高一数学专题五《基本不等式》综合检测苏教版必修5

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苏教版高中数学必修五不等式过关检测1.docx

不等式过关检测11．已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝{x |－x 2＋2x ＋3>0}，则集合M ∩N ＝________. 解析：M ＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}， ∴M ∩N ＝{x |－1<x <2}．2．设f (x )＝x 2＋bx ＋1，且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为________．解析：由f (－1)＝f (3)可知对称轴x ＝－b 2＝－1＋32，∴b ＝－2.∴f (x )＝x 2－2x ＋1，∴x 2－2x ＋1>0⇒(x －1)2>0⇒x ≠1.答案：{x |x ≠1，x ∈R }3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )的部分对应值如下表：x－3－2－10 1 2 3 4 y 6 0－4 －6 －6 －46则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是________．解析：由表可知a >0，且y ＝0时，x ＝－2或3， ∴ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >3}．答案：{x |x <－2或x >3}4．不等式x 2－2|x |－15≥0的解集为________．解析：原不等式为|x |2－2|x |－15≥0， ∴(|x |－5)(|x |＋3)≥0，∴|x |－5≥0，∴x ≤－5或x ≥5. 答案：{x |x ≤－5或x ≥5}5．若2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x的值域是________．解析：由已知得，2x 2＋1≤24－2x，∴x 2＋1≤4－2x ，即x 2＋2x －3≤0， ∴－3≤x ≤1， ∴2－3≤2x ≤2，即18≤y ≤2. 答案：[18，2]6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x ≥0)，－x 2－x (x <0)，则不等式f (x )＋2>0的解集为________．解析：当x ≥0时，－x 2＋x ＋2>0⇒x 2－x －2<0，∴－1<x <2，∴0≤x <2.当x <0时，f (x )＋2＝－x 2－x ＋2>0⇒x 2＋x －2<0， ∴－2<x <1，∴－2<x <0.∴不等式的解集为{x |－2<x <2}．答案：{x |－2<x <2}7．不等式x <2x－1的解集是________．解析：由x <2x －1可得(x －1)(x ＋2)x<0，解得{x |x <－2或0<x <1}．答案：{x |x <－2或0<x <1}8．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：由不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则不等式k 1x ＋a ＋1x ＋b 1x＋c <0满足1x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，解得x ∈(－3，－1)∪(1,2)，即得不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．答案：(－3，－1)∪(1,2)9．设m ∈R ，解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3<0. 解：当m ＝0时， ∵－3<0恒成立，∴原不等式的解集为R ；当m ≠0时，原不等式化为(mx ＋3)(mx －1)<0，当m >0时，解得－3m <x <1m；当m <0时，解得1m <x <－3m .综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ，当m >0时，原不等式的解集为{x |－3m <x <1m }，当m <0时，原不等式的解集为{x |1m <x <－3m}．10．不等式ax 2＋(a －1)x ＋a －1<0对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，不等式为－x －1<0，不符合题意． (2)当a <0时，Δ＝(a －1)2－4a (a －1)<0，即－3a 2＋2a ＋1<0， ∴3a 2－2a －1>0，∴a >1或a <－13，∴a <－13.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－13)．不等式过关检测21．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z ＝x －2y得y ＝x 2－z 2，当直线y ＝x 2－z 2在y 轴上的截距最小时，z 取得最大值，由图知，当直线通过点A 时，在y 轴上的截距最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y －2＝0，解得A (1，－1)．所以z max ＝1－2×(－1)＝3. 答案：32．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋2y ≤5，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：约束条件所对应的可行域如图．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .由图可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3x ＋2y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A (1,1)．∴z max ＝2×1＋1＝3.答案：33．已知实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是________．解析：约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y＝－2x ＋z ，作直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1,1)时，(2x ＋y )min ＝3.答案：(1,1)4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x ≥0，y ≥0，则不等式组表示的区域面积为________，z ＝y ＋2x －1的取值范围是________．解析：易知A (3,0)，B (0,1)，∴S △AOB ＝32，k PA ＝1，k PO ＝－2.∴z ≤－2或z ≥1.答案：32(－∞，－2]∪[1，＋∞)5．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0y ≤－kx ＋4k (k >1)所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则kSk －1的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，易知M 的面积S ＝12×4×4k ＝8k .∵k >1，∴k －1>0.于是，kS k －1＝8k 2k －1＝8(k －1)＋8k －1＋16≥32，当且仅当8(k －1)＝8k －1，即k ＝2时取等号．答案：326．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0，y ≥x 所示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于________．解析：画出不等式组所表示的平面区域如图所示，观察图形可知，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离最小，故D 关于直线3x －4y －9＝0对称的点D ′(D ′在Ω2内)的距离|DD ′|最小，D 到直线3x －4y －9＝0的距离为|3－4－9|5＝2，故|DD ′|＝4.答案：47．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析：约束条件表示的平面区域为如图所示的阴影部分．当直线z ＝abx ＋y (a >0，b >0)过直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0的交点(1,4)时，目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)取得最大值8，即8＝ab ＋4，ab ＝4，∴a ＋b ≥2ab ＝4. 答案：48．设z ＝2y －2x ＋4，式中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤22y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤22y －x ≥1的可行域(如图所示)．令t ＝2y －2x ，则z ＝t ＋4.将t ＝2y －2x 变形得直线l ：y ＝x ＋t2.则其与y ＝x 平行，平移直线l 时t 的值随直线l 的上移而增大，故当直线l 经过可行域上的点A 时，t 最大，z 最大，当直线l 经过可行域上的点B 时，t 最小，z 最小．∴z max ＝2×2－2×0＋4＝8，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.9．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，设z ＝ax ＋y (a >0)，若当z 取最大值时对应的点有无数多个，求a 的值．解：画出可行域，如图所示，即直线z ＝ax ＋y (a >0)平行于直线AC ，则直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时将满足条件，有无数多个点使函数取得最大值．分析知当直线y ＝－ax ＋z 刚好移动到直线AC 时，将会有无数多个点使函数取得最大值．又由于k AC ＝4.4－21－5＝－35，即－a ＝－35，∴a ＝35．不等式过关检测31．如果log 2x ＋log 2y ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析：由题log 2x ＋log 2y ＝1，可得log 2(xy )＝1，得xy ＝2，又x ＋2y ＝2(x ＋2y )xy ＝2y＋4x ≥2 8xy ＝4，所以x ＋2y 的最小值是4.答案：42．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由基本不等式得xy ≥22·xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，等号成立)，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18.答案：183．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值是________．解析：由已知条件可得y ＝x ＋3z 2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝14(x z ＋9z x ＋6)≥14(2 x z ×9zx ＋6)＝3，当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号．答案：3 4．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；② a ＋b ≤ 2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤(a ＋b )24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥(a ＋b )24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab )＝2(a 2＋b 2－ab )，∵ab ≤1，∴－ab ≥－1，又a 2＋b 2≥2，∴a 2＋b 2－ab ≥1，∴a 3＋b 3≥2，故④错误；1a ＋1b ＝(1a ＋1b )a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故⑤正确．答案：①③⑤5．设a >0，b >0，则以下不等式中，不恒成立的是________．①(a ＋b )(1a ＋1b )≥4 ②b ＋2a ＋2>b a③a ＋b 1＋a ＋b <a 1＋a ＋b 1＋b④a a b b ≥a b b a 解析：当0<a ba不成立，所以②不恒成立；由(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥4(当且仅当a ＝b 时取等号)可知，①恒成立；由a ＋b 1＋a ＋b ＝a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b <a 1＋a ＋b 1＋b ，可知③恒成立； a a b b a b b a ＝a a －b (1b )a －b ＝(a b)a －b，无论a ，b 的大小关系如何，上式恒大于等于1，故④恒成立．答案：②6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为________．解析：由a x ＝b y ＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3(a ＋b 2)2＝1，当且仅当a ＝b 时等号成立．答案：17．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为________．解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100.于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：508．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2.由a m a n ＝4a 1，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6. 故1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝56＋16(4m n ＋n m )≥56＋46＝32，当且仅当n ＝2m 时等号成立．答案：329．设a >0且a ≠1，t >0，比较12log a t 和log a t ＋12的大小．解：∵log a t ＋12－12log a t ＝log a t ＋12t，又t >0，由不等式性质知t ＋1≥2t ， ∴t ＋12t≥1. ①当0<a <1时，log a t ＋12t≤log a 1＝0，∴log a t ＋12≤12log a t .②当a >1时，log a t ＋12t≥log a 1＝0，∴log a t ＋12≥12log a t .10．根据下列条件求最值．(1)已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求z ＝2x ＋5y的最小值；(2)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(3)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值；(4)已知x ∈R ，求f (x )＝sin 2x ＋1＋5sin 2x ＋1的最小值．解：(1)法一：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2. ∴z min ＝2，当且仅当2y ＝5x ，即x ＝2，y ＝5时等号成立．法二：由lg x ＋lg y ＝1，可得y ＝10x.∵2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2. ∴z min ＝2，当且仅当2x ＝x2，即x ＝2，y ＝5时等号成立． (2)∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥2 12x·3x ＝12，等号成立的条件是12x＝3x ，即x ＝2，∴f (x )的最小值是12.(3)∵x <3，∴x －3<0，∴3－x >0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－2 43－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )的最大值为－1.(4)令sin 2x ＋1＝t ，则t ∈[1,2]，故g (t )＝t ＋5t.任取t 1，t 2∈[1,2]且t 1<t 2，则g (t 1)－g (t 2)＝(t 1－t 2)－⎝⎛⎭⎫5t 2－5t 1＝(t 1－t 2)－5(t 1－t 2)t 1t 2＝(t 1－t 2)⎝⎛⎭⎫1－5t 1t 2 ＝(t 1－t 2)·t 1t 2－5t 1t 2.∵t 1<t 2且t 1，t 2∈[1,2]， ∴t 1－t 2<0，t 1t 2－5<0，故g (t 1)－g (t 2)>0， ∴g (t 1)>g (t 2)，∴g (t )在[1,2]上是减函数，∴g (t )min ＝g (2)＝2＋52＝92.即f (x )min ＝92.。

