精品推荐2018届下学期重庆市第一中学高三3月月考试卷 数学(文)
重庆市第一中学校2019届高三3月月考数学(文)试题(解析版)
重庆市第一中学校2019届高三3月月考数学(文)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合A中不等式解集的整数解,即可确定出两集合的交集.【详解】∵A={x|(x+1)(x-2)<0}={x|﹣1<x<2}且集合B的元素是整数,则﹣1<x<2的整数解为:0,1∴A∩B={0,1}.故选:A.【点睛】本题考查了交集及其运算,以及不等式解集的整数解,是基本题型.2.已知复数满足,则复数的共轭复数为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把给出的等式两边同时乘以i,然后利用复数的乘法运算化简,取虚部为相反数得到z的共轭复数.【详解】由,得.∴复数z的共轭复数为.故选:D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.,则“”是“”的()条件A. 充分必要B. 充分而不必要C. 必要而不充分D. 既不充分也不必要【解析】【分析】由,解得x=6或x=﹣1,可得“”⇒“x=6或x=﹣1”,而反之不成立.【详解】,可化为(x+1)(x﹣6)=0,解得x=6或x=﹣1.∴“”⇒“x=6或x=﹣1”,而反之不成立.∴“”是“”的充分不必要的条件.故选:B.【点睛】本题考查了充分必要条件的判断,涉及一元二次方程的解法,考查了推理能力,属于基础题.4.设等比数列的前项和为,且,则公比()A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和性质,化简即可求解数列的公比,得到答案。
【详解】由题意,根据等比数列的性质,可得的,∴,∴,故选D。
【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和的应用,其中熟记等比数列的通项公式和前n项和,准确运算是解答的关键,着重考查运算求解能力.5.《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是:,,,,,现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算,则输出的值及其统计意义分别是( )A. ,即5个数据的方差为2B. ,即5个数据的标准差为2C. ,即5个数据的方差为10D. ,即5个数据的标准差为10【答案】A【解析】算法的功能是求的值,根据条件确定跳出循环的值,计算输出的值.【详解】由程序框图知:算法的功能是求的值,∵跳出循环的值为5,∴输出.故选:A.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键,属于基础题.6.在区间中随机取一个实数,则事件“直线与圆相交”发生的概率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意得圆的圆心为,半径为.要使直线与圆相交,则圆心到直线的距离,解得.由几何概型的概率公式,得在区间中随机取一个实数,则事件“直线与圆相交”发生的概率为.故选A.点睛:(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,要考虑使用几何概型求解;(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域;(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性,基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的的区域是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.7.已知双曲线的一个顶点到其渐近线的距离等于,则的离心率为()A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程,从而可得顶点到渐近线的距离,进而可得c,b的关系,【详解】由题意,双曲线的渐近线方程为y=±x即bx±ay=0,∴顶点到渐近线的距离为∵双曲线(a,b>0)的顶点到渐近线的距离等于∴=∴c=2b,∵,故选B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程,考查点到直线的距离公式的运用,考查双曲线的几何性质,属于中档题.8.若实数满足,则的最小值为()A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求即可.【详解】由z=x﹣2y得y x,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC):平移直线y x,由图象可知当直线y x,过点B(0,1)时,直线y x的截距最大,此时z最小,代入目标函数z=x﹣2y,得z2,∴目标函数z=x﹣2y的最小值是:.故选:B.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是9.已知某几何体的三视图如图所示(侧视图中曲线为四分之一圆弧),则该几何体的体积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先利用几何体的三视图转换为几何体,进一步利用几何体的体积公式求出结果.【详解】根据几何体的三视图,转换为几何体:相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的个圆柱.故:V.故选:C.【点睛】本题考查的知识要点:三视图和几何体的转换,几何体的体积和表面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.10.若曲线在处的切线,也是的切线,则()A. B. 1 C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】求y=e x的导数,求切线斜率,可得切线方程,再设与曲线y=lnx+b相切的切点为(m,n),求函数y=lnx+b 的导数,由导数的几何意义求出切线的斜率,解方程可得m,n,进而得到b的值.【详解】y=e x的导数为y′=e x,曲线y=e x在x=0处的切线斜率为k=1,y=lnx+b的导数为y′=,设切点为(m,n),则=1,解得m=1,n=2,即有2=ln1+b,解得b=2.故选:C.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查求切线方程,设出切点和正确求出导数是解题的关键.11.已知三点都在表面积为的球的表面上,若.则球心到平面的距离等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合正弦定理,计算A,B,C所在圆的半径,结合勾股定理,计算结果,即可。
2018届下学期重庆市第一中学高三3月月考试卷 数学(文)后附详解
2018届下学期重庆市第一中学高三3月月考试卷文科数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,只有一个选项正确,请把答案写在答题卷上..........) 1.已知全集,集合,,则( ) A .B .C .D .2.已知向量,,,则“”是“”的( )R U =}012|{2≥--=x x x M }1|{x y x N -===N M C U )(}1|{≤x x }121|{≤<-x x }121|{<<-x x }211|{<<-x x ),2(m -=)21,3(m =R m ∈)2(+⊥2=m 此卷只装订不密封班 姓名 准考证号 考场号 座位号A .充要条件B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件3.已知等比数列的各项均为正数,且,则( ) A .3B .C .1D .24.在区间上随机取两个数,则的概率是( )A .B .C .D .5.执行如图所示的程序框图,则输出的值为( )A .3B .4C .5D .66.若实数满足不等式组,则的最大值是( )}{n a 182795=+a a a =+11333log log a a 2log 23+]2,2[-y x ,1-≤-x y 3291691673223i y x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤-+≥+-0102201y x y x y x y x +2A .1B .C .4D .7.某几何体的三视图如图所示,其外接球表面积为( )A .B .C .D .8.在平行四边形中,,,,若分别是边的中点,则的值是( )A .B .2C .3D .9.已知函数为偶函数,且时,,则关于的不等式的解集为( ) A .B .C .或D . 10.已知双曲线,过双曲线左焦点且斜率为1的直线与其右支交于点,且以为直径的圆过右焦点,则双曲线的离心率是( )252-π24π68π6π8ABCD 3π=∠BAD 2=AB 1=AD N M ,CD BC ,AN AM ⋅27415)(x f 0≥x x x x f sin 21)(+=x )12()(->x f x f }31|{<<x x }1|{<x x 31|{<x x }1>x }131|{<<x x )0,0(12222>>=-b a by a x 1F M 1MF 2FA .B .C .D .11.直线过抛物线:的焦点且交抛物线于两点,则的最小值为( )A .B .C .6D .412.若存在,满足,且,则的取值范围是( )A .B .C .D .第Ⅱ卷二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案写在答题卷上..........) 13.已知复数满足(其中是虚数单位),则复数的虚部为 .14.已知,,则 .15.学校建议孩子们周末去幸福广场看银杏叶,舒缓高三学习压力,返校后甲、乙、丙、丁四位同学被问及情况.甲说:“我没去”;乙说:“丁去了”;丙说:“乙去了”;丁说:“我没去”.班主任了解到这四位同学中只有一位同学去了幸福广场,但只有一位说了假话,则去了幸福广场的这位同学是 .16.已知,,关于的不等式有且12+2313+l C y x 42=F C B A ,||2||BF AF +223+232+*,,R z y x ∈2z x e z y =x z e x2≤≤x y ln ln -]1,21[]2ln 1,2ln [---e ]21,2ln 1[-]2ln 1,2ln 1[---e z 1)21(=-i z i z )2,0(πα∈32sin =α=-)6cos(πα31<a a e a e x x f x x 42)()(11+--=--x 0)(<x f只有两个整数解,则实数的取值范围是 .三、解答题(本题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明...............过程或演算步骤,请把答案写在答题卷上..................) 17.(12分)在中,角所对的边分别为,若. (1)求角的大小;(2)已知,的面积为8,求边长的值.18.(12分)2018年为我国改革开放40周年,某事业单位共有职工600人,其年龄与人数分布表如下:约定:此单位45岁~59岁为中年人,其余为青年人,现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?(2)若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事,其余人热衷关心民生大事.完成下列列联表,并回答能否有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关?a ABC ∆C B A ,,cb a ,,41sin sin 2cos 2=--B A B A C 4cos cos =+A c C a ABC ∆a 22⨯%90(3中,随机抽取2人上台表演节目,则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少?.))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19.(12分)如图所示,在四棱锥中,已知平面平面,底面为梯形,,且,,,,在棱上且满足.(1)求证:平面; (2)求证:平面; (3)求点到平面的距离.ABCD P -⊥PAD ABCD ABCD CD AB //CD AD ⊥33===AB AD PD 3=CD 6=PA E PC EC PE 21=//BE PAD ⊥AC PBD E PBD20.(12分)过椭圆:的左焦点作其长轴的垂线与的一个交点为,右焦点为,若. (1)求椭圆的离心率; (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,若椭圆上存在点使得,求椭圆的方程.C )0(12222>>=+b a by a x 1F CP 2F 43tan 12=∠F PF C )0,1(E 21l C B A ,Q OB OA OQ 21-=C21.(12分)已知函数().(1)求在上的单调性及极值;(2)若,对任意的,不等式都在上有解,求实数的取值范围.⎩⎨⎧>≤⋅=)0(ln )0(2)(x x a x e x x f x 0≠a )(x f ]0,(-∞)()(2x f bx x x g --=]2,1[∈b 0)(<x g ),1(e x ∈a注意:请考生在22、23题两题中任选一道....题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程. (1)当时,交于两点,求;(2)已知点,点为曲线上任意一点,求的最大值.xOy 1C ⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x t O x 2C θρcos 4-=3πα=1C 2C B A ,||AB )2,1(-P Q 2C ⋅23.(10分)选修4-5:不等式选讲 设. (1)若,解关于的不等式;(2)求证:.)10(|||2|)(≤<-+-=a a x a x x f 1=a x 2)(>x f 6)1()(≥-+tf t f2018届下学期重庆市第一中学高三3月月考试卷文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,只有一个选项正确,请把答案写在答题卷上..........) 1-6:CBDADB7-12:CDDAAD第Ⅱ卷二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案写在答题卷上..........) 13.14.15.乙 16.三、解答题(本题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卷上) 17.(1)∵,∴,∴,∴,∴,∴.526215+ea e 21532<≤41sin sin 2)cos(1=--+B A B A 21sin sin 2)cos(1=--+B A B A 21sin sin 2sin sin cos cos -=-+B A B A B A 21)cos(sin sin cos cos -=+=-B A B A B A 32π=+B A 3π=C(2)∵,∴ ∵,∴. 18. (1)抽出的青年观众为18人,中年观众12人 (2)列联表如下:,∴没有的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关.(3)热衷关心民生大事的青年观众有6人,记能胜任才艺表演的四人为,其余两人记为,则从中选两人,一共有如下15种情况:抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况,所以. 19.(1)证明:过点作交于,可证四边形是平行四边形,422222222=-+⋅+-+⋅bca cbc ab c b a a 4=b 83sin 421sin 21=⨯⨯==πa C ab S 338=a 22⨯706.2833.122140512181713)71256(3022<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=K %904321,,,A A A A 21,B B ),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(212414231322122111434232413121B B B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A A A A A A A A A 52156==P E CD EF //PD F ABEF∴,平面,平面,∴平面. (2)证明:∵,∴,∵平面平面,且平面平面, ∴平面,∴.∵∽,∴,∵, ∴,∴,∵,,,∴平面. (3)解:设点到平面的距离为,等体积法,∵,∴,∴,∴. 20.(1)∵,∴,∴,∴,∴,∴.(2)∵,∴, 不妨设椭圆的方程为,即.设,,,AF BE //⊄BE PAD ⊂AF PAD //BE PAD 222PA AD PD =+AD PD ⊥⊥PAD ABCD PAD AD ABCD =⊥PD ABCD AC PD ⊥ADC ∆BAD ∆BDA ACD ∠=∠090=∠+∠CAD ACD 090=∠+∠CAD BDA BD AC ⊥PD AC ⊥BD AC ⊥D BD PD = ⊥AC PBD E PBD h PDE B PBD E V V --=AD S h S PDE PBD ⨯⨯=⨯⨯∆31313132131322131⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯h 23=h 43tan 12=∠F PF 43211=F F PF 43222=c a b 22223c a ac b -==02322=-+e e 21==a c e 21==a c e cbc a 3,2==1342222=+cy c x 2221243c y x =+),(11y x A ),(22y x B ),(00y x Q∵,∴,由于都在椭圆上,, ∴, ∴,∴∴(*)得, 则, ∴,经检验(*),则所求椭圆方程为. 21. (1)当时,,, 令,∴,∴在递减,递增,∴极小值,无极大值.(2)因为,令,, 则为关于的一次函数且为减函数,)21,21(212121y y x x OB OA OQ --=-=21021021,21y y y x x x -=-=Q B A ,,2221243c y x =+22222221211243,1243c y x c y x =+=+222122112)21(4)21(3c y y x x =-+-221212222212112)43()43(4143c y y x x y x y x =+-+++221212212)43(124112c y y x x c c =+-⨯+22121343c y y x x =+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2221243)1(21c y x x y 01212422=-+-c x x 4121,2122121c x x x x -=⋅=+)1(21)1(21434321212121-⋅-⋅+=+x x x x y y x x 22212131211211)(4c c x x x x =+--=++-=1012=c 0>∆110310422=+y x ]0,(-∞∈x x e x x f ⋅=2)()1(2)(+='x e x f x 0)(='x f 1-=x )(x f )1,(--∞)0,1(-ef 2)1(-=-x a bx x x g ln )(2--=x a x xb y ln 2-+-=]2,1[∈b y b根据题意,对任意,都存在,使得成立, 则在上,有解,令,只需存在使得即可,由于,令,∵,∴, ∴在上单调递增,, ①当,即时,,即, ∴在上单调递增,∴,不符合题意. ②当,即时,,,若,则,所以在上恒成立,即恒成立,∴在上单调递减,∴存在使得,符合题意. 若,则,∴在上一定存在实数,使得, ∴在上恒成立,即恒成立,∴在上单调递减, ∴存在使得,符合题意.综上所述,当时,对任意的,都存在,使得成立. 22. (1)消去得:,]2,1[∈b ),1(e x ∈0)(<x g ),1(e x ∈0ln 2max <-+-=x a x x y x a x x x h ln )(2-+-=),1(0e x ∈0)(0<x h xax x x a x x h --=--=2212)('a x x x --=22)(ϕ),1(e x ∈014)('>-=a x ϕ)(x ϕ),1(e a x -=>1)1()(ϕϕ01≥-a 1≤a 0)(>x ϕ0)('>x h )(x h ),1(e 0)1()(=>h x h 01<-a 1>a 01)1(<-=a ϕa e e e --=22)(ϕ122>-≥e e a 0)(≤e ϕ),1(e 0)(<x ϕ0)('<x h )(x h ),1(e ),1(0e x ∈0)1()(0=<h x h 122>>-a e e 0)(>e ϕ),1(e m 0)(=m ϕ),1(m 0)(<x ϕ0)('<x h )(x h ),1(m ),1(0m x ∈0)1()(0=<h x h 1>a ]2,1[∈b ),1(e x ∈0)(<x g t 1C )1(3+=x y由得:,圆心为,半径, 圆心到直线的距离,,∴.(2)设点,则,,,又 , ∴的最大值为.23.(1)当时,, ①当时,,∴; ②当时,,∴无解; ③当时,,∴, 综上所述,或. (2)证明:,当且仅当时取等号.⎩⎨⎧=+=θρρcos 222x y x 2C 4)2(22=++y x )0,2(-2=r 1C 232|0)12(3|=-+-=d 2222)2||(=+d AB 13||=AB ),(y x Q )2,1(-=OP )2,1(+-=y x PQ 52--=⋅y x PQ OP ⎩⎨⎧=+-=θθsin 2cos 22y x 7)sin(525sin 4cos 2252-+-=--+-=--=⋅ϕθθθy x PQ OP PQ OP ⋅752-1a =|1||12|)(-+-=x x x f 21<x 2121>-+-x x 0<x 121≤≤x 2112>-+-x x 1>x 2112>-+-x x 34>x 0<x 34>x |1||12||||2|)1()(a tt a t a t t f t f --+--+-+-=-+623|1|3|1||22||)1()(||)2()2(|=⨯≥+=+++=----+----≥tt t t t t a t a t a t a t 1±=t。
2018 年重庆一中高 2018 级高三下期五月月考文科数学
(其中
m 0 ).
