出的四个选项中，第1至6题只有一个选项是正确的，第7至10题有多个选项是正确的，全部选对得5分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分)1．牛顿在伽利略和笛卡尔等人的研究基础上，总结出动力学的一条基本规律——牛顿第一定律。
下列说法正确的是A．伽利略的理想实验是没有事实依据的凭空想象的实验B．伽利略以事实为依据，通过假设、推理得出力不是维持物体运动状态的原因C．笛卡尔指出：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
D．牛顿第一定律与牛顿第二定律一样，都可通过实验直接检验2．关于曲线运动，下列说法正确的是A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动B．物体在变力作用下一定做曲线运动C．质点做匀速率曲线运动，其加速度一定与速度方向垂直，且指向轨迹的凹侧D．质点做匀速率曲线运动，加速度大小一定不变3．在秋收的打谷场上，脱粒后的谷粒用传送带送到平地上堆积起来形成圆锥体，随着堆积谷粒越来越多，圆锥体体积越来越大，简化如图所示．用力学知识分析得出圆锥体底角的变化情况应该是A．不断增大B．保持不变C．不断减小D．先增大后减小4. 细绳拴一个质量为m的小球，小球用固定在墙上的水平弹簧支撑，小球与弹簧不粘连。
平衡时细绳与竖直方向的夹角为53°，如图所示，下列说法正确的是A.小球静止时弹簧的弹力大小为35 mgB．小球静止时细绳的拉力大小为35 mgC．细线烧断后小球做平抛运动D．细绳烧断瞬间小球的加速度为5 3 g5．如图所示,放在倾角θ=15°的斜面上物体A与放在水平面上的物体B通过跨接于定滑轮的轻绳连接,在某一瞬间当A沿斜面向上的速度为v1时，轻绳与斜面的夹角α=30°，与水平面的夹角β=60°，此时B沿水平面的速度v2为A 1B 1C 1D 16．如图所示为电影《星际穿越》中的飞船图片，当飞船只在万有引力的作用下运动时，宇航员处于完全失重状态；为了模拟重力环境，可以让飞船旋转起来。
2014-2015学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)数学期末试卷 及解析
2014-2015学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．（5.00分）设全集U是实数集R，集合M={x|x2＞2x}，N={x|log2（x﹣1）≤0}，则（∁U M）∩N为（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x＜2}2．（5.00分）若且，则sin（π﹣α）（）A．B．C．D．3．（5.00分）对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinxcosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x4．（5.00分）设，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．（5.00分）函数f（x）=2sinx+tanx+m，有零点，则m的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．6．（5.00分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．7．（5.00分）设满足，则f（n+4）=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣18．（5.00分）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．B．C．D．9．（5.00分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=e x，则有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C．f（2）＜g（0）＜f （3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）10．（5.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA满足2bcosB=acosC+ccosA，若b=，则a+c的最大值为（）A．B．3 C．2 D．9二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5.00分）（理）已知cos（﹣x）=a，且0，则的值用a表示为．12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则λ+μ的值是．13．（5.00分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．14．（5.00分）如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则•的取值范围是．15．（5.00分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f（）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12.00分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．17．（12.00分）设集合A为函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式的解集．（1）求A∩B；（2）若C⊆∁R A，求a的取值范围．18．（12.00分）已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，﹣2cosx）设函数f（x）=•（1）求f（x）的单调增区间；（2）若tanα=，求f（α）的值．19．（12.00分）已知向量=（cosx，cosx），=（0，sinx），=（sinx，cosx）=（sinx，sinx）．（1）当x=时，求向量与的夹角θ；（2）当x∈[0，]时，求•的最大值；（3）设函数f（x）=（﹣）（+），将函数f（x）的图象向右平移s个长度单位，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1，令=（s，t），求||的最小值．20．（13.00分）利用已学知识证明：（1）sinθ+sinφ=2sin cos；（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，求△ABC的面积．21．（14.00分）已知函数f（x）=x2+2x，（Ⅰ）若x∈[﹣2，a]，求f（x）的值域；（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的1．（5.00分）设全集U是实数集R，集合M={x|x2＞2x}，N={x|log2（x﹣1）≤0}，则（∁U M）∩N为（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x＜2}【解答】解：由M中的不等式变形得：x2﹣2x＞0，即x（x﹣2）＞0，解得：x＞2或x＜0，∴M={x|x＞2或x＜0}，∵全集U=R，∴∁U M={x|0≤x≤2}，由N中的不等式变形得：log2（x﹣1）≤0=log21，得到0＜x﹣1≤1，解得：1＜x≤2，即N={x|1＜x≤2}，则（∁U M）∩N={x|1＜x≤2}．故选：C．2．（5.00分）若且，则sin（π﹣α）（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（2π﹣α）=cosα=，α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则sin（π﹣α）=sinα=﹣．故选：B．3．（5.00分）对于任意x∈R，同时满足条件f（x）=f（﹣x）和f（x﹣π）=f（x）的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=sinxcosxC．f（x）=cosx D．f（x）=cos2x﹣sin2x【解答】解：对于任意x∈R，满足条件f（x）=f（﹣x），说明函数是偶函数，满足f（x﹣π）=f（x）的函数是周期为π的函数．对于A，不是偶函数，不正确；对于B，也不是偶函数，不正确；对于C，是偶函数，但是周期不是π，不正确；对于D，f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，是偶函数，周期为：π，正确．故选：D．4．（5.00分）设，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【解答】解：0＜logπ31，，所以0＜a＜1，b＞1，c＜0，所以c＜a＜b，即b＞a＞c．故选：C．5．（5.00分）函数f（x）=2sinx+tanx+m，有零点，则m的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，2）∪（2，+∞）D．【解答】解：易知函数f（x）=2sinx+tanx+m在[﹣，]上是增函数，则只需使f（﹣）•f（）≤0，即（2×（﹣）+（﹣）+m）（2×++m）≤0，故m∈；故选：D．6．（5.00分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选：C．7．（5.00分）设满足，则f（n+4）=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：当n＞6时，f（n）=﹣log3（n+1）=﹣∴n=不满足题意，舍去当n≤6时，f（n）=∴n﹣6=﹣2即n=4∴f（n+4）=f（8）=﹣log39=﹣2故选：B．8．（5.00分）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（）+sinα=sinα++sinα==﹣∴∴sin（）=﹣∵cos（α+）=cos（）=﹣sin（）=故选：D．9．（5.00分）若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=e x，则有（）A．