2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题：3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离 Word版含解析
高一数学人教A版必修2课后训练：3.2.2直线的两点式方程 Word版含解析
3.2.2 直线的两点式方程练习1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式2．过(2,5)、(2，－5)两点的直线方程是( )A ．x ＝5B ．y ＝2C ．x ＋y ＝2D ．x ＝23．如图所示，直线l 的截距式方程是x y a b+＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为 ( )A ．－32B ．－23C ．25D ．25．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( )A ．无最小值且无最大值B ．无最小值但有最大值C ．有最小值但无最大值D ．有最小值且有最大值6．过点(0,1)和(－2,4)的直线的两点式方程是__________．7．过点(0,2)和(－3,0)的直线的截距式方程是__________．8．过点(－1,5)，且与直线26x y +＝1垂直的直线方程是__________． 9．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． 10．已知点A (－1,2)，B (3,4)，线段AB 的中点为M ，求过点M 且平行于直线42x y -＝1的直线l 的方程．参考答案1. 答案：B2. 答案：D3. 答案：B4. 答案：A5. 答案：D6. 答案：104241201402y x y x ---+⎛⎫== ⎪----+⎝⎭或 7. 答案：32x y +-＝1 8. 答案：x －3y ＋16＝0 9. 解：设直线方程的截距式为1x y a a ++＝1， 则621a a-++＝1，解得a ＝2或a ＝1， 故直线方程是212x y ++＝1或111x y ++＝1， 即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.10. 解：由题意得M (1,3)，直线42x y -＝1的方程化为斜截式为y ＝12x －2，其斜率为12， 所以直线l 的斜率为12. 所以直线l 的方程是y －3＝12 (x －1)，即x －2y ＋5＝0.。
湖南省永州市道县第一中学高中数学《 3.3点到直线的距离及两平行线距离》学案 新人教A版必修2
湖南省永州市道县第一中学高一数学《 3.3点到直线的距离及两平行线距离》学案 新人教A 版必修22．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题117119，找出疑惑之处）复习1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为 ，AB 间的长度为 .复习2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?二、新课导学：※ 学习探究新知1：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：d =.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离； ⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢并画出图形来.例 分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y --0=的距离.问题3：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y +10-=的距离.新知2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为d = 注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.※ 典型例题例1 已知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，求三角形ABC 的面积.例2 求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：46x y +10-=的距离.※动手试试练1. 求过点(1,2)A-的直线方程.练2．求与直线:51260-+=平行且到l的距离为2的直线方程.l x y三、总结提升：※学习小结1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1． 求点(5,7)P -到直线12530x y +-=的距离（ ）A ．1B ．0C ．1413D ．28132. 过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）.A.250x y +-=B.240x y +-=C.370x y +-=D.350x y +-= 3. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）.A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x y -=D ．0x y -=4. 两条平行线3x －2y －1＝0和3x －2y ＋1＝0的距离5. 在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有 条.(1,0)G -，一边所在直线的方程为350x y +-=，求其他三边所在的直线方程.2．,A B 两个厂距一条河分别为400m 和100m ，,A B 两厂之间距离500m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供,A B 两厂用水，要使提水站到,A B 两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？。
人教版数学高一-人教A版高一数学必修二3.3《点到直线的距离》教案 王红敢
教案课题：点到直线的距离教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）第七章第3节教学目标：（1）至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法，能用公式来求点到直线距离。
（2）培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。
（3）认识事物（知识）之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。
（4）培养学生团队合作精神，培养学生个性品质，培养学生勇于探究的科学精神。
教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用教学难点：点到直线的距离公式的推导教学方法：启发引导法、讨论法学习方法：任务驱动下的研究性学习教学时间：45分钟教学过程：1 .教师提出问题，引发认知冲突（约5分钟）问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0 ,y0）和一条定直线l：Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。
学生1：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|PQ|。
接着，教师用投影出示下列5道题(尝试性题组)，请5位学生上黑板练习（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）：(1)求P（1,2）到直线l：x=3的距离d;（答案：d=2）(2)求P （x 0 ,y 0）到直线l ：By+C=0（B ≠0）的距离d ；（答案：0C d y B=+） (3) 求P （x 0 ,y 0）到直线l ：Ax+C=0（A ≠0）的距离d ；（答案：0C d x A =+） (4) 求P （6 ,7）到直线l ：3x-4y+5=0的距离d ；（答案：d=1）(5) 求P （x 0 ,y 0）到直线l ：Ax+By+C=0（AB ≠0）的距离d 。
第（1）容易、（2）和（3）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论；第（4）题虽然运算量较大，但按照刚才学生1回答的方法与步骤，也能顺利解出正确答案；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。
人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2
【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章 章末综合测评 1 数学试题 【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ， 在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
试卷第 1页，总 17页
高一数学人教A版必修2课后训练：3.3.3点到直线的距离 Word版含解析
3.3.3 点到直线的距离练习1．点P(m，n)到直线3x－4y＝5的距离d＝2，则实数m，n满足的条件是()A．|3m－4n－5|＝10 B．|3m－4n＋5|＝10 C．3m－4n－5＝10 D．3m－4n＋5＝102．已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离等于1，则实数m等于()A．34B．－34C．－43D．433．已知点A(3,4)，B(6，m)到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m等于()A．74B．－294C．1 D．74或－2944．点P为x轴上一点，点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为() A．(8,0) B．(－12,0) C．(8,0)或(－12,0) D．(0,0)5．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0 6．点A(m，－5)到直线l：y＝－2的距离为__________．7．已知点A(0,4)，B(2,5)，C(－2,1)，则BC边上的高等于__________．8．已知点P是直线l：y＝2x＋3上任一点，M(4，－1)，则|PM|的最小值为__________．9．求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)3x－4y－1＝0；(2)y＝6；(3)y轴．10．在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．参考答案1.答案：A2.答案：C3.答案：D4.答案：C5.答案：A6.答案：37.答案：28.9.解：(1)由点到直线的距离公式可得d16 5 =.(2)解法一：由直线y＝6与x轴平行，得d＝|6－(－2)|＝8.解法二：将y＝6变形为0·x＋y－6＝0，则d＝8.(3)d＝|3|＝3.10. 解：由题知|AB|5，∵S△ABC＝12|AB|·h＝10，∴h＝4.设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y－2＝－34(x－3)，即3x＋4y－17＝0.∴0000330,34174,5x yx y-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得01, 0x y =-⎧⎨=⎩或05,38.xy⎧=⎪⎨⎪=⎩∴点C的坐标为(－1,0)或(53，8)．。
