6-3全微分及其应用
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,
微积分
一、填空题:
y x
第六章 多元函数微分学
练习题
z _____________； 1、设 z e ,则 x z ____________； dz ____________. y 2 2 2 2、若 u ln( x y z ) ,则 du _____________________________. y 3、函数 z ,当 x 2, y 1 , x 0.1, y 0.2 时, x 函数的全增量z _______;全微分 dz ________. x 4 、 若 函 数 z xy , 则 z对x 的 偏 增 量 y z lim x ______________. x z ___________; x 0 x
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微积分
五、求函数
第六章 多元函数微分学
1 2 ( x y 2 ) sin , x2 y2 0 x2 y2 f ( x, y) 0 , x2 y2 0 的偏导数,并研究在点 (0,0) 处偏导数的连续性及 函数 f ( x , y ) 的可微性.
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全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
注意：多元微分学各概念的关系 有定义 连续
可微
偏导连续
有极限 可偏导
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微积分
三、全微分的求法
第六章 多元函数微分学
例2、求全微分 (1) z ln(e x e y ); x (2) z arctan , 并求 dz (1,1) ; y y (3)u x sin e yz . 2
也可写成 f ( x x , y y )
f ( x , y ) f x ( x , y )x f y ( x , y )y .
3、 算 (1.04)2.02 的近似值 . 例 计
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微积分
第六章 多元函数微分学
例4. 有一圆柱体受压后发生形变, 半径由 20cm 增大 到 20.05cm , 高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体 体积的近似改变量.
微积分
第六章 多元函数微分学
第三节
一、全微分的概念
全微分
如果函数 z f ( x , y ) 在点 P( x , y ) 的某邻域内有定 义，并设 P ( x x , y y ) 为这邻域内的任意一 点，则称这两点的函数值之差
f ( x x , y y ) f ( x , y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量x , y 的全增量， 记为z ，
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微积分
第六章 多元函数微分学
二、求函数 z ln(1 x 2 y 2 ) 当 x 1, y 2 时的全微分. 三、计算 (1.02) 3 (1.97 ) 3 的近似值. 四、 设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度 均为 0.1cm ， 内高为 20cm ,内半径为 4cm ,求容器外 壳体积的近似值.
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微积分
第六章 多元函数微分学
微分存在． 全微分存在．
一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在
xy 2 2 例如， f ( x , y ) x y 0
x2 y2 0 . x2 y2 0
在点(0,0)处偏导数存在，但不可微。
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微积分
第六章 多元函数微分学
即
z = f ( x x , y y ) f ( x , y )
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微积分
全微分的定义
第六章 多元函数微分学
如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
可以表示为 z Ax By o( ) ， 其中 A, B 不依赖于x , y 而仅与 x, y 有关， ( x )2 ( y )2 ， 则称函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分， Ax By 称为函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分，记为 dz ，即 dz = Ax By .
思考题
第六章 多元函数微分学
函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是: （1） f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处连续； （2） f x ( x , y ) 、 f y ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域存在；
说明： 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。
定理 2
(可微充分条件 )
若z f ( x , y )在点( x0 , y0 )具有连续偏导数，则 f ( x , y )在点( x0 , y0 )可微。
习惯上，记全微分为
z z dz dx dy. x y
几何意义
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微积分
第六章 多元函数微分学
受压后圆柱体体积减少了
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微积分 四、小结
第六章 多元函数微分学
１、多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法；
３、多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
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微积分
第六章 多元函数微分学
多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
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微积分
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数 在 D 内可微分. 返回
微积分
二、可微的条件
第六章 多元函数微分学
(可微必要条件 点( x0 , y0 )可微，则 (1) z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处连续； (2) z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处偏导数存在，且有 A f x ( x0 , y0 ), B f y ( x0 , y0 ),即z f ( x , y )在 点( x0 , y0 )的全微分为 dz f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
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微积分
y y y
第六章 多元函数微分学
练习题答案
y x 1 x 1 x y 一、1、 2 e , e , e ( dx dy ) ； x x x x 2( xdx ydy zdz ) 2、 ； 3、-0.119,-0.125； 2 2 2 x y z 1 1 4、 ( y )x , y . y y 1 2 二、 dx dy . 三、2.95. 四、 55.3cm 3 . 3 3 五、 f x ( x , y ), f y ( x , y ) 在 (0,0) 处均不连续, f ( x , y ) 在点(0,0)处可微.
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微积分
第六章 多元函数微分学
全微分在近似计算中的应用 当 二 元 函 数 f ( x, y) 在 点 P ( x, y) 的 两 个 偏 导 数 z
f x ( x , y ), f y ( x , y ) 连 续 ， 且x , y 都 较 小 时 ， 有 近似等式 z dz f x ( x , y )x f y ( x , y )y .
z f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y ， （3）
当 ( x )2 ( y )2 0 时是无穷小量； （4）
z f x ( x , y )x f y ( x , y )y
2 2
( x ) ( y ) 2 2 当 ( x ) ( y ) 0 时是无穷小量.
