正八面体与正立方体互为对偶 作法
立体几何中的排列组合问题解法举隅
立体几何中的排列组合问题解法举隅立体几何中的排列组合问题解法举隅立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（）A. 12对B. 24对C. 36对D. 48对解由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧1棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有C6种; 第二步, 从底面61条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有C4种, 由乘法原理知有11C6C4=24对, 故选B.二．分类求解例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A在同一平面上, 不同取法有( )A. 30种B. 33种C. 36种D. 39种3解符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3C5 30种；②4个点（含A）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B.例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.1解分三类：5①如果用5种颜色有A5种染色方法.D图1B②如果用4种颜色，只能是底面四边形相对顶点同色. 如图1，如果A、C同色，只要考虑染S、A、B、D四顶点，有A54种染法，而B、D同色仍有A54种染法，用四色共有2A54种染法.3③如果用3种颜色，A、C同色，B、D同色，只要考虑S、A、B三个顶点，有A5种染法.53由加法原理知共有A5＋2A54＋A5＝420种染法.三、剔除求解例4 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A. 150种B.147种C.144种D.141种4解从10个点中任取4点，有C10种取法，再剔除掉共面的取法.44① 共面的四点在四面体的某一个面内，有C6种取法，4个面共有4C6种；② 每条棱上的三个点与其对棱的中点四点共面，有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面，有3种.44故不共面的取法共有C10－4C6－6－3＝141种，故选D.例5 已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A1B异面的有多少条？C1 D1AB 图221解（1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体C84-12＝58个.D（2）如图2，A1BD这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题3意的三点取法共有C8－8＝48种.2（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB1A1中的两点组合有C4个，再去掉过A1不在面ABB1A1内的四条直线与过B的4条直线，还要去掉与之平行的D1C.2所以共有C82 C4 4 4 1＝13条.四、构造模型求解例6 与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？解由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个. 故所求平面有7个. 例7 在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？解构造四面体求解，因为四面体的6条棱可构成3对异面直线，从而只要求出正方体的八个顶点可构成几个四面体即可，而这恰好是本文例5（1），故可得到(C84 12) 3 174对异面直线. 五、联想有关命题求解例8 以长方体的八个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（）A.0B.6C.8D.24解联想课本习题：“将正方体截去一角，求证：截面是锐角三角形. ”易知从长方体的一个顶点出发的三条棱的另3个端点可构成锐角三角形，长方体有8个顶点，从而可构成8个锐角三角形，故选C.六、综合有关知识求解例9 以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（）E11A.200个B.190个C.185个D.180个E图3C34解正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C10＝210个四面体，其中四点在同一平面内的有三类：4① 每一底面的5点中选4点的组合方法有2C5个.② 5条侧棱中的任意两条棱上的四点有C52个.③一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB∥E1C1），这样1共面的四点共有2C5个.4421故四面体的个数为C10＝180个，故选D. 2C5 C5 2C5例10 用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？解结合图3，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：1① 以棱柱的底面为四棱锥底面的共有2C54C5个. 11②以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有C5个. C611③以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有C5个. C611④以图3中ABC1E1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有2C5个. C***-*****故可构成的四棱锥共有2C54C5＋C5＋C5＋2C5＝170个. C6C6C6例11 以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥有多少个？解本题要讨论底面的形状，所求的答案与底面的形状有关.①若底面不是梯形，也不是平行四边形，则有C84－6－2＝62个.② 若底面是梯形，则有C84－6－4＝60个. ③ 若底面是平行四边形，则有C84－6－6＝58个. 综上所述，所求三棱锥的个数为62或60或58.。
几种正多面体的相互呼应
几种正多面体的相互呼应南师附中江宁分校 韦恩培近年来，在高考中常考查以某一正多面体为背景的立体几何题，此类问题运用不同的方法解决效果是显然不同的。
1、 常用的三种正多面体的呼应众所周知，正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。
正四面体，正六面体，正八面体之间可以相互呼应。
