中考数学一轮复习第22讲相似三角形及其应用导学案
【九年级】相似三角形导学案
【九年级】相似三角形导学案4.2相似三角形[学习目标]1．了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似.2.能够使用相似三角形的概念来判断两个三角形的相似性3．理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质.[学习重点和难点]学习重点：相似三角形的概念学习难点：找出特定图形中相似三角形的对应边，写出比例公式。
你需要有一定的决心［前自学，中交流］一、合作学习与探索新知识1、将图1中△abc的边长缩小到原的，并画在图1中,记为△（点，，分别对应点a，b，c）.问题讨论1：相应角度之间的定量关系是什么△ 和△ ABC？问题讨论二：△与△abc对应边之间有什么数量关系？图12、（1）相似三角形的定义：（2）如果△ 类似于△ ABC，马克△ ABC和阅读：△ 基础知识（3）几何语言表述图1中△与△abc相似：∵∠a=，∠b=，∠c=∴△△abc3.（1）相似三角形的性质：（2）相似三角形对应边的，叫做相似三角形的相似比（或相似系数）。
两者之间的相似性比率是多少△ 和△ 图1中的ABC？两者之间的相似性比率是多少△ ABC和△?二、应用新知例1如图2所示，D和E分别是AB侧和AC侧的中点。
验证：△ 艾德≓△ 基础知识找一找：已知：如图2，图3，图4,根据3个图形，分别写出他们的对应角和对应边的比例式.(1) △ 基础知识≓△ 阿德，公元前（2）△abc∽△ade，其中∠ade＝∠c(3) △ 基础知识≓△ 阿德，公元前例2如图2，△abc∽△ade.已知ad:db=1:2,bc=9?，求de的长.变量：如图5所示，△ 基础知识≓△ 艾德，艾德=2？，ab=6ac=4找出AE的长度［当堂训练］整合工作：1．下列说法正确的是：① 两个等腰三角形必须相似② 两个直角三角形必须相似③ 两个等边三角形必须相似④ 两个等腰直角三角形必须相似⑤ 两个全等三角形必须相似2.如图,d是ab上一点,△abc∽△acd,且a d:ac=2:3,ad=4,∠adc=65°,∠b=43°（1）计算∠ ACB和∠ ACD；(2)写出△abc与△acd的对应边成比例的比例式,求出相似比..3.在以下两组图形中，每组的两个三角形相似。
天元区第一中学九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教案
22.2 相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教学目标【知识与技能】使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.【过程与方法】1.类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.2.通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.【情感、态度与价值观】通过学习培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.重点难点【重点】直角三角形相似定理的应用.【难点】了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.教学过程一、复习引入师:我们学习了几种判定三角形相似的方法?学生回答:5种.师:哪5种?教师找一名学生回答,另一名或两名学生补充完善.师:其中判定定理1、2、3的证明思路是什么?生:作相似证全等或作全等证相似.师:同学们还记得什么是“勾股定理”吗?生:记得.师:请你叙述一下.学生回答.二、共同探究,获取新知1.推理证明.师:判定两个直角三角形是否全等时,除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法,那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢?教师多媒体课件出示:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=,判断Rt△ABC与Rt△A'B'C'是否相似,为什么?师:已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例,你能判断这两个直角三角形是否相似吗?学生思考、讨论后回答.师:我们知道了哪些条件?生甲:两个直角对应相等.生乙:两边对应成比例.师:你再添加什么条件就能证出这两个三角形相似呢?生:还有剩下的一边也是对应成比例的.师:为什么要这样添加呢?生:因为添加了这个条件,就可以根据三边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似了.师:那么你怎么证明它们也是对应成比例的呢?学生思考.生:设==k,则AB=kA'B'.AC=kA'C'.根据勾股定理BC可以用含AB、AC的式子表示,进而可以用含A'B'的式子表示,再用勾股定理就得到BC=kB'C',所以就得到了三边对应成比例,这两个三角形相似.师:你回答得太好了!现在请同学们写出具体的步骤,然后与课本上的对照,将不完善的地方改正.学生证明并修改.证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.∵BC===k=kB'C',∴===k,∴△ABC∽△A'B'C'.师:所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.2.例题.教师多媒体课件出示:【例】如图,∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b.问当BD与a、b之间满足怎样的函数表达式时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似?解:∵∠ABC=∠CDB=90°,当=时,△ABC∽△CDB.即=,BD=.又当=时,△ABC∽△BDC,即=,CD=.BD2=a2-()2,BD=.答:当BD=或BD=时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似.三、练习新知师:请同学们看课本84页练习1后回答.生甲:△ABF和△ACE.生乙:△EDB和△FDC.师:下面请同学们完成第2题.证明:(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形.∴∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD(同角的余角相等),又∠ADC=∠CDB=90°,∴△ADC∽△CDB(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∵CD2=AD·BD(比例的基本性质).(2)∴∠B=∠B(公共角),∠ACB=∠CDB,∴△ABC∽△CBD(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∵BC2=AB·BD(比例的基本性质).∴∠A=∠A(公共角).∠ACB=∠ADC,∴△ABC∽△ACD(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∴AC2=AB·AD(比例的基本性质).师:很好!现在请同学们看第3题.学生计算后回答,然后集体订正得到:解:(1)相似.证明如下:∵BC===6,∴==,==,∴=,∴这两个直角三角形相似.(2)相似.证明如下:∵A'B'===15,∴==,==,∴=,∴这两个直角三角形相似.四、巩固提高师:经过刚才的了解,同学们掌握得怎么样呢?让我出几道题目来考考大家.1.小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练,在用枪瞄准点B时要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A'.若OA=0.2m,OB=40 m,AA'=0.0015m,则小明射击到的点B'偏离目标点B的长度BB'约为( )A.3m【答案】B2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E点,且CD=2,DE=1,则BC 的长为( )A.2B.C.2D.4【答案】B3.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判断它们相似的是( )A.∠A=∠B'B.AC=BC,A'C'=B'C'C.AB=3BC,A'B'=3B'C'D.△ABC中有两边长为3、4,△A'B'C'中有两边长为6、8【答案】D4.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过点E作EF⊥AB于点F,则AF= .【答案】第4题图第5题图5.如图,正方形ABCD的边长为4,AE=MN=2,那么当CM= 时,Rt△ADE与Rt△MNC相似.(M为BC边上的动点,N为CD边上的动点)【答案】或6.如图,长梯AB靠在墙壁上,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,量得BD的长为55cm,请你求出梯子的长.【答案】设梯子的长AB为xcm,由Rt△ADE∽Rt△ABC,得=,∴=,解得x=440.∴梯子的长是440cm.五、课堂小结师:直角三角形相似的判定除了本节定理外,前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用,所以在证明两个直角三角形相似时不要忘了用证任意三角形相似的方法,在做题时要灵活选用合适的方法.在证明四条线段之间的关系时我们可以考虑证它们所在的两个三角形相似.教学反思教师在讲解例题时,应指出要使△ABC∽△CDB,应有点A与C,B与D,C与B成对应点,对应边分别是斜边和一条直角边,还可提问:(1)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC∽△BDC?(答案:当=时△ABC∽△BDC,即=,BD=.因此,当BD=时,△ABC∽△BDC)(2)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC与△BDC相似(不指明对应关系)?(答案:当BD=时,△ABC∽△CDB;当BD=时,△ABC∽△BDC)探索性题目是已知命题的结论,寻找使结论成立的题设,是探索充分条件,所以有一定难度,教材中为了降低难度,在例4中给了探索方向,即“当BD与a、b满足怎样的关系式时”,这种题目体现分析问题的思维方法,对培养学生研究问题的习惯有好处,教师要给予足够重视,但由于有一定的难度,只要求学生了解这类问题的思考方法,不应提高要求或增加难度.第2课时何时获得最大利润1．经历探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值．重点会根据实际问题列出二次函数关系式，并能运用二次函数的知识求出其最大(小)值．难点分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确地列出二次函数关系式．一、情境导入前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2＋c，最后是y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k，y ＝ax2＋bx＋c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢？看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢？我们本节课将研究有关问题．二、探究新知1．课件出示：服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．厂家批发单价是多少时，可以获利最多？设批发单价为x(0<x≤13)元，那么(1)销售量可以表示为____________；(2)销售额可以表示为____________；(3)所获利润可以表示为____________；(4)当批发单价是____元时，可以获得最大利润，最大利润是____．分析：获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(批发价一成本)乘T恤衫的数量，设批发单价为x元，则降低了(13－x)元，每降低0.1元，可多售出500件，则可多售出5 000(13－x)件，因此共售出5 000＋5 000(13－x)件，若所获利润用y(元)表示，则y ＝(x－10)[5 000＋5 000(13－x)]．解：(1)销售量可以表示为5 000＋5 000(13 －x)＝70 000－5 000x.(2)销售额可以表示为x(70 000－5 000x)＝70 000x－5 000x2.(3)所获利润可以表示为(70 000x－5 000x2)－10(70 000－5 000x)＝－5 000x2＋120 000x－700 000.(4)设总利润为y元，则y＝－5 000x2＋120 000x－700 000＝－5 000(x－12)2＋20 000∵－5 000＜0 ，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x＝12元时，y最大＝20 000元．即当销售单价是12元时，可以获得最大利润，最大利润是20 000元．2．课件出示：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？处理方式：让学生根据上面的利润问题的解法来解决这道题．三、举例分析例 1 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x ＋60 000.我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流．因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．所以y＝－5x2＋100x＋60 000＝－5(x2－20x＋100－100)＋60 000＝－5(x－10)2＋60 500当x＝10时，y最大＝60 500.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？①当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．②由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60 400个以上．例2 已知一个矩形的周长是24 cm.(1)写出这个矩形的面积S与一边长a的函数表达式；(2)画出这个函数的图象；(3)当a长多少时，S最大？解：(1)S＝a(12－a)＝－a2＋12a＝－(a2－12a＋36－36)＝－(a－6)2＋36.(2)图象如下：(3)当a＝6时，S最大＝36.四、练习巩固1．关于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有下列命题：①当c ＝0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根； ③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是4ac －b24a；④当b ＝0时，函数的图象关于y 轴对称． 其中正确命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值为0，那么c 的值等于( ) A ．4 B ．8 C ．－4 D ．163．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8 元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．用二次函数解决实际问题有哪些步骤？ 六、课外作业1．教材第49页“随堂练习”．2．教材第50页习题2.9第1～3题．