2016年高考数学(理)复习一轮作业手册：第15讲 定积分与微积分基本定理
高考数学一轮复习 定积分与微积分基本定理练习含答案
第3讲 定积分与微积分基本定理一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1C.eD.e －1 解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C. 答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3C.4D.6 解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2.答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12gB.gC.32gD.2g解析 电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d x B.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1 解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ， ∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2， ∴S 2＜S 1＜S 3.答案 B二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________. 解析 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去). 答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析 根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0).因为f (x )的图像过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·合肥模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ； (3)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ； (4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ； (5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2； (2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x＝π2； (3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－ (－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2； (5)∵|x 2－2x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8.10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解 作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)， 解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)， 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133. 11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ， 设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案 π2＋e －1e －214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值. 解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。
吉林省高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理(理科专用)B卷
吉林省高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）直线y=x与抛物线y=x(x+2)所围成的封闭图形的面积等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·西安期末) 如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A .B .C .D .3. （2分）如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间[0，]上的图象所围成的封闭图形的面积为（）A . 3﹣1B . 4﹣2C .D . 24. （2分）由直线，曲线及轴所围图形的面积为（）A . 3B . 7C .D .5. （2分）由幂函数y=和幂函数y=x3图象围成的封闭图形面积为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·安徽模拟) 由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为（）A . 3B .C .D .7. （2分）曲线与直线所围成图形的面积为（）A . 2B . 1C .D .8. （2分）由直线，曲线及x轴所围图形的面积为（）A .B .C .D .9. （2分）做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）抛物线与直线y=2x围成的封闭图形的面积是（）A .B .C .D .11. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（）A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关12. （2分）由曲线y=x2 ， y=x3围成的封闭图形面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________14. （1分）以曲线为曲边的曲边形（如图阴影部分）面积为________．15. （1分） (2015高二下·福州期中) 曲线y= 和直线y=x围成的图形面积是________．16. （1分）求由曲线与直线所围成的平面图形的面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．17. （1分） (2016高三上·黑龙江期中) 曲线y=x2 ， x=0，y=1，所围成的图形的面积为________．18. （1分）（x2+ ）6展开式的常数项是15，如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形面积为________．三、解答题 (共3题；共15分)19. （5分） (2016高二下·昌平期中) 计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．20. （5分）求曲线y＝x2 ，直线y＝x ， y＝3x围成的图形的面积．21. （5分） (2016高二下·抚州期中) 设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共3题；共15分) 19-1、20-1、21-1、21-2、。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案 定积分与微积分基本定理1
第十三节 定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| b a ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13， c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限． (3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0ef (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280 C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C. 答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5.所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为 s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。
1_定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案]B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案]C[解析]图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2 [答案]C[解析]令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以与时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1D.2π [答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案]D[解析]2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案]3[解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192 [解析]由已知得a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a (x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12 [答案]C [解析]因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案]A[解析]由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](e －1)2[解析]由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析](1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析]f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案]B[解析]22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32 [答案]D[解析]由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析]∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． [答案]33[解析]⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案]40[解析]∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
北师大版高三数学(理)一轮复习《定积分与微积分基本定理》课件
双击自测
核心考点
-22-
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
对点训练2 (1)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与
C所围成的图形的面积等于( )
������ ������
= =
0, 0
或
������ = 1, ������ = 1.
故1 所求面积
6
S=∫01
(x-x2)dx=
1 ������2- 1 ������3
23
1 = 1.
06
关闭
解析 答案
考点1
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
考纲要求
知识梳理
双击自测
考点2
考点3 知识方法 易错易混
13+2∫01 f(x)dx,
∴B∫01 f(x)dx=-13.故选 B.
关闭
解析 答案
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
考纲要求
知识梳理
双击自测
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
(2)定积分∫03 √9-������2dx 的值为
.