高一数学数学必修5专题五《基本不等式》模拟试卷

专题五《基本不等式》模拟试卷一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若1x >，则11x x +-的最小值是（）Ａ．21x x - Ｂ．Ｃ．2 Ｄ．3 2．在下列函数中，最小值为2是（）Ａ．5(5x y x x=+∈R 且0)x ≠Ｂ．1lg (110)lg y x x x =+<< Ｃ．33()x x y x -=+∈R Ｄ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 3．已知，1,1x y >>且lg lg 4,x y +=则lg lg x y ⋅的最大值是（）Ａ．[2,2]- Ｂ．[- Ｃ．[2] Ｄ．[4．已知33log log 2,m n m n +=+则的最小值是( )Ａ.Ｃ. 6 D.5．函数1(0)y x x x=+≠的值域是（）Ａ．{|22}y y -≤≤Ｂ．{|2}y y ≥Ｃ．{|2y y ≤-或2}y ≥Ｄ．{|2}y y ≤-6．已知0,0a b >>且1a b +=，则2211(1)(1)a b--的最小值是（）Ａ．9Ｂ．8Ｃ．7 Ｄ．67．设x >0,从不等式12x x +≥和2244322x x x x x +=++≥，启发我们可推广为x +n x≥( )n +1,则括号内应填写的是 ( )A ．n nB ．2nC ．2nD ．2(1)2n -8．若x ，y 是正数，则2211()()22x y y x +++的最小值是（） A ．3 B ．27C ．4 D ．299．已知非负实数a ，b 满足2a +3b =10 ）5Ｄ．1010．若41x -<<，则22222x x y x -+=-有（）Ａ．最小值1Ｂ．最大值1Ｃ．最小值1-Ｄ．最大值1-11．已知0a b >>，全集U =R ,{|},2a b M x b x +=<<{},N x x a =>，且281x y+=，则xy 有（）Ａ．最大值64 Ｂ．最小值164 Ｃ．最小值12Ｄ．最小值64 二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上.13．设22,2,A x B x A B =+=则与的大小关系是.14．函数22()(42)(0f x x x x =-<<的最大值是.15．已知x , y 满足10x y ++=,则22x y A =+的最小值是.16．已知01,01a b <<<<,且22log log 16a b ⋅=,则2log ()ab 的最大值为 .17．已知0,1a b a b <<+=,则将221,2,,2a b ab a +按从小到大的顺序排列得 .18．在函数①42(0),y x x x =---<②1tan (0)tan 2y x x x π=+<<，③1lg lg (0)y x x x -=+>，④)y x =∈R 中，以2为最小值的函数的序号是.三、解答题, 本大题共5小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.19．(本小题满分12分)已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝7，c ＋d ＝5，求()()22a cb d +++的最小值.20．(本小题满分12分)设01,0,a a t >≠>且试比较11log log 22a a t t +与的大小，并证明你的结论.21．(本小题满分14分)今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确. 有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次结果的和的一半就是物体的真实质量. 这种说法对吗？请说明理由.22．(本小题满分14分)已知ABC ∆内接于单位圆，且(1tan )(1tan )2A B ++=.⑴求证内角C为定值⑵求ABC面积的最大值.23．(本小题满分14分)在ABC∆中，a，b，c分别是内角A, B, C的对边.求证：1111cos cos cos111. 2A B Ca b c a b c a b c ⎛⎫++≤++<++ ⎪⎝⎭【选做题】已知a>0, b>0, 且a＋b＝1. 求证：(1)1125;4 a ba b⎛⎫⎛⎫++≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭2.。

苏教版高中数学必修五基本不等式同步练习(2)(1)