本节课是应用函数模型分析与解决最大利润问题．例题中的实际问题司空见惯，但学生没有亲身经历，在上课前可以让学生利用课余时间对学校的商店做一个简单的调查，锻炼学生的实践能力．数学教学不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律．强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.二次函数与一元二次方程的关系教学目标【知识与技能】1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.【过程与方法】经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系，进一步体会数形结合的思想.【情感态度】通过自主学习，小组合作，探索出二次函数与一元二次方程的关系，感受数学的严谨性，激发热爱数学的情感.教学重点①理解二次函数与一元二次方程的联系.②求一元二次方程的近似根.教学难点理解二次函数与一元二次方程的联系.教学过程一、情境导入，初步认识1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c，当 y=0 时，自变量x 的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标 .2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点.学生回答，教师点评二、思考探究，获取新知探究1 求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标y=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根.解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3，x2=-1，所以抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1.【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令y=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根.探究2 抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？【教学说明】抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况b2-4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac＞0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac＜0探究3 利用函数图象求一元二次方程的近似根提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-6=0的较小的根是什么？学生回答：【教学点评】x1≈-1.7.三、运用新知，深化理解1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根2.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根，则抛物线y=-x2+mx-n图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限3.（x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根为α，β，则α，β的范围为（）A.α＜1，β>2B.α＜1＜β＜2C.1＜α＜2＜βD.α＜1，β＞24.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)，则方程ax2+bx+c=0的解为 .5.(湖北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴的正半轴于点C，且x21+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D（0，-）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.学生解答:【答案】1.D 2.C 3.D 4.x1=1，x2=35.解：（1）y=x2-4x+3 (2)存在 y=x-【教学说明】一元二次方程的根的情况和二次函数与x轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师点评:①求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；②抛物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.③用函数图象求“一元二次方程的近似根”；教学反思通过本节课的学习，让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取某一特值时，把对应的自变量的值都联系起来了，这样对二次函数的综合应用就方便得多了，从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.11。
人教版数学九年级中考复习课《相似三角形》教学设计
5.写作任务：结合本节课所学内容，撰写一篇关于相似三角形在实际生活中的应用的小论文，要求不少于500字，以提高学生的写作能力和几何应用意识。
注意事项：
1.作业布置要注意分层设计，使不同层次的学生都能得到适当的锻炼和提高；
2.鼓励学生独立思考，遇到问题时积极寻求解决方法，培养自主学习能力；
2.逻辑思维能力：运用相似三角形的性质和判定方法解决具体问题，培养学生的逻辑思维；
3.团队合作能力：分组讨论，共同探究相似三角形的性质和应用，培养学生的团队协作精神；
4.解决问题能力：将相似三角形的知识应用于解决实际生活中的问题，提高学生解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.积极主动：鼓励学生积极参与课堂讨论，主动探究相似三角形的性质和应用；
c.相似三角形在实际问题中如何应用？
2.汇报交流：各小组汇报讨论成果，分享解题思路和方法，教师进行点评和指导。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：
a.判断两个三角形是否相似，并说明理由；
b.利用相似三角形的知识解决实际问题；
c.证明相似三角形的性质。
3.相似三角形的判定方法：讲解AA、SAS、SSS等判定方法，结合实例进行解释，使学生理解并掌握。
4.相似三角形的应用：介绍相似三角形在实际问题中的应用，如测量物体的高度、计算图形的面积等。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
a.相似三角形的性质有哪些？
b.如何判断两个三角形是否相似？
（2）终结性评价：通过课后作业、测试等形式，评价学生对相似三角形知识的掌握程度；
中考数学一轮复习第22讲相似三角形及其应用导学案
第22讲相似三角形及其应用一、知识梳理相似图形的有关概念相似图形形状相同的图形称为相似图形相似多边形定义如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等，那么这两个多边形相似相似比相似多边形对应边的比称为相似比k相似三角形两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等比例线段定义防错提醒比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位黄金分割在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果________，那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________一条线段的黄金分割点有______个平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线),所得的对应线段的比________相似三角形的判定判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________判定定理2 如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似判定定理3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那么这两个三角形相似判定定理4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两个三角形相似拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相似三角形及相似多边形的性质三角形(1）相似三角形周长的比等于相似比(2）相似三角形面积的比等于相似比的平方（3）相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似多边形(1)相似多边形周长的比等于相似比(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方位似位似图形定义两个多边形不仅相似,而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心位似与相似关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行位似图形的性质（1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________;（2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点；（3）位似图形对应边______(或在一条直线上）；（4）位似图形对应角相等以坐标原点为中心的位似变换在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________位似作图(1）确定位似中心O；(2）连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；(3）按照相似比取点；（4）顺次连接各点，所得图形就是所求的图形相似三角形的应用几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系,求线段的长度,图形的面积大小等相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解；（2)测量底部可以达到的物体的高度;（3)测量底部不可以到达的物体的高度；（4）测量不可以达到的河的宽度二、题型、技巧归纳考点一:比例线段例1已知直线a∥b∥c,直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F,AC＝4,CE＝6，BD＝3，则BF＝( ）A．7 B．7。
中考数学一轮复习课件第22讲相似三角形
如图,位似中心是
,
位似比是
.
自学检测2:(3+3分钟)
1.已知线段AB的长度为2,C是线段AB的黄金分
割点,则AC=
或
.
2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交
于点P,点P是BD的黄金分割点(BP＞PD),
已知AD=1,则BC的长为
.
3.已知,△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别 为A(0,3),B(3,4),C(2,2). (1)以点B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使 △A2BC2与△ABC位似,且位似比为2:1,并直接写出 △A2BC2的面积.
e f
… m （k b+d+f…+n≠0）
n
则
K
自学检测1:(7分钟)
1.已知3x=4y(x≠0),则下列式子成立的是( )
A. x y 34
B. x y 43
C. x 3 y4
D. x 4 3y
2.已知线段AB=15 mm,CD=3 cm,则线段AB
与CD的比为
；
3.已知a,b,c,d是成比例线段,其中 a=4cm,b=2cm,c=8cm,则线段d的长为 .
边上的中线之比是
,周长之比是
.
2.有一个三角形的边长为3，4，5,另一个和它
类似的三角形的最小边长为7,则另一个三角形的
周长为
.
3.如图,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、
BD,且AE、BD交于点F,S△DEF:S△ABF=4:25,
则DE:EC=
.
44..如如图图,,△△AABBCC被中线,D段F∥DEG、∥FBGC分且成A面D积=D相E等=B的E, 三则则 为部D△E分A:FB,即GC:S.被B1C=分S=成2=的S三3,且部.D分E的∥面FG积∥比BSC1,:S2:S3
2022年初中数学精品《相似三角形的应用》导学案
25.6 相似三角形的应用学习目标：理解并掌握运用相似三角形测量物体高度和宽度的方法.学习重点：运用相似三角形测量.学习难点：相似三角形的性质和判定的综合应用.一、知识链接1.如何判定两个三角形相似？答：________________________________________.2.相似三角形的性质有哪些？答：________________________________________.3.我们学过哪些方法测量物体的高度和宽度？答：________________________________________.二、新知预习3.如图，有些空心圆柱形机械零件的内径是不能直接测量的，往往需要使用教程卡钳进行测量，图中为一个零件的剖面图，它的外经为a，内径AB未知，现用交叉卡钳去测量，假设1OC ODOA OB m==，CD=b，那么这个零件的内径为多少？零件的壁厚x又是多少？〔用含有a、b、m的代数式表示〕解：∵1OC ODOA OB m==，∠_____=∠_____.∴△______∽△______. ∴______1 m又∵CD=b，∴AB=_____,x=_______.故这个零件的内径为_________零件的壁厚x是______.2.如图，在学校操场上，高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.如何测量学校操场上旗杆的高度呢？某同学给出了一种测量方法，你能根据其设计出其他的方案吗？解：三、自学自测1.如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝6m，那么池塘的宽DE为()A．25m B．30m C．36m D．40m2.如图，小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A25米，离路灯B5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为()B ．8米四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：相似三角形测物体的高度例1：如下图，身高为1.6m 的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m ，旗杆在地面上的影长为8m ，那么旗杆的高度是多少呢？例2：：如图①，在离某建筑物CE 4m 处有一棵树ABFG 垂直地面放置，影子GH 长为2m ，此时树的影子有一局部落在地面上，还有一局部落在建筑物的墙上，墙上的影子CD 高为2m ，那么这棵树的高是多少？〔提示如图②③④中辅助线〕解：【针对训练】赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一局部在地面上，另一局部在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，那么学校旗杆的高度为__________米．