在正方体中可以产生正四面体；（正方体对面的一对异面对角线的顶点是正四面体的顶点）如图（1）在正方体中可以产生正八面体；（正方体六个面的中心是正八面体的顶点）如图（2） 在正八面体中可以产生正方体；（正八面体的八个面的中心是正方体的顶点）如图（3） 在正八面体中可以产生正四面体；（正八面体的两对对面的中心，连线异面的四个面的中心是正四面体的顶点）如图（4）在正四面体中可以产生正八面体；（正四面体六条棱的中点是正八面面体的顶点）如图（5）在图（5）的基础上，结合图（4）就能在正四面体中产生正方体。
图（1） 图（2） 图（3）图（4）图（6）相互转化的目的。
2、应用呼应解题在高考的考查中经常会利用它们之间的相互转化而达到巧解的目的。
例1、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π提示：利用图（1）正方体产生正四面体具有共同的外接球，即求棱长为1的正方体的外接球的表面积，易求得为π3，选A 。
例2、有一棱长为a 的正四面体骨架（架的粗细忽略不计），其内放置一气球，对其充气，使其尽可能地膨胀（成为一个球）则气球表面积的最大值为 （ ） A ．2a πB ．222a π C ．221a πD ．241a π 提示：利用图（2）正方体可以产生正八面体，正八面体可以产生正四面体知，符合条件的球即为棱长为a 22的正方体的内切球，易求得其表面积为221a π，故选C 。
例3、如图（6）棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，过11BC A 的平面截去正方体一角（三棱锥111BC A B -），象这样依次截去正方体所有角，则剩下的几何体的体积为 。
正多面体及其自同构群
正多面体及其自同构群作者：孔婷婷来源：《各界·下半月》2017年第07期摘要：本文主要应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
关键词：正多面体；自同构群；对称一、前言群论是研究对称的学科，正因为如此，它在物理，化学，生物，晶体学等诸多学科中才有着重要的应用。
因此利用群论来研究几何的组合的方法是非常重要的。
从古代希腊时代，人们就已经知道只有五种正多面体，即正四面体，正六面体，正八面体，正是二面体，正二十面体。
我们先给出关于这些正多面体的一些基本事实。
1.正多面体的诸面都是全等的正多边形，正六面体是正方形，正十二面体的面是正五边形，而其他三种正多面体的面是正三角形。
2.正多面体的诸多面角也彼此全等。
3.每个正多面体都内接于一个球，如果它的两个定点的连线经过球心，则称这两个顶点是互相对极的顶点。
4.以一个正多面体诸面的中心作为顶点，相邻两个面中点连线作为边，得到的多面体也是正多面体，叫作原正多面体的对偶。
容易看出，正四面体自对偶，正六面体和正八面体互相对偶，正十二面体和正二十面体互相对偶。
5.正多面体的一个旋转变换如果保持三个顶点不动，则它是恒等变换。
而本文正是通过应用群论的初等技巧和方法，通过群论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构群。
二、定理设 A，B，C，D，E 分别为欧几里得空间中的正四面体，正方形，正八面体，正是二面体，正二十面体。
记Aut（x）为X的旋转变换群。
这样我们就有以下结果：1.Aut（A） = Alt（4），即四次交错群；2.Aut（B） = Sym（4），即四次对称群；3.Aut（C） = Sym（4），即四次对称群；4.Aut（D） = Alt（5），即五次对称群；5.Aut（E） = Alt（5），即五次对称群。
若无特殊说明，本文所涉及的概念以及符号均取自文献【1-7】。
三、预备知识在本文的证明过程中，我们将要用到以下群论的熟知结果，所以我们列为引理而略去证明。
对偶正多面体的直观理解
对偶正多面体是一种几何形态，其特点是每个面都是正多边形，并且相对的两个面都是全等的。
对偶正多面体的定义基于其构造和性质，具体来说，它是由多个正多边形面构成的多面体，其中每个面都有一个相应的对偶面。
直观理解上，对偶正多面体是一种具有高度对称性的几何形体。
以正方体为例，它有六个面，每个面都是正方形，而且相对的两个面都是全等的。
类似地，其他的对偶正多面体也有类似的特性。
比如，正八面体有八个面，每个面都是三角形，而且相对的两个面都是全等的。
对偶正多面体的直观理解还可以从其构造方式入手。
以正四面体为例，它的构造方式是先确定一个点作为顶点，然后从该顶点出发，向各个方向延伸等长的线段，并将这些线段连接起来形成四面体。
类似地，其他对偶正多面体也可以通过类似的构造方式来形成。
总之，对偶正多面体的直观理解需要抓住其对称性和构造特点，通过观察其面和边的形状和数量关系来理解其几何形态和性质。
探究八面体的对称性和体积计算方法
探究八面体的对称性和体积计算方法八面体是一种具有八个面的几何体，它具有一些独特的对称性和特殊的体积计算方法。
本文将对八面体的对称性和体积计算方法进行探究。
一、八面体的对称性八面体具有许多对称性，其中最重要的是旋转对称性和镜像对称性。
1. 旋转对称性八面体可以通过沿着不同的轴进行旋转得到相同的形状。
具体而言，它有三个4重旋转轴，即通过相对的面中心和相对的棱中心的轴，以及六个2重旋转轴，即通过相对的顶点中心和相对的面中心的轴。
这些旋转对称性使得八面体在空间中具有自相似的特点。
2. 镜像对称性八面体还具有许多镜像平面，每个镜像平面都可以将八面体分成两个对称的部分。
具体而言，八面体有六个镜像平面，每个平面都通过连接顶点的中点和相对的顶点来定义。
二、八面体的体积计算方法八面体的体积计算可以通过不同的方法进行，下面介绍两种常见的计算方法。
1. 体积公式法八面体的体积可以通过以下公式计算：V = (2/3) * a^3 * √2其中，V表示八面体的体积，a表示八面体的边长。
这个公式是由边长和相应的高度之间的关系推导出来的。
2. 体积矩阵法八面体的体积也可以通过使用矩阵来计算。
具体而言，我们可以将八面体的八个顶点坐标表示为一个3x8的矩阵，然后使用行列式求解方法得到体积。
这种方法在计算复杂形状的八面体体积时更加方便。
三、结论通过对八面体的对称性和体积计算方法的探究，我们了解到八面体具有多种对称性，这些对称性使得八面体在空间中呈现出自相似的特点。
此外，八面体的体积可以通过公式法或矩阵法进行计算，根据实际问题的需要选择适合的方法。
综上所述，八面体是一个具有丰富对称性和特殊体积计算方法的几何体。
通过对八面体的研究，我们可以深入了解几何学中的对称性原理和计算方法，在实际应用中具有广泛的意义和价值。
折正八面体最简单的方法
折正八面体最简单的方法
嘿，朋友们！今天我要给你们讲讲折正八面体最简单的方法，听好啦！
想象一下，折正八面体就像是搭积木一样，每一步都超有趣的呢！比如说，你拿起一张纸，这张纸就像一块等待雕琢的璞玉，对吧？
首先，把纸铺平，这很简单吧！就像给它洗了个舒服的“澡”。
然后呢，沿着特定的线对折，哎呀，这不就像给它找到了合适的“轨道”嘛！再接着来，把边边角角对齐，哇塞，这不就是在给它整整齐齐地“打扮”嘛！
