2018-2019版高中数学人教B版必修一课件：3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数和换底公式 与自然对数
新教材人教B版高中数学必修第一册 第二章 等式与不等式 精品教学课件(共196页)
2.1.1 等式的性质与方程的解集
【知识导学】 知识点一 等式的性质 (1)如果 a＝b，那么 a±c＝b±c. (2)如果 a＝b，那么 a·c＝b·c，ac＝bc(c≠0)． (3)如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c.
知识点二 恒等式 一般地，含有 字母
的等式，如果其中的字母取任意实数 时等
答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
用因式分解法解一元二次方程的关键是把方程分解为两个一次因式的 积，并令每个因式分别为 0，即可得一元二次方程的解集.
[跟踪训练2] (1)因式分解： ①x2－xy－2y2； ②3x2＋2xy－y2； (2)求一元二次方程的解集： ①x2－4x＋3＝0； ②2(x－3)＝3x(x－3)．
解 (1)①原式＝(x－2y)(x＋y)． ②原式＝(x＋y)(3x－y)． (2)①方程可化为(x－1)(x－3)＝0， 解得 x＝1 或 x＝3，即方程的解集为{1,3}． ②原式可化为 2(x－3)－3x(x－3)＝0， 得(x－3)(2－3x)＝0， 解得 x＝3 或 x＝23，即方程的解集为3，23.
(3)解方程 t2x＋1＝x＋t(t 为任意实数)．
答案 (1)B (2)A (3)解 原方程变形为(t2－1)x＝t－1. ①当 t≠±1 时，x＝t＋1 1，因此方程的解集为t＋1 1； ②当 t＝－1 时，方程无解； ③当 t＝1 时，方程的解集为 R.
答案
题型一 一元二次方程的解集
例 1 (1)把方程 3x＋2x－3 1＝3－x＋2 1去分母，正确的是(
式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
知识点三 方程的解集 所有解
一般地，把一个方程
组成的集合称为这个方程的解集．
【新知拓展】 1．恒等式的证明 一般可以把恒等式的证明分为两类： (1)无附加条件的恒等式证明； (2)有附加条件的恒等式证明． 2．因式分解法解一元二次方程 (1)常用的方法主要是提公因式法、运用平方差公式、完全平方公式等分 解因式．
新教材高中数学第3章函数31函数的概念与性质311第2课时函数的表示方法课件新人教B版必修第一册
因为 x＋1≥1， 所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).
31
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
()
15
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x
1≤x<2 2 2<x≤4
f(x)
1
2
3
A．1
B．2
C．3
D．不存在
C [∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]
16
3．二次函数的图像的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函
数的解析式可以为( )
A．y＝－14x2＋1
x－1 [由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得
f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得
ff（ （x－）x－ ）－2f（2f（－xx） ）＝ ＝11＋ －22xx， ，消去f(－x)可得f(x)＝23x－1.]
38
分段函数的求值问题
x2－1，x≤1， 【例3】 已知f(x)＝ －x＋1，x＞1， 则f(f(－1))＝________；若 f(x)＝－1，则x＝________．
33
③当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△ CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x)2
＝－12(x－7)2＋10. 综合①②③，得函数的解析式为
12x2，x∈[0，2]， y＝2x－2，x∈（2，5]，
－12（x－7）2＋10，x∈（5，7].