(1)若点 M 的直角坐标为 3,3 ,且点 M 在曲线 C 内,求实数 m 的取值范围; (2)若 m 3 ,当 α 变化时,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长的取值范围.
23.(10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f x x 1 x a . (1)若 a 2 ,解关于 x 的不等式 f x x 0 ; (2)若 x R ,使 f x 4 ,求 a 的取值范围.
2 2cos x 2 . 6
3, 2 f C 1 ,若
2sinA sinB ,求 ABC 的面积.
18.(12 分)从某小区抽取 50 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之 间,频率分布直方图如下.
(1)求频率分布直方图中 x 的值; (2)若将用电量在区间 50,150 内的用户记为 A 类用户,标记为低用电家庭,用电量在区 间 250, 350 内的用户记为 B 类用户,标记为高用电家庭,现对这两类用户进行问卷调查, 让其对供电服务进行打分,打分情况见茎叶图:
BAC 120 ,AA1 3 ,D ,D1 分别是 BC ,B1C1 上的中点,P 是线段 AD 上的一点(不
包括端点). (1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l , 并证明直线 l 平面 ADD1 A1 ; (2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q ,求三棱锥 A1 QC1 D 的体积.
*
3 2
4 3
...
n 1 n
n.
选做题 22.(10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 {
推荐-重庆一中2018届高三第一次月考数学试卷(文) 精品
秘密★启用前2018年重庆一中高2018级第一次月考数 学(文科)试 题 卷 2018.10数学试题共3页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
一.选择题.(每小题5分,共60分)1.已知集合2{|320},{|(1)(2)0}M x x x N x x x x =-+==--=,则MN =( )A.MB.NC.φD.R 2.若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =,则( )A.21n a n =-B.21n a n =+C.21n a n =--D.21n a n =-+ 3.函数()y f x =的图象与12log (1)y x =-的图象关于直线y x =对称,则()f x =( )A.12x -+B.12x +C.12x -D.12x --4.则( )A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项 5.函数3()f x x x =-在[0,1]上的最小值为( )A.0B.C.D.12-6.等差数列{}n a 中,35710133()2()24a a a a a ++++=,则前13项和13S =( ) A.13 B.26 C.52 D.1567.已知函数3()sin 1f x x x =-+,若()3f a =,则()f a -=( )A.3B.3-C.1-D.2- 8.使不等式|1|2x -<成立的充分不必要条件是( )A.(0,3)x ∈B.(3,3)x ∈-C.(1,3)x ∈-D.(0,4)x ∈9.若方程210x ax -+=在区间(0,1)上有且仅有一根,则实数a 的取值范围是( ) A.0a > B.2a ≥ C.2a > D.3a < 10.数列{}n a 中,n a =若前n 项和10n S =,则项数n =( )A.121B.120C.99D.1111.已知命题p :关于x 的不等式|x m >的解集为R,命题q :函数1()mf x x-=在(0,)+∞上是减函数.若命题“p 或q ”为真,命题“p 且q ”为假,则实数m 的取值范围是( ) A.0m < B.01m ≤< C.01m << D.1m <12.若()f x 是定义在R 上的函数,对任意的实数x ,都有(4)()4f x f x +≤+和(2)()2f x f x +≥+,且(0)1f =,则(2008)f =( )A.2018B.2018C.2018D.2018二.填空题.(每小题4分,共16分)13.在等比数列{}n a 中,12340,1,9n a a a a a >+=+=,则45a a += .14.已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值,则a 的取值范围是 . 15.函数12log [(1)(3)]y x x =+-的单调减区间为 .16.已知函数()y f x =的定义域为R,则下列命题正确的有 . ①若1(1)()f x f x +=-,则()y f x =的周期为2; ②(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称;③若(1)(1)f x f x -=-,且(2,1)--是()f x 的单调减区间,则(1,2)是()f x 的单调增区间; ④若函数()y f x =的图象关于点(1,0)-对称,则函数(2)y f x =-+1的图象关于点(1,1)对称.三.解答题.(共74分)17.(13分)已知等差数列{}n a 中,259,21a a ==. (1)求{}n a 的通项公式; (2)令12n n a b -=,求数列{}n b 的前n 项和n S .18.(13分)已知函数2()1f x x ax =-+.(1)若()0f x ≥对x R ∈恒成立,求a 的取值范围; (2)若2a =,求()f x 在[0,3]x ∈的值域.19.(12分)已知函数4313()44f x x m x =-+. (1)当1m =时,求()f x 的单调区间;(2)当0m >时,函数()f x 的图象与x 轴有交点,求m 的取值范围.20.(12分)已知a 为实数,函数()f x =323322x ax x a +++. (1)若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线,求a 的取值范围;(2)若(1)0f '-=,对任意12,[1,0]x x ∈-,不等式12|()()|f x f x m -≤恒成立,求m 的最小值.21.(12分)已知函数122()log 1ax f x x -=-(a 为常数). (1)若常数2a <且0a ≠,求()f x 的定义域;(2)若()f x 在区间(2,4)上是减函数,求a 的取值范围.22.(12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1,a a =(a 为常数,且3a ≠), 13n n n a S +=+,设*3()n n n b S n N =-∈. (1)求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{2}n n b ⋅的前n 项和n T ;(3)若不等式21122log (1)log (31)1n a x x ≥+--+对任意[1,3)a ∈及*n N ∈恒成立,求实数x 的取值范围.2018年重庆一中高2018级第一次月考 数学(文科)试题卷答案 2018.10二.填空题.(每小题4分,共16分)13. 27 14. (,3)(6,)-∞-+∞ 15.(3,)+∞ 16. ①③④三.解答题.(共74分)17.(13分)(1)由119421a d a d +=⎧⎨+=⎩ 得154a d =⎧⎨=⎩, ∴41n a n =+.(2)2n b n =, 12b =, 12n n b b +-=. ∴{}n b 为等差数列.∴(22)(1)2n n n S n n +==+.18.(13分)(1)210x ax -+≥恒成立,则240a ∆=-≤ ∴22a -≤≤. (2)2a =时,2()(1),[0,3]f x x x =-∈ ()f x 的值域为[0,4].19.(12分)(1)3()1f x x '=-,由()0f x '>得1x >,由()0f x '<得1x <.故()f x 的单增区间为[1,)+∞,单减区间为(,1]-∞.(2)33()f x x m '=- ∵0m >. 由()0f x '>得x m >,由()0f x '<得x m <. ∴()f x 在(,)m -∞上单减,在(,)m +∞上单增,故x m =时,min ()()f x f m ==43344m -+,要()f x 图象与x 轴有交点,则433044m -+≤, 解得1m ≥.故[1,)m ∈+∞.20.(12分)(1)∵3233()22f x x ax x a =+++ ∴23()322f x x ax '=++. 由题意知()0f x '=有实数解. ∴△2344302a =-⨯⨯≥令()0f x '=得121,12x x =-=-.当[1,0]x ∈-时,2514927(1),(),(0)82168f f f -=-==∴max min 27149()(0),()()8216f x f f x f ===-=.故12,[1,0]x x ∈-时,12max min 5|()()|()()16f x f x f x f x -≤-= 所以516m ≥,即m 的最小值为516.21.(12分)(1)由201ax x ->-,当02a <<时,解得1x <或2x a >, 当0a <时,解得21x a<<.故当02a <<时,()f x 的定义域为{|x 1x <或2x a>}当0a <时,()f x 的定义域为{|x 21x a<<}.(2)令21ax u x -=-,因为12()log f x u =为减函数,故要使()f x 在(2,4)上是减函数,则 2211ax a u a x x --==+--在(2,4)上为增且为正. 故有min 201222(2)021a a a u u -<⎧⎪⇒≤<⎨->=≥⎪⎩-. 故[1,2)a ∈.22.(12分)解:(1)113n n n n n S S a S ++-==+ 即123n n n S S +=+∴111132332232333n n n nn n n n n n nn n n n b S S S b S S S ++++-+--⋅====--- 故{}n b 为等比数列,公比为2.又3a ≠,∴1133b S a =-=-0≠, ∴1(3)2n n b a -=-⋅. (2)22(3)n n nb n a =⋅⋅-,先求数{2}n n ⋅的前n 项和'n T . ∴'23122232...2n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅'23121222...(1)22nn n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ 作差:'231222...22n n n T n +-=++++-⋅111222(1)22n n n n n +++=--⋅=-⋅- ∴'1(1)22n n T n +=-⋅+. ∴'1(3)(3)(1)22(3)n n n T a T a n a +=-=--⋅+-. (3)由(1)知1113(3)2,323(3)2n n n n n n n n S a a S a --+=+-=+=⋅+-⋅ 则1121323(3)2(2)n n n n n a S a n ----=+=⋅+-⋅≥∴2n ≥时,12221343(3)22[12()3]2n n n n n n a a a a ----+-=⋅+-⋅=+-当[1,3)a ∈时,2312()3123902n a a a -+-≥+-=+>, 又220n ->.则2n ≥时,1n n a a +>恒成立. 又当1n =时,2113a a a =+>恒成立.故*n N ∈时.1n n a a +>恒成立. ∴min 1()n a a a ==.则由题中不等式得:21122log (1)log (31)1a x x ≥+--+时对[1,3)a ∈恒成立.故211221log (1)log (31)1x x ≥+--+,即12210log 31x x +≥-.。
【水印已去除】2018-2019学年重庆一中高三(下)第三次月考数学试卷(文科)(5月份)
2018-2019学年重庆一中高三(下)第三次月考数学试卷(文科)(5月份)一.选解题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|y=},B={x|x2﹣2x﹣3<0,x∈Z},则A∩B=()A.{0,1,2}B.(0,2)C.{0}D.(0,1)2.(5分)已知复数z满足z(1﹣2i)=1+i(i是虚数单位),则|z|=()A.B.C.D.3.(5分)“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”()的条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要4.(5分)若a=2.10.2,b=0.60.4,c=lg0.6,则实数a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c5.(5分)已知直线l1:mx+(m﹣3)y+1=0,直线l2:(m+1)x+my﹣1=0为,若l1⊥l2则m=()A.m=0或m=1B.m=1C.m=﹣D.m=0或m=﹣6.(5分)轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为()A.B.C.D.7.(5分)设函数f(x)=(x+1)e x+1,则()A.x=2为f(x)的极大值点B.x=2为f(x)的极小值点C.x=﹣2为f(x)的极大值点D.x=﹣2为f(x)的极小值点8.(5分)设x,y满足约束条件,则的取值范围是()A.[﹣4,1]B.[﹣3,]C.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)D.[﹣3,1]9.(5分)执行如图的程序框图,若输出的S的值为63,则判断框中可以填入的关于i的判断条件是()A.i≤5B.i≤6C.i≤7D.i≤810.(5分)将函数f(x)=2sin(π﹣x)sin(x+)+2sin2x﹣1图象向左平移(φ>0)个单位后图象关于点()中心对称,则φ的值可能为()A.B.C.D.11.(5分)直线l是抛物线x2=2y在点(﹣2,2)处的切线,点P是圆x2+y2﹣4x﹣2y=0上的动点,则点P到直线l的距离的最小值等于()A.﹣2B.C.D.12.(5分)已知函数f(x)=,若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则﹣x3(x1+x2)+的取值范围是()A.(6,9]B.(6,9)C.(4)D.[4)二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)双曲线C:2x2﹣y2=1的渐近线方程是.14.(5分)平面向量,的夹角为,且||=1,=(),则()=15.(5分)已知{a n}是等差数列,a3=7,且a2+a6=18.若b n=,则{b n}的前n项和T n=.16.(5分)给出下列4个命题:①若函数f(x)在(2015,2019)在上有零点,则一定有f(2015)•f(2019)<0;②函数y=既不是奇函数又不是偶函数;③若函数f(x)=lg(ax2+5x+4)的值域为R,则实数a的取值范围是(0,];④若函数f(x)满足条件f(x)﹣4f()=x(x∈R,x≠0)则|f(x)|的最小值为.其中正确命题的序号是:.(写出所有正确命题的序号)三.解答题:本大题共5小题,共70分.17.(12分)△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,满足sin(A+B)=(sin B+cos B)sin A.(Ⅰ)已知cos C=,a=3,求sin B与b的值;(Ⅱ)若B∈(0,)且cos(A﹣B)=求sin B.18.(12分)改革开放40年来,体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图表示体育产业年增加值(单位:亿元),折线图为体育产业年增长率(%).(Ⅰ)从2007年至2016年这十年中随机选出一年,求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率;(Ⅱ)从2007年至2011年这五年中随机选出两年,求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率;(Ⅲ)由图判断,从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大?从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大?(结论不要求证明)19.(12分)如图,△P AD是边长为3的等边三角形,四边形ABCD为正方形,平面P AD ⊥平面ABCD.点E,F分别为棱CD,PD上的点,且==,G为棱AB上一点,且=λ.(Ⅰ)当时,求证:PG∥平面AEF;(Ⅱ)已知三棱锥A﹣EFG的体积为,λ的值.20.(12分)如图,C、D是离心率为的椭圆的左、右顶点,F1、F2是该椭圆的左、右焦点,A、B是直线x=﹣4上两个动点,连接AD和BD,它们分别与椭圆交于点E、F两点,且线段EF恰好过椭圆的左焦点F1.当EF⊥CD时,点E恰为线段AD的中点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求证:以AB为直径的圆始终与直线EF相切.21.(12分)设函数f(x)=2e x﹣2ax+3a(a>0),对于∀x∈R,都有f(x)≥5a成立.(Ⅰ)求实数a的取值范围;(Ⅱ)证明:>ln(en+e),n∈N*(其中e是自然对数的底数).选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程.]22.(10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1:ρ=2cosθ,.(Ⅰ)求C1与C2交点的直角坐标;(Ⅱ)若直线l与曲线C1,C2分别相交于异于原点的点M,N,求|MN|的最大值.[选修4-5:不等式选讲.]23.设函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+2|.(Ⅰ)若存在x0∈R,使得f(x0)+m2≤5﹣m,求实数mm的取值范围;(Ⅱ)若m是(Ⅰ)中的最大值,且正数a,b满足a+b=m,证明:≥1.2018-2019学年重庆一中高三(下)第三次月考数学试卷(文科)(5月份)参考答案与试题解析一.选解题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.【解答】解:∵集合A={x|y=}={x|x<1},B={x|x2﹣2x﹣3<0,x∈Z}={x|﹣1<x<3,x∈Z}={0,1,2},∴A∩B={0}.故选:C.2.【解答】解:z(1﹣2i)=1+i,则z====+i,则|z|===,故选:B.3.【解答】解:若“p且q为真”成立,则p,q全真,所以“p或q为真”成立若“p或q为真”则p,q全真或真q假或p假q真,所以“p且q为真”不一定成立∴“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件故选:A.4.【解答】解:∵2.10.2>2.10=1,0<0.60.4<0.60=1,lg0.6<lg1=0;∴a>b>c.故选:A.5.【解答】解:∵直线l1:mx+(m﹣3)y+1=0,直线l2:(m+1)x+my﹣1=0,l1⊥l2,∴m(m+1)+(m﹣3)m=0,解得m=0或m=1.故选:A.6.【解答】解:设圆柱的底面半径为R,则圆柱的高为2R,圆柱的体积V=πR2•2R=2πR3,外接球的半径为,故球的体积为:=,故外接球的体积与该圆柱的体积的比值为故选:C.7.【解答】解:函数f(x)=(x+1)e x+1,所以f′(x)=(x+2)e x,令(x+2)e x=0,可得x=﹣2,此时x<﹣2,f′(x)<0,函数是减函数;x>﹣2,f′(x)>0,函数是增函数;所以x=﹣2是函数的极小值点.故选:D.8.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:则的几何意义是区域内的点到定点P(﹣6,﹣4)的斜率,由得x=﹣1,y=1,即A(﹣1,1),由得x=﹣5,y=﹣7,即B(﹣5,﹣7),则AP的斜率k==1,BP的斜率k==﹣3,则的取值范围是[﹣3,1]故选:D.9.【解答】解:由题意,此循环体需要执行6次,每次执行后S的值依次为1,3,7,15,31,63,就应该退出循环,可得判断框内的条件为:i≤6?,故选:B.10.【解答】解:将函数f(x)=2sin(π﹣x)sin(x+)+2sin2x﹣1=2sin x cos x﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣)图象向左平移(φ>0)个单位后,得到y=2sin(2x+2φ﹣)图象,再根据所得图象关于点()中心对称,∴+2φ﹣=kπ,即φ=﹣,k∈Z,则φ的值可能为,故选:B.11.【解答】解:x2=2y即y=x2的导数为y′=x,可得在点(﹣2,2)处的切线斜率为k=﹣2,则切线方程为y=﹣2(x+2)+2,即2x+y+2=0,圆x2+y2﹣4x﹣2y=0的圆心为(2,1),半径r为,圆心到直线2x+y+2=0的距离为d==,即有点P到直线l的距离的最小值为d﹣r=﹣=.故选:C.12.【解答】解:函数f(x)=,的图象如下:根据图象可得:若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则x1+1=﹣a,x2+1=a,log2x3=﹣a,log2x4=a.(0<a≤1)∴则﹣x3(x1+x2)+=2•2﹣a+=4•2a+.令2a=t,t∈(1,2],而函数y=4t+=4(t+)在(1,2]单调递增.∴6<4•2a+≤9.故选:A.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.