高一数学上学期期末考试试题(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省实验中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故选2. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选3. 计算，其结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原式故选4. 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，取的中点，连接，，则，（或补角）是与所成的角，，，，，而故选5. 直线在轴上的截距是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线在轴上的截距就是在直线方程中，令自变量，直线在轴上的截距为故选6. 已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，使得，；②存在两条平行直线，，使得，，，；③存在两条异面直线，，使得，，，；④存在一个平面，使得，．其中可以推出的条件个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；故选7. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，原高为而横向长度不变，且梯形是直角梯形，故选8. 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）A. B.C. 或D. 都不对【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得直线的方程为综上，直线的方程为或故选9. 已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中两函数的图象交于点，由指数函数的性质可知，若，则，即，由于，所以且，解得，故选D.点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.10. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，球心在对角线上，且其半径为长度的一半为故选11. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为实数的取值X围是故选点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(54)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是( )A．各月的利润保持不变B．各月的利润随营业收入的增加而增加C．各月的利润随成本支出的增加而增加D．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系2.设i是虚数单位，如果复数(a+1)+(−a+7)i(a∈R)的实部与虚部相等，那么实数a的值为( )A．4B．3C．2D．13.关于频率分布直方图中小长方形的高的说法，正确的是( )A．表示该组上的个体在样本中出现的频率B．表示取某数的频率C．表示该组上的个体数与组距的比值D．表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在(2700,3000)内的频率为( )A．0.001B．0.1C．0.2D．0.35. 如果一组数据“x 1，x 2，x 3，x 4，x 5”的平均数是 2，方差是 13，那么另一组数据“3x 1−2，3x 2−2，3x 3−2，3x 4−2，3x 5−2”的平均数和方差分别为 ( ) A ． 2，13B ． 2，1C ． 4，23D ． 4，36. 在 △ABC 中，∠BAC =π2，AB =AC =2，P 为 △ABC 所在平面上任意一点，则 PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的最小值为 ( ) A ． 1B ． −12C ． −1D ． −27. 已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l ，若直线 m ，n 满足 m ∥α，n ⊥β，则 ( ) A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n8. 复数 i (2−i )= ( ) A ． 1+2iB ． 1−2iC ． −1+2iD ． −1−2i9. 若复数 z 满足 z (1+i )=2i ，其中 i 为虚数单位，则 z = ( ) A ． 1−iB ． 1+iC ． −1+iD ． −1−i10. 在 △ABC 中，B =30∘，AB =2√3，AC =2，则 △ABC 的面积是 ( )A ． √3B ． 2√3C ． √3 或 2√3D ． 2√3 或 4√3二、填空题（共6题） 11. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一．( )12. 根据党中央关于“精准脱贫”的要求，某市农业经济部门派甲、乙、丙 3 位专家对 A ，B 两个区进行调研，每个区至少派 1 位专家，则甲、乙两位专家均派遣至 A 区的概率为 ．13. 已知向量 a =(2,1)，b ⃗ =(−1,x )，若 (a +b ⃗ )∥(a −b ⃗ )，则实数 x 的值为 ．14. 半径为 3 的球体表面积为 ．15. 平面与平面垂直的性质定理：文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面 ．符号语言：α⊥β，α∩β=l，，⇒a⊥β．图形语言：16.若复数z=2+i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应点的坐标为．1−2i三、解答题（共6题）17.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：(1) 球的表面积等于圆柱的侧面积；．(2) 球的表面积等于圆柱全面积的2318.在静水中划船的速度的大小是每分钟40m，水流速度的大小是每分钟20m，如果一小船从岸边某处出发，沿着垂直于水流的方向到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？19.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2−a2=2bcsin(B+C)．(1) 求角A的大小；，求△ABC的面积．(2) 若a=2，B=π320.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？21.在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区．这个小区冬季用家庭燃气炉取暖．为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天每天晚上记录了天然气表显示的读数，如下表（注：天然气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天然气的数量）：日期15日16日17日18日19日20日21日22日小强的天然气表显示读数(单位:m3)220229241249259270279290妈妈11月15日买了一张面值600元的天然气使用卡，已知每立方米天然气1.70元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗？为什么？22.甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．(1) 结合平均数和方差分析谁更优秀；(2) 结合平均数和中位数分析谁的成绩好些；(3) 结合平均数和命中9环及以上的次数分析谁的成绩好些；(4) 从折线图上两人射击命中环数的走势分析谁更有潜力．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】频率分布直方图2. 【答案】B【解析】由题意得 a +1=−a +7，则 a =3．故选B ． 【知识点】复数的乘除运算3. 【答案】D【解析】频率分布直方图中小长方形的高是 频率组距，面积表示频率．【知识点】频率分布直方图4. 【答案】D【知识点】频率分布直方图5. 【答案】D【知识点】样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】如图，以直线 AB ，AC 分别为 x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则 A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，设 P (x,y )，则 PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−y )，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,2−y )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2x,2−2y )， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−x (2−2x )−y (2−2y )=2x 2−2x +2y 2−2y =2(x −12)2+2(y −12)2−1,当 x =12，y =12 时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 取得最小值，为 −1． 故选C ．【知识点】平面向量数量积的坐标运算7. 【答案】C【解析】由题意知α∩β=l，所以l⊂β，因为n⊥β，所以n⊥l．【知识点】直线与直线的位置关系、点、线、面的位置关系8. 【答案】A【解析】i(2−i)=1+2i．【知识点】复数的乘除运算9. 【答案】B【解析】因为复数z满足z(1+i)=2i，所以z=2i1+i=1+i．【知识点】复数的乘除运算10. 【答案】C【解析】由AB=2√3，AC=2，B=30∘及正弦定理ACsinB =ABsinC得sinC=ABsinBAC=2√3×122=√32．由C为三角形的内角可知C=60∘或120∘．因此A=90∘或30∘．在△ABC中，由AB=2√3，AC=2，A=90∘或30∘，得面积S=12AC⋅AB⋅sinA=2√3或√3．【知识点】正弦定理二、填空题（共6题）11. 【答案】×【知识点】余弦定理12. 【答案】16【解析】该试验所有的样本点为(甲,乙丙)，(乙,甲丙)，(丙,甲乙)，(甲乙,丙)，(甲丙,乙)，(乙丙,甲)（其中每个样本点表示的都是“派往A区调研的专家、派往B区调研的专家”），共6个，其中甲、乙两位专家均被派遣至 A 区的样本点有 1 个，因此，所求事件的概率为 16． 【知识点】古典概型13. 【答案】 −12【解析】因为 a =(2,1)，b⃗ =(−1,x )， 所以 a +b ⃗ =(1,x +1)，a −b ⃗ =(3,1−x )， 又 (a +b ⃗ )∥(a −b⃗ )， 所以 1−x −3(x +1)=0， 解得 x =−12．【知识点】平面向量数乘的坐标运算14. 【答案】 36π【知识点】球的表面积与体积15. 【答案】交线；垂直； a ⊂α ； a ⊥l【知识点】平面与平面垂直关系的性质16. 【答案】 (0,1)【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 略． (2) 略．【知识点】圆柱的表面积与体积、球的表面积与体积18. 【答案】如图所示，设向量 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形 OACB ，连接 OC ． 依题意得 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=20，∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=40，所以 ∠BOC =30∘．故船应向上游且与河岸夹角为 60∘ 的方向行进． 【知识点】平面向量的实际应用问题19. 【答案】(1) 因为 A +B +C =π， 所以 sin (B +C )=sinA ， 所以 b 2+c 2−a 2=2bcsinA ，所以b 2+c 2−a 22bc=sinA ，由余弦定理得 cosA =sinA ，可得 tanA =1， 又因为 A ∈(0,π)， 所以 A =π4．(2) 根据正弦定理得 b =a sinA ⋅sinB =√6，又 sinC =sin (A +B )=sin (π4+π3)=√6+√24， 所以S △ABC =12absinC =12⋅2⋅√6⋅√6+√24=3+√32.【知识点】余弦定理、正弦定理20. 【答案】①平面 α 内两条相交直线 a ，b ，即 a ⊂α，b ⊂α，a ∩b =P ．②两条相交直线 a ，b 都与 β 平行，即 a ∥β，b ∥β． 【知识点】平面与平面平行关系的判定21. 【答案】 300×1.70<600，够用．【知识点】样本数据的数字特征22. 【答案】(1) 根据题意作出统计表：平均数方差中位数命中9环及以上次数甲7 1.271乙75.47.53因为平均数相同，且 s 甲2<s 乙2，所以甲的成绩比乙稳定，甲更优秀．(2) 因为平均数相同，甲的中位数 < 乙的中位数， 所以乙的成绩比甲好．(3) 因为平均数相同，且乙命中 9 环及以上的次数比甲多， 所以乙的成绩比甲好．(4) 因为甲的成绩在平均线附近波动，而乙的成绩整体处于上升趋势，从第 4 次开始射靶的环数没有比甲少的情况发生， 所以乙更有潜力．【知识点】样本数据的数字特征。
高一数学(人教A版)必修2课件两点间的距离公式
已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P 的坐标为________．
[答案] (－5,0)或(11,0)
[分析] 设出点P的坐标，根据两点间距离公式，列方程 求解．
[解析] 设点P的坐标为(x,0)，由d(P，A)＝10得 x－32＋0－62＝10，
解得x＝11或x＝－5. ∴点P的坐标为(－5,0)或(11,0).