人教B版高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第2课时课件
新知探究
【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列数学 实验： （1）任取多组三个正教a，b，c，计算 a b c 和 3 abc 运后，比较它
3 们的大小，总结出一般规律；
（2）对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．
一般地，a1 a2 n
等号成立．
an ≥ n a1a2
2
2
新知探究
例4 （1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； （2）已知a，b，c为正实数，求证： a2b2 b2c2 c2a2 ≥abc； abc （3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
证明： （1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 三个不等式相加即能得证；
情境与问题
复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下 均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样 的问题？
如果a，b都是正数，那么 a b ≥ ab ，当且仅当a＝b时，等号成 2
立．利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等．
问题：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？
新知探究
问题2 我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利 用 a b ≥ ab（a，b都是正数），也可使用a＋b≥ 2 ab ．
2 你还有哪些变形呢？
(a b)2 ≥ 4ab ，ab ≤ ( a b)2． 2
新知探究
例1
已知ab＞0，求证：ba
a b
≥2，并推导出等号成立的条件．
证明：因为ab＞0，所以 b 0 ，a 0 ， ab
根据均值不等式，得 b a ≥ 2 b a 2 ，即 b a ≥ 2 ，
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 第2课时 空间向量的数量积
2
2
2
2
2
1
=2(|b|2-|a|2)=0,所以1
⊥ ,即 A1O⊥BD.
同理可证1 ⊥ ,即 A1O⊥OG.
又OG∩BD=O,OG⊂平面GBD,BD⊂平面GBD,
∴A1O⊥平面GBD.
成果验收·课堂达标检测
1.已知四面体 ABCD 的所有棱长都是 2,点 E 是 AD 的中点,则 · =( A )
作直线l(或平面α)的垂线,假设垂足为A,B,则向量 称为a在直线l(或平面
α)上的投影.
(3)空间向量的数量积
两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cos<a,b>.规定
零向量与任意向量的数量积为0.
名师点睛
1.空间向量的数量积是一个实数而不是一个向量.
2.数量积的正负取决于向量的夹角,注意两向量反向时夹角为π.
(λa)·b=λ(a·b),λ∈R
交换律
a·b=b·a
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
名师点睛
1.a⊥b的充要条件是a·b=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法,
同时也说明由a·b=0不能得到a=0或b=0.
2.向量的数量积不满足结合律.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.( × )
1
C.
4
解析 由题意得 = + = +
· = ·(
2
1
|
|
2
=
1
.故选
2
D.
1
+ 2
2018_2019学年高中数学对数及其运算第2课时积商幂的对数与换底公式练习新人教B版必修
第2课时积、商、幂的对数与换底公式【选题明细表】1.log89·log32的值为( A )(A)(B)1 (C)(D)2解析:log89·log32=lo32·log32=×·=,故选A.2.(2018·北京西城期末)若log2a+lo b=2,则有( C )(A)a=2b (B)b=2a(C)a=4b (D)b=4a解析:log2a+lo b=2,即log2a-log2b=2,所以log2=2,即=4,即a=4b,故选C.3.如果lg x=lg a+3lg b-5lg c,那么( C )(A)x=a+3b-c (B)x=(C)x=(D)x=a+b3-c5解析:因为lg a+3lg b-5lg c=lg a+lg b3-lg c5=lg ,所以x=,选C.4.计算4log6+log64的结果是( B )(A)log62 (B)2(C)log63 (D)3解析:4log6+log64=log69+log64=log636=2.故选B.5.若log5·log36·log6x=2,则x= .解析:原式=··=2,即-=2,所以log5x=-2,所以x=5-2=.答案:6.(2018·河南洛阳期中)计算:(lg -lg 25)÷10+= .解析:(lg -lg 25)÷10+=-(lg 4+lg 25)÷+7×=-2×10+7×2=-6.答案:-67.(2018·四川雅安中学期中)如果方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为x1,x2,那么x1x2的值为( C )(A)lg 2lg 3 (B)lg 2+lg 3(C) (D)-6解析:因为方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为x1,x2,所以lg x1+lg x2=-(lg 2+lg 3),lg x1·lg x2=lg 2·lg 3,所以lg(x1x2)=-lg 6=lg 6-1,x1x2=.故选C.8.(2018·吉林长春联考)若log545=a,则log53等于( D )(A)a (B)a-1(C)(D)解析:因为log545=a=log5(5×9)=log55+log532=1+2log53,所以log53= .故选D.9.(2018·辽宁大石桥期末)已知log29=a,b=log25,则log275用a,b表示为( C )(A)2a+2b (B)2a+ b(C)a+2b (D)(a+b)c解析:因为log29=a,所以log23=,所以log275=log2(5×15)=log25+log2(3×5)=log25+log23+log25=2log25+log23=a+2b,故选C.10.(1)已知6a=27,求log1618;(2)已知log310=a,log625=b,求log445.解:(1)因为6a=27,所以a=log627==,解得log23=,所以log1618==(log22+log29)=(1+2log23)==.(2)a=log310=log32+log35, ①b=log625==, ②由①②解得所以log445====.11.设log a c,log b c是方程x2-3x+1=0的两根,求lo c的值. 解:由根与系数的关系,得将上式化为以c为底的对数,得故log c a+log c b=3,log c a·log c b=1,所以(log c a-log c b)2=(log c a+log c b)2-4log c a·log c b=5,所以lo c===±.。
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数 3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
(2)已知函数y=f(x)在区间[2,3]上的图象是连续的,且f(2)>0,f(3)<0,即在区间
(2,3)内有零点,问如何尽快缩小零点所在区间的范围?