【解答】解:∵双曲线2x2﹣y2=1的标准方程为:∴,b2=1,可得a=,b=1又∵双曲线的渐近线方程是y=±x∴双曲线2x2﹣y2=1的渐近线方程是y=±x故答案为:y=±x14.【解答】解:由=(),得||=1,所以=||||cos=1×=,则+22=+2×12=,故答案为:.15.【解答】解:{a n}是公差为d的等差数列,a3=7,且a2+a6=18,可得a1+2d=7,2a1+6d=18,即a1+3d=9,解得a1=3,d=2,可得a n=3+2(n﹣1)=2n+1,则b n===(﹣),{b n}的前n项和T n=(﹣+﹣+…+﹣)=(﹣),故答案为:(﹣).16.【解答】解:对于①,函数f(x)在(2015,2019)在上有零点,不一定有f(2015)•f (2019)<0,如f(x)不是连续函数或其他情况,①错误;对于②,函数y=f(x)=的定义域为(﹣3,3),且f(x)==,满足f(﹣x)=f(x),∴f(x)是偶函数,②错误;对于③,函数f(x)=lg(ax2+5x+4)的值域为R时,当a=0时,满足条件,当时,有0<a≤,综上,实数a的取值范围是[0,],③错误;对于④,函数f(x)满足条件f(x)﹣4f()=x(x∈R,x≠0),则f()﹣4f(x)=,解得f(x)=﹣(x+),则|f(x)|=|x+|≥•2=,当且仅当x=2时取“=”,∴|f(x)|的最小值为,④正确.综上,其中正确命题的序号是:④.故答案为:④.三.解答题:本大题共5小题,共70分.17.【解答】(本题满分为12分)解:(Ⅰ)因为sin(A+B)=(sin B+cos B)sin A.所以:sin A cos B+cos A sin B=sin B sin A+cos B sin A,可得:cos A sin B=sin B sin A,由于:sin B>0,可得:sin A=cos A,因为:A∈(0,π),且cos A≠0,所以:tan A=,所以:A=.……………(4分)因为:cos C=,C∈(0,π),所以:sin C=,所以:sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C==,………………(6分)由正弦定理知:,即b=1+,……………(8分)(Ⅱ)因为B∈(0,π),所以A﹣B=﹣B∈(0,),所以:sin(A﹣B)=,所以:sin B=sin[A﹣(A﹣B)]=sin A cos(A﹣B)﹣cos A sin(A﹣B)=.……(12分)18.【解答】(共13分)解:(Ⅰ)设A表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年,该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上”.根据题意,.…………………………………………………….(3分)(Ⅱ)从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%,设这两年为A,B,其它三年设为C,D,E,从五年中随机选出两年,共有10种情况:AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,其中至少有一年体育产业年增长率超过25%有7种情况,所以该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率为.…………………………………………………….(9分)(Ⅲ)从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大.从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大.…………….(13分)19.【解答】(Ⅰ)证明:连接CG,当时,CE∥AG,CE=AG,∴四边形AECG是平行四边形,∴AE∥CG,∵==,∴EF∥PC,∵AE∩EF=E,PC∩CG=C,∴平面PCG∥平面AEF,又PG⊂平面PCG,∴PG∥平面AEF;(Ⅱ)解:取AD的中点为O,连接PO,则PO⊥AD,∵平面P AD⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.过点F作FH⊥AD于点H,则PO∥FH,FH⊥平面AEG,则h=FH=.∵,∴,得AG=2,∴.20.【解答】解:(I)∵当EF⊥CD时,点E恰为线段AD的中点,∴a+c=4﹣c,又e==,联立解得:c=1,a=2,b=,∴椭圆的方程为+=1.(II)证明:设EF的方程为:x=my﹣1,E(x1,y1),F(x2,y2).联立,化为:(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0,∴△=36m2+36(3m2+4)>0,∴y1+y2=,y1y2=,又设A(﹣4,y A),由A、E、D三点共线得:y A==,同理可得y E=.∴y A+y E=+=﹣6=﹣6=6m.∴|y A﹣y E|=|﹣|=18•=18•=6.设AB中点为M,则M坐标为(﹣4,)即(﹣4,3m),∴点M到直线EF的距离d==3=|y A﹣y E|=|AB|.故以AB为直径的圆始终与直线EF相切.21.【解答】解:(Ⅰ)∵f'(x)=2e x﹣2a(x∈R),∴当a>0时,由f'(x)>0,得x>lna;由f'(x)<0,得x<lna,∴f(x)在(lna,+∞)上单调递增,在(﹣∞,lna)上单调递减,∵任意x∈R,f(x)≥5a都成立,∴f(x)min≥5a.由(Ⅰ)知,当a>0时,f(x)min=f(lna)=﹣2alna+5a,由﹣2alna+5a≥5a,得﹣alna≥0.∴0<a≤1.∴a的取值范围是(0,1];(Ⅱ)证明:当a=1时,f(x)≥5a,即2e x﹣2x+3≥5.∴e x≥x+1.∴当x>﹣1时,x≥ln(x+1).令,则.且n=1时,1>ln2∴==ln(n+1),∴,∴==>ln(n+1)+1=lne(n+1),∴成立.选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程.]22.【解答】解:(Ⅰ)由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,则曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=2x,由,得,则曲线C2的直角坐标方程为.由,解得或,故C1与C2交点的直角坐标为(0,0),;(Ⅱ)不妨设0≤α<π,点M,N的极坐标分别为(ρ1,α),(ρ2,α).∴==.∴当时,|MN|取得最大值2.[选修4-5:不等式选讲.]23.【解答】解:(Ⅰ)f(x)=|2x﹣1|+|2x+2|≥|2x﹣1﹣(2x+2)|=3,∵存在x0∈R,使得f(x0)+m2≤5﹣m,∴3+m2≤5﹣m,即m2+m﹣2≤0,解得:﹣2≤m≤1.(Ⅱ)由(I)知:m=1,即a+b=1,∴+a+b≥2+2=2a+2b,∴≥a+b=1.当且仅当a=b时取等号.。
重庆市第一中学2018届高三下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2018年重庆一中高2018级高三下期第一次月考数学试题卷(理科)一、选择题.(共12小题,每小题5分,共60分)1.集合,以下正确的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意,集合,表示实数集,集合表示二次函数图象上的点作为元素构成的点集,所以,故选C.2.二项式的展开式的各项系数和为()A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意,对于二项式中,令,则,即二项式的展开式的各项系数的和为,故选A.3.复数的模是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由复数的四则运算,可知,所以的模为,故选B.4.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是()A. B. C. D.【答案】D【解析】执行如图所示的程序框图,可知:第一次循环:,满足,;第二次循环:,满足,;第三次循环:,满足,;第四次循环:,满足,;第五次循环:,步满足,输出,故选D.5.已知一个四棱柱的侧棱垂直于底面,条件“该棱柱是正四棱柱”,条件“该棱柱底面是菱形”,那么是的()条件A. 既不充分也不必要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 充要【答案】B【解析】由一个四棱柱的侧棱垂直于底面,若条件“该棱柱是正四棱柱”成立,则四棱柱的底面为一个正方形,所以命题“该棱柱底面是菱形”是成立的;由一个四棱柱的侧棱垂直于底面,若命题“该棱柱底面是菱形”是成立,则该四棱柱不一定是正四棱柱,所以条件“该棱柱是正四棱柱”不一定成立,所以命题是命题的充分不必要条件,故选B.6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据:根据上表提供的数据,若求出关于的线性回归方程为,那么表中的值为( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】 由题意,,因为关于的回归直线方程是, 所以,解得,故选 A.7.平面上三个单位向量两两夹角都是,则与夹角是( )A. B. C.D.【答案】D 【解析】 由题意得,向量为单位向量,且两两夹角为, 则,且,所以与的夹角为,且,所以与的夹角为,故选D.8.年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目,比赛的规则是:每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛,按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序,每种泳姿米且由一名运动员完成, 每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳,剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上,那么中国队共有()种兵布阵的方式.A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意,若甲承担仰泳,则乙运动员有种安排方法,其他两名运动员有种安排方法,共计种方法;若甲运动员承担自由泳,则乙运动员只能安排蝶泳,其他两名运动员有种安排方法,共计种方法,所以中国队共有种不同的安排方法,故选A.9.已知直线,圆,那么圆上到的距离为的点一共有()个.A. B. C. D.【答案】C【解析】由圆,可得圆心,半径,又圆心到直线的距离,如图所示,由图象可知,点到直线的距离都为,所以圆上到的距离为的点一共个,故选C.10.已知则的大小关系是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意,令,则,当时,,所以,所以函数在区间上点掉递减,所以,即,即,又由三角函数的性质可知,所以,即,综上可得,故选B.11.双曲线,曲线经过双曲线的焦点,则双曲线的离心率为()A. B.C. D.【答案】C【解析】由曲线,可得令,得,即,则,所以双曲线的离心率为,故选C.点睛:本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).12.不等式对于任意正实数恒成立,则实数的最大值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意,设,则,因为,所以在单调递增,且最小值为,要使得对恒成立,当且仅当,即时成立,所示实数的最大值为,故选B.点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,不等式的恒成立问题,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,解答中涉及到基本不等式的应用,利用基本不等式确定函数的最值及等号成的条件是解答的关键,实数有一定的难度,属于中档试题.二、填空题.(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知随机变量,且随机变量,则的方差_________【答案】12【解析】由随机变量,则随机变量的方差为,又因为,所以随机变量的方差为.14.某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的表面积为_________【答案】【解析】根据给定的三视图可知,原几何体表示一个如图所示的三棱锥,其中底面是一个底边为,高为的等腰直角三角形,则,且底面,且,所以三棱锥的各个面的面积为:,,,所以该三棱锥的表面积为.15.在的可行域内任取一点,则满足的概率是__________【答案】【解析】画出不等式组所表示的平面区域,如图所示,由,解得,即,且,所以,作出直线,则所以表示区域为,即不等式所表示的区域为,其面积为,所以不等式对应的概率为.点睛:对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量,最后计算概率,本题的解答中正确画出二元一次不等式所对应平面区域是解答的关键.16.点是锐角三角形的外心,,则的值为________【答案】20【解析】如图所示,过点分别作于于,则分别是的中点,可得在中,,所以,同理可得,所以.点睛:本题考查了平面向量化简与平面向量的数量积的运算问题,其中解答中将放在它的外接圆中,过点分别作,,得到分别是的中点,利用数量积的运算,分别求得的值是解答的关键,着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆的性质,有一定的综合性,属于中档试题.三、解答题.(共70分)17.已知等比数列的首项为,公比,且是的等差中项,是数列的前项和. (1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)设,根据条件列出方程,求得,即可求得数列的通项公式;(2)由(1),求得,即可利用分组求和求得数列的前项和.试题解析:(1)设,根据条件有,又(2)由(1),,所以由分组求和,18.如图,在直棱柱中,∥,.(1)证明:直线平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦.【答案】(1)见解析;(2)【解析】试题分析:(1)证明:根据条件得,又利用线面垂直的判定定理,即可证得结论;(2)由题意,以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.设,求得平面与平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求解二面角的余弦值.试题解析:(1)证明:根据条件可得,又而,所以,直线平面(2) 两两垂直.如图所示,以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.设,又所以,根据条件平面,所以可视为平面的一个法向量,现设是平面的一个法向量,则,令,所以,设平面与平面所成的锐二面角为19.北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示:全市名高中女生的身高(单位:)服从正态分布.现从某高中女生中随机抽取名测量身高,测量发现被测学生身高全部在和之间,现将测量结果按如下方式分成组:第组,第组,…,第组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)求这名女生身高不低于的人数;(2)在这名女生身高不低于的人中任意抽取人,将该人中身高排名(从高到低)在全市前名的人数记为,求的数学期望.参考数据:,,【答案】(1)人;(2) 见解析.【解析】试题分析:(1)由直方图知,求得后组频率,进而可求得这名女生身高不低于的人数;(2)由题意,求得这人中以上的有人,得出随机变量可取,求得随机变量取每个值得概率,列出分布列,利用公式求解数学期望.试题解析:(1)由直方图知,后组频率为,人数为,即这名女生身高不低于的人数为人;(2)∵,∴∴.,则全市高中女生的身高在以上的有人,这人中以上的有人.随机变量可取,于是,,∴20.已知标准方程下的椭圆的焦点在轴上,且经过点,它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合.椭圆的上顶点为,过点的直线交椭圆于两点,连接、,记直线的斜率分别为.(1)求椭圆的标准方程;(2)求的值.【答案】(1) ;(2) 见解析;(3).【解析】试题分析:(1)由抛物线的焦点为,得到椭圆的两个焦点坐标为,再根据椭圆的定义得到,即可求得椭圆的标准方程;(2)由题意,设直线的方程为,并代入椭圆方程,求得,化简运算,即可求得的值. 试题解析:(1)设椭圆的标准方程为,抛物线的焦点为,所以该椭圆的两个焦点坐标为,根据椭圆的定义有,所以椭圆的标准方程为;(2)由条件知,直线的斜率存在.设直线的方程为,并代入椭圆方程,得,且,设点,由根与系数的韦达定理得,则,即为定值点睛:本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目,确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出,本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.已知函数(1)求函数的极值;(2)求证:;(3),若对于任意的,恒有成立,求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析:(1)由题意,得,得出函数的单调性,即可求得函数的极值;(2)由(1)知的极小值即为最小值,推得,进而可证得结论;(3)由题意的解析式,求得,令,求得,利用得存在,使,且在上递减,在上递增,求得函数的的最小值,再转化为函数,利用导数的单调性,即可求解实数的取值范围.试题解析:(1)由可得,函数在单减,在单增,所以函数的极值在取得,为极小值;(2)根据(1)知的极小值即为最小值,即可推得当且仅当取等,所以,所以有(3)∴令,则,∴在上递增∵,当时,∴存在,使,且在上递减,在上递增∵∴,即∵对于任意的,恒有成立∴∴∴∴∴,又,∵∴,令,,显然在单增,而,,∴∴.点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,不等式的证明和不等式的恒成立问题,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1))利用导数求函数的单调区间,判断单调性或求参数值(取值范围);(2利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题;(3)考查数形结合思想的应用.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为,点到直线的距离为.(1)求值以及直线在平面直角坐标系下的方程;(2)椭圆上的一个动点为,求到直线距离的最大值.【答案】(1) .(2)【解析】试题分析:(1)利用极坐标与直角坐标的互化得到直线的直角坐标方程,再利用点到直线的距离公式,即可求解实数的值;(2)设点,利用点到直线距离,确定时,即可求得距离的最大值.试题解析:(1)则点的直角坐标为,直线的直角坐标方程为又,所以直线的直角坐标方程为.(2)由(1)得方程为,设点,所以点到直线距离为,当时,距离有最大值,最大值为23.函数,其最小值为.(1)求的值;(2)正实数满足,求证:.【答案】(1)3;(2)【解析】试题分析:(1)由题意,利用绝对值三角不等式求得的最小值,即可求解的值;(2)根据柯西不等式,即可作出证明.试题解析:(1),当且仅当取等,所以的最小值(2)根据柯西不等式,.。