f（2）＜f（3）＜g（0）B．g（0）＜f（3）＜f（2）C．f（2）＜g（0）＜f （3）D．g（0）＜f（2）＜f（3）【解答】解：用﹣x代换x得：f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，即f（x）+g（x）=﹣e ﹣x，又∵f（x）﹣g（x）=e x∴解得：，，分析选项可得：对于A：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故A错误；对于B：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），故B错误；对于C：f（2）＞0，f（3）＞0，g（0）=﹣1，故C错误；对于D：f（x）单调递增，则f（3）＞f（2），且f（3）＞f（2）＞0，而g（0）=﹣1＜0，D正确；故选：D．10．（5.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA满足2bcosB=acosC+ccosA，若b=，则a+c的最大值为（）A．B．3 C．2 D．9【解答】解：2bcosB=ccosA+acosC，由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，∴2sinBcosB=sinB，又sinB≠0，∴cosB=，∴B=．∵由余弦定理可得：3=a2+c2﹣ac，∴可得：3≥2ac﹣ac=ac∴即有：ac≤3，代入：3=（a+c）2﹣3ac可得：（a+c）2=3+3ac≤12∴a+c的最大值为2．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5.00分）（理）已知cos（﹣x）=a，且0，则的值用a表示为2a．【解答】解：∵0＜x＜，∴0＜﹣x＜，∵cos（﹣x）=a，∴sin（﹣x）=，∴cos（+x）=cos[﹣（﹣x）]=sin（﹣x）=，cosx=cos[﹣（﹣x）]=×a+×=（a+），即cos2x=2cos2x﹣1=2×（a+）2﹣1=a2+1﹣a2+2a﹣1=2a，则原式==2a．故答案为：2a12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），点C在第一象限内，，且|OC|=2，若，则λ+μ的值是．【解答】解：∵点C在第一象限内，∠AOC=，且|OC|=2，∴点C的横坐标为x C=2cos=，纵坐标y C=2sin=1，故=（，1），而=（1，0），=（0，1），则λ+μ=（λ，μ）由=+⇒，∴λ+μ=1+故答案为：+1．13．（5.00分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，∵tanA=，tanB=，∴===，∴sinAcosB=cosA（2sinC﹣sinB）=2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，即A=，∴cosA==，∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2rsinA）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），∴△ABC面积为S=bcsinA≤×3×=，则△ABC面积的最大值为：．故答案为：．14．（5.00分）如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则•的取值范围是[﹣5，5] ．【解答】解：如图所示：设∠PAB=θ，作OM⊥AP，则∠AOM=θ，∴sinθ=，AM=5sinθ，AP=2AM=10sinθ．∴=10sinθ×1×cosθ=5sin2θ∈[﹣5，5]，故答案为：[﹣5，5]．15．（5.00分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f（）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是①③．【解答】解：①f（）=|cos|•sin==﹣，正确；②若|f（x1）=|f（x2）|，即|sin2x1|=|sin2x2|，则x1=0，x2=时也成立，故②不正确；③在区间[﹣，]上，f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，单调递增，正确；④∵f（x+π）≠f（x），∴函数f（x）的周期不是π，不正确；⑤∵函数f（x）=|cosx|•sin x，∴函数是奇函数，∴f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，点（﹣，0）不是函数的对称中心，故不正确．故答案为：①③．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12.00分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos （B+C）=，∴B+C=，则A=；（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，解得：bc=4，则S=bcsinA=×4×=．△ABC17．（12.00分）设集合A为函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的定义域，集合B为函数的值域，集合C为不等式的解集．（1）求A∩B；（2）若C⊆∁R A，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵﹣x2﹣2x+8＞0，∴解得A=（﹣4，2）．∵，∴B=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；所以A∩B=（﹣4，﹣3]∪[1，2）；（2）∵C R A=（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），C⊆C R A，若a＜0，则不等式的解集只能是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞），故定有≥2得解得﹣≤a＜0若a＞0，则不等式的解集[﹣4，]，但C⊆C R A，故a∈∅．∴a的范围为＜0．18．（12.00分）已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，﹣2cosx）设函数f（x）=•（1）求f（x）的单调增区间；（2）若tanα=，求f（α）的值．【解答】解：f（x）=•=2cos2x﹣2sinxcosx=1+cos2x﹣sin2x=1+2cos（2x+）…（3分）（1）当2kπ﹣π≤2x+≤2kπ时，f（x）单调递增，解得：kπ﹣≤x≤kπ﹣k∈Z∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]k∈Z …（7分）（2）f（α）=2cos2α﹣2sinαcosα===…（12分）19．（12.00分）已知向量=（cosx，cosx），=（0，sinx），=（sinx，cosx）=（sinx，sinx）．（1）当x=时，求向量与的夹角θ；（2）当x∈[0，]时，求•的最大值；（3）设函数f（x）=（﹣）（+），将函数f（x）的图象向右平移s个长度单位，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1，令=（s，t），求||的最小值．【解答】解：（1）当x=时，向量=（cosx，cosx）=（），=（0，sinx）=（0，），•==，，，﹣﹣﹣﹣（2分）cosθ===，∴θ=﹣﹣﹣﹣（4分）．（2）•=（sinx，cosx）•（sinx，sinx）=sin2x+sinxcosx===．﹣﹣﹣﹣（6分）∵x∈[0，]，∴2x﹣，∴﹣﹣﹣﹣（8分）．函数f（x）=（﹣）（+）=（cosx，cosx﹣sinx）•（2sinx，cosx+sinx）=．=2sin（2x+），（3）将函数f（x）的图象向右平移s个长度单位，向上平移t个长度单位（s，t＞0）后得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1，∴2sin2x+1=2sin（2x+﹣2s）+t，t=1，s=+kπ，k∈Z．=（s，t），||=≤=．20．（13.00分）利用已学知识证明：（1）sinθ+sinφ=2sin cos；（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，求△ABC的面积．【解答】解：（1）…（4分）（2）∵∴由（1）可得∴…（10分）∵已知△ABC的外接圆的半径为2∴…（12分）21．（14.00分）已知函数f（x）=x2+2x，（Ⅰ）若x∈[﹣2，a]，求f（x）的值域；（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+2x的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣1，∴当﹣2＜a≤﹣1时，f（x）在[﹣2，a]上是减函数，，∴此时f（x）的值域为：[a2+2a，0]；当﹣1＜a≤0时，f（x）在[﹣2，a]上先减后增，f（x）max=f（﹣2）=0，f（x）min=f（﹣1）=﹣1，∴此时f（x）的值域为：[﹣1，0]；当a＞0时，f（x）在[﹣2，a]上先减后增，，∴此时f（x）的值域为：[﹣1，a2+2a]．（Ⅱ）若存在实数t，当x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，即（x+t）2+2（x+t）≤3x，∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0；设u（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，其中x∈[1，m]∵u（x）的图象是抛物线，开口向上，∴u（x）max=max{u（1），u（m）}；由u（x）≤0恒成立知；化简得；v令g（t）=t2+2（1+m）t+m2﹣m，则原题转化为存在t∈[﹣4，0]，使得g（t）≤0；即当t∈[﹣4，0]时，g（t）min≤0；∵m＞1时，g（t）的对称轴是t=﹣1﹣m＜﹣2，①当﹣1﹣m＜﹣4，即m＞3时，g（t）min=g（﹣4），∴，解得3＜m≤8；②当﹣4≤﹣1﹣m＜﹣2，即1＜m≤3时，g（t）min=g（﹣1﹣m）=﹣1﹣3m，∴，解得1＜m≤3；综上，m的取值范围是（1，8]．解法二，由，∴m≤，即=8，1＜m≤8；即得m的取值范围（1，8]．。