核心考点
-17-
关闭
由定积分的几何意义知,∫03 9-������2dx 是由曲线 y= 9-������2,直线
3.4 定积分与微积分基本定理
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-2-
考纲要求:1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解 定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案 定积分与微积分基本定理
第十三节 定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| b a ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13， c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限． (3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5.所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为 s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师马利军一、教学目标：1。
理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题。
2。
理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题。
二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间［a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x)与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰b adx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a,x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号。
在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3)中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a,x=b 、x 轴围成的面积的代数和。
注:函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a,b ］上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(。
3. 定积分的性质，（设函数f （x)，g （x ）在区间［a,b]上可积） (1）⎰⎰⎰±=±bab abadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=bab a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a,b]上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2)⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3)若f(x ）是偶函数，则⎰⎰=-a aadx x f dx x f 0)(2)(,若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4。
高考复习方案高考数学一轮复习 第15讲 定积分与微积分
课时作业(十五) [第15讲 定积分与微积分基本定理](时间：30分钟 分值：80分)基础热身1．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 和直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．∫π20(sin x －cos x)d x B ．2∫π40(sin x －cos x)d x C ．∫π20(cos x －sin x)d x D ．2∫π40(cos x －sin x)d x2．已知二次函数y ＝f(x)的图像如图K 151所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )图K 151A .2π5 B .43 C .32D .π23．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －14．[2014·惠州一调] 一物体在力F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x>2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m )处，则力F(x)做的功为( )A ．36 JB ．38 JC ．48 JD ．56 J5．[2014·福建六校联考] 若⎠⎛01(3x 2＋kx)d x ＝3，则k ＝________．能力提升6．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121xd x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1图K 1527．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f ′(x)的图像如图K 152所示，则f(x)的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A .13B .43C ．2D .838．若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01f(x)d x ＝( )A ．－1B ．－13C .13D ．19．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t (t的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 210．曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形面积是________． 11.⎠⎛01(1－x 2－x)d x ＝________．12．(13分)如图K 153所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．图K 153难点突破13．(1)(6分)已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )的图像如图K154所示，图K154它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数的图像所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a的值为________．(2)(6分)曲线y ＝1x＋2x ＋2e 2x，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．课时作业(十五)1．D 2.B 3.C 4.A 5.4 6.B 7.B 8.B 9．C 10.13 11.π4－1212．k ＝1－34213．(1)－1 (2)e 2e。
高三数学一轮复习 定积分与微积分基本定理(理)课件 新人教B版
解析：由方程组
y＝2x＋3， 2 y ＝ x ，
可得x1＝－1，x2
2 3－1(2x＋3)dx－3－1x dx ＝3.故所求图形面积为s＝
＝(x
2
1 3 3 32 3 ＋3x)|－1 － x |－1 ＝ . 3 3
32 答案： 3
• 点评：利用定积分求平面图形的面积时，关键是将待求 面积的平面图形看成可求积分的平面图形的和或差，还 要注意待求面积的平面图形在y轴上方还是下方，以确 定积分的正负．
• (2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]． • ∴当x＝0时，f(x)min＝－4； • 当x＝±1时，f(x)max＝2.
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之 1 与曲线以及x轴所围成的面积为 .则 12 (1)切点A的坐标为________． (2)过切点A的切线方程为________．
a－b＋c＝2 b＝0
(a≠0)，
，即
c＝2－a b＝0
，∴f(x)＝ax2＋(2－
a)．
1 2 1 f(x)dx＝ [ax ＋(2－a)]dx 又
0 0
1 3 2 1 ＝[ ax ＋(2－a)x]|0 ＝2－ a＝－2， 3 3 ∴a＝6，从而f(x)＝6x2－4.