看着这一步步的过程，难道你不想亲手试试？是不是觉得很有意思呀？就这么简单的几步，嘿，一个正八面体就出来啦！
我的观点就是：折正八面体真的一点都不难，只要按照步骤慢慢来，谁都能折得很好！相信自己，去试试吧！。
2023年人教版高中数学第八章立体几何初步知识点总结归纳完整版
(名师选题)2023年人教版高中数学第八章立体几何初步知识点总结归纳完整版单选题1、中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据榫头的俯视图结合结果图，可判断卯眼的俯视图.解：根据榫头的俯视图及结果图的俯视图可判断卯眼的俯视图为B项中的图形.故选：B.2、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶3答案：A分析：按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积=2πr·2r=4πr2，球的表面积为4πr2，其比例为1:1，故选：A.3、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．矩形答案：B解析：利用面面平行的性质判断EF与GH的平行、EH与FG平行.因为平面ABFE//平面CGHD,且平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CGHD=GH,根据面面平行的性质可知EF//GH,同理可证明EH//FG.所以四边形EFGH为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.4、鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）A．8(6+6√2+√3)B．6(8+8√2+√3)C．8(6+6√3+√2)D．6(8+8√3+√2)答案：A解析：该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2√2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为√2，则该几何体的表面积为S=6×[(2+2√2)2−4×12×√2×√2]+8×12×2×√3=8(6+6√2+√3).故选：A.小提示：本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.5、如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤答案：D解析：根据平面的表示方法判断．③中AD 不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D .6、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6 答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1，所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PC 1，又PC 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1=B 1，所以PC 1⊥平面PBB 1，所以PC 1⊥PB ，设正方体棱长为2，则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2， sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12，所以∠PBC 1=π6. 故选：D7、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的容积约为（ ）A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm3答案：B分析：根据题意可知圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，求出ℎ的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，高为4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为ℎ，所以ℎ−4ℎ=610，解得：ℎ=10，则大圆锥的底面半径为5，高为10，小圆锥的底面半径为3，高为6，所以该壶的容积V=13×π×52×10−13×π×32×6=1963π≈200cm3.故选：B.8、设α,β是两个不同平面，m,n是两条直线，下列命题中正确的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n//β，那么α⊥βB．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α//βC．如果m//n，m⊥α，n⊥β，那么α//βD．如果α//β，m与α所成的角和n与β所成的角相等，那么m//n答案：C分析：A.由m⊥n，m⊥α，得到n//α或n⊂α，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B. 由m⊥n，m⊥α，得到n//α或n⊂α，再利用面面垂直的判定定理判断； C. 由m//n，m⊥α，得到n⊥α，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断．A.因为m⊥n，m⊥α，所以n//α或n⊂α，又n//β，则α,β位置不确定，故错误；B.因为m⊥n，m⊥α，所以n//α或n⊂α，又n⊥β，所以α⊥β，故错误；C. 因为m//n，m⊥α，所以n⊥α，又n⊥β，所以α//β，故正确；D.如果α//β，m与α所成的角和n与β所成的角相等，那么m//n，相交或异面，故错误．故选：C9、下列命题错误的是（）A．直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直D．棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形答案：B分析：利用直棱柱的几何特征可判断A选项的正误；利用棱台的定义可判断B选项的正误；由线面垂直、面面垂直的判定定理可判断C选项的正误；利用棱台的几何特征可判断D选项的正误.直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形，A正确；若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，B错误；在三棱锥P−ABC中，PA、PB、PC两两垂直，∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，故PA⊥平面PBC，∵PA⊂平面PAC，则平面PAC⊥平面PBC，同理可得平面PAB⊥平面PBC，平面PAB⊥平面PAC，C正确；用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，所以，棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形，D正确.