【全国名校】2014-2015学年湖北省武汉华中师大附中高一上学期期末考试数学试卷(带解析)
【全国名校】2014-2015学年湖北省武汉华中师大附中高一上学期期末考试数学试卷（带解析）副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 设全集U 是实数集R ，集合，，则为A.B.C.D.2. 若且，则A.B.C.D.3. 下列函数中，对于任意R ，同时满足条件和的函数是A.B.C.D.4. 设，，，则 A.B. C.D.5. 函数，有零点，则m 的取值范围是A.B.C.D.6. 已知，，则等于A.B.C.D.7. 若函数，分别是R 上的奇函数，偶函数，且满足，则有A.B.C.D.8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a , b , c ，且，，满足，若，则的最大值为A.B. 3C.D. 9二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）9.若函数且在上既是奇函数又是增函数，则的图象是10.设满足，则A. 2B.C. 1D.11.已知，且，则的值用a表示为__________．12.在平面直角坐标系中，已知，，点C在第一象限内，，且，若，则的值是__________．13.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a, b, c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为__________．14.已知A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则的取值范围是__________．15.已知函数，给出下列五个说法：①；②若，则Z)；③在区间上单调递增；④函数的周期为；⑤的图象关于点成中心对称。
其中正确说法的序号是__________．16.（14分）已知函数．（1）若，求的值域；（2）若存在实数t，当，恒成立，求实数m的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.A，B，C为△ABC的三内角，其对边分别为a, b, c，若．（1）求；（2）若，，求△ABC的面积．18.设集合，集合，集合C为不等式的解集．（1）求；（2）若，求a的取值范围．19.已知向量，设函数．（1）求的单调增区间；（2）若，求的值．20.已知向量，，，.（1）当时，求向量与的夹角；（2）当时，求的最大值；（3）设函数，将函数的图像向右平移s个长度单位，向上平移t个长度单位后得到函数的图像，且，令，求的最小值．21.（1）利用已学知识证明：．（2）已知△ABC的外接圆的半径为1，内角A，B，C满足，求△ABC的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】由e卷通组卷系统，得e卷通组卷系统，又e卷通组卷系统，故e卷通组卷系统=e卷通组卷系统考点：1、解不等式；2、集合的运算.2.【答案】B【解析】由e卷通组卷系统，得e卷通组卷系统，又e卷通组卷系统，得e卷通组卷系统又e卷通组卷系统，所以e卷通组卷系统e卷通组卷系统.考点:三角函数的诱导公式.3.【答案】D【解析】若函数满足条件e卷通组卷系统，则函数为偶函数，若函数满足条件e卷通组卷系统，则函数为周期为e卷通组卷系统的周期函数，e卷通组卷系统，不满足条件e卷通组卷系统，故A不对；e卷通组卷系统也不满足条件e卷通组卷系统，故B不对；e卷通组卷系统满足条件e卷通组卷系统，但其最小正周期为e卷通组卷系统，故选D考点：1、二倍角的正弦、余弦公式；2、函数的奇偶性、周期性.4.【答案】C【解析】分析可知e卷通组卷系统e卷通组卷系统,由e卷通组卷系统，e卷通组卷系统即e卷通组卷系统e卷通组卷系统,e卷通组卷系统故e卷通组卷系统.考点：对数、指数、三角函数的综合考察.5.【答案】D【解析】若函数在e卷通组卷系统有零点，则应满足e卷通组卷系统，又e卷通组卷系统e卷通组卷系统则e卷通组卷系统解得e卷通组卷系统考点：1、三角函数求值；2、函数的零点.6.【答案】D【解析】令e卷通组卷系统，得e卷通组卷系统e卷通组卷系统分析得e卷通组卷系统因而e卷通组卷系统e卷通组卷系统.考点：1、两角和（差）的正、余弦公式；2、构造法.7.【答案】D【解析】用-x代换x得：f（-x）-g（-x）=e-x，即f（x）+g（x）=-e-x，又∵f（x）-g（x）=e x∴解得：f(x)=，g(x)=-，故f（x）单调递增，又f（0）=0，g（0）=-1，有g（0）＜f（2）＜f（3）故选D．考点：函数奇偶性的性质．8.【答案】C【解析】由正弦定理得e卷通组卷系统，由二倍角公式及两角和的正弦公式得，e卷通组卷系统，所以e卷通组卷系统，由余弦定理得e卷通组卷系统即e卷通组卷系统，解得e卷通组卷系统e卷通组卷系统e卷通组卷系统 .考点：1、正弦定理、余弦定理；2、基本不等式.9.【答案】C【解析】若函数e卷通组卷系统且e卷通组卷系统在e卷通组卷系统上是奇函数,则有e卷通组卷系统，即e卷通组卷系统e卷通组卷系统又函数是增函数，则有e卷通组卷系统，所以e卷通组卷系统，e卷通组卷系统图像是将e卷通组卷系统向右平移一个单位得到的，故选C.考点：对数函数的图像和性质.10.【答案】B【解析】由题意分析，当时，，解得，不符合条件，当时，，解得，即，则考点：指数函数、对数函数求值11.【答案】2【解析】由两角差的余弦公式，由e卷通组卷系统，得e卷通组卷系统由e卷通组卷系统，则e卷通组卷系统=2e卷通组卷系统.考点：三角函数的诱导公式及三角恒等变换.12.【答案】【解析】在三角形e卷通组卷系统中e卷通组卷系统，e卷通组卷系统，由余弦定理得e卷通组卷系统，所以三角形e卷通组卷系统为直角三角形，即e卷通组卷系统，由e卷通组卷系统，得e卷通组卷系统，即e卷通组卷系统，e卷通组卷系统，所以e卷通组卷系统=e卷通组卷系统考点：1、余弦定理；2、向量的坐标表示.13.【答案】【解析】由e卷通组卷系统，得e卷通组卷系统，又e卷通组卷系统，得e卷通组卷系统e卷通组卷系统e卷通组卷系统 又e卷通组卷系统，得e卷通组卷系统即e卷通组卷系统，由三角形面积公式e卷通组卷系统，由e卷通组卷系统，e卷通组卷系统展开即可得当三角形为等边三角形时面积最大，为e卷通组卷系统.考点：1、正弦定理；2、三角恒等变化.14.【答案】【解析】如图所示：e卷通组卷系统e卷通组卷系统e卷通组卷系统e卷通组卷系统e卷通组卷所以e卷通组卷系统考点：三角函数.15.【答案】①③【解析】①e卷通组卷系统正确；②若e卷通组卷系统，即e卷通组卷系统，则e卷通组卷系统时也成立，不正确；③在区间e卷通组卷系统上，e卷通组卷系统单调递增，正确；④e卷通组卷系统，故函数e卷通组卷系统的周期为e卷通组卷系统不正确；⑤函数e卷通组卷系统是奇函数，关于原点（0,0）对称，所以点e卷通组卷系统不是函数的对称中心，不正确考点：1、函数的单调性；2、函数的奇、偶性；3、三角函数求值.16.【答案】（1）;（2）【解析】（1）函数的对称轴为e卷通组卷系统，研究函数的值域可分三种情况讨论对称轴的位置：对称轴在e卷通组卷系统的左侧，内部，右侧；\（2）将e卷通组卷系统在e卷通组卷系统恒成立，转化为e卷通组卷系统恒成立，即e卷通组卷系统在e卷通组卷系统上的最大值e卷通组卷系统恒成立，由e卷通组卷系统恒成立知e卷通组卷系统，化简得e卷通组卷系统, 令e卷通组卷系统，则原题可转化为：存在e卷通组卷系统，使得e卷通组卷系统。
高一物理期末试题-湖北华中师大第一附中学第一学期2014-2015学年高一期末测试物理试题及答案卷
华中师大一附中2014-2015学年度第一学期期末检测高一年级物理试题物理卷时限: 90分钟满分: 110分命题人：审题人：一、选择题(本题共10小题，共50分，在每小题给出的四个选项中，第1至6题只有一个选项是正确的，第7至10题有多个选项是正确的，全部选对得5分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分)1．牛顿在伽利略和笛卡尔等人的研究基础上，总结出动力学的一条基本规律——牛顿第一定律。
下列说法正确的是（）A．伽利略的理想实验是没有事实依据的凭空想象的实验B．伽利略以事实为依据，通过假设、推理得出力不是维持物体运动状态的原因C．笛卡尔指出：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态D．牛顿第一定律与牛顿第二定律一样，都可通过实验直接检验【答案】B【解析】伽利略的理想实验以事实为依据，通过假设、推理得出力不是维持物体运动状态的原因，故A错误；B正确；牛顿指出：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态，所以C错误；牛顿第一定律无法直接通过实验验证，故D错误。
2．关于曲线运动，下列说法正确的是（）A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动B．物体在变力作用下一定做曲线运动C．质点做匀速率曲线运动，其加速度一定与速度方向垂直，且指向轨迹的凹侧D．质点做匀速率曲线运动，加速度大小一定不变【答案】C【解析】只要物体受的合外力与速度的方向不在一条直线上，物体就做曲线运动，与合外力是恒力还是变力无关，所以A、B错误；质点做匀速率曲线运动时，由于速度大小不变，方向变，所以加速度方向与速度方向垂直，且指向轨迹的凹侧，大小可变，可不变，故C 正确、D错误。
3．在秋收的打谷场上，脱粒后的谷粒用传送带送到平地上堆积起来形成圆锥体，随着堆积谷粒越来越多，圆锥体体积越来越大，简化如图所示．用力学知识分析得出圆锥体底角的变化情况应该是（ ）A ．不断增大B ．保持不变C ．不断减小D ．先增大后减小【答案】B【解析】随着堆积谷粒越来越多，当底角为某一大小时，谷粒恰好能静止在上面，以谷粒为研究对象，此时由平衡条件得：αμαcos sin mg mg =，得：αμtan =，以后随谷粒的增多角度α保持不变，所以A 、C 、D 错误；B 正确。
