2019-2020年高中数学 第三课时 2.2从位移的合成到向量的加法(二)教案 北师大版必修4
从位移的合成到向量的加减法课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大(2019)必修第二册
故对于任意向量，，总有||| − ||| ≤ | + | ≤ || + ||.①
由于| − |＝| + （ − ）|，所以||| − | − || ≤ | − | ≤ || + | − |，
即||| − ||| ≤ | − | ≤ || + ||.②
将①②两式结合起来可得||| − ||| ≤ | ± | ≤ || + ||，我们称其为向量形式的三角不等式.
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必修第二册
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2.向量加法的运算律
向量的加法也满足结合律和交换律，即（ + ） + ＝ + （ + ）， + ＝ + .
− ， + ＝- + - ＝ − + − ，- ＝＝-
＝ − ， + + ＝0.
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三 向量的加、减法的综合应用
例4
已知非零向量，满足||＝ 7+1，||＝ 7-1，且| − |＝4，求| + |的值.
解析：（+）+（+）+＝++++
＝+++＝+��+＝+＝.故选D.
答案：D
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例2
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化简：（-）-（-）.
解：（方法1）（-）-（-）＝（+）-（+）＝-��＝0.
量叫做这个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则，是三角形法则的推广，强调的也是
§2.2.2从位移的合成到向量的加法第二课时
§2.2.2从位移的合成到向量的加法第二课时陕西省西安中学宋心茹【教材版本】北师大版【教材分析】向量减法运算是加法的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算。
通过向量减法运算的学习，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生应用意识。
【学情分析】学生在上节课中学习了向量的加法运算，掌握了向量加法运算的两种法则，所以向量的减法运算可通过类比加法将向量的加法运算转化，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，深入理解并掌握向量的加减运算。
【教学目标】1．知识与技能（1）明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；（2）能利用向量减法的运算法则解决有关问题；理解向量加法的定义.2．过程与方法启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3．情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想。
启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题。
【重点难点】教学重点：向量的减法的定义，作两个向量的差向量；教学难点：对向量减法定义的理解．【教学环境】◆多媒体教室 ◆课件【教学设计】一、情景引入，提出问题设计原因 从第一课时熟悉的“小船过河”实例出发，经过观察、研究，归纳出向量减法的概念，教学过程紧扣学生的思维，阐述自然.问题 在小船过河时，河水流动的速度为1/v km h ，小船欲实际沿垂直河岸的方向，以2/v km h 行驶速度过河，试求小船过河自身行驶速度的大小和方向．解：如图，设OA 表示小船实际沿垂直于河岸方向行驶的速度2/v km h ，OB 表示水流动的速度1/v km h ，以OB 为一边，OA 为对角线、作OBAC ，则OB的邻边OC 就表示小船过河自身行驶的速度和方向.二、新知探究1、向量减法的定义相反向量 把与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫作向量a 的相反向量．记作a -，a 和a -互为相反向量．规定：（1）零向量的相反向量仍是零向量，即00-=；（2）任一向量的相反向量的相反向量仍是该向量本身，即()a a --=； 注：由向量加法的定义可得，互为相反向量的两个向量的和为零向量，即()0a a +-=；反之两个向量的和为零向量，则这两个向量互为相反向量. 2、向量的减法向量a 加上向量b 的相反向量，叫作a 与的b 差，即()a b a b -=+-. 求两个向量差的运算，叫作向量的减法．注：向量的减法，亦可定义为向量加法的逆运算，也就是说，若 b x a +=，则x a b =-，即向量x 叫作向量a 与b 的差. 3、求两个向量的差如图，已知向量a ，b ，作OA a =，OB b =，以OA ，OB 为邻边再作平行四边形OACB ，连接BA .图中，向量BA ，表示向量a 与向量b -的和，即向量a －b ，也即向量BA OA OB =-=a －b ．三、学生活动 猜想讨论问题 向量求差的各种情况的讨论. 讨论设计（1）两向量不共线：（2）两向量共线：a b -a b - a b -a b -abbabbaaab -a b - baB注：当两向量共线时，向量减法的三角形法则就不成立了. （3）其中有一个是零向量：0,0a a a a -=-=-.