探究点2：相似三角形测物体的宽度例3：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.〔精确到0.1米〕【针对训练】如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20mm，两个路灯的高度都是9m，那么两路灯之间的距离是()A．24m B．25m C．28m D．30m二、课堂小结1.如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连结AC，BC，并分别取线段A C，BC的中点E，F，测得EF＝20m，那么AB＝__________m.2.如下图，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.假设AC＝3，CE＝4，ED＝8，那么BD＝________.3.如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.小明的眼高1.6m，求树的高度.mm2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图(1)，乙设计方案如图(2)．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由(加工损耗忽略不计，计算结果可保存分数)．(1)(2)当堂检测参考答案：1.402.63.过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，所以∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°，所以AB∥EF∥CD，所以∠EMA＝∠CNA.因为∠EAM＝∠CAN，所以△AEM∽△ACN，所以EMCN＝AMAN.因为AB＝1.6m，EF＝2m，BD＝27m，FD＝24m，所以错误!＝错误!，所以CN＝3.6〔m〕，所以CD＝3.6＋1.6＝5.2〔m〕.故树的高度为5.2m.4.m，S△ABC m2，可得BC＝2m.(1)(2) 由图(1)，假设设甲设计的正方形桌面边长为xm.由DE ∥AB ，得R t △CDE ∽R t △CBA ， 所以x AB ＝BC －x BC ，即x 1.5＝2－x 2， 所以x ＝67m .由图(2)，过点B 作R t △ABC 斜边上的高BH 交DE 于P ，交AC 于H. 由AB ＝1.5，BC ＝2，得AC ＝AB 2＋BC 2＝错误!＝2.5 (m )． 由AC·BH ＝AB·BC ，可得 BH ＝AB·BC AC ＝1.5×22.5＝1.2 (m )．设乙设计的桌面的边长为ym .因为DE ∥AC ，R t △BDE ∽R t △BAC ， 所以BP BH ＝DEAC.即1.2－y 1.2＝y 2.5，解得y ＝3037m .因为67＝3035＞3037，所以x 2＞y 2.故甲同学设计的方案较好．第1课时线段垂直平分线的性质定理学习目标：1.掌握线段垂直平分线的性质定理的证明和简单应用.〔重点〕2.会用尺规作线段的垂直平分线及过点作直线的垂线过程.〔难点〕学习重点：线段垂直平分线的性质定理.学习难点：线段垂直平分线的性质定理的运用.自主学习三、知识链接1.如图，以下哪些图形是轴对称图形？请把轴对称图形的对称轴画出来.四、新知预习2.如图，线段AB和它的中垂线l，O为垂足.在直线l上取一点P，连接PA，PB.线段PA和线段PB有怎样的数量关系？54D BAC猜测：_____________________________________________________. 证明如下：：如图，线段AB 和它的垂直平分线l ，垂足为O ，点P 为直线l 上任意一点，连接PA ，PB. 求证：______________________. 证明：在△_______和△________中，∵___________________________________________, ∴△_______≌△________. ∴_______________________.于是我们得到线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离______. 三、自学自测1.如图1，EF 是△ABC 中BC 边上的垂直平分线，假设FC=5，那么BF=2.如图2， AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 〔1〕如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 〔2〕如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 〔3〕如果∠A=28度，那么∠EBC 是BACDEABE F图1 图2 图33.如图3，△ABC中AC>BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，AC=5，BC=4，那么△BCD 的周长是〔〕A．9 B．8 C．7 D．6四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________合作探究二、要点探究探究点1：线段垂直平分线的性质定理问题1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，假设△DBC 的周长为35cm，那么BC的长为( )A．5cm B．10cm C．15cm D．1【归纳总结】利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．【针对训练】1.撑伞时，把伞“两侧的伞骨〞和支架分别看作AB,AC和DB,DC，始终有AB=AC，DB=DC，那么伞杆AD与B,C的连线BC的位置关系为 _________.2.如下图，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D,E，假设∠DAE=50°，那么∠BAC= _____度，假设△ADE的周长为19 cm，那么BC=__________cm．探究点2：线段垂直平分线的性质定理的运用问题1：如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？(要求：尺规作图，保存作图痕迹，不写画法)【归纳总结】对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和根本作图的方法作图．【针对训练】如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，那么所需管道最短的是〔〕二、课堂小结内容线段的垂直线段垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离________.平分线解题策略三角形中与线段垂直平分线结合求周长：一般先根据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，把三角形的周长转化成两条线段的和甚至是一条线段的长．如：如图，DE垂直平分BC，那么有C△ABE＝AB＋BE＋AE＝AB＋(CE＋AE)＝AB＋________.当堂检测1.如图，BD是AC的垂直平分线，假设AD=1.6cm，BC=2.3cm，那么四边形ABCD的周长是( )2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,那么点P是△ABC ( )3.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,那么△BCE的周长是_______ cm.4.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，点A、B到河边的距离分别为AC、BD且AC=BD，点A、B到CD的中点的距离均为500m.牧童从A出把牛牵到河边饮水后再回家，请你设计出最短路线.当堂检测参考答案：1.B2.D3.164.。
人教版初三数学下册相似三角形导学案
学科养成：△ ABC 中，/ ACB= 90°, CDLAB 于 D,找出图中所有的相似三角形。
【教学过程】时间过程目标 教师活动及方法 学生活动及方法命题立意及思路 点拨形成性评价板书【目标1】知识回顾：1 •相似三角形的概念。
类比全等三角 【例1】已知：△ ABC A ' B ' C ',且相5/形的判定方法 似比为k ，AD 、A ' D '分别是△ ABC 、 △理2 •如何判定两个三角形相似？ 探索其它判定 A ' B ' C '对应边BC 、 B ' C ' 上的高，求证：1、性质1： 相解相似三角 形对应高的3、相似图形的性质有哪些？方法S ABC| 2-------- =k似三角形对应咼的比、对应中线提出问题：【探究】△ ABC 和厶A ' B ' C '是两个相似三角形，比等于相似比15/的比、对应角 1、问题：两个三相似比为k ，其中AD 、A ' D '分别为BC 、B ' C 'A2、性质2： 相平分线的比等于相似比角形相似，除了对边上的高，那么 AD 、A ' D '之间有什么关系？培养学生自/ %似三角形对应角分的这个性质， 应边成比例、对应4主探索问题，积线的比等于相似比并会应用这极参与，归纳概H 一些性质解决角相等之外，还有/括能力图 24.3.93、性质3:相问题.相其他的结论吗？似三角形对应中线同桌讨论，大胆图 24.3.9巩固新知的比等于相似比【目标2】 猜想【讨论】得 AD _AB1 •如果两个三角形相似，相似比为 3 : 5，那么对应4、性质4： 相知识点一：A D A B角的角平分线的比等于多少？经历探索相所以-AD-t =AB 知识系统化、准 2•相似三角形对应边的比为0. 4,那么相似比为似三角形的周长比似三角形的AD r A B确化，对应角的角平分线的比为，周长的比有关性质的知识迁移【结论】相似三角形对应咼的比等于为，面积的比为.等于相似比过程，掌握相2433相似三角形的性质--（导学案）【课程目标】15 似三角形性质的应用方法.【目标3】以探究的思想，培养学生积极进取的学习态度，发展学生的认知，使学生体会数学知识的应用价值.合作、交流、动手实践(画图说明)知识点二：三边对应成比例的两个三角形相似知识点三:判定两个三角形相似例题讲解【猜想】相似三角形对应中线、对应角分线、周长的比等于什么呢？【结论】相似三角形对应中线的比等于相似三角形对应角分线的比等于三角形相似性3 .如图，在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2 ,这两个三角形相似吗？如果相似，请给出证明，并求出-■: A1B1C1 和-■:A2 B2C2 的面积5、性质5:相似三角形的面积比等于相似比的平方例题相似三角形周长的比等于问题：图24. 3. 10中(1)、(2)、( 3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似.图24.3.10质方法的应用检验(2)与(1)(2)与(1)(3)与(1)(3)与(1)的相似比=的面积比=的相似比=的面积比=【猜想】相似三角形的面积比等于相似比的平方？【结论】相似三角形的面积比等于小结：1、性质1：相似三角形对应高的比等于相似比2、性质2：相似三角形对应角分线的比等于相似比3、性质3 :相似三角形对应中线的比等于相似比4、性质4 :相似三角形的周长比等于相似比5、性质5 :相似三角形的面积比等于相似比的平方本课的学习你体会到了哪些重要的数学思想？VL^识框^ 一厂相似三角形的性质性质方法的应用c作业：P59――练习1、2.比.AB 14、已知△ ABC A ' B ' C', 一，一,• = ,AB 边上AB 2的中线CD=4厘米，△ ABC的周长为20厘米，△ A'B 'C '的面积是64平方厘米，求：(1) A ' B '边上的中线C'D'的长(2)^ A ' B ' C'的周长(3)^ ABC的面积教学反思:。
中考数学一轮复习：第22课时相似三角形课件
No
第22课时 类似三角形
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3. (202X三明5月质检5题4分)如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面 积为3，则四边形DECB的面积为C( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
第3题图
No
第22课时 类似三角形
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命题点 3 类似三角形的实际应用
4. (202X厦门5月质检10题4分)据资料，我国古代数学家刘徽发展了测量不可到达的 物体的高度的“重差术”，如：通过下列步骤可测量山的高度PQ(如图) ： (1)测量者在水平线上的A处竖立一根竹竿，沿射线QA方向走到M处，测得山顶P、 竹竿顶点B及M在一条直线上； (2)将该竹竿竖立在射线QA上的C处，沿原方向继续走到N处，测得山顶P，竹竿顶 点D及N在一条直线上；
No
第22课时 类似三角形
典例“串”考点
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例 已知，△ABC和△DEF是大小不同，形状相同的两个三角形．
(1)如图①，△DEF绕点A旋转到如图位置，EF∥BC，若AE＝1，BE＝2，则＝ EF
1
BC
____3____；
例题图①
No
第22课时 类似三角形
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【提分要点】A字型： 有一个公共角(∠A)，此时需要找另一对角相等．若 题中未明确类似三角形对应顶点，则需要分类讨论．
第22课时 类似三角形
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第22课时 类似三角形
No
思维导图
1.比例的性质
2.黄金分割 3.平行线分 线段成比例
比例线段
1.性质 2.判定 3.判定思路
类似三角形
类似 三角形
类似多边形 及其性质
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1.定义 2.性质
【秋】沪科版九年级上第22章相似三角形复习导学案
九年级（上）数学导学案课题：第22章相似三角形复习编号9S040教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）学习目标：1、进一步复习巩固本章知识点.2、熟练地综合应用本章知识点解决实际问题.学习重点：综合应用本章知识点解决实际问题.预设难点：综合应用本章知识点解决实际问题.☆知识系统回顾☆一、知识结构二、知识填空1、去度量两条线段a、b，得到的叫做这两条线段的比.2、叫做成比例线段.3、比例的基本性质： .比例的合比性质： .比例的等比性质： .4、相似三角形的定义： .相似三角形的判定： ...对于两个直角三角形，除上述判定定理外，还有：.5、相似三角形的性质：.6、位似图形的定义： .如何用位似变换把一个图形放大或缩小？变换前后点的坐标有何变化？ .比例线段比例线段的性质相似三角形判定性质位似变换☆ 知识整合提升 ☆1、已知k yzx x z y z y x =+=+=+，求K 的值.2、已知在△ABC 中，AD 、CE 是△ABC 的高，AD 和CE 相交于点F ，请证明：AF ·FD = CF ·FE.3、如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD = 6,∠ABC = 60°，点E 、F 分别在线段AD 、DC 上（点E 与点A 、D 不重合），且∠BEF = 120°， 设AE = x ，DF = y.（1）求y 与x 的函数关系式； （2）当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？☆ 达标检测 ☆1、如图，AB ∥CD 且AD 与BC 相交于点P ，AB = 4，CD = 7 , AD = 10 , 则AP 的长等于（ ）. A 、1140 B 、407C 、1170D 、4702、如图，已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，找出位似中心.3、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F ，试说明： AE ·AB = AF ·AC.ABC 1B 1A 1C。