b－a ③求和： f(ξi)· ； n i＝1
n
b－a ④取极限： f(x)dx＝linm . →∞ f(ξi)· n i＝1
b a
n
注：定义中将区间[a，b]分成n个小区间，当 λ→0时，和式 f (ξi)Δxi的极限存在．但在实际应用中
i＝0 n－1
为了方便，一般将区间[a，b] n ，则所有小区间 · 等分 ．． b－a b－a 长度都是 ，故λ＝ ，当n→∞时，λ→0，和式 n n
高考数学总复习 课时作业(15)定积分与微积分基本定理
课时作业(十五)第15讲定积分与微积分基本定理基础热身1.(1-x)d x=()A.1B.-1C. D.-2.某物体从静止开始自由落下,若速度v(t)=gt(v的单位:m/s,t的单位:s,g为重力加速度),则经过t=10 s后下落的距离为 ()A.50g mB.100g mC.25g mD.75g m3.[2017·孝义质检]定义=ad-bc,如=1×4-2×3=-2,那么=()A.6B.3C. D.04.[2017·安徽宣城二模]|sin x|d x=()A.1B.2C.3D.45.一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1(单位:m)处运动到x=3处,则力F(x)所做的功为.能力提升6.[2017·江淮十校三模](sin x-a cos x)d x=-,则实数a等于()A.1B.C.-1D.-7.d x=()A. B.C.1D.28.已知+=2,若φ∈0,,则(x2-2x)d x=()A. B.-C. D.-9.[2017·辽宁实验中学模拟]如图K15-1所示,正弦曲线y=sin x、余弦曲线y=cos x与两直线x=0,x=π所围成的阴影部分的面积为()图K15-1A.1B.C.2D.210.[2018·齐齐哈尔八中月考]设函数f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,则f(-x)d x的值等于()A. B.C. D.11.[2017·石家庄三模](+x)d x= .12.[2018·郑州一中模拟]设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若f(x)d x=3f(x0),x0>0,则x0= .13.[2017·吉林实验中学模拟]由直线x=e,y=x及曲线y=所围成的封闭图形的面积为.14.曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1围成的封闭图形的面积为.难点突破15.(5分)[2017·青岛三模]已知函数f(x)在R上满足f(π-x)=f(x),若当0≤x≤时,f(x)=cos x-1,则当0≤x≤π时,f(x)的图像与x轴所围成图形的面积为()A.π-2B.2π-4C.3π-6D.4π-816.(5分)[2017·天津南开中学月考]函数f(x)=x3-x2+x+1的图像在点(1,2)处的切线与曲线y=x2围成的图形的面积等于.课时作业(十五)1.C[解析] (1-x)d x=x-x2=.2.A[解析] 下落的距离为gt d t=gt2=50g(m).3.D[解析] x d x=x2=,∴==×2-3×1=0.故选D.4.D[解析] |sin x|d x=2sin x d x=2(-cos x)=2×(1+1)=4.5.14 J[解析] W=(4x-1)d x=(2x2-x)=14(J).6.B[解析] (sin x-a cos x)d x=(-cos x-a sinx)=--a+1,∴--a+1=-,∴a=.7.A[解析] 令y=,则(x-1)2+y2=1(y≥0),表示的是以(1,0)为圆心,半径为1的圆在x 轴上方的半圆,所以d x=π×12=.8.C[解析] 由已知+=2,φ∈0,,得到sin φ=cos φ=,所以tan φ=1,所以(x2-2x)d x=(x2-2x)d x=x3-x2=.9.D[解析] 阴影部分的面积S=(cos x-sin x)d x+(sin x-cos x)d x=(sin x+cosx)+(-cos x-sin x)=-1+1+=2.10.A[解析] ∵f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,∴f(x)=x2+x,于是f(-x)d x=(x2-x)d x=x3-x2=,故选A.11.π+2[解析] (+x)d x=d x+x d x,令y=,得x2+y2=4(y≥0),圆x2+y2=4的面积为4π,由定积分的几何意义可得,d x=π,又x d x=x2=2,∴(+x)d x=π+2.12.[解析] ∵f(x)=ax2+b,f(x)d x=3f(x0),∴(ax2+b)d x=ax3+bx=9a+3b,则9a+3b=3a+3b,∴=3,又x0>0,∴x0=.13.[解析] 如图所示,图中阴影部分的面积S=x-d x=x2-ln x=.14.2-[解析] 令2sin x=1(0≤x≤π),即sin x=,可得x=或,∴曲线y=2sin x(0≤x≤π)与直线y=1交于点A,1和B,1,因此,围成的封闭图形的面积S=(2sinx-1)d x=(-2cos x-x)=-2cos---2cos-=2-.15.A[解析] ∵当0≤x≤时,f(x)=cos x-1,∴当<x≤π时,0≤π-x<,f(x)=f(π-x)=cos(π-x)-1=-cos x-1,∴f(x)=所以当0≤x≤π时,f(x)的图像与x轴所围成图形的面积S=-(cos x-1)d x-(-cos x-1)d x=(1-cosx)d x+(cos x+1)d x=(x-sin x)+(sin x+x)=π-2.16.[解析] 因为f(x)=x3-x2+x+1,所以f'(x)=3x2-2x+1,f'(1)=2,则函数f(x)=x3-x2+x+1的图像在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.作出草图(如图所示),则所求阴影部分的面积S=(2x-x2)d x=x2-x3=.。
高考数学一轮复习 第15章 定积分与微积分基本定理 理
2014届高考数学（理）一轮复习 15 定积分与微积分基本定理一、选择题1． ∫10(e x＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：∵被积函数e x＋2x 的原函数为e x＋x 2，∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)| 10＝(e 1＋1)－(e 0＋0)＝e.答案：C2．自由落体的运动速度v ＝gt (g 为常数)，则当t ∈[1,2]时，物体下落的距离为( ) A.12g B ．g C.32gD ．2g解析：距离S ＝∫21gt d t ＝12gt 2| 21＝32g .答案：C3．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0＝( ) A ．±1B. 2C ．± 3D ．2解析：∫30f (x )d x ＝∫30(ax 2＋b )d x ＝(a3x 3＋bx )| 30＝9a ＋3b ＝3f (x 0)．∴f (x 0)＝3a ＋b ＝ax 20＋b ，∴x 20＝3，∴x 0＝± 3. 答案：C4．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则∫21f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23D.16解析：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是∫21f (－x )d x ＝∫21(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)| 21＝56.答案：A5．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1C.32D. 3解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分cos x d x ＝sin x＝32－(－32)＝ 3. 