指向被减向量（a ）的终点就是向量a －b 四、典例精析例4 已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b ＋c ．解： 如图，在平面上任取一点O ，作,OA a OB b ==，则BA a b =-.再作BC c =，并以BA ，BC 为邻边再作平行四边形BADC ，连接BD ，则 BD BA BC a b c =+=-+.例5 已知||8,||6a b ==，且||||a b a b +=-，求||a b -.解： 如图，设,AB a AD b ==，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则有a b -aa ba ab -baca b c -+ a b -baA baA||||||||AC a b DB a b AC DB ABCD AB AD a b a b ABCD ⎫⎫=+⎪⎪⎪=-⇒=⎪⎬⇒⇒⊥⎬⎪+=-⎪⎪⎭⎪⎭为矩形在Rt ABD ∆中，||8AB =，||6AD =，由勾股定理，得22||||||810DB AB AD =+==.∴ ||a b -10=.五、课堂练习（学生回答）1.P92练习 2．填空．（1）AB AC -= CB ； （2）OA OB -= BA ； （3）MD MC -= CD ； （4）AB BC AD +-= DC .六、思考探究问题1 证明向量的“三角形不等式” ：||||||||||||a b a b a b -≤+≤+.(提示：按不共线、共线（同向、反向）讨论证明.)问题2 用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形. (提示：法一：=； 法二：=）七、布置作业P93习题 2—2课堂作业 A 组 4.5.（1） （2） （3） 课外作业 B 组 3.4.。
北师大版必修四数学课件：2.2 从位移的合成到向量的加法
第二章
§2
→ → → 4．已知|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是______．
[答案] [3,13]
→ → → → → → → → [解析] 因为BC＝AC－AB，又|AB|－|AC|≤|AC－AB|≤|AB → → |＋|AC|，所以3≤|BC|≤13.
第二章
§2
→ → → 5．在△ABC中，D是BC的中点，设 AB ＝c， AC ＝b， BD → ＝a，AD＝d，则d－a＝________，d＋a＝________.
第二章
§2 从位移的合成到向量的加法
第二章
§2
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
第二章
§2
课前自主预习
第二章
§2
在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个重
物，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角 越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？当你学了向
第二章
§2
向量加减法的综合应用
已知非零向量a，b同时满足：|a|＝|b|和|a＋b|＝ → → → |a－b|，若作OA＝a，OB＝b，OC＝a＋b，试断定四边形OACB 的形状，并证明．
[思路分析]
首先根据向量加法的平行四边形法则可知四
边形OACB是平行四边形，其次根据条件|a|＝|b|可知四边形是 菱形，再由条件|a＋b|＝|a－b|进一步可知它是正方形．
[分析] 本题以平行四边形对角线中的向量为载体，考查 相反向量的概念、向量的减法运算．以及用已知向量表示未知 向量的能力．
[答案] －a－b
第二章
§2
→ → → [解析] 如图BC＝OC－OB → → ＝－CO－OB → → ＝－OA－OB＝－a－b．
高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法学案北师大版
2.2 从位移的合成到向量的加法知识梳理1.向量的加法（1）向量加法法则①三角形法则：根据加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.其具体做法是将向量b平移，使向量b的起点与向量a的终点重合，则以a的起点为起点，b 的终点为终点的向量就是向量a与b的和向量.②平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b（如图2-2-1），作AB=a，AD=b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量AC=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.图2-2-1③多边形法则：ｎ个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这ｎ个向量的和等于折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.多边形法则实质就是三角形法则的连续应用.(2)几何意义向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.(3)运算律交换律：a＋b=b＋a；结合律：（a＋b)＋c=a＋(b＋c）.2.向量的减法(1)向量的减法是向量加法的逆运算.