相似三角形的应用导学案
相似三角形的应用导学案【学习目标】1.会利用相似三角形的性质解决简单的实际问题。
2.了解利用相似三角形解决问题的方案。
3.发展学生的数学应用意识，树立学习的信心。
【重点】会利用相似三角形的性质解决简单的实际问题【难点】会设计利用相似三角形解决问题的方案。
【使用说明与学法指导】1.认真阅读课本P72-P74，会用相似三角形性质解决生活中的实际问题；并将书本中重要的定理用双色笔画上横线；并完成导学案，完成过程中将疑惑记录在“我的疑惑”栏内，准备课上讨论质疑；预习案一、预习导学：1.知识链接：相似三角形的性质有哪些？2.测量学校操场上旗杆的高度：操作：在旗杆影子的顶部立一根标杆，借助太阳光线构造相似三角形，旗杆AB 的影长BD a =米，标杆高FD m =米，其影长DE b =米，求AB ：分析：∵太阳光线是平行的∴∠____________＝∠____________又∵∠____________＝∠____________＝90°∴△____________∽△____________∴__________________，即AB=__________ 二、我的疑惑探 究 案探究一：测量宽度：如图，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，取AE 、BE 延长线上的C 、D 两点,使得CD ∥AB ，若测得CD ＝5m ，AD ＝15m ，ED=3m,则A 、B 两点间的距离为多少？D C探究二：如图，已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE当堂练习：测量高度：如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h．我的收获与反思：。
相似三角形导学案
《相似三角形》复习导学案教学设计滨海三中孙乐学学习目标：1、梳理相似三角形的定义、判定、性质，构建知识网络。
2、能够利用相似三角形的判定和性质解决问题，提高综合运用知识的能力。
3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．学习重点：相似三角形判定和性质的灵活应用学习难点：相似三角形判定和性质的综合应用【课前延伸学案】1. 对应角________、对应边_________的三角形叫做相似三角形。
2. 相似三角形的_________的比，叫做相似三角形的相似比。
可以用字母K表示。
△ ABC∽△A′B′C′,如果BC=3，B′C′=1.5，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为________.【课内探究学案】【自主探究】胡夫金字塔是世界上最大、最高的金字塔，埃及法老用10万个工匠耗费20年的时间终于建造完成。
但随之也产生一个难题：金字塔有多高？由于受当时条件限制(没有测量角度的仪器)，在金字塔建成的1000多年里，人们都无法测量它的高度。
约公元前600年，当古希腊数学家泰勒斯看到金字塔在阳光下的影子时，他突然想到了一种简单的方法快速的测出金字塔的高度。
一、你能测量出金字塔的高度吗？（测量工具：皮尺、标杆、小平面镜）。
请画出测量示意图，说出实施方案，并用含有字母的式子表示出金字塔的高度。
除此之外还有别的方法吗？二、在测量过程中，用到了数学中的哪些知识？三、结合上题，你能回顾出相似三角形的判定和性质吗？【巩固练习】1、（中考变形题）在△ABC 和△DEF 中，请从中任选取两个条件组成一组，判定△ABC ∽△DEF ，最多有几种组合？并口述你的依据（1）AB BC DE EF =（2）AC EF DFBC =（3）∠A= ∠D （4）∠C=∠F 2、（2011·潍坊）如图，△ABC 中，BC=2．DE 是它的中位线．下面三个结论：（1）DE=1；(2)△ADE ∽△ABC ；(3)△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为l ：4．其中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、（2013•南宁）如图，△ABC 三个定点坐标分别为A （-1，3），B （-1，1），C （-3，2）．（1）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）以原点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，请在第三象限内画出△A 2B 2C 2。
相似三角形复习导学案
相似三角形复习导学案一、学习目标1、理解相似三角形的定义、性质和判定定理。
2、能够熟练运用相似三角形的性质和判定定理解决相关问题。
3、通过复习，提高对相似三角形的综合运用能力和逻辑推理能力。
二、重点难点1、重点（1）相似三角形的判定定理。
（2）相似三角形的性质。
2、难点（1）相似三角形的综合应用。
（2）利用相似三角形解决实际问题。
三、知识梳理1、相似三角形的定义三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的表示方法用“∽”表示，读作“相似于”。
如△ABC 与△A'B'C'相似，记作△ABC∽△A'B'C'。
3、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
4、相似三角形的判定定理（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）三边成比例的两个三角形相似。
（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（4）两角分别相等的两个三角形相似。
四、典型例题例 1：如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝ 3，BD ＝ 2，AE ＝ 4，求 CE 的长。
解：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
所以\（＼frac{AD}｛AB} ＝＼frac{AE}｛AC}＼）因为 AD ＝ 3，BD ＝ 2，所以 AB ＝ AD ＋ BD ＝ 3 ＋ 2 ＝ 5又因为 AE ＝ 4，设 CE ＝ x，则 AC ＝ AE ＋ CE ＝ 4 ＋ x所以\（＼frac{3}｛5} ＝＼frac{4}｛4 ＋ x}＼）解得 x ＝＼（＼frac{20}｛3}＼）例 2：如图，在△ABC 中，∠B ＝∠ACD，AB ＝ 6，BC ＝ 4，求AC 的长。
解：因为∠B ＝∠ACD，∠A ＝∠A所以△ABC∽△ACD所以\（＼frac{AB}｛AC} ＝＼frac{BC}｛CD}＼）设 AC ＝ x，则\（＼frac{6}｛x} ＝＼frac{4}｛x 6}＼）解得 x ＝ 12例 3：如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝ 6，BC ＝ 8，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处。
中学中考数学第一轮复习导学案-相似三角形
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相似三角形◆课前热身1．如图，已知Ab◆cD◆eF，那么下列结论正确的是（）A．ADbc?b．bcDF?c．cDbc?D．cDAD?DFceceADeFbeeFAbcDeF1题A2.如图所示，给出下列条件：D①?b??AcD；②?ADc??Acb；bc③AccD?Abbc；④Ac2?ADAb．（第2题图）其中单独能够判定◆Abc◆◆AcD的个数为（）A．1b．2c．3D．43.已知◆Abc◆◆DeF，且Ab：De=1：2，则◆Abc的面积与◆DeF的面积之比为（A．1：2b．1：4c．2：1D．4：14.如图，已知等边三角形Abc的边长为2，De是它的中位线，则下面四个结论：（1）De=1，（2）◆cDe◆◆cAb，（3）◆cDe的面积与◆cAb的面积之比为1：4.其中正确的有：（）A．0个b．1个c．2个D．3个【参考答案】1.A2.c3.b4.D-1-AF）◆考点聚焦1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，?并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，?会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．◆备考兵法1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“x型”“母子型”等．2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．◆考点链接一、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．二、相似三角形的判定方法1.若De◆bc（A型和x型）则______________．2.射影定理：若cD为Rt◆Abc斜边上的高（双直角图形）则Rt◆Abc◆Rt◆AcD◆Rt◆cbD且Ac=________，cD=_______，bc=______．222ADbeceAbDccADb3.两个角对应相等的两个三角形__________．4.两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．5.三边对应成比例的两个三角形___________．三、相似三角形的性质-2-1.相似三角形的对应边_________，对应角________．2.相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．3.相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．◆典例精析例1（山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为米．甲【答案】9.小华乙【解析】本题考查相似的有关知识，相似三角形的应用.设路灯高为x米，由相似得1.55，解得x?9，所以路灯甲的高为9米，故填9.?x30例2（浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，◆划格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点p，A，b为顶点的三角形与◆Abc相似（全等除外），则格点p的坐标是_______．【答案】p1（1，4），p2（3，4）．点拨：这种题常见的错误是漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性．拓展变式在Rt◆Abc中，斜边Ac上有一动点D （不与点A，c重合），过D点作直线截◆Abc，使截得的三角形与◆Abc 相似，则满足这样条件的直线共有______条．【答案】3例3如图，已知平行四边形AbcD中，e是Ab边的中点，De交Ac于点F，Ac，De把平行四边形AbcD分成的四部分的面积分别为s1，s2，s3，s4．下面结论：①只有一对相似三角形；-3-②eF：eD=1：2；③s1：s2：s3：s4=1：2：4：5．其中正确的结论是（）A．①③b．③c．①D．①②【答案】b【解析】◆Ab◆Dc，◆◆AeF?◆◆cDF，?但本题还有一对相似三角形是◆Abc?◆◆cDA（全等是相似的特例）．◆①是错的．◆AeeF1??，◆②eF：eD=1：2是错的．cDDF2◆s◆AeF：s◆cDF=1：4，s◆AeF：s◆ADF=1：2．◆s1：s2：s3：s4=1：2：4：5，③正确．点拨①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．拓展变式点e是AbcD的边bc延长线上的一点，Ae与cD相交于点g，则图中相似三角形共有（）A．2对b．3对c．4对D．5对【答案】c◆迎考精练一、选择题1.（江苏省）如图，在5?5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）A．先向下平移3格，再向右平移1格b．先向下平移2格，再向右平移1格c．先向下平移2格，再向右平移2格-4-D．先向下平移3格，再向右平移2格2.（浙江杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个b．可以有2个c．有2个以上但有限D．有无数个3.（浙江宁波）如图，菱形AbcD中，对角线Ac、bD相交于点o，m、n分别是边Ab、AD的中点，连接om、on、mn，则下列叙述正确的是（）AmbocnDA．◆Aom和◆Aon都是等边三角形b．四边形mbon和四边形moDn 都是菱形c．四边形Amon与四边形AbcD是位似图形D．四边形mbco 和四边形nDco都是等腰梯形4.(浙江义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
2022年中考数学复习学案 相似三角形有关的面积问题
中考数学复习之相似三角形有关的面积问题（学案）知识与方法梳理 处理面积问题的三种方法 1. 公式法2. 割补法（分割求和，补形作差）3. 转化法（相似类、同底类、共高或等高类）利用常见结构进行转化是在复杂背景下处理面积问题的通常思路，在转化过程中需要结合背景的特点．动态背景：要抓住变化过程中所求面积不变的特征；函数背景：优先考虑公式法，或者割补之后采用公式法，也可结合几何特征进行转化； 探索规律背景：根据结构特征确定第一项的处理办法，后续进行类比． 面积问题中的常见结构举例结构识别FGBC H E Ah hA C hD BBCDA适用特征 平行连通比例线段比相关结论 面积比等于相似比的平方高相同或相等，面积比等于底之比两者联系在复杂背景下，这两种转化手段常常配合使用例1：如图，在Rt ABC △中，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连接1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，连接3BE 交1CD 于4D ；…，如此继续．若分别记11BD E △，22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…，n S ，则n S =____________ABC S △（用含n 的代数式表示）．E 3E 2E 1D 4D 3D 2D 1CBA分析：题目中的相似三角形非常之多，三角形的面积关系也非常之多，这是面积问题同学们需要面对的第一大难题，处理好这些关系，才能最终解决问题；解：1.易知E1为AC的中点，S∆ABE1=12S∆ABC，D1为AB的中点，S∆BD1E1=12S∆ABE1，故S∆BDE=14S∆ABC；2.D1E1||BC，1112D EAC=，故E2为E1C的三等分点，12113BE E BCES S∆∆=，D2为BE1的三等分点，故222123BD E BE ES S∆∆=，112BE C ABCS S∆∆=，故2219BD E ABCS S∆∆=3.易知221123D ED E=,111AC2D E=，故221AC3D E=，D3为BE2的四等分点，231211212BE E BE E ABCS S S∆∆∆==，，而33116BD E ABCS S∆∆=；综合上述，猜想S n=21(1)ABCSn∆+练习题1. 如图，△ABC 的面积为63cm 2，D 是BC 上的一点，且BD :CD =2:1，DE △AC 交AB 于点E ，延长DE 到F ，使FE :ED =2:1，连接CF ，则△CD F 的面积为 ．FED CBA2. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，G 为EC 的中点，连接DG 并延长交BC 的延长线于点F ，BE 与DF 交于点O ．若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积为_______．G ODCAE BF3. 如图，在梯形ABCD 中，AB △CD ，AB =3CD ，对角线AC ，BD 交于点O ，中位线EF与AC ，BD 分别交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD 面积的（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．47NMEO CFBD4. 如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1△A 2B 2△A 3B 3，A 2B 1△A 3B 2△A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中阴影部分的面积为_______．O A 11A 2A 3A 4B 2B 3AB 145. 如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B重合）．以BD ，BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP △BE ，且AP =BE （点P ，E 在直线AB 的同侧），若14BD AB，则△PBC 的面积与△ABC 的面积的比值是___________． AB CDE FP G6. 如图，已知直线l 1：y =23x +83与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =____________．yxl 2O DB EF(G )Al 1C7. 已知：如图，DE 是△ABC 的中位线．点P 是DE 的中点，连接CP 并延长交AB 于点Q ，那么S △DPQ :S △ABC =_________．Q PE D CBA8. 如图，在△ABC 中，CE :EB =1:2，DE △AC ．若△ABC 的面积为S ，则△ADE 的面积为____________．ECA9. 如图，已知△ABC △△DCE △△HEF ，三条对应边BC ，CE ，EF 在同一条直线上，连接BH ，分别交AC ，DC ，DE 于点P ，Q ，K ．若△DQK 的面积为2，则图中阴影部分的面积为__________．HK QPD CA10. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN ，EM 交于点F ．若AB =13cm ，BC =10cm ，DE =5cm ，则图中阴影部分的面积为___________．FE DB MC参考答案1．422．7 4 S3．C4．21 25．3 46．8:9 7．1:248．2 9 S9．26 10．30cm2。
2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-相似三角形(解析版)
专题22相似三角形【专题目录】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件技巧2：巧作平行线构造相似三角形技巧3：证比例式或等积式的技巧【题型】一、相似图形的概念和性质【题型】二、平行线分线段成比例定理【题型】三、相似三角形的判定【题型】四、相似三角形的性质【题型】五、利用相似三角形解决实际问题【题型】六、位似图形的概念与性质【题型】七、平面直角坐标系与位似图形【考纲要求】1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.【考点总结】一、相似图形及比例线段解直相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段的定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a cb d(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【考点总结】二、相似三角形【技巧归纳】技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．角三角形的应用比例线段的性质(1)基本性质：a b ＝c d ad ＝bc ；(2)合比性质：a b ＝c d a ＋b b ＝c ＋d d ；(3)等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，则线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．3．子母型．4．旋转型．【类型】一、平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC ＝BD·AC ；(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【类型】二、相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DO CO，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．【类型】三、子母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DF AF .【类型】四、旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE .参考答案1．(1)证明：∵ED ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC.又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ABC.∴AE AC ＝DE BC.∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC.∵ED ∥BC ，∴∠DE B ＝∠EBC.∴∠DBE ＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴AE AC ＝BD BC.即AE·BC ＝BD·AC.(2)解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高，h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高，h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴S △ADE S △BDE ＝12·DE·h △ADE 12·DE·h △BDE ＝h △ADE h △BDE ＝32.∴h △ADE h △ABC ＝35.∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝h △ADE h △ABC ＝35.∵DE ＝6，∴BC ＝10.2．解：相似．理由如下：因为EO BO ＝DO CO，∠BO E ＝∠COD ，∠DOE ＝∠COB ，所以△BOE ∽△COD ，△DOE ∽△COB.所以∠EBO ＝∠DCO ，∠DEO ＝∠CBO.因为∠ADE ＝∠DCO ＋∠DEO ，∠ABC ＝∠EBO ＋∠CBO ，所以∠ADE ＝∠ABC.又因为∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC.3．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAC ＝∠A DB ＝90°.又∵∠CBA ＝∠ABD(公共角)，∴△ABC ∽△DBA.∴AB AC ＝DB DA，∠BAD ＝∠C.∵AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC.∴∠BDF ＝∠CDE ＝∠C.∴∠BDF ＝∠BAD.又∵∠F ＝∠F ，∴△DBF ∽△ADF.∴DB AD ＝DF AF .∴AB AC ＝DF AF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，D E ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB ＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD 2，AF·AC ＝AD 2，∴AE·AB ＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC.又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝AB AC.∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE ＝BD CE.技巧2：巧作平行线构造相似三角形【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP PQ QD.【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BFAF ＝32，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值．【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC .【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.参考答案1．解：如图，连接DF ，∵E ，F 是边BC 上的两个三等分点，∴BE ＝EF ＝FC.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD.∴DF 是△ACE 的中位线．∴DF ∥AE ，且DF ＝12AE.∴DF ∥PE.∴∠BEP ＝∠BFD.又∵∠EBP 为公共角，∴△BEP ∽△BFD.∴BE BF ＝BP BD.∵BF ＝2BE ，∴BD ＝2BP.∴BP ＝PD.∴DF ＝2PE.∵DF ∥AE ，∴∠APQ ＝∠FDQ ，∠PAQ ＝∠DFQ.∴△APQ ∽△FDQ.∴PQ QD ＝AP DF.设PE ＝a ，则DF ＝2a ，AP ＝3a.∴PQQD ＝AP DF ＝3 2.∴BP PQ QD ＝53 2.2．解：如图，过点C 作CG ∥AB 交AE 的延长线于点G.∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G.又∵D 为C F 的中点，∴CD ＝DF.在△ADF 和△GDC DAF ＝∠G ，ADF ＝∠CDG ，＝CD ，∴△ADF ≌△GDC(AAS )．∴AF ＝CG.∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2.∵AB ∥CG ，∴∠CGE ＝∠BAE ，∠BCE ＝∠ABE.∴△ABE ∽△GCE.∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52.3．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴∠PFC ＝∠PDB ，∠PCF ＝∠PBD.∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BD CF.∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF.∴BP CP ＝BD EC.4．证明：(方法一)如图①，过点C 作CF ∥A B ，交DE 于点F ，(第4题①)∴∠FCD ＝∠B.又∵∠D 为公共角，∴△CDF ∽△BDE.∴CF BE ＝CD BD.∵点M 为AC 边的中点，∴AM ＝CM.∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠MCF.又∵∠AME ＝∠CM F ，∴△AME ≌△CMF.∴AE ＝CF.∵AE ＝14AB ，BE ＝AB －AE ，∴BE ＝3AE.∴AE BE ＝13.∵CF BE ＝CD BD，∴AE BE ＝CD BD ＝13，即BD ＝又∵BD ＝BC ＋CD ，∴BC ＝2CD.(第4题②)(方法二)如图②，过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ，∴AE AF ＝AM AC.又∵点M 为AC 边的中点，∴AC ＝2AM.∴2AE ＝AF.∴AE ＝EF.又∵AE AB ＝14，∴BF EF＝2.又∵CF ∥DE ，∴BF FE ＝BC CD ＝2.∴BC ＝2CD.(第4题③)(方法三)如图③，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，∴∠AEF ＝∠B.又∵∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ABC.∴EF BC ＝AE AB ＝AF AC.由AE ＝14AB ，知EF BC ＝AE AB ＝AF AC ＝14，∴EF ＝14BC ，AF ＝14AC.由EF ∥CD ，易证得△EFM ∽△DCM ，∴EF CD ＝MF MC.又∵AM ＝MC ，∴MF ＝12MC ，∴EF ＝12CD.∴BC ＝2CD.(第4题④)(方法四)如图④，过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ，∴∠F ＝∠D ，∠FAE ＝∠B.∴△AEF ∽△BED.∴AE BE ＝AF BD.∵AE ＝14AB ，∴AE ＝13BE.∴AF ＝13BD.由AF ∥CD ，易证得△AFM ∽△CDM.又∵AM ＝MC ，∴AF ＝CD.∴CD ＝13BD.∴BC ＝2CD.点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．技巧3：证比例式或等积式的技巧【类型】一、构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF ＝BF·EC.2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，求证：AB·DF ＝BC·EF.【类型】二、三点定型法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F.求证：DC AE ＝CF AD .4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.求证：AM 2＝MD·ME.【类型】三、构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.【类型】四、等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.【类型】五、两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BF BE ＝AB BC .9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MN AC .【类型】六、等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝AC AB .【类型】七、等线段代换法11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF.12．如图，已知AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB·PC.参考答案1．证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M.∵CM ∥AB ，∴∠FCM ＝∠B ，∠FMC ＝∠FDB.