2014-2015学年湖北省武汉市部分学校高一(上)期末数学试卷
【解析】
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【解答】
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【答案】
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【考点】
函数奇三性的判刺
函较绕肠由的判断与证明
【解析】
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【解答】
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【答案】
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【考点】
五点法较函数熔=纯si隐（ωx+作）的图象
正弦函射的单调长
【解析】
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【解答】
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【答案】
3.已知函数 ，则
A. B. C. D.
4.已知向量 ， 满足 ， ，则
A. B. C. D.
5.已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是
A. B. C. D.
6.在下列向量组中，可以把向量 表示出来的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
8.在同一直角坐标系中，函数 ， 的图象可能是（）
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【考点】
对数都北算性质
【解析】
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【解答】
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【答案】
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【考点】
交常并陆和集工混合运算
集合体包某关峡纯断及应用
【解析】
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【解答】
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【答案】
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【考点】
函数的定较域熔其求法
【解析】
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【解答】
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【答案】
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【考点】
2014-2015学年湖北省武汉市部分学校高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题列出的四个选项中，有一项是满足题目要求的．
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高一上学期期末考试政治试题
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高一上学期期末考试政治试题考试时限：60分钟卷面满分：100分第Ⅰ卷（单项选择题，共50分）在每题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
每小题2分，共50分。
1．学会投资理财，是现代公民必备的一种生活技能和本领。
投资需要遵循和注意的基本原则包括①要处理好收益与风险的关系②投资组合要多元化③要尽力而为，以小搏大④为投资赚钱可以随心所欲A．①④ B．②③ C．③④ D．①②2．下图是商业银行作为信用中介进行存贷款业务活动的流程。
选择适当的选项完成该图A．①存款②贷款③还款④还贷 B．①存款②贷款③还贷④还款C．①贷款②存款③还款④还贷 D．①贷款②存款③还贷④还款3．“投资有风险，入市须谨慎”。
风险性是居民投资理财考虑的一个重要因素。
小王有一笔10万元的闲置资金准备投资，初步筛选了以下四种投资理财产品。
按照风险性从低到高排序，应该是①工商银行发行的金融债券②鞍山钢铁股份有限公司发行的企业债券③财政部发行的凭证式国债④在沪深证券交易所上市的股份公司股票A．①③②④ B．③①②④ C．④①②③ D．③②①④4．下列关于财政的说法，正确的是①财政是国家凭借政治权力而进行的社会产品分配，其本质是一种分配关系②国家财政是通过预算和决算实现的，所以财政就是国家的预算和决算③财政的目的是为了履行国家职能，其在社会经济生活中发挥着巨大的作用④财政包括收入和支出，二者必须平衡A．①② B．②③ C．③④ D．①③5. 合理的收入差距是贯彻党和国家尊重劳动、尊重知识、尊重人才、尊重创造等重大方针的必然要求。
它有利于①克服平均主义，更好地发挥收入分配的激励作用②保护一切私人财产不受侵犯③尊重和保护一切合法收入，调动科技人员创新的积极性④发挥公有制经济的主体作用A．①② B．③④ C．②④ D．①③6．实施“走出去”战略是我国对外开放新阶段的重大举措，只有“引进来”与“走出去”同时并举，中国经济才能在更大范围内和更高层次上参与国际竞争与合作。
高一历史期末试题-武汉华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高一上学期期末考试历史试卷及答案
湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高一上学期期末考试限时：60分钟满分：100分一、单项选择题：（本大题共40小题。
每小题2分，共计80分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．西周时，齐国国君的妻子为他生了一个大女儿甲，他的妾为他生了大儿子乙，后来妻子为他生了二儿子丙，妾为他生了三儿子丁。
享有王位继承权的是( ) A．甲B．乙C．丙 D．丁2．“人道亲亲也。
亲亲故尊祖，尊祖故敬宗，敬宗故收族，收族故宗庙严，宗庙严故重社稷，重社稷故爱百姓……”。
材料主要反映了中国古代( )A．分封制度B．宗法观念C．礼乐制度 D．仁爱思想3．（某种制度）用意是在政府和社会间打通一条路，好让社会在某种条件某种方式下掌握政治，预闻政治和运用政治，这才是中国政治制度根本问题之所在。
该制度最有可能是( ) A．世袭制B．察举制C．宗法制D．科举制4．孟德斯鸠在《论法的精神》中指出：“中国政府只有施用棍棒才能让人民做这些事情，政府与其说是管理民政，毋宁说是管理家政。
”下列措施最能体现这一论断的是( )A．实行郡县制B．推行宗法制C．设立内阁制D．增设军机处5．秦汉的三公九卿、隋唐的三省六部、明朝的内阁和清朝军机处的设置，反映了我国古代中央机构的官制改革中存在着一个一以贯之的理念。
该“理念”是( )A．强干弱枝是政治改革之魂B．加强君权是政治变革之重C．提高行政效率是改革之本D．弥合君相矛盾是稳定之基6．雅典政治家阿里斯提德就曾在放逐投票时，被一个公民请求代写上阿氏自己的姓名投入票柜，阿里斯提德问那人何以要放逐他，那人答道：“不为什么，我甚至还不认识这个人，但是到处都称呼他为‘公正之士’，我实在听烦了。
”这反映了雅典的陶片放逐法( )A．充分体现了公民的意志B．是审判民主敌人的最佳方式C．实际上不起任何作用D．并不能真正保障雅典的民主7．《十二铜表法》规定：“利息不得超过一分（年利息最高为8.33%）”；债务人对所欠债务的偿还“有30天的法定宽限期”。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一数学上学期期末模拟试题带答案
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一数学上学期期末模拟试题带答案一、选择题1．已知全集{0,1,2,3}U =，{1,3}A =，则集合UA =（ ）A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,22．函数()f x ）A ．[20]-，B ．(20)-，C ．(]20-，D ．()2-+∞，3．若sin cos 0αα⋅>，则角α的终边在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限4．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()2,a -，若120α︒=，则a 的值为（ ）A ．-B ．±C ．D 5．函数2()ln 8f x x x =+-的零点所在区间是（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)6．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数1()0x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： ①()()0D D x =； ②对任意x ∈R ，恒有()()D x D x =-成立； ③任取一个不为零的有理数T ，()()D x T D x +=对任意实数x 均成立；④存在三个点()()11,A x D x 、()()22,B x D x 、()()33,C x D x ，使得ABC 为等边三角形；其中真命题的序号为（ ） A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③7．已知函数()(3lg f x x x =+，若当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象存在“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．)2⎡-⎣ B ．(,2-∞-C ．(,2-∞+D ．(0,2+二、填空题9．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是周期函数C ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=D ．对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x ⋅= 10．下列说法正确的有（ ） A ．不等式21131x x ->+的解集是1(2,)3-- B ．“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件 C ．命题2:,0p x R x ∀∈>，，则2:,0⌝∃∈<p x R x D ．“5a <”是“3a <”的必要条件 11．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b <<，则2ab b > B ．