答案：D6．若(x 2－1ax )9(a ∈R)展开式中x 9的系数是－212，则∫a0sin x d x 等于( )A ．1－cos 2B ．2－cos 1C ．cos 2－1D ．1＋cos 2解析：由题意得T r ＋1＝C r9(x 2)9－r(－1)r (1ax)r＝(－1)r C r 9x18－3r1a r，令18－3r ＝9得r ＝3，所以－C 391a 3＝－212，解得a ＝2，所以∫20sin x d x ＝(－cos x ) |20＝－cos 2＋cos 0＝1－cos 2.答案：A 二、填空题7．已知a ∈[0，π2]，则当∫a0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：∫a0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a0＝sin a ＋cos a －1 ＝2sin(a ＋π4)－1，∵a ∈[0，π2]，∴当a ＝π4时，2cos(a ＋π4)－1取最大值．答案：π48．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]1x，x ∈1，e](e 为自然对数的底数)，则∫e0f (x )d x 的值为________．解析：∫e 0f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫e 11xd x＝13x 3| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43.答案：439.如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y ＝x2图象下方的点构成的区域，现在D 内随机取一点，则该点在E 中的概率为________．解析：由定积分的几何意义可得阴影部分的面积为S 阴＝2∫20x 2d x ＝23x 3| 20＝163，又S 正＝42＝16，所以由几何概型可得该点在E 中的概率为P ＝S 阴S 正＝16316＝13.答案：13三、解答题10．计算以下定积分． (1)∫21(2x 2－1x)d x ；(2) (sin x －sin 2x )d x ；(3)∫21|3－2x |d x .解：(1)∵y ＝2x 2－1x 的一个原函数是y ＝23x 3－ln x ，∴∫21(2x 2－1x )d x ＝(23x 3－ln x )|21＝(23×23－ln2)－(23×13－ln1)＝163－ln2－23＝143－ln2.(2)∵函数y ＝sin x －sin 2x 的一个原函数是y ＝－cos x ＋12cos 2x ，∴(sin x －sin 2x )d x ＝(12cos 2x －cos x )＝(12cos 2π3－cos π3)－(12cos 0－cos 0) ＝[12×(－12)－12]－(12－1) ＝－14－12＋12＝－14.(3)∵y ＝|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x 1≤x <32，2x －332≤x <2，∴∫21|3－2x |d x ＝|3－2x |d x ＋|3－2x |d x＝ (3－2x )d x ＋(2x －3)d x＝(3x －x 2)＋(x 2－3x )＝[3×32－23()2]－(3× 1－12)＋(22－3×2)－[(32)2－3×32]＝92－94－2＋(－2)－94＋92＝12.11．设f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(1)＝2， ∫10f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 其图象过点(1,0)， ∴a ＋b ＋c ＝0，①f ′(x )＝2ax ＋b 而f ′(1)＝2，∴2a ＋b ＝2.② 由∫10f (x )d x ＝0， ∴∫10(ax 2＋bx ＋c )d x ＝a3x 3＋b2x 2＋cx |1＝a 3＋b2＋c ＝0.③ 由①、②、③联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，c ＝1.∴f (x )＝3x 2－4x ＋1.12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )， 则∫x0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ， 即(12kx 2－13x 3) |x 0＝(13x 3－12kx 2) |2x . 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－12kx 2)，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)。
高考数学北师大理一轮复习 第章 导数及其应用 定积分与微积分基本定理 文档
1.定积分的定义给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)：将[a，b]区间分成n份，分点为a＝x0<x1<x2<…<x n－1<x n＝b.第i个小区间为[x i－1，x i]，设其长度为Δx i，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在[x i－1，x i]上的值最大.设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δx i＋…＋f(ξn)Δx n.在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在[x i－1，x i]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δx i＋…＋f(ζn)Δx n.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于某一个固定的常数A，称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分.记作ʃb a f(x)d x，即ʃb a f(x)d x＝A.2.定积分的性质①ʃb a1d x＝b－a.②ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x.③ʃb a[f(x)±g(x)]d x＝ʃb a f(x)d x±ʃb a g(x)d x.④ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x.3.微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方.( × )(4)若f (x )是偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .( √ )(5)若f (x )是奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.( √ )(6)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )1.若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A.－1B.－13C.13D.1答案 B解析 令ʃ10f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(x 2＋2m )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 2.