基本不等式一、选择题1．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a2.设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a+b=2，则下列不等式成立的是（）A 、2b a ab 122+<<B 、2b a 1ab 22+<<C 、12b a ab 22<+< D 、1ab 2b a 22<<+ 3．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是A ．31a -<x x x x 时且B ．21,0≥+>xx x 时当C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当x x x 1,20-≤<时无最大值 6．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点,若01c <<,则a 的取值范围是A ．(1,3) B ．(1,2) C ．[)2,3 D ．[]1,3 ( ) 7．不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩的区域面积是 ( )A ．12B ．32C ．52D ．18．给出平面区域如下图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 ( )A ．32B ．21C ．2D ．23 9、已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是（）Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．1010．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为 A 、11{|}32x x -<或 C 、{|32}x x -<< D 、{|32}x x x <->或 ( )二、填空题11．设函数23()lg()4f x x x =--，则()f x 的单调递减区间是。

高中数学第3章基本不等式综合检测(苏教版必修5)

苏教版高中数学必修5专题五《基本不等式》综合检测一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为（）Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 1835. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有（）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是（）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111abc++≥ D ．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（）A ．114x y ≤+ B ．111x y+≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是（）Ｃ．22ab a ba b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（）Ａ．2p q x +=Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥10. 下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．4y x x=+Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.11. 函数y =的最大值为 .13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.一、选择题二．填空题11.1212.3600 13. 1214.对三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。

苏教版高中数学必修5试卷必修5综合检测.doc

A.55 B.95C.100D.不能确定已知｛。

〃｝是等比数列，Q〃>0,且。

4。

6+2。

5。

7+。

6。

8=36,则。

5+。

7等于A. 6B.12C.18D.243 . 必修5综合检测一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 •下列各图中表不的区域是不等式3x+2y+6>0的解的是（）2.等差数列｛%｝的前〃项和为S〃，若。

3+。

17=10，则S19= （）4.下列不等式中解集为实数集R的是（）A. + 4x + 4 > 0B. V? > 0C. — x +1 > 0「 1 1 1D,——1 < —X X5.等差数列｛。

〃｝中，«i>0,奸0, S3=Sn，则中的最大值是（）A. S-,B. S7或S8C. 514D. S86.不等式(l + x)(l-|x|)> 0的解集是( )A. ｛』0 < x < 1｝B. ｛』x<O,xw-l｝C. ｛.v| -1 < .v < 1｝D. ｛』x<l, xu-l｝7.已知x + 2y = l,则2A +4-v的最小值为( )A. 8B. 6C. 2V2D. 3V28.设｛%｝是正数等差数列，｛久｝是正数等比数列，且幻=们，a2n+l=b2n+l,则 ( )A. —b“+、B. abn+[C.D.。

"+12力“+19.不等式(«-2).r +2(fl-2).r-4<0对一切xeR恒成立，则实数a的取值范围是A. (—8,2)B. [― 2,2]C. (―2,2]D. (—co,—2)10.已知A、B、C 是△ABC 的三个内角，且sinA = 2cosBsinC ,贝U ------------------- ( )(A) B=C(B)B>C (C)B<C (D) B,C的大小与A 的值有关11.在ZsABC 中，如果sin A : sinB : sinC = 2 :3:4 ,那么cosC 等于( )A 2R 2 c 1 D 13 3 3 412.给出下列二个命题(1)若tanAtanB>l,则△ABC 一定是钝角二角形；(2)若sin2A + sin2B = sin2C,则ZVIBC一定是直角三角形；(3)若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=l,则AABC一定是等边三角形以上正确命题的个数有(A. 0B. 1C. 2D. 313 .在等差数列｛｝中，已知公差d=—，且。

【数学】3.4《基本不等式》测试(苏教版必修5)

基本不等式一、填空题：（每小题5分，计50分）1.若x>0,y>0且281x y+=，则xy 的最小值是； 2.若x 、y R +∈且x+3y=1，则132Z x y =+++的最大值； 3.若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是；4.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy 最大值为；5.点（x ，y ）在直线x+3y-2=0上，则3273x y++最小值为； 6.若数列{n a }的通项公式是281n n a n =+则数列{n a }中最大项； 7.设a ，b R +∈，a+2b=3 ，则11a b+最小值是； 8.当x>1时，则y=x+21161x x x ++的最小值是； 9.已知不等式（x+y ）1()9a x y+≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为；10.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.二、解答题：（12分×3+14分，计50分）11.在△ABC 中，已知A=600，a=4，求△ABC 的面积的最大值.12.已知x ＞y ＞0，求24()x y x y +-的最小值及取最小值时的x 、y 的值.13.已知a 、b 、c 都为正数，且不全相等，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++14.已知定点(6,4)P 与定直线1:4l y x =，过 P 点的直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使OQM ∆面积最小的直线l 方程.参考答案1.642.223.64.45.96.1187.1+233 8.89.410.20 11.4312.当且仅当21x y =⎧⎨=⎩时所求的最小值是8 13.略14.设(,4)(0)Q a a a >①6a ≠时，44:4(6)6PQ a l y x a --=-- 令0y =，得4(6)560441M a a x a a --=+=>-- 故1a >2110110(12)211OQM Q M a S y x a a a ∆=⋅==-++-- 1121a a -+≥-，110(12)401a a -++≥-（当且仅当2a =时取“＝”号）所以当2a =时，min ()40OQM S ∆= ②当6a =时，11624724022OQM Q M S y x ∆=⋅=⨯⨯=> 由①②得，当2a =时，min ()40OQM S ∆=，此时(2,8)Q ，:100PQ l x y +-=。

苏教版高中数学必修五基本不等式同步练习(2)

必修5第三章《不等式》单元测试题班级姓名座号分数一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.不等式(x －1)(x －3)>0的解集为（） A.{x |x <1} B. {x |x >3} C. {x |x <1或x >3} D. {x |1<x <3}2.不等式2x+y+1<0表示的平面区域在直线2x+y+1=0（） A 、右上方 B 、右下方 C 、左上方 D 、左下方 3．设中最大的是 ( )A.B. bC. 2abD.4．给出平面区域如下图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是（）A ．32B ．21C ．2D ．235．已知1273,023++=-+y x y x 则的最小值是（）A. 393B. 221+C. 6D. 76．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为( )A 、11{|}32x x -<或C 、{|32}x x -<<D 、{|32}x x x <->或二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，将答案填在题后的横线上）1.已知集合M={x |x >6},N={x |x 2－6x －27<0},则M ∩N=2．若关于x 的不等式342+++x x ax >0的解集为{x|－3<x<－1或x>2}，则a=3．已知x ＞2，则y ＝21-+x x 的最小值是．4．对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围是三、解答题（本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1.解下列关于x 的不等式：（1）x 2－5x +6>0; （2）(x+a)(x-2a+1) <02．已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10303y y x y x ,求z =3x +y 的最大值与最小值。

高中数学(基本不等式)同步练习2 苏教版必修5 试题

高中数学必修5第三章不等式题组训练题[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（）A ．54-xB ．3-C ．3D ．x 45-2．函数y ＝log 21（x ＋11+x ＋1）（x > 1）的最大值是（）A ．－2B ．2C ．－3D ．33．不等式xx --213≥1的解集是 ( ) A ．{x|43≤x ≤2} B ．{x|43≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．b a 11C ．a ＞b 2D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( )A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a 的取值X 围是 ( )A ．－3＜a ＜1B ．－2＜a ＜0C ．－1＜a ＜0D ．0＜a ＜2二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1．不等式组⎩⎨⎧->-≥32x x 的负整数解是____________________。