故选：B.10、设m､n是两条不同的直线，α､β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）A．若m∥α,n∥α，则m∥nB．若m⊥α,n⊥α，则m∥nC．若m∥α,m∥β，则α∥βD．若m⊥α,α⊥β，则m∥β答案：B分析：在正方体中取直线和平面可排除ACD，由线面垂直的性质可得B正确.在正方体ABCD−EFGH中，记底面ABCD为α，EF为m，EH为n，显然A不正确；记底面ABCD为α，EF为m，平面CDHG为β，故排除C；记底面ABCD为α，BF为m，平面ABFE为β，可排除D；由线面垂直的性质可知B正确.故选：B11、已知在棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D为B1C1的中点，若在棱AB上存在一点P，使得B1P//平面ACD，则B1P的长度为（）A．2B．√5C．√6D．3答案：B解析：设点P为AB的中点，取A1B1的中点Q，连接AQ，DQ，然后证明B1P//平面AQD即可.如图，设点P为AB的中点，取A1B1的中点Q，连接AQ，DQ，则B1P//AQ，又B1P⊄平面AQD，AQ⊂平面AQD，∴B1P//平面AQD，易知AC//DQ，故平面AQD与平面ACD是同一个平面，∴B1P//平面ACD，此时B1P=√5，故选：B12、若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（）A．相交B．平行C．异面D．平行或异面答案：D分析：根据直线与直线的位置关系即可判断因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选：D.双空题13、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 上一点，且CE =2DE ，F 为棱AA 1的中点，且平面BEF 与DD 1交于点G ，与AC 1交于点H ，则DG DD 1=______，AH HC 1=______.答案： 16 38解析：由线面平行的性质可得BF //GE ，即可得到AF AB =DG DE ，又CE =2DE ，则DGDD 1可求. 连接AC 交BE 于M ，过M作MN //CC 1，MN 与AC 1交于N ，连接FM ，则H 为FM 与AC 1的交点，根据三角形相似可得线段的比.解：∵ABCD −A 1B 1C 1D 1是正方体∴面A 1B 1BA //面C 1D 1DC∵BF ⊂面A 1B 1BA∴BF //平面CDD 1C 1，∵面BFGE ∩面C 1D 1DC =GE则BF //GE ，则AF AB =DG DE ，即DG DE =12，又CE =2DE ，则DG DD 1=16. 连接AC 交BE 于M ，过M 作MN //CC 1，MN 与AC 1交于N ，连接FM ，则H 为FM 与AC 1的交点.因为AB //CE ，所以AM MC =AB CE =32，则AN NC 1=AM MC =32.所以MN CC 1=35，所以MN FA =65=HN AH ，故AH HC 1=38. 所以答案是：16；38小提示：本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.14、任意一个平面截球所得的图形是____________，任意一个平面截球面所得的图形是____________． 答案： 一个圆面 一个圆分析：根据球的特征分析即可.任意一个平面截球所得的图形是一个圆面，任意一个平面截球面所得的图形是一个圆，所以答案是：一个圆面，一个圆15、半正多面体(semiregularsolid )亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为___________；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为___________.答案： 4π 8√3分析：首先找到外接球的球心，再利用勾股定理计算即可；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小，然后根据正四面体内切球的相关计算求解即可.由题意知，该半正多面体的外接球的球心是正方体的中心，正方体棱长为√2，所以该半正多面体外接球的半径R =√(√22)2+(√22)2=1，故其表面积为4π. 若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小.此时，设正四面体的棱长为a ，则正四面体的高为√63a ，考查轴截面，则有(√63a −1)2=12+(√33a)2，解得a=2√6，所以V min=13⋅√34⋅(2√6)2⋅(√63⋅2√6)=8√3.所以答案是：4π；8√3.小提示：关键点点睛：本题第②空的关键点是探究出结论：若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小.16、农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为8cm和12cm的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为________cm（用最简根式表示）；在该四面体的所有棱和面所成的异面直线所成的角、二面角中最小的角的余弦值为________．答案：√174√22 6分析：将折叠后的四面体置于长方体中，求得长方体的长宽高，进而求得四面体的体积，利用体积，表面积，内切球的半径的关系求得内切球的半径，利用体积法求得四面体的各面上的高，从而得到各棱与相应面所成的角的余弦值，在长方体中不难求得四面体的对棱所成角的余弦值，然后比较得到答案.如图所示，对折叠之前的平面图形中各点进行标记，同时将折叠后的几何体置于长方体中.设长方体的长宽高分别为x ,y ,z .{x 2+y 2=36x 2+z 2=36y 2+z 2=16,解得{x =2√7y =z =2√2,∴四面体ADEF 为13V 长方体=13xyz =163√7,四面体ADEF 的全面积为S =4×8√2=32√2, 内切球半径r ,则V =13Sr ,∴r =3V S=√732√2=√174,设SQ ∩DF =O ,取DQ 的中点M ,连接OM ,则OQ =3,MQ =√2,∴sin ∠QOM =√23,∴cos ∠DOQ =1−2sin 2∠QOM =1−49=59,故长为6的两组对棱所成的角的余弦值都是59. 长为4的两组对棱所成的角为直角；由于四面体ADEF 各个面的面积都是8√2，所以各个面上的高都是相等的，设为h ,则V =13×8√2ℎ=163√7,∴ℎ=√14,当棱的长选取最长为6时，该棱与相应各面所成的角最小，其正弦值为√146,余弦值√1−1436=√226,√226>59∴各异面直线所成的角，线面所成的角中最小的角的余弦值是√226， 所以答案是：√174；√226. 