坐标法的应用
学法指导 建立直角坐标系的原则： (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直 角坐标系； (2)若已知两定点，常以两点的中点(或一个定点)为原 点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系； (3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建 立直角坐标系；
(4)若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线 段的中点为原点，以定点到定直线垂线段的反向延长线为x轴 建立直角坐标系；
自主预习 阅读教材P104～106，回答下列问题． 1．两点间的距离公式 (1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12. (2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之 差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [破疑点]坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距 离公式的推广．
规律总结：在建立坐标系时，适当的坐标系能使运算更 加简便(如本例以两直角边为坐标轴建立坐标系)，故在建坐标 系时要有效地利用条件中的垂直、对称等关系．
1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )
A．5
B. 37
C. 13
D．4
[答案] A
[解析] |MN|＝ 2＋12＋1－52＝5.
[分析] 取直角边所在的直线为坐标轴建立坐标系，再写 出各顶点坐标，给出证明．
3-3-3、4 点到直线的距离和两条平行直线间的距离 63张
第三章
3.3
3.3.3、3.3.4
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点(1，－5)到直线2x－y－2＝0的距离d＝________.
[答案]
5
[解析]
|2×1－－5－2| d＝ ＝ 5. 2 2 2 ＋－1
第三章
3.3
3.3.3、3.3.4
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2．两条平行直线间的距离 (1)定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长叫做这两条 平行直线间的距离． (2)求法：转化为求点到直线的距离，即在其中任意一条 ．．．． 直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行 直线间的距离．
第三章
3.3
3.3.3、3.3.4
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规律总结：针对这个类型的题目一般有两种思路： (1)利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中 一条直线上任意一点到另一条直线的距离． |C1－C2| (2)直接用公式d＝ 2 2 ，但要注意两直线方程中x，y A ＋B 的系数必须分别相同．
第三章
3.3
3.3.3、3.3.4
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3．与直线Ax＋By＋C＝0(A、B不全为0)垂直的直线可设
Bx－Ay＋λ＝0 为___________________，与之平行的直线可设为
Ax＋By＋λ＝0(λ≠C) _______________________．
4．点到直线的距离即点到直线的垂线段的长度．
第三章
直线与方程
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课前自主预习
方法警示探究 课堂基础巩固
思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
2022-2023学年高一数学：点到直线的距离公式
=
=
边AB上的高h就是点C到直线AB的距离.
边AB所在直线 l 的方程为
− −
=
− −
即 x+y-4=0
点C（-1，0）到直线 l： x+y-4=0 的距离 =
因此，
△ =
× ×
=
− + −
+
=
练一练
2.求点 P(3，－2)到下列直线的距离：
D．x－3y－4＝0
)
7 x 5 y 24 0
x 2
【解析】选C.解方程组
,得
, 所以交点坐标为
x y 0
y 2
（2, 2），设直线方程为y 2 k ( x 2), 即kx y 2k 2 0,
| 5k 1 2k 2 | | 3k 1|
得
∙ =
+
− − −
因此,
= = ∙ =
+ +
+
方法四：用三角形面积公式推导
合作探究
如图
=
提示： 当A、B≠ 时，分别作平行于x轴，y轴的两条直线，
分别交直线 Ax + By + C=0 于点
A.
B．2－
C.
－1
D. ＋1
3. 已知P（1，2），则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时，a=( B )
A. 1
B．−
C.
D.
解：因为直线2ax+y-4=0恒过定点A（0，4）
高一数学人教A版必修2练习3.2.2 直线的两点式方程 Word版含解析
．直线的两点式方程
直线方程的两点式和截距式．
两点式直线方程不能表示与轴或与轴平行的直线．
()截距式中表示在轴上的截距，表示在轴上的截距，它们均可正可负．
()直线＋＝在轴上截距为：－，轴上截距为：．
►思考应用
直线的两点式方程能用＝(≠，≠)代替吗？
解析：不能用之代替．因为此方程中－≠，会比原来方程表示的直线少一点．
．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()
．可以写成两点式或截距式
．可以写成两点式或斜截式或点斜式
．可以写成点斜式或截距式
．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
．过两点(，)，(，)的直线方程是()
．＝．＝
．＋＝．＝
．在，轴上的截距分别是－，的直线方程是()
＋＝＋＝
－＝＋＝
．直线过点(－，)和(，)，点( ，)在直线上，则的值为() ．．
．．
解析：由两点式可得直线方程为＝，
即＝(＋)．点( ，)代入直线方程得，＝×( ＋)＝.
．过(，)，(，)两点的直线方程是()
＋＝＋＝。
高一数学人教A版必修2试题3.2.2 直线的两点式方程 Word版含解析
第三章一、选择题．直线－＝在轴、轴上的截距分别为( )．．，－．－，－．－[解析]将－＝化成直线截距式的标准形式为＋＝，故直线－＝在轴、轴上的截距分别为、－.．已知点(，－)、()，若线段的垂直平分线的方程是＋＝，则实数的值是( )．－．－．．[解析]由中点坐标公式，得线段的中点是(，)．又点(，)在线段的垂直平分线上，所以＋＝，所以＝，选．．如右图所示，直线的截距式方程是＋＝，则有( )．>，>．>，<．<，>．<，< [解析]很明显()、(，)，由图知在轴正半轴上，在轴负半轴上，则>，<.．已知△三顶点()、()、()，为中点，为中点，则中位线所在直线方程为( )．＋－＝．－＋＝．＋－＝．－－＝[解析]点的坐标为()，点的坐标为()，由两点式方程得＝，即＋－＝.．如果直线过(－，－)、()两点，点(，)在直线上，那么的值为( )．．．．[解析]根据三点共线，得＝，得＝.．两直线－＝与－＝的图象可能是图中的哪一个( )[解析]直线－＝化为＝－，直线－＝化为＝－，故两直线的斜率同号，故选．．已知、两点分别在两条互相垂直的直线＝和＋＝上，且线段的中点为(，)，则直线的方程为( )．＝－＋．＝－．＝＋．＝－－[解析]依题意，＝，()．设()、(－，)，则由中点坐标公式，得(\\(－＝＋＝))，解得(\\(＝＝))，所以()、(－)．由直线的两点式方程，得直线的方程是＝，即＝＋，选．．过(，－)且在坐标轴上截距相等的直线有( )．条．条．条．条[解析]解法一：设直线方程为＋＝(－)(≠)．令＝得＝，令＝得＝－－.由题意，＝－－，解得＝－或＝－.因而所求直线有两条，∴应选．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为()，(，)，≠，则直线方程为＋＝，把点(，－)的坐标代入方程得＝.∴所求直线有两条，∴应选．二、填空题．已知点(－－)在经过(，－)、(－)两点的直线上，则＝[解析]解法一：的直线方程为：＝，即＋－＝，代入(－－)得＝.解法二：、、三点共线，∴＝，解得＝.．(～·衡水高一检测)已知直线的斜率为，且在两坐标轴上的截距之和为，则此直线的方程为－＋＝[解析]设：＝＋，令＝得＝－.由条件知＋＝，∴＝.∴直线方程为＝＋.解法：设直线：＋＝，变形为＝－＋.由条件知(\\(－()＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝－)).∴直线方程为＋＝.即－＋＝.三、解答题．求分别满足下列条件的直线的方程：()斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是；()经过两点()、()；()经过点(，－)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[解析]()设直线的方程为＝＋.令＝，得＝－，∴·(－)＝，＝±.。
2018学年高一数学人教A版必修2练习：3.3.2 点到直线的
3.3.2点到直线的距离及两条平行直线间的距离基础梳理1．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0练习1：点P(0，5)到直线2x－y＝02．平行直线Ax＋By＋n＝0，Ax＋By＋m＝0练习2：直线y＝a与直线y＝b的距离d＝|b－a|．►思考应用1．点P(x，y)到直线y＝b的距离为|b－y|，点P(x，y)到直线x ＝a的距离d＝|a－x|．2．已知直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋2y＋1＝0，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离．解析：l1方程可化为6x＋2y－6＝0，l1∥l2，由两平行线间的距离公式得d＝|－6－1|36＋4＝71020.自测自评1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(D) A．1 B. 3C ．2D . 5解析：d ＝|－5|1＋22＝ 5. 2．若点(2，k)到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是(D )A ．1B ．－3C ．1或53D ．－3或173解析：由点到直线的距离公式|10－12k ＋6|52＋122＝4， 解得k ＝－3或k ＝173. 3．点P(－2，0)到直线y ＝3的距离为3．4．两条平行直线3x ＋4y －2＝0，3x ＋4y －12＝0之间的距离为2．解析：d ＝|－2＋12|32＋42＝105＝2. 基础达标1．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(D)A ．4 B.21313C.52613D.72613 解析：∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0平行，∴m ＝4.∴两平行线间的距离：d ＝|－3－12|32＋22＝7213＝72613. 2．两平行线y ＝kx ＋b 1与y ＝kx ＋b 2之间的距离是(B )A ．b 1－b 2 B.|b 1－b 2|1＋k2 C ．|b 1－b 2| D ．b 2－b 1解析：两直线方程可化为kx －y ＋b 1＝0，kx －y ＋b 2＝0. ∴d ＝|b 1－b 2|1＋k2. 3．过点(1，2)且与原点距离最大的直线方程是(A )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：所求为过A (1，2)，且垂直OA 的直线，∴k ＝－12， ∴y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 4．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋y n＝1的距离等于(A ) A.m 2＋n 2 B.m 2－n 2C.n 2－m 2D.m 2±n 2解析：直线方程可化为nx ＋my －mn ＝0，故d ＝|（m －n ）n －m 2－mn |m 2＋n 2 ＝|mn －n 2－m 2－mn |m 2＋n 2＝m 2＋n 2. 5．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为(D ) A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2. 所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0.6．垂直于直线x －3y ＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程是________．解析：由题意，可设所求直线方程为3x ＋y ＋c ＝0， 则|c |2＝5. ∴|c |＝10，即c ＝±10.答案：3x ＋y －10＝0或3x ＋y ＋10＝07．求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)y ＝34x ＋14； (2)y ＝6；(3)x ＝4.