求两个向量的差，必须把两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.（2）利用相反向量的定义，一个向量减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量. （3）向量减法的作图法：一是利用向量减法的定义直接作图,二是利用相反向量作图.知识导学学好本节有必要复习物理学中三角形法则和平行四边形法则；善于应用AB+=和-AB=解决向量问题.疑难突破1.向量加法与实数加法的联系.剖析：讨论两种运算的联系，主要从它们的运算法则、运算结果、运算律、运算的意义来分析.（1）运算法则：向量加法法则是三角形法则或平行四边形法则，可以用有向线段的连接来表示；实数的加法法则是两个实数的和的绝对值等于这两个实数中较大数的绝对值减去较小数的绝对值，和的符号与较大绝对值加数的符号相同.（2）运算结果：向量的和还是向量，实数的和还是实数.(3)运算律：向量的加法与实数的加法类似，都满足交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则验证.图2-2-2如图2-2-2，作=a ，=b ，=c ，连结、、， 则=a +b ，BD =b +c . ∵AD =AB +BD =a +(b +c )，=AC +CD =(a +b )+c ，∴(a +b )+c =a +(b +c ).（4）运算的几何意义：向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则；实数加法的意义是实数的加法法则.由此可见，向量的加法与实数的加法不相同，其根本原因是向量不但有大小并且还有方向，而实数仅有大小,是数量，所以向量的运算不能按实数的运算来进行.2.在化简OB OA -时，为什么总是错误地得出OB OA -=？剖析：根据解题经验，-的结果是和中的一个向量，到底是哪一个向量呢？把结果通过向量加法的三角形法则验证.假设-=AB ，则有=AB +，由于表示、、AB 的有向线段正好构成三角形即△OAB，如图2-2-3所示.图2-2-3由向量加法的三角形法则知OA =+OB .所以OB OA -=是错误的，应该是OB OA -=.为了防止出现类似错误，通常画图利用数形结合解决此类问题，也可以化归为向量的加法进行验证.设OB OA -=m ，则OA =OB +m ，由于m 等于和中的一个向量，OB +≠OA ，仅有OB +=OA ，所以OB OA -=.。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 从位移的合成到向量的加法 2.2.2 向量的减法备课素材 北师大版必修4
2.2.2 向量的减法备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是:两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减),这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点的向量.只要学生理解法则内容,那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手,尤其遇到向量的式子运算题时,一般不用画图就可迅速求解,如下面例题:例1 化简:AB-AC+BD-CD.解:原式=CB+BD-CD=CD-CD=0.例2 化简:OA+OC+BO+CO.解:原式=(OA+BO)+(OC+CO)=(OA-BO)+0=BA.二、备用习题1.下列等式中,正确的个数是 ( )①a+b=b+a ②a-b=b-a ③0-a=-a ④-(-a)=a ⑤a+(-a)=0A.5B.4C.3D.22.如图12,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则AF-DB等于( )图12A.FDB.FCC.D.3.下列式子中不能化简为AD的是( )A.(AB+CD)+BCB.(AD+MB)+(BC+CM)C.+-BMD.-+4.已知A、B、C三点不共线,O是△ABC内一点,若++=0,则O是△ABC的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心5.已知两向量a和b,求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是a的方向与b的方向垂直.参考答案:1.C2.D3.C4.A5.证明:(1)充分性:设OA=a,OB=b,使OA⊥OB,以OA、OB为邻边作矩形OBCA,则|a+b|=|OC|,|a-b|=|BA|.∵四边形OBCA为矩形,∴|OC|=|BA|,故|a+b|=|a-b|.(2)必要性:设OA=a,OB=b,以OA、OB为邻边作平行四边形,则|a+b|=|OC|,|a-b|=|BA|.∵|a+b|=|a-b|,∴|OC||=|BA|.∴OBCA为矩形.∴a的方向与b的方向垂直.。
2019高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.2向量的减法课件北师大版
所以|b|=|������������|= (2√2)2-(√3)2 = √5.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因误用向量减法法则而致误
【典例】 如图所示,已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点
A,B,C的向量分别为r1,r2,r3,则 ������������ =
.