小提示：本题考查异面直线所成的角，线面角，内切球的半径，棱锥的体积，属中高档题，将折叠后得四面体置于长方体中进行研究是一种十分重要的便捷的方法，要注意体会和掌握.17、在棱长均为3的正三棱锥S −ABC 中，则正三棱锥S −ABC 的体积为______.若D 为BC 的中点，则SD 与面SAB 所成角的余弦值为______. 答案：9√24√73分析：（1）直接根据三棱锥的体积公式计算，即可得到答案；（2）利用等积法求出D 到平面SAB 的距离为ℎ，再求线面角的正弦值，从而求得线面角的余弦值； 取△ABC 的中心为O ，连结SO ，则SO ⊥面ABC ， （1）∵ AO =23⋅√32⋅3=√3，∴ SO =√AS 2−AO 2=√9−3=√6，∵ S △ABC =12⋅AB ⋅AC ⋅sin60°=12⋅32⋅√32=9√34，∴ V S−ABC =13S △ABC ⋅SO =13⋅9√34⋅√6=9√24。
02-5对偶原理
对偶原理一、原理原理：字面上“原来的理由”，最基础，最根本的理论。
是自然界（或人类社会）中已经存在的，不可改变的基本规律。
原理反映的是各个有关概念之间相互依存制约关系，是规律性的必然关系。
人们以大量实践、现象为基础，将这个规律性的东西抽象概括出来，形成文字，他就叫“原理”。
它具有普遍性，是最基本的、可以作为其他规律的基础，其正确性直接由实践检验和确定。
某一领域或学科中的某一“原理”，指这一领域或该学科中带有普遍性的、最基本的、可以作为其他规律基础的规律。
“杠杆原理、相对性原理、光速不变原理、等效原理”有些原理还具有是跨学科性质，如对偶原理。
在逻辑学上“原理”属于“有条件关系判断”。
既所描述的有关物理概念之间的必然关系是在某种特定条件下的物理事实，则可称之谓物理原理。
如“帕斯卡原理”：“在密闭容器内，液体向各个方向传递的压强相等”。
这里的“密闭容器”就是条件。
又如“动能原理”：“无论作用在物体上的合力大小和方向是否变化，物体运动的路径是直线还是曲线，合外力对物体所做的功都等于该物体动能的增量”。
这里“无论……”也是条件。
二、对偶“对”：双，成双的；配对、对偶、对仗。
“偶”：双，对，成双成对伙伴；同伴；和人共处。
“对偶”——近义合成“对偶或对称”现象是大自然中最为广泛存在的一种结构规律，在人文社会科学中也常常出现，如文学中的对联等。
清朝康熙年间一进士——车万育（1632-1750）写有一本书，叫《声律启蒙》。
书中开篇：“云对雨，雪对风。
晚照对晴空。
来鸿对去燕，宿鸟对鸣虫。
三尺剑，六钧弓。
岭北对江东。
人间清署殿，天上广寒宫。
两岸晓烟杨柳绿，一圆春雨杏花红。
两鬓风霜，途次（“中”的意思，和后面的“边”相对）早行之客；一蓑烟雨，溪边晚钓之翁。
”不仅读起来声调和谐，节奏响亮；而且天地间常见的自然景物尽来眼底。
“对偶”在不同的领域有着不同的诠释。
1、在文学中：“对偶”概念妇孺皆知：如骆宾王的《咏鹅》“鹅、鹅、鹅，曲项向天歌。
烷烃同系物和金刚烷同系物分子结构分析
烷烃同系物和金刚烷同系物分子结构分析作者：卓峻峭杨鑫王昀之来源：《化学教学》2021年第10期摘要：通过分析烷烃同系物和金刚烷同系物的分子结构，建立分析金刚烷同系物分子结构的方法，强化对烷烃分子构象的认识，指出这两种分子结构之间的相似性和关联性源于正四面体的对偶性质以及多面体对偶性质在立体化学中的应用意义，旨在为深化立体化学的学习提供新的思路和方法。
关键词：烷烃; 金刚烷; 同系物; 分子结构分析文章编号： 1005-6629（2021）10-0082-05中图分类号： G633.8文献标识码： B立体化学是研究分子的立体结构、反应的立体性及相关规律和应用的科学[1]。
分子的立体结构包括构型和构象等内容，与化合物的物理、化学、生理性质密切相关。
立体化学的观念贯穿于有机化学的整个学习过程中，是有机化学不可或缺的重要组成部分。
同时，由于立体化学对学生空间思维能力要求较高，是比较难理解、难掌握的内容，使不少初学者感到有一定的困难。
烷烃是最简单的一类有机物，其同系物结构是学习立体化学的重要模型。
金刚烷是经典的桥环烷烃，其特殊结构在有机化学和无机化学中都有举足轻重的地位。
本文对烷烃同系物和金刚烷同系物在立体化学中的相似性和关联性进行分析，揭示了金刚烷同系物和交叉型烷烃结构之间的特殊对应关系，指出了多面体对偶性质在立体结构化学中的应用价值。
一方面为这些内容的教学提供一种可参考的方法，帮助学生理解复杂分子结构，另一方面让学生感受不同分子立体结构之间的关联，掌握利用结构模型学习立体化学的方法，增强学生对立体化学的学习兴趣[2，3]。
1 烷烃同系物分子的构象烷烃同系物中从乙烷开始，由于碳碳单键的旋转，出现了构象异构，其中最典型的两种构象分别是重叠型构象和交叉型构象（见图1）。
其中交叉型构象能量较低，是最稳定构象。
在丙烷和丁烷等烷烃的同系物中，多个碳碳单键的旋转使分子的构象更加复杂，会出现多种不同的交叉型构象。
烷烃分子的构象是研究复杂有机分子构象的基础。
正八面体体积公式推导
正八面体体积公式推导正八面体是一种特殊的立体形状，它有八个等边三角形的面和六个等边的顶点。
我们将以人类的视角来推导正八面体的体积公式。
让我们从一个简单的立方体开始推导。
立方体的体积公式是边长的立方，即V = a^3，其中V表示体积，a表示边长。
但是，正八面体与立方体不同，它的面由等边三角形组成，因此我们需要找到一种方法来推导正八面体的体积公式。
我们可以将正八面体划分为六个相等的四边形金字塔，每个四边形金字塔的底面是一个等边三角形。
接下来，我们将推导出四边形金字塔的体积公式，并结合六个四边形金字塔的体积，得到正八面体的体积公式。
让我们来推导四边形金字塔的体积公式。
四边形金字塔的体积可以通过底面积乘以高度再除以3来计算。
底面积可以通过正八面体的边长来计算，高度则需要我们独立推导。
为了推导出四边形金字塔的高度，我们可以将正八面体的一个顶点向底面平移，使其与底面的一个顶点重合。
此时，我们可以发现正八面体的高度等于正八面体边长乘以根号2/3。
现在，我们可以将这些信息结合起来计算四边形金字塔的体积。
底面积为正八面体边长的平方乘以根号3/4，高度为正八面体边长乘以根号2/3。
因此，四边形金字塔的体积公式为V = (a^2 * √3/4) *(a * √2/3) / 3。
现在，我们已经得到了四边形金字塔的体积公式，接下来我们可以计算正八面体的体积。
正八面体由六个四边形金字塔组成，因此正八面体的体积等于六个四边形金字塔的体积之和。
将四边形金字塔的体积公式代入，正八面体的体积公式可以表示为V = 6 * [(a^2 * √3/4) * (a * √2/3) / 3]。
化简这个公式，我们可以得到正八面体的体积公式为V = (√2 * a^3) / 3。
至此，我们成功地推导出了正八面体的体积公式。
正八面体的体积公式为V = (√2 * a^3) / 3，其中V表示体积，a表示边长。