∴△CMF ∽△BDF.∴BF CF ＝BD CM.又∵CM ∥AD ，∴∠A ＝∠ECM ，∠ADE ＝∠CME.∴△ADE ∽△CME.∴AE EC ＝AD CM.∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD CM ＝AD CM .∴BF CF ＝AE EC.即AE·CF ＝BF·EC.2．证明：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，易知△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC.∴EF DF ＝CE DG ，AB BC ＝AD DG.∵AD ＝CE ，∴CE DG ＝AD DG .∴AB BC ＝EF DF.即AB·DF ＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A E ∥D C ，∠A ＝∠C.∴∠CDF ＝∠E.∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE ＝CF AD.4．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠BEM ＝90°，∠D ＋∠DEA ＝90°.∵∠BEM ＝∠DEA ，∴∠B ＝∠D.又∵M 为BC 的中点，∠BAC ＝90°，∴BM ＝AM.∴∠B ＝∠BAM.∴∠BAM ＝∠D.即∠EAM ＝∠D.又∵∠AME ＝∠DMA.∴△AME ∽△DMA.∴AM MD ＝ME AM.即AM 2＝MD·ME.5．证明：如图，连接PM ，PN.∵MN 是AP 的垂直平分线，∴MA ＝MP ，NA ＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°，∴∠5＝∠7.∴△BPM ∽△CNP.∴BP CN ＝BM CP.即BP·CP ＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠EDB ＝180°，∠ACB ＋∠FED ＝180°.∴∠FED ＝∠EDB.又∵∠EDF ＝∠DBE ，∴△DEF ∽△BDE.(2)由△DEF ∽△BDE 得DE BD ＝EF DE.即DE 2＝DB·EF.又由△DEF ∽△BDE ，得∠GED ＝∠EFD.∵∠GDE ＝∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF.∴DG DE ＝DE DF.即DE 2＝DG·DF.∴DG·DF ＝DB·EF.7．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠DEB ＝∠AGB ＝90°.∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠AB G ＝90°.∴∠P ＝∠ABG.∴△AEP ∽△DEB.∴AE DE ＝PE BE.即AE·BE ＝PE·DE.又∵∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°.∴∠ACE ＝∠CBE.∴△AEC CEB.∴AE CE ＝CE BE.即CE 2＝AE·BE.∴CE 2＝DE·PE.8．证明：由题意得∠BDF ＝∠BAE ＝90°.∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠ABE.∴△BDF ∽△BAE.∴BD AB ＝BF BE.∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA.∴△ABC ∽△DBA.∴AB BC ＝BD AB.∴BF BE ＝AB BC.9．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D.∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.∴△AMB ∽△AND.(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝AB AD，∠BAM ＝∠DAN.又AD ＝BC ，∴AM AN ＝AB BC.∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠MAD ＝∠AMB ＝90°.∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°.∴∠B ＝∠MAN.∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB ＝MN AC.10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AED ＝90°.又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ABD ∽△ADE.∴AD AB ＝AE AD.即AD 2＝AE·AB.同理可得AD 2＝AF·AC.∴AE·AB ＝AF·AC.∴AE AF ＝AC .11．证明：连接PC ，如图所示．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB.∴BP ＝CP.∴∠1＝∠2∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，即∠3＝∠4.∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.又∵∠CPF ＝∠CPE ，∴△CPF ∽△EPC.∴CP PE ＝PF CP，即CP 2＝PF·PE.∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE·PF.12．证明：如图，连接PA ，∵EP 是AD 的垂直平分线，∴PA ＝PD.∴∠PD A ＝∠PAD.∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP.又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∴∠B ＝∠CAP.又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB ＝PC PA.即PA 2＝PB·PC.∵PA ＝PD ，∴PD 2＝PB·PC.【题型讲解】【题型】一、相似图形的概念和性质例1、如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，且CD BD ＝32，则CE CA 的值为（）A ．35B ．23C ．45D ．32【答案】A【提示】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．【详解】解：∵DE //AB ，∴32CE CD AE BD ==∴CE CA 的值为35．故答案为A ．【题型】二、平行线分线段成比例定理例2、如图，在ABC ∆中，//DE BC ，9AD =，3DB =，2CE =，则AC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【提示】根据平行线分线段成比例定理，由DE ∥BC 得AD AE DB EC =，然后利用比例性质求EC 和AE 的值即可【详解】∵//DE BC ，∴AD AE DB EC =，即932AE =，∴6AE =，∴628AC AE EC =+=+=．故选C ．【题型】三、相似三角形的判定例3、如图，已知DAB CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定A ABC DE ∽△△的是（）A ．AB AC AD AE =B ．AB BC AD DE =C ．B D ∠=∠D ．C AED∠=∠【答案】B【提示】利用相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE ，∴∠DAE=∠BAC ，A 、若AB AC AD AE =，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项A 不符合题意；B 、若AB BC AD DE =，且∠DAE=∠BAC ，无法判定△ABC ∽△ADE ，故选项B 符合题意；C 、若∠B=∠D ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项C 不符合题意；D 、若∠C=∠AED ，且∠DAE=∠BAC ，可判定△ABC ∽△ADE ，故选项D 不符合题意；故选：B ．【题型】四、相似三角形的性质例4、如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（）A ．30B ．25C ．22．5D ．20【答案】D【提示】首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．【详解】解：根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20故本题选择D【题型】五、利用相似三角形解决实际问题例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ，如图所示．若测得BE ＝90m ，EC ＝45m ，CD ＝60m ，则这条河的宽AB 等于()A ．120mB ．67.5mC ．40mD ．30m【答案】A 【解析】∵∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠CED,∴△ABE ∽△DCE,∴AB BE CD CE=.∵BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，∴()906012045AB m ⨯==故选A.【物高问题】【题型】六、位似图形的概念与性质例6、如图，△ABC 与△DEF 位似，点O 为位似中心．已知OA ∶OD =1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5【答案】C【提示】根据位似图形的性质即可得出答案．【详解】由位似变换的性质可知，//,//AB DE AC DF∴12OA OB OD OE ==12AC OA DF OD ∴==∴△ABC 与△DEF 的相似比为：1∶2∴△ABC 与△DEF 的面积比为：1∶4故选C ．【题型】七、平面直角坐标系与位似图形例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm【答案】A【提示】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm ,∵三角尺与投影三角尺相似,∴8：x ＝2：5,解得x ＝20.故选:A .相似三角形（达标训练）一、单选题1．如图，已知∥DE BC ，12AD BD =，则ADE V 与ABC 的周长之比为（）A ．1:2B ．1:4C ．1:9D ．1:3【答案】D 【分析】根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可得：ABC ADE ∽，相似三角形的对应边成比例，且周长比等于相似比，据此即可解答．【详解】解：∵∥DE BC ，∴ADE B ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴ABC ADE ∽，∵AD ：DB =1：2，∴AD ：AB =1：3，∴13ADE ABC C C ∆∆=：：，即ADE 与ABC 的周长比为1：3．故选：D ．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键．2．如图，在ABC 中，高BD 、CE 相交于点.F 图中与AEC △一定相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定方法可得AEC △∽ADB ，AEC △∽FEB ，AEC △∽FDC △，可求解．【详解】解：A A ∠=∠ ，90AEC ADB ∠=∠=︒，AEC ∴ ∽ADB ，ACE ABD ∴∠=∠，又90AEC BEC ∠=∠=︒ ，AEC ∴ ∽FEB ，ACE ACE ∠=∠ ，90AEC ADB ∠=∠=︒，AEC ∴ ∽FDC △，故选C【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】B【分析】容易证明两个三角形相似，求出相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【详解】解：由题意得DE 为△ABC 的中位线，那么DE ∥BC ，DE ：BC =1：2．∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC 的周长之比为1：2，∴△ADE 与△ABC 的面积之比为：4，即14．故选：B ．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决此题关键．4．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（）A ．C BAD∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠C ．AC AD BC AB =D ．2AB BD BC=⋅【答案】C【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：C BAD ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项A 不符合题意；BAC BDA ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项B 不符合题意；AC AD BC AB=，但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C 符合题意；2AB BD BC =⨯即AB BC BD AB=，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．5．已知ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，若8AD =，12A D ''=，则ABC 与A B C ''' 的面积比是（）A ．2：3B ．4：9C ．3：2D ．9；4【答案】B【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．【详解】ABC ∽A B C ''' ，AD 和A D ''是它们的对应角平分线，8AD =，12A D ''=，∴两三角形的相似比为：:8:122:3AD A D '=='，则ABC 与'''A B C 的面积比是：4：9．故选：B【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．二、填空题6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE 高为1.5m ，测得AB ＝3m ，AC ＝10m ，则建筑物CD 的高是_____m ．【答案】5【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD 的长，从而可以解答本题．【详解】∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB ∥DC ，∴AEB ADC ∠=∠，ABE ACD ∠=∠，又∵A A ∠=∠，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝BE CD，∵BE ＝1.5m ，AB ＝3m ，AC ＝10m ，∴3 1.510CD=，解得，5CD =，即建筑物CD 的高是5m ，故答案为：5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识，正确得出相似三角形是解题的关键．