直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2 2B.4 2C.2D.4答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点A (2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积.S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝(2x 2－14x 4)|20＝8－14×24＝4，故选D.3.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A.1＋25ln5 B.8＋25ln 113C.4＋25ln5D.4＋50ln2答案 C解析 令v (t )＝0得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝(7t －32t 2＋25ln(1＋t ))40|＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.4.ʃ1－1e |x |d x ＝________. 答案 2e －2解析 ʃ1－1e |x |d x ＝2ʃ10e |x |d x ＝2ʃ10e x d x ＝2e x |10＝2e －2. 5.(教材改编)若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________.答案 3解析 ∵ʃT 0x 2d x ＝301|3T x ＝13×T 3＝9. ∴T 3＝27，∴T ＝3.题型一 定积分的计算例1 (1)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝________.(2)设f (x )＝错误!则ʃ错误!f (x )d x 等于( ) A.34B.45C.56D.不存在答案 (1)23(2)C解析 (1)ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x＝2ʃ10x2d x＝2·x33|1＝23.(2)如图，ʃ20f(x)d x＝ʃ10x2d x＋ʃ21(2－x)d x＝13x3|10＋(2x－12x2)|21＝13＋(4－2－2＋12)＝56.思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分.(1)若⎠⎜⎛π2(sin x－a cos x)d x＝2，则实数a等于()A.－1B.1C.－ 3D. 3(2)定积分ʃ20|x－1|d x＝________.答案(1)A(2)1解析(1)⎠⎜⎛π2(sin x－a cos x)d x＝(－cos x－a sin x)⎪⎪⎪⎪π2＝－a＋1＝2，a＝－1.(2)ʃ20|x－1|d x＝ʃ10|x－1|d x＋ʃ21|x－1|d x＝ʃ10(1－x)d x＋ʃ21(x－1)d x＝(x－x22)|1＋(x22－x)|21＝(1－12)＋(222－2)－(12－1)＝1.题型二定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝________.答案 π2＋e －1e －2解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x . 因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 即ʃ1－11－x 2d x ＝π2，而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e－2.命题点2 利用定积分求平面图形面积例3 (1)如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23 B.13 C.12D.14(2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为43，则k ＝________.答案 (1)D (2)2解析 (1)由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝⎠⎜⎛012(14－x 2)d x ＋⎠⎛121(x 2－14)d x ＝(14x －13x 3)⎪⎪⎪⎪120＋(13x 3－14x )⎪⎪⎪112＝14.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为ʃk 0(kx －x 2)d x ＝(k 2x 2－13x 3)|k 0＝k 32－k 33＝43，即k 3＝8，解得k ＝2. 思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案.(1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A.9πB.3πC.94π D.92π (2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________. 答案 (1)C (2)163解析 (1)由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )11|-＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163.题型三 定积分在物理中的应用例4 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6s 间的运动路程为______m.答案494解析 由图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ， 0≤t ≤1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3≤t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得()61361113221d 2d 2d (1)d 3s t t t t t t t =⎰⎰⎰⎰＝＋＋＋v213261132149|2|()|(m)64t t t t =+++= 所以物体在12s ～6s 间的运动路程是494m.思维升华 定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为____________. 答案 342解析 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝ʃ101F (x )d x ＝ʃ101(x 2＋1)d x＝(13x 3＋x )|101＝342， 即变力F (x )对质点M 所做的功为342.5.利用定积分求面积时易错点典例 已知函数y ＝F (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)，则函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________.易错分析 本题在根据函数图像写分段函数时易错，导致不能正确写出积分式；另外，求原函数时也易出错.解析 由题意，F (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1，则xF (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，所以函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为1122210210(1010)x dx x x dx +-+⎰⎰13231201210101011051015|(5)|(5)()333834384x x x =+-=⨯+---⨯=. 答案 54温馨提醒 (1)利用定积分求图形的面积要根据图形确定被积函数和积分上、下限，运用微积分基本定理计算定积分，求出图形面积.(2)注意区分定积分和图形面积的关系：定积分是一个数值，可正可负；而图形面积总为正.[方法与技巧]1.