2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为____________________。

3．不等式0212<-+xx 的解集是__________________。

4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。

5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n nn n n n g n n ∈=--=-+ϕ,用不等号连结起来为___ ____________.三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1．解log (2x – 3)(x 2－3)＞02．不等式049)1(220822<+++++-m x m mx x x 的解集为R,某某数m 的取值X 围。

高中数学苏教版必修5 3.4.1 基本不等式的证明作业 Word版含解析

[学业水平训练]一、填空题1．(2021·镇江调研)a ＞0 ,b ＞0 ,a ＋b ＝4 ,那么以下各式中正确的选项是________． ①1a ＋1b ≤14；②1a ＋1b≥1； ③ab ≥2; ④1ab≥1. 解析：由a ＞0 ,b ＞0 ,知a ＋b 2≥ab , 又a ＋b ＝4 ,∴ab ≤2 ,∴ab ≤4 ,∴1ab ≥14 , ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1 ,即1a ＋1b≥1. 答案：②2．数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1 ,n ∈N * ,那么a 2n ＋1________a n a n ＋2.(用不等号填空)．解析：法一：a 2n ＋1＝(n ＋2)2＝n 2＋4n ＋4 ,a n a n ＋2＝(n ＋1)(n ＋3)＝n 2＋4n ＋3 ,a 2n ＋1－a n a n＋2＝1＞0 ,∴a 2n ＋1＞a n a n ＋2.法二：∵a n ＞0 ,且{a n }为等差数列 ,公差大于0 ,∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1 ,∴a n a n ＋2＜(a n ＋a n ＋22)2＝a 2n ＋1. 答案：＞3．a ＞b ＞c ,那么 (a －b ) (b －c )与a －c 2的大小关系是________．解析：∵a ＞b ＞c ,∴a －b ＞0 ,b －c ＞0 ,∴a －c 2＝ (a －b )＋ (b －c )2≥ (a －b ) (b －c )(当且仅当a ＋c ＝2b 时 ,取 "＝〞)．答案： (a －b ) (b －c )≤a －c 24．假设a >b >1 ,P ＝lg a ·lg b ,Q ＝12(lg a ＋lg b ) ,R ＝lg(a ＋b 2) ,那么P 、Q 、R 的大小关系为________．解析：∵lg a >lg b >0 ,∴12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ,即Q >P . 又∵a >b >1 ,∴a ＋b 2>ab . ∴lg(a ＋b 2)>lg ab ＝12(lg a ＋lg b ) ,即R >Q . 故有P <Q <R .答案：P <Q <R5．函数f (x )＝2x ,假设a ≠b ,记P ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 ,Q ＝12[f (a )＋f (b )] ,那么P ,Q 的大小关系是________．解析：P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ 2a ·2b <12(2a ＋2b )＝Q .答案：P <Q6．m ＝a ＋1a －2(a >2) ,n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2(x ≠0) ,那么m 与n 之间的大小关系为________．解析：m ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2 (a －2 )·1a －2＋2＝4 ,当且仅当a －2＝1a －2 ,即a ＝3时取等号 ,而n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2<⎝⎛⎭⎫12－2＝4.∴m >n . 答案：m >n7．设f (x )＝x 2＋x ＋1 ,g (x )＝x 2＋1 ,那么f (x )g (x )的取值范围是________．解析：f (x )g (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1 ,当x ＝0时 ,f (x )g (x )＝1；当x >0时 ,f (x )g (x )＝1＋1x ＋1x≤1＋12＝32；当x <0时 ,x ＋1x ＝－⎣⎡⎦⎤ (－x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 ,那么f (x )g (x )＝1＋1x ＋1x≥1－12＝12.∴f (x )g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 32二、解答题8．a ,b ,c ∈R ＋ ,且a ＋b ＋c ＝1 ,求证⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明：∵a ,b ,c ∈R ＋ ,a ＋b ＋c ＝1 ,∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a, 同理 ,1b －1≥2ac b ,1c －1≥2ab c. ∵上述三个不等式两边均为正 ,∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8 , 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 9．a ,b ,c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .证明：∵a >0 ,b >0 ,c >0 ,∴a ＋b ≥2ab >0 ,b ＋c ≥2bc >0 ,c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca ) ,即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数 ,故等号不成立．∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .[（高|考）水平训练]一、填空题1．假设a >0 ,b >0 ,a ＋b ＝2 ,那么以下不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是________．(写出所有正确命题的编号) ①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2. 解析：①ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1 ,成立． ②欲证a ＋b ≤2 ,即证a ＋b ＋2ab ≤2 ,即2ab ≤0 ,显然不成立．③欲证a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥2 ,即证4－2ab ≥2 ,即ab ≤1 ,由①知成立．④a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)≥3⇔a 2－ab ＋b 2≥32⇔(a ＋b )2－3ab ≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab ≤56, 由①知 ,ab ≤56不恒成立． ⑤欲证1a ＋1b ≥2 ,即证a ＋b ab≥2 ,即ab ≤1 ,由①知成立．答案：①③⑤2．某民营企业的一种电子产品 ,2021年的年产量在2021年根底上增长率为a ；2021年方案在2021年的根底上增长率为b (a ,b ＞0) ,假设这两年的平均增长率为q ,那么q 与a ＋b 2的大小关系是________．解析：设2021年的年产量为1 ,那么2021年的年产量为(1＋a )(1＋b ) ,∴(1＋q )2＝(1＋a )(1＋b ) ,∴1＋q ＝ (1＋a ) (1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2, ∴q ≤a ＋b 2,当且仅当a ＝b 时 ,取 "＝〞．答案：q ≤a ＋b 2二、解答题3．如图 ,在⊙O 上半圆中 ,设AC ＝a ,CB ＝b ,OF ⊥AB 交上半圆于F ,请你利用FC ≥OF 得出一个关于a ,b 的不等式 ,并证明你的结论．解：关于a ,b 的不等式为：a 2＋b 22≥a ＋b 2.证明如下： ∵OF ＝a ＋b 2 ,OC ＝a －b 2, FC ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝ a 2＋b 22.∵FC ≥OF ,∴ a 2＋b 22≥a ＋b 2. 4．假设a ,b ,c 都是小于1的正数 ,求证：(1－a )b ,(1－b )c ,(1－c )a 不可能同时大于14. 证明：法一：假设(1－a )b ,(1－b )c ,(1－c )a 同时大于14 ,因为1－a >0 ,b >0 ,所以 (1－a )＋b 2≥ (1－a )b >14＝12. 同理有 (1－b )＋c 2>12 , (1－c )＋a 2>12.三个不等式相加得32>32,矛盾 ,故假设不成立 ,所以(1－a )b ,(1－b )c ,(1－c )a 不可能同时大于14. 法二：假设(1－a )b >14 ,(1－b )c >14 ,(1－c )a >14同时成立．因为1－a >0 ,1－b >0 ,1－c >0 ,a >0 ,b >0 ,c >0 ,所以(1－a )b (1－b )c (1－c )a >164 ,即(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164(*)．又(1－a )a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤ (1－a )＋a 22＝14 ,同理 ,(1－b )b ≤14 ,(1－c )c ≤14 ,故(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164 ,与(*)矛盾 ,故假设不成立 ,所以(1－a )b ,(1－b )c ,(1－c )a 不可能同时大于14.。