7．如图所示，要使ABC ADE ～，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）【答案】ADE B∠=∠【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明ABC 与ADE V 相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似．【详解】解：添加ADE B ∠=∠，A A∠=∠ ABC ADE∴ ～故答案为：ADE B ∠=∠．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．三、解答题8．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，且AD :AB =AE :AC =2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)BC=6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即23 AD AEAB EC==，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴AD DEAB BC=，243BC=，∴BC=6．【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．相似三角形（提升测评）一、单选题1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（）A ．DE DF AE BF =B ．EF DF AD DB =C ．EF DF CD BF =D ．EF DF CD DB=【答案】C【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD ∥BF ，依据平行线成比例的性质和相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD ，∵EF ∥CD ，∴EF ∥AB ，∴DE DF AE BF =，△DEF ∽△DAB ，∴EF DF AB DB=，∵AB =AD =CD ，∴EF DF AD DB =，EF DF CD DB=，∴选项A 、B 、D 正确；选项C 错误；故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．2．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．今以DE 为折线将B 点往右折后，BD 、BE 分别与AC 相交于F 点、G 点，如图2所示．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 的长度为多少？（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【分析】根据三角形ABC 是正三角形，可得∠A =∠B =60°，△AFD ∽△BFG ，即可求出FG =7，而AD =10，DF =14，BF =8，可得AB =32=AC ，故CG =AC -AF -FG =9．【详解】解： 三角形ABC 是正三角形，60A B ∴∠=∠=︒，AFD BFG ∠=∠ ，AFD BFG ∴∆∆∽，∴DF AF FG BF =，即14168FG =，7FG ∴=，10AD = ，14DF =，8BF =，32AB ∴=，32AC ∴=，321679CG AC AF FG ∴=--=--=；故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明AFD BFG ∆∆∽，从而求出FG 的长度．3．如图，在平面直角坐标系中有A ，B 两点，其中点A 的坐标是（-2，1），点B 的横坐标是2，连接AO ，BO ．已知90AOB ∠=︒，则点B 的纵坐标是（）A ．B ．4CD ．2【答案】B 【分析】先过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质列出比例式，计算求解即可．【详解】解：过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90ACO ODB ∠=∠=︒，90B BOD ∠+∠=︒，90AOB ∠=︒Q ，90AOC BOD ∴∠+∠=︒，B AOC ∴∠=∠，ACO ∴ ∽ODB △，AC CO OD DB∴=，又A 的坐标是()2,1-，点B 的横坐标是2，∴AC ＝1，CO ＝2，OD ＝2，122DB∴=，即4DB =，∴:B 的纵坐标是4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键．4．如图，D 是ABC △的边上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（）A ．AD AF BD EF =B ．AF DF AE EB =C ．=AD AE AB AC D ．CAF FE DE B =【答案】D【分析】根据DF BE ∥，DE BC ∥找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等，判断即可．【详解】解：DF BE ∥，AD AF BD EF∴=，故A 选项比例式正确，不符合题意；DF BE ∥，ADF ABE ∴△∽△，DF AF EB AE∴=，故B 选项比例式正确，不符合题意；DE BC ∥，AD AE AB AC∴=，故C 选项比例式正确，不符合题意；DE BC ∥，DE AF BC FEAF AC =≠∴故D 选项比例式不正确，符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应线段．二、填空题5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长BD 为4m ，墙上的影子CD 长为1m ，同一时刻一根长为1m 的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m ，则树的高度为______m ．【答案】9【分析】设地面影长对应的树高为m x ，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出x ，然后加上墙上的影长CD 即为树的高度．【详解】解：设地面影长对应的树高为m x ，由题意得，140.5x =，解得8x =，墙上的影子CD 长为1m ，∴树的高度为()819m +=．故答案为：9．【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．6．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BC AD =，点F 在BC 的延长线上，AF 与BD 相交于点E ，与CD 边相交于点G ．如果2AD CF =，那么DEG ∆与CFG ∆的面积之比等于______．【答案】16:7##167【分析】根据ADG FCG ∆∆∽和ADE FBE ∆∆∽，根据相似三角形对应边成比例和相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．【详解】解：AD BC ，ADG FCG ∴∆∆∽，2AD AG CF GF∴==，∴ADG ∆与CFG ∆的面积之比4:1，AD BC ，ADE FBE ∴∆∆∽，25AD AE BF EF ∴==，令GF a =，则2AG a =，设,2AE x EG a x ==-，:(2)2:5x a a x ∴+-=，67x a ∴=，68,77AE a EG a ∴==，:3:4AE EG =，∴DEG ∆与ADE ∆的面积之比是4:3，∴DEG ∆与CFG ∆的面积之比是16:7．故答案为：16:7．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形三、解答题7．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，连接AF 交CG 于点K ，H 是AF 的中点，连接CH ．(1)求tan ∠GFK 的值；(2)求CH 的长．【答案】(1)12(2)CH =【分析】（1）由正方形的性质得出AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∠G =90°，证出ADK FGK V :V ，得出比例式求出3342GK DG ==，即可得出结果；（2）由正方形的性质求出AB =BC =1，CE =EF =3，∠E =90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，求出AM =4，FM =2，∠AMF =90°，根据正方形性质求出∠ACF =90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出12CH AF =，根据勾股定理求出AF ，即可得出结果．（1）解：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AD =CD =BC =1，CG =FG =CE =3，,AD BC GF BE ∥∥，∠G =90°，∴DG =CG -CD =2，AD GF ∥，∴ADK FGK V :V ，∴DK ：GK =AD ：GF =1：3，∴3342GK DG ==，∴312tan 32GK GFK FG ∠===；（2）解：∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，∴AB =BC =1，CE =EF =3，∠E =90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，如图所示：则AM =BC +CE =1+3=4，FM =EF-AB =3-1=2，∠AMF =90°，∵四边形ABCD 和四边形GCEF 是正方形，∴∠ACD =∠GCF =45°，∴∠ACF =90°，∵H 为AF 的中点，∴12CH AF =，在Rt △AMF 中，由勾股定理得：22224225AF AM FM =+=+=，∴152CH AF ==．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．8．如图所示，BEF 的顶点E 在矩形ABCD 对角线AC 的延长线上，13BC AB AE ==，，与FB 交于点G ，连接AF ，满足ABF ∽CEB ，其中A 对应C B ，对应E F ，对应B(1)求证：30FAD ∠=︒．(2)若13CE =，求tan FEA ∠的值．【答案】(1)见解析937【分析】（1）由相似可得FAB BCE ∠∠=，再由矩形的性质得AD BC ∥90DAB ABC ∠∠==︒，，从而可求得180FAD DAB DAC ∠∠∠++=︒，则有FAD BAC ∠∠=，即可求得FAD ∠的度数；（2）结合（1）可求得73AE =，再由相似的性质求得33AF =tan FEA ∠的值．（1）ABF ∽CEB ，FAB BCE ∠∠∴=，四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC DAB ABC ∠=∠=︒∥，，DAC ACB ∴∠=∠，180BCE ACB ∠∠+=︒ ，180FAB DAC ∠∠∴+=︒，即180FAD DAB DAC ∠∠∠++=︒，90180FAD DAC ∠∠∴+︒+=︒，90FAD DAC ∠∠∴+=︒，90DAB ∠=︒ ，90BAC DAC ∠∠∴+=︒，FAD BAC ∠∠∴=，在Rt ABC中，tan 3BC BAC AB ∠== ，30BAC ∴∠=︒，30FAD ∠∴=︒；（2）由（1）得9030ABC BAC ∠∠=︒=︒，，2212AC BC ∴==⨯=，17233AE AC CE ∴=+=+=，ABF ∽CEB ，AF AB BC CE∴=，即113AF =，∴=AF 由（1）得：90FAD DAC ∠∠+=︒，则90FAE ∠=︒，在Rt FAE中，tan 3AF FEA AE ∠==【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得FAD BAC ∠∠=．。
相似三角形中考复习导学案2
课题：相似三角形中考复习导学案2班级姓名日期【学习目标】1.掌握利用三角形相似的性质及判定方法解决简单的实际问题．2. 掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．【重点难点】重、难点：掌握利用三角形相似的性质及判定方法解决简单的实际问题．【知识梳理】打开中考指南P121—P122，并完成知识点的整理：1.位似：如果两个图形不仅是相似，而且，那么这两个图形叫做，这个交点叫做。
2.位似性质：位似图形的对应点和位似中心在，它们到位似中心的距离之比等于，位似多边形的对应边。
3.通常，我们把太阳光看成光线，在此种光线照射下，物体产生的影称为。
【课前热身】1. 如图，A、B两点间有一湖泊，无法直接测量，已知CA=60米，CD=24米，DE=32米，DE//AB，则AB= 米2.如图，路灯的高为8 m，身高1．6 m的小明从距离灯的底部(点O)20m的点A处，沿AO行走14 m到点B时，人影的长度 ( )A．增大1．5 m B．减小1．5 mC．增大3．5 m D．减小3．5 m3.已知楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示，试确定路灯灯炮的位置，再作出小树在路灯下的影子(不写作法，保留作图痕迹)．4．在上午某一时刻的光线照射下，竹竿高1．5米，它在地面上的影长为2．5米；一古塔在地面上的影长为50米，则古塔高米；5．如图，正方形OABC，点A的坐标为（0，1），以点O为位似中心将其放大2倍，得到正方形ODEF，则点E的坐标是 .5. 如图，ABC △与A B C '''△是位似图形，且位似比是1:2，若AB =2cm ，则A B ''= cm ， 并在图中画出位似中心O ．7.如图，在△ABC 中，AB=8cm,BC=16cm, 点P 从点A 出发，沿AB 向点B 以2厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 以4厘米/秒的速度移动。
如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,经过多少秒时△BPQ ∽△BAC ？【例题教学】例1. 在平面直角坐标系中，已知点E （-4,2），F （-2，-2），如图所示。
2022年初中数学精品《 相似三角形的应用》导学案
3.5 相似三角形的应用【学习目标】1.会用相似三角形解决实际问题。
重点：运用相似三角形解决实际问题。
难点：在实际问题中建立数学模型。
【预习导学】知识链接：1.我们已经学习的相似三角形性质有哪些？2.校园里有一棵大树，要测量树的高度，你能想出什么样的测量方法？说一说！【探究展示】 (一)合作探究【活动1】测量河的宽度。
问题：如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量A ，B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮助他想出一个可行的测量方法吗?方法：〔如何构造相似三角形？〕如果ECBC DC AC =2，且测得DE 的长为50m ，那么A,B 两点间的距离为多少？【活动2】测量物体的高度。
1.问题： 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛〔O 〕、 准星〔A 〕、靶心点〔B 〕在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ’ ，如下图:OA=0.2m ，OB=50m ， AA ’=0.0005m ，求李明射击到的点B ’偏离靶心点B 的长度BB ’〔近似地认为 AA ’∥ BB ’ 〕.(二)展示提升1. 如图，直立在点D 处的标杆CD 长3m ，站立在点F 处的观察者从点E 处看到标杆A顶C 、旗杆顶A 在一条直线上，BD=15m ，FD=2m,EF=1.6m ，求旗杆高AB 。