求定积分的基本方法：(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a ).(2)利用定积分的几何意义求定积分.2.对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间. [失误与防范]1.若定积分的被积函数为分段函数，要分段积分然后求和.2.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1.定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1答案 C解析 ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C.2.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A.1B.π4 C.223 D.22－2答案 D解析 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，解得x ＝π4.故图中阴影部分的面积4204(cos sin )d (sin cos )d S x x x x x x πππ=-+-⎰⎰4204(sin cos )|(cos sin )|x x x x πππ=++--sincos cos 0[(cos sin )(cos sin )]442244ππππππ=+-+----- ＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)3.一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A.3JB.233JC.433J D.23J答案 C解析 ∵ʃ21F (x )cos30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x 32134[(5)])|3,323x x 1=-⨯=∴F (x )做的功为433J.4.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( )A.2π5B.43 C.32 D.π2答案 B解析 根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0). 因为f (x )的图像过(0,1)点，所以－a ＝1， 即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x＝2(x －13x 3)|10＝2(1－13)＝43.5.若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A.－1B.0C.1D.2答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图像与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是一个圆心为(－1,0)，半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图像应为14个圆，于是得m ＝－1，故选A.6.ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝________. 答案 π2解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ，根据定积分的几何意义可知ʃ1－11－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积，即ʃ1－11－x 2d x ＝π2，ʃ1－1x d x ＝12x 2|1－1＝0， ∴ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝π2. 7.由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________. 答案 3解析 所求面积3333cos d sin |S x x x ππππ--==⎰ ＝sin π3－(－sin π3)＝ 3. 8.一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦.答案 36解析 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ205d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x＝5×2＋(32x 2＋4x )|42 ＝10＋[32×42＋4×4－(32×22＋4×2)] ＝36(焦).9.求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积.解由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x，y＝2－x得交点A(1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y＝2－x，y＝－13x得交点B(3，－1).故所求面积S＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x＋13x d x＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x＋13x d x32123201211()|(2)|363x x x x=++-＝23＋16＋43＝136.10.在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t(单位：s)所走过的路程s＝4t2(单位：m)，若介质阻力F与物体的运动速度v成正比，且当v＝10m/s时，F＝5 N，求物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功.解∵物体经过时间t所走过的路程s＝4t2，∴速度v(t)＝s′＝8t.设F＝k v(t)，由“当v＝10m/s时，F＝5N”知k＝12，∴F＝4t.d W＝F d s＝4t·d(4t2)＝32t2d t.∵s∈[1,4]，∴t∈[12，1]，∴物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功31211122322832|(J)33tW t dt===⎰.B组专项能力提升(时间：15分钟)11.若f(x)＝x2＋2ʃ10f(x)d x，则ʃ10f(x)d x等于()A.－1B.－13C.13D.1答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10 ＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13.故选B. 12.若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1答案 B解析 方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln2<lne ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.13.由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( ) A.2B.3C.1D.8 答案 A解析 (22333200228()|333m m S m dx mx x m m =-=-=-=⎰，解得m ＝2. 14.汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s 至第2s 间的1s 内经过的路程是________m.答案 6.5解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )|21 ＝32×4＋4－(32＋2)＝10－72＝132(m).15.已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为________.答案 29解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝3221021()|32ax a x -＝－12a 2＋23a ，由二次函数的性质可得f (a )max ＝－(23)24×(－12)＝29.。