提示:①取区间[2,3]的中点2.5.
②计算f(2.5).
③若f(2.5)>0,则零点必在区间(2.5,3)内,否则在区间(2,2.5)内.
范?
1
提示:因为函数f(x)=x+ 的定义域是{x|x≠0},所以函数f(x)的图象不是连续
不断的,所以即使满足f(-1)f(1)<0,函数f(x)也不一定有零点.
正解:函数f(x)的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)<0.所以函数
f(x)没有零点,故选A.
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若f(a)f(b)>0,则f(x)在区间[a,b]上无零点.( × )
(2)若f(x)在区间[a,b]上连续不断,且为单调函数, f(a)f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)
内有且只有一个零点.( √ )
(3)如果函数零点两侧的函数值同号,那么不适合用二分法求此零点近似
[1.25,1.5]
f(x1)>0
[1.25,1.375]
1+1.5
x0= 2 =1.25
1.25+1.5
x1=
=1.375
2
1.375+1.25
|1.375-1.25|<0.2,
=1.312
2
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数 3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明
【典例】 已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),则x
的取值范围为
.
错解:因为f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),
3
所以x-2<1-x,解得x< 2
3
答案:x< 2
.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
由图象确定函数单调性的方法及注意事项
(1)若图象从左向右上升,则函数单调递增;若图象从左向右下降,则函数单
调递减.
(2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”
将它们隔开或用“和”字连接.
【变式训练1】 画出函数y=-x2+2|x|+1的图象,并写出该函数的单调区间.
函数(也称在区间I上单调递增);
(2)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),则称y=f(x)在区间I上是减
函数(也称在区间I上单调递减).
两种情况下,都称函数在区间I上具有单调性(区间I为函数的单调区间,也可
分别称为单调递增区间或单调递减区间).
3.(1)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)内是减函数,则f(3)和f(5)的大小关系
-a≥2(其中当-a≤1时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减;
当-a≥2时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增),从而a∈
(-∞,-2]∪[-1,+∞).