重庆一中2017-2018学年高三下学期9月月考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年重庆一中高三(下) 月考数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分.1.已知集合M={x |x 2+x ﹣2<0},N={x |log 2x <1},则M ∩N=( ) A .(﹣2,1) B .(﹣1,2) C .(0,1) D .(1,2) 2.若纯虚数z 满足(1﹣i )z=1+ai ,则实数a 等于( ) A .0 B .﹣1或1 C .﹣1 D .1 ,y 的取值如表所示:如果y 与x 线性相关,且线性回归方程为,则的值为( )A .1B .C .D .4.已知倾斜角为θ的直线l 与直线m :x ﹣2y +3=0垂直,则sin2θ=( )A .B .C .D .5.已知sin φ=,且φ∈(,π),函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则f ()的值为( )A .﹣B .﹣C .D .6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5=5a 3,则=( )A .10B .9C .12D .57.过抛物线C :y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点,若A 到抛物线的准线的距离为4,则弦长|AB |的值为( )A .8B .C .D .68.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .B .6C .3+D .9.我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与图相似.执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的a=( )A.2 B.4 C.6 D.810.如图,为了测量A、C两点间的距离,选取同一平面上B、D两点,测出四边形ABCD 各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为()km.A.7 B.8 C.9 D.611.如图,F1、F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()A.4 B.C.D.12.已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(,0),(0,﹣2),O为坐标原点,动点P满足||=1,则|++|的最小值是()A.﹣1 B.﹣1 C. +1 D. +1二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知函数f(x)=lnx﹣ax2,且函数f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率是,则a=.14.x,y满足条件,则z=x﹣2y的最小值是.15.已知函数,则=.16.已知在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AB=AC=PA=2,且在△ABC中,∠BAC=120°,则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为正数的数列{a n}中,S n是数列{a n}的前n项和,对任意n∈N*,有.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}是首项和公比为2的等比数列,求数列{a n•b n}的前n项和T n.18.某高校从2015年招收的大一新生中,随机抽取60名学生,将他们的2015年高考数学成绩(满分150分,成绩均不低于90分的整数)分成六段[90,100),[100,110) (140)150),后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校2015年招收的大一新生共有960人,试估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数;(3)若用分层抽样的方法从数学成绩在[90,100)与[140,150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人在分数段[90,100)内的概率.19.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,△PAB为等边三角形,AD⊥AB,AD∥BC,平面PAB⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥PA;(Ⅱ)若AD=2BC=2AB=4,求点D到平面PAC的距离.20.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为4.(1)求椭圆的方程;(2)过点E(﹣1,0)且不与坐标轴垂直的直线l交此椭圆于C,D两点,若线段CD的垂直平分线与x轴交于点M(x0,0),求实数x0的取值范围.21.已知函数.(Ⅰ)当a>0时,求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)当a=0时,设函数g(x)=xf(x)﹣k(x+2)+2.若函数g(x)在区间上有两个零点,求实数k的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.(1)求证:DE是⊙O的切线.(2)若,求的值.23.在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为(α为参数),若以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线N的极坐标方程为ρsin()=t(t为参数).(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程;(2)若曲线N与曲线M有公共点,求t的取值范围.24.设函数f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R,不等式f(x)≤6的解集为M.(1)求M;(2)当a,b∈M时,求证:.2015-2016学年重庆一中高三(下)3月月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分.1.已知集合M={x|x2+x﹣2<0},N={x|log2x<1},则M∩N=()A.(﹣2,1)B.(﹣1,2)C.(0,1)D.(1,2)【考点】交集及其运算.【分析】利用交集的性质和不等式的性质求解.【解答】解:集合M={x|x2+x﹣2<0}=(﹣2,1),N={x|log2x<1}=(0,2),则M∩N=(0,1),故选:C.2.若纯虚数z满足(1﹣i)z=1+ai,则实数a等于()A.0 B.﹣1或1 C.﹣1 D.1【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z,由z的实部为0且虚部不为0求得实数a的值.【解答】解:由(1﹣i)z=1+ai,得,∵z为纯虚数,∴,即a=1.故选:D.,y的取值如表所示:如果y与x线性相关,且线性回归方程为,则的值为()A.1 B.C.D.【考点】线性回归方程.【分析】根据所给的三组数据,求出这组数据的平均数,得到这组数据的样本中心点,根据线性回归直线一定过样本中心点,把样本中心点代入所给的方程,得到的值.【解答】解:根据所给的三对数据,得到==5,==7,∴这组数据的样本中心点是(5,7)∵线性回归直线的方程一定过样本中心点,∴7=5+2,∴=1.故选:A.4.已知倾斜角为θ的直线l与直线m:x﹣2y+3=0垂直,则sin2θ=()A.B.C. D.【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.【分析】求出直线l的斜率是﹣2,即tanθ=﹣2,根据同角的三角函数的关系求出sinθ,cosθ的值,根据二倍角公式计算即可.【解答】解:直线m:x﹣2y+3=0的斜率是:,∵l⊥m,∴直线l的斜率是﹣2,故tanθ=﹣2,∴<θ<,∴,解得:sinθ=,cosθ=﹣,∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣,故选:C.5.已知sinφ=,且φ∈(,π),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则f()的值为()A.﹣B.﹣C.D.【考点】正弦函数的图象.【分析】由周期求出ω,由条件求出cosφ的值,从而求得f()的值.【解答】解:根据函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,可得==,∴ω=2.由sinφ=,且φ∈(,π),可得cosφ=﹣,∴则f()=sin(+φ)=cosφ=﹣,故选:B.6.设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a5=5a3,则=()A.10 B.9 C.12 D.5【考点】等差数列的性质.【分析】利用等差数列{a n},a5=10a3,求出a1=﹣d,再求的值.【解答】解:∵等差数列{a n},a5=5a3,∴a1=﹣d,∴=9,故选:B.7.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A、B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则弦长|AB|的值为()A.8 B.C.D.6【考点】抛物线的简单性质.【分析】先求出A的坐标,可得直线AB的方程,代入抛物线C:y2=4x,求出B的横坐标,利用抛物线的定义,即可求出|AB|.【解答】解:抛物线C:y2=4x的准线方程为x=﹣1,焦点F(1,0).设A(x,y),∵A到抛物线的准线的距离为4,∴|AF|=x+1=4,故x=3代入抛物线C:y2=4x,可得A的纵坐标为y=±,不妨设A(3,2),则k AF==,∴直线AB的方程为y=(x﹣1),代入抛物线C:y2=4x,可得3(x﹣1)2=4x,即3x2﹣10x+3=0,∴x=3或x=,∴B的横坐标为x=,∴B到抛物线的准线的距离|BF|=+1=,∴|AB|=4+=.故选:B.8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.B.6 C.3+D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】几何体为正方体切去一个三棱锥后剩余的部分.【解答】解:由三视图可知几何体为正方体ABCD﹣A'B'C'D'切去一个三棱锥B'﹣A'BC'得到的,正方体的棱长为1,切去的三棱锥的底面A'BC'是边长为的等边三角形.所以几何体的表面积S=12×3++=,故选D.9.我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与图相似.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()A.2 B.4 C.6 D.8【考点】程序框图.【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a,b的值,即可得到结论.【解答】解:由a=14,b=18,a<b,则b变为18﹣14=4,由a>b,则a变为14﹣4=10,由a>b,则a变为10﹣4=6,由a>b,则a变为6﹣4=2,由a<b,则b变为4﹣2=2,由a=b=2,则输出的a=2.故选:A.10.如图,为了测量A、C两点间的距离,选取同一平面上B、D两点,测出四边形ABCD 各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为()km.A.7 B.8 C.9 D.6【考点】解三角形的实际应用.【分析】分别在△ACD,ABC中使用余弦定理计算cosB,cosD,令cosB+cosD=0解出AC.【解答】解:在△ACD中,由余弦定理得:cosD==,在△ABC中,由余弦定理得:cosB==.∵B+D=180°,∴cosB+cosD=0,即+=0,解得AC=7.故选:A.11.如图,F1、F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C 的左、右2个分支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()A.4 B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a,|BF2|﹣|BF1|=2a,利用等边三角形的定义可得:|AB|=|AF2|=|BF2|,.在△AF1F2中使用余弦定理可得:=﹣,再利用离心率的计算公式即可得出.【解答】解:∵△ABF2为等边三角形,∴|AB|=|AF2|=|BF2|,.由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,∴|BF1|=2a.又|BF2|﹣|BF1|=2a,∴|BF2|=4a.∴|AF2|=4a,|AF1|=6a.在△AF1F2中,由余弦定理可得:=﹣,∴,化为c2=7a2,∴=.故选B.12.已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(,0),(0,﹣2),O为坐标原点,动点P满足||=1,则|++|的最小值是()A.﹣1 B.﹣1 C. +1 D. +1【考点】平面向量的坐标运算.【分析】设点P(x,y),则动点P满足||=1可得x2+(y+2)2=1.根据|++|=,表示点P(x y)与点Q(﹣,﹣1)之间的距离.显然点Q在圆C x2+(y+2)2=1的外部,求得QC=,问题得以解决.【解答】解:设点P(x,y),则动点P满足||=1可得x2+(y+2)2=1.根据++的坐标为(+x,y+1),可得|++|=,表示点P(x y)与点Q(﹣,﹣1)之间的距离.显然点Q在圆C x2+(y+2)2=1的外部,求得QC=,|++|的最小值为QC﹣1=﹣1,故选:A.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知函数f(x)=lnx﹣ax2,且函数f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率是,则a=.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义建立方程关系进行求解即可.【解答】解:∵f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率是,∴,又,∴,得.故答案为:14.x,y满足条件,则z=x﹣2y的最小值是﹣3.【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.【解答】解:由z=x﹣2y得y=,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC):平移直线y=,由图象可知当直线y=,过点A时,直线y=的截距最大,此时z最小,由,解得,即A(3,3).代入目标函数z=x﹣2y,得z=3﹣2×3=﹣3.∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3.故答案为:﹣3.15.已知函数,则=2.【考点】函数的值.【分析】由lg=﹣lg3,利用函数性质、对数运算法则能求出结果.【解答】解:∵函数,∴=lg()+1+lg(+1)=lg[(+2lg3)(+2)]+2=lg[(+2lg3)(+2)]+2=lg[1+4(lg3)2+2lg3•﹣3lg3•﹣4(lg3)2]+2=lg1+2=2.故答案为:2.16.已知在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AB=AC=PA=2,且在△ABC中,∠BAC=120°,则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为.【考点】球的体积和表面积.【分析】求出BC,可得△ABC外接圆的半径,从而可求该三棱锥的外接球的半径,即可求出三棱锥的外接球体积.【解答】解:∵AB=AC=2,∠BAC=120°,∴BC=2,∴2r==4,∴r=2,∵PA⊥面ABC,PA=2,∴该三棱锥的外接球的半径为=,∴该三棱锥的外接球的体积=.故答案为:.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为正数的数列{a n}中,S n是数列{a n}的前n项和,对任意n∈N*,有.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}是首项和公比为2的等比数列,求数列{a n•b n}的前n项和T n.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(1)由,得:,从而得到a n+1﹣a n=1,再求出a1=1,由此能求出a n=n.(2)求出,从而a n b n=n•2n,由此利用错位相减法能求出数列{a n•b n}的前n项和.【解答】解:(1)由,①得:,②②﹣①,得:,∴(a n+1+a n)(a n+1﹣a n﹣1)=0,∵数列{a n}中各项均为正数,∴a n+1﹣a n=1,n=1时,,解得a1=1,∴数列{a n]是首项为1,公差为1的等差数列,∴a n=n.(2)∵数列{b n}是首项和公比为2的等比数列,∴,∴a n b n=n•2n,∴数列{a n•b n}的前n项和:,,∴∴.18.某高校从2015年招收的大一新生中,随机抽取60名学生,将他们的2015年高考数学成绩(满分150分,成绩均不低于90分的整数)分成六段[90,100),[100,110) (140)150),后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校2015年招收的大一新生共有960人,试估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数;(3)若用分层抽样的方法从数学成绩在[90,100)与[140,150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人在分数段[90,100)内的概率.【考点】分层抽样方法;频率分布直方图.【分析】(1)由频率分布直方图能求出a的值.(2)由频率分布直方图能估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数.(3)用分层抽样的方法从数学成绩在[90,100)与[140,150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本,则数学成绩在[90,100)分数段内的学生抽取2人,数学成绩在[140,150]分数段内的学生抽取4人,至少有1人在分数段[90,100)内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140,150]内,由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在分数段[90,100)内的概率.【解答】解:(1)由频率分布直方图得:(0.005+0.01×2+0.02+0.025+a)×10=1,解得a=0.03(2)由频率分布直方图估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数为:(0.03+0.025+0.01)×10×960=624(人).(3)用分层抽样的方法从数学成绩在[90,100)与[140,150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本,∵数学成绩在[90,100)分数段内的学生频率为0.005×10=0.05,数学成绩在[140,150]分数段内的学生频率为0.010×10=0.10,∴数学成绩在[90,100)分数段内的学生抽取2人,数学成绩在[140,150]分数段内的学生抽取4人,∴将该样本看成一个总体,从中任取2人,基本事件总数n==15,至少有1人在分数段[90,100)内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140,150]内,∴至少有1人在分数段[90,100)内的概率:p=1﹣=.19.如图所示,在四棱锥P ﹣ABCD 中,△PAB 为等边三角形,AD ⊥AB ,AD ∥BC ,平面PAB ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (Ⅰ)证明:BE ⊥PA ;(Ⅱ)若AD=2BC=2AB=4,求点D 到平面PAC 的距离.【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的性质. 【分析】(Ⅰ)取PA 的中点F ,连结BF 、EF ,推导出AD ⊥平面PAB ,从而AD ⊥PA ,PA ⊥EF ,再由等边三角形性质得BF ⊥PA ,由此能证明BE ⊥PA .(Ⅱ)取AB 的中点H ,则由平面PAB ⊥平面ABCD 知PH ⊥平面ABCD ,设点D 到平面PAC 的距离为d ,由V P ﹣ACD =V D ﹣PAC ,能求出结果. 【解答】证明:(Ⅰ)取PA 的中点F ,连结BF 、EF ,∵平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB ∩平面ABCD=AB ,AD ⊥AB , ∴AD ⊥平面PAB ,∵PA ⊂平面PAB ,∴AD ⊥PA , ∵EF ∥AD ,∴PA ⊥EF ,∵△PAB 为等边三角形,∴BF ⊥PA , 又BF ∩EF=F ,∴PA ⊥平面BEF , 又BE ⊂平面BEF ,∴BE ⊥PA .(Ⅱ)取AB 的中点H ,则由平面PAB ⊥平面ABCD 知PH ⊥平面ABCD ,又PH==,=4,∴,由(Ⅰ)知PA ⊥平面BCEF ,FC ⊂平面BCEF ,∴PA ⊥FC ,又FC=BE==,∴,设点D 到平面PAC 的距离为d ,由V P ﹣ACD =V D ﹣PAC ,得,解得d=.20.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为4.(1)求椭圆的方程;(2)过点E(﹣1,0)且不与坐标轴垂直的直线l交此椭圆于C,D两点,若线段CD的垂直平分线与x轴交于点M(x0,0),求实数x0的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)设椭圆方程为.由已知可得:,解出即可得出.(2)由题意知直线l的斜率存在且不等于0,设直线l的方程为y=k(x+1),C(x1,y1),D(x2,y2),与椭圆方程联立化为:(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,(k≠0),利用根与系数的关系、中点坐标公式,可得中点,再利用垂直平分线的性质、点斜式可得方程,进而得出.【解答】解:(1)设椭圆方程为.由已知得,∴所求椭圆方程为:(2)由题意知直线l的斜率存在且不等于0,设直线l的方程为y=k(x+1),C(x1,y1),D(x2,y2),由消去y得关于x的方程;(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,(k≠0),∵E(﹣1,0)在椭圆内部,∴直线l与椭圆恒有两交点,设线段CD的中点为N(x N,y N).又由韦达定理得,∴,,∴线段CD的垂直平分线是:,令y=0,∴,∴.21.已知函数.(Ⅰ)当a>0时,求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)当a=0时,设函数g(x)=xf(x)﹣k(x+2)+2.若函数g(x)在区间上有两个零点,求实数k的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.【分析】(Ⅰ)求出f(x)的导数,对a讨论,0<a<1,a=1,a>1,判断单调性,即可得到所求递减区间;(Ⅱ)g(x)=x2﹣xlnx﹣k(x+2)+2在上有零点,即关于x的方程在上有两个不相等的实数根.令函数.求出导数,判断单调性,即可得到所求范围.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导数为f′(x)=﹣ax+1+a﹣=﹣(a>0),①当a∈(0,1)时,.由f'(x)<0,得或x<1.