高中数学课时跟踪检测基本不等式苏教版必修5

2021年高中数学课时跟踪检测基本不等式苏教版必修5层级一学业水平达标1．设x >0，则y ＝3－3x －1x的最大值是________．解析：y ＝3－3x －1x＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．答案：3－2 32．若2x ＋y ＝4，则4x ＋2y的最小值为________．解析：4x＋2y＝22x＋2y ≥222x ·2y ＝222x ＋y＝224＝8.当且仅当2x ＝y ＝2，即x ＝1，y＝2时等号成立．答案：83．若关于任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范畴是________．解析：xx 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，因为x >0，因此x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：a ≥154．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存物资的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，假如在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库与车站的距离为x 千米，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x .∴2＝k 110，8＝k 2·10.∴k 1＝20，k 2＝45.∴y ＝20x ＋45x .∵20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．∴x ＝5千米时，y 取得最小值．答案：55．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．解析：依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，x＋2y ≥4，当且仅当x ＋1＝2y ＋1，即x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值是4.答案：46．若0<a <1,02ab ，a 2＋b 2>2ab ，因此四个数中最大的数应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又因为0<a <1,00，b >0，若不等式2a ＋1b ≥n2a ＋b 恒成立，则n 的最大值为________．解析：因为a >0，b >0，由题知2a ＋1b ≥n 2a ＋b ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )≥n ，又⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝4＋2b a ＋2a b＋1＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当a ＝b 时等号成立，故n ≤9.故n 的最大值为9.答案：98．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范畴是________．解析：∵x >0，y >0且2x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·xy＝8，当且仅当4y x ＝x y，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.答案：(－4,2)9．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明：法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，因此1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋ab，故⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ≥5＋4＝9.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时取等号.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，因此ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，因此1ab ≥4，2ab ≥8，因此⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.10．桑基鱼塘是某地一种独具地点特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目预备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．解：(1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －63.则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6＝a ⎝⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16 ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3(x >0)．(2)由S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，得S ≤1 832－210 800x ·16x3＝1 832－2×240＝1 352.当且仅当10 800x ＝16x3，现在，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．层级二应试能力达标1．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析：由差不多不等式性质，f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在4x ＝ax ，即x 2＝a4时取得最小值，由于x >0，a >0，再依照已知可得a4＝32，故a ＝36.答案：362．已知a >0，且b >0，若2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为________．解析：由题中条件知，1ab ＝44ab ＝2a ＋b 4ab ＝12b ＋14a ≥212b ·14a，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立，故1a 2b 2≥4·12b ·14a ，即1ab ≥12. 答案：123．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y的最小值是________．解析：因为lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，因此x ＋3y ＝1，因此1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x＋x 3y ≥4，当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝16时，取等号．答案：44．已知x >1，则函数y ＝x ＋9xx －1的值域为________．解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x ＋9x x －1＝x ＋9x －9＋9x －1＝x ＋9＋9x －1＝x －1＋9x －1＋10≥2x －1·9x －1＋10＝16，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，y 取最小值16，∴函数y ＝x ＋9xx －1的值域为[16，＋∞)．答案：[16，＋∞)5．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________．解析：由题知，1y ＋3x ＝5，即15y ＋35x ＝1，因此3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·1＝(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ＝135＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 5y ＋12y 5x ，因为x ，y >0，由差不多不等式得135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋23625＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．答案：56．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．解析：依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105.当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值2105. 答案：21057．已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1>0，x 2>0，比较12[f (x 1)＋f (x 2)]与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的大小，并加以证明．证明：∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22，又∵x 1>0，x 2>0，∴x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，∴lg(x 1x 2)≤lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22，即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. ∴12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.当且仅当x 1＝x 2时，等号成立．8．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，求z ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值．解：z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2－2xy xy ＝2xy ＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14.由f (t )＝t ＋2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t ＝14时f (t )＝t ＋2t 有33 4，因此当x＝y＝12时，z有最小值254.最小值。

2021年高中数学不等式的综合练习苏教版必修5

2021年高中数学不等式的综合练习苏教版必修5一、填空题1.不等式的解集为。

2.不等式的解集为。

3. 线性目标函数在约束条件下，取得最小值时x= y=4. 在等差数列与等比数列中，若，则与的大小关系为。

5.已知，则的最小值为。

6.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是。

7. 设，若不等式的解集是则按由小到大用“﹤”连接的式子为。

8. 设全集}043{},9{,22<--=>==x x x B x x A R U ，则。

9.已知满足约束条件，则目标函数的最大值是，最小值是。

二、解答题10.若函数在区间[-1，0]上的值恒大于0，求实数的取值范围。

11.如果关于的方程的一根比-1小，另一根比-1大，求实数的取值范围。

12.一艘轮船行驶时，单位时间的燃料费与其速度的平方成正比。

若轮船的速度为每小时30km时，燃料费为每小时9元，其余费用不随速度而变化，每小时为16元，则轮船速度为多大时，轮船行驶每千米的费用最少？13*.已知两个定点A（0，8）,B(0,2),动点M在轴正半轴上，试确定点M的位置，使得∠AMB取得最大值。

14*、经过长期观测得到；在交通繁忙的时间段内，某公路汽车的车流量（千辆∕小时）与汽车的平均速度（千米∕小时）之间的关系为。

⑴在该时间内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1）⑵若要求在该时段内车流量超过10千辆∕小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？34518 86D6 蛖•29522 7352 獒33178 819A 膚25588 63F4 援z 38536 9688 隈37559 92B7 銷33009 80F1 胱32563 7F33 缳 28629 6FD5 濕q31308 7A4C 穌。

苏教版高中数学必修五基本不等式同步练习(3)(1)