错解因为������������ = ������������ + ������������, ������������ = ������������ = ������������ − ������������, 所以������������ = ������������ + ������������ − ������������=r3+r2-r1. 正解因为������������ = ������������ + ������������, ������������ = ������������ = ������������ − ������������, 所以������������=r3+r1-r2.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(方法三)设O为平面内任意一点,则
(������������ − ������������)-(������������ − ������������)
=������������ − ������������ − ������������ + ������������
=(������������ − ������������)-(������������ − ������������)-(������������ − ������������)+(������������ − ������������)
2.2从位移的合成到向量的加法----教案
（图1） 第二章 平面向量2-2从位移的合成到向量的加法⑴一、教学目标：1.知识与技能⑴掌握向量加法的定义，会用向量的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和； ⑵掌握向量加法的交换律和结合律，并能运用它们进行向量运算. 2.过程与方法通过利用位移的合成去探索两个向量的和的过程，体会到向量是一种处理几何问题、物理问题的工具。
3.情感态度价值观理解和领悟数形结合的思想；同时通过学习激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律. 难点: 向量的减法转化为加法的运算.三.学法与教学用具自主性学习+探究式学习法 教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】提出：向量是否能进行运算？先看关于位移的两个实例： 1．飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京市 （如图1）这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移关系如何？2．在大型生产车间里，一重物被天车从A 处搬运到B 处，（如图2）它的实际位移−→−AB ，可以看作水平运动的分位移−→−AC 与竖直向上运动的分位移−→−AD 的合位移由实例分析提出课题：向量的加法【知识探究】【知识点1】向量加法的概念求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
两个向量的和仍是一个向量。
对于零向量与任一向量a ，有00a a a +=+=DB【知识点2】向量加法的法则1、向量加法的三角形法则：已知向量a 、b ，在平面内任取一点A 作−→−AB =a ,−→−BC =b,则向量−→−AC 叫作向量a 与b 的和，记作a b +。
即a b AB BC AC +=+= 。
练习1：如图已知向量a 与b ，用向量加法的三角形法则作出向量a b +。
强调：向量加法的三角形法则①首尾相接，头指向尾；②它适合任两向量相加2、向量加法的平行四边形法则：已知向量a 与b ，在平面作−→−AB =a ，−→−AD =b ，再作平行−→−AD 的向量−→−BC =b，连接DC 。
从位移的合成到向量的加法课件
分配律
总结词
向量加法的分配律是指向量加法可以分配到 括号内的各个向量上。
详细描述
根据向量加法的定义，我们知道向量加法不 满足分配律。这意味着我们不能将一个向量 同时与其他两个向量相加，然后将结果相加
。例如，如果我们有两个向量a和b，我们 不能直接得到a+(b+c)的结果，而只能得到 (a+b)+c的结果。这是因为向量加法只关心 向量的长度和方向，而不关心它们是如何组
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量加法的结果与加 数的分组方式无关。
详细描述
根据向量加法的定义，我们知道向量加法满 足结合律。这意味着无论我们将向量如何分 组，它们的和都是相同的。例如，如果我们 有三个向量a、b和c，那么(a+b)+c的结果 与a+(b+c)的结果是相同的。这是因为向量 加法只关心向量的长度和方向，而不关心它 们是如何组合的。
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小。
详细描述
向量的模，也称为向量的长度或大小，用于描述向量的大小。在二维空间中，向 量的模可以通过勾股定理计算得出；在三维空间中，向量的模可以通过向量坐标 的平方和的平方根计算得出。
向量的表示
总结词
向量可以用坐标或箭头表示。
详细描述
在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示，例如在二维空间中可以用有序对(x, y)表示，在三维空间中可以用有 序三元组(x, y, z)表示。此外，向量也可以用带有箭头的线段表示，箭头的长度代表向量的模，箭头的指向代表向 量的方向。
合的。
05 向量加法的应用
力的合成与分解
力的合成
当一个物体受到多个力的作用时，这些力可以合成一 个力，其效果与单独作用于物体的力相同。力的合成 可以通过向量加法实现，即将各个力的向量按照平行 四边形法则或三角形法则进行加法运算。
高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2
题型一
题型二
题型三
题型四
反思应用三角形法则进行向量减法运算时,必须平移向量使之共起 点,则终点与终点所确定的向量就是两个向量的差向量,此时差向 量的方向指向被减向量的终点.对于多个向量的减法运算,一般通 过两两相减依次运算.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 若本例中的向量a,b,c不变,求作(a-b)-(b-c). 解:(a-b)-(b-c)=a-b-b+c.
(2)性质:①对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0. ②若a,b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0.
【做一做1-1】 下列各式中不正确的是( ) A.a-b=b-a B.0-a=-a C.-(-a)=a D.a+(-a)=0 答案:A
12
【做一做1-2】 已知a,b分别表示“方向向南,大小为5 m/s的风 速”“竖直向上,大小为10 N的力”,请说明向量-a,-b的意义.
4.与向量的和一样,向量的差仍然是一个向量.