当x∈(0,1),时,f(x)单调递减.∴f(x)的单调递减区间为(0,1),;②当a=1时,恒有f'(x)≤0,∴f(x)单调递减.∴f(x)的单调递减区间为(0,+∞);③当a∈(1,+∞)时,.由f'(x)<0,得x>1或.∴当,x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减.∴f(x)的单调递减区间为,(1,+∞).综上,当a∈(0,1)时,f(x)的单调递减区间为(0,1),;当a=1时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞);当a∈(1,+∞)时,f(x)的单调递减区间为,(1,+∞).(Ⅱ)g(x)=x2﹣xlnx﹣k(x+2)+2在上有零点,即关于x的方程在上有两个不相等的实数根.令函数.则.令函数.则在上有p'(x)≥0.故p(x)在上单调递增.∵p(1)=0,∴当时,有p(x)<0即h'(x)<0.∴h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,有p(x)>0即h'(x)>0,∴h(x)单调递增.∵,h(1)=1,,∴k的取值范围为.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.(1)求证:DE是⊙O的切线.(2)若,求的值.【考点】圆的切线方程;与圆有关的比例线段.【分析】(I)连接OD,△AOD是等腰三角形,结合,∠BAC的平分线AD,得到OD∥AE 可得结论.(II)过D作DH⊥AB于H,设OD=5x,则AB=10x,OH=2x,∴AH=7x,由△AED≌△AHD和△AEF∽△DOF推出结果.【解答】(I)证明:连接OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE又AE⊥DE∴DE⊥OD,又OD为半径∴DE是的⊙O切线(II)解:过D作DH⊥AB于H,则有∠DOH=∠CAB设OD=5x,则AB=10x,OH=2x,∴AH=7x由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x又由△AEF∽△DOF可得∴23.在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为(α为参数),若以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线N的极坐标方程为ρsin()=t(t为参数).(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程;(2)若曲线N与曲线M有公共点,求t的取值范围.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(1)由曲线M的参数方程为(α为参数),利用同角三角函数平方关系可得:可得x2﹣y=1.由曲线N的极坐标方程为ρsin()=t(t为参数),展开化为=t,利用即可化为普通方程,可得x,y的取值范围.(2)由(1)可得t的取值范围,联立,化为x2+x﹣(t+1)=0,由于曲线N与曲线M有公共点,可得△≥0,解出进而得出即可.【解答】解:(1)由曲线M的参数方程为(α为参数),可得x2﹣y=+3cos2α﹣=1,∴曲线M的普通方程为x2﹣y=1.由曲线N的极坐标方程为ρsin()=t(t为参数),展开化为=t,化为x+y=t(x∈[﹣2,2]).(2)由y=2+1∈[﹣1,3].x∈[﹣2,2]).∴t∈[﹣3,5],联立,化为x2+x﹣(t+1)=0,∵曲线N与曲线M有公共点,∴△=1+4(t+1)≥0,解得t≥.∴t∈.∴t的取值范围是.24.设函数f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R,不等式f(x)≤6的解集为M.(1)求M;(2)当a,b∈M时,求证:.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】(1)|x+2|+|x﹣2|≤6等价于或或,由此能求出集合M.(2)当a,b∈M,即﹣3≤b≤3时,要证,即证3(a+b)2≤(ab+3)2.由此能证明.【解答】解:(1)|x+2|+|x﹣2|≤6等价于或或,解得﹣3≤x≤3,∴M=[﹣3,3].证明:(2)当a,b∈M,即﹣3≤b≤3时,要证,即证3(a+b)2≤(ab+3)2.∵3(a+b)2﹣(ab+3)2=3(a2+2ab+b2)﹣(a2b2+6ab+9)=3a2+3b2﹣a2b2﹣9=(a2﹣3)(3﹣b2)≤0,∴.2016年8月4日。
重庆市第一中学校高三数学下学期第三次月考试题文(含解析)
重庆市第一中学校高三数学下学期第三次月考试题文(含解析)一.选解题:在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|A x y ⎧==⎨⎩,{}2|230,B x x x x Z =--<∈,则A B ⋂=( ) A. {}0,1,2B. ()0,2C. {}0D. ()0,1 【答案】C【解析】【分析】先化简集合A 与集合B ,再求交集,即可得出结果. 【详解】因为{}|1A x y x x ⎧===<⎨⎩,{}{}2|230,0,1,2B x x x x Z =--<∈=, 则{}0A B =.故选C【点睛】本题主要考查集合的交集,熟记概念即可,属于常考题型.2.已知复数z 满足(12)1z i i -=+(i 是虚数单位),则z =( )A. 5B. 5C. 4 【答案】B【解析】【分析】先由复数的除法运算,求出z ,进而可求出结果.【详解】因为(12)1z i i -=+,所以1(1)(12)1312(12)(12)5i i i i z i i i +++-+===--+,因此5z ==. 故选B【点睛】本题主要考查求复数的模,熟记运算法则以及模的计算公式即可,属于常考题型.3.“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”( )的条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念,即可判断出结果.【详解】若“p q ∧为真命题”,则q p 、都为真命题;所以p q ∨为真命题;若“p q ∨为真命题”,则q p 、至少有一个为真命题;所以p q ∧不一定为真命题. 所以,“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分不必要条件,熟记概念即可,属于常考题型.4.若0.22.1a =,;lg 0.6c =,则实数a ,b ,c 的大小关系为( )A. c b a >>B. a c b >>C. a c b >>D. b a c >> 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质,分别确定a ,b ,c 的范围,即可得出结果.【详解】因为0.202.1 2.11a =>=,0.4000.60.61b <=<=,lg 0.6lg10c =<=, 所以c b a >>.故选A【点睛】本题主要考查对数与指数比较大小的问题,熟记对数函数与指数函数的性质即可,属于常考题型.5.已知直线1:(3)10l mx m y +-+=,直线2:(1)10l m x my ++-=,若12l l ⊥则m =( )A. 0m =或1m =B. 1m =C. 32m =-D. 0m =或32m =- 【答案】A【解析】【分析】根据直线垂直的充要条件,列出等式,求解,即可得出结果.【详解】因为直线1:(3)10l mx m y +-+=与直线2:(1)10l m x my ++-=垂直,所以(1)(3)0m m m m ++-=,即0)1(=-m m ,解得0m =或1m =.故选A【点睛】本题主要考查根据直线垂直求参数的问题,熟记直线垂直的充要条件即可,属于常考题型.6.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为( )A. 43B. 23C. 3D. 22【答案】C【解析】【分析】设圆柱的底面半径为R ,则圆柱的高为2R ,分别计算圆柱的体积和球的体积,可得答案.【详解】设圆柱的底面半径为R ,则圆柱的高为2R ,圆柱的体积V =πR 2•2R =2πR 3,,故球的体积为:334)3R π=,故外接球的体积与该圆柱的体积的比值为3. 故选:C . 【点睛】本题考查的知识点是圆柱的体积,球的体积,难度不大,属于基础题.7.设函数()(1)1xf x x e =++,则( )A. 2x =为()f x 的极大值点B. 2x =为()f x 的极小值点C.2x =-为()f x 的极大值点D. 2x =-为()f x 的极小值点【答案】D【解析】【分析】 先对函数()(1)1xf x x e =++求导,用导数方法研究其单调性,进而可得出其极值与极值点.【详解】因为()(1)1x f x x e =++,所以()(1)(2)x x x f x e x e x e ='+++=, 由()(2)0xf x x e '+==得2x =-,所以,当2x >-时,()0f x '>,故()(1)1x f x x e =++单调递增;当2x <-时,()0f x '<,故()(1)1x f x x e =++单调递减; 所以函数()(1)1xf x x e =++在1a =-处取得极小值,无极大值.故选D【点睛】本题主要考查导数的极值点,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数的单调性,进而可得极值点,属于常考题型.8.设实数x ,y 满足约束条件202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩,则46y x ++的取值范围是( ) A. []4,1-B. 33,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (][),31,-∞-+∞D. []3,1-【答案】D【解析】画出约束条件202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩表示的可行域,46y x ++表示可行域内的点(),x y 与()6,4P -- 连线的斜率,由20230x y x y --=⎧⎪⎨⎪-+=⎩可得()5,73PA A k ,--=- ,由0230x y x y +=⎧⎪⎨⎪-+=⎩可得,()5,71PB B k --=,,所以46y x ++的取值范围是[]3,1-,故选D. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移或旋转变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值9.执行下面的程序框图,若输出的S 的值为63,则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是( )A. 5i ≤B. 6≤iC. 7i ≤D. 8i ≤【答案】B【解析】【分析】 根据程序框图,逐步执行,直到S 的值为63,结束循环,即可得出判断条件.【详解】执行框图如下:初始值:0,1S i ==,第一步:011,112S i =+==+=,此时不能输出,继续循环;第二步:123,213S i =+==+=,此时不能输出,继续循环;第三步:347,314S i =+==+=,此时不能输出,继续循环;第四步:7815,415S i =+==+=,此时不能输出,继续循环;第五步:151631,516S i =+==+=,此时不能输出,继续循环;第六步:313263,617S i =+==+=,此时要输出,结束循环;故,判断条件为6≤i .故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果,即可确定判断条件,属于常考题型.10.将函数2())sin 2sin 12f x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则ϕ的值可能为( ) A. 6π B. 34π C. 712π D. 23π 【答案】B【解析】【分析】 先将函数化简整理,再向左平移,根据平移后图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,列出等式,即可得出结果.【详解】由题意可得:2())sin 2sin 12cos 22sin(2)26f x x x x x x x πππ⎛⎫=-++-=-=- ⎪⎝⎭, 将函数()f x 图像向左平移ϕ个单位后,得到2sin(22)6y x πϕ=-+,又平移后图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称, 所以22,36k k Z ππϕπ⨯-+=∈, 因此,42k k Z ππϕ=-+∈, 又因为0ϕ>,所以0,42k k Z ππ-+>∈,即1,2k k Z >∈, 当2k =时,34πϕ=. 故选B【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换,以及已知对称中心求参数的问题,熟记正弦函数的性质即可,属于常考题型.11.直线l 是抛物线y x 22=在点()2,2-处的切线,点P 是圆22420x y x y +--=上的动点,则点P 到直线l 的距离的最小值等于( )A. 25- D. 65【答案】C【解析】【分析】先由题意求出直线l 的方程,再求出圆22420x y x y +--=的圆心到直线的距离,减去半径,即为所求结果.【详解】因为y x 22=,所以y x '=,因此抛物线y x 22=在点()2,2-处的切线斜率为22x y x =-==-',所以直线l 的方程为)2(22+-=-x y ,即22y x =--,又圆22420x y x y +--=可化为5)1()2(22=-+-y x ,所以圆心为)1,2(,半径r =则圆心到直线的距离为d ==。
重庆市第一中学2018届高三下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2018年重庆一中高2018级高三下期第一次月考数学试题卷(理科)一、选择题.(共12小题,每小题5分,共60分)1.集合,以下正确的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意,集合,表示实数集,集合表示二次函数图象上的点作为元素构成的点集,所以,故选C.2.二项式的展开式的各项系数和为()A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意,对于二项式中,令,则,即二项式的展开式的各项系数的和为,故选A.3.复数的模是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由复数的四则运算,可知,所以的模为,故选B.4.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是()A.B.C.D.【答案】D【解析】执行如图所示的程序框图,可知:第一次循环:,满足,;第二次循环:,满足,;第三次循环:,满足,;第四次循环:,满足,;第五次循环:,步满足,输出,故选D.5.已知一个四棱柱的侧棱垂直于底面,条件“该棱柱是正四棱柱”,条件“该棱柱底面是菱形”,那么是的()条件A. 既不充分也不必要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 充要【答案】B【解析】由一个四棱柱的侧棱垂直于底面,若条件“该棱柱是正四棱柱”成立,则四棱柱的底面为一个正方形,所以命题“该棱柱底面是菱形”是成立的;由一个四棱柱的侧棱垂直于底面,若命题“该棱柱底面是菱形”是成立,则该四棱柱不一定是正四棱柱,所以条件“该棱柱是正四棱柱”不一定成立,所以命题是命题的充分不必要条件,故选B.6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据:根据上表提供的数据,若求出关于的线性回归方程为,那么表中的值为( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】 由题意,,因为关于的回归直线方程是,所以,解得,故选A.7.平面上三个单位向量两两夹角都是,则与夹角是( )A. B. C.D.【答案】D 【解析】 由题意得,向量为单位向量,且两两夹角为, 则,且,所以与的夹角为,且,所以与的夹角为,故选D.8.年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目,比赛的规则是:每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛,按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序,每种泳姿米且由一名运动员完成,每个运动员都要出场. 现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳,剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上,那么中国队共有( )种兵布阵的方式. A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题意,若甲承担仰泳,则乙运动员有种安排方法,其他两名运动员有种安排方法,共计种方法;若甲运动员承担自由泳,则乙运动员只能安排蝶泳,其他两名运动员有种安排方法,共计种方法,所以中国队共有种不同的安排方法,故选A.9.已知直线,圆,那么圆上到的距离为的点一共有()个.A. B. C. D.【答案】C【解析】由圆,可得圆心,半径,又圆心到直线的距离,如图所示,由图象可知,点到直线的距离都为,所以圆上到的距离为的点一共个,故选C.10.已知则的大小关系是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意,令,则,当时,,所以,所以函数在区间上点掉递减,所以,即,即,又由三角函数的性质可知,所以,即,综上可得,故选B.11.双曲线,曲线经过双曲线的焦点,则双曲线的离心率为()A. B.C. D.【答案】C【解析】由曲线,可得令,得,即,则,所以双曲线的离心率为,故选C.点睛:本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).12.不等式对于任意正实数恒成立,则实数的最大值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意,设,则,因为,所以在单调递增,且最小值为,要使得对恒成立,当且仅当,即时成立,所示实数的最大值为,故选B.点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,不等式的恒成立问题,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,解答中涉及到基本不等式的应用,利用基本不等式确定函数的最值及等号成的条件是解答的关键,实数有一定的难度,属于中档试题.二、填空题.(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知随机变量,且随机变量,则的方差_________【答案】12【解析】由随机变量,则随机变量的方差为,又因为,所以随机变量的方差为.14.某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的表面积为_________【答案】【解析】根据给定的三视图可知,原几何体表示一个如图所示的三棱锥,其中底面是一个底边为,高为的等腰直角三角形,则,且底面,且,所以三棱锥的各个面的面积为:,,,所以该三棱锥的表面积为.15.在的可行域内任取一点,则满足的概率是__________【答案】【解析】画出不等式组所表示的平面区域,如图所示,由,解得,即,且,所以,作出直线,则所以表示区域为,即不等式所表示的区域为,其面积为,所以不等式对应的概率为.点睛:对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量,最后计算概率,本题的解答中正确画出二元一次不等式所对应平面区域是解答的关键.16.点是锐角三角形的外心,,则的值为________【答案】20【解析】如图所示,过点分别作于于,则分别是的中点,可得在中,,所以,同理可得,所以.点睛:本题考查了平面向量化简与平面向量的数量积的运算问题,其中解答中将放在它的外接圆中,过点分别作,,得到分别是的中点,利用数量积的运算,分别求得的值是解答的关键,着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆的性质,有一定的综合性,属于中档试题.三、解答题.(共70分)17.已知等比数列的首项为,公比,且是的等差中项,是数列的前项和.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)设,根据条件列出方程,求得,即可求得数列的通项公式;(2)由(1),求得,即可利用分组求和求得数列的前项和.试题解析:(1)设,根据条件有,又(2)由(1),,所以由分组求和,18.如图,在直棱柱中,∥,.(1)证明:直线平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦.【答案】(1)见解析;(2)【解析】试题分析:(1)证明:根据条件得,又利用线面垂直的判定定理,即可证得结论;(2)由题意,以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.设,求得平面与平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求解二面角的余弦值.试题解析:(1)证明:根据条件可得,又而,所以,直线平面(2) 两两垂直.如图所示,以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.设,又所以,根据条件平面,所以可视为平面的一个法向量,现设是平面的一个法向量,则,令,所以,设平面与平面所成的锐二面角为19.北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示:全市名高中女生的身高(单位:)服从正态分布.