福建省永安市第一中学2020届高三上学期第二次月考试题 数学(理) Word版含答案

永安一中2019---2020学年第一学期第二次月考高三数学理科试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集R U =，集合{}{}1|,lg |+====x y y B x y x A ，那么)(B C A U =( )A.φB.]10(，C.)10(，D.),1(+∞ 2. 下列选项中，说法正确的是( ) A ．若0>>b a ，则b a 2121log log >B ．向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈共线的充要条件是0=mC ．命题“1*2)2(3,-⋅+>∈∀n nn N n ”的否定是“1*2)2(3,-⋅+≤∈∀n n n N n ”D ．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的充要条件3. 已知,2,1==→→b a ，且⎪⎭⎫⎝⎛-⊥→→→b a a ，则向量→a 在→b 方向上的投影为（ ）A.21B. 22C. 1D.24．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若26712a a a ++=，则9S =（ ） A ．20B ．27C ．36D ．455．已知mn 、是两条不同直线,αβ、是两个不同平面,下列命题中的假命题是（ ） A ．若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥B ．若α⊥m n m ,//则n α⊥C ．若m α⊥，β⊂m ，则αβ⊥ D ．若n m =⋂βαα,//,则n m // 6.将函数sin()12y x π=-的图象上所有的点向右平移4π个单位长度,再把图象上各点 的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，则所得图象的的一条对称轴方程为（ ） A ．524x π=B ．512x π= C ．6x π= D ．3x π=7．函数()()22ln xxf x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称g 10药品，他先将g 5的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将g 5的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ． 大于g 10B ．小于g 10C ． 大于等于g 10D ． 小于等于g 109. 已知1a b >>，若ln ,ln ,ln x b b a y a a b z a b b =-=-=-，则（ ） A.z x y << B.z y x << C.x z y << D.y z x <<.10已知三棱锥ABC D -的所有顶点都在球O 的球面上,22,2===AC BC AB ,若三棱锥ABC D -体积的最大值为2,则球O 的表面积为（ ） A ．π8B ．π9C ．325πD ．9121π11.已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩ 其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,1-- B ．()1,0- C ．()()2,11,0---D ．()0,112.将函数sin2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度得到()y f x =的图象，若函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置． 13.已知==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛∈απαππαcos ,534sin ,,2 .14．若0m >，0n >，1m n +=，且()10t t m n+>的最小值为9，则t =______. 15. 如图，在等腰三角形ABC 中，已知|AB |=|AC |=1，∠A =120°，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，且AC AF AB AE μλ==,,其中）（、1,0∈μλ且14=+μλ，若线段EF 、BC 的中点分别为M 、N ，则||的最小值是 . 16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1)2n n n n S a =--，*n N ∈，则12100S S S +++= .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．（本题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，CD =ACD ∆的面积为2． （Ⅰ）求AC 的长； （Ⅱ）若AD AB ⊥，4B π∠=，求BC 的长．18.（本题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为()()*121,N n a n n S S n n ∈-+=，且7,1,531+-a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本题满分12分）已知函数()cos xf x e x =，x x xg sin 3cos )(+=. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域.（Ⅱ）120,,0,22x x ππ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦使得不等式()()12g x f x m +≥成立， 求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点. （Ⅰ）求证：AG ⊥平面ADF ；（Ⅱ）若AB =，求二面角D CA G --的余弦值．21.（本小题满分12分） 已知函数()1,af x nx a R x =+∈（Ⅰ）当1a =-时，若直线y kx b =+是函数()f x 的图像的切线，求k b +的最小值；（Ⅱ）设函数()1()f x g x x-=，若()g x 在2[1,]e 上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负．22. （本题满分10分）【选修4—4 坐标系统与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为221,93x y +=在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点P 在C 上，点Q 在l 上，求PQ 的最小值．23. （本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】 己知0a >，函数()f x x a =-.（Ⅰ）若2a =，解不等式()()35f x f x ++≤；（Ⅱ）若函数()()()2g x f x f x a =-+，且存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，求实数a 的取值范围.参考答案13.102- 14.4 15.7716.⎪⎭⎫⎝⎛-1213110017．⑴∵23Dπ∠=，CD=ACD∆的面积为2∴11sin22ACDS AD CD D AD∆=⋅⋅=⨯=∴AD=.................................................................................................................3分∴由余弦定理得22212cos6626()182AC AD CD ADCD D=+-⋅⋅=+-⨯⨯-=∴AC=.....................................................................................................................6分⑵由（1）知ACD∆中AD=CD=23Dπ∠=∴6π=∠DAC∵AB AD⊥,∴3BACπ∠=............................................................................................8分又∵4Bπ∠=，AC=∴在ABC∆中，由正弦定理得sin sinBC ACBAC B=∠2=,∴BC=分18.（1）∵，又∴……………………………………………………………..2分又成等比数列．∴，…………………………………….3分 即，解得，………………………………………………………..5分∴。

…………………………………………………..6分(2)由（1）可得，………….8分……..12分19． （1）令()()'cos sin 0xf x ex x =-=，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4x π=。