解析：(1)把方程y ＝34x ＋14写成3x －4y ＋1＝0， 由点到直线的距离公式得d ＝|3×3－4×（－2）＋1|32＋（－4）2＝185. (2)因为直线y ＝6平行于x 轴，所以d ＝|6－(－2)|＝8.(3)因为直线x ＝4平行于y 轴，所以d ＝|4－3|＝1. 巩固提升8．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是(A )A ．8B ．2 2C. 2 D ．169．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4，5)到l 的距离相等，则l 的方程为________．解析：显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1； 设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵点A ，B 到l 的距离相等，∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1. ∴|1－3k |＝|3k －5|，∴k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0.综上，l的方程为x＝1，或x－y－1＝0.答案：x＝1，或x－y－1＝010．求与直线2x－y－1＝0平行，且和2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．解析：解法一由已知可设所要求的直线方程为2x－y＋c＝0，则两条平行直线间的距离为d＝|c－（－1）|22＋（－1）2，∴|c＋1|5＝2，∴|c＋1|＝2 5.∴c＝－1±25，所求直线方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.解法二设所要求的直线上任意一点P(x，y)，则P到直线2x－y－1＝0的距离为d＝|2x－y－1|22＋（－1）2，∴|2x－y－1|5＝2，∴2x－y－1＝±2 5.∴所要求的直线方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.1．点到直线的距离公式是本节的重要公式，其用途十分广泛，在使用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．2．点到直线的距离的特殊形式：P(x0，y0)到直线y＝b的距离为|y0－b|，到直线x＝a的距离为|x0－a|；若P(x0，y0)在直线上，公式也适用，此时d＝0.3．在求两平行线间距离时要注意首先将两直线方程中x，y的系数化为相同的．。
2017-2018学年人教A版高中数学必修二浙江专版学案：3-
3.3 直线的交点坐标与距离公式3．3.1&3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离[新知初探]1．两直线的交点坐标 (1)两直线的交点坐标：(2)两直线的位置关系2．两点间距离公式(1)公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．[点睛] (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)当直线P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. 当直线P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 当点P 1，P 2中有一个是原点时，|P 1P 2|＝x 2＋y 2.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)过P 1(0，a )，P 2(0，b )的两点间的距离为a －b ( ) (2)不论m 取何值，x －y ＋1＝0与x －2my ＋3＝0必相交( ) 答案：(1)× (2)×2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5 D ．－1或5 解析：选C ∵|AB |＝a ＋2＋＋2＝5，∴a ＝－5或a ＝1.3．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为________． 解析：在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6. 答案：±6[典例] 求过直线2x －y ＋2＝0和x ＋y ＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．[解] 法一：(点斜式法)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以两直线的交点坐标为(－1,0)，又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y －0＝3[x －(－1)]，即3x －y ＋3＝0.法二：(分离参数法)设所求直线为l ，因为l 过已知两直线的交点，因此l 的方程可设为2x －y ＋2＋λ(x ＋y ＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x ＋(λ－1)y ＋λ＋2＝0 ①，又直线l 的斜率为3，所以－λ＋2λ－1＝3，解得λ＝14，将λ＝14代入①，整理得3x －y ＋3＝0.[活学活用]三条直线ax ＋2y ＋7＝0,4x ＋y ＝14和2x －3y ＝14相交于一点，求a 的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝14，2x －3y ＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以两条直线的交点坐标为(4，－2)．由题意知点(4，－2)在直线ax ＋2y ＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a ×4＋2×(－2)＋7＝0，解得a ＝－34.[典例] (1)已知点A (－3,4)，B (2，3)，在x 轴上找一点P ，使|PA |＝|PB |，并求|PA |的值；(2)已知点M (x ，－4)与点N (2,3)间的距离为72，求x 的值． [解] (1)设点P 的坐标为(x,0)，则有 |PA |＝ x ＋2＋－2＝ x 2＋6x ＋25，|PB |＝x －2＋－32＝ x 2－4x ＋7.由|PA |＝|PB |，得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，解得x ＝－95.故所求点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0. |PA |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－95＋32＋－2＝21095.(2)由|MN |＝72， 得|MN |＝x －2＋－4－2＝72，即x 2－4x －45＝0， 解得x 1＝9或x 2＝－5. 故所求x 的值为9或－5.若已知两点的坐标x 2－12＋y 2－12.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题．[活学活用]已知点A (－2，－1)，B (－4，－3)，C (0，－5)，求证：△ABC 是等腰三角形． 证明：∵|AB |＝ －4＋2＋－3＋2＝22，|AC |＝ ＋2＋－5＋2＝25， |BC |＝＋2＋－5＋2＝25，∴|AC |＝|BC |.又∵点A ，B ，C 不共线， ∴△ABC 是等腰三角形.[典例] 求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3都恒过一定点． [证明] 法一：(特殊值法)取λ＝0，得到直线l 1：2x ＋y ＋3＝0， 取λ＝1，得到直线l 2：x ＝－3， 故l 1与l 2的交点为P (－3,3)． 将点P (－3,3)代入方程左边，得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3上． ∴直线(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3恒过定点(－3,3)． 法二：(分离参数法)由(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3， 整理，得(2x ＋y ＋3)＋λ(x －y ＋6)＝0.则直线(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3通过直线2x ＋y ＋3＝0与x －y ＋6＝0的交点．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －y ＋6＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3.∴直线(λ＋2)x －(λ－1)y ＝－6λ－3恒过定点(－3,3)．[活学活用]已知直线λ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为y －35＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －15，所以不论a 取何值，直线l 恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，又点A 在第一象限，所以不论a 取何值，直线l 恒过第一象限． (2)令x ＝0，y ＝3－a5，由题意，3－a5≤0，解得a ≥3.所以a 的取值范围为[3，＋∞).1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )， 则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 题点二：点关于线对称2．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5)D ．(4，－3)解析：选B 设对称点坐标为(a ，b )，⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．题点三：线关于点对称3．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝0解析：选D 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行， 则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)，关于点(1，－1)对称点为(－1，－2)， 则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，C ＝8. ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 题点四：线关于线对称4．求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l ：2x －3y ＋1＝0的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 题点五：距离和(差)最值问题5．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小； (2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大． 解：(1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．因为P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点， 则||PB |－|PA ||≤|AB |， 当且仅当A ，B ，P 三点共线时， ||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |， 点P 即是直线AB 与直线l 的交点， 又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)．层级一 学业水平达标1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.2．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2D ．不能确定解析：选B 由k AB ＝1，得b －a1＝1，∴b －a ＝1. ∴|AB |＝－2＋b －a2＝1＋1＝ 2.3．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R)所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3)C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：选A (a －1)x －y ＋2a ＋1＝0可化为－x －y ＋1＋a (x ＋2)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.4．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．2 B ．4 C ．5D.17解析：选D 根据中点坐标公式得到x －22＝1且5－32＝y ，解得x ＝4，y ＝1，所以点P 的坐标为(4,1)，则点P (x ，y )到原点的距离d ＝－2＋－2＝17.5．