2015年高考数学第一轮复习资料16(定积分与微积分基本定理)
学案16 定积分及其简单的应用自主梳理1．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分的几何意义是直线_______________所围成的曲边梯形的________．2．定积分的性质 (1)ʃb a kf (x )d x ＝__________________ (k 为常数)； (2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝_____________________________________； (3)ʃb a f (x )d x ＝_______________________________________. 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F (b )－F (a )记成__________________，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．4．定积分在几何中的应用(1)当x ∈[a ，b ]且f (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.(2)当x ∈[a ，b ]且f (x )<0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.(3)当x ∈[a ，b ]且f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝______________________.(4)若f (x )是偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x ；若f (x )是奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0. 5．定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )[v (t )≥0]在时间区间[a ，b ]上的定积分，即________________________．(2)变力做功公式一物体在变力F (x )(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )(单位：m)，则力F 所做的功W ＝__________________________.自我检测1．计算定积分ʃ503x d x 的值为 ( ) A.752 B ．75 C.252D ．25 2．定积分ʃ10[1－(x －1)2－x ]d x 等于 ( ) A.π－24 B.π2－1 C.π－14 D.π－123．如右图所示，阴影部分的面积是 ( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3534．(2010·湖南)ʃ421xd x 等于 ( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 25．若由曲线y ＝x 2＋k 2与直线y ＝2kx 及y 轴所围成的平面图形的面积S ＝9，则k ＝________.探究点一 求定积分的值 例1 计算下列定积分： (1)2111()ex dx x x++⎰；(2)20sin 2cos )x x dx π-⎰（；(3)ʃπ0(2sin x －3e x ＋2)d x ；(4)ʃ20|x 2－1|d x .解 (1)ʃe 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝ʃe 1x d x ＋ʃe 11x d x ＋ʃe 11x 2d x ＝12x 2|e 1＋ln x |e1－1x|e 1 ＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝⎛⎭⎫1e －11＝12e 2－1e ＋32. (2)ʃπ20(sin x －2cos x )d x ＝ʃπ20sin x d x －2ʃπ20cos x d x ＝(－cos x )|π20－2sin x |π2＝－cos π2－(－cos 0)－2⎝⎛⎭⎫sin π2－sin 0＝－1. (3)ʃπ0(2sin x －3e x ＋2)d x ＝2ʃπ0sin x d x －3ʃπ0e x d x ＋ʃπ02d x ＝2(－cos x )|π0－3e x |π0＋2x |π0＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(e π－e 0)＋2(π－0)＝7－3e π＋2π.(4)∵0≤x ≤2，于是|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，1<x ≤2，1－x 2，0≤x ≤1，∴ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |21＝2.变式迁移1 计算下列定积分：(1)ʃ2π0|sin x |d x ；(2)ʃπ0sin 2x d x .探究点二 求曲线围成的面积例2 计算由抛物线y ＝12x 2和y ＝3－(x －1)2所围成的平面图形的面积S .解 作出函数y ＝12x 2和y ＝3－(x －1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2，y ＝3－(x －1)2，得⎩⎨⎧x ＝－23，y ＝29或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 所以两曲线交点为A ⎝⎛⎭⎫－23，29，B (2,2)． 所以S ＝ʃ2－23[3－(x －1)2]d x －ʃ2－2312x 2d x ＝ʃ2－23(－x 2＋2x ＋2)d x －ʃ2－2312x 2d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋2x 2－23－⎪⎪16x 32－23＝⎝⎛⎭⎫－83＋4＋4－⎝⎛⎭⎫881＋49－43－16×⎝⎛⎭⎫8＋827＝42027. 变式迁移2 计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．探究点三 定积分在物理中的应用例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程．解 方法一 由速度—时间曲线易知．v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ∈[0，10)，30，t ∈[10，40)，－1.5t ＋90，t ∈[40，60]，由变速直线运动的路程公式可得：s ＝ʃ1003t d t ＋ʃ401030d t ＋ʃ6040(－1.5t ＋90)d t ＝32t 2|100＋30t |4010＋⎝⎛⎭⎫－34t 2＋90t |6040＝1 350 (m)． 答 此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m. 方法二 由定积分的物理意义知，汽车1 min 内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x 轴围成梯形的面积，∴s ＝12(AB ＋OC )×30＝12×(30＋60)×30＝1 350 (m)．