基本不等式一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．1. 不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域是（）2. 目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（）A.该直线的横截距B.该直线的纵截距C.该直线纵截距的一半的相反数D.该直线纵截距的两倍的相反数3. 若,a b R +∈，满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（）A.(],2-∞-B.(][),26,-∞-⋃+∞C.()6,+∞D.[)6,+∞4. 方程2302x x m --=在[]1,1x ∈-上有实根，则m 的取值范围是（） A.916m ≤- B.95162m -<< C.52m ≥ D.95162m -≤≤ 5. 某产品的总成本y （万元）与产量x （台）之间的函数关系式是23000200.1y x x =+-， ()0240,x x N *<<∈，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总体）的最低产量是（）A.100台B.120台C.150台D.180台二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.6. 不等式()()1120x x -->的解集是 .7. 若()21f x x =+，()g x x =，则()f x 、()g x 的大小关系是 .8. 已知点()3,1和点()4,6-在直线320x y m -+=的两侧，则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共3小题，满分40分，第10小题12分，第9.11小题各14分. 解答须写出文字说明.证明过程或演算步骤．9．已知11x y -<+<，222x y -<+<，求3x y +的范围.10. 求下列函数的最值.（1）已知0x >，求42y x x =--的最大值；（2）已知2x >，求12y x x =+-的最小值；（3）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值.11. 又一年冬天即将来临，学校小卖部准备制订新一年的热饮销售计划. 根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出热饮800杯，且热饮单价每提高1毛时，日销售量就降低20杯. 若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的热饮日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？《不等式》答案1～5 BCDDC 6. 1{1}2x x << 7. ()f x ＞()g x 8. 724m -<< 9. 解：作出不等式组所表示的平面区域如右图所示，由图可知，当直线系3z x y =+过点A 、B 时，z 分别取得最大值和最小值.由122x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得()4,3A -；由122x y x y +=⎧⎨+=-⎩解得()4,3B -. 则max 4335z =-+⨯=，()min 4335z =+⨯-=-，所以3x y +范围为()5,5-.10.解：（1）0x >Q ，44x x ∴+≥，42242y x x ⎛⎫∴=-+≤-=- ⎪⎝⎭， ∴当且仅当4(0)x x x=>，即2x =时，max 2y =-. （2）2x >Q ，20x ->，而()111222224222y x x x x x x =+=-++≥-+=---，当且仅当12(2)2x x x -=>-，3x =时，min 4y =. （3）102x <<Q ，120x ∴->，则()2112121112124424416x x y x x +-⎛⎫=⨯-≤=⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当212x x =-，即14x =时，max 116y =. 11. 解：设该热饮的销售单价提高x 元，由题意知得 ()()1.50.9800200720x x +--≥，化简有22006802400x x -+≤，解得0.43x ≤≤. 故热饮的单价控制在[1.9,4.5]之间时，今年的热饮日销售利润不低于720元.。

高中数学苏教版必修5第3章不等式综合检测

第3章不等式(时间：120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．(2013·南京检测)若1a ＜1b＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ，②|a |＞|b |，③a ＜b ，④b a ＋a b＞2中，正确的是________．(填序号)【解析】 ∵1a ＜1b ＜0，∴a ＋b ＜0，ab ＞0，∴a ＋b ＜ab ，①正确，由1a ＜1b＜0，得0＞a ＞b ，∴|a |＜|b |，②错误，③错误，由题意知b a ＞0，a b ＞0，∴b a ＋ab＞2，④正确．【答案】 ①④2．函数y ＝－x 2－3x ＋4x的概念域为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x －4≤0，x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤1，x ≠0.【答案】 [－4,0)∪(0,1]3．设M ＝(x －1)(x －5)，N ＝(x －3)2，则M 与N 的大小关系为________．【解析】 ∵M ＝(x －1)(x －5)＝x 2－6x ＋5，N ＝(x －3)2＝x 2－6x ＋9，∴M －N ＝(x 2－6x ＋5)－(x 2－6x ＋9)＝－4＜0，∴M ＜N .【答案】 M ＜N4．(2013·烟台高二检测)已知x ＞0，函数y ＝4x＋x 的最小值是________．【解析】由x ＞0，∴4x ＞0，∴y ＝4x ＋x ≥24x·x ＝4，当且仅当4x＝x 即x ＝2时取等号．【答案】 45．已知点A (3，－1)和B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为A (3，－1)和B (－1,2)在直线的同侧，所以(3a －3)·(－a ＋3)＞0，解得1＜a ＜3.【答案】 (1,3)6．(2012·长沙高二检测)A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x ＜a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．【解析】 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x <a }， ∵A ∩B ＝∅，∴a ≤－1. 【答案】 (－∞，－1]7．已知x ，y 知足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则2x ＋4y 的最小值为________．【解析】作出平面区域如图所示，令z ＝2x ＋4y ，欲求z 的最小值，即求y ＝－12x ＋z4在y 轴上截距的最小值，可以看出当直线过点A (3，－3)时，纵截距最小．所以z min ＝2×3＋4×(－3)＝－6.【答案】－68．设M ＝3x＋3y2，N ＝(3)x ＋y，P ＝3xy(0＜x ＜y )，则M 、N 、P 的大小顺序是________．【解析】 ∵3x＋3y2≥3x ·3y ＝(3)x ＋y，∴M ≥N ，又∵x ≠y ，∴M ＞N ；又∵x ≠y ，∴N ＞P ，∴M ＞N ＞P . 【答案】 M ＞N ＞P9．(2013·无锡检测)不等式x 4－x 2－2≤0的解集为________．【解析】原不等式可化为(x 2＋1)(x 2－2)≤0， ∵x 2＋1＞0∴x 2－2≤0，∴x 2≤2，∴－2≤x ≤ 2. 【答案】 [－2， 2 ]10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是________．【解析】作出可行域如图所示，由题意可知当直线x ＋y ＝a 通过(23，23)时，a ＝43，知足条件，当a ＞43时知足条件，当直线x ＋y ＝a 通过点(1,0)时，a ＝1，∴当0＜a ≤1时知足条件，∴a 的取值范围为0＜a ≤1或a ≥43.【答案】 (0,1]∪[43，＋∞)11．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．【解析】 ∵x ，y ∈R ＋， ∴x ＋4y ＝1≥24xy ，∴xy ≤116.【答案】11612．(2013·德州高二检测)已知x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，则y ＋7x ＋4∈________. 【解析】作可行域如图中△ABC 区域．又y ＋7x ＋4的几何意义是区域内点(x ，y )与定点P (－4，－7)连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0，∴ A (－1，－6)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0，∴B (－3,2)．∴k PA ＝13，k PB ＝9，∴13≤y ＋7x ＋4≤9. 【答案】 [13，9]13．设正数a ，b 知足ab ＝a ＋9b ＋7，则ab 的最小值为______．【解析】因为a ，b 都为正数，所以ab ＝a ＋9b ＋7≥29ab ＋7＝6ab ＋7，当且仅当a ＝9b 时等号成立，因为ab ≥6ab ＋7，解得ab ≥7，所以ab ≥49，故ab 的最小值为49.【答案】 4914．(2013·南通检测)不等式x 2－ax ＋b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式bx 2－ax －1＞0的解集为______．【解析】由题意方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3.∴a ＝5，b ＝6，∴不等式bx 2－ax －1＞0可化为：6x 2－5x －1＞0，即(x －1)(6x ＋1)＞0，∴x ＜－16或x ＞1.【答案】 (－∞，－16)∪(1，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设x ＞－1，求f (x )＝x ＋5x ＋2x ＋1的最值．【解】 ∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，∴f (x )＝x ＋5x ＋2x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋12＋5x ＋1＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋14x ＋1＋5＝4＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1(x ＝－3舍去)时取等号．故当x ＝1时，f (x )有最小值9，f (x )无最大值．16．(本小题满分14分)求z ＝x ＋6y ＋7的最值，使(x ，y )知足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤10，2x ＋y ≥6，y ≥0.【解】作可行域如图所示，由图知z ＝x ＋6y ＋7在A 处取到最大值，在B 处取到最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝10，2x ＋y ＝6，解得A (23，143)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，y ＝0，解得B (3,0)．所以z max ＝23＋6×143＋7＝3523，z min ＝3＋6×0＋7＝10.17．(本小题满分14分)某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准别离为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益别离为万元和万元，则该公司如何分派在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间别离为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y ，二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0，平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.所以点M 的坐标为(100,200)．所以z max ＝3 000x ＋2 000y ＝70 0000元，700 000元＝70万元，即在甲电视台做广告100分钟，在乙电视台做广告200分钟，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元．18．(本小题满分16分)(2013·扬州检测)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R . (1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)若不等式f (x )＞－2x 2－3x ＋1－2a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若a ＜0，解不等式f (x )＞1.【解】 (1)显然a ＜0，且－4a 2－14a ＝178，解得：a ＝－2或a ＝－18.(2)由f (x )＞－2x 2－3x ＋1－2a 得：(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0. 当a ＝－2时，不合题意；当a ≠－2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4a ＋2a －1＜0，所以a ＞2.(3)ax 2＋x －a －1＞0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)＞0 因为a ＜0，所以(x －1)(x ＋a ＋1a)＜0，因为1－(－a ＋1a )＝2a ＋1a，所以当－12＜a ＜0时，1＜－a ＋1a ，解集为{x |1＜x ＜－a ＋1a }；当a ＝－12时，(x －1)2＜0，解集为∅；当a ＜－12时，1＞－a ＋1a ，解集为{x |－a ＋1a＜x ＜1}．19．(本小题满分16分)(2013·无锡检测)已知函数f (x )＝x 2－ax (a ∈R )． (1)若不等式f (x )＞a －3的解集为R ，求实数a 的取值范围；(2)设x ＞y ＞0，且xy ＝2，若不等式f (x )＋f (y )＋2ay ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)即不等式x 2－ax －a ＋3＞0的解集为R ， ∴Δ＝a 2＋4(a －3)＜0恒成立，即a 2＋4a －12＜0恒成立， ∴－6＜a ＜2.(2)即不等式x 2－ax ＋y 2－ay ＋2ay ≥0恒成立，∴不等式x 2＋y 2≥a (x －y )恒成立．∵x ＞y ＞0，∴a ≤x 2＋y 2x －y.∵x 2＋y 2x －y ＝x －y 2＋2xy x －y ＝(x －y )＋4x －y≥4 (当且仅当x －y ＝4x －y即x ＝1＋3，y ＝－1＋3时取等号)， ∴实数a 的取值范围(－∞，4]．20．(本小题满分16分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．【解】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则不等式f (x )＞－2x 化为ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＞0.因为不等式的解集为(1,3)，所以a ＜0，－b －2a ＝4，ca＝3，即a ＜0，b ＝－4a －2，c＝3a .因为方程ax 2＋bx ＋6a ＋c ＝0有两个相等的实根，所以Δ＝b 2－4a (6a ＋c )＝0.把b ，c 别离代入Δ中，化简得5a 2－4a －1＝0，解得a ＝－15，a ＝1(舍去)．所以b ＝－65，c ＝－35.所以f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由(1)知a ＜0，所以当x ＝－b 2a 时，函数f (x )取得最大值，由题设，得a (－b2a)2＋b ·(－b2a)＋c ＞0.代入b ，c 并整理得a 2＋4a ＋1＞0.解得a ＜－2－3或a ＞－2＋ 3.又因为a ＜0，所以a 的取值范围为(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．。