到A (1,3)，B (－5,1)的距离相等的动点P 满足的方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0解析：选B 设P (x ，y )， 则x －2＋y －2＝x ＋2＋y －2，即3x ＋y ＋4＝0.6．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________．解析：设对称点坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2－＝－1，a ＋22＋b ＋52＝1.解得a ＝－4，b ＝－1，即所求对称点坐标是(－4，－1)．答案：(－4，－1)7．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.又所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直，故k ＝13，∴直线方程为y ＋75＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即5x －15y －18＝0. 答案：5x －15y －18＝08．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为________．解析：设P 点的坐标是(a ，a ＋4)， 由题意可知|PM |＝|PN |，即a ＋2＋a ＋4＋2＝a －2＋a ＋4－2，解得a ＝－32，故P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52 9．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.10．已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，满足下列条件：(1)l 1与l 2相交于一点P (m,1)； (2)l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)； (3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)把P (m,1)的坐标分别代入l 1，l 2的方程得m 2＋8＋n ＝0,2m ＋m －1＝0，解得m ＝13，n ＝－739.(2)显然m ≠0.∵l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 8＝－2m ，3m －8＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝20.(3)由l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.当m ＝0时，l 1的方程为8y ＋n ＝0，l 2的方程为2x －1＝0.∴－8＋n ＝0，解得n ＝8.∴m ＝0，n ＝8.而m ≠0时，直线l 1与l 2不垂直． 综上可知，m ＝0，n ＝8.层级二 应试能力达标1．直线l ：x ＋2y －1＝0关于点(1，－1)对称的直线l ′的方程为( ) A ．2x －y －5＝0 B ．x ＋2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选C 由题意得l ′∥l ，故设l ′：x ＋2y ＋c ＝0，在l 上取点A (1,0)，则点A (1,0)关于点(1，－1)的对称点是A ′(1，－2)，所以1＋2×(－2)＋c ＝0，即c ＝3，故直线l ′的方程为x ＋2y ＋3＝0，故选C.2．已知平面上两点A (x ，2－x )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B.13 C ．2D.12 解析：选 D ∵|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋2－x2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3242＋14≥12当且仅当x ＝324时等号成立，∴|AB |min ＝12. 3．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则该定点为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(3,1)D ．(3，－1)解析：选D 直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，此直线过直线2x ＋y －5＝0和直线x －y －4＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此所求定点为(3，－1)．故选D.4．已知点A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使|PA |＋|PB |取最小值，则P 点坐标是( )A ．(1，－1)B ．(－1,1) C.⎝⎛⎭⎪⎫135，－135D ．(－2,2)解析：选C 点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，直线A ′B 的方程为y ＝14x －134，与x ＋y ＝0联立方程组并解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝135，y ＝－135，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135.5．若两直线(m ＋2)x －y －m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴围成三角形，则实数m 的取值范围是________．解析：当直线(m ＋2)x －y －m ＝0，x ＋y ＝0及x 轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形．当m ＝－2时，(m ＋2)x －y －m ＝0与x 轴平行；当m ＝－3时，(m ＋2)x －y －m ＝0与x ＋y ＝0平行；当m ＝0时，三条直线都过原点，所以m 的取值范围为{m |m ≠－3，且m ≠－2，且m ≠0}．答案：{m |m ≠－3，且m ≠－2，且m ≠0}6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________．解析：法一：由题意知直线l 过定点P (0，－3)， 直线2x ＋3y －6＝0与x ，y 轴的交点分别为A (3,0)，B (0,2)， 如图所示，要使两直线的交点在第一象限， 则直线l 在直线AP 与BP 之间， 而k AP ＝－3－00－3＝33，∴k >33.法二：解方程组⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋63k ＋2，y ＝6k －233k ＋2.由题意知x ＝33＋63k ＋2>0且y ＝6k －233k ＋2>0.由33＋63k ＋2>0可得3k ＋2>0， ∴6k －23>0，解得k >33. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 7．已知△ABC 的一个顶点A (2，－4)，且∠B ，∠C 的角平分线所在直线的方程依次是x ＋y －2＝0，x －3y －6＝0，求△ABC 的三边所在直线的方程．解：如图，BE ，CF 分别为∠B ，∠C 的角平分线，由角平分线的性质，知点A 关于直线BE ，CF 的对称点A ′，A ″均在直线BC 上．∵直线BE 的方程为x ＋y －2＝0， ∴A ′(6,0)．∵直线CF 的方程为x －3y －6＝0，∴A ″⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.∴直线A ′A ″的方程是y ＝0－456－25(x －6)，即x ＋7y －6＝0，这也是BC 所在直线的方程． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －6＝0，x ＋y －2＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －6＝0，x －3y －6＝0，得C (6,0)，∴AB 所在直线的方程是7x ＋y －10＝0，AC 所在直线方程是x －y －6＝0.8．已知两直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4(0<a <2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值？并求最小值．解：两直线l 1：a (x －2)＝2(y －2)，l 2：2(x －2)＝－a 2·(y －2)，都过点(2,2)，如图：设两直线l 1，l 2的交点为C ，且它们的斜率分别为k 1和k 2， 则k 1＝a2∈(0,1)，k 2＝－2a 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12.∵直线l 1与y 轴的交点A 的坐标为(0,2－a )，直线l 2与x 轴的交点B 的坐标为(2＋a 2,0)． ∴S OACB ＝S △OAC ＋S △OCB ＝12(2－a )·2＋12·(2＋a 2)·2＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154.∴当a ＝12时，四边形OACB 的面积最小，其值为154.3．3.3&3.3.4 点到直线的距离、两平行线间的距离[新知初探]点到直线的距离与两条平行线间的距离[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝y 0－b ( ) (2)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |( ) (3)两直线x ＋y ＝m 与x ＋y ＝2n 的距离为|m －2n |2( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|5＝ 5.3．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B 由题意知l 1，l 2平行，则l 1∥l 2之间两直线的距离为|1－－12＋12＝ 2.[典例] 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－－＋1|32＋－2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1.[活学活用]1．若点P (3，a )到直线x ＋3y －4＝0的距离为1，则a 的值为( ) A. 3B ．－33 C ．－3或33D ．－33或 3 解析：选D 由点到直线的距离公式得|3＋3a －4|2＝1，解得a ＝3或a ＝－33.2．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：选A 当所求直线l 与线段OA 垂直时，原点到直线的距离最大．∵k OA ＝2，∴k l ＝－12. ∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)．即x ＋2y －5＝0.[典例] 12距离相等的直线l 的方程．[解] 设所求直线l 的方程为2x －3y ＋C ＝0. 由直线l 与两条平行线的距离相等， 得|C －4|22＋32＝|C ＋2|22＋32，即|C －4|＝|C ＋2|，解得C ＝1.故直线l 的方程为2x －3y ＋1＝0.[活学活用]1．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．－1或1解析：选D 由题意，得63＝a －2≠c－1，所以a ＝－4，c ≠－2.所以直线6x ＋ay ＋c ＝0的方程可化为3x －2y ＋c2＝0.由两平行线间的距离公式，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113＝21313，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋1＝2，解得c ＝2或－6，所以c ＋2a＝－1或1，故选D.2．若直线m 被平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是______．解析：两平行线间的距离d ＝|3－1|1＋1＝2，故m 与l 1或l 2的夹角为30°.又l 1，l 2的倾斜角为45°，∴直线m 的倾斜角为30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.答案：①⑤[典例] 已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l 的方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．[解] 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边所在的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－5)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0得正方形的中心坐标为P (－1,0)，由点P 到两直线l ，l 1的距离相等，得|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0.