现从某高中女生中随机抽取名测量身高,测量发现被测学生身高全部在和之间,现将测量结果按如下方式分成组:第组,第组,…,第组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)求这名女生身高不低于的人数;(2)在这名女生身高不低于的人中任意抽取人,将该人中身高排名(从高到低)在全市前名的人数记为,求的数学期望.参考数据:,,【答案】(1)人;(2) 见解析.【解析】试题分析:(1)由直方图知,求得后组频率,进而可求得这名女生身高不低于的人数;(2)由题意,求得这人中以上的有人,得出随机变量可取,求得随机变量取每个值得概率,列出分布列,利用公式求解数学期望.试题解析:(1)由直方图知,后组频率为,人数为,即这名女生身高不低于的人数为人;(2)∵,∴∴.,则全市高中女生的身高在以上的有人,这人中以上的有人.随机变量可取,于是,,∴20.已知标准方程下的椭圆的焦点在轴上,且经过点,它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合.椭圆的上顶点为,过点的直线交椭圆于两点,连接、,记直线的斜率分别为.(1)求椭圆的标准方程;(2)求的值.【答案】(1) ;(2) 见解析;(3).【解析】试题分析:(1)由抛物线的焦点为,得到椭圆的两个焦点坐标为,再根据椭圆的定义得到,即可求得椭圆的标准方程;(2)由题意,设直线的方程为,并代入椭圆方程,求得,化简运算,即可求得的值.试题解析:(1)设椭圆的标准方程为,抛物线的焦点为,所以该椭圆的两个焦点坐标为,根据椭圆的定义有,所以椭圆的标准方程为;(2)由条件知,直线的斜率存在.设直线的方程为,并代入椭圆方程,得,且,设点,由根与系数的韦达定理得,则,即为定值点睛:本题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目,确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错漏百出,本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数(1)求函数的极值;(2)求证:;(3),若对于任意的,恒有成立,求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析:(1)由题意,得,得出函数的单调性,即可求得函数的极值;(2)由(1)知的极小值即为最小值,推得,进而可证得结论;(3)由题意的解析式,求得,令,求得,利用得存在,使,且在上递减,在上递增,求得函数的的最小值,再转化为函数,利用导数的单调性,即可求解实数的取值范围.试题解析:(1)由可得,函数在单减,在单增,所以函数的极值在取得,为极小值;(2)根据(1)知的极小值即为最小值,即可推得当且仅当取等,所以,所以有(3)∴令,则,∴在上递增∵,当时,∴存在,使,且在上递减,在上递增∵∴,即∵对于任意的,恒有成立∴∴∴∴∴,又,∵∴,令,,显然在单增,而,,∴∴.点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,不等式的证明和不等式的恒成立问题,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1))利用导数求函数的单调区间,判断单调性或求参数值(取值范围);(2利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题;(3)考查数形结合思想的应用.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点的极坐标为,点到直线的距离为.(1)求值以及直线在平面直角坐标系下的方程;(2)椭圆上的一个动点为,求到直线距离的最大值.【答案】(1) .(2)【解析】试题分析:(1)利用极坐标与直角坐标的互化得到直线的直角坐标方程,再利用点到直线的距离公式,即可求解实数的值;(2)设点,利用点到直线距离,确定时,即可求得距离的最大值.试题解析:(1)则点的直角坐标为,直线的直角坐标方程为又,所以直线的直角坐标方程为.(2)由(1)得方程为,设点,所以点到直线距离为,当时,距离有最大值,最大值为23.函数,其最小值为.(1)求的值;(2)正实数满足,求证:.【答案】(1)3;(2)【解析】试题分析:(1)由题意,利用绝对值三角不等式求得的最小值,即可求解的值;(2)根据柯西不等式,即可作出证明.试题解析:(1),当且仅当取等,所以的最小值(2)根据柯西不等式,.。
推荐-重庆市第一中学2018届高中毕业班第一次月考数学(
重庆市第一中学2018届高中毕业班第一次月考数学(理)试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间150分钟。
注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔填写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上。
3.考试结束,监考员将本试卷和答题卡一并收回。
如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共有12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确的代号填在机读卡的指定位置上。
1.已知集合U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3},集合B={3,5},则A =( )A .{2}B .{2,3,5}C .{1,4,6}D .{5} 2.下列式子中(其中的a 、b 、c 为平面向量),正确的是( )A .BC AC AB =-B .a (b ·c )= (a ·b )cC .),()()(R a a ∈=μλλμμλD .00=⋅AB3.若数列}{n a 为等比数列,则“a 3a 5=16”是“a 4=4”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.直线2)1(0122=+-=++y x y x 与圆的位置关系是( )A .相切B .相交C .相离D .不能确定5.已知θθθθθcos sin cos sin 2tan -+=,则的值为( )A .3B .-3C .2D .-26.设实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+013y y x y x ,则目标函数y x z +=2的最大值为 ( )A .-4B .313 C .3 D .67.已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为60%,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( )A .12536 B .12554 C .12581 D .12527 8.已知函数)3(log 1),1(12)(2f x x f x x f x ,则⎩⎨⎧>-≤==( )A .3B .23 C .1 D .29.若不等式R x a x x ∈≥-++对|1||2|恒成立,则实数a 的取值范围是 ( )A .),3(+∞B .),3[+∞C .(-∞,3)D .]3,(-∞10.在空间中,有如下命题:①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线;②若平面α内任意一条直线m//平面β,则平面α//平面β;③若平面α与平面β的交线为m ,平面β内的直线⊥n 直线m ,则直线⊥n 平面α;④若点P 到三角形三个顶点的距离相等,则点P 在该三角形所在平面上的射影是该三角形的外心。
2018届下学期重庆市第一中学高三3月月考试卷 数学(理)后附详解
2018届下学期重庆市第一中学高三3月月考试卷理科数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,只有一个选项正确,请把答案写在答题卷上..........) 1.若复数满足,其中为虚数单位,则( ) A .B .C .D .2.已知,,,则( )A .B .C .D .3.下列说法正确的是( )此卷只装订不密封班 姓名 准考证号 考场号 座位号A.,“”是“”的必要不充分条件B.“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件C.命题“,使得”的否定是:“,”D.命题,则是真命题4.已知函数的最小正周期为,且其图像向左平移个单位后得到函数的图象,则函数的图象()A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称5.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为()A.2 B.3 C.4 D.56.在如图所示的程序框图中,若输出的值是3,则输入的取值范围是()A.B.C.D.7.《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为4,那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.B.C.D.8.(原创)等比数列中,,,函数,若是的导函数,则()A.1 B.C.D.9.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下,甲丙也相邻的概率为()A.B.C.D.10.已知椭圆:,左右焦点分别是,焦距为,若直线与椭圆交于点,满足,则离心率是()A.B.C.D.11.点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点,点为的中点,若满足,则动点的轨迹的长度为()A.B.C.D.12.(原创)已知函数,若关于的方程恰好有4个不相等的实根,则的取值范围是()A.B.C.D.第Ⅱ卷)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案写在答题卷上..........13.的展开式中项的系数为20,则实数.14.(原创)已知,则函数的最大值为.15.(原创)一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型:数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4(从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行,依此类推,则第21行从左至右的第4个数字应是.16.如图,正三棱柱的各条棱长均相等,为的中点,分别是线段和线段上的动点(含端点),且满足,当运动时,下列结论中正确的序号为.(1)可能为直角三角形;(2)三棱锥的体积为定值;(3)平面平面;(4)平面与平面所成的锐二面角范围为.三、解答题(本题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明...............过程或演算步骤,请把答案写在答题卷上..................)17.(12分)在中,分别是角的对边,,且.(1)求角;(2)求边长的最小值.18.(12分)(原创)某校高三(5)班的一次数学小测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求全班人数,并计算频率分布直方图中间的矩形的高;(2)若要从分数在之间的试卷中任选三份来分析学生失分情况,其中表示分数在之间被选上的人数,表示分数在之间被选上的人数,记变量,求的分布列和期望.19.(12分)如图,正方形的边长为2,分别为的中点,在五棱锥中,为棱的中点,平面与棱分别交于.(1)求证:;(2)若底面,且,求平面与平面所成角(锐角)的余弦值,并求线段的长.20.(12分)已知椭圆:左焦点,过点作与轴垂直的直线与椭圆交于两点,且.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点,记的面积为,的面积为,若,求的取值范围.21.(12分)已知函数.(1)讨论函数的单调区间;(2)若,设函数的图象与轴交于两点,且,又是的导函数,若正常数满足,,证明:.注意:请考生在22、23题两题中任选一道....题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程:,曲线的参数方程:(为参数),且与有两个不同的交点.(1)写出曲线和曲线的直角坐标方程;(2)求实数的取值范围.23.(10分)选修4-5:不等式选讲已知函数,.(1)解不等式;(2)若对任意,都有,使得成立,求实数的取值范围.2018届下学期重庆市第一中学高三3月月考试卷理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,只有一个选项正确,)请把答案写在答题卷上..........1-6:BAACCA 7-12:DCDBDA第Ⅱ卷)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案写在答题卷上..........13.4 14.15.228 16.(2)(3)(4)三、解答题(本题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卷上)17.(1)由已知,即,,.中,,故,.(2)由(1),因此,由已知故的最小值为1.18.(1)由茎叶图知,分数在之间的频数为2,频率为,全班人数为,所以分数在之间的频数为,频率分布直方图中间的矩形的高为.(2),,,,,,期望.19.(1)在正方形中,因为是的中点,所以,因为平面,所以平面,又因为平面,且面面,所以.(2)因为底面,所以,,故以为原点,分别以为的正半轴建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则,即,令,,所以,设平面的法向量为,则,即,所以,设平面与平面所成的锐角为,.设点,因为点在棱上,再设,即,故,,,又因为平面的法向量为,故,所以点坐标为,.20.(1)依题意,得,显然通径,,得,∴所求椭圆的方程为.(2)由题意,显然直线不能与轴垂直,直线的斜率存在,设其直线方程,联立整理得:,设,,,,∵,∴∵,,∴,∴,,整理得:,又∵,.21.(Ⅰ)的定义域为,,1)若,易知,在为单减,故为单减区间,2)若,令,故为单减区间,令,故为单增区间.(Ⅱ),(1)又∵是方程的两根,∴,两式相减可得:(2)由(1)(2)得:即∵,故欲证,只需证:,即要证:,令,即证明:令,则又∵,即,在单减,故,即,即,故.22.(1)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为;(2)联立,得:,易知,为开口向下抛物线,要满足两个不同的交点,则.23.(1),两边平方可得:.(2),有,故分别求值域即可,,故或,所以的取值范围为.。
【数学】重庆市第一中学2018届高三11月月考试题(文)解析版
重庆市第一中学2018届高三11月月考数学试题(文)第Ⅰ卷一、选择题1. 设,,则()A. B. C. D.2. 在中,,,则()A. B. C. D.3. 等差数列中,已知前项的和,则等于()A. B. C. D.4. 已知双曲线:(,)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.5. 光线从点射到轴上,经轴反射后经过点,则光线从到的距离为()A. B. C. D.6. 若圆有且仅有三个点到直线的距离为1,则实数的值为()A. B. C. D.7. 已知一个三棱柱高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图所示),则此三棱柱的体积为()A. B. C. 2 D.8. 定义域为的奇函数满足,且,则()A. 0B. 1C.D.9. 一个直棱柱被一个平面截去一部分所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. 8B.C.D.10. 已知的值域为,则实数的取值范围是()A. B. C. D.11. 已知可导函数的导函数为,,若对任意的,都有,则不等式的解集为()A. B. C. D.12. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点、,是它们的一个交点,且,记椭圆和双曲线的离心率分别为、,则的最大值是()A. B. C.1 D. 2第Ⅱ卷二、填空题13. 已知方程表示双曲线,则的取值范围是__________.14. 已知抛物线:的焦点为,直线:交抛物线于,两点,则等于__________.15. 已知,满足约束条件若的最大值为4,则的值为__________.16. 在棱长为1的正方体中,为的中点,点在正方体的表面上运动,则总能使与垂直的点所构成的轨迹的周长等于__________.三、解答题17. 已知等差数列满足,前项和为.(1)求的通项公式;(2)设等比数列满足,,求的前项和.18. 已知向量,,函数,且在轴上的截距为,与轴最近的最高点的坐标是.(1)求和的值;(2)将函数的图象向左平移()个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象,求的最小值.19. 如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧棱底面,且的长为2,点、、分别是,的中点.(1)证明:平面;(2)求三棱锥的体积.20. 已知、为椭圆:()的左、右焦点,点为椭圆上一点,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)若圆是以为直径的圆,直线:与圆相切,并与椭圆交于不同的两点、,且,求的值.21. 已知函数()的一个极值为.(1)求实数的值;(2)若函数在区间上的最大值为18,求实数的值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知三点,,.(1)求经过,,三点的圆的极坐标方程;(2)以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆的参数方程为(是参数),若圆与圆外切,求实数的值.23. 选修4-5:不等式选讲已知函数().(1)当时,解不等式;(2)若不等式对任意的实数都成立,求实数的取值范围.【参考答案】第Ⅰ卷一、选择题1. 【答案】B【解析】,选B.2. 【答案】C【解析】.3. 【答案】A【解析】由已知等差数列中,前项的和,则,选A4. 【答案】B【解析】根据题意,双曲线的方程为:,其焦点在x轴上,其渐近线方程为,又由其离心率,则c=2a,则,则其渐近线方程;故选:B.5. 【答案】C【解析】点关于轴的对称点为,由对称性可得光线从A到B的距离为.选C.点睛:(1)利用对称变换的思想方法求解是本题的关键,坐标转移法是对称变换中常用的方法之一;(2)注意几种常见的对称的结论,如点关于轴的对称点为,关于轴的对称点为;关于原点的对称点为;关于直线的对称点为等.6. 【答案】B【解析】圆的圆心为,半径,由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为,故圆心到直线的距离为,即,解得.7. 【答案】D【解析】由斜二测画法的规则可知,三棱柱的底面为直角三角形,且两条直角边分别为2,,故此三棱柱的体积为.选D.8. 【答案】C【解析】因为,所以,因此,选C.9. 【答案】C【解析】试题分析:由已知中的三视图可得:该几何体是一个长宽高分别为2,2,3的直棱柱,截去了一个底面两直角边为1,2,高为3的三棱锥,代入体积公式可得答案.10. 【答案】C【解析】由题意得,选C.11. 【答案】A【解析】令因此,选A.12. 【答案】A【解析】如图,设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,则根据椭圆及双曲线的定义:,,设,则,在中根据余弦定理可得到化简得:该式可变成:,故选第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】(0,2)【解析】表示双曲线或.14.【答案】8【解析】由题意得F(1,0),所以直线过焦点,因此由焦点弦公式得点睛:1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若为抛物线上一点,由定义易得;若过焦点的弦AB的端点坐标为,则弦长为可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.15.【答案】2【解析】作为不等式组所对应的可行域,如上图阴影部分,则,若过A时求得最大值为4,则,此时目标函数为,变形为,平移直线,当经过A点时,纵截距最大,此时z有最大值为4,满足题意;若过B时求得最大值为4,则,此时目标函数为,变形为,平移直线,当经过A点时,纵截距最大,此时z有最大值为6,不满足题意,故.16.【答案】【解析】取中点M,中点Q,则易得面,所以点所构成的轨迹为矩形,周长为三、解答题17.解:(1)设的公差为,则由已知条件得,.化简得解得故通项公式,即.(2)由(1)得.设的公比为,则,从而.故的前项和.18.解:(1),由,得,此时,,代点,得到,∴,.(2)函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数的图象,所以(),(),因为,所以的最小值为.19.(1)证明:四边形是边长为的正方形,是的中点,又侧棱底面,面又是等腰三角形,是的中点,.同理是等腰三角形,是的中点,面平面(2)解:侧棱底面,面由(2)知:平面,是三棱锥到平面的距离分别是的中点,,,四边形是边长为的正方形,是的中点三角形是等边三角形20.解:(1)由题意得:解得则椭圆方程为.(2)由直线与圆相切,得,,设,,由消去,整理得,恒成立,所以,,,∵,,解得.21.解:(1)由,得,令,得或;令,得;令,得或.所以函数有两个极值为和令.若,得,解得;若,得,解得;综上,实数的值为或5.(2)由(1)得,,在区间上的变化情况如下表所示:由上表可知,当时,函数在区间上的最大值为,其值为或,不符合题意.当时,函数在区间上的最大值为,其值为或25,不符合题意.当时,要使函数在区间上的最大值为18,必须使,且(因为若,则极大值,那么,函数在区间上的最大值只可能小于,更小于18,不合题意).即,所以.所以或.因为,所以舍去.综上,实数的值为.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.解:(1)对应的直角坐标分别为,则过的圆的普通方程为,又因为,代入可求得经过的圆的极坐标方程为.(2)圆(是参数)对应的普通方程为,因为圆与圆外切,所以,解得.考点:1.圆的参数方程;2.简单曲线的极坐标方程.23.解:(1)当时,,即,不等式的解集为.(2)不等式对任意的实数都成立,即,因为,所以,于是只需,解得或,所以实数的取值范围是.。