已知函数的单调性或单调区间求参数的取值范围,要将参数视为已知数,依
据函数的图象或函数单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知的单调区
高中数学 3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数课后强化作业 新人教B版必修1
高中数学 3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数课后强化作业 新人教B 版必修1一、选择题1．lg8＋3lg5＝( ) A ．lg16 B ．3lg7 C ．6 D ．3[答案] D[解析] lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3lg10＝3. 2．下列计算正确的是( ) A ．log 26－log 23＝log 23 B ．log 26－log 23＝1 C ．log 39＝3 D ．log 3(－4)2＝2log 3(－4)[答案] B[解析] log 26－log 23＝log 263＝log 22＝1，故选B.3．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝a ＋3b －cB ．x ＝3ab 5cC ．x ＝ab 3c5D ．x ＝a ＋b 3－c 3[答案] C[解析] ∵lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lg ab 3c5，∴x ＝ab 3c5.4．当a ＞0且a ≠1，x ＞0，y ＞0，n ∈N *时，下列各式不恒成立的是( ) A ．log a x n＝n log a x B ．log a x ＝n log a nx C ．xlog ax＝xD ．log a x n＋log a y n＝n (log a x ＋log a y )[答案] C [解析] 要使式子xlog ax＝x 恒成立，必须log a x ＝1，即a ＝x 时恒成立． 5．方程2log 3x ＝14的解是( ) A.33B ． 3C ．19 D ．9[答案] C [解析] ∵2log 3x＝14＝2－2，∴log 3x ＝－2， ∴x ＝3－2＝19.6．(2013～2014学年度云南玉溪一中高一期中测试)(lg5)2＋lg2·lg5＋lg20的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] (lg5)2＋lg2·lg5＋lg20 ＝lg5(lg5＋lg2)＋lg20 ＝lg5＋lg20＝lg100＝2. 二、填空题7．(2013·四川文)lg 5＋lg 20的值是________． [答案] 1[解析] lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg10＝1. 8．log 63＝0.6131，log 6x ＝0.3869，则x ＝________. [答案] 2[解析] log 6x ＝0.3869＝1－0.6131＝1－log 63 ＝log 66－log 63＝log 663＝log 62，∴x ＝2.三、解答题9．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8.[解析] (1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12. (2)原式＝12lg2＋lg9－lg10lg1.8＝12lg1.8lg1.8＝12.一、选择题 1．log (2＋1)(3－22)的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3[答案] B [解析] log (2＋1)(3－22)＝log (2＋1)12＋12＝log (2＋1)(2＋1)－2＝－2.2．已知|lg a |＝|lg b |，(a ＞0，b ＞0)，那么( ) A ．a ＝b B ．a ＝b 或a ·b ＝1 C ．a ＝±b D ．a ·b ＝1[答案] B[解析] ∵|lg a |＝|lg b |；∴lg a ＝±lg b . ∴lg a ＝lg b 或lg a ＝lg 1b ，∴a ＝b 或a ＝1b.3．某企业的年产值每一年比上一年增长p %，经过n 年产值翻了一番，则n 等于( ) A ．2(1＋p %) B ．log (1＋p %)2 C ．log 2(1＋p %) D ．log 2(1＋p %)2[答案] B[解析] 由题意得1·(1＋p %)n＝2， ∴n ＝log (1＋p %)2. 4.2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3[答案] B [解析]2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝lg4＋lg3lg10＋lg0.6＋lg2＝lg12lg12＝1.二、填空题5．已知log 32＝a ，则2log 36＋log 30.5＝________. [答案] 2＋a[解析] 2log 36＋log 30.5＝log 336＋log 30.5＝log 3(36×0.5)＝log 318＝log 39＋log 32＝log 332＋log 32＝2＋a .6．方程lg x 2－lg(x ＋2)＝0的解集是________． [答案] {－1,2}[解析] ∵lg x 2－lg(x ＋2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x ＋2＞0x 2＝x ＋2，解得x ＝－1或x ＝2.∴方程lg x 2－lg(x ＋2)＝0的解集为{－1,2}． 三、解答题7．(2013～2014学年度湖南长沙一中高一期中测试)计算：2723 －2log 23×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)．[解析] 2723 －2 log 23×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)＝(33) 23 －3×log 22－3＋lg(3＋5＋3－5)2＝9＋9＋lg10＝19.8．(1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a2m ＋n的值；(2)设x ＝log 23，求22x＋2－2x＋22x ＋2－x的值． [解析] (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a 2m ＋n＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝(alog a2)2·alog a3＝4×3＝12.(2)22x＋2－2x＋22x ＋2－x＝2x ＋2－x 22x ＋2－x＝2x ＋2－x＝2log 23＋(2log 23)－1＝3＋13＝103.9．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[解析] (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242 ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫748×142×12＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫16×8×16×12＝log 228＝log 22－12 ＝－12.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2) ＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.。
人教B版高中数学必修一《第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算》_1
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期：年月日星期班级）
授课题目
对数与对数运算（二）
拟课时
第课时
明确目标
1.知识与技能：理解对数的运算性质．
2.过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3.情感、态度与价值观
（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质log Mn= logaM及换底公式logaN= .利用换底公式可以证明：logab= ，
即logablogba=1.