苏教版高中数学必修5 39基本不等式学案综合练习题

TB: 小初高题库
高中数学精选学习内容
两直线的位置关系学案
班级
学号
学习目标
1. 熟练运用基本不等式求最值．
2. 会解决与基本不等式相关的应用题．
姓名
课前准备
一、知识梳理： 1.基本不等式：件：当且仅当
ab a b （1）基本不等式成立条件： 2
时取等号．
；（2）等号成立的条
2.几个重要的不等式
x
Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是
．
9. 某人准备购置一块占地1800m2 的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m 的小路（阴影部分所示），大棚所占地面积为 Sm2 ，其中a :b 1: 2 ．（1）试用 x, y 表示 S ；
（2）若要使 S 最大，则 x, y 的值各为多少?
条道路，已知购置修路设备需 5 万元，铺设路面每公里成本为 6 万元，设 f x 为建造
宿舍与修路费用之和．
（1）求 f x 的表达式；（2）宿舍就能寻在离工厂多元处，可使总费用 f x 最小，并求最小值．
学好高中数学
不能死记硬背，要多加思考。做习题巩固知识，做错的练习要及时解决，不懂
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时， x y有最
值
是
．
（ 2）如果和 x y 是定值 p ，那么当且仅当
时， xy 有最
值
是
．
二、课前预习
1. 若 x 0 ，则 x 2 的最小值为
．
x
2. 已知 t 0 ，则函数 y t2 4t 1 的最小值为
．
t
3. 已知 x, y 0 ，且 x 4 y 1，则 xy 的最大值为

苏教版高中数学必修五课时练习----基本不等式的证明(2).doc

新课程同步课时练习----基本不等式的证明（2）【基础练习】1．下列不等式中，对任意x ∈R 都成立的是（）A ．2111x <+ B ．x 2+1>2x C ．lg(x 2+1)≥lg2x D ．244x x +≤1 2．若ab>0，则11()()a b a b++≥_____________. 3．已知a 、b 、c 、d 全为正数，求证：()()b d c a a c b d++≥4.【巩固练习】1．下列不等式的证明过程正确的是（） A ．若a ，b ∈R ，则b a a b +≥22b a a b ⋅= B ．若x>0，则12x x+> C ．若x<0，则4x x+≥424x x -⋅=- D ．若x ∈R ，则22x x -+≥2222x x -⋅= 2．a>0，b>0，A=2a b +，B=ab ，那么一定有（）A ．ab ≤AB B ．ab ≥ABC ．ab=ABD ．ab ≠AB3．若0<x<1，则(32)x x -的取值范围是（）A ．9(,]8-∞B ．3(,2]4-∞ C ．9(0,]8 D ．3(0,2]4 4．设M=12a a +-（2<a<3），N=2121log ()16x +（x ∈R ），则M 、N 的大小关系是（） A ．M>N B ．M=NC ．M<ND ．不确定5．已知x>0，y>0，x+y ≤4，则下列不等式中恒成立的是（）A ．1x y +≤14B ．xy ≥2C ．1xy ≥1D ．11x y+≥1 6．设集合T={(x ，y)| lgx+lgy=1}，则集合Q={25|q q x y =+，(x ，y)∈T}的最小元素是_____. 7．已知△ABC 中，∠C=900，则a b c+的取值范围是______________. 8．若a>0，b>0，a ≠b ，A=2a b +，B=ab ，C=211a b+，D=222a b +，按从小到大的顺序写出A 、B 、C 、D 的大小关系_____________________.9．已知a>0，b>0且a+b=1，求证：11(1)(1)a b++≥9.10．已知直角△ABC 中，周长为L ，面积为S ，求证：4S ≤2(322)L -.基本不等式的证明（2）参考答案【基础练习】1．D 2．4 3．左边展开，运用基本不等式【巩固练习】1．D 2．A 3．D 4．A 5．D 6．2 7．(1，2] 8．C<B<A<D9．左=(2)(2)52()b a b a a b a b++=++≥5+4=9 10．设直角△ABC 的两直角边为x ，y ，则斜边为22x y +， S=12xy ， ∴L=22x y x y +++≥22222xy xy S S +=+ ∴4S ≤222(322)(21)L L =-+。