答 此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.变式迁移3 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t m/s ，到C 点时速度达24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离；(2)B 、D 间的距离； (3)电车从A 站到B 站所需的时间．函数思想的应用例 (12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.[2分]S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝ʃ1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.[4分] 所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．[6分]令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.[8分] t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.[10分]所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.[12分]一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列值等于1的积分是 ( )A ．ʃ10x d xB ．ʃ10(x ＋1)d xC ．ʃ1012d x D ．ʃ101d x 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ≤1，3－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于 ( )A.13B.176 C ．6 D ．17 3．已知f (x )为偶函数且ʃ60f (x )d x ＝8，则ʃ6－6f (x )d x 等于 ( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．164曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为 ( )A ．ʃπ20(sin x －cos x )d xB ．2ʃπ40(sin x －cos x )d xC ．ʃπ20(cos x －sin x )d xD ．2ʃπ40(cos x －sin x )d x5．(2011·临渭区高三调研)函数f (x )＝ʃx0t (t －4)d t 在[－1,5]上 ( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值二、填空题(每小题4分，共12分)6．若1 N 的力使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力做的功为__________J.7．ʃ10(2x k＋1)d x ＝2，则k ＝________.8．若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则ʃ30f (x )d x ＝________. 三、解答题(共38分)9．(12分)计算以下定积分：(1)ʃ21⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(3)ʃπ30(sin x －sin 2x )d x ； (4)ʃ21|3－2x |d x .10．(12分)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．11．(14分)求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2，y ＝e －1所围成的平面图形的面积．。
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课时作业(十五) [第15讲 定积分与微积分基本定理]
(时间：30分钟 分值：80分)
基础热身
1．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 和直线x ＝0，x ＝π2
所围成的平面区域的面积为( ) A ．∫π2
0(sin x －cos x)d x B ．2∫π4
0(sin x －cos x)d x C ．∫π2
0(cos x －sin x)d x D ．2∫π4
0(cos x －sin x)d x 2．已知二次函数y ＝f(x)的图像如图K 151所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )
图K 151
A .2π5
B .43
C .32
D .π2
3．定积分⎠⎛0
1(2x ＋e x )d x 的值为( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．e D ．e －1
4．[2014·惠州一调] 一物体在力F(x)＝⎩
⎨⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x>2(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m )处，则力F(x)做的功为( )
A ．36 J
B ．38 J
C ．48 J
D ．56 J
5．[2014·福建六校联考] 若⎠⎛0
1(3x 2＋kx)d x ＝3，则k ＝________． 能力提升
6．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛1
2e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 2<S 3<S 1
D ．S 3<S 2<S 1
图K 152
7．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f ′(x)的图像如图K 152所示，则f(x)的图像与x 轴
所围成的封闭图形的面积为( )
A .13
B .43
C ．2
D .83
8．若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛0
1f(x)d x ＝( ) A ．－1 B ．－13 C .13
D ．1 9．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )
A ．1＋25ln 5
B ．8＋25ln 113
C ．4＋25ln 5
D ．4＋50ln 2
10．曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形面积是________．
11.⎠⎛0
1(1－x 2－x)d x ＝________． 12．(13分)如图K 153所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．
图K 153
难点突破
13．(1)(6分)已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )的图像如图K154所示，
图K154
它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数的图像所围区域(图中阴影部分)的面积为112
，则a 的值为________．
(2)(6分)曲线y ＝1x
＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．
课时作业(十五)
1．D 2.B 3.C 4.A 5.4 6.B 7.B 8.B
9．C 10.13 11.π4－12
12．k ＝1－3
42
13．(1)－1 (2)e 2e。