例2:已知log189 =a，18b= 5，求log3645.
.
四、总结提升
1、本节课你主要学习了
五、问题过关
1.已知 ， ，求下列格式的值
则由１、 0=1２、 1= 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数？
③根据对数的定义， =？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）
由以上的问题得到
① （ ＞0，且 ≠1）
②∵ ＞0，且 ≠1对任意的力， 常记为 .
恒等式： =N
3.两类对数
①以10为底的对数称为常用对数， 常记为 .
②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数， 常记为 .
让学生讨论、研究，教师引导
师组织，生交流探讨得出如下结论:
底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.
学生思考，口答，教师板演、点评．
学生先做，老师再评讲
板书设计：
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期：年月日星期班级）
2018-2019学年高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修
三者的大小关系?
a=b 时等号成立.利用作差
法即可证明.
2 ( ������ + ������ ) 提示:a2+b2≥ ≥2ab,当且仅当 2
一
二
三
3.做一做:已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab( ) A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值 C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0 解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得 |ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2. 答案:A
������+������ 2 (a,b>0),当且仅当 2 ������+������ a,b,数 2 叫做
������+������
a,b 的算术平均值,数 ������������
a=b
1 ②a+������≥2(a>0),当且仅当 a=1 时,等号成立. ������ ������ ③������ + ������≥2(a,b 同号),当且仅当 a=b 时,等号成立.
一
二
三
2.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论. 提示:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥ 2 ������������ 中,a,b>0. (2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实 质不同(范围不同). (3)证明的方法都是作差比较法. (4)都可以用来求最值. 3.当利用均值不等式求最大(小)值,等号取不到时,如何处理? 提示:等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 2.2.2 不等式的解集
的长为AB=|a-b|,这就是数轴上两点之间的距离公式.如果线段AB的中点M
+
对应的数为x,则x= 2
就是数轴上的中点坐标公式.
3.设数轴上A(-3),B
解:AB=
1
-3- 2
=
1
2
,求线段AB的长及线段AB的中点M的坐标.
7
.
2
1
2
5
=-4.
2
-3+
线段 AB 的中点 M 的坐标为
【思考辨析】
当-2
当-2
当2
=
>
<
2+1
,即
4
2+1
,即
4
2+1
,即
4
+∞ .
2+1
-∞,
4
.
1
1
a=-4时,原不等式组的解集为 8 ;
1
a<-4时,原不等式组的解集为⌀;
1
2+1
a>- 时,原不等式组的解集为 - ,
4
2
4
.
随堂练习
1.不等式1-x>x-2的解集为(
A.
3
-∞, 2
C.
所以原不等式组的解集为(-3,1].
探究二
解绝对值不等式
【例2】 求下列绝对值不等式的解集.
(1)
1
3
-5≤0;
(2)|2x-3|>1.
分析:根据绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解.
解:(1)由
1
3
-5≤0,得
1
3
≤5,
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 习题课——不等式
> 0⇒ab>0.
>
故可组成 3 个真命题.