又正方形另两边所在直线与l 垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x －y ＋a ＝0,3x －y ＋b ＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋－2＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或a ＝－3， ∴另两条边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0,3x －y －3＝0.[活学活用]1．已知P ，Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．3 B.32 C.32D. 3解析：选 B 由于所给的两条直线平行，所以|PQ |的最小值就是这两条平行直线间的距离．由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|－10－5|62＋82＝32，即|PQ |的最小值为32. 2．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________．解析：依题意，知l 1∥l 2，故点M 所在的直线平行于l 1和l 2，可设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0(m ≠－7且m ≠－5)，根据平行线间的距离公式，得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.答案：3 2层级一 学业水平达标1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3B.53C ．1D.22解析：选B 点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝－－2|02＋32＝53，选B. 2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34解析：选D 点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D.3．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝－2＋－2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.4．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2,4) C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)解析：选C 直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得＋t －＋3t －1|22＋－2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A.423B.823C ．4 2D ．2 2解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a a －－3＝0，2a －a －，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－2＝823. 6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52， ∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1737．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：128．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0间的距离相等，则直线l 的方程是________．解析：由题意可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋－2＝|c ＋1|22＋－2，即|c －3|＝|c ＋1|.∴c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝09．求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．解：法一：∵点A (1,1)与B (－3,1)到y 轴的距离不相等，∴直线l 的斜率存在，设为k . 又直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0. 由点A (1,1)与B (－3,1)到直线l 的距离相等， 得|k －1＋2|k 2＋1＝|－3k －1＋2|k 2＋1，解得k ＝0或k ＝1. ∴直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.法二：当直线l 过线段AB 的中点时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)， ∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0；当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 的距离相等．∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0，∴直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2.10.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程．解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形的面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， ∴b 2＝9，b ＝±3.又b >1，∴b ＝3.从而得直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.层级二 应试能力达标1．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( ) A ．4 B.1020C.104D.71020解析：选D ∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020，选D. 2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．如果点P 到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3及直线x ＝－12的距离都相等，那么满足条件的点P 有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 因为点P 到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的距离相等，所以点P 在线段AB 的垂直平分线y ＝32上．直线AB 与直线x ＝－12平行，且两平行线间的距离为1.又1<|AB |2＝32，所以满足条件的点P 有1个．4．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：选B 将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 是经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1,1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.5．已知5x ＋12y ＝60，则 x 2＋y 2的最小值是________．解析： x 2＋y 2表示直线5x ＋12y ＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x ＋12y ＝60的垂线段的长最小，故最小值为d ＝6052＋122＝6013.答案：60136．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有________条．解析：由题可知所求直线显然不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立，解得b 1＝3，b 2＝53， ∴k 1＝0，k 2＝－43.故所求直线共有两条．答案：27．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：由题意知，若截距为0， 可设直线l 的方程为y ＝kx .由题意知|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－12±3142.若截距不为0，设所求直线l 的方程为x ＋y －a ＝0.由题意知|4＋3－a |2＝32，解得a ＝1或a ＝13.故所求直线l 的方程为y ＝－12＋3142x ，y ＝－12－3142x ，x ＋y －1＝0或x ＋y －13 ＝0.8．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1,0)，B (0,1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．解：由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间的距离公式，设Q (－2，－2)，又P (a ，b )，则|PQ |＝a ＋2＋b ＋2，于是问题转化为求|PQ |2的最大值、最小值．如图所示，当P 与A 或B 重合时，|PQ |取得最大值，即－2－2＋－2－2＝13.当PQ ⊥AB 时，|PQ |取得最小值，此时|PQ |为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝52＝522， ∴252≤(a ＋2)2＋(b ＋2)2≤13.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．经过A (2,0)，B (5,3)两点的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．90°D ．60°解析：选A ∵A (2,0)，B (5,3)， ∴直线AB 的斜率k ＝3－05－2＝1.设直线AB 的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)， 则tan θ＝1，∴θ＝45°.故选A.2．点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为( ) A. 3 B.3m C ．3D ．3m 解析：选A 由点到直线的距离公式得点F (3m ＋3，0)到直线3x －3my ＝0的距离为3·3m ＋33m ＋3＝ 3.3．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.4．如果直线l 过(－2，－2)，(2,4)两点，点(1 344，m )在直线l 上，那么m 的值为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选D 由两点式，得y ＋24＋2＝x ＋22＋2，∴当x ＝1 344时，m ＝2 017，故选D.5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，则顶点D 的坐标为( ) A ．(3,4) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(3,8)解析：选A 设D (m ，n )，由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4，∴点D 的坐标为(3,4)．6．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.7．等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2,0)或(4,6) B ．(2,0)或(6,4) C ．(4,6)D ．(0,2)解析：选A 设B 点坐标为(x ，y )，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0×y －3x －3＝－1，x －2＋y －2＝－2＋－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6.8．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0， 则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5.答案：(1，－5)10．若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －1a ＋2<0，得－2<a <1.答案：(－2,1)11．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，∴12|ab |＝3，且－b a ＝16，解得a ＝－6，b ＝1或a ＝6，b ＝－1，∴直线l 的方程为x －6＋y ＝1或x6－y ＝1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 答案：x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝012．