12
【做一做 2-1】 在▱ABCD 中, ������������ − ������������等于( )
A. ������������B. ������������C. ������������D. ������������ 答案:A
【做一做 2-2】 已知������������ =a, ������������ =b,若|������������| = 12, |������������| = 5, 且
2.以向量������������ =a, ������������ =b 为邻边作平行四边形 ABCD,则 两条对角线的向量为������������ =a+b, ������������ =b-a, ������������ =a-b.这一结 论的应用非常广泛,应该加强理解并记住.
高中数学 第三课时 2.2从位移的合成到向量的加法(二)教案 北师大版必修4
第三课时 2.2从位移的合成到向量的加法（二）一、教学目标1.知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重难点：向量的减法转化为加法的运算. 三.学法与教法学法与教法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学设想（一）、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则；向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++BA BA CB . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++ 提出课题：向量的减法 （二）、探究新知思考：已知a ，b ，怎样求作b a -？这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相反向量”这个概念. 1.用“相反向量”定义向量的减法①“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量；记作 -a ②规定：零向量的相反向量仍是零向量。
-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。
a + (-a ) = 0A BD C如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 ③向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.1向量的加法教案
2.2.1 向量的加法整体设计教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明.同时运用它们进行相关计算,这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解,也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想.而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比,则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等.三维目标1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.2.在探究活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.3.通过本节内容的学习,使学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力,初步体会向量内容与其他知识的交汇特点. 重点难点教学重点:向量加法的运算及其几何意义.教学难点:对向量加法法则定义的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并掌握了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法.思路2.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？一位同学按以下的指令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算他所在的位置?由此导入新课.推进新课新知探究提出问题①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？②猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同?图1活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图1.在大型生产车间里,一重物被天车从A 处般运到B 处,它的实际位移AB ,可以看作水平运动的分位移AC 与竖直向上运动的分位移AD 的合位移.由分位移求合位移,称为位移的合成.由物理学知识我们知道,位移合成遵循平行四边形法则,即AB 是以AC,AD 为邻边的ACBD 的对角线.数的加法启发我们,从运算的角度看,AB 可以认为是AC 与AD 的和,即位移、力的合成看作向量的加法.讨论结果:①向量加法的定义:如图2,已知非零向量a 、b ,在平面内任取一点A,作AB =a ,BC =b ,则向量AC 叫作a 与b 的和,记作a +b ,即a +b =AB +BC =AC .图2求两个向量和的运算,叫作向量的加法.②向量加法的法则:1°向量加法的三角形法则已知向量a ,b ,在平面内任取一点A,作AB =a ,BC =b ,再作向量AC ,则向量AC 叫作向量a 与b 的和,这种求向量和的作图方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量,如图2.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.向量求和的三角形法则,可推广至多个向量求和的多边形法则:n 个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一向量折线,这n 个向量的和等于折线起点到终点的向量,即2110A A A A ++…+n n n A A A A 01=-.2°向量加法的平行四边形法则图3如图3,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出问题①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢?②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系?④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律?引导学生画图进行探索.讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定a+0=0+a=a.②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.③当a,b不共线时,|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;当a,b共线且方向相反时,|a+b|a|-|b|(或|b|-|a|)，其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|a|.一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b图4④如图4,作AB=a,AD=b以AB、AD为邻边作ABCD,则BC=b,DC=a.因为AC=AB+AD=a+b,AC=+DC= b+a,所以a+b=b+a.图5如图5,因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c,AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.应用示例思路1。