重庆市第一中学校2019届高三数学3月月考试题文(含解析)
重庆市第一中学校2019届高三3月月考数学(文)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合A中不等式解集的整数解,即可确定出两集合的交集.【详解】∵A={x|(x+1)(x-2)<0}={x|﹣1<x<2}且集合B的元素是整数,则﹣1<x<2的整数解为:0,1∴A∩B={0,1}.故选:A.【点睛】本题考查了交集及其运算,以及不等式解集的整数解,是基本题型.2.已知复数满足,则复数的共轭复数为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把给出的等式两边同时乘以i,然后利用复数的乘法运算化简,取虚部为相反数得到z的共轭复数.【详解】由,得.∴复数z的共轭复数为.故选:D.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.,则“”是“”的()条件A. 充分必要B. 充分而不必要C. 必要而不充分D. 既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】由,解得x=6或x=﹣1,可得“”⇒“x=6或x=﹣1”,而反之不成立.【详解】,可化为(x+1)(x﹣6)=0,解得x=6或x=﹣1.∴“”⇒“x=6或x=﹣1”,而反之不成立.∴“”是“”的充分不必要的条件.故选:B.【点睛】本题考查了充分必要条件的判断,涉及一元二次方程的解法,考查了推理能力,属于基础题.4.设等比数列的前项和为,且,则公比()A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式和性质,化简即可求解数列的公比,得到答案。
【详解】由题意,根据等比数列的性质,可得的,∴,∴,故选D。
【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和的应用,其中熟记等比数列的通项公式和前n 项和,准确运算是解答的关键,着重考查运算求解能力.5.《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是:,,,,,现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算,则输出的值及其统计意义分别是( )A. ,即5个数据的方差为2B. ,即5个数据的标准差为2C. ,即5个数据的方差为10D. ,即5个数据的标准差为10 【答案】A【解析】【分析】算法的功能是求的值,根据条件确定跳出循环的值,计算输出的值.【详解】由程序框图知:算法的功能是求的值,∵跳出循环的值为5,∴输出.故选:A.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键,属于基础题.6.在区间中随机取一个实数,则事件“直线与圆相交”发生的概率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意得圆的圆心为,半径为.要使直线与圆相交,则圆心到直线的距离,解得.由几何概型的概率公式,得在区间中随机取一个实数,则事件“直线与圆相交”发生的概率为.故选A.点睛:(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,要考虑使用几何概型求解;(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域;(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性,基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的的区域是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.7.已知双曲线的一个顶点到其渐近线的距离等于,则的离心率为()A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程,从而可得顶点到渐近线的距离,进而可得c,b的关系,从而可求双曲线的离心率.【详解】由题意,双曲线的渐近线方程为y=±x即bx±ay=0,∴顶点到渐近线的距离为∵双曲线(a,b>0)的顶点到渐近线的距离等于∴=∴c=2b,∵,故选B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程,考查点到直线的距离公式的运用,考查双曲线的几何性质,属于中档题.8.若实数满足,则的最小值为()A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求即可.【详解】由z=x﹣2y得y x,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC):平移直线y x,由图象可知当直线y x,过点B(0,1)时,直线y x的截距最大,此时z最小,代入目标函数z=x﹣2y,得z2,∴目标函数z=x﹣2y的最小值是:.故选:B.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.9.已知某几何体的三视图如图所示(侧视图中曲线为四分之一圆弧),则该几何体的体积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先利用几何体的三视图转换为几何体,进一步利用几何体的体积公式求出结果.【详解】根据几何体的三视图,转换为几何体:相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的个圆柱.故:V.故选:C.【点睛】本题考查的知识要点:三视图和几何体的转换,几何体的体积和表面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.10.若曲线在处的切线,也是的切线,则()A. B. 1 C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】求y=e x的导数,求切线斜率,可得切线方程,再设与曲线y=lnx+b相切的切点为(m,n),求函数y=lnx+b的导数,由导数的几何意义求出切线的斜率,解方程可得m,n,进而得到b 的值.【详解】y=e x的导数为y′=e x,曲线y=e x在x=0处的切线斜率为k=1,则曲线y=e x在x=0处的切线方程为y﹣1=x,y=lnx+b的导数为y′=,设切点为(m,n),则=1,解得m=1,n=2,即有2=ln1+b,解得b=2.故选:C.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查求切线方程,设出切点和正确求出导数是解题的关键.11.已知三点都在表面积为的球的表面上,若.则球心到平面的距离等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合正弦定理,计算A,B,C所在圆的半径,结合勾股定理,计算结果,即可。
重庆市第一中学校2024届高三下学期3月月考数学试题
重庆市第一中学校2024届高三下学期3月月考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知集合()(){}N 150A x x x =∈+-≥,{}1,3,5,7,8B =,则图中阴影部分所表示的集合为( )A .{}0,2,4B .{}2,4C .{}0,4D .{}2,4,52.已知复数1i z =-,z 是z 的共轭复数,则1z z+的虚部为( )A .3i 2- B .32 C .32-D .3i 23.已知()1,2a =r ,(),3b x =-r ,若()a ab ⊥+rr r ,则x =( ) A .1 B .1-C .32-D .12-4.要调查下列问题,适合采用全面调查(普查)的是( ) A .某城市居民3月份人均网上购物的次数 B .某品牌新能源汽车最大续航里程 C .检测一批灯泡的使用寿命D .调查一个班级学生每周的体育锻炼时间5.已知命题:2sin cos p αα=,命题3:cos 25q α=,则命题p 是命题q 的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件6.已知圆()()22:122C x y -+-=,直线:1l y kx =-与圆C 相离,点M 是直线l 上的动点,过点M 作圆C 的两条切线,切点分别为A ,B ,若四边形ACBM 的面积最小值为则( ) A .1k =- B .2k =-C .1k =-或17k =D .2k =-或12k =7.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,O 为坐标原点,过1F 作渐近线by x a=-的垂线,垂足为M ,若2π4FM O ∠=,则双曲线的离心率e 为( ) ABCD .28.已知[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[]1.11=,[]22=,[]2.13-=-,定义:若()f x n=在(),a b 上恒成立,则称()S n b a =-为函数()f x 在[),a b 上的“面积”.函数()2xf x ⎡⎤=⎣⎦在[)0,3上的“面积”之和与下面哪个数最接近( ) (注①:“面积不重复计算”;② 2.36.302≈) A .7.3B .7.7C .8.7D .9.3二、多选题9.已知某地区十二月份的昼夜温差()2,X N μσ:,()182P X >=,该地区某班级十二月份感冒的学生有10人,其中有6位男生,4位女生,则下列结论正确的是( ) A .()8E X = B .若()17810P X <<=,则()295P X >= C .从这10人中随机抽取2人,其中至少抽到一位女生的概率为45D .从这10人中随机抽取2人,其中女生人数ξ的期望为4510.函数() f x 的定义域为R ,且满足()()()() 2f x y f x y f x f y ++-=,()41f =-,则下列结论正确的有( )A .()00f =B .()20f =C .()f x 为偶函数D .()f x 的图象关于()1,0对称11.设数列{}n a 满足112n n n a a a +-=+(2n ≥且*n ∈N ),n S 是数列{}n a 的前n 项和,且744742S S -=,11a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且501n n T n S n ⎛⎫=--⋅ ⎪⎝⎭.则下列结论正确的有( )A .53a =B .数列()114n n n n S S ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2024项和为5061013 C .当4n =时,n T 取得最小值D .当5n =时,nnT b 取得最小值三、填空题12.若()()532x m x --的展开式中的3x 的系数为200-,则实数m =.13.已知函数()()2e xf x x mx n =++,若函数()f x 有两个不同零点,则()f x 极值点的个数为.14.已知在正三棱台111ABC A B C -中,6AB =,112A B =,侧棱长为4,点P 在侧面11BCC B上运动,且AP 与平面11BCC B 所成角的正切值为CP 长度的最小值为.四、解答题15.在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC V 的面积为S ,且)22240S b a c --=. (1)求角B 的大小;(2)若ABC V 外接圆的半径为1,边AC 上的高为1BE =,求a c +的值.16.已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为8,二面角1C AB C --的大小为π4,且AC B C =,12CC =.(1)求点1A 到平面1ABC 的距离;(2)若点M 在棱11A B 上,直线BM 与平面1ABC 所成角的正弦值为13,求线段1B M 的长.17.已知椭圆()222:11x M y a a+=>与双曲线222:1y N x a -=的离心率的平方和为234.(1)求a 的值;(2)过点1,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆M 和双曲线N 分别交于点A ,B ,C ,D ,在x 轴上是否存在一点T ,直线TA ,TB ,TC ,TD 的斜率分别为TA k ,TB k ,TC k ,TD k ,使得1111TA TB TC TDk k k k +++为定值?若存在,请求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由. 18.一个质点在一条直线上“随机游走”,向左走一步和向右走一步的概率均为12,试探讨下列问题:(1)若质点进行了4次“随机游走”,在其中恰有2次向右游走的情况下,求第二次向左游走的概率;(2)记()P i 为()2,3,4,,2i i n =+L 次游走中恰有2次向右游走的概率,令()()()232Y P P P n =++++L .记()2,3,,n ξξ=L 为不超过n 次游走的情况下,向右游走2次后停止游走(若向右游走一直不足2次,在游走到n 次时也停止游走),此时一共游走的次数,ξ的数学期望为()E ξ.请比较()E ξ与2Y 的大小,并说明理由.19.帕德近似(Pade approximation )是有理函数逼近的一种方法.已知函数()()ln 1h x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似定义为:()1c bxG x mx+=+,且满足:()()00h G =,()()00h G '=',()()00h G ='''',….又函数()()ln e 20f x a x b x a =-+>,其中 e 2.71828=L . (1)求实数b ,c ,m 的值;(2)若函数()f x 的图象与x 轴交于()1,0x ,()2,0x 两点,12x x <,且21122ax mx x x <+恒成立,求实数m 的取值范围.。
2018年重庆一中高2018级高三下期三月月考 数 学 试 题 卷(文科)
秘密★启用前2018年重庆一中高2018级高三下期三月月考数 学 试 题 卷(文科)2018.3数学试题共4页,满分150分,考试时间120分钟。
第I 卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分) 1.已知集合11A x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,{|2}B x x =<,则=B A ( ) A. (),1-∞ B. ()1,2 C. ()0,1 D. ()0,2 2.已知,,x y R i ∈为虚数单位,且1,x i y i -=-+则(1)x y i ++= ( )A. 2iB. 2i -C. 22i +D. 23.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,且,m n αβ⊂⊂,下列命题中正确的是( ) A. 若αβ⊥,则m n ⊥ B. 若//αβ,则//m n C. 若m n ⊥,则αβ⊥ D. 若n α⊥,则αβ⊥ 4.已知直线220a x y +-=与圆()()22116x y -++=相交于B A 、两点,且B A 、关于直线0x y +=对称,则a 的值为( )A. 1B. -1C. 2D. -25.如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)。
设直角三角形有一内角为30︒,若向弦图内随机抛掷1颗米粒(大小忽略不计),则落在小正方形(阴影)内的概率大约为( )A.2B.2C.43 D.43-46.执行如图的程序框图,若输入的10k =,则输出的S =( )A. 12B. 13C. 15D. 18第5题第6题7.已知实数x,y满足条件24122x yx yx y+≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则z x y=+的最小值为()A. 43B. 4C. 3D. 28.已知三角形A B C中,A B A C==,4B AD D=,连接C D并取线段C D的中点F,则A F C D⋅的值为()A. 5-C.52- D.154-9.设nS是数列{}n a的前项和,若23n nS a=-,则8S=()A. 257B. 513C. 765D. 153510.甲、乙、丙、丁、戊五人出差,分别住在1、2、3、4、5号房间,现已知:(1)甲与乙不是邻居;(2)乙的房号比丁小;(3)丙住的房是双数;(4)甲的房号比戊大3.则根据上述条件推理,丁住的房号是().A.5号B. 4号C. 3号D.2号11.若函数()24xf x a=--存在一正一负两个零点,则实数a的取值范围为()A. ()3,4 B. ()0,+∞ C.()0,4 D. ()3,+∞12.已知抛物线28y x=的准线与x轴交于A点,焦点是F,P是抛物线上任意一点,当P FP A取得最小值时,点P恰好在以,AF为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为( )A.12B.1C.2D. 1第II卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.已知点(1,1),(0,3),(3,4)A B C-,则向量A B在A C方向上的投影为.14.已知sin()co s()66ππαα-=+,则tanα=.15.已知函数()l o g,38,3ax xf xm x x>⎧=⎨+≤⎩,且()24f=,若函数()f x存在最小值,则实数a的取值范围为.16.如右图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为 .三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知函数()2c o s 22c o s 213f x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 图象的对称中心坐标; (2),C B A c b a ABC 、、对应的角分别为、、中,边在锐角∆且()0f A =,求b c的取值范围.18.(本小题满分12分)某电脑公司有6名产品推销员,其中编号为1-5的推销员,其工作年限与年(1)从编号1-5的五位推销员中随机取出两位,求他们年推销金额之和不少于7万元的概率;(2)请根据表格中这5名推销员的数据,求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+;若第6名产品推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式为:121()()ˆ,()ni i i ni i x x y y bx x ==--=-∑∑ˆa =y −ˆb x19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111A B C A B C -中, 90B A C ∠=, 2A B A C ==,点M 为11A C 的中点,点N 为1A B 上一动点.(1)是否存在一点N ,使得线段//M N 平面11B BC C ?若存在,指出点N 的位置,若不存在,请说明理由.(2)若点N 为1A B 的中点且C M M N ⊥,求三棱锥M N A C -的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,且点1F 到椭圆C 上任意一点的最大距离为3,椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)是否存在斜率为1-的直线l 与以线段12F F 为直径的圆相交于A 、B 两点,与椭圆相交于C 、D 两点,且7C D A B=?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.21.(本小题满分12分)设函数()()2ln ,,xf x e a x a a R e =--+∈为自然对数的底数. (1)若0a >,且函数()f x 在区间[)0,+∞内单调递增,求实数a 的取值范围; (2)若203a <<,判断函数()f x 的零点个数.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在直角坐标系x O y 中,直线1C的参数方程为1122x t y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为()2212sin 3ρθ+=. (1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;(2)直线1C 与曲线2C 相交于,A B 两点,点()1,0M,求M A M B -.23.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分) 已知关于x 的不等式495m x x+≥-在()0,5x ∈时恒成立.(1)求m 的最大值;(2)当m 取得最大值时,求不等式29x m x -++≤的解集.命题人:黄 艳 赵崴娜 审题人:杨春权2018年重庆一中高2018级高三下期三月月考数学参考答案(文科)2018.31~5题 CADDB 6~10题 CDBCC 11~12题AB 13、2 14、-1 15、(1,16、32π17().