若0a b >>，则b aa b> C ．若对(0,)x ∀∈+∞，1x m x+≥恒成立，则实数m 的最大值为2 D ．若0a >，0b >， 1a b +=，则11a b+的最小值为4 12．若函数()f x 同时满足：①对于定义域内的x ∀，都有()()0f x f x +-=；②对于定义域内的1x ∀，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“颜值函数”.下列函数中，是“颜值函数”的有（ ） A ．()sin f x x =B ．()2f x x=C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩D ．()3f x x =-三、多选题13．设(){1,2,3}n X n n N *=∈，对n X 的任意非空子集A ，定义(A)f 为A 中的最大元素，当A 取遍n X 的所有非空子集时，对应的(A)f 的和为n S ，则5S =_________． 14．已知1b a >>，若3log log 2a b b a -=，b a a b =，则a b -=____________.15．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm 2.16．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v （单位：m/s ）与其耗氧量Q 之间的关系为2log 10Qv a =+（其中a 是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，其耗氧量至少需要______个单位．四、解答题17．已知集合{}{}|321,|53A x a x a B x x =-≤≤+=-≤≤，全集U =R . （1）当1a =时，求()U A B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）求函数()y f x =的最大值以及取最大值时对应的x 的值． 19．已知函数()4xf x =，12xg x.（1）求不等式()()222f x g -<的解集；（2）若()()12f x g x =，且12x x ≠，求211x x +的最小值； 20．对于等式b a c =（0a >，1a ≠），如果将a 视为自变量x ，b 视为常数，c 为关于a （即x ）的函数，记为y ，那么b y x =是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量x ，c 为关于b （即x ）的函数，记为y ，那么x y a =是指数函数；如果将a 视为常数，c 视为自变量x ，b 为关于c （即x ）的函数，记为y ，那么log a y x =是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.如果c 为常数e （e 为自然对数的底），将a 视为自变量x （0x >，1x ≠），则b 为x 的函数，记为y ，那么y x e =，记将y 表示成x 的函数为()f x .（1）求函数()f x 的解析式，并作出其图象；（2）若0m n >>且均不等于1，且满足()()f m f n =，求证：243m n +≥. 21．已知函数()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，求实数m 的取值范围.22．已知函数,01()1sin ,12a bx x xf x x x a π⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩(0a >，0b >).（1）若1b =，且()f x 是减函数，求a 的取值范围；（2）若1a =，关于x 的方程3|()2|(1)2f x b x -=--有三个互不相等的实根，求b 的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】 根据补集定义求出UA .【详解】因为{0,1,2,3}U =，{1,3}A = 根据补集定义可得{}U0,2A =，故选：C. 【点睛】集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 2．C 【分析】根据题意求出使对数和根式有意义的x 的范围. 【详解】由题意可得：21log (2)020x x -+≥⎧⎨+>⎩ 即022x <+≤， 解得：20x -<≤，所以原函数的定义域为(]20-，， 故选：C. 3．B 【分析】由sin cos 0αα⋅>可得sin α>0,cos α>0⎧⎨⎩ 或sin α<0,cos α<0⎧⎨⎩由三角函数在各个象限的符号可求角α的终边所在象限. 【详解】由sin cos 0αα⋅>可得sin α>0,cos α>0⎧⎨⎩ 或sin α<0,cos α<0⎧⎨⎩当sin α>0cos α>0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第一象限，当sin α<0cos α<0⎧⎨⎩时，角α的终边位于第三象限. 故选：B. 【点睛】本题考查角函数在各个象限的符号，属基础题. 4．C 【分析】根据终边经过点()2,a -，且120α︒=，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为终边经过点()2,a -，且120α︒=，所以tan 1202a︒==-解得a = 故选：C 5．B 【分析】先判断()f x 的单调性，然后根据零点存在性定理判断出正确答案. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，且为定义域上的增函数，()()()170,2ln 240,3ln310f f f =-<=-<=+>， ()()230f f ⋅<，故零点所在区间是()2,3.故选：B 6．C 【分析】命题①：根据狄利克雷函数的定义分别验证x 为无理数和x 为有理数时()()D D x 的值； 命题②和命题③：分x 为无理数和x 为有理数两种情况进行验证； 命题④：结合狄利克雷函数的定义找特殊点进行验证.【详解】当x 为无理数时，()0D x =，所以()()()01D D x D ==； 当x 为有理数时，()1D x =，所以()()()11D D x D ==， 所以对任意x ∈R ，恒有()()1D D x =，①错误； 当x 为无理数时，x -也为无理数，所以()()0D x D x =-=；当x 为有理数时，x -也为有理数，所以()()1D x D x =-=，②正确；对任意实数x ，任取一个不为零的有理数T ，若x 为无理数时，则x T +也为无理数， 所以()()0D x D x T =+=；当x 为有理数时，x T +也为有理数，所以()()1D x D x T =+=， 所以任取一个不为零的有理数T ，()()D x T D x +=对任意实数x 均成立，③正确；取1230,x x x ===()()()1310,1,0D x D x D x ===，此时(),0,1,A B C ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，三点恰好构成等边三角形，④正确. 故选：C. 7．D 【分析】先判断()f x 是奇函数且在R 上为增函数，所以由()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->可得2sin sin 40t t θθ-+>，由当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，得sin [0,1]θ∈，构造函数2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈，然后分1012t <<，102t <和112t≥三种情况求解即可 【详解】解：()f x 的定义域为R ，因为33()()lg(lg(lg10f x f x x x x x +-=+-+-==， 所以()f x 为奇函数，因为函数3,lg(y x y x ==在[0,)+∞上均为增函数， 所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，所以()f x 在R 上为增函数，由()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->得()()2sin 4sin f t f t θθ>--， 所以()()2sin 4sin f t f t θθ>-+，所以2sin 4sin t t θθ>-+，即2sin sin 40t t θθ-+>， 当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin [0,1]θ∈，令2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈ 当0t =时，()0g x x =-≤，舍去，当0t ≠时，对称轴为12x t=， 当1012t <<时，即12t >，则有11()4024g t t t =->，解得14t >，所以12t >， 当102t <时，即0t <，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以t ∈∅， 当112t ≥时，即102t <≤，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以1152t <≤， 综上，1(,)5t ∈+∞，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想和分类思想，解题的关键是利用函数在R 上为增函数且为奇函数，将()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立转化为2sin sin 40t t θθ-+>恒成立，然后构造函数，利用二次函数的性质讨论求解即可，属于中档题 8．B 【分析】根据“隐对称点"的定义可知()f x 图象上存在关于原点对称的点，转化为求2()2,0f x x x x =+<关于原点的对称函数与()2,0f x mx x =+≥ 有交点即可.【详解】由“隐对称点"的定义可知, ()22,02,0x x x f x mx x ⎧+<=⎨+≥⎩的图象上存在关 于原点对称的点,设函数g (x )的图象与函数22,0y x x x =+<的图象关 于原点对称.令0x >，则220,()()2()2,x f x x x x x -<-=-+-=- 所以2()2g x x x =-+，故原题意等价于方程222(0)mx x x x +=-+>有实根, 故22m x x=--+，而222()222x x x x --+=-++≤-=-当且仅当x ,取得等号,所以2m ≤-故实数m 的取值范围是(,2-∞-, 故选：B 【点睛】关键点点睛：求出函数在0x <时关于原点对称的函数解析式2()2g x x x =-+，转化为2()2g x x x =-+与()2,0f x mx x =+≥相交是关键.二、填空题9．ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；验证()()1f x f x +=，可判断B 选项的正误；分1x Q ∈、1x Q ∉两种情况讨论，结合函数()f x 的定义可判断C 选项的正误；取20x =，1x Q ∉可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，任取x Q ∈，则x Q -∈，()()1f x f x ==-； 任取x Q ∉，则x Q -∉，()()0f x f x ==-.所以，对任意的x ∈R ，()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，A 选项正确； 对于B 选项，任取x Q ∈，则1x Q +∈，则()()11f x f x +==； 任取x Q ∉，则1x Q +∉，则()()10f x f x +==.所以，对任意的x ∈R ，()()1f x f x +=，即函数()f x 为周期函数，B 选项正确； 对于C 选项，对任意1x Q ∈，2x ∈Q ，则12x Q x +∈，()()1211f x x f x +==； 对任意的1x Q ∉，2x ∈Q ，则12x x Q +∉，()()1210f x x f x +==. 综上，对任意的1x R ∈，2x ∈Q ，都有()()121f x x f x +=，C 选项正确； 对于D 选项，取20x =，若1x Q ∉，则()()()12101f x x f f x ⋅==≠，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理数和有理数两种情况讨论，对于D 选项，可取1x Q ∉，20x =验证. 10．ABD 【分析】解分式不等式可知A 正确；由充分条件和必要条件的定义，可得B ，D 正确；含有全称量词命题得否定，2:,0p x R x ⌝∃∈≤，故C 错误. 【详解】 由212103131--->⇒>++x x x x ，(2)(31)0x x ++<，123x -<<-，A 正确； 1,1a b >>时一定有1ab >，但1ab >时不一定有1,1a b >>成立,因此“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件，B 正确；命题2:,0p x R x ∀∈>，则2:,0p x R x ⌝∃∈≤，C 错误；5a <不能推出3a <，但3a <时一定有5a <成立，所以“5a <”是“3a <”的必要条件，D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了分式不等式的解法、充分条件和必要条件的定义、含有量词的命题的否定形式等基本数学知识，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 11．ACD 【分析】利用不等式的性质可判断选项A 、B 的正误；求出1y x x=+的最小值可得实数m 的范围，可判断选项C ；利用基本不等式求最值可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：若0a b <<，则2ab b >，故选项A 正确； 对于选项B ：若0a b >>，则1b aa b<<，故选项B 不正确； 对于选项C ：若对(0,)x ∀∈+∞，1x m x +≥恒成立，则min 1m x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，因为0x >，所以12y x x =+≥当且仅当1x =时1y x x =+的最小值为2，所以2m ≤，所以实数m 的最大值为2，故选项C 正确； 对于选项D ：若0a >，0b >，1a b +=，则()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当1b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即12a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为4，故选项D 正确，故选：ACD 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 12．CD 【分析】由条件得出“颜值函数”在定义域内为奇函数、减函数，再对选项进行逐一判断即可. 【详解】由题意知，函数()f x 是定义域上单调递减的奇函数， A 选项，()sin f x x =在是定义域上不是单调递减，故错误；B 选项，()2f x x =不是奇函数，故错误；C 选项. 作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩的图象，如下根据图象，函数()f x 在定义域内为奇函数且为减函数，所以是“颜值函数”.则C 正确. D 选项, ()2f x x =-在定义域内为奇函数且为减函数, 所以是“颜值函数”，则D 正确. 故选: CD.三、多选题 13．129【分析】由题意分析得：n X 的任意非空子集A 共有21n -个，其中最大值为n 的有12n -，最大值为1n -的有22n -个，…，最大值为1的有021=个，利用错位相减法求和即可.【详解】 由(){1,2,3}n X n n N *=∈，n X 的任意非空子集A 共有21n -个，其中最大值为n 的有12n -，最大值为1n -的有22n -个，…，最大值为1的有021=个，故()01212122212n n n S n n --=⨯+⨯++⨯-+⨯， ∴()12122122212n n n S n n -=⨯+⨯++⨯-+⨯，两式相减得12112222n n n S n --=++++-⨯，所以12221212nn n n n S n n --=-⨯=--⨯-， 故()121nn S n =-⋅+， 所以()555121129S =-⨯+=.故答案为：129. 【点睛】关键点睛：本题是集合和数列结合的题.分析出“n X 的任意非空子集A 共有21n -个，其中最大值为n 的有12n -，最大值为1n -的有22n -个，…，最大值为1的有021=个.”是解题的关键.14．2-【分析】解方程求得log a b ，再利用指数运算求解 【详解】313log log log 2log 2a b a a b a b b -=∴-=，因为1b a >>，故log a b =22,a b a ∴==，则22bb a a a b b b b a ⇒=∴==，解得2,4a b == ，则2a b -=-故答案为：2- 【点睛】本题考查对数与指数的运算，考查方程思想，意在考查计算能力，是基础题15．704【分析】设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =， 所以，21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯=⎪⎝⎭．故答案为：704．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题． 16．80 【分析】由初始值求得a ，然后再由2v ≥求得Q 的最小值． 【详解】 由题意220log 010a +=，1a =-，即21log 10Q v =-+， 由21log 210Q-+≥，解得80Q ≥． 故答案为：80 【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，只要根据已知数据求出参数值，再根据要求列式求解即可．四、解答题17．（1）{}|52x x -≤<-；（2）4a 或21a -≤≤.【分析】（1）求出集合A 从而求UA ，再与集合B 取交集即可；（2）分A φ=和A φ≠两种情况讨论根据A B ⊆列出不等式（组）求a 的取值范围.【详解】（1）依题意，当1a =时，{}|23A x x =-≤≤，则|2UA x x =<-｛或3}x >，又{}|53B x x =-≤≤， 则()|2U A B x x =<-｛或{}{}|53|3}52x x x x x -≤≤->=≤<-.（2）若A B ⊆，则有{}{}|321|53x a x a x x -≤≤+⊆-≤≤，于是有： 当A φ=时，A B ⊆显然成立，此时只需321a a ->+，即4a ；当A φ≠时，若A B ⊆，则35221313214a a a a a a a -≥-≥-⎧⎧⎪⎪+≤⇒≤⎨⎨⎪⎪-≤+≥-⎩⎩，所以：21a -≤≤ 综上所述，a 的取值范围为：4a 或21a -≤≤.【点睛】易错点点睛：在利用集合的包含关系求参数时注意以下两点：（1）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；（2）在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论. 18．(1)π，[,]()36k k k Z ππππ-+∈；(2)max ()2f x =，此时,6=+∈x k k Z ππ.【分析】(1)利用正弦型函数周期公式求得，再利用正弦函数的性质即可求出增区间； (2)利用正弦函数的性质，分析计算作答. 【详解】(1)因函数()2sin(2)6f x x π=+，x ∈R ，则()f x 最小正周期22T ππ==， 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈；(2)依题意，当sin(2)16x π+=时，max ()2f x =，此时，22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6=+∈x k k Z ππ，所以max ()2f x =，此时,6=+∈x k k Z ππ.19．（1）{}|11x x -<<；（2） 【分析】（1）先根据已知条件表示出所解不等式，化为同底的，再利用指数函数的单调性即可求解 （2）由()()12f x g x =得出12,x x 之间的关系，且10x ≠，将211x x +用同一个变量表示，再利用函数的单调性求最值即可求解. 【详解】（1）由题意可得：22211442x --⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 因为4x y =在R 上单调递增，所以221x -<-，即21x <， 解得：11x -<<，所以原不等式的解集为：{}|11x x -<<，（2）若()()12f x g x =，则21142x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭即12222x x -=，所以122x x =-，所以221212x x x x +=+， 令20x t =>，则()2f t t t=+，任取()12,0,t t ∈+∞且12t t <，则()()()()121212121212121222222t t t t f t f t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1t，2t 120t t -<，1220t t -<，此时()()120f t f t ->，()()12>f t f t ()2f t t t=+在(上单调递减，当1t，2t >120t t -<，1220t t ->，此时()()120f t f t -<，()()12<f t f t ()2f t t t=+在)+∞上单调递增，所以t 时，()min f t == 所以211x x +的最小值为 20．