通过这个推导过程，我们可以看到，正八面体的体积公式与立方体的体积公式有所不同，这是因为正八面体的面由等边三角形组成，而不是正方形。
正八面体对称元素
正八面体对称元素正八面体是一种具有八个等边等角面的几何体，它具有一些特殊的对称元素。
下面我将详细介绍正八面体的对称元素。
1. 旋转对称：正八面体具有旋转对称，即它可以绕着某个轴进行旋转，使得旋转前后的形状完全一致。
正八面体有三个二重旋转轴，分别是通过相对的两个面中心的轴。
每个二重旋转轴将正八面体分为两个对称的部分。
2. 镜面对称：正八面体还具有镜面对称，它可以通过一个镜面将自身分成两个完全对称的部分。
正八面体有六个镜面对称面，分别是通过相对的两个面的中点和相邻的两个面的中点的镜面。
3. 对角线对称：正八面体的对角线也是对称元素，通过正八面体的对角线，可以将正八面体分为两个完全对称的部分。
正八面体有四个对角线对称面，分别是通过相对的两个顶点的对角线。
4. 中心反演对称：正八面体还具有中心反演对称，即通过正八面体的中心进行反演，将自身变为完全对称的形状。
正八面体的中心是一个对称元素。
正八面体的对称元素使得它具有很多特殊的性质和应用。
例如，在晶体学中，正八面体结构是一种常见的晶体结构，许多金属和化合物都具有这种结构。
正八面体的对称性对于晶体的物理性质和化学性质具有重要影响。
正八面体的对称元素还可以用来解决一些几何问题。
例如，通过对称性可以确定正八面体的各个顶点、边和面的位置和数量。
通过对称性可以推导出正八面体的体积、表面积和各个角的大小。
正八面体的对称性还可以用来推导出一些定理和公式。
正八面体具有多种对称元素，包括旋转对称、镜面对称、对角线对称和中心反演对称。
这些对称元素赋予了正八面体许多特殊的性质和应用，同时也为解决几何问题提供了有力的工具。
正八面体的对称性是研究和应用正八面体的重要基础。
八面柱素面知识点
八面柱素面知识点
八面柱素面是指一个正八面体的一个面上的线段与另一面的交点连接起来，形成一个正方形。
在几何学中，八面柱素面主要涉及到八面体的性质和特点，下面将从几何性质、计算方法和实际应用方面来介绍八面柱素面的知识点。
一、几何性质
1. 八面柱素面是由两个平行八边形组成的，其中一个是八面体的底面，另一个是八面体的顶面。
2. 八面柱素面的底面和顶面是全等的，即对应边的长度相等，对应角的大小也相等。
3. 八面柱素面的侧面是四个全等的矩形，其中两个矩形与底面相交，两个矩形与顶面相交。
4. 八面柱素面的侧面的对角线相等，且与底面和顶面的对角线垂直。
二、计算方法
1. 已知八面体的边长a，可以通过以下公式计算八面柱素面的面积S：
S = 2 * a^2
其中^表示乘方运算。
三、实际应用
1. 八面柱素面在建筑设计中有广泛的应用，如塔楼、高层建筑等。
八面柱素面的形状稳定，结构坚固，能够有效地承受外力，使建筑物更加稳定安全。
2. 八面柱素面在工程测量中也有重要作用。
通过测量八面柱素面的边长和对角线长度，可以计算出八面体的体积和表面积，从而对工程设计和施工提供参考依据。
3. 八面柱素面还可以用于制作各种几何模型和装饰品，如立体拼图、饰品盒等。
其规则的形状和美观的外观使其成为一种常见的工艺品材料。
八面柱素面是一种由八面体生成的正方形，具有一系列的几何性质和计算方法。
它在建筑设计、工程测量和工艺制作等领域都有广泛的应用。
通过了解和掌握八面柱素面的知识，不仅可以增加对几何学的理解，还可以应用于实际问题的解决。
立方体八大相筹
对称和对称性破缺
原来具有较高对称性的系统出现不对称因素，其 对称程度自发降低, 这种现象叫做对称性自发破 缺。
时空、不同种类的粒子、不同种类的相互作 用、整个复杂纷纭的自然界，包括人类自身，都 是对称性自发破缺的产物。对称性自发破缺对于 认识自然的具有重要的意义。
当为标准的立方体时是对称的，当 对立方体进行不对称 的改造时，立方体出现对称性破缺
Thank you!
对称和对称性破缺
对称性破缺是量子场论的重要概念，指理论的对称 性为真空所破坏。它包含“自发对称性破缺”和 “动力学对称性破缺”两种情形。
根据已知理论，大约137亿年前，宇宙在一次 “大爆炸”中诞生。之后，夸克、电子等粒子和同 样数量质量但电荷相反的反粒子构成了物质。粒子 和反粒子一旦碰撞，将“同归于尽”。因此，如果 两者始终并存，宇宙中的物质最终将消失殆尽，但 是，现在的宇宙中只有粒子“幸存”，没有发现反 粒子。科学家认为，反粒子幸存率不如粒子，是因 为除电荷相反外，还存在其他微小差异，这种粒子 和反粒子的性质差异被称为“对称性破缺”，
+z
将右手除拇指外的四个手指指向x轴，再向y轴弯曲， +y 如果拇指指向为z轴方向此象限即符合右旋规律。如
图1第一象限为右旋。
+x
图1 第一象限 +z
-y
右手ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图2,由于其不符合右 手定则（符合左手定则） 可知第四象限为左旋。
根据这个规律，得出8个象限的左旋右旋性
+x
左手
图2 第四象限
右旋：一、三、六、八 左旋：二、四、五、七
材研1305班 王冉冉
左旋？右旋？
以立方体的中心为原点o，分别以垂直于 面的三个垂直方向为x、y、z轴，则立方体被 xoy、xoz、yoz分为八个相筹，如下图所示：
使正八面体各点重合的刚体运动群
使正八面体各点重合的刚体运动群正八面体是一种具有八个等边三角形面的立体图形，每个面都是完全对称的。
它的六个顶点位于两两相对的三个不同平面上，每个顶点都与其他三个顶点相邻。
正八面体的各点重合的刚体运动群指的是能够保持正八面体形状不变的所有刚体运动的集合。
我们来讨论正八面体的对称性质。
正八面体具有旋转对称性和镜像对称性。
在正八面体中，有12条旋转轴，分别经过相对的两个顶点的中点，并且每条旋转轴都与其他两条相交。
这意味着正八面体可以通过绕这些旋转轴的旋转运动来重合各个顶点。
此外，正八面体还有9个镜面对称面，它们将正八面体分成相等的两部分，并且每个镜面对称面都与其他两个相交。
通过沿着这些镜面对称面进行镜像反射运动，也可以使正八面体的各个点重合。
正八面体的刚体运动群包括所有的旋转和镜像反射运动。
当我们将正八面体的一个顶点与坐标原点重合时，我们可以通过旋转运动将其他顶点移动到相应的位置。
旋转运动可以是顺时针或逆时针方向的，它们都可以使正八面体的顶点重合。
此外，我们还可以通过镜像反射运动将正八面体的其他顶点移动到相应的位置，这些镜像反射运动可以是沿着任何一个镜面对称面进行的。
正八面体的刚体运动群是一个具有48个元素的群。
这是因为对于每个顶点，我们可以选择任意一个相邻的顶点作为重合点，然后通过旋转和镜像反射运动将其他顶点移动到相应的位置。
由于正八面体有8个顶点，所以总共有8种选择重合点的方式，每种方式对应着6个不同的刚体运动。
因此，刚体运动群中的元素数目为8乘以6，即48个。
值得注意的是，正八面体的刚体运动群是一个离散群，它不是连续的。
这意味着我们不能通过连续的变换将正八面体的所有点重合，而只能通过有限次的旋转和镜像反射运动来实现。
这也反映了正八面体的对称性质，它只能在离散的位置上重合。
总结起来，正八面体的各点重合的刚体运动群包括所有的旋转和镜像反射运动，它是一个具有48个元素的群。