..................2分当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()'0f x >，()f x 单调递增；当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()'0f x <，()f x 单调递减；................................................................................................................................3分所以()44maxcos 442f x f e e ππππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；又因为()01f =，02f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()min 0f x =；.........................................................5分所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为40,2e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦......................................................................6分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=+=2,0),6sin(2sin 3cos )()2(ππx x x x x g1)(,1,216sin ,3266min =∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴≤+≤∴x g x x ππππ…..9分 由（1）得，()4max22πe xf = ()()m x f xg ≥+21()()()min min x f m x g -≥∴等价于()()max min x f m x g -≥4221πe m -≥∴1224+≤∴πe m∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-122,4πe …..12分 20．（1）∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，∴， ∵矩形菱形，∴平面， ∵平面，∴， ∵菱形中，，为的中点．∴，即， ∵，∴平面．.........................................5分 （2）由（1）可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，故，，，，则，，，.......................................................7分设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，................10分设二面角的平面角为，则，易知为钝角，∴二面角的余弦值为．.......................12分21.解：(1)设切点坐标为设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()211f x x x'=+， 切线斜率()020011k f x x x '==+，又0001ln x kx b x -=+， ∴002ln 1b x x =--，∴020011ln 1k b x x x +=+--令)0(111ln )(2>--+=x x xx x ϕ，......................................................................................3分 23121)(xx x x +-='ϕ232x x x +-=()()321x x x +-= ， 解0)(<'x ϕ得1o x <<，解0)(>'x ϕ得1x >，∴)(x ϕ在()0,1上递减，在()1,+∞上递增． ∴1)1()(-=≥ϕϕx ，∴k b +的最小值为1-．...............................................................5分（Ⅱ）211()nx a g x x x x=+-，2[1,]x e ∈． ∴22111'()nx g x x x -=+332212a x x nx a x x ---=． 设()212h x x x nx a =--，则'()2(11)11h x nx nx =-+=-． 由'()0h x =，得x e =．当1x e ≤<时，'()0h x >；当2e x e <≤时，'()0h x <． ∴()h x 在[1,)e 上单调递增，在2(,]e e 上单调递减． 且(1)22h a =-，()2h e e a =-，2()2h e a =-． 显然2(1)()h h e >．结合函数图象可知，若()g x 在2[1,]e 上存在极值，则()0(1)0h e h >⎧⎨<⎩或2(1)0()0h h e ≥⎧⎨<⎩．.................................................................................................7分 （ⅰ）当()0(1)0h e h >⎧⎨<⎩，即12ea <<时，则必定212,[1,]x x e ∃∈，使得12()()0h x h x ==，且2121x e x e <<<<． 当x 变化时，()h x ，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：∴当12a <<时，()g x 在2[1,]e 上的极值为12(),()g x g x ，且12()()g x g x <． ∵11211111()nx a g x x x x =+-111211x nx x ax -+=． 设()1x x nx x a ϕ=-+，其中12ea <<，1x e ≤<． ∵'()10x nx ϕ=>，∴()x ϕ在(1,)e 上单调递增，()(1)10x a ϕϕ≥=->，当且仅当1x =时取等号．∵11x e <<，∴1()0g x >． ∴当12e a <<时，()g x 在2[1,]e 上的极值21()()0g x g x >>．.......................................9分 （ⅱ）当2(1)0()0h h e ≥⎧⎨<⎩，即01a <≤时， 则必定23(1,)x e ∃∈，使得3()0h x =．易知()g x 在3(1,)x 上单调递增，在23(,]x e 上单调递减．此时，()g x 在2[1,]e 上的极大值是3()g x ，且2234()()0a e g x g e e+>=>． ∴当01a <≤时，()g x 在2[1,]e 上的极值为正数．..........................................................11分综上所述：当02e a <<时，()g x 在2[1,]e 上存在极值，且极值都为正数．...................12分 注：也可由'()0g x =，得221a x x nx =-．令()21h x x x nx =-后再研究()g x 在2[1,]e 上的极值问题．若只求a 的范围给3分.22. （Ⅰ）曲线C 的参数方程为()为参数ααα⎩⎨⎧==sin 3cos 3y x ，...........2分 直线l 的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ，即4cos sin =-θρθρ， 直线l 的直角坐标方程：04=+-y x ． …………………………………………….5分 （Ⅱ）设点P 的坐标为()ααsin 3,cos 3，点P 到直线04=+-y x 的距离为d ， 由点到直线的距离公式得： ()243sin 3224cos 3sin 3114sin 3cos 322-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-++-=παααααd 即当13sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα时，.6222324min -=-=PQ 即所求PQ 的最小值为.622-……………………………………………10分23. （1）当2a =时，()()12,13213,1221,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪++=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩，当1x <-时，由125x -≤，解得21x -≤<-；当12x -≤<时，由35≤，解得12x -≤<；当2x ≥时，由215x -≤，解得23x ≤≤.综上可知，原不等式的解集为{}|23x x -≤≤........................5分（2）()()()2g x f x f x a x a x a =-+=--+.存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，等价于()2max 2g x a a ≥-. 又因为2x a x a x a x a a --+≤---=，所以222a a a ≥-，即240a a -≤. 解得04a ≤≤，结合0a >，所以实数a 的取值范围为(]0,4..................10分。