（1）1()ln f x x=，作图见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对y x e =两边取对数，并化简即得到1ln y x =，即得到函数1()ln f x x=及图象； （2）结合图象化简关系得到ln ln n m -=，即1mn =，22144m n n n+=+，再构造函数21()4(01)g x x x x=+<<，结合单调性求其最小值为3，即得证，或者拼凑22211144422m n n n n n n+=+=++，利用三项的基本不等式证明结果即可. 【详解】（1）解：由(0,1)y x e x x =>≠两侧取以e 为底的对数，得ln ln y x e =，即1ln y x=， 所以1()ln f x x=，其图象如图所示.（2）证明：因为|()||()|f m f n =，且0m n >>， 所以(0,1),(1,)n m ∈∈+∞，且ln ln n m -=， 即ln ln 0,ln()0m n mn +==，故1mn =，则22144m n n n+=+. 法一：记21()4(01)g x x x x=+<<.任取12,x x ，且1201x x ，因为()()()2222121212121211114444g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1212211212211212144x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=+-+=-⋅， 因为1201x x ，所以21120,0x x x x ->>. 当12102x x ≤<<时，()121241x x x x +<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >； 当12112x x ≤<<时，()121241x x x x +>，所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <. 所以21()4(01)g x x x x =+<<在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，所以当12x =时，min ()3g x =，所以243m n +≥. 法二：22223111114443432222m n n n n n n n n n+=+=++⋅⋅=≥（当且仅当2142n n =即12n =时取“=”），所以243m n +≥.21．（1）5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈（2m << 【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，根据二次函数列式可得结果. 【详解】（1）()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭12sin sin cos cos sin 1cos 2332x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21cos sin 1cos 22x x x x =-++-212cos cos 22x x x =++-1cos 212cos 222x x x +=++-32cos 22x x =+)3x π=+，由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈.（2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，52(0,)36x ππ+∈，())3f x x π+∈，因为函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，令()t f x =，则(t ∈且221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，所以2214401600m m m h h ⎧⎛⎫∆=--> ⎪⎪⎝⎭<⎨⎪>⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即22316043160m m m <<⎪⎪+->⎨⎪⎪-+->⎪⎩，解得m <<⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩m <<， 所以实数mm <<. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 22．（1）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）150,,22⎛⎤⎛⎫⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭.【分析】(1)先根据()f x 是减函数,需要ay x x =+在0<x<1上是减函数和1sin x y aπ=+在[]1,2上是减函数,且11sina aπ+>+,解方程即可;(2)分别作出12,01,()()21sin ,12bx x g x f x x x x π⎧+-<<⎪=-=⎨⎪-≤≤⎩和3()(1)(02)2h x b x x =--<≤的图像,根据交点个数判断. 【详解】解：（1）,01()1sin ,12a x x xf x x x a π⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，当0a >时，函数ay x x=+在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， 所以1a ≥，所以1a ≥. 函数1sinx y aπ=+的周期22T a =≥，且3,22a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， 所以12322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得423a ≤≤.当423a ≤≤时，满足11sina aπ+>+，所以a 的取值范围是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）设12,01,()()21sin ,12bx x g x f x x x x π⎧+-<<⎪=-=⎨⎪-≤≤⎩， 3()(1)(02)2h x b x x =--<≤， 由题意，()g x 与()h x 的图象有三个不同的交点.①当1b >时，12,01()1sin ,12bx x g x x x x π⎧+-<<⎪=⎨⎪-≤≤⎩， 则()g x 在0,b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和3,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在,1b b ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭和31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()h x 在(0,2]上单调递减，如图1所示.当b x ⎛∈ ⎝⎭时，因为113(1)044h g b b b ⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，25342h g⎫-=+>⎪⎭⎝⎭⎝⎭，所以()g x与()h x的图象在⎛⎝⎭上存在一个交点；当31,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为1(1)(1)02h g-=>，331222bh g+⎛⎫⎛⎫-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x与()h x的图象在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在一个交点；当3,22x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，33()1222bh x h⎛⎫<=-<⎪⎝⎭，()(2)1g x g≥=，所以()g x与()h x的图象在3,22⎛⎤⎥⎝⎦上不存在交点.因此，要满足题意，()g x与()h x的图象在⎫⎪⎪⎣⎭上必存在一个交点，所以13212b+->，即52b>，所以，当52b>时，()g x与()h x的图象有三个不同的交点.②当1b=时，()g x与()h x的图象有两个不同的交点，不合题意，舍去.③当01b<<时，设关于x的方程120bxx+-=在(0,1)内的根为m，1,12m⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12,0()12,11sin,12bx x mxg xbx m xxx xπ⎧+-<≤⎪⎪=⎨--+<<⎪⎪-≤≤⎩，所以()g x在(0,]m和3,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在(,1)m和31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()h x在(0,2]上单调递减，如图2所示.当(0,]x m ∈时，因为3()()(1)02h m g m b m -=-->， 1110442b h g -⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 与()h x 的图象在(0,]m 上存在一个交点，当(,1)x m ∈时，因为3()(1)2h x h >=， 13()2112g x b b <--+=-<， 所以()g x 与()h x 的图象在(,1)m 上不存在交点； 当31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为1(1)(1)02h g -=>， 3310222b h g +⎛⎫⎛⎫-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()g x 与()h x 的图象在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在一个交点. 因此，要满足题意，()g x 与()h x 的图象在3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上必存在一个交点， 所以(2)(2)h g ≥，即102b <≤. 所以，当102b <≤时，()g x 与()h x 的图象有三个不同的交点， 综上，b 的取值范围是150,,22⎛⎤⎛⎫⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭. 【点睛】已知函数零点个数(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．。