(1)2c o s 22c o s 213f x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭in 2c o s 212s in 216x x x π⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭()26x k k z ππ+=∈解得122k x ππ=-+,故对称中心为(122k ππ-+,1)k z ∈(2)由()2s in 2106f A A π⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭解得2,33A B C ππ=+=所以2s in s in 13s in s in 2ta n 2C b B cCC Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭===+,又A B C ∆为锐角三角形,故62C ππ<<所以b c的取值范围是 1,22⎛⎫⎪⎝⎭18.(1)从编号15-的五位推销员中随机选出两位,他们的年推销金额组合如下(){}(){}{}{}()(){}(){}(){}2,31,2,32,2,4,2,5,31,32,31,4,31,5, (){}(){}{}32,4,32,5,4,5共10种.其中满足两人年推销金额不少于7万元的情况共有6中,则所求概率63105P ==.(2)由表中数据可知: 6, 3.4x y ==,由上公式可得()()()3 1.410.410.63 1.60.5,9119ˆb -⨯-+-⨯-+⨯+⨯==+++ 3.4ˆˆ0.560.4ay b x =-=-⨯=. 故0.5.4ˆ0yx =+,又当11x =时, ˆ 5.9y =, 故第6名产品推销员的工作年限为11年,他的年推销金额约为5.9万元. 19.(1)存在点N ,且N 为1A B 的中点.证明如下: 连接1A B , 1B C ,点M , N 分别为11A C , 1A B 的中点,所以M N 为11A B C ∆的一条中位线,1//BC MN ,M N ⊄平面11B B C C , 1B C ⊂平面11B B C C ,所以//M N 平面11B B C C .(2)设点D , E 分别为A B , 1A A 的中点,连接C D , D N , N E ,并设1A A a =,则221C Ma =+,22414a M N +=+284a+=, 2254aC N=+ 2204a+=,由C M N ⊥M ,得222C MM NC N+=,解得a =又易得N E ⊥平面11A A C C , 1N E =,MN A CN A M C V V --= 111332A M C S N E ∆=⋅=⨯213⨯⨯=所以三棱锥M N A C -的体积为3.20.(1)设1F , 2F 的坐标分别为(),0c -, (),0c ,根据椭圆的几何性质可得3{ 12a c ca+==,解得2a =,1c =,则2223b a c =-=,故椭圆C 的方程为22143xy+=.(2)假设存在斜率为1-的直线l ,那么可设为y x m =-+,则由(1)知1F , 2F 的坐标分别为()1,0-,()1,0,可得以线段12F F 为直径的圆为221x y+=,圆心()0,0到直线l的距离1d =<,得m <A B ===联立221{ 43xyy x m+==-+得22784120x m x m -+-=,设()11,C x y , ()22,D x y ,则()()()2222847412336484870m m m m∆=-⨯-=-=->,得27m<,又1287m x x +=2124127mx x -=,1277C D xB=-=====解得2123m=<,得3m=±即存在符合条件的直线:3l y x=-±.21.(1)∵函数()f x在区间[)0+∞,内单调递增,∴()1'0xf x ex a=-≥+在区间[)0+∞,内恒成立.即xa e x-≥-在区间[)0+∞,内恒成立.记()xg x e x-=-,则()'10xg x e-=--<恒成立,∴()g x在区间[)0+∞,内单调递减,∴()()01g x g≤=,∴1a≥,即实数a的取值范围为[)1+∞,.(2)∵23a<<,()1'xf x ex a=-+,记()()'h x f x=,则()()21'0xh x ex a=+>+,知()'f x在区间(),a-+∞内单调递增.又∵()1'010fa=-<,()1'10f ea a=->+,∴()'f x在区间(),a-+∞内存在唯一的零点x,即()01'0xf x ex a=-=+,于是01xex a=+,()00lnx x a=-+.当a x x-<<时,()()'0,f x f x<单调递减;当x x>时,()()'0,f x f x>单调递增.∴()()()00m in2lnxf x f x e a x a==--+0000112323a x x a a ax a x a=-+=++-≥-++,当且仅当1x a+=时,取等号.由23a<<,得230a->,∴()()0m inf x f x=>,即函数()f x没有零点.22.(1)曲线1Cy --=,曲线2C 的直角坐标方程为2213xy+=.(2)将直线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程整理得: 25240t t +-=,1225t t +=-,由t 的几何意义可知:1225M A M B t t -=+=.23.(1)()491495555x x xxxx ⎛⎫⎡⎤+=+-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭()()451914913125555x x x x ⎡⎤-=+++≥+=⎢⎥-⎣⎦, 当且仅当()45925x x x xx-=⇒=-时取等号,因为495m xx+≥-在()0,5x ∈时恒成立,所以m 的最大值为5.(2)根据(1)可知m 的最大值为5,所以不等式左边可以化为32,2,52{7,25, 23,5,x x x x x x x -<--++=-≤≤->由529x x -++≤可以得到所求不等式的解集为{}36x x -≤≤.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2018届下学期重庆市第一中学高三3月月考试卷文科数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,只有一个选项正确,请把答案写.....在答题卷上.....) 1.已知全集R U =,集合}012|{2≥--=x x x M ,}1|{x y x N -==,则=N M C U )(( ) A .}1|{≤x xB .}121|{≤<-x xC .}121|{<<-x xD .}211|{<<-x x2.已知向量),2(m -=,)21,3(m b =,R m ∈,则“)2(+⊥”是“2=m ”的( )A .充要条件B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件3.已知等比数列}{n a 的各项均为正数,且182795=+a a a ,则=+11333log log a a ( ) A .3B .2log 23+C .1D .24.在区间]2,2[-上随机取两个数y x ,,则1-≤-x y 的概率是( ) A .329 B .169 C .167 D .3223 5.执行如图所示的程序框图,则输出的i 值为( )A .3B .4C .5D .66.若实数y x ,满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤-+≥+-0102201y x y x y x ,则y x +2的最大值是( )A .1B .25C .4D .2-7.某几何体的三视图如图所示,其外接球表面积为( )A .π24B .π68C .π6D .π88.在平行四边形ABCD 中,3π=∠BAD ,2=AB ,1=AD ,若N M ,分别是边CD BC ,的中点,则⋅的值是( ) A .27 B .2 C .3 D .415 9.已知函数)(x f 为偶函数,且0≥x 时,x x x f sin 21)(+=,则关于x 的不等式)12()(->x f x f 的解集为( )A .}31|{<<x xB .}1|{<x xC .31|{<x x 或}1>x D .}131|{<<x x 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ,过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ,且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ,则双曲线的离心率是( ) A .12+B .2C .3D .13+11.直线l 过抛物线C :y x 42=的焦点F 且交抛物线C 于B A ,两点,则||2||BF AF +的最小值为( ) A .223+B .232+C .6D .412.若存在*,,R z y x ∈,满足2z xe z y =,且x z e x 2≤≤,则x y ln ln -的取值范围是( )A .]1,21[B .]2ln 1,2ln [---eC .]21,2ln 1[-D .]2ln 1,2ln 1[---e第Ⅱ卷二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案写在答题卷上..........) 13.已知复数z 满足1)21(=-i z (其中i 是虚数单位),则复数z 的虚部为 .14.已知)2,0(πα∈,32sin =α,则=-)6cos(πα .15.学校建议孩子们周末去幸福广场看银杏叶,舒缓高三学习压力,返校后甲、乙、丙、丁四位同学被问及情况.甲说:“我没去”;乙说:“丁去了”;丙说:“乙去了”;丁说:“我没去”.班主任了解到这四位同学中只有一位同学去了幸福广场,但只有一位说了假话,则去了幸福广场的这位同学是 .16.已知31<a ,a e a e x x f x x 42)()(11+--=--,关于x 的不等式0)(<x f 有且只有两个整数解,则实数a 的取值范围是 .三、解答题(本题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演...................算步骤,请把答案写在答题卷上..............) 17.(12分)在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若41s i n s i n 2co s 2=--B A B A . (1)求角C 的大小;(2)已知4cos cos =+A c C a ,ABC ∆的面积为8,求边长a 的值.18.(12分)2018年为我国改革开放40周年,某事业单位共有职工600人,其年龄与人数分布表如下:约定:此单位45岁~59岁为中年人,其余为青年人,现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?(2)若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事,其余人热衷关心民生大事.完成下列22⨯列联表,并回答能否有%90的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关?(3)若从热衷关心民生大事的青年观众(其中1人擅长歌舞,3人擅长乐器)中,随机抽取2人上台表演节目,则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少?))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.19.(12分)如图所示,在四棱锥ABCD P -中,已知平面⊥PAD 平面ABCD ,底面ABCD 为梯形,CD AB //,且CD AD ⊥,33===AB AD PD ,3=CD ,6=PA ,E 在棱PC 上且满足EC PE 21=.(1)求证://BE 平面PAD ; (2)求证:⊥AC 平面PBD ; (3)求点E 到平面PBD 的距离.20.(12分)过椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点1F 作其长轴的垂线与C 的一个交点为P ,右焦点为2F ,若43tan 12=∠F PF . (1)求椭圆C 的离心率; (2)过点)0,1(E 且斜率为21的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点,若椭圆上存在点Q 使得21-=,求椭圆C 的方程.21.(12分)已知函数⎩⎨⎧>≤⋅=)0(ln )0(2)(x x a x e x x f x (0≠a ).(1)求)(x f 在]0,(-∞上的单调性及极值;(2)若)()(2x f bx x x g --=,对任意的]2,1[∈b ,不等式0)(<x g 都在),1(e x ∈上有解,求实数a 的取值范围.注意:请考生在22、23题两题中任选一道....题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+-=ααsin cos 1t y t x (t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程θρcos 4-=. (1)当3πα=时,1C 交2C 于B A ,两点,求||AB ;(2)已知点)2,1(-P ,点Q 为曲线2C 上任意一点,求⋅的最大值.23.(10分)选修4-5:不等式选讲 设)10(|||2|)(≤<-+-=a a x a x x f . (1)若1=a ,解关于x 的不等式2)(>x f ;(2)求证:6)1()(≥-+tf t f .2018届下学期重庆市第一中学高三3月月考试卷文 科 数 学 答 案第Ⅰ卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,只有一个选项正确,请把答案写.....在答题卷上.....) 1-6:CBDADB7-12:CDDAAD第Ⅱ卷二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案写在答题卷上..........) 13.5214.6215+ 15.乙 16.ea e 21532<≤ 三、解答题(本题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卷上)17.(1)∵41sin sin 2)cos(1=--+B A B A ,∴21sin sin 2)cos(1=--+B A B A ,∴21sin sin 2sin sin cos cos -=-+B A B A B A ,∴21)cos(sin sin cos cos -=+=-B A B A B A ,∴32π=+B A ,∴3π=C .(2)∵422222222=-+⋅+-+⋅bcac b c ab c b a a ,∴4=b∵83sin 421sin 21=⨯⨯==πa C ab S ,∴338=a . 18. (1)抽出的青年观众为18人,中年观众12人 (2)22⨯列联表如下:706.2833.122140512181713)71256(3022<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=K ,∴没有%90的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关.(3)热衷关心民生大事的青年观众有6人,记能胜任才艺表演的四人为4321,,,A A A A , 其余两人记为21,B B ,则从中选两人,一共有如下15种情况:),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(212414231322122111434232413121B B B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A A A A A A A A A抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况,所以52156==P . 19.(1)证明:过E 点作CD EF //交PD 于F ,可证四边形ABEF 是平行四边形, ∴AF BE //,⊄BE 平面PAD ,⊂AF 平面PAD ,∴//BE 平面PAD .(2)证明:∵222PA AD PD =+,∴AD PD ⊥,∵平面⊥PAD 平面ABCD ,且平面 PAD 平面AD ABCD =, ∴⊥PD 平面ABCD ,∴AC PD ⊥.∵ADC ∆∽BAD ∆,∴BDA ACD ∠=∠,∵090=∠+∠CAD ACD , ∴090=∠+∠CAD BDA ,∴BD AC ⊥,∵PD AC ⊥,BD AC ⊥,D BD PD = ,∴⊥AC 平面PBD . (3)解:设点E 到平面PBD 的距离为h ,等体积法,∵PDE B PBD E V V --=,∴AD S h S PDE PBD ⨯⨯=⨯⨯∆3131,∴3132131322131⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯h ,∴23=h . 20.(1)∵43tan 12=∠F PF ,∴43211=F F PF ,∴43222=c a b ,∴22223c a ac b -==,∴02322=-+e e ,∴21==a c e .(2)∵21==a c e ,∴cbc a 3,2==, 不妨设椭圆的方程为1342222=+cy c x ,即2221243c y x =+.设),(11y x A ,),(22y x B ,),(00y x Q ,∵)21,21(212121y y x x OB OA OQ --=-=,∴21021021,21y y y x x x -=-=,由于Q B A ,,都在椭圆2221243c y x =+上,22222221211243,1243c y x c y x =+=+,222122112)21(4)21(3c y y x x =-+-∴221212222212112)43()43(4143c y y x x y x y x =+-+++, ∴221212212)43(124112c y y x x c c =+-⨯+,∴22121343c y y x x =+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2221243)1(21c y x x y ∴01212422=-+-c x x (*)得4121,2122121c x x x x -=⋅=+, 则)1(21)1(21434321212121-⋅-⋅+=+x x x x y y x x22212131211211)(4c c x x x x =+--=++-=, ∴1012=c ,经检验(*),0>∆则所求椭圆方程为110310422=+y x . 21. (1)当]0,(-∞∈x 时,x e x x f ⋅=2)(,)1(2)(+='x e x f x, 令0)(='x f ,∴1-=x ,∴)(x f 在)1,(--∞递减,)0,1(-递增,∴极小值ef 2)1(-=-,无极大值.(2)因为x a bx x x g ln )(2--=,令x a x xb y ln 2-+-=,]2,1[∈b , 则y 为关于b 的一次函数且为减函数,根据题意,对任意]2,1[∈b ,都存在),1(e x ∈,使得0)(<x g 成立, 则在),1(e x ∈上,0ln 2max <-+-=x a x x y 有解,令x a x x x h ln )(2-+-=,只需存在),1(0e x ∈使得0)(0<x h 即可,由于xax x x a x x h --=--=2212)(',令a x x x --=22)(ϕ,∵),1(e x ∈,∴014)('>-=a x ϕ, ∴)(x ϕ在),1(e 上单调递增,a x -=>1)1()(ϕϕ, ①当01≥-a ,即1≤a 时,0)(>x ϕ,即0)('>x h ,∴)(x h 在),1(e 上单调递增,∴0)1()(=>h x h ,不符合题意.②当01<-a ,即1>a 时,01)1(<-=a ϕ,a e e e --=22)(ϕ,若122>-≥e e a ,则0)(≤e ϕ,所以在),1(e 上0)(<x ϕ恒成立,即0)('<x h 恒成立, ∴)(x h 在),1(e 上单调递减,∴存在),1(0e x ∈使得0)1()(0=<h x h ,符合题意. 若122>>-a e e ,则0)(>e ϕ,∴在),1(e 上一定存在实数m ,使得0)(=m ϕ, ∴在),1(m 上0)(<x ϕ恒成立,即0)('<x h 恒成立,∴)(x h 在),1(m 上单调递减, ∴存在),1(0m x ∈使得0)1()(0=<h x h ,符合题意.综上所述,当1>a 时,对任意的]2,1[∈b ,都存在),1(e x ∈,使得0)(<x g 成立. 22. (1)消去t 得1C :)1(3+=x y ,由⎩⎨⎧=+=θρρcos 222x y x 得2C :4)2(22=++y x ,圆心为)0,2(-,半径2=r , 圆心到直线1C 的距离232|0)12(3|=-+-=d ,2222)2||(=+d AB ,∴13||=AB . (2)设点),(y x Q ,则)2,1(-=OP ,)2,1(+-=y x PQ ,52--=⋅y x ,又⎩⎨⎧=+-=θθsin 2cos 22y x 7)sin(525sin 4cos 2252-+-=--+-=--=⋅ϕθθθy x PQ OP , ∴PQ OP ⋅的最大值为752-.23.(1)当1a =时,|1||12|)(-+-=x x x f , ①当21<x 时,2121>-+-x x ,∴0<x ; ②当121≤≤x 时,2112>-+-x x ,∴无解; ③当1>x 时,2112>-+-x x ,∴34>x ,综上所述,0<x 或34>x .(2)证明:|1||12||||2|)1()(a tt a t a t t f t f --+--+-+-=-+623|1|3|1||22||)1()(||)2()2(|=⨯≥+=+++=----+----≥tt t t t t a t a t a t a t ,当且仅当1±=t 时取等号.。