2从位移的合成到向量的加减法-北师大版高中数学必修第二册(2019版)教案
2 从位移的合成到向量的加减法-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.通过例题引入概念，使学生理解向量的概念及其在生活中的应用。
2.通过实例，使学生掌握向量相加的方法和向量的减法运算规律。
3.深入浅出地讲解向量的积，使学生了解向量积的概念与性质，并且学会向量积的计算方法与应用。
二、教学重难点1.向量的概念和加减法的方法。
2.向量积的概念和计算方法。
三、教学准备1.教师：黑板、彩色粉笔、教案、笔记本电脑。
2.学生：课本、笔记本、钢笔/圆珠笔。
四、教学过程第一步：引入概念物理中有一个概念叫做“力”，而我们可以用向量的概念来描述它。
那么，什么是向量呢？向量，简单来说，就是带有方向和大小的量。
比如，我们常见的速度、加速度、力等等，都可以用向量的概念来表示。
这时，教师可以通过实际生活中相关的例子来让学生更好地理解向量的概念。
比如，在旅游时，我们需要从酒店到景点，可能会有多种路线可选，那么我们应该如何选择最优的路线呢？这时，我们可以用向量的概念表示出不同路线的方向和长度，来比较它们的优劣。
第二步：向量的加减法在现实生活中，我们常常需要对多个向量进行合成或分解。
而向量的加减法，正好可以帮我们解决这个问题。
在教学中，教师可以通过课堂互动的形式，让学生自己解决不同向量的加减问题，鼓励学生们尝试不同的解决方法，并着重让他们理解向量的加减法所表示的物理意义。
第三步：向量的减法运算规律与向量的加法不同的，向量的减法运算规律是可逆的，也就是说，两个向量相减的结果不会受到它们的顺序的影响。
这一点，可以用一个具体的数学公式来加以证明。
在教学中，教师可以通过向学生介绍不同的例子，如力的平衡，特别是当多个力共同作用于一个物体时，如何将它们合成或分解为一个等效的向量。
第四步：向量积的概念和计算方法向量积，顾名思义，就是两个向量的积。
与数的乘积不同的是，向量积的结果是一个向量，而不是一个数。
在教学中，教师需要刻意与学生讨论向量积的各种性质，例如垂直性和长度的计算方法等等。
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2019-2020年高中数学 第三课时 2.2从位移的合成到向量的加法（二）
教案 北师大版必修4
一、教学目标
1.知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重难点：向量的减法转化为加法的运算. 三.学法与教法
学法与教法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学设想
（一）、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则；向量加法的运算定律：
例：在四边形中， .
解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++ 提出课题：向量的减法 （二）、探究新知
思考：已知，，怎样求作？
这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相反向量”这个概念. 1.用“相反向量”定义向量的减法
①“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量；记作 a
②规定：零向量的相反向量仍是零向量。
(
a ) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。
a + (
a ) = 0
A B
D C
如果a 、b 互为相反向量，则a = b , b = a , a + b = 0
③向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a b = a + (
b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b 3.请同学们自己解决思考题： 的作法： 方法一、已知向量、，在平面内任取一点O ，作，则。
即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量
方法二、在平面内任取一点O ，作则。
即也可以表示为从向量的起点指向向量的起点的向量.
方法三、在平面内任取一点O ，作，则由向量加法的平行四边形法则可得 . [展示投影]思考与讨论：
思考：从向量的终点指向向量的终点的向量是什么？（） 讨论：如右图，∥时，怎样作出呢？ 探究：
⑴如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是 b a.
（２）若a ∥b ， 如何作出a b ？
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充） 例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a
b 、
c
d 。
解：在平面上取一点O ，作= a , = b , = c , = d , 作, , 则= a b , = c
d
A
B
C
b
a
d c
D
a
b A
A
B
B
B’
O
a
b a a b
b
O
A
O
B
a
b a b
B
A
O
b
例2.平行四边形中，=，=，用、表示向量，.
解：由平行四边形法则得： = a + b, = - = a
b
变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a b |？（a , b 互相垂直）
变式三：a +b 与a
b 可能是相当向量吗？（不可能，∵
对角线方向不同）
例3.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
证：由向量加法法则：
= +, = + 由已知：=, =
∴= 即AB 与CD 平行且相等 ∴ABCD 为平行四边形
练习：Ｐ98中练习题
（三）、课堂小结：（学生总结，其它学生补充）相反向量及向量减法的运算法则、作图法。
（四）、1．作业：习题2.2 A 组第4、5、6题． 2．（备选题）：
①证明：对于任意给定的向量都有 ②证明：并说明什么时候取等号？
提示：可用例5的图当、不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于第三边得
b a BC AB AC b a +=+<=+、b a BC AB AC b a -=->=+
即
1.在△ABC 中， =a ， =b ，则等于
A.a +b
B.-a +(-b
a -b
b -a
2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ， =b ， =c ， =d ，则 A.a +b +c +d =0 B.a -b +c -d
a +
b -
c -
d =0 D.a -b -c +d =0
A B D C
A B
D C
O
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d=
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d.
五、课后反思：。