这个群的元素可以通过旋转和镜像反射运动将正八面体的各个顶点移动到相应的位置，使它们重合。
辽宁省葫芦岛市2021届高考一模数学试题答案
AD=DC= 3 ,AC=2AO= 2 3 − 1 = 2, 由余弦定理得
2
44
COSADC = − 1 ，……………………………………10 3
（2）方法二： 建立如图所示坐标系
A(a2
,a2
,
2a 2
),C(a2
,a2
,-
2a 2
),B(a,a,0),F(a,0,0)
A→B=(a2
a ,2
,-
2a 2
21.（本小题满分 12 分）
2 cos(x + )
(1) f (x) =
4
ex
，……………………………………………2
令 f (x) 0 得 − 3 + 2k x + 2k , k z
4
4
令 f (x) 0 得 + 2k x 5 + 2k , k z
4
4
f
(x)
在
−
3 4
+
g
(
x)
在
0,
xo
单调递增，在
xo
,
2
单调递减
所以 g(x)max = g(x0 ) g(0) = 0 不合题意，舍去.………………………………………10
③
当
k
−
−e 2
时，
g(x)
在
0,
2
单调递增
g(x) g(0) = 0 不合题意，舍去
综上所述，实数 k 的取值范围是1, +) …………………………………………………12
2a 2=
2a3 3
,…………………………………………2
V
=
V1
辽宁省葫芦岛市2021届高三下学期第一次高考模拟考试试题 数学【含答案】
辽宁省葫芦岛市2021届高三下学期第一次高考模拟考试试题 数学【含答案】第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合U={x |−1≤x ≤3}，A={x |x 2−2x −3<0}，则=A. {−1}B.{3}C.{ −1,3}D. ∅2.42i1i-=+ A. −1−3iB. −1+3iC. −1+3iD. 1−3i3. 以点(3，－1)为圆心，且与直线x －3y ＋4＝0相切的圆的方程是 A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝100 C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝10 D ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1004. 在 (2-x )6展开式中，x 2的系数为 A. 240B. -240C. -160D. 1605. 已知sinα+cosα=15,且α∈(0,π),sinα-cosα=A. ±75B. -75C. 75D. 49256. 已知抛物线C :y 2＝2px (p ＞0)上一点M （x 0,22）到焦点F 的距离|MF |32=x 0,则p ＝ A ．1 B ． 2C ． 4D ．57.某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新 鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区 输送氮气从而实现保鲜功能）.如图所示，该装置外层上部分是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合， 内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆 锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多 物品，充氮区空间最小可以为 A ．4πB ．16π3C ．28π3D ．4π38. 已知函数()2af x x x=+.若曲线()y f x =存在两条过(2,0)点的切线，则a 的取值范围是 A ．(,1)(8,)-∞+∞ B ．(,1)(8,)-∞-+∞ C ．(,0)(8,)-∞+∞D ．(,8)(0,)-∞-+∞二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.)9. 如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）. 根据对比图，其中正确的为数学近三年难易程度对比A. 近三年容易题分值逐年增加B. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年C. 2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上D. 近三年难题分值逐年减少10. 设正实数a ,b 满足a +b =1,则 A.11a b+有最小值4 B.ab a b +有最大值12C. a b +有最大值2D. 22a b +有最小值1211．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分体现了相互转化、对称统一、和谐共存的特点.若函数y =f (x )的图像能够将圆的周长和面积同时平分，则称函数f (x )为这个圆的“和谐函数”.给出下列命题中正确的有A. 对于任意一个圆，其“和谐函数”至多有2个B. 函数f (x )=ln(x +x 2+1 )可以是某个圆的“和谐函数” C. 正弦函数y=sin x 可以同时是无数个圆的“和谐函数” D. 函数f (x )=2x +1不是“和谐函数”12．已知22sin(),(1)()24log (1),(1)x x f x x x ππ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则下列有关函数22()[()]()24g x f f x f x ππ=-- 在[3,5]-上零点的说法正确的是A ．函数g (x )有5个零点B ．函数g (x )有6个零点C ．函数g (x )所有零点之和大于2D ．函数g (x )正数零点之和小于4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．写出两个与113π-终边相同的角 .14. 2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系,让乡村医生“下得去、留得住”.为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为 .15. 在边长为2的正三角形ABC 中，D 是BC 的中点，AE →=2EB →,CE 交AD 于F ． ①若BF →=xBC →+yBA →，则 x +y = ; ②BF →·DE →＝ . (第一空3分，第二空2分)16. 已知数列{}n a 满足：a 1=1,a n +1=2a n +1,若b n +1=(n -2t )(a n +1),b 1= -t ,且数列{b n }是单调递增数列，则实数t 的取值范围是_____________.