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则m ＝________，n ＝________.解析：依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3，∴其倾斜角为60°.∴－3n ＝－3，－mn＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.答案： 3 113．设两直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8，若l 1∥l 2，则m ＝____________；若l 1⊥l 2，则m ＝____________.解析：由l 1∥l 2得(3＋m )(5＋m )－4×2＝0，解得m ＝－1或m ＝－7，当m ＝－1时，两直线重合，舍去．由l 1⊥l 2得(3＋m )×2＋4×(5＋m )＝0，解得m ＝－133.答案：－7 －13314．已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m ＝______________，n ＝______________.解析：由题意，所给两条直线平行，∴n ＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋－2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)． 答案：2 －215．已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)，则求直线l 的方程为________，点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：∵k ＝tan 135°＝－1， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3－＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)． 答案：x ＋y －2＝0 (－2，－1)三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1,2)，B (3,3)及点P 为顶点的△ABP 的面积为5.解：设点P 的坐标为(a,0)(a >0)，点P 到直线AB 的距离为d .由已知，得S △ABP ＝12|AB |·d＝12－2＋－2·d ＝5，解得d ＝2 5.由已知易得，直线AB 的方程为x －2y ＋3＝0， 所以d ＝|a ＋3|1＋－2＝25，解得a ＝7或a ＝－13(舍去)， 所以点P 的坐标为(7,0)．17．(本小题满分15分)一条光线从点A (2,3)出发，经y 轴反射后，通过点B (4，－1)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：点A (2,3)关于y 轴的对称点为A ′(－2,3)，点B (4，－1)关于y 轴的对称点为B ′(－4，－1)．则入射光线所在直线的方程为AB ′：y ＋13＋1＝x ＋42＋4，即2x －3y ＋5＝0.反射光线所在直线的方程为A ′B ：y ＋13＋1＝x －4－2－4，即2x ＋3y －5＝0.18．(本小题满分15分)已知点A (m －1,2)，B (1,1)，C (3，m 2－m －1)． (1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值； (2)若AB ⊥BC ，求实数m 的值．解：(1)因为A ，B ，C 三点共线，且x B ≠x C ，则该直线斜率存在，则k BC ＝k AB ，即m 2－m －22＝1m －2，解得m ＝1或1－3或1＋ 3. (2)由已知，得k BC ＝m 2－m －22，且x A －x B ＝m －2.①当m －2＝0，即m ＝2时，直线AB 的斜率不存在，此时k BC ＝0，于是AB ⊥BC ； ②当m －2≠0，即m ≠2时，k AB ＝1m －2， 由k AB ·k BC ＝－1，得1m －2·m 2－m －22＝－1，解得m ＝－3.综上，可得实数m 的值为2或－3.19．(本小题满分15分)直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：设直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由条件①可知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.由条件②可得12ab ＝6.又直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋a 2＋b 2＝12，12ab ＝6，43a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴所求直线方程为x 4＋y3＝1.20．(本小题满分15分)已知点P (2，－1)． (1)求过点P 且与原点O 的距离为2的直线的方程；(2)求过点P 且与原点O 的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；(3)是否存在过点P 且与原点O 的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x ＝2符合题意． ②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.根据题意，得|2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.则直线方程为3x －4y －10＝0.故符合题意的直线方程为x －2＝0或3x －4y －10＝0.(2)过点P 且与原点的距离最大的直线应为过点P 且与OP 垂直的直线． 则其斜率k ＝2，所以其方程为y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0. 最大距离为 5.(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为5，而6>5，故不存在这样的直线．。
高一数学人教a版必修2课后导练：3.3.3点到直线的距离 含解析
课后导练基础达标1已知点(3，m)到直线x+3y-4=0的距离等于1，则m 等于（ ） A.3 B.3- C.33- D.3或33- 解析：由231|433|+-+m =1得|3m-1|=2.∴m=3或m=33-答案：D 2直线l 过点P(1，2)，且M(2，3),N(4，-5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是（ ）A.4x+y-6=0B.x+4y-6=0C.3x+2y-7=0或4x+y-6=0D.2x+3y-7=0或x+4y-6=0解析：（1）当l ∥MN 时，则l 斜率为k MN =-4,又l 过点P ，∴l 方程为y-2=-4（x-1），即4x+y-6=0.(2)当l 过MN 中点（3，-1）时，则l 方程为y-2=23-(x-1)即3x+2y-7=0. 答案：C3原点O 到x+y-4=0上的点M 的距离|OM|的最小值为（ ） A.10 B.22 C.6 D.2解析：设M （x,4-x ）则|OM|=8)2(21682)4(2222+-=+-=-+x x x x x . ∴x=2时，|OM|的最小值为22.答案：B4原点O 到直线ax+by+c=0的距离为1，则有（ ） A.c=1B. B.c=22b a +C.c 2=a 2+b 2D.c=a+b 解析：由点到直线的距离知22|00|b a c b a ++∙+∙=1,∴a 2+b 2=c 2.答案：C5过点P(1,2)且与原点距离最远的直线方程为_____________.解析：∵由平面几何知识可知，当OP 与直线垂直时，原点到该直线最远，k OP =2, ∴直线方程为y-2=-21(x-1),整理得x+2y-5=0. 答案：x+2y-5=06若点P(a,2a-1)到直线y=2x 的距离与点P 到y=3x 的距离之比为1∶2，则a=___________.解析：由题意知2110|123|5|122|=+-+-a a a a ，解得a=1或-3. 答案：1或-37已知直线l 经过点P(5,10),且原点到它的距离为5，则直线l 的方程为___________.解析：当l 的斜率不存在时，l 方程为x=5，此时原点到l 之距为5. 当l 的斜率存在时，可设l 方程为y-10=k(x-5)即kx-y+10-5k=0. ∴21|51000|k k k +-+-∙=5，得k=43. ∴l 方程为y-10=43(x-5),即3x-4y+25=0. 答案：3x-4y+25=0或x=58点P(a,0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a 的取值范围_____________. 解析：∵点P 到直线的距离大于3， ∴5|63|-a >3,∴|3a-6|>15解得 a>7或a<-3.答案：a>7或a<-3综合运用9直线l 平行于直线4x-3y+5=0，且P(2,-3)到l 的距离为4，求此直线的方程. 解：∵直线l 与直线4x-3y+5=0平行,∴可设l 方程为4x-3y+d=0,又点P 到l 距离为4，∴2234|98|+++d =4，解得 d=3或-37.故l 方程为4x-3y+3=0或4x-3y-37=0.10在坐标平面内，求与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线方程.解：由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行，可设直线y=kx+b,即kx-y+b=0. d 1=1|2|2++-k b k =1,d 2=1|13|2++-k b k =2. 解得k=0或k=34-. 当k=0时，b=3;当k=34-时，b=35. ∴所求的直线方程为y=3或y=34-x+35. 11在直线x+3y=0上求一点P ，使点P 到原点的距离和到直线x+3y-2=0的距离相等.解：由题意可设P （-3y 0,y 0）, 则10|233|900200-+-=+y y y y , 即10|y 0|=102.∴y 0=51±. 故点P 的坐标为（51,53-）或（53，51-）. 拓展探究12已知三条直线l 1:2x-y+3=0,直线l 2:-4x+2y+1=0和直线l 3:x+y-1=0.能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：（1）P 是第一象限的点；（2）P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21；（3）P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5;若能，求P 点坐标；若不能说明理由.解：若存在满足条件的点P （x 0,y 0）,若点P 满足②则有52|124|215|32|0000++-∙=+-y x y x ,则4|2x 0-y 0+3|=|4x 0-2y 0-1|化简得2x 0-y 0+213=0或2x 0-y 0+611=0; 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有2|1|525|32|0000-+∙=+-y x y x , 即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|.∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0; 由P 在第一象限，∴3x 0+2=0不合题意，舍去. 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,21,3042,021********y x y x y x 解得.应舍去. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-.1837,91042,06112000000y x y x y x 解得 ∴P （1837,91）即为同时满足三个条件的点.。
人教版高一数学必修二：3.3.3点到直线的距离
d=
C1 - C2 A2 + B2
练习4
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
2
2、求过点A（－1,2），且与原点的距离等于 2 的直线方程.
3、求直线2x+11y+16=0关于点P（0,1）对称 的直线方程.
2.求点B（-5，7）到直线12x+5y+3=0的距离.
3、求点P0（-1，2）到直线2x+y-10=0的距离.
例题分析
例6:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求的面A积BC
解 : 如图,设AB边上的高为h,则
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y
1
A
SABC 2 | AB | h
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
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§3.3.3点到直线的距离
点到直线的距离
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的 垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,怎
样求点P到直线l的距离呢?