苏教版高中数学必修五课时练习----基本不等式的应用(1).doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作新课程同步课时练习----基本不等式的应用（1）【基础练习】1．a ，b ∈R ，且a+b=3，则2a +2b 的最小值为（）A ．8B ．6C ．42D ．262．x>0，y>0，3x+y=12，则xy 的最大值是__________，11x y+的最小值是____________. 3．若222x y a +=（x>0，y>0，a>1），求log a x+log a y 的最大值.【巩固练习】1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元. 那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）公里处.A ．5B ．4C ．3D ．22．如图，某农场要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10000m 2，鱼塘前面要留4m 宽的运料通道，其余各边为2m 的堤埂，则每个鱼塘的左右长、前后长各是（）时占地总面积最少.A．1003m，150m B．2003m，150mC．2003m，50m D．1003m，250m3．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是（）A．甲先到B．乙先到C．甲、乙同时到D．不能确定4．某工厂产量第二年比前一年增长率是p1，第三年增长率是p2，且p1+p2=m（定值），则这两年的平均增长率的最大值是_____________.5．爷爷与奶奶给他们的孙女、孙子们分糖果吃，爷爷的分配方案如下：给每个孙女的糖果数等于他们孙子的人数，给每个孙子的糖果数等于他们孙女的人数，而且若如此分配，糖果恰好分完. 可实际分配时，奶奶记反了，她给每个孙女的糖果数等于他们孙女的人数，而给每个孙子的糖果数等于他们孙子的人数，请问：分配结果如何？__________________________________________________________________________ 6．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价.7．如图，平面直角坐标系中，在y轴正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B，试问能否在x轴的正半轴上找一点C，使∠ACB取得最大值？基本不等式的应用（1）参考答案【基础练习】1．C 2．12，1336 3．在x=2a ，y=122a 处取最大值1.【巩固练习】1． A 2．B 3．A 4．2m 5．糖果恰好分完或糖果不够分. 设孙子人数为a ，孙女人数为b ，则由爷爷的分配方案可知，实际准备的糖果数为2ab ，而按奶奶的实际分法，则需要糖果数为a 2+b 2，所以当a=b 时，糖果恰好分完；当a ≠b 时，糖果不够分.6．长为18m ，宽为1009m 时，总造价最低为44800元. 7．能，点C 坐标为(ab ，0)时，∠ACB 取最大值.。

苏教版高中数学必修5同步练习：基本不等式1

3.4.2 基本不等式的应用一、填空题1．函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为 2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为3．若xy 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是 4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．5．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为________．6．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________．二、解答题7．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x >－1，求y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值．8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?9.已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3.求a ＋b 的最小值．10.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？参考答案1答案 32答案 4 2 解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2. 3答案 4解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2＝x 2＋y 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋y x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋14y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．4答案 1 760解析设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ，由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4x m ．那么y ＝120·4＋2·80·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． 5答案 8解析 ∵A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，mn >0，∴m >0，n >0.1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2·n m ·4m n ＝8.当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．故1m ＋2n 的最小值为8.6答案 14解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.7解 (1)2x ＋y ＝3(2x ＋y )3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋4≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4x y 时取“＝”，即y 2＝4x 2，∴y ＝2x .又∵1x ＋2y ＝3，求出x ＝23，y ＝43.∴2x ＋y 的最小值为83.(2)∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t ＋5≥2t ·4t ＋5＝9，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值为9. 8解设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x 2x，即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x 10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．解方法一 ∵a ＋b ＋3＝ab ≤(a ＋b )24，设a ＋b ＝t ，t >0，则t 2≥4t ＋12.解得：t ≥6 (t ≤－2舍去)，∴(a ＋b )min ＝6.方法二 ∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1>0，∴a >1. ∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋4a －1＋1＝(a －1)＋4a －1＋2≥2(a －1)·4a －1＋2＝6. 当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，取等号． 10解 (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知：4x+6y=36，即2x+3y=18. 设每间虎笼面积为S ，则S=xy.方法一由于23x y+≥=，18,∴≤得27,2 xy≤即27,2S≤当且仅当23,x y=等号成立，由2318,23,x yx y+=⎧⎨=⎩解得4.5,3,xy=⎧⎨=⎩故每间笼长为4.5m,宽为3m, 可使面积最大，方法二由2318x y+=，得39,2 x y =-x>0, ∴0<y<6,23(6)27, 222y yS-+⎡⎤≤⋅=⎢⎥⎣⎦当且仅当6,y y-=即3,y=时，等号成立，此时 4.5,x= (2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l，则l=4x+6y.方法一2324,x y+≥==462(23)48,l x y x y=+=+≥当且仅当23x y=时等号成立，由23,24,x yxy=⎧⎨=⎩解得6,4,xy=⎧⎨=⎩故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．。

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苏教版高中数学必修5专题五《基本不等式》综合检测
一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若
a ∈R ，下列不等式恒成立的是（）
A ．21a a +>
B ．
2
111
a <+ C ．296a a +> D ．2
lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是（）
Ａ．
1
2
Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a
3. 设x >0,则1
33y x x
=--
的最大值为（）
Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1
4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )
A. 10
B.
C. 5. 若x , y 是正数，且14
1x y
+=，则xy 有（）
Ａ．最大值16 Ｂ．最小值
116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116
6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是（）
A ．2222a b c ++≥
B ．2
()3a b c ++≥
C ．
111a
b
c
+
+
≥．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（）
A ．
114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2 D ．1
1xy ≥
8. a ,b 是正数，则
2,2
a b
ab
a b
++三个数的大小顺序是（）
Ａ．22a b ab a b +≤+ 22a b ab
a b +≤
+
Ｃ．
22
ab a b
a b +≤+ Ｄ．22
ab a b
a b +≤
+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有
（）
Ａ．2p q x +=
Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2
p q
x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是（）
Ａ．4y x x
=+
Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<
Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．
3log 4log 3x y x =+
二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.
11. 函数y =的最大值为 .
12. 建造一个容积为18m 3
, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2
的造价为200
元和150元，那么池的最低造价为元.
13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .
14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x y
y x y x
+-++的值恒为正，对吗？答 .
三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过
程和演算步骤.
15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.
16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111
(1)(1)(1)8.a b c ---≥
17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1
ab ab
+的最小值.
18. 是否存在常数c ,使得不等式
2222x y x y
c x y x y x y x y
+≤≤+++++对任意正数x , y 恒
成立？试证明你的结论.
一、选择题
二．填空题
11.
1
2
12.3600 14.对
三、解答题
1516. 略 17. (1)10,4⎛⎤
⎥⎝⎦
(2)174 18．存在，23c =。