四、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , cos 2B +cos 2C －cos 2A ＝1－sinB sinC （1）求A ；（2）若a =3,求△ABC 的面积的最大值.18. （本小题满分12分）已知首项为2的数列{}n a 中， 前n 项和S n 满足S n =tn 2+n （t ∈R ）. （1）求实数t 的值及数列{}n a 的通项公式n a ； （2）将①11n n n b a a +=，②2n a n n a b =+，③2n a n n b a =⋅三个条件任选一个补充在题中，求数列{}n b 的前n 项和.n T注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. （本小题满分12分）目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作. 吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为12, m , 14.若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为112.(1) 求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m 的值;(2) 三个团队有X 个在两年内出成果，求X 分布列和数学期望.20. （本小题满分12分）正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世届上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A ―BF ―C 的余弦值； （3）求新多面体为几面体？并证明.21. （本小题满分12分）已知函数f (x )=sin xex .（1）讨论f (x )的单调性；（2）若对于∀x ∈[0,π2]，f (x )≤kx 恒成立.求实数k 的取值范围.22. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为23b ，经过点P (-2,1).（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM →=NO →，直线PM ，PN 分别交椭圆于A ，B ．PQ ⊥AB ，Q 为垂足.是否存在定点R ，使得|QR |为定值，说明理由．参考答案及评分标准一 、单项选择题1—4：CDAA 5—8：CBBD 二、多项选择题9 AC 10 ACD 11BC 12 BC 三、填空题13部分答案：,,,（任写对一个给3分，两个都对给5分）14 61 15 53 (3分) ；-157 (2分) 16．t<32四 、解答题17.（本小题满分12分）(1)由已知得：， (3)由余弦定理得： (5)(2)由余弦定理得：，即, (7)当且仅当时，等号成立面积最大值为 (10)18. （本小题满分12分）令得所以 (2)， (4)当时，经验证符合上式 (6)若选①，， (9)所以 (12)若选②：若选③，，，则， (8)两式相减得：， (10)故 (12)19.（本小题满分12分）(1)设吉利研究所出成果为A ，北汽科研中心出成果为B ，长城攻坚站出成果为C. 所求事件概率p= p(A)p(—C ) +p(—A )p(C)+p(A )p(C )= 21×43 +21×41+21×41=85 (3)若三个团队中只有长城攻坚站出成果，则p(—A )p(—B )p(C )= 121，即(1-21)(1-m)×41 =121解得m=31. (6)(2) X=0,1,2,3P(X=0)=p (—A )p(—B )p(—C )= 21×32×43 = 246=41…………………………………………………7 P(X=1)= p (A )p(—B )p(—C )+p (—A )p(B )p(—C )+p (—A )p(—B)p(C )=21×32×43+21×31×43 +21×32×41 =2411 (8)P(X=2)= p (A )p(B )p(—C )+p (—A )p(B )p(C )+p (A )p(—B)p(C )=21×31×43+21×31×41+21×32×41=246=41…………………………………………………………9 P(X=3)= 21×31×41=241 (10)X 0 1 2 3 P 41 2411 41 241 所以X 的分布列为：E(X)= 0×41+1×2411+2×41+3×241=2426=1213 (12)20. （本小题满分12分）（1）由题意可知新多面体体积为原真四面体体积V 1与正八面体体积V 2之和.V 1=31×43a2×36a =122a3，V 2= 2×31×a 2×22a =32a3, (2) (4)（2）如图，在正八面体AC 中，连结AC 交平面BE 于点O ．设正八面体的棱长为1，BF 的中点为D ，连结AD 、CD ，易得∠ADC 为二面角A ―BF ―C 的平面角。
【初中数学】2021初中数学八面体知识点总结
【初中数学】2021初中数学八面体知识点总结
【—八面体】八面体要领：顾名思义，八面体有八个面，是一个棱锥体，每个面都是
一个等边三角形。
八面体
正如立方体一样，八面体的这八个面均为全等的正多边形。
这些多边形相接的角和边
在各处均为相同。
正是由于存在这样的规则性，所以各个多边形所在的平面出现的可能性
均等。
八面体是称为柏拉图立体的五个正多面体之一，这些立体均具有这一规则性。
柏拉图认为八面体介于四面体（火）和二十面体（水）之间，所以他认为它所代表的
元素是空气。
八面体有六个二次旋转轴，它们穿过对面的中点；四个三重旋转轴，穿过相
对的中心；三个四次旋转轴穿过相反的顶点。
任何符合这些旋转轴的多面体都被称为具有
八面体对称性。
八面体
单纯形名称。
它只出现在等轴晶体上。
它是一个正八面体，由八个相同的晶面组成，
呈平行等边三角形。
穿过中心并连接各对角线顶部的三条连接线相互垂直且长度相等。
相
邻晶面之间的夹角为109°；每对晶面垂直于晶体中的立方对称轴；每个晶面与三个晶轴
的长度相同。
单纯形符号是{111}。
磁铁矿、尖晶石和其他晶体通常具有这种单一形状。
此外，八面体是晶体结构中非常常见的配位多面体形式。
然而，当用于表示配位多面体时，八面体可能不是正八面体，并且允许变形
知识总结：八面体，由6个顶点与8个正三角形构成，4个三角形相交于一个顶点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在点选对顶点
同样作法，反射其余两点
再做三顶点的正三角形， 分别点选三 顶点
点选完即为左图
做此三角形的内正八面体， 移至里面 在作正八面体
把不需要的对象点选再按 CTRL+M 隐 藏起来即完成
正八面体与正立方体互为对偶 Cube an选平面
在点选中心点，选择原点为中心点
拉开至所需要的大小
做相邻三边的中点，移至边上即可
同上
同上
做刚刚三中点的正三角形， 分别点选 三个点
点选完即出现新三角形
用轴反射反射新三角形的顶点， 分别 以对边反射对顶点， 先点选其中一边