答案:3
5.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧
墙不花钱,正面用铁栅,每米造价为40元,两侧墙砌砖,每米造价为45元,顶部
每平方米造价为20元,求仓库占地面积S的最大允许值是多少?为使S达到
最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
解:设铁栅长为x米,砌砖墙长为y米,则顶部面积为S=xy,
依题设,40x+2×45y+20xy=3 200,
由均值不等式得 3 200≥2 40·90+20xy=120 +20xy=120 +20S,
所以 S+6 -160≤0,即( -10)( +16)≤0,故 ≤10,从而 S≤100,
故 a 的取值范围为(-3,+∞).
将本例变为关于a的不等式x2+(a+1)x+1>0,a∈(0,2)恒成立,求x的取值范围.
解:由题意,得 xa+x2+x+1>0,a∈(0,2)恒成立,
× 0 + 2 + + 1 ≥ 0,
则
× 2 + 2 + + 1 ≥ 0,
2 + + 1 ≥ 0,
二、一元二次不等式
1.(1)如果x1<x2,则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1,x2),不等式(x-x1)(x-x2)>0
的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).
(2)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(xh)2<k的形式,然后根据k的正负等知识可得到原不等式的解集.
人教B版高中数学必修第一册第2章2-1-3方程组的解集课件
[解] ∵方程①是 x 与 2y 的和，方程②是 x 与 2y 的积，
∴x 与 2y 是方程 z2－4z－21＝0 的两个根，解此方程得 z1＝－3，z2＝7，
∴x2＝y＝－73，
或x2＝y＝7，－3，
x＝－3， 即y＝72
x＝7， 或y＝－32.
所以原方程组的解集为
x，y－3，27，7，－23
.
类型 4 方程组的实际应用 【例 4】 某汽车在相距 70 km 的甲、乙两地往返行驶，行驶中 有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要 2.5 h，从乙地到甲 地需要 2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时 速分别是 30 km,20 km,40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、 平路、下坡路的长度各是多少？
②当甲、乙两人经过 3 小时相遇后又相距 3 千米时，得 3x＋3y＝30＋3， 30－5x＝230－5y，
解得xy＝＝113367，. 答：甲的速度为每小时 4 千米，乙的速度为每小时 5 千米或甲的速度 为每小时136千米，乙的速度为每小时137千米．
03
学习效果·课堂评估夯基础
x＋3y＝7，
1．用代入消元法解二元一次方程组的步骤
2．用加减消元法解二元一次方程组的步骤
[跟进训练]
1．求下列方程组的解集．
4x＋8y＝12，① (1)3x－2y＝5.②
[解] 由②，得 2y＝3x－5.③
把③代入①，得 4x＋4(3x－5)＝12，解得 x＝2.
把 x＝2 代入③，得 y＝12.
所以原方程组的解集为x，y2，21
解得 y＝3 或 y＝－2，将 y＝3 代入 x＋y＝1 中得 x＝－2，
所以方程组的另一个解为yx＝＝3－. 2， ]
高中数学人教B版 必修第一册 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(1) 课件1
可可解解得得tt11 22或或tt11 22（（舍舍））..
从从而而
xx 11
22，，即即xx 11
22
22 3322
22，，
所所以以原原方方程程的的解解集集为为 3322 22 ..
巩固练习：求方程 2
x2
4 3 0 的解集 x2
.
解：设 1 t , 则t 0 ，且原方程可化为 2t2 4t 3 0 ，
13；2xx1232
10
3
，
易知可通过配方转化为 x 12 1 ；
3
法 法二 二： ：
33xx22 66xx 22 33 xx22 22xx 22 33 xx22 22xx 1111 22 33 xx 1122 11
故 故原 原方 方程 程转 转化 化为 为 33
xx
1122
分析：
因为 x2 2x 1 x2 2x 11 1 x 12 2
所以方程 x2 2x 1 0 可转化为 x 12 2
易知 x 1 2 ，故 x 1 2 ，
因此方程的解集为 1 2,1 2 .