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一、填空题:
y x
第六章 多元函数微分学
练习题
z _____________； 1、设 z e ,则 x z ____________； dz ____________. y 2 2 2 2、若 u ln( x y z ) ,则 du _____________________________. y 3、函数 z ,当 x 2, y 1 , x 0.1, y 0.2 时, x 函数的全增量z _______;全微分 dz ________. x 4 、 若 函 数 z xy , 则 z对x 的 偏 增 量 y z lim x ______________. x z ___________; x 0 x
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五、求函数
第六章 多元函数微分学
1 2 ( x y 2 ) sin , x2 y2 0 x2 y2 f ( x, y) 0 , x2 y2 0 的偏导数,并研究在点 (0,0) 处偏导数的连续性及 函数 f ( x , y ) 的可微性.
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全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
u u u du dx dy dz. x y z
注意：多元微分学各概念的关系 有定义 连续
可微
偏导连续
有极限 可偏导
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三、全微分的求法
第六章 多元函数微分学
例2、求全微分 (1) z ln(e x e y ); x (2) z arctan , 并求 dz (1,1) ; y y (3)u x sin e yz . 2
也可写成 f ( x x , y y )
f ( x , y ) f x ( x , y )x f y ( x , y )y .
3、 算 (1.04)2.02 的近似值 . 例 计
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第六章 多元函数微分学
例4. 有一圆柱体受压后发生形变, 半径由 20cm 增大 到 20.05cm , 高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体 体积的近似改变量.
微积分
第六章 多元函数微分学
第三节
一、全微分的概念
全微分
如果函数 z f ( x , y ) 在点 P( x , y ) 的某邻域内有定 义，并设 P ( x x , y y ) 为这邻域内的任意一 点，则称这两点的函数值之差
f ( x x , y y ) f ( x , y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量x , y 的全增量， 记为z ，
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第六章 多元函数微分学
二、求函数 z ln(1 x 2 y 2 ) 当 x 1, y 2 时的全微分. 三、计算 (1.02) 3 (1.97 ) 3 的近似值. 四、 设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度 均为 0.1cm ， 内高为 20cm ,内半径为 4cm ,求容器外 壳体积的近似值.
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第六章 多元函数微分学
微分存在． 全微分存在．
一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在
xy 2 2 例如， f ( x , y ) x y 0
x2 y2 0 . x2 y2 0
在点(0,0)处偏导数存在，但不可微。
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第六章 多元函数微分学
即
z = f ( x x , y y ) f ( x , y )
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全微分的定义
第六章 多元函数微分学
如果函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
可以表示为 z Ax By o( ) ， 其中 A, B 不依赖于x , y 而仅与 x, y 有关， ( x )2 ( y )2 ， 则称函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分， Ax By 称为函数 z f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分，记为 dz ，即 dz = Ax By .
思考题
第六章 多元函数微分学
函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处可微的充分条件是: （1） f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处连续； （2） f x ( x , y ) 、 f y ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域存在；
说明： 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。
定理 2
(可微充分条件 )
若z f ( x , y )在点( x0 , y0 )具有连续偏导数，则 f ( x , y )在点( x0 , y0 )可微。
习惯上，记全微分为
z z dz dx dy. x y
几何意义
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第六章 多元函数微分学
受压后圆柱体体积减少了
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微积分 四、小结
第六章 多元函数微分学
１、多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法；
３、多元函数连续、可导、可微的关系．
（注意：与一元函数有很大区别）
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第六章 多元函数微分学
多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
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函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数 在 D 内可微分. 返回
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二、可微的条件
第六章 多元函数微分学
(可微必要条件 点( x0 , y0 )可微，则 (1) z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处连续； (2) z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处偏导数存在，且有 A f x ( x0 , y0 ), B f y ( x0 , y0 ),即z f ( x , y )在 点( x0 , y0 )的全微分为 dz f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
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y y y
第六章 多元函数微分学
练习题答案
y x 1 x 1 x y 一、1、 2 e , e , e ( dx dy ) ； x x x x 2( xdx ydy zdz ) 2、 ； 3、-0.119,-0.125； 2 2 2 x y z 1 1 4、 ( y )x , y . y y 1 2 二、 dx dy . 三、2.95. 四、 55.3cm 3 . 3 3 五、 f x ( x , y ), f y ( x , y ) 在 (0,0) 处均不连续, f ( x , y ) 在点(0,0)处可微.
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第六章 多元函数微分学
全微分在近似计算中的应用 当 二 元 函 数 f ( x, y) 在 点 P ( x, y) 的 两 个 偏 导 数 z
f x ( x , y ), f y ( x , y ) 连 续 ， 且x , y 都 较 小 时 ， 有 近似等式 z dz f x ( x , y )x f y ( x , y )y .
z f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y ， （3）
当 ( x )2 ( y )2 0 时是无穷小量； （4）
z f x ( x , y )x f y ( x , y )y
2 2
( x ) ( y ) 2 2 当 ( x ) ( y ) 0 时是无穷小量.