当A=0或B=0时,直线方程为 y=y1或x=x1的形式.
h
AB边上的高h就是点C到AB的距离 C
AB边所在直线的方程为
O
B
x
y-3 x 1 1-3 31
即x y 4 0
| 1 0 4 | 5
h
12 12
2
因此, SABC
12 2
2
5 5 2
两条平行直线间的距离：
高一数学人教A版必修2课后训练：3.2.1 直线的点斜式方程 Word版含解析
课后训练1．已知点A (1,2)，B 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则过点B 且与AB 垂直的直线方程是( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝52．直线l 的斜率是直线y ＝4x －3的斜率的一半，且在y 轴上的截距是直线y ＝－x －1在y 轴上截距的2倍，则直线l 的方程是( )A ．y ＝2x ＋2B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2x －2D ．y ＝4x －23．直线1y ax a=-的图象可能是( ) 4．直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( )A ．k ＞0，b ＜0B ．k ＞0，b ＞0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜05．将直线2)y x =-绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是( )A y +-B y -+C y ++D y --6．直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点__________．7．等边△OAB ，A (4,0)，B 在第四象限，则边AB 所在的直线方程为__________．8．与直线l ：y ＝3x ＋5平行且与y 轴交点到原点的距离为6的直线方程是__________．9．一条光线从点P (6,4)射出，经过x 轴上点Q (2,0)，并经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程．10．直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成三角形的面积为4，求直线l 的方程．参考答案1答案：B2答案：C3答案：B4答案：A5答案：A6答案：(3,2)7答案：y8答案：y＝3x±69答案：入射光线和反射光线所在直线的方程分别是x－y－2＝0，x＋y－2＝0. 10答案：直线l的方程为x＋2y－4＝0，或9x＋2y＋12＝0.。
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第三章 3.3 3.3.3 3.3.4A 级 基础巩固一、选择题1．两直线3x ＋4y －2＝0与6x ＋8y －5＝0的距离等于导学号 09024839( C ) A ．3B ．7C ．110D ．12[解析] 在3x ＋4y －2＝0上取一点(0，12)，其到6x ＋8y －5＝0的距离即为两平行线间的距离，d ＝|0＋8×12－5|62＋82＝110.2．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,6)、B (－4,3)、C (2，－3)，则点A 到BC 边的距离为导学号 09024840( B )A ．92B ．922C ．255D ．4 3[解析] BC 边所在直线的方程为y －3－3－3＝x ＋42＋4，即x ＋y ＋1＝0；则d ＝|2×1＋6×1＋1|2＝922.3．若点A (－3，－4)、B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为导学号 09024841( C )A ．79B ．－13C ．－79或－13D ．79或13[解析] 由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.4．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为导学号 09024842( C )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＋y 0－5＝0|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2y 0＝－1.5．已知点A (1,3)、B (3,1)、C (－1,0)，则△ABC 的面积等于导学号 09024843( C ) A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.6．直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，且l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程是导学号 09024844( A )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[解析] 方法1：因为直线l 与直线y ＝x ＋1垂直，所以设直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，又l 在y 轴上截距为2，所以所求直线l 的方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.方法2：将直线y ＝x ＋1化为一般式x －y ＋1＝0，因为直线l 垂直于直线y ＝x ＋1，可以设直线l 的方程为x ＋y ＋c ＝0，令x ＝0，得y ＝－c ，又直线l 在y 轴上截距为2，所以－c ＝2，即c ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0.二、填空题7．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则l 1与l 2间的距离为__52或510__.导学号 09024845[解析] ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(k －3)×(－2)－2(k －3)(4－k )＝0(－2)×1－(4－k )×3≠0， 解得k ＝3或k ＝5.当k ＝3时，l 1：y ＝－1，l 2：y ＝32，此时l 1与l 2间的距离为52；当k ＝5时，l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：4x －2y ＋3＝0， 此时l 1与l 2间的距离为|3－2|42＋(－2)2＝510.8．过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是__3x －y ＋10＝0__.导学号 09024846[解析] 当原点与点A 的连线与过点A 的直线垂直时，距离最大．∵k OA ＝－13，∴所求直线的方程为y －1＝3(x ＋3)，即3x －y ＋10＝0.三、解答题9．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0和x ＋y ＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其它三边的方程.导学号 09024847[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝0. 即该正方形的中心为(－1,0)．所求正方形相邻两边方程3x －y ＋p ＝0和x ＋3y ＋q ＝0. ∵中心(－1,0)到四边距离相等， ∴|－3＋p |10＝610，|－1＋q |10＝610， 解得p 1＝－3，p 2＝9和q 1＝－5，q 2＝7，∴所求方程为3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0.10．已知三条直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0.求m 的值，使它分别满足以下条件：(1)l 1，l 2，l 3交于同一点；(2)l 1，l 2，l 3不能围成三角形.导学号 09024848[解析] (1)由4x ＋y －4＝0得y ＝－4x ＋4代入l 2，l 3的方程中分别得 x 1＝－4m －4，x 2＝6m ＋31＋6m ，由－4m －4＝6m ＋36m ＋1，解得m ＝－1或23，经检验都符合题意．(2)首先由(1)知，当m ＝－1或23时，不能围成三角形；又kl 1＝－4，kl 2＝－m ，kl 3＝23m， 若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；由于kl 2与kl 3异号，显然l 2与l 3不平行． 综上知，m ＝－1，－16，23或4.B 级 素养提升一、选择题1．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为导学号 09024849( C )A ．95B ．185C ．3D ．6[解析] |PQ |的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ |的最小值为3.2．(2016·潍坊高一检测)与直线l ：3x －4y －1＝0平行且到直线l 的距离为2的直线方程是导学号 09024850( A )A ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0B ．3x －4y －11＝0C ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0D ．3x －4y ＋9＝0[解析] 设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0，由题意得|m －(－1)|32＋(－4)2＝2，解得m ＝9或－11.3．到两条直线l 1：3x －4y ＋5＝0与l 2：5x －12y ＋13＝0的距离相等的点P (x ，y )必定满足方程导学号 09024851( D )A ．x －4y ＋4＝0B ．7x ＋4y ＝0C ．x －4y ＋4＝0或4x －8y ＋9＝0D ．7x ＋4y ＝0或32x －56y ＋65＝0[解析] 结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得|3x －4y ＋5|32＋(－4)2＝|5x －12y ＋13|52＋(－12)2，即3x －4y ＋55＝±5x －12y ＋1313，化简得7x ＋4y＝0或32x －56y ＋65＝0.4．(2016～2017山西吕梁汾阳四中期中)已知两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为导学号 09024852( D )A ．4B ．21313C ．51326D ．71020[解析] ∵两直线平行， ∴63＝m 1. ∴m ＝2.∴两直线方程为6x ＋2y －6＝0和6x ＋2y ＋1＝0，其距离d ＝|－6－1|62＋22＝71020.故选D ． 二、填空题5．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是__8__.导学号 09024710 [解析] x 2＋y 2表示直线上的点P (x ，y )到原点距离的平方， ∵原点到直线x ＋y －4＝0的距离为|－4|2＝22，∴x 2＋y 2最小值为8.6．已知点A (1,1)、B (2,2)，点P 在直线y ＝12x 上，则当|P A |2＋|PB |2取得最小值时点P 的坐标为__(95，910)__.导学号 09024853[解析] 设P (2t ，t )，则|P A |2＋|PB |2＝(2t －1)2＋(t －1)2＋(2t －2)2＋(t －2)2＝10t 2－18t ＋10＝10(t 2－95t ＋1)＝10(t －910)2＋1910，当t ＝910时，|P A |2＋|PB 2|取得最小值，即P (95，910)．C 级 能力拔高1．(2016～2017·嘉兴高一检测)在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2).导学号 09024854(1)求直线BC 的方程． (2)求直线AB 的方程．[解析] (1)设AD ⊥BC ，垂足为D ， 则k AD ＝12，∴k BC ＝－2.∴BC 边所在直线方程为y －2＝－2(x －1)． 即2x ＋y －4＝0.(2)∵∠A 的平分线所在直线方程为y ＝0， ∴设A (a,0)．又点A 在直线AD 上，∴a －0＋1＝0， ∴a ＝－1. ∴A (－1,0)，∴直线AB 方程为：y ＝x ＋1.即x －y ＋1＝0.2．已知直线l 经过点A (2,4)，且被平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得的线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上．求直线l 的方程.导学号 09024855[解析] 解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上， ∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等， 即|t －(3－t )＋1|2＝|t －(3－t )－1|2， 解得t ＝32，∴M ⎝⎛⎭⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝32y ＝32.∴M ⎝⎛⎭⎫32，32.又l 过点A (2,4)，故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0. 解法三：由题意知直线l 的斜率必存在， 设l ：y －4＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k (x －2)x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1.∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∵M 为中点，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1.又点M 在直线x ＋y －3＝0上， ∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)， 即5x －y －6＝0.。