同理，利用“配方”可以得到：
x2 4x 7 x2 4x 4 3 x 22 3，
我们也做上述类似的考虑，尝试将方程转化为 x k 2 t 的形式.
ax2
bx
c
a
x2
b a
x
c
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
x
b 2a
2
b2 4a
c
a
x
b 2a
2
b2
4ac 4a
所以 ax2 bx c 0 也就转化为
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a＋b ＝ ＝ . 2 log1818 －log189 2－a
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
12
log189＋log185
方法二 设log3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9， 从而有182x＝5×9x＋1， 对这个等式的两边都取以18为底的对数， 得2x＝log185＋(x＋1)log189， 又18b＝5，所以b＝log185. 所以2x＝b＋(x＋1)a，
2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接]
在指数的运算性质中：
m a m n m＋n m－n m n mn a · a ＝a ； an ＝a ；(a ) ＝a .
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
4
[预习导引] 1.对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0.那么： (1)log (M· N)＝ logaM＋logaN .
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
14
跟踪演练2
1 A.4 C.2
(1)(log29)· (log34)等于( D og34＝(log232)· (log322)
＝2log23· (2log32)＝4log23· log32＝4.
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
logeN通常记作 lnN .
温馨提示 常用结论(1)log an bn＝logab；
n n b＝
(2)log am
m (3)logab· logba＝1；
logab；
(4)logab· logbc· logcd＝logad.
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
6
课堂讲义
重点难点，个个击破
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
8
规律方法
1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1) “收” ，
将同底的两对数的和 (差)收成积(商)的对数.(2)“拆”，将
积(商)的对数拆成对数的和(差). 逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值
M (2)Loga ＝ logaM－logaN . N (3)logaMn＝ nlogaM (n∈R).
a
2.换底公式 log b logab＝ c (a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1). logca
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
5
3.自然对数
以无理数 e ＝ 2.718 28… 为底的对数，叫做自然对数，
15
1 1 1 －12 (2)log225· log38· log59＝_____.
解析
1 1 1 lg 25 lg 8 lg 9 原式＝ lg 2 · lg 3 · lg 5
－2lg 5· －3lg 2· －2lg 3 ＝ ＝－ 12. lg 2lg 3lg 5
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
3 2
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
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方法二
4 2×7 5 4 2 原式＝lg 7 －lg 4＋lg 7 5＝lg 7×4
1 ＝lg( 2· 5)＝lg 10＝2. 2 (2)lg 25＋3lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
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2.对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、
跟踪演练1 解
计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
第三章——
3.2 对数与对数函数 3.2.1 对数及其运算 第2课时 积、 商、 幂的对数和换底公式与自然对数
[学习目标] 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算. 2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常 用对数.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学
＝(lg 5)2＋lg 2· lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)· lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
10
2 3 lg 3＋5lg 9＋5lg 27－lg 3 (2) lg 81－lg 27
4 9 1 lg 3＋5lg 3＋10lg 3－2 lg 3 解 原式＝ 4lg 3－3lg 3
a＋b a＋b 解得 x＝ ，即 log3645＝ . 2－a 2－a
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
13
规律方法
1. 利用换底公式可以把不同底的对数化为
同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形
应用.
2.题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对
数式进行互化、统一成一种形式.
＝
4 9 1 1 ＋ ＋ － lg 5 10 2
4－3lg 3
3 11 ＝5.
11
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数
要点二 换底公式的应用 例2 已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645. 解 方法一 由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，所以
要点一 对数运算性质的应用 例1 计算下列各式的值：
1 32 4 (1)2lg49－3lg 8＋lg 245； 1 1 4 1 2 解 方法一 原式＝2(lg 32－lg 49)－3lg 2 ＋lg(49×5) ＝2(5lg 2 4 3 1 －2lg 7)－3×2lg 2＋2(2lg 7＋lg 5) 5 1 1 1 1 1 1 ＝2lg 2－ lg 7－ 2lg 2＋lg 7＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.
16
要点三 对数的实际应用
例 3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的 质量约是原来的 75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原 1 来的3(结果保留 1 位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)