2.如图，某路口栏杆的短臂长为1m ，长臂长为6m.当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高多少米？.3.如图，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF 量树的高度AB ，她调整自己的位置，设法使斜 边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上. 纸板的两条直DE=80cmEF=40cm ， 测得AC=1.5m ，CD=8m ，求树高AB.【知识梳理】1.平行得到相似，相似得到对应边成比例，列比例式求值。
2.同一时刻物高与影长成比例。
【当堂检测】1. 某一时刻树的影长为8米，同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米，那么树高为多少米？如图是跷跷板示意图，横板AB 绕中点O 上下转动，立柱OC 与地面垂直，设B 点的最E C F D B .大高度为h1.假设将横板AB 换成横板A ′B ′，且A ′B ′=2AB ，O 仍为A ′B ′的中点，设B ′点的最大高度为h2 ，那么以下结论正确的选项是〔 〕A 122h h =B 125.1h h =C 12h h =D 1221h h =【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改良？第4课时相似三角形的判定定理3【学习目标】1.使学生了解相似三角形的判定定理3.2.会用相似三角形的判定定理3判定两三角形相似.【预习导学】预习教材P83—P84的内容，完成以下问题.1.相似三角形的判定定理1是：.2.三角形相似的判定定理2是：.【探究展示】教师表达：前面我们学习了判定两三角形相似的判定定理，大家想一想，还有没有其他的判定方法或定理呢？想掌握更多的判定定理吗？这节课我们就来探讨一下.(一) 相似三角形的判定定理3的学习动脑筋任意画两个三角形△ABC 和△A B C '''，使△ABC 的边长是△A B C '''的边长的k 倍. 分别度量∠A 和∠A '，∠B 和∠B '，∠C 和∠C '的大小，它们分别相等吗？由此你有什么发现？AO BC〔过程与方法：完全由学生参照前一判定定理的学习方法进行学习.〕通过上面的分析证明，我们可得到相似三角形的判定定理3：.'''中，∠C =90°，∠C'=90°，展示1 ：如图，在Rt△ABC 和Rt△A B C'''求证：Rt△ABC∽Rt△A B C〔思路与方法：两边成比例，只要得到第三边成比例，即可完成证明〕展示2：判断以下图中的两个三角形是否相似，并说明理由.【知识梳理】以〞本节课我们学到了什么?〞启发学生谈谈本节课的收获.1.本节课重点有掌握的知识是什么？2.在学习的过程中你的困惑是什么？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？【当堂检测】1.如图，点D，E，F分别是△ABC 三边的中点，求证：△EDF∽△ACB.2.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改良？。
九年级数学上册 22.3 相似三角形的性质(第2课时)精品导学案 (新版)沪科版
第2课时 相似三角形的应用1．生活中存在许多相似图形，并且许多实际问题都要用到相似三角形的知识．如测量树的高度，我们可以利用已知物体的高度，然后利用相似三角形的对应边的比相等解决．2．小刚身高1.7 m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m ．紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m ，那么小刚举起手臂超出头顶( )．A ．0.5 mB ．0.55 mC ．0.6 mD ．2.2 m答案：A利用相似三角形的性质解题【例题】 为了增强视力保护意识，小明想在长为3.2 m ，宽为4.3 m 的书房里挂一张测试距离为5 m 的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．(1)甲生的方案：如图①，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由；(2)乙生的方案：如图②，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 多少米处？(3)丙生的方案：如图③，根据测试距离为5 m 的大视力表制作一个测试距离为3 m 的小视力表．如果大视力表中“E”的长是3.5 cm ，那么小视力表中相应“E”的长是多少厘米？解：(1)甲生的设计方案可行．根据勾股定理，得AC 2＝AD 2＋CD 2＝3.22＋4.32＝28.73.∴AC ＝28.73＞25＝5.∴甲生的设计方案可行．(2)∵视力表通过平面镜得到它的虚像到墙ABEF 处3.2 m ，∴3.2＋1.8＝5(m)，即离墙ABEF 处5－3.2＝1.8(m)．(3)∵FD ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC .∴FD BC ＝AD AB .∴FD 3.5＝35.∴FD ＝2.1(cm)． 答：小视力表中相应“E”的长是2.1 cm.针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第4题1. 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC 的高度，在点F 处竖立一根长为1.5米的标杆DF ，如图所示，量出DF 的影子EF 的长度为1米，再量出旗杆AC 的影子BC 的长度为6米，那么旗杆AC 的高度为( )．A ．6米B ．7米C ．8.5米D ．9米解析：易证△ABC ∽△DEF ，所以AC BC ＝DF EF ，即AC 6＝1.51，所以AC ＝9(米)． 答案：D2．为了测量一池塘的宽DE ，在岸边找到一点C ，测得CD ＝30 m ，在DC 的延长线上找一点A ，测得AC ＝5 m ，过点A 作AB ∥DE 交EC 的延长线于B ，测出AB ＝6 m ，则池塘的宽DE 为( )．A ．25 mB ．30 mC ．36 mD ．40 m答案：C3. 三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子(如图所示)．现测得OA=20 cm ，OA ′=50 cm ，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是___________.答案：25 4. 如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.4米，BP ＝2.1米，PD ＝12米．那么该古城墙CD 的高度是__________米．解析：由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB ＝∠CPD ，再由∠ABP ＝∠CDP ＝90°，得到△ABP ∽△CDP ，得到AB BP CD DP，代入数值求得CD ＝8米． 答案：8。
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第22讲相似三角形及其应用一、知识梳理
相似图形的有关概念
相似图形形状相同的图形称为相似图形
相似多边形定义
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似
相似比相似多边形对应边的比称为相似比k
相似三角形
两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等
比例线段
定义防错提醒
比例线段
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的
长度的比与另两条线段的长度的比相等，即
____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简
称比例线段
求两条线段的比时，
对这两条线段要用同一
长度单位
黄金分割
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和
BC(AC＞BC)，如果________，那么称线段AB被点C黄
金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的
比叫做黄金比，黄金比为________
一条线段的黄金分
割点有______个
平行线分线段成比例定理
定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比________
相似三角形的判定
判定定理1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角
形________
判定定理2 如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那么这两个三角形相似
判定定理4
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两个三角形相似
拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似
相似三角形及相似多边形的性质
三角形(1)相似三角形周长的比等于相似比
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方
(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比
相似多边形(1)相似多边形周长的比等于相似比
(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方
位似
位似图形定义
两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心
位似与相似关系
位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行
位似图形的性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________；
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点；
(3)位似图形对应边______(或在一条直线上)；
(4)位似图形对应角相等
以坐标原
点为中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________
位似作图(1)确定位似中心O；
(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；
(3)按照相似比取点；
(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形
相似三角形的应用
几何图形的证明
与计算常见问题
证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等
相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型
常见题目类
型
(1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解；
(2)测量底部可以达到的物体的高度；
(3)测量底部不可以到达的物体的高度；
(4)测量不可以达到的河的宽度
二、题型、技巧归纳
考点一：比例线段
例1已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝( )
A．7 B．C．8 D．
技巧归纳：本题考查的是平行线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键
考点2相似三角形的性质及其应用
例2 如图△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长H G是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
(1)求证：AM HG AD BC
(2)求这个矩形EFGH的周长．
技巧归纳：
1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；
2. 利用相似三角形性质探求比值关系．
考点3三角形相似的判定方法及其应用
例3、如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)求EF的长．
技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．
考点4位似
例4 如图正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3√2，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是( )
A、1
6
B、
1
3
C、
1
2
D、
2
3
技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知条件求得两个正方形的边长。
三、随堂检测
1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝ m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝ m，MN＝ m，则木竿PQ的长度为__ __m.
2、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2
与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为．
3、如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为．
参考答案
例1、因为a ∥b ∥c ，所以AC CE ＝BD DF ，∴46＝3
DF ，DF ＝，BF ＝.
例2、解：(1)证明：∵四边形EFGH 为矩形， ∴EF ∥GH. ∴∠AHG ＝∠ABC. 又∵∠HAG ＝∠BAC ， ∴△AHG ∽△ABC ，∴ AM AD ＝HG
BC
.
(2)由(1)得AM AD ＝HG
BC .设HE ＝x ，则HG ＝2x ，AM ＝AD －DM ＝AD －HE ＝30－x.
可得30－x 30＝2x 40
，解得x ＝12，2x ＝24.
所以矩形EFGH 的周长为2×(12＋24)＝72 (cm)． 例3、解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AEB ＋∠ABE ＝90°. ∵EF ⊥BE ，∴∠AEB ＋∠DEF ＝90°， ∴∠DEF ＝∠ABE ，∴△ABE ∽△DEF ； (2)∵△ABE ∽△DEF ，
∴BE EF ＝AB
DE
.∵AB ＝6，AD ＝12，AE ＝8， ∴BE ＝AB 2
＋AE 2
＝10，DE ＝AD －AE ＝12－8＝4， ∴10EF ＝64， 解得EF ＝20
3
.
例4、 延长A′B′交BC 于点E ，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．
∵在正方形ABCD 中，AC ＝32， ∴BC ＝AB ＝3.
延长A′B′交BC 于点E ， ∵点A′的坐标为(1，2)， ∴OE ＝1，EC ＝3－1＝2＝A′E， ∴正方形A′B′C′D′的边长为1，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是1
3.
故选B.
随堂检测 1、 2、
2
213
3、 210。