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湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题考试限时：120分钟 卷面满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的 1．设全集U 是实数集R ，集合}2|{2x x x M >=，}0)1(log |{2≤-=x x N ，则N M C )(U 为A ．}21|{<<x xB ．}21|{≤≤x xC ．}21|{≤<x xD ．}21|{<≤x x2．若35)2cos(=-απ且)0,2(πα-∈，则=-)sin(απ A ．35-B ．32-C ．31-D ．32± 3．下列函数中，对于任意∈x R ，同时满足条件)()(x f x f -=和)()(x f x f =-π的函数是A ．x x f sin )(=B ．x x x f cos sin )(⋅=C ．x x f cos )(=D ．x x x f 22sin cos )(-= 4．设3log π=a ，3.02=b ，6sinlog 3π=c ，则A ．c b a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>5．函数m x x x f ++=tan sin 2)(，]3,3[ππ-∈x 有零点，则m 的取值范围是A ．),32[+∞B ．]32,(-∞C ．),32()32,(+∞-∞D ．]32,32[-7. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=-6,136),1(log )(63x x x x f x 满足98)(-=n f ，则=+)4(n fA ．2B ．2-C ．1D ．1-8．已知534sin )3sin(-=++απα，02<<-απ，则)32cos(πα+等于 A ．54-B ．53-C ．53D ．549. 若函数)(x f ，)(x g 分别是R 上的奇函数，偶函数，且满足x e x g x f =-)()(，则有A ．)0()3()2(g f f <<B ．)2()3()0(f f g <<C ．)3()0()2(f g f <<D ．)3()2()0(f f g <<10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a , b , c ，且C a cos ，B b cos ，A c cos 满足 A c C a Bb c o s c o s c o s 2+=，若3=b ，则c a +的最大值为 A ．23 B ．3 C ．32 D ．9二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．已知a x =-)4cos(π，且40π<<x ，则)4cos(2cos x x +π的值用a 表示为__________．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知)0,1(A ，)1,0(B ，点C 在第一象限内，6π=∠AOC ，且2=OC ，若OB OA OC μλ+=，则μλ+的值是__________．13．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a , b , c ，外接圆半径为1，且满足bbc B A -=2tan tan ， 则△ABC 面积的最大值为__________．14．已知A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB 在A 点处与圆 O 相切，点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AB AP ⋅的取值范围是__________． 15．已知函数x x x f sin |cos |)(⋅=，给出下列五个说法：①43)32014(-=πf ；②若|)(||)(|21x f x f =，则∈+=k k x x (21πZ )；③)(x f 在区间]4,4[ππ-上单调递增；④函数)(x f 的周期为π；⑤)(x f 的图象关于点)0,2(π-成中心对称。
其中正确说法的序号是__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（12分）A ，B ，C 为△ABC 的三内角，其对边分别为a , b , c ，若21s i n s i n c o s c o s =-C B C B ． （1）求A ；（2）若32=a ，4=+c b ，求△ABC 的面积．17．（12分）设集合)}82ln(|{2+--==x x y x A ，集合}11|{++==x x y y B ，集合C 为不等式()140ax x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭的解集． （1）求A B ；（2）若R C C A ⊆，求a 的取值范围．18．（12分）已知向量()()2cos ,3sin ,cos ,2cos a x x b x x ==-，设函数()f x a b =⋅． （1）求)(x f 的单调增区间； （2）若2tan =α，求)(αf 的值．19．（12分）已知向量)cos ,cos 3(x x a =→，)sin ,0(x b =→，)cos ,(sin x x c =→，)sin ,(sin x x d =→. （1）当4π=x 时，求向量→a 与→b 的夹角θ；（2）当]2,0[π∈x 时，求→→⋅d c 的最大值；（3）设函数)()()(x f +⋅-=，将函数)(x f 的图像向右平移s 个长度单位，向上平移t 个长度单位)0,(>t s 后得到函数)(x g 的图像，且12sin 2)(+=x x g ，令),(t s =，求||的最小值．20．（13分）（1）利用已学知识证明：2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+．（2）已知△ABC 的外接圆的半径为1，内角A ，B ，C 满足)s i n ()s i n (2s i n B A C C B A A --=+-+ 21+，求△ABC 的面积．21．（14分）已知函数x x x f 2)(2+=． （1）若],2[a x -∈，求)(x f 的值域；（2）若存在实数t ，当],1[m x ∈，x t x f 3)(≤+恒成立，求实数m 的取值范围．高一年级期末数学参考答案三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（1）21sin sin cos cos =-C B C B ，21)cos(=+∴C B 又π<+<C B 0 ，∴3π=+C B ， π=++C B A ，32π=∴A ． （2）由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=得 32cos22)()32(22π⋅--+=bc bc c b 即：)21(221612-⋅--=bc bc ，4=∴bc ，323421sin 21=⋅⋅=⋅=∴∆A bc S ABC ． 17．（1）解得A=（-4，2） B=(][),31,-∞-+∞，所以(][)4,31,2A B =--（2）当0a >时，214x a -≤≤，当0a <时，214x x a≤-≥或，因为A=（-4，2），所以(,4][2,).R C A =-∞-+∞,则0a <且212a ≥，解得a ≤<0.所以a 的范围为a ≤<0 18．()f x a b =⋅=22cos cos 1cos 221)23(2cos x x x x x x π-=+=++（1）当2223k x k ππππ-≤+≤时，f （x ）单调递增，解得：2,36k x k k Z ππππ-≤≤-∈ ∴()f x 的单调递增区间为[2[,],36k k k Z ππππ--∈ （2）3622tan 1tan 322cos sin cos sin 32cos 2cos sin 32cos 2)(22222-=+-=+-=-=αααααααααααf19．（1）4π=x ，)22,26(=∴→a ， 21)22,0()22,26(=⋅=⋅∴→→b a 而22262222,0a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪2122221cos =⨯=⋅=∴→→→→ba b a θ，即3πθ=. （2）22sin 22cos 1cos sin sin )sin ,(sin )cos ,(sin 2xx x x x x x x x d c +-=+=⋅=⋅→→ ()111sin 2cos 222224x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭30,,2,2444x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴当242ππ=-x ，即83π=x ，212max+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅→→d c .（3）()()()()()3cos ,cosx sinx 2sin ,cosx sinx f x a b cd x x =-⋅+=-⋅+22cos cos sin 2cos 22sin 26x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭()()()+t=2sin 22sin 222sin 2166g x f x s x s t x s t x ππ⎡⎤⎛⎫=--++=-++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()1,12t s k k z ππ∴==+∈∴2m s =+= ∴0=k 时，1214411222min+=+⎪⎭⎫⎝⎛=→ππm .20．（1）2cos2sin2)22sin()22sin(sin sin ϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθ-+=--++-++=+.（2）由已知21)2sin()2sin(2sin +-=-+ππC B A 212sin 2sin 2sin =++∴C B A 由（1）可得21cos sin 2222cos 222sin 2=+-+C C B A B A 21sin sin sin 4)]cos()[cos(sin 2==+--B A C B A B A C 81sin sin sin =∴C B A 又已知△ABC 的外接圆的半径为1 41sin sin sin 22==∴∆C B A R S ABC 21．（1）由题意得当12-≤<-a 时，0)2()(max =-=f x f ，a a a f x f 2)()(2min +==， ∴此时)(x f 的值域为]0,2[2a a +。
当01≤<-a 时，0)2()(max =-=f x f ，1)1()(min -=-=f x f ， ∴此时)(x f 的值域为]0,1[-。
当0>a 时，a a x f 2)(2max +=，1)1()(min -=